TOLÉRANCEMENT
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LE TOLÉRANCEMENT INERTIEL :L'OPTIMISATION DES CONDITIONS DE PRODUCTION
DANS LE RESPECT DE L'EXIGENCE CLIENT
Par Dimitri DENIMALMaurice PILLET
et Jacques SAPPEI
L'obtention de la qualité et de la fiabilité des produitsassemblés sont essentielle-ment dues aux respects des tolérances de chaquecaractéristique, expriméestraditionnellement sous laforme d'un bipoint [Min Max].Contrairement au toléran-cement traditionnel, le tolé-rancement inertiel abandonnecette notion de bipoint pourtolérancer la caractéristiquepar une cible et une inertiemaximale autour de cettecible. De ce fait, ce mode detolérancement présente detrès nombreux avantagesdans le cas de produitsassemblés. Différents travauxnotamment dans le cadre duprojet européen Interreg IIIa :"Tolérancement des SystèmesAssemblés" ont confirmés cesavantages. Dans un espritd'expérimentation à plus grandeéchelle, un groupe industrielcréé sous l'égide de Thèsameet du laboratoire SYMME seréuni depuis plus d'un an etdemi dans le cadre du pôle de compétitivité “Arve-IndustrieMont Blanc”. Les résultatsconcluants de ces expérimen-tations ont poussé ce groupede travail a lancé, depuis janvier 2008, une action denormalisation auprès de l'Union
de Normal isat ion de laMécanique (UNM). Cette dernière est soutenue par plusieurs grands donneurs.(Renault, PSA, SchneiderElectric, SOMFY, Volvo Powertrain, SNECMA…). Afin depréparer ce changement, le CTDEC propose, à l'ensembledes secteurs d'activités, de lancer une opération d 'accompagnement pour la mise en place du tolérance-ment inertiel.
Introduction
Le tolérancement consiste à
tenter de concilier deux préoc-
cupations antagonistes :
> Fixer des limites de variabilité
acceptable les plus larges possi-
bles pour diminuer les coûts de
production.
> Assurer un niveau de qualité
optimal sur le produit fini.
Deux approches bien décrites
dans la littérature tentent de
résoudre ce problème : le toléran-
cement au pire des cas et le
tolérancement statistique. Le tolé-
rancement au pire des cas garantit
l'assemblage dans toutes les
situations à partir du moment où
les caractéristiques élémentaires
sont dans les tolérances. Le tolé-
rancement statistique tient
compte de la faible probabilité
d'assemblages d'extrêmes entre
eux et permet d'élargir de façon
importante les tolérances pour
diminuer les coûts.
La première méthode garantit
la qualité au détriment du coût,
la seconde garantit le coût au
détriment de la qualité. Le toléran-
cement inertiel propose une autre
voie permettant de concilier ces
deux objectifs.
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TOLÉRANCEMENT
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Les différentes approches du tolérancement dans le cas des assemblages
Dans le cas général du toléran-
cement d'un assemblage, le
problème consiste à déterminer
les tolérances sur les caracté-
ristiques élémen-taires Xi pour
obtenir une caractéristique Y
satisfaisant le besoin des clients.
TOLÉRANCEMENT AU PIRE
DES CAS
Dans ce cas, on considère que
dans tous les cas d'assemblage,
la tolérance sur Y sera respectée.
En cas d'une chaine de cote unidi-
rectionnelle, et en répartissant de
façon uniforme les tolérances.
Cela conduit à une tolérance TXi
sur chaque caractéristique Xi de
la chaine égale à la tolérance de
la caractéristique résultante (TY)
divisée par le nombre de cotes
dans la chaîne (n).
TOLÉRANCEMENT STATISTIQUE
Le tolérancement statistique a été
développé pour tenir compte
de l'aspect combinatoire des
tolérances. On sait que dans
le cas d'addition de variables indé-
pendantes, les variances s'addi-
tionnent. Ainsi, dans le cas de
chaines de cotes unidirectionnelles
et en supposant les tolérances
proportionnelles à l'écart type, on
obtient :
Dans ce type de tolérancement,
une des hypothèses fondamentales
est le centrage de toutes les
caractéristiques élémentaires Xi
sur la valeur cible. Le tolérance-
ment statistique permet donc
“d'élargir” les tolérances par √n, n
étant le nombre de composants.
Ainsi pour un assemblage de 4
cotes, on double la tolérance !
LA DÉCISION DE CONFORMITÉ
SUR LES CARACTÉRISTIQUES
ÉLÉMENTAIRES
Dans les deux types de tolérance-
ment, la décision de conformité
n'est pas identique. Illustrons ce
propos par l'exemple de la figure 1
(animation qui peut être téléchar-
gée sur le site :
http://web.qlio.univ-savoie.fr/pillet).
fig. 1 - Exemple de tolérancement
Dans le cas d'un tolérancement au
pire des cas (figure 2), la décision
de conformité sur une caractéris-
tique élémentaire est simple à
prendre. Si la caractéristique est
dans les tolérances, elle est
conforme sinon elle n'est pas
conforme. Cette restriction peut
être très sévère et il est facile de
trouver des situations qui seraient
refusées mais qui donneraient
pourtant satisfaction au niveau du
jeu et donc de la fonction finale du
produit. C'est notamment le cas
de la figure 2 pour laquelle les
trois caractéristiques sont parfai-
tement centrées. On constate des
rebuts sur chacune des caracté-
ristiques, et pourtant il n'y a qu'une
infime probabilité de trouver des
non-conformités sur la caractéris-
tique résultante Y.
fig. 2 - Assemblage avec un tolérancementpire des cas
La notion de conformité est plus
complexe dans le cas d'un toléran-
cement statistique. La détermination
des tolérances est fondée sur une
distribution et pas sur des cas
particuliers. Dans ce cas se pose
le problème de l'acceptation d'une
pièce. Doit-on accepter une pièce
en limite de tolérance ?
Là encore on peut facilement trouver
des situations délicates (figure 3)
dans lesquelles toutes les caracté-
ristiques sont acceptées (en limite
de tolérance) mais qui pourtant
donnent des non-conformités sur
la caractéristique Y. Ce qui est
grave d'un point de vue qualité.
nTT Y
Xi =
nTT Y
Xi =
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fig. 3 - Assemblage avec un tolérance-ment statistique.
En fait, le tolérancement par zone
montre ces limites. Il n'est pas
possible de trouver des limites de
tolérance, qui garantisse à la fois
la sécurité pour le concepteur et
l'acceptation d'une variabilité au
juste nécessaire pour le produc-
teur. Ce système de tolérance-
ment par zone qui nous semble si
naturel parce que nous l'utilisons
depuis tellement d'années est en
fait générateur d'au moins trois
incohérences majeures :
L'incohérence fonctionnelle :
Un lot conforme au niveau des pièces
élémentaires ne garantit pas l'as-
semblage (cas statistique) et un lot
non conforme peut conduire à un
assemblage conforme (pire des cas).
L'incohérence de conformité :
Les indicateurs de capabilité
utilisés actuellement comme le
Ppk aboutissent à juger non
conforme un mélange de lots indi-
viduellement conformes !
Incohérence économique :
Il n'existe pas de lien entre la
conformité d'un mot et l'importance
du coût de non-qualité généré par
les écarts accepté par rapport à
la cible !
Ces trois incohérences imposent
de rechercher de nouvelles appro-
ches pour définir la conformité
d'une caractéristique élémentaire.
Le tolérancement inertiel apporte
une réponse innovante qui permet
de travailler avec dans une chaine
logistique centrée sur la satisfaction
du besoin du client final du produit.
Le tolérancement inertiel
DÉFINITION DU TOLÉRANCE-
MENT INERTIEL
Le but du tolérancement consiste à
déterminer un critère d'acceptation
sur les caractéristiques élémentai-
res Xi garantissant la conformité
sur la caractéristique résultante Y
quelles que soient les quantités
produites. En plaçant une tolérance,
le concepteur prend un risque de
non-qualité par rapport à la situation
idéale représentée par la cible. La
tolérance permet de limiter le coût
de non-qualité généré par un écart
par rapport à cette cible. Lorsque
Y est placée sur la cible le fonc-
tionnement sera idéal. Lorsque Y
s'éloigne de la cible, le fonctionne-
ment sera de plus en plus sensible
aux conditions, et pourra entraîner
une insatisfaction chez le client.
Taguchi a démontré que la perte
financière associée à un écart par
rapport à la cible était proportion-
nelle au carré de l'écart par rapport
à la cible (décentrage).
Dans le cas d'un lot, la perte asso-
ciée est :
Le terme variable
est homogène à une “inertie” des
valeurs autour de la cible, c'est
pourquoi nous appellerons inertie
le terme :
C'est le principe du tolérancement
inertiel qui propose de remplacer
le tolérancement classique Y±∆Y
par une tolérance Y(IY) dans
laquelle Iy représente l'inertie
maximale que l'on accepte sur la
variable Y. Cette nouvelle façon de
déterminer les tolérances pos-
sède de très grandes propriétés
comme nous le montrerons dans
cet article.
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE
Le tolérancement inertiel d'un lot
d'une caractéristique Xi s'écrit :
avecσXi : l'écart type de la distribution
des XiδXi : L'écart entre la moyenne de
la distribution Xi et la cible.
On note la tolérance de la façon
suivante : Cible (IXi).
( )2CibleYkL i −=
(( ) )22 CibleYkL i −+= σ
(( ) )22 CibleYI i −+= σ
( )22XiiXiXI δσ +=
I2 = 2 + 2δσ
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TOLÉRANCEMENT
Remarque : cette notation s'appli-
que dans cet article. Elle fait l'objet
d'un projet de norme actuellement
en discussion à l'UNM.
Ainsi, une tolérance notée 10
(I0.1) aura une cible de 10 et une
inertie maximale égale à 0.1.
Son interprétation est donc relati-
vement immédiate dans les deux
situations suivantes :
Situation 1 : La production est
parfaitement centrée sur la cible
(δXi = 0). Dans ce cas, l'inertie est
égale à l'écart type maximal auto-
risé dans le cas d'une production
centrée.
Situation 2 : La dispersion est
nulle (δXi = 0). Dans ce cas, l'inertie
est donc égale au décentrage
maximal autorisé sur la moyenne.
La figure 4 est une représentation
graphique du tolérancement inertiel.
Ainsi, en calculant l'écart δ compte
tenu de l'écart type du lot. Il est
possible de définir l'acceptation ou
non du lot.
fig. 4 - Représentation du tolérancementinertiel
Dans cet exemple on visualise faci-
lement que le lot est acceptable…
sans une grosse marge : la moyenne
est comprise dans l'intervalle
permis… compte tenu de la disper-
sion. On peut également calculer
des indicateurs Cp et Cpi pour
faciliter l'interprétation du toléran-
cement inertiel par les relations :
Comme nous l'avons précisé, le
tolérancement inertiel ne prend
pas comme hypothèse la normalité
des répartitions. Cpi peut donc être
calculé même dans le cas de
répartition non normale. La
conformité est acceptée si Cpi est
supérieur à 1.
TOLÉRANCEMENT INERTIEL
DANS LE CAS D'UN ASSEM-
BLAGE
Le calcul du tolérancement inertiel
dans le cas d'un assemblage est
très simple, il suffit de calculer en
position centrée sur les cibles
quels écarts types on peut accepter
sur chaque élément de la chaîne
de cote.
Comme l'inertie est égale à l'écart
type en position centrée, on obtient
donc immédiatement l'inertie à
mettre au plan.
APPLICATION SUR L'EXEMPLE
DE LA FIGURE 1
Pour déterminer l'inertie maximale
sur Y (le Jeu), on va considérer
une situation centrée avec une
dispersion à 6 écarts types dans
la tolérance. (Figure 5).
Dans cette configuration on a :
(Exprimée en µm2)
Comme il y a trois caractéristi-
ques, on divise cette variance par
3 pour avoir la variance maximale
permise sur chaque caractéristique
élémentaire (8.33). L'inertie est
alors immédiate :
(Exprimée en µm2)
fig. 5 - Définition de l'inertie résultante
APPLICATION SUR L'EXEMPLE
DE LA FIGURE 1
Le but de la décision de conformité
sur une caractéristique est de
garantir la conformité du produit
fini. On a vu que dans le cas du
tolérancement au pire des cas, on
pouvait refuser à tort la conformité
de caractéristiques élémentaires
figure 2. Dans le cas du tolérance-
ment inertiel ce cas de figure ne
peut pas arriver. Dans le cas d'un
centrage parfait de la production,
on peut tolérer sans risque pour la
caractéristique fonctionnelle une
dispersion identique au cas du
tolérancement statistique (figure
6 - cas de l'axe) L'inconvénient du
tolérancement statistique provient
des décentrages. Dans le cas d'un
tolérancement inertiel, le risque
d'accepter des caractéristiques
qui pourrait mettre en péril la
fonction du produit (figure 3) est
supprimé.
fig. 6 - Tolérancement Inertiel, caractéris-tique décentrée
iXI σ=iX
δI =iX iX
MaxICpσ
=iX iX
Max
IICpi =et
( ) 25222 =+= yyyI δσ
83.23
253
2
=== yx
II
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TOLÉRANCEMENT
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La figure 6 montre une situation
extrême du tolérancement inertiel
avec deux caractéristiques décen-
trées au maximum (Cpi proche de 1)
mais qui ne mettent pas en péril la
caractéristique fonctionnelle.
Application dans le cadre du pôle de compétitivité
Les différentes expérimenta-
tions du tolérancement inertiel
au sein du pôle de compétitivité
ont permis de développer des
outils robustes et proches de la
réalité industrielle. Ces outils
sont dédiés aux clients comme
aux fournisseurs. Dans la par-
tie suivante, nous présentons
deux outils développés au sein
de ce groupe de travail.
ASSURER UN PPM OU UN CPK
SUR LA CONDITION RÉSUL-
TANTE
L'exigence client sur une caracté-
ristique résultante s'exprime
souvent par les indicateurs Cpk ou
ppm. Ces deux indices sont liés
par la relation suivante :
Avec φ la loi de distribution nor-
male centrée réduite.
Pour un Cpi donné pour chaque
caractéristique et n le nombre de
cotes, il est possible de détermi-
ner le Cpk résultant donc la valeur
en nombre de ppm.
Ainsi, à partir de l'exemple présenté,
le calcul de l'inertie aboutira à un
Cpk de :
Comme nous pouvons le constater
si l'exigence client est de 1 sur le
Cpi de chaque caractéristique
alors il peut s'attendre à avoir
dans la plus mauvaise configuration
un ppm de 7150. Cependant, la
modification de l'exigence client
permettrait d'améliorer le Cpk
résultant donc de réduire le nom-
bre de ppm. Ainsi si son exigence
passe à 1.33, il en déduit un Cpk
dans la plus mauvaise configura-
tion est de 1350 ppm.
Ce ppm calculé peut très bien ne
pas convenir au client. La relation
précédente lui permet à partir de
la connaissance de son Cpk d'en
déterminer l'exigence minimale
sur le Cpi de chaque caractéristi-
que. Reprenons notre exemple et
considérons un CpkY=2.3 (0 ppm),
soit un Cpi minimal de 1.62. La
valeur de l'inertie originale étant
de 2.83 dans un calcul sans
contrainte on en déduit une inertie
de 1.74 pour chaque caractéristi-
que (Soit un ITi=6*1.74=10.43).
En traduisant l'expression de cette
contrainte en intervalle de tolé-
rance nous obtenons par rapport
au pire des cas (ITi=25/3=8.333)
un gain de 25% de l'intervalle de
tolérance sur chaque composant.
Ainsi, de part l'inertie, la fonction-
nalité de l'assemblage est assurée
avec la certitude d'un 0 ppm tout
en augmentant l'intervalle de tolé-
rance (la capacité à réaliser) du
fournisseur comparé à un toléran-
cement pire des cas.
L'inertie propose le beurre et
l'argent du beurre !
PILOTER LE MOYEN DE PRO-
DUCTION EN INERTIE
La définition de l'inertie est une
approche intéressante pour le
client car elle lui permet de
contrôler son exigence qualité et
d'augmenter la faisabilité. Pour le
fournisseur, le pilotage selon l'inertie
lui donne la capacité d'exploiter au
mieux les variations autorisées
par l'inertie (décentrage du moyen
de production). Comparé à la
Maîtrise Statistique des procédés
(MSP), le pilotage selon l'inertie
vient renforcer la méthode. En
effet, le langage est unique entre
le concepteur et les opérateurs de
fabrication. Pour le premier l'inertie
se traduit par un sigma, pour le
second, l'inertie se traduit par la
satisfaction de l'inertie du plan
(Imax) qui se compose de deux
paramètres qui sont le décalage
par rapport à la cible et l'écart
type de l'échantillon prélevé. Nous
retrouvons, ici, les deux paramètres
clés pour limiter la variabilité d’un
( )( ) 100000031 ×−= YCpkppm φ
9nCpCpk iY −=
ppm715082.0931 ⇔=−=YCpk
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TOLÉRANCEMENT
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processus de fabrication introduit
par les deux pères de la MSP en
1931, W.E. Deming et W.A.
Shewhart.
Le graphique suivant illustre l'évo-
lution des limites de contrôle des
cartes traditionnelles (Shewhart)
et aux inerties. L'observation de
ce graphique présente une
décroissance des limites de la
carte de contrôle de Shewhart en
fonction de l'augmentation de la
capabilité du procédé. En effet, les
limites de contrôle traditionnelles
sont calculées en fonction de la
capabilité intrinsèque du processus.
Si bien que, plus la capabilité du
processus augmente plus les limites
de la carte de contrôle se resser-
rent. Cela se traduit par une
fréquence de contrôle beaucoup
plus élevée et aboutie à un Ppi
très au dessus de l'exigence
client, donc inévitablement à une
perte de productivité de l'opéra-
teur. À la différence des cartes de
contrôles traditionnelles, les limi-
tes des cartes de contrôle aux
inerties vont augmenter. Ainsi
pour des valeurs différentes de
capabilité, le niveau de qualité
sera identique et présentera une
valeur de Ppi pouvant être défini
par le fournisseur.
La force de la carte de contrôle
aux inerties se trouve dans cet
aspect. Celui d'utiliser au maxi-
mum le potentiel de variation
(décentrage) qu'autorise le tolé-
rancement inertiel sans pour
autant négligé l'exigence client et
la productivité du fournisseur
souvent réduite par des contrôles
superflues.
Un des principes de base de la
qualité est la conformité.
Cependant, cette conformité, si elle
est relativement facile à définir
pour un produit fini, n'est pas triviale
dans le cas de caractéristiques
élémentaires. La décision de
conformité dans ce cas ne doit
pas porter sur la caractéristique
concernée, mais plutôt sur l'inci-
dence de la configuration de la
caractéristique dans la qualité du
produit en final. Les systèmes de
tolérancement actuellement utili-
sés, prennent tous comme postu-
lat de départ qu'une tolérance doit
être définie par un bipoint [Min ;
Max]. Nous avons montré dans ce
papier que l'on pouvait imaginer
une autre façon de définir les tolé-
rances en définissant l'inertie
maximale autour de la cible. Cette
nouvelle façon de concevoir le tolé-
rancement offre de nombreux
avantages et principalement de
concentrer la décision de confor-
mité sur la qualité du produit fini
plutôt que sur l'évaluation d'un
pourcentage de non conformes au
niveau de la caractéristique élé-
mentaire. Ainsi, il est possible de
trouver le meilleur compromis
entre les libertés de dispersion
laissées à la production (le coût de
production) et la qualité souhaitée
sur le produit fini. Une présenta-
tion partielle de deux outils donne
un aperçu sur les avantages que
peut offrir l'inertie. Cette présen-
tation a porté sur la spécification
en ppm de l'exigence client et le
pilotage d'une fabrication avec
l'inertie. D'autres outils tout aussi
performants ont été développés
au sein du pôle Arve-Industries,
comme le contrôle réception, le tri
d'une population, la définition de la
capabilité des moyens de contrôle…
Afin d'appuyer votre démarche de
mise en place de l'inertie dans
votre entreprise, le CTDEC propo-
sera, dans le dernier trimestre
2008, une formation pour vous
préparer à la résolution de problé-
matique industrielle par l'inertie.
Cette formation commune se
déroule en une journée consistant
en la présentation de l'inertie.
Ensuite un suivi personnalisé pour
chaque entreprise sera réalisé
pour mener à bien votre projet.
Conclusion
Plus d'informations :
Sur l'inertie :
Sur la formation :
Remarque :
L'ensemble de ces outils sont disponibles
et décrits dans une monographie complète
sur le tolérancement inertiel disponibles
sur le site :
http://web.qlio.univ-savoie.fr/pillet
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