P1 - Acoustique Générale
Sessions I-III
2012/2013
Bases Physiques de l'Acoustique linéaire
Maury Cédric
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 2
Table des Matières
Bases Physiques de l’Acoustique Linéaire 1.1 Introduction
1.1.1 Faits marquants de l’acoustique………………………………………....3
1.1.2 Problèmes acoustiques…………………………………………………....4
1.2 Eléments de Mécanique des Milieux Continus 1.2.1 Les lois de conservation…………………………………………………..9
1.2.2 Les lois de comportement……………………………………………….10
1.3 Acoustique élémentaire 1.3.1 Mise en équation pour un fluide non dissipatif………………………..12
1.3.2 Solution générale des équations d’onde en milieu non borné………...16
1.3.3 Energie et intensité d’une onde sonore………………………………...21
1.3.4 Interfaces……………………………………………………...................23
1.3.5 Les sources acoustiques............................................................................26
1.4 Ondes élastiques dans les solides 1.4.1 Equation de propagation des ondes élastiques………………………...29
1.4.2 Ondes de compression - ondes de cisaillement………………………...31
1.6 Références bibliographiques Enoncés des Travaux Dirigés d'Acoustique
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 3
Chapitre 1
Bases physiques de l’acoustique linéaire
L’acoustique a pour objet l’étude de la génération et de la propagation de « petites » perturbations
mécaniques au sein d’un milieu fluide (ondes acoustiques) ou solide (ondes élastiques). De fait, les
équations qui régissent les phénomènes acoustiques sont obtenues à partir de la linéarisation des
équations de la Mécanique des Milieux Continus (MMC) autour d’un état d’équilibre.
L’objet de ce chapitre est d’établir une formulation des phénomènes de propagation et de
diffraction d’ondes acoustiques (resp. élastiques) par des obstacles (resp. inclusions). Le modèle,
constitué d’une équation d’onde munie de conditions aux frontières/interfaces, sera obtenu à partir des
équations locales linéarisées de la MMC pour un fluide parfait, ou un solide élastique, au repos,
homogène. Les phénomènes de dissipation, plus complexes, font largement appel aux équations
constitutives de la thermodynamique, et seront abordées, de manière simplifiée, aux interfaces du
domaine de propagation.
1.1 Introduction
Une des préoccupations majeures de l’ingénieur acousticien est la prédiction et le contrôle (au
sens large) d’un environnement sonore dans divers contextes, d’une part liés à l’industrie (systèmes de
transports terrestres ou aériens, bruit des machines-outils dans les usines…), mais aussi au bâtiment
(transparence acoustique de parois et isolation des locaux d’habitation ou de travail…), à
l’environnement (nuisances sonores urbaines, bruit aéroportuaire, bruit des éoliennes…), à la facture
instrumentale (acoustique des instruments, synthèse sonore…), etc…
1.1.1 Faits marquants de l’acoustique
Les origines de l’acoustique, science des sons, remontent à l’antiquité grecque, au VIème
siècle av. J.-C., lorsque Pythagore proposa des règles permettant de relier la hauteur d’un son émis par
une corde vibrante à la longueur de la corde. Le concept d’onde sonore se précise avec les travaux de
Galilée (1564-1642) et de Christiaan Huygens (1629-1695) ainsi que la notion de fréquence d’un son
(Mersenne, 1588-1648). La théorie ondulatoire du son apparaît au XVIIIème siècle dans le contexte
des formalismes mathématiques de Newton (1642-1727), d’Euler (1707-1783) et de Lagrange (1736-
1813). Il faudra attendre le XIXème siècle et les travaux de Fourier (1768-1839), d’Hermann von
Helmholtz (1821-1894) et de Lord Rayleigh (1842-1899) pour que les bases physiques du son et des
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vibrations soient établies à la fois sur le plan expérimental et sur le plan mathématique. L’acoustique
connaîtra au XXème siècle et jusqu’à nos jours un extraordinaire développement tant sur le plan
expérimental (avec l’apparition de techniques liées au contrôle actif du bruit, à l’holographie champ
proche et à l’antennerie pour l’identification de sources) que sur le plan de la simulation numérique
(grâce aux méthodes d’éléments finis de volume et de frontière). Depuis les années 80, les travaux
théoriques de D. G. Crighton (DAMTP, Univ. of Cambridge) ont permis d’approfondir notre
compréhension des phénomènes fondamentaux liés au rayonnement acoustique d’une structure
vibrante dans un fluide au repos ou en mouvement.
Fig. 1 -- Hermann von Helmholtz (gauche) ; Lord Rayleigh (centre) ; David G. Crighton (droite)
1.1.2 Problèmes acoustiques
En pratique, les problèmes abordés sont souvent de nature multiphysique, impliquant une
interaction forte entre l’acoustique et :
• La dynamique des fluides (aéro-acoustique, sources de bruit lié à un écoulement propre
ou à l’interaction écoulement/paroi)
Fig. 2 – Simulation numérique pour l’identification des sources de bruit aéroacoustique autour d’un véhicule
(gauche) ; bruit de soufflante amont et aval d’un turboréacteur et masquage de ce bruit par une voilure
d’empennage (droite).
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• La mécanique des solides élastiques (rayonnement acoustique des structures minces
[3A/ASE/PVA], transmission vibratoire et acoustique à travers des assemblages de
structures, amortissement des structures)
Fig. 3 – Isovaleurs de la pression acoustique rayonnée à l’intérieur et à l’extérieur d’une enceinte bass reflex
composée d’un haut-parleur et d’un évent (gauche) ; Rayonnement acoustique d’un moteur Diesel en milieu
anéchoique (droite).
• Les mécanismes de dissipation visqueuse et thermique des ondes sonores dans les
matériaux poreux et micro-perforés
Fig. 4 – Traitements acoustiques de type NIDA (résonateurs nids d’abeille) doubles couches
à l’intérieur de la manche d’air d’un turboréacteur à double flux.
• La prise en compte d'un milieu de propagation de propriétés non homogènes avec
gradient de température et de pression comme dans l’atmosphère ou en fond marin
Fig. 5 – Vue d’ensemble des phénomènes liés à la propagation d’ondes acoustiques dans l’atmosphère
(incluant le phénomène de réfraction lié au gradient de température).
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Fig. 6 – Chemins aquatique de l'énergie sonore : calcul par la méthode des rayons de l'énergie sonore
émise par le SONAR d'un bâtiment de surface en Atlantique. On distingue les rayons des chenaux de
convergence et les zones d'ombre.
• Le traitement du signal (analyse spectrale de signaux acoustiques, séparation de sources,
localisation de sources par antennerie, synthèse sonore, contrôle actif du bruit…)
Fig. 7 – Identification de sources acoustiques dans le domaine des transports automobiles
(cartographie spectrale du bruit de roulement : gauche ; antenne spirale de microphones utilisée pour
la localisation temps-réel des sources de bruit : droite).
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 7
Fig. 8 – Dispositif expérimental pour le contrôle actif du champ sonore dans un volume sphérique en
chambre anéchoïque (Thèse N. Epain, Dir. E. Friot, LMA Marseille)
Fig. 9 – Performances de systèmes de contrôle actif du bruit dans les transports aéronautique et automobile :
niveaux sonores avec système on/off (dans la cabine d’un avion à hélices, d’après S. J. Elliott, ISVR – Ultra
Electronics, à gauche ; dans l’habitacle d’un véhicule, d’après T. Bravo, Instituto de Acustica – Renault Nissan).
• Les sciences humaines (critère de perception et psycho-acoustique, implants cochléaires)
Fig. 10 – Courbes d’isosonie qui rendent compte du filtrage fréquentiel lié à la perception des sons
par l’oreille humaine (gauche) ; Implant cochléaire pour stimulation directe du nerf auditif (droite)
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 8
Cependant, cette liste sur la transversalité des problèmes acoustiques est loin d’être exhaustive.
Une vue d’ensemble des grands domaines de l’acoustique est représentée ci-dessous.
Fig. 11 – Vue synoptique des champs d’activité de l’acoustique
(par Michel Bruneau et Catherine Potel, LAUM Université du Mans)
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 9
1.2 Eléments de Mécanique des Milieux Continus
On considère un milieu continu dans un domaine Ω de l'espace, i.e. dont les propriétés physiques
mesurables varient de façon continue dans Ω . Soit ( )t,Mρ et ( )t,Mv les descriptions d’Euler du
champ des masses volumiques et de la vitesse du milieu matériel. Notons que ce milieu sera, par
hypothèse, soit un milieu fluide newtonien ou un solide déformable.
Nous rappelons tout d’abord les lois de conservation de la masse et de l’impulsion, puis les lois de
comportement qui décrivent la manière dont un milieu continu se déforme lorsqu’il est soumis à un
champ de contraintes. Comme nous ne traiterons que des mouvements sans variation de température, il
n’est pas nécessaire d’introduire l’équation de conservation de l’énergie. On néglige aussi l’influence
des forces volumiques. Lorsque Ω est non borné, la conservation de l’énergie se traduit par une
condition de non-retour de l’énergie à l’infini, ou condition de Sommerfeld.
Ces lois sont définies à l'intérieur du domaine Ω ce qui se traduit par des termes source nuls au
second membre des équations de conservation. En effet, les sources rencontrées en Acoustique sont
souvent définies sur des surfaces solides que l'on supposera extérieures au domaine Ω . On montrera
en Annexe A comment introduire les sources acoustiques "au sens des distributions" dans les
équations de conservation linéarisées.
1.2.1 Les lois de conservation
On note g (resp. g ) un tenseur d’ordre 1 (resp. d’ordre 2).
• L'accroissement de masse dans le volume Ω est égal et opposé au flux de masse sortant
à travers la surface Ω∂ frontière de Ω . D'après le théorème de Green-Ostrogradsky, on
en déduit l’expression locale de la conservation de la masse dans Ω :
( ) 0div =+∂
∂vρ
ρ
t (1)
soit, en développant la divergence :
( ) 0div =+ vρρ& (2)
où g& (resp. g& ) est la dérivée particulaire de la fonction scalaire g (resp. vectorielle g ), i.e. la
dérivée par rapport au temps de g (resp. g ) lorsque l’on suit la particule dans son mouvement. Elle
est donnée par (cf II. 1. 3. 9):
vgrad ⋅+∂
∂= g
t
gg
)1(& resp. vggradg
g ⋅+∂
∂= )2(
t&
• Le principe fondamental de la dynamique (ou conservation de l’impulsion) stipule que la
variation d’impulsion vρ dans Ω pendant la durée infinitésimale td résulte :
o Du transport de quantité de mouvement vρ à travers la frontière Ω∂ de Ω :
∫ Ω∂− tnvv jji ddSρ
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 10
o Des contraintes superficielles
∫ Ω∂tn jij ddSσ
A partir du théorème de Green-Ostrogradsky pour les intégrales de frontière, on obtient l’équation
locale de conservation de l’impulsion ou équation de mouvement :
( ) ( )0=
∂
−∂+
∂
∂
j
ijjii
x
vv
t
v σρρ (3)
soit, sous forme tensorielle,
( )σdivvγ)1(== &ρρ (4)
1.2.2 Les lois de comportement
• La loi de comportement d’un solide déformable élastique
Contrairement aux fluides, les solides ont une forme propre en l’absence de sollicitations
extérieures. On peut donc définir une déformation entre l’état initial du solide et son état actuel sous
contraintes.
Dans l’hypothèse des petites déformations (classique en Acoustique), on définit le tenseur des
petites déformations d’un solide ε . Lors de la propagation d’ondes élastiques dans le solide, le
matériau reste dans sa zone d’élasticité linéaire, de sorte que le tenseur des contraintes σ et des
petites déformations ε sont reliés par la loi de Hooke :
( )εCσ :4= (5)
soit
klijklij εCσ = (6)
où ( )4C est le tenseur d’ordre 4 des constantes d’élasticité qui comporte 8134 = composantes, dont
21 composantes indépendantes (car ( )4C est symétrique).
Dans le cas d’un matériau homogène (constitué d’un seul constituant) et isotrope (les
propriétés du milieu sont les mêmes dans toutes les directions), le tenseur des constantes d’élasticité
est déterminé par 2 coefficients indépendants. Ce couple de coefficients prend plusieurs expressions :
( )µλ, les coefficients de Lamé ou ( )υ,E le module d’Young et le coefficient de Poisson du
matériau. Ils sont reliés par les relations :
( )( ) ( ),
12,
121 υµ
υυ
υλ
+=
+−=
EE (7)
et inversement :
.2
,23
µλ
λν
µλ
µλµ
+=
+
+=E (8)
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 11
Tous ces coefficients ont la dimension d’une pression, à l’exception de ν qui est
adimensionné. ν représente la faculté qu’a un corps à se contracter lors de son allongement. En
pratique, il est donc positif avec 5.00 <<ν . On privilégiera la formulation ( )υ,E dont les
coefficients sont identifiables à partir de simples essais de traction par rapport à la formulation ( )µλ, .
Dans le cas d’un solide élastique homogène et isotrope, la loi de Hooke s’écrit :
εGεσ µλ 2Tr += (9)
soit
j
i
j
illijσ εµδελ 2+= (10)
ou, en fonction de ( )υ,E ,
−+
+= Gεεσ Tr
211 υ
υ
υ
E (11)
• La loi de comportement d’un milieu fluide
Les fluides n’ont pas de formes propres et la notion de déformation n’a pas de sens. Dans ce cas, une
loi de comportement est formulée qui relie la contrainte au taux ou à la vitesse de déformation,
vgradsymε)2(dd =t , et qui s’écrit, sous l’hypothèse de déformations isentropiques (ou
adiabatiques) du milieu :
Gτσ p−= (12)
où p est la pression et τ le tenseur des contraintes visqueuses. Pour un fluide newtonien, il prend la
forme suivante :
tt d
d2
d
dTr
εGε
τ µλ += (13)
Ici, λ et µ sont des coefficients liés aux effets de viscosité.
o Dans le cas d’un fluide pour lequel les effets de la viscosité sont négligeables, le
système (12-13) se réduit à :
Gσ p−= (14)
o Dans le cas d’un fluide visqueux incompressible, la vitesse de dilatation
volumique est nulle et le tenseur des contraintes prend la forme :
Gε
devσ pt
−
=
d
d2µ (15)
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 12
où ( ) ( )Ggggdev 3Tr−= est la partie déviatorique de g .
Remarque : les lois de comportement (5) et (12) pour un solide élastique (resp. un fluide visqueux),
résultent, sous l’hypothèse de déformations isentropiques, des différentielles secondes de l’équation
d’état du milieu autour d’un point d’équilibre. En acoustique, on étudie la propagation de petites
fluctuations au sein du milieu fluide ou solide, dont l’ordre de grandeur est de (37 1010 −− − ) fois la
valeur des grandeurs statiques associées. Il est donc suffisant d’évaluer les coefficients des lois de
comportements au point statique d’équilibre du milieu.
1.3 Acoustique élémentaire
On s’intéresse ici à établir les équations qui régissent les phénomènes observés dans le domaine de
l’acoustique linéaire pour un fluide non dissipatif, supposé dans un état initial d’équilibre homogène et
au repos. La démarche, basée sur la linéarisation des équations de la MMC, révèle le caractère
ondulatoire du son.
1.3.1 Mise en équation pour un fluide non dissipatif
Nous disposons :
• D’une équation de conservation de la masse (1) :
( ) 0div =+∂
∂vρ
ρ
t (16)
• D’une équation de conservation de l’impulsion (4) :
0gradvvgradv
=+
⋅+
∂
∂p
t
)1()2(ρ (17)
où la loi de comportement (14), pour un fluide où on néglige les effets de viscosité de cisaillement, a
été substituée dans (4).
• De l’équation d’état pour un fluide homogène compressible :
( )spp ,ρ= (18)
où s est l’entropie spécifique du fluide ; ρ est la variable d’état masse volumique et p est
la pression « thermodynamique » du fluide. Elle coïncide avec la pression mécanique vu
qu’on néglige aussi l’amortissement liée à la viscosité de volume pour une propagation
acoustique sur de faibles distances.
On suppose que la perturbation acoustique induit localement une transformation
adiabatique réversible du milieu fluide, ce qui implique que l’entropie spécifique s reste
constante en tous points du milieu fluide au cours du temps (la réciproque est fausse). De fait,
on obtient à partir de (18) la relation :
( )ρpp = (19)
dont la différentielle s’écrit lors d’une transformation isentropique :
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 13
ρρχ
d1
ds
p = (20)
avec
s
1
∂
∂=
ρρχ
ps , la compressibilité isentropique du milieu fluide. Pour l’eau qui est un
milieu faiblement compressible, on a Nm105.4 210−=sχ alors que pour l’air, on a
Nm102.7 26−=sχ . On remarque que ρχ s1 a les dimensions du carré d’une vitesse
(m²/s²) et on pose
ρχρ ss
pc
12 =
∂
∂= , (21)
où c est la célérité avec laquelle se propage la perturbation dans l’hypothèse isentropique.
o Célérité du son dans un liquide non visqueux:
ρχ s
c1
= , (22)
La célérité du son dans l’eau est typiquement c = 1487 m/s. La formule (22) permet de
comprendre pourquoi la présence de micro-bulles d’air dans l’eau peut avoir un effet
dramatique sur les pales d’hélices à propulsion des navires et sous-marins. En effet, la présence
de micro-bulles d’air augmente considérablement la compressibilité du milieu diphasique air-
eau (par rapport à l’eau seule). D’après (22), ceci a pour effet d’abaisser énormément la vitesse
du son dans le mélange de sorte que les pales des hélices qui engendrent de telles bulles
deviennent localement supersoniques, ce qui crée une onde de choc provoquant l’éclatement
des micro-bulles et l’érosion de la surface du matériau constitutif des pales.
Fig. 12 – Essai d’une hélice en tunnel de cavitation. On distingue bien la sinusoïde que créent les micro-bulles d’air
dans l’eau, les phénomènes de cavitation restent ici localisés en bout de pales. Sous l’effet de l’onde de choc,
les micro-bulles d’air éclatent et creusent la matière de la pale sous forme d’impact créant des bords de fuite dentelés
ou des surfaces érodées.
o Célérité du son dans un fluide parfait. Dans le cas où le milieu de propagation est
un gaz assimilable à un fluide parfait subissant une transformation adiabatique
réversible, le modèle de Laplace conduit à la relation pression-densité :
Cte=−γρp (23)
avec VP CC=γ le rapport des chaleurs spécifiques à pression et volume
constants ( 4.1=γ pour un gaz diatomique). D’après (21) et (23), nous
obtenons ργ pc =2. Or on sait d’après la loi des gaz parfaits de Boyle-
Mariotte que MRTp =ρ avec R = 8.3143 J/K la constante des gaz parfaits,
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 14
T la température en degrés Kelvin et M la masse molaire du gaz. Ainsi la
vitesse du son dans un gaz parfait dépend de la température, suivant la loi :
M
RTc γ= (24)
Pour l’air, on a M = 0.029 kg/mole et 4.1=γ , soit ( ) 27305.20 +°= CTc .
A 0°C, la célérité du son est c = 331 m/s alors qu’à 27°C, on a c = 347 m/s.
Lorsqu’on réalise une campagne de mesures acoustiques, il est important de
mesurer avec précision les variations de température du milieu ambiant
pendant toute la durée de l’expérience.
Historiquement, Sir Isaac Newton supposa en 1687 une transformation isotherme, du
type Cte1 =−ρp , pour la propagation du son, ce qui conduisit à une valeur de la
vitesse du son dans l'air environ 16% inférieure à la valeur réelle qui fut mesurée pour
la première fors en 1636 par l'Abbé Marin Mersenne. Ce fût au début du 19ème siècle
en 1816 que Laplace justifia la valeur mesurée en supposant que les flux de chaleur
associés à la propagation du son dans l'air sont négligeable de sorte que la
transformation associée est adiabatique réversible et non isotherme. Il faut cependant
garder à l'esprit que l'hypothèse d'isentropie tout comme l'hypothèse d'isothermie
constituent des modèles de propagation. Une analyse rigoureuse montre que
l'hypothèse d'isentropie dans l'air est valable pour des fréquences inférieures à
Hz109, couvrant largement le domaine audible qui s'étend jusqu'à Hz10.2 4
. Au-
delà, l'hypothèse d'isothermie, associée à la prépondérance des transferts convectifs de
chaleur, prévaut mais ne correspond pas à des conditions de propagation réelles
rencontrées en pratique (même aux fréquences ultra-sonores qui restent inférieures à
Hz106).
L’intégration numérique des équations (16), (17) et (20) fournirait, pour des conditions initiales et des
conditions aux limites données, les valeurs des grandeurs ( )tp ,M , ( )t,Mρ et ( )t,Mv
pour un fluide isentropique non dissipatif. En Acoustique linéaire, on s’intéresse à la propagation de
pertubations au sein du milieu fluide. La solution va alors être calculée dans la situation d’un état
d’équilibre perturbé par de petits écarts autour de la valeur d’équilibre du milieu homogène au repos.
On pose :
+=
+=
+=
10
10
10
vvv
ρρρ
ppp
(25)
où 00 , ρp et 0v sont les grandeurs moyennes associées à la pression mécanique (par exemple
Pa105
0 =p est la pression atmosphérique de l’air), à la densité du fluide et au champ de vitesse des
particules fluides. Les quantités d’indice 1 sont les grandeurs perturbées caractérisées
par 0101 , ρρ <<<< pp et 01 vv << . Un niveau sonore très élevé de 134 dB correspond à une
surpression acoustique de 100 Pa, soit 1/1000 de la pression atmosphérique. 1p est également dénoté
pression acoustique et est communément mesurée avec un microphone (à ne pas confondre avec la
pression atmosphérique 0p qui, elle, est mesurée avec un baromètre !).
On suppose que le milieu est homogène et stationnaire, donc 0p et
0ρ sont indépendants de l’espace
et du temps. On suppose également que le milieu est initialement au repos en l’absence d’ondes
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 15
acoustiques, soit 0v =0. On reporte les développements au premier ordre (25) dans les équations de
conservation (16-17) et l’équation d’état (20). On obtient :
• A l’ordre 0, la tautologie : 0 = 0 car 0v ≡0 , 00 ≡∂
∂
t
ρ et 0grad ≡0
)1(p .
• A l’ordre 1, les équations de l’acoustique linéaire :
( )
)(
)(
)(0div
1
2
1
1
)1(10
101
ccp
bpt
at
ρ
ρ
ρρ
=
=+∂
∂
=+∂
∂
0gradv
v
(26)
où on a négligé les termes de deuxième ordre comme ( )11div vρ , t∂∂ 11 vρ et
11
)2( vvgrad ⋅ .
La pression acoustique 1p est une grandeur qui caractérise de manière usuelle un champ acoustique,
puisque la plupart des capteurs acoustiques, comme le microphone ou l’oreille humaine par exemple,
sont sensibles aux variations du champ de pression acoustique. Nous chercherons donc de prime abord
à éliminer les variables 1ρ et 1v dans (26) pour obtenir une équation en 1p . .
Tout d’abord, on substitue (c) dans (a) pour obtenir le système suivant de deux équations à deux
inconnues 1p et 1v :
)(
)(0
1
)1(10
1
)1(1
bpt
at
ps
0gradv
vgrad
=+∂
∂
=⋅+∂
∂
ρ
χ (27)
Ces équations mettent en évidence deux phénomènes essentiels sur lesquels reposent la propagation
d’une onde sonore dans un milieu fluide : ce sont d’une part la compressibilité élastique du fluide qui
permet d'équilibrer la variation temporelle de pression par une divergence et donc un flux sortant de
vitesse acoustique (Eq. 27.a), et d’autre part l’inertie du fluide qui tend à résorber, mais avec un certain
retard, la variation spatiale, i.e. le gradient de pression initiale (Eq. 27.b).
Eliminons 1v entre (27.a) et (27.b) en appliquant l’opérateur ( )t
ab
∂
∂−⋅
)(0
)1( ρgrad , ce qui
conduit à l’équation d’onde :
01
2
1
2
21 =∂
∂−∆
t
p
cp (28)
encore dénommée équation de propagation de d’Alembert. Remarquons que le champ de vitesse 1v
ainsi que la fluctuation de densité 1ρ satisfont également une équation de propagation de d’Alembert :
0v
v =∂
∂−∆
2
1
2
21
1
tc (29)
0=∂
∂−∆
2
1
2
21
1
tc
ρρ (30)
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 16
1.3.2 Solution générale de l’équation d’onde en milieu non borné (en champ libre)
On recherche les solutions de l’équation de propagation de d’Alembert en fonction de la géométrie du
problème ; par exemple, une onde sphérique pour une source ponctuelle qui rayonne dans l’espace tri-
dimensionnel, une onde cylindrique pour une source linéique axisymétrique (on se ramène à un
problème 2D), une onde plane lorsque le front d’onde est plan, etc…
A partir de (27.b), on constate qu’on peut écrire le champ des vitesses acoustiques 1v en fonction d’un
terme potentiel à rotationnel nul :
ϕ)1(
1 gradv = , (31)
en posant
tp
∂
∂−=
ϕρ01 , (32)
et
tc ∂
∂−=
ϕρρ
2
01 . (33)
Ainsi, les grandeurs acoustiques usuelles peuvent s’écrire à l’aide du seul potentiel des vitesses ϕ .
Problèmes unidimensionnels
En substituant (31) dans (29), on montre que l’équation d’onde est également satisfaite par le
potentiel des vitesses, soit (en supposant que les grandeurs ne dépendent que de x et de t ) :
01
2
2
22
2
=∂
∂−
∂
∂
tcx
ϕϕ. (34)
La solution générale de (34) est cherchée sous la forme :
( )
++
−= −+
c
xt
c
xttx ϕϕϕ , , (35)
où +ϕ et
−ϕ sont deux formes d’ondes quelconques. Les variables c
xt − et
c
xt + correspondent à
des perturbations qui se propagent respectivement dans le sens des x croissants (onde progressive) et
décroissants (onde régressive).
Démonstration : On considère le changement de variable c
xt −=ξ et
c
xt +=η . .
On note ( ) ( ) ( )ηϕξϕηξϕ −+ +=, . Après substitution dans (34), on obtient : 02
=∂∂
∂
ηξ
ϕ
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 17
Cette équation s’intègre sous la forme :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ηϕξϕηηξϕηξϕηη
ϕ −++ +=+=⇒=∂
∂∫ d, FF
On retrouve la solution cherchée (35).
La pression et la vitesse acoustique, solutions de l’équation d’onde, s’écrivent à partir de (32) et (33) :
( ) ( ) ( )( )ηϕξϕρ '', 01
−+ +−=txp et ( ) ( ) ( )( ) xc
tx ev ηϕξϕ ''1
,1
−+ −−= , (36)
avec ( ) ugug dd' = . (36) peut s’écrire sous une forme similaire à (35) :
( )
++
−= −+
c
xtp
c
xtptxp ,1
et ( )
++
−= −+
c
xt
c
xttx vvv ,1
, (37)
On introduit ici la notion d’impédance acoustique comme le rapport en chaque point de l’espace de la
surpression acoustique à la vitesse acoustique normale au front d’onde (soit suivant xe dans le cas
1D) :
( )''
''0
1
1
−+
−+
−
+=
⋅=
ϕϕ
ϕϕρ c
pxZ
xev (38)
On voit immédiatement que les ondes progressives pures (avant ou arrière) ont l’impédance c0ρ± .
La quantité cZ 00 ρ= , caractéristique du milieu de propagation, est appelée l’impédance
caractéristique du milieu. Dans l’air à 273 °K et à la pression atmosphérique (510 Pascals), on a :
12
0 .skg.m424 −−=Z
Dans le cas d’une source à dépendance temporelle harmonique tωie−, de fréquence angulaire ω , la
solution progressive de l’équation d’onde (34) s’écrit, pour le potentiel des vitesses :
( ) kxtc
xt
txii
i
eee, ωω
ϕ −+
−−
++ Φ=Φ= (39)
où ck ω= est le nombre d’onde acoustique.
Ainsi, on a :
++
+ =∂
∂−= ϕωρ
ϕρ 001 i
tp et xx k
xeev +
++ =
∂
∂= ϕ
ϕi1 (40)
Problèmes tri-dimensionnels
Ondes planes. On considère des solutions du même type que celles obtenues à une dimension, i.e. des
ondes qui se propagent suivant une direction 0n (vecteur unitaire) et d’amplitude constante suivant les
directions normales à la direction de propagation. Ce sont des ondes planes puisque les fronts d’onde
(isovaleurs du champ) sont des plans. Ainsi, une onde plane progressive se propageant suivant la
direction 0n sera décrite par le potentiel :
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 18
( )
⋅−= +
ctt
OMnM 0, ϕϕ (41)
On vérifie que cette solution satisfait l’équation d’onde homogène (34). De plus, on a pour la pression
acoustique 1p et le champ des vitesses 1v :
( )
⋅−−= +
cttp
OMnM 0
01 ', ϕρ et ( )
⋅−−= +
ct
ct
OMnnMv 00
1 ', ϕ (42)
0n
M
O
xe
ye
ze
Fig. 13 – Illustration d’une onde plane se propageant dans l’espace suivant 0n .
Le front d’onde est un plan décrit par l’équation Cte0 =⋅
−c
tOMn
Ainsi
0
0
11 nv
c
p
ρ= (43)
L’équation (43) montre que la vitesse acoustique et la pression acoustique d’une onde plane sont en
phase, et que l’impédance acoustique de l’onde plane, 011 nv ⋅= pZ , est égale à l’impédance
caractéristique du milieu c0ρ . .
Une onde plane en régime harmonique à la fréquence angulaire ω s’écrit, pour le potentiel des
vitesses :
( ) OMkM ⋅−+Φ= ii ee, tt
ωϕ (44)
où ( )0nk cω= est le vecteur d’onde acoustique, dont le module correspond au nombre d’onde cω .
Ainsi, on obtient pour la solution onde plane en pression et vitesse acoustique :
=Φ=
=Φ=⋅−+
⋅−+
00
ii
1
0
ii
01
ieei
ieei
nnv OMk
OMk
ϕ
ϕωρωρω
ω
kk
pt
t
(45)
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 19
Ondes sphériques. On considère maintenant des solutions de l’équation d’onde homogène à symétrie
sphérique, ( )t,OMϕ , qui ne dépendent uniquement que de la distance OM=r à l’origine du
système de coordonnées sphériques. Ce sont des ondes sphériques solutions de l’équation :
011
2
2
2
2
2=
∂
∂−
∂
∂
∂
∂
tcrr
rr
ϕϕ. (46)
A partir du changement de fonction ( ) ( ) rtrftr ,, =ϕ , on se ramène à une équation d’onde classique
unidimensionnelle :
01
2
2
22
2
=∂
∂−
∂
∂
t
f
cx
f (47)
dont la solution générale s’écrit :
( )
++
−= −+
c
rtf
c
rtftrf , (48)
i.e. en terme du potentiel des vitesses :
( )
++
−= −+
c
rtf
rc
rtf
rtr
11,ϕ (49)
La solution (49) se décompose en une onde sphérique divergente (ou progressive suivant les r
croissants), ( )
−= ++
c
rtf
rtr
1,ϕ , et en une onde sphérique convergente (ou régressive suivant les r
décroissants), ( )
+= −−
c
rtf
rtr
1,ϕ . Dans le cas d’une propagation en milieu non borné, la
conservation de l’énergie (non-retour de l’énergie acoustique depuis l’infini) conduit à ne conserver
que la partie divergente de l’onde sphérique. Il est à noter que l’amplitude des ondes sphériques
décroît en r1 : la mesure de la décroissance de l’amplitude d’une onde acoustique émise par une
source en fonction de la distance à la source est un moyen pour évaluer l’anéchoïcité d’une salle, i.e.
l’efficacité qu’ont des traitements absorbants disposés sur les parois de la salle à reproduire des
conditions de champ libre (cf. Fig. 8 pour une chambre quasi-anéchoïque).
Pour une onde sphérique divergente émise à partir de l’origine O, la pression et la vitesse
acoustique s’écrivent :
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 20
−−
−−=
−−=
++
+
)('11
)('
021
01
bc
rtf
crc
rtf
r
ac
rtf
rp
nv
ρ
(50)
où le vecteur radial unitaire renr
=0 est normal au front d’onde sphérique. Contrairement à l’onde
plane, les équations (50-a) et (50-b) montrent que pression et vitesse acoustique d’une onde sphérique
ne sont pas en phase. Cependant, loin de la source, le premier terme de (50.b) devient négligeable par
rapport au deuxième terme et on a :
rc
rtf
crev
−−≈ +
'1
1 (51)
de sorte que
rc
pev
0
11 ρ
≈ (52)
Ainsi, en champ lointain, l’onde sphérique divergente devient localement une onde plane qui se
propage suivant le vecteur radial unitaire rer
et on retrouve loin de la source l’égalité des phases entre
pression et vitesse acoustique.
En régime harmonique, une onde sphérique divergente de fréquence angulaire ω s’écrit, pour le
potentiel des vitesses :
( ) krt
rtr
ii ee, ωϕ −+Φ
= (53)
et pour la pression et la vitesse acoustique :
−=
Φ
−=
=Φ
=
−+
−+
rr
krt
krt
rkk
rrkk
rp
eev ϕ
ϕωρωρ
ω
ω
i
11iee
i
11i
ieei
ii
1
0
ii
01
(54)
La condition champ lointain, où l’onde sphérique divergente est assimilable localement à une onde
plane, devient 1>>rk , soit une distance d’observation grande devant la longueur d’onde acoustique
πλ 2>>r où λπω 2== ck .
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 21
1.3.3 Energie et intensité d’une onde sonore Energie acoustique
L’énergie acoustique est définie comme la variation d’énergie produite par le passage d’une
perturbation acoustique au sein d’un milieu fluide parfait, homogène et au repos. La densité totale
d’énergie acoustique, wδ , obtenue comme la valeur moyenne de la perturbation de la densité
d’énergie wδ , est donnée par :
110
2
12
0 2
1
2
1vv ⋅+= ρ
ρδ p
cw (55)
Elle est constituée par la somme d’un terme d’énergie potentielle (lié aux effets de compressibilité du
milieu fluide) et d’un terme d’énergie cinétique (lié à la vitesse des particules fluides autour de leur
position d’équilibre lors du passage de la perturbation).
Démonstration : Soit ( )2vv ⋅+= mew ρ la densité d’énergie acoustique,
me l'énergie interne massique et wδ la
perturbation de la densité d’énergie développée à l’ordre 2.
Comme ( ) ( )vv ,,, ρρ wsw = (isentropie de la perturbation acoustique), alors on a :
[ ] vgradgradvvgradvgrad vvvv δδρδδρ
ρδρ
δρδρ
δ ⋅⋅+⋅
∂
∂+
∂
∂+⋅+
∂
∂= w
www
ww
)1()2(T)1(2
2
2)1(
2
1
Or i
i
vv
wρ=
∂
∂, ji
vv
w
ji
≠=∂∂
∂si0
2
et ρ=∂
∂2
2
iv
w.
Donc, pour un fluide au repos ( 0,0 =iv ), on obtient :
vv δδρρδρ
ρρ
ρδρ
ρδ ⋅+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+= T2
2
2
2
12
2
1
s
m
s
m
s
mm eee
ew
La différentielle première de l’équation d’état fournit la relation :
( ) 212
1
ρρρρ
pee
s
m
s
m
=
∂
∂−=
∂
∂−
On obtient alors : 32
2
3222
2 221
ρρρρρρρρ
pcpppe
sss
m
−=−
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂
En substituant dans le développement à l’ordre 2 de la perturbation d’énergie acoustique, on a :
vv δδρρδρ
ρδρ
δ ⋅++
+= T22
2
1
2
1 cpew
m
Soit avec les notations 2
11 cp== ρρδ et 1vv =δ : :
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 22
110
2
12
0
2
1
0
00
2
11
2
1vv ⋅++
+= ρρρ
δ pcc
ppew
m
La valeur moyenne de la surpression acoustique est généralement nulle, la densité totale d’énergie acoustique s’écrit alors :
110
2
12
0 2
1
2
1vv ⋅+= ρ
ρδ p
cw
ce qui démontre l'équation (55).
Exemple important : Dans le cas de la propagation d’une onde plane ou d’une onde sphérique
divergente en champ lointain, on a montré en 1.3.2 que :
0
0
11 nv
c
p
ρ=
où 0n est le vecteur normal unitaire perpendiculaire au front d’onde. Après substitution dans (55), la
valeur moyenne dans le temps de la densité d’énergie d’une onde plane vaut :
110
2
12
0
1vv ⋅== ρ
ρδ p
cw (56)
On a équipartition de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle, représentative du caractère
propagatif de l’onde sonore.
Intensité acoustique
L’intensité acoustique est une grandeur vectorielle, analogue en Electromagnétisme au vecteur de
Poynting, dont le flux à travers une surface correspond à la puissance acoustique rayonnée. Pour un
fluide parfait, l’intensité acoustique est définie par :
11 vI p= (57)
D’après (27.b), on a : t
p∂
∂−= 1
0
)1( vgrad ρ
Et d’après (26.a) et (26.c), on a : ( )t
p
ct ∂
∂−=
∂
∂−= 1
2
0
1
0
1
11div
ρ
ρ
ρv
D’où : ( )
+⋅
∂
∂−=
∂
∂−
∂
∂⋅−= 2
12
0
1101
12
0
11011
1
2
1
2
11div p
ctt
pp
ctp
ρρ
ρρ vv
vvv
On obtient alors une équation de conservation de l’énergie en dehors des sources :
( ) ( )wt
δ∂
∂−=Idiv (58)
qui traduit le fait que la variation temporelle de la densité d'énergie totale contenue dans un domaine
fluide est équilibrée par le flux d'énergie acoustique sortant du volume considéré et associé localement
à la divergence du vecteur intensité acoustique I .
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 23
En intégrant l'expression (58) sur un volume fermé par une surface Σ de normale unitaire n , on
remarque, d’après le théorème d’Ostrogradsky, que le flux de la composante suivant n du vecteur
intensité acoustique est égal à la variation de l’énergie acoustique totale contenue dans le volume
délimité par Σ , i.e. à la résultante de la puissance acoustique W des sources (ou des puits) à l’intérieur de Σ , soit :
SVwt
23 ddW ∫∫∫∫∫ΣΩ
⋅=∂
∂−= nIδ (59)
La présence de sources à l’extérieur de Σ a un bilan net d’énergie égal à 0. En pratique, la mesure par
balayage de l’intensité acoustique émise par une source sur une surface entourant cette source permet
d’obtenir dans le domaine fréquentiel le spectre de la puissance acoustique rayonnée par la source.
Fig. 14 - Sonde intensimétrique (détail des deux microphones placés têtes bêche, à gauche) et
positionnement de la sonde pour mesurer l’intensité acoustique transmise puis, par balayage et
intégration de (59) sur la surface de la vitre, la puissance acoustique rayonnée par une vitre
séparant deux locaux (à droite).
1.3.4 Interfaces
En pratique, les milieux continus ne sont homogènes que sur des portions limitées de l’espace, sont
souvent bornés ou contiennent des inclusions, obstacles…Il est alors nécessaire de formuler des
conditions aux interfaces. On distinguera deux types d’interfaces : l’interface entre deux milieux
propagatifs, et l’interface avec un milieu non propagatif.
La dérivation des équations locales de conservation de la masse (16) et de l’impulsion (17) à partir de
leur formulation intégrale en présence de discontinuités du milieu fait apparaître des conditions de saut
des grandeurs physiques de part et d’autre des discontinuités qui peuvent représenter des interfaces,
mais aussi des ondes de choc.
xeA
Micro
B
Micro
21
BA ppp
+ť
xAB
x
ppev
−≈•
δωρ0
1i
1
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 24
Détail : Les formulations intégrales s'obtiennent à partir de la notion de dérivée d'une intégrale de volume où Σ désigne la
surface de discontinuité (animée d'une vitesse V et munie en tout point d'un vecteur unitaire n normal à la surface) et où
[ ]ΣΦ désigne le saut de la grandeur Φ à la traversée de Σ :
• Conservation de la masse :
( )( ) ( )[ ] Ω∀=Σ⋅−−Ω+=Ω ∫∫∫∫∫∫∫∫Σ
Σ
ΩΩ
,0dddivd 233 nVvv ρρρρ &dt
d (60)
L'annulation de l'intégrale de volume conduit à la forme locale (16) de l'équation de conservation de la masse.
L'annulation de l'intégrale de surface conduit à une première condition d'interface :
( )[ ] 0=⋅− ΣnVvρ (61)
• Conservation de la quantité de mouvement :
( ) Ω∀Ω=Ω ∫∫∫∫∫∫ΩΩ
,dd 3)1(3σdivvρ
dt
d (62)
soit
( )( ) ( )( )[ ] Ω∀=Σ⋅−−⊗−Ω− ∫∫∫∫∫Σ
Σ
Ω
,dd 23)1( 0nσVvvσdivv ρρ & (63)
L'annulation de l'intégrale de volume conduit à la forme locale (17) de l'équation de conservation de l'impulsion.
L'annulation de l'intégrale de surface conduit à une deuxième condition d'interface:
( )( )[ ] 0nσVvv =⋅−−⊗ Σρ (64)
Interface entre deux milieux propagatifs non miscibles
Il n'y a pas de transfert de matière au travers de l'interface, donc on a de manière générale
nVnv ⋅=⋅ de part et d'autre d'une interface avec glissement, et Vv = de part et d'autre d'une
interface sans glissement. Dans les deux cas, la condition d'interface (61) est satisfaite et la condition
d'interface (64) se réduit à [ ] 0nσ =⋅ Σ .
En résumé, les conditions générales de continuité à l’interface Σ entre deux milieux s'écrivent :
• Pour une interface sans glissement (par exemple, solide – solide collés, fluide visqueux –
solide, fluide visqueux – fluide visqueux) :
o continuité des vitesses normales et tangentielles : [ ] 0=Σv (65)
o continuité des composantes normales et tangentielles du vecteur contrainte
nσC ⋅= : [ ] 0T =⋅⋅ Σnσn et [ ] 0T =⋅⋅ Σnσt (66)
• Pour une interface avec glissement (par exemple, solide – solide glissants, fluide parfait –
solide, fluide parfait – fluide visqueux, fluide parfait – fluide parfait) :
o continuité des vitesses normales : [ ] 0=⋅ Σnv (67)
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 25
o continuité des composantes normales et tangentielles du vecteur contrainte :
[ ] 0T =⋅⋅ Σnσn et [ ] 0T =⋅⋅ Σnσt (68)
En Acoustique des fluides parfaits (non visqueux, donc pas de composante tangentielle), on s’intéresse
en général aux interfaces avec glissement. Après linéarisation selon (25) des conditions de continuité
(67-68), on obtient les conditions de continuité acoustique :
o Continuité des vitesses acoustiques normales : [ ] 01 =⋅Σ
nv (69)
o Continuité des contraintes acoustiques normales : [ ] 01
T =⋅⋅Σ
nσn (70)
Exemple : La condition de continuité de la composante normale du vecteur contraintes (68) à
l’interface entre un fluide parfait (non-visqueux) [noté (2)] et un solide élastique [noté (1)] s’écrit :
( ) ( ) nσn ⋅⋅=− 2
1
T1
1p (71)
Les conditions générales de continuité aux interfaces entre deux fluides parfaits s’écrivent :
• Continuité des vitesses acoustiques normales : [ ] 01 =⋅Σ
nv (72)
• Continuité des pressions acoustiques : [ ] 01 =Σ
p (73)
soit en fonction du potentiel des vitesses :
[ ] 0)1( =⋅ Σngrad ϕ et [ ] 00 =Σ
ϕρ (74)
ou de la pression acoustique :
01
1
)1(
0
=
⋅
Σ
ngrad pρ
et [ ] 01 =Σ
p (75)
Interface avec un milieu non-propagatif
Ce cas de figure est fréquemment rencontré en Acoustique des Salles (traitement absorbant des
parois), en Acoustique des Nacelles dans le domaine de l’Aéronautique (Liners des turboréacteurs),
etc…La surface du matériau absorbant (de type matériau poreux, tôle perforée, nid d’abeille…) est
souvent assimilée à une surface à réaction localisée, i.e. une surface telle que le champ acoustique en
un point donné de la surface ne dépend que des propriétés de cette surface en ce point.
Ces propriétés sont représentées par l’impédance acoustique (38) de la surface ou impédance
acoustique normale définie comme le rapport entre la pression acoustique et la vitesse acoustique
normale en un point de la surface Σ considérée :
Σ⋅
=nv1
1pZ n (76)
Cas d’une onde plane harmonique de fréquence angulaire ω . D’après l’équation de conservation de
l’impulsion (26-b) substituée dans (76), on obtient :
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 26
Σ∂
−=1
10i
p
pZ n
n
ρω où 1
)1(
1 pp gradnn ⋅=∂
soit la condition aux limites pour une interface avec un matériau à réaction localisée :
011 =+∂ΣΣ
pik
pnξ
n (77)
où 0ZZnn =ξ est l’impédance normale spécifique du matériau. Des modèles empiriques ou
théoriques qui décrivent la variation de l’impédance normale spécifique d’un matériau en fonction de
la fréquence ont été établis pour divers types de matériaux (Delany & Bazley : laine de roche, sol
herbeux… ; Maa : micro-perforés…).
1.3.5 Les sources acoustiques
Les sections (1.3.1) et (1.3.2) ont été consacrées à l'établissement de l'équation de propagation des
ondes acoustiques (28) et à la recherche de sa solution dans un volume Ω du domaine fluide supposé
ne contenir aucune source acoustique. Cependant, en l'absence de sources acoustiques, aucune onde
sonore ne serait créée ! On considèrera alors que les équations de l'acoustique linéaire (26-a) et (26-b)
sont satisfaites dans un domaine de propagation situé à l'extérieur des surfaces qui contiennent les
sources. En effet, comme nous allons le voir, la plupart des sources acoustiques sont surfaciques et
dues à l'action (cinématique ou dynamique) de corps solides sur le fluide environnant.
La surface d'un corps solide générateur de bruit (membrane d'un haut-parleur, aube de compresseur,...)
peut être paramétrée par l'équation ( ) 0, =tS M avec 0>S dans le domaine de propagation et 0<S
dans le corps solide. Les équations (26-a) et (26-b) peuvent alors s'écrire :
( ) ( )
( ) )(H
)(0divH
1
)1(10
101
bpt
S
at
S
0gradv
v
=
+
∂
∂
=
+
∂
∂
ρ
ρρ
(78)
où ( )SH est la fonction de Heaviside égale à 0 dans le corps solide ( 0<S ) et égale à 1 dans le
domaine de propagation ( 0>S ). Recherchons les équations satisfaites par les grandeurs 1H p , 1Hρ
et 1Hv définies partout. Les seconds membres de ces équations vont nécessairement faire apparaître
des termes sources liés à la discontinuité des grandeurs physiques de part et d'autre de la surface
solide. On obtient alors :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) )(δHHH
)(δdivHHdivH
)1(
110
0
1
)1(101
)1(10
)1(
101
0
101
101
bSSpt
Sp
tSp
t
aSSt
S
tS
t
+
∂
∂+
+
∂
∂=+
∂
∂
⋅+
∂
∂+
+
∂
∂=+
∂
∂
=
=
gradvgradv
gradv
gradvvv
ρρρ
ρρρρ
ρρ
4444 34444 21
4444 34444 21
(78)
où on a utilisé les propriétés suivantes :
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 27
( )t
SS
t
S
St ∂
∂=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂δ
HH et ( ) SSS
S
)1()1()1(δ
HH gradgradgrad =
∂
∂=
avec ( )Sδ la distribution de Dirac ( ( ) 0δ =S si 0≠S et ( ) ∞→Sδ si 0=S ) [7].
Les équations non homogènes (79-a) et (79-b) ci-dessous sont satisfaites en tout point de l'espace et
généralisent les équations (26-a) et (26-b) en faisant apparaître les termes sources définis uniquement
sur la surface du corps solide où ( ) 0δ ≠S :
( ) ( )
( ) ( ) )(δHH
)(δHdivH
1
)1(10
101
bSpt
aSqt
fgradv
v
=+∂
∂
=+∂
∂
ρ
ρρ
(79)
avec Sq)1(
10 gradv ⋅= ρ et Sp)1(
1 gradf = si la surface du corps solide est fixe ( 0=∂∂ tS ).
Clairement, q est une densité surfacique de débit massique et f est associé localement à une densité
surfacique de force. Eliminons 1v entre (79.a) et (79.b) en appliquant l’opérateur
( )t
ab
∂
∂−⋅
)()1(grad , conduisant à l’équation d’onde généralisée satisfaite en tout point de l'espace :
( ) ( )St
q
t
p
cp δdiv
H1H
2
1
2
21
+
∂
∂−=
∂
∂−∆ f (80)
Intéressons-nous aux sources acoustiques de l’équation (80). Le premier terme source
Stt
q )1(10 grad
v⋅
∂
∂−=
∂
∂− ρ est lié aux fluctuations non-stationnaires de vitesse de la surface d'un
corps solide (vibrations en piston d'une membrane de haut-parleur bafflé, jet d'air intermittent d'une
sirène). C'est le caractère non-stationnaire des fluctuations de vitesse (et donc de débit masse) générées
par de telles sources dans le milieu fluide qui crée d'après (79-a) une divergence du flux de vitesse
acoustique. Grâce à la compressibilité du milieu fluide, cette divergence est équilibrée par une
variation temporelle de la pression, d'où la génération d'une onde acoustique de compression qui se
propage de proche en proche dans le milieu fluide. Ces sources volumétriques (ou cinématiques) sont
dites de type monopolaires car elles peuvent être modélisées par le rayonnement omnidirectionnel de
sphères pulsantes de débit masse donné.
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 28
Fig. 15 - Rayonnement acoustique d'un haut-parleur bafflé en basse fréquence (gauche)
et rayonnement acoustique d'un monopôle (droite).
Le deuxième terme source ( )Sp)1(
1div grad résulte des variations spatiales des efforts exercés par le
corps solide sur le milieu fluide environnant. D'après (79-b), cette non-uniformité des pressions à la
surface du corps solide va être résorbée, mais avec un certain retard lié à l'inertie du fluide, ce qui va
conduire à la propagation d'une onde sonore dans le milieu fluide. On trouve dans cette catégorie les
sources dynamiques de type dipolaires qui peuvent être modélisées par le rayonnement directif ("en
8") de deux monopoles en opposition de phase, moins efficace que les sources monopolaires. La
plupart des sources surfaciques aéroacoustiques liées à la non-uniformité des efforts aérodynamiques
exercés par un corps rigide en mouvement sur le milieu fluide environnant (bruit de charge des pâles
de ventilateurs, bruit de soufflante des ailettes de compresseurs d’un turboréacteur) sont des sources de
bruit de nature dipolaires. Citons également le bruit émis par l'oscillation (et les fluctuations de
pression générées) de part et d'autre d'une lame de carillon, ou d'une branche d'un diapason. Comme
un diapason possède deux branches, son rayonnement lorsqu'il répond sur sa fréquence de résonance à
440 Hz (note A) est modélisable par deux dipôles alignés dans le plan des branches (quadripôle
longitudinal). Lorsqu'on le fait pivoter, on perçoit clairement deux maxima de niveaux de pression
dans l'axe du diapason et deux zones de silence dans le plan perpendiculaire aux branches, comme
illustré par la simulation de la figure ci-dessous.
Fig. 16 - Accordeur diapason (gauche) et son rayonnement acoustique "en 8" à 440 Hz (droite).
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 29
1.4 Ondes élastiques dans les solides
On étudie la propagation isentropique d’ondes dans un solide homogène élastique isotrope non
dissipatif. Dans un milieu fluide, seule une onde acoustique longitudinale de compression se propage,
liée aux mouvement des particules fluides suivant la direction de propagation. Dans un solide
élastique, comme nous allons le montrer, une onde transversale de cisaillement se propage en plus et
indépendamment de l’onde de compression. Le mouvement des particules associé à cette onde
s’effectue alors dans une direction perpendiculaire à la direction de propagation. Le couplage entre ces
deux types d’ondes s’effectue au niveau des sources ou des interfaces.
1.4.1 Equation de propagation des ondes élastiques
On linéarise à l’ordre 1 les équations de conservation de la masse (1) et de l’impulsion (4) données
par :
( ) 0div =+∂
∂vρ
ρ
t
( ) 0σdivvvgradv
=−
⋅+
∂
∂ )1()2(
tρ
On obtient après linéarisation :
( ) 0div 101 =+
∂
∂vρ
ρ
t (81)
( ) 0σdivv
=−∂
∂1
)1(10
tρ (82)
La loi de comportement (9) dans un solide élastique homogène isotrope s’écrit :
111 2Tr εGεσ µλ += (83)
Si on choisit comme variable le déplacement 1u d’un point du solide élastique par rapport à sa
position d’équilibre lors du passage de l’onde, alors on a :
• pour le champ de vitesse : t∂
∂= 1
1
uv
• pour le tenseur des déformations : ( )1
T)2(
1
)2(
12
1ugradugradε +=
qui est une approximation à l’ordre 1 du tenseur de Green-Lagrange.
• pour la trace du tenseur des déformations :
( ) ll
l
l
x
uε=
∂
∂==⋅= 11
)1(
1 divTr uugradε
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 30
On omet dans la suite l’indice « 1 » pour alléger les écritures. Les composantes du vecteur divergence
dans (82) s’écrivent :
( )[ ]j
ij
ix∂
∂=
σσdiv )1(
soit, en fonction du tenseur des déformations :
j
ij
i
ll
j
ij
j
ijll
j
ij
xxxxx ∂
∂+
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂ εµ
ελ
εµ
δελ
σ22
Or,
∂
∂+
∂
∂=
i
j
j
iij
x
u
x
u
2
1ε
D’où :
( )2
222
2
22
j
i
ji
j
ji
j
j
i
li
l
j
ij
x
u
xx
u
xx
u
x
u
xx
u
x ∂
∂+
∂∂
∂+=
∂∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂=
∂
∂µµλµλ
σ
c’est-à-dire sous forme vectorielle :
( ) ( ) ( )[ ] uugradσdiv ∆++= µµλ div)1()1(
On obtient l’équation linéarisée de propagation des ondes élastiques dans un milieu solide :
( ) ( )[ ] 0uugradu
=∆−+−∂
∂µµλρ div)1(
2
2
0t
(84)
Exemple : Cherchons une solution de l’équation homogène sous forme d’onde plane progressive se propageant dans la
direction des x croissants dans un repère cartésien. Les composantes du vecteur déplacement, solutions de (84) ne
dépendent pas de y et de z . L’équation de propagation (84) se réduit à :
suivant x : ( )
( )( ) 2
2
2
2
0121
1
x
uE
t
u xx
∂
∂
+−
−=
∂
∂
υυ
υρ
suivant y : ( ) 2
2
2
2
012 x
uE
t
u yy
∂
∂
+=
∂
∂
υρ
suivant z : ( ) 2
2
2
2
012 x
uE
t
u zz
∂
∂
+=
∂
∂
υρ
On remarque que chacune des équations est une équation de propagation du type (28) faisant intervenir deux vitesses de
propagation, l’une pour la composante longitudinale du déplacement, xu , et l’autre pour les composantes transversales yu
et zu . On va démontrer dans le cas général que toute onde de déformation se propageant dans un solide peut être
décomposée en une onde longitudinale et une onde transversale.
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 31
alelongitudin
ncompressio de Onde xe
u
Lu
Tu
xe
liquide)ou (gaz fluideun dans sacoustique ondesd'n Propagatio solideun dans élastiques ondesd'n Propagatio
ondel' de passage
au lié molécules
desMouvement
letransversa
ntcisailleme de Onde
Fig. 16 - Propagation d'ondes acoustiques dans un fluide (gauche)
et d'ondes élastiques dans un solide (droite).
1.4.2 Ondes de compression et ondes de cisaillement
Sans restrictions, on peut décomposer le champ de déplacement en un terme potentiel dont le
rotationnel est nul et un terme rotationnel dont la divergence est nulle.
Posons : TL uuu += avec ϕ)1(gradu =L et ψrotu )1(=T ,
de sorte que 0urot =L
)1( et ( ) 0div =Tu .
ϕ et ψ sont les potentiels scalaires et vecteurs du champ de déplacement.
Reportons cette décomposition dans l’équation homogène de propagation (84) :
( ) ( )[ ]
( ) 0ψrotgrad
ψrotgradgradψ
rotgrad
=+∆−
++−
∂
∂+
∂
∂
)1()1(
)1()1()1(
2
2)1(
2
2)1(
0 div
ϕµ
ϕµλϕ
ρtt
A partir des propriétés de commutativité des opérateurs ∆ – grad et ∆ – rot et sachant que
( ))1(div grad=∆ et ( ) 0div )1( =rot , on en déduit :
( ) ( ) 0ψrotψ
rotgradgrad =
∆−∂
∂+
∆+−∂
∂ )1(
2
2)1(
0
)1(
2
2)1(
0 2 µρϕµλϕ
ρtt
ou encore :
( ) 0ψψ
rotgrad =
∆−∂
∂+
∆+−∂
∂µρϕµλ
ϕρ
2
2
0
)1(
2
2
0
)1(2
tt
Il est nécessaire et suffisant que les champs scalaires et vectoriels soient nuls pour que cette équation
soit satisfaite.
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 32
On obtient donc :
( )
=∆−∂
∂
=∆+−∂
∂
0ψψ
µρ
ϕµλϕ
ρ
2
2
0
2
2
0 02
t
t (85)
Ces deux équations découplées sont des équations d’onde de la forme :
=∂
∂−∆
=∂
∂−∆
0ψ
ψ2
2
2
2
2
2
1
01
tc
tc
T
L
ϕϕ
(86)
qui régissent la propagation de deux types d’onde dans le solide :
• Une onde longitudinale, ϕ)1(gradu =L , qui oscille le long de la direction de propagation et
qui se propage avec une célérité :
( )( )( )υυρ
υ
ρ
µλ
211
12
00 −+
−=
+=
EcL (87)
• Une onde transversale, ψrotu )1(=T , à divergence nulle (donc associée à aucun effet de
compression-dilatation, contrairement aux ondes longitudinales), qui oscille dans une direction
perpendiculaire à Lu et qui se propage avec une célérité :
( )υρρ
µ
+==
12 00
EcT (88)
On remarque que les ondes longitudinales sont toujours plus rapides que les ondes transversales. En
effet, on a :
( )( ) µ
λ
υ
υ+=
−
−= 2
21
12
T
L
c
c
de sorte que : TL cc 2≥ puisque les coefficients de Lamé sont toujours positifs.
Par exemple, pour l’aluminium, on a 1m.s6361 −=Lc et
1m.s3132 −=Tc . Le rapport entre les deux
vitesses est donc égal à : 03.2=TL cc .
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 33
Pour le verre, on a 1m.s5800 −=Lc et
1m.s3400 −=Tc . Le rapport entre les deux vitesses est donc
égal à : 71.1=TL cc .
En sismique, les ondes de compression dans le sol sont également appelées ondes primaires (ondes-P)
du fait qu’elles précèdent toujours les ondes transversales de cisaillement, également appelées ondes
secondaires (ondes S).
Fig. 17 - Variations du rapport TL cc en fonction du coefficient de Poisson du solide.
La courbe de la Fig. 17 permet de confirmer le fait que TL cc 2≥ . De plus, la célérité des ondes
transverses tend vers zéro lorsque le coefficient de Poisson tend vers 0.5. Dans ce type de matériau
(PVC), les ondes transverses sont très lentes et surtout plus atténuées que les ondes de
compression de sorte qu'on observe essentiellement la propagation d’ondes longitudinales.
Remarquons que le système d’équations d’onde (86) est également satisfait par les composantes
longitudinales et transversales du champ de déplacement, représentées Fig. 18 :
=∂
∂−∆
=∂
∂−∆
0u
u
uu
2
2
2
2
2
2
1
01
tc
tc
T
T
T
L
L
L
(89)
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 34
Fig. 18 - Ondes de volume Primaires et Secondaires qui se propagent dans un milieu solide.
1.5 Références bibliographiques [1] Filippi P., Habault D., Lefebvre J.-P. and Bergassoli A. (1999) Acoustics: Basic Physics, Theory
and Methods, Academic Press.
[2] Pierce A. D. (1994) Acoustics : An Introduction to its Physical Principles and its Applications,
American Institute of Physics.
[3] Bies D. A. & Hansen C. H. (1996) Engineering Noise Control : Theory and Practice, Spon
Press.
[4] Fahy F. (2001) Foundations of Engineering Acoustics, Academic Press.
[5] TUTORIAL EN ACOUSTIQUE (C. Maury et al.)
http://www.isvr.soton.ac.uk/SPCG/Tutorial/Tutorial/StartCD.htm
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 35
Travaux Dirigés
de P1 - Acoustique
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 36
13 LE RESONATEUR DE HELMHOLTZ Ce type de résonateur, représenté figure 1, est constitué d’un tube de section S , de longueur L , fermé
en 0=x et Lx = . La paroi supérieure en Lx = est percée en son centre d’un petit trou de section s
auquel on raccorde un col de longueur l . Ses dimensions sont supposées très petites par rapport à la
longueur d’onde acoustique.
Figure 1 – Schéma d’un résonateur de Helmholtz.
On suppose que le tube et le col sont parcourus par des ondes planes harmoniques progressives
(suivant les x-croissants) et régressives (suivant les x-décroissants). Pour chaque élément (tube ou col),
la pression acoustique est donc de la forme :
( ) ( ) tkxkxBAtxp
ω-iii eee; −+=
1. Donner les expressions de la pression et de la vitesse acoustique pour chaque élément du
résonateur, faisant apparaître 4 amplitudes inconnues.
2. Ecrire les conditions aux limites :
• Tube rigide fermé en 0=x ;
• Continuité des pressions et du débit acoustique (flux du vecteur vitesse
acoustique) en Lx = ;
• Tube ouvert en lLx += ;
3. En déduire l’équation satisfaite par le nombre d’onde acoustique pour lequel le système
homogène obtenu en 2 admet une solution non triviale. Les nombres d’ondes associés
conduisent aux fréquences propres du résonateur de Helmholtz.
4. En déduire la première fréquence propre du résonateur (dite fréquence de Helmholtz du
résonateur) dans l’approximation λ<<lL, .
5. Retrouver la fréquence de Helmholtz 0f par une analogie masse – ressort : l’air dans le
col est supposé incompressible (masse) alors que l’air dans le tube est supposé
compressible (ressort).
x
s
S
L
l
O
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 37
6. Montrer à l’aide du graphe de la figure 3 que les fréquences propres d’ordre supérieur
tendent rapidement vers les fréquences de résonance (fréquences de cavité) du tube fermé
à ses deux extrémités.
Figure 2 – Résolution graphique de l’équation aux fréquences propres d’un résonateur de Helmholtz
( cLx ω= , 1.0=== SsLlε )
(trait plein : tube fermé ; pointillés : résonateur de Helmholtz)
7. Calculer et comparer à 27°C la fréquence de Helmholtz et les fréquences de cavité d’une
bouteille de volume V = 750 cm3, de hauteur L = 20 cm, de section carrée de 6.12 cm de
coté, et dont le goulot a une longueur de 5.5 cm et un rayon de 1 cm.
Suivant les dimensions et les caractéristiques du col et de la cavité, le rôle du résonateur peut être très différent :
amplification ou atténuation du son aux fréquences propres du résonateur. En tant qu’amplificateur, un exemple simple est la
résonance du son créé (typiquement vers 150 Hz) lorsqu’on souffle dans le haut d’une bouteille vide. Citons également les
cavités sphériques résonantes de Helmholtz présentées figure 4 (premier analyseur de spectre des sons, créé en 1850 par
Helmholtz). Elles permettent une analyse fréquentielle des sons : on place successivement dans l’oreille les divers résonateurs
(via l’appendice creux) et on repère ceux qui donnent une sensation de renforcement considérable du son complexe émis par
une source externe lorsque l’une des fréquences émises
coïncide avec la première fréquence propre du résonateur.
En tant qu’atténuateur, le résonateur de Helmholtz est
utilisé sous la forme de silencieux dans les lignes
d’échappement d’automobile ainsi qu’en cellules
d’absorption intégrées dans des parpaings creux à fentes qui
composent les parois d’une salle.
Figure 3 – Cavités sphériques résonantes de Helmholtz
0f cav.,1f cav.,2f .cav,3f cav.,4f
ECOLE CENTRALE MARSEILLE 38
14 INSTRUMENTS A VENTS – PROPAGATION
ACOUSTIQUE DANS LES TUYAUX SONORES Les gammes de fréquence émises par les instruments à vent (à biseau ou à anche) sont liées aux états
de résonance du volume d’air contenu dans le conduit de l’instrument. Les fréquences auxquelles
apparaissent ces résonances (ou fréquences propres du tuyau sonore) dépendent de la longueur efficace
du tuyau et du nombre de trous que l’on peut ouvrir ou boucher. Nous allons étudier les modes
acoustiques d’un conduit en fonction de sa forme et de l’état ouvert ou fermé de ses extrémités.
On considère une onde plane harmonique qui se propage dans un tube de longueur finie L . On
observe la propagation unidimensionnelle d’ondes sonores progressives et régressives (liées à
l’excitation et aux réflexions aux extrémités) dont la superposition donne lieu à régime d’ondes
stationnaires décrit par :
( ) ( ) tkxptxp
ωϕ i
0 esin; −−=
où ϕ est un terme de phase dont le choix est lié à celui d’une origine pour la propagation.
1. En déduire les expressions de la vitesse et de l’impédance acoustique pour un tuyau.
2. Tout instrument à vent impliquant des tuyaux sonores nécessite une ouverture à
l’extrémité Lx = où la pression totale est égale à la pression atmosphérique. Calculer
dans ce cas le terme de phase et donner les expressions correspondantes pour la pression,
la vitesse et l’impédance acoustique.
3. Calculer les fréquences propres (ou harmoniques) d’un tuyau sonore ouvert à ses deux
extrémités 0=x et Lx = . Les flûtes traversières et les flûtes à bec sont des instruments de ce type.
4. Calculer les harmoniques d’un tuyau sonore fermé en 0=x et ouvert en Lx = . La
clarinette est un instrument de ce type. Elle a la faculté (tout comme le didgeridoo) de basculer directement de
la fréquence fondamentale vers une fréquence triple du fondamental : c’est ce qu’on appelle le quintoiement.
On considère un tube conique fermé à son sommet et ouvert à sa base, représentatif d’instruments de
type hautbois et saxophones. On observe la propagation d’ondes sphériques unidimensionnelles de la
forme :
( ) ( ) t
kx
kxptxp
ωϕ i
0 esin
; −−=
Figure 1 – Tuyau sonore conique.
5. Calculer les expressions de la vitesse et de l’impédance acoustique pour ce tuyau.
6. On suppose le cône ouvert en Lx = dans sa partie évasée et fermé au sommet ( 01 =Z
en 0=x ). En déduire les harmoniques du tuyau conique. Comparer aux harmoniques de la
flûte et de la clarinette.
0=x Lx = x
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