Réalisé par :Réalisé par :

BOUKHERCHA

Yasmine 2emme année

GR GR : 05

Encadré par:Encadré par:

Mme Boumansour R

Mme Dahimene F.

Mlle Cherchali N.

ECOLE POLYTECHNIQUE D’ARCHITECTURE ET D’URBANISME

Année universitaire : 2005/2006

Introduction• I Historique du nombre d’or : -Mythes et recherches II LE NOMBRE d’OR - Ses propriétés (algébriques et géométriques) - Dans la nature - Dans les arts• III LE NOMBRE D’OR EN

ARCHITECTURE: -Le Corbusier et le MODULOR : Le rationalisme

. architecturale

• De tout temps, l’homme a cherché a retrouvé la symbiose de la nature dans ses créations, et a rechercher ardemment des normes qui lui assureraient l’équilibre et l’harmonie esthétique de ces produits.

• Tout ces efforts ont toujours convergé vers un module, un nombre,aussi essentiel qu’il n’est étonnant et mystérieux, qu’on appelle communément NOMBRE D’OR

Recherches antérieures et mythes

• L'apparition du nombre d'or remonte à la préhistoire. Ayant appris à diviser un cercle en 5 ou en 10, les hommes en vinrent au pentagone et au décagone , et dès lors ils avaient sous les yeux le nombre d'or.

• Il y a 10 000 ansIl y a 10 000 ans : : Première manifestation humaine de la connaissance du nombre d'or (temple d'Andros découvert sous la mer des Bahamas).

• 2800 av JC2800 av JC : : La pyramide de Kheops a des dimensions qui mettent en évidence l'importance que son architecte attachait au nombre d'or.

• Vè siècle avant J-C. (447-432 av. JC)Vè siècle avant J-C. (447-432 av. JC) : Le sculpteur grec Phidias l’utilise pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d'Athéna Parthénos .

• IIIè siècle avant J-C.IIIè siècle avant J-C. : Euclide évoque le partage d'un segment en "extrême et moyenne raison" dans le livre VI des Eléments.

• 1498 :1498 : Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématiques, écrit De divina proportione ("La divine proportion").

• Au XIXème siècle :Au XIXème siècle : Adolf Zeising (1810-1876), docteur en philosophie et professeur à Leipzig puis Munich, parle de "section d'or" (der goldene Schnitt) et s'y intéresse non plus à propos de géométrie mais en ce qui concerne l'esthétique et l'architecture. Il cherche ce rapport, et le trouve (on trouve facilement ce qu'on cherche ...) dans beaucoup de monuments classiques. C'est lui qui introduit le côté mythique et mystique du nombre d'or.

• Au début du XXème siècleAu début du XXème siècle : Matila Ghyka, diplomate roumain, s'appuie sur les travaux du philosophe allemand Zeising et du physicien allemand Gustav Theodor Fechner ; ses ouvrages L'esthétique des proportions dans la nature et dans les arts (1927) et Le Nombre d'or. insistent sur la prééminence du nombre d'or et établissent définitivement le mythe .

• Au cours du XXème siècleAu cours du XXème siècle : des peintres tels Dali et Picasso, ainsi que des architectes comme Le Corbusier, eurent recours au nombre d'or.

• 1945 :1945 : Le Corbusier fait breveter son Modulor qui donne un système de proportions entre les différentes parties du corps humain.

Vitruve, architecte romain 1er siècle avant notre ère et qui a étudié les proportions du corps humain déclare qu’il y a section d’or quand

« Il y a de la petite partie à la grande, le même rapport que la grande au tout. »

Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand,

comme elle est toute entière relativement au plus grand segment,

ainsi est le plus grand relativement au plus petit.

Euclide, Eléments, livre VI, 3ème définition.

Le partage en "extrême et moyenne raisonextrême et moyenne raison" d'un segment

Euclide (365 - 300 av. J.C.)

Soit A, B, et C trois points sur une droite;

si le point C est tel que :

il est alors le point d'or ou section dorée du segment AB.

• Kepler, Johannes (1571-1630), astronome et physicien allemand, célèbre pour ces lois en astrophysique

Kepler appela la proportion précédente "divine proportion".

Il en détermina la valeur:

Si x et 1 sont les longueurs des segments AC et CB respectivement.

Si x et 1 sont les longueurs des segments AC et CB respectivement.

2 solutions:

• La solution positive est le nombre d'or; il est représenté par la lettre grecque Ø (phi); en hommage au sculpteur grec Phidias (490 430 av J.C) qui décora le Parthénon à Athènes

Ø= 1.618Les 100 premières décimales du nombre d'or sont : 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179 805 762 862 135 448 622 705 260 462 189 024 497 072 072 041

Le record de calcul des décimales date de 1998 et a été réalisé par Simon Plouffe : 10 000 000 décimales (29 minutes de calcul).

• Fibonacci (1175 - 1240) ,Léonardo Pisano, ou Léonard de Pise.

• Fibonacci vient de filius Bonacci qui veut dire fils de Bonacci.(Bonacci signifie chanceux , de bonne fortune)

c’est l'un des plus grands mathématiciens du Moyen-Âge.Il a introduit la numération décimale et l'écriture arabe des chiffres en Occident, en ramenant dans son livre Liber abaci, les connaissances acquises en Algérie où travaillait son père.

La suite de Fibonacci et le nombre d'or

célèbre problème de prolifération des lapins dû au mathématicien italien "Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin de chaque mois si commençant avec un couple, chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel devient productif au second mois de son existence ?" Au premier mois, il y aura 1 couple. Au deuxième, il y aura 1 couple. Au troisième mois, il y aura 2 couples. Et ainsi de suite pour obtenir la suite de Fibonacci : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; 144 ; 233 ; 377 ;....

dont chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent.1+1=2 1+2=3 2+3=5 5+3=8 ……etc.

En prenant les rapports de deux nombres successifs de la suite, on constate que ces rapports se rapprochent du nombre d’or

• Au moyen âge, les bâtisseurs de cathédrales utilisaient une pige constituées de cinq tiges articulées, correspondant chacune à une unité de mesure de l'époque, relatives au corps humain

•Pour passer d'une mesure à la suivante, on peut constater que l'on multiplie par le nombre d'or , environ 1,618.

PROPRIETES

Carré du nombre d'or

Pour calculer le carré du nombre d'or, il suffit de lui ajouter 1

Inverse du nombre d'orPour calculer l'inverse du nombre d'or, il suffit de lui soustraire 1 :

Puissances du nombre d'or

Les coefficients ne sont autres que les nombres de Fibonacci.

Pour obtenir une puissance du nombre d'or, il suffit de connaître les deux puissances précédentes et de les additionner, ce qui est exactement le procédé de construction de la suite de Fibonacci !

EN GEOMETRIE

Le rectangle d’or

On appelle rectangle d'or, un rectangle dont le rapport entre la longueur et la largeur vaut le nombre d'or.

pointer l'un des deux angles opposés, puis de rabattre l'arc de cercle sur la droite passant par le côté du carré pointé.

Si de ce rectangle, nous supprimons le carré de côté de longueur b, alors le rectangle restant est à nouveau un rectangle d'or, puisque ses côtés sont dans un rapport φ. nous obtenons une suite de rectangles

d'or de plus en plus petits.

Le tracé d'un rectangle d'or se fait très simplement à l'aide d'un compas, il suffit de pointer le milieu d'un côté d'un carré,

• Si on demande à des personnes de dessiner un rectangle quelconque, le rectangle sera

(dans 77% des cas selon le physiologiste et philosophe allemand Gustav Fechner, en 1876) proche du rectangle d'or.

• Peut-être le rectangle quelconque est-il le rectangle d'or ?

Triangles d'or

• Les triangles d'or sont des triangles isocèles dont le rapport des côtés est égal au nombre d'or. Il en existe de deux types. Ceux pour lesquels le rapport côté / base vaut φ qui donnent des triangles aigus appelés parfois triangles d'argent et ceux pour lesquels le rapport base / côté vaut φ.

Dans un triangle d'or aigu, on peut dessiner un triangle d'or obtus et un triangle d'or aigu φ fois plus petit. On retrouve ce même phénomène dans un triangle d'or obtus.

Dans un triangle d'or aigu, on peut dessiner un triangle d'or obtus et un triangle d'or aigu φ fois plus petit. On retrouve ce même phénomène dans un triangle d'or obtus.

Spirale d’or

• Pour construire une spirale d’or, on construit un rectangle d’or dans lequel on construit un grand carré de côté la largeur du rectangle. On réitère l’opération dans le rectangle restant qui est un rectangle d’or … et ainsi de suite, … Puis, on construit des quarts de cercle dans les carrés.

Le pentagone

Le côté du pentagone étoilé est phi fois le côté du pentagone convexe.       AB/AD=phi=1,618 (le nombre d'or) 

Un simple noeud réalisé avec une bande de papier, puis soigneusement aplati est un "noeud d'or" ; il suffit de replier une des extrémité de la bande pour obtenir un pentagramme complet

Avec une bande assez longue on peut réaliser cinq noeuds d'or régulièrement espacés. En recollant les extrémités on obtient ce bel anneau pentagonal qui est un ruban de Möbius : la bande n'a plus qu'une seule face  et un seul bord !

noeud d'or

un anneau d'orun anneau d'or

DANS LA NATURE

Dame Nature aussi utilise ce rapport pour assurer des croissances

harmonieuses

(fleurs, fruits, coquilles, cornes...)

• En coupant une pomme ou une poire en deux dans le sens de son équateur, on y découvre les pépins disposés en étoile à 5 branches.

• Les boutons d'or ont 5 pétales, les marguerites ont généralement 34, 55 ou 89 pétales. Ces nombres font partie de la suite de Fibonacci liée au nombre d'or La suite de Fibonacci intervient dans la nature.

La fleur de tournesol normale de 12 à 15 cm de diamètre possède en général 34 spirales tournant dans un sens et 55 dans l'autre. Des fleurs plus petites peuvent présenter les combinaisons 21/34 ou 13/21 et des fleurs exceptionnellement développées peuvent aller jusqu'à 89/144.

• Dans un ananas ou une pomme de pin les écailles s'organisent en deux ensembles de spirales. L'un qui tourne dans le sens des aiguilles d'une montre, l'autre dans le sens inverse.

Le Nautile

Le nautile est un coquillage dont l' intérieur présente  une spirale formée d'une douzaine de petites loges Plus l'animal grandit, plus la taille des loges s'accroît mais sa forme conserve la structure d'une spirale logarithmique ou le rapport entre deux rayons vecteurs opposés est le nombre d'or phi = 1.618 . Le modèle mathématique se superpose exactement  à la réalité .

‘Prenant comme point de repère une feuille voisine de la base d'une tige qui porte des feuilles isolées. Numérotons cette feuille 0 et comptons les feuilles vers le sommet jusqu'à ce que nous arrivions à une feuille qui se trouve juste au-dessus de celle dont nous sommes partis. Le nombre de feuilles rencontrées est un terme de la suite de Fibonacci. De même en progressant vers le sommet, comptons le nombre de tours que nous faisons. Ce nombre est aussi, terme de la suite de Fibonacci.

La découverte de molécules en forme de dodécaèdre (constitué de 12 pentagones), de certains virus montre que la symétrie d'ordre cinq est assez fréquente dans la nature. Cela augmente l'importance du nombre d'or en science Certains pensent le découvrir dans la spirale d'ADN .

Si, en se mesurant, les rapports "hauteur totale / distance sol-nombril"et "distance sol-nombril / distance nombril-sommet du crâne" sont égaux (environ 1,6),nous sommes bien proportionnés ... D'après Zeising, l'homme à la section d'or !Il en est de même pour les phalanges et d’autres parties du corps humain.

DANS LES ARTS

Le nombre d'or se retrouve un peu partout dans les arts : peinture, sculpture, musique, ...

" Nous sommes mystérieusement accordés à ce nombre, car la section d'or agit sur nos sens et, par eux, sur notre cortex cérébral, essentiellement le droit, mais sans doute pas exclusivement, c'est pour cette raison que nous sommes inconsciemment enclins à trouver belles les grandeurs de tous ordres qui entrent dans cette relation. "

(La Recherche 278 juillet-août 1995 volume 26)

Le Parthénon d'Athènes fait apparaître un peu partout le nombre d'or . Il s'inscrit dans un rectangle doré, c'est-à-dire tel que le rapport de la longueur à la hauteur était égal au nombre d'or.

Sur la figure : DC/DE = Phi

.

Sur la toiture du temple, GF/GI =Phi

• Le rapport de la hauteur de la pyramide de Khéops par sa demi-base est le nombre d'or.

• Ce tableau, de Jicopo de Barbari, où Fra Luca Pacioli explique un théorème, fait apparaitre le partage la " divine proportion "d'or :

• Si E est la projection orthogonale sur (D C) de l'extrémité de l'index de la main gauche du moine on a : DC / DE = PhiPar ailleurs, le pouce et l'index gauches de Fra Luca Pacioli partage la hauteur du livre selon la section dorée

Certains peintres comme Salvatore Dali (Sacrement de la dernière cène),Seurat (le Cirque) ou Mondrian (Composition) l'ont d'ailleurs utilisé par jeu.

Le personnage de saint Jérôme est encadré dans un parfait rectangle d’or

Vierge à l'enfant, Raphael vers 1425

La Naissance de Vénus, Botticelli

La Mort de Saphira, Poussin La Gare Saint Lazare, Monet

ASTUCE

• Les peintres utilisent d une méthode simple qui leur permet de tracer des rectangles d'or lorsque leur toile est vierge.En utilisant le rapport entre 5 et 8, deux termes de la suite de Fibonacci. En fait, la valeur du rapport 8/5 se rapproche de la valeur du nombre d'or qui est 1,618.

• Ils Les peintres divisent leur toile en deux, puis en deux et encore en deux. Ainsi, leur toile est divisée en huit parties égales. Cela permet donc au peintre d'obtenir une droite qui coupe la toile aux 5/8 fournissant ainsi un rectangle d'or.

Le nombre d'or dans un tracé régulateur

Le nombre d'or présente un intérêt réel en matière d'esthétique

Mais il ne peut que donner à un ensemble de bâtiments ayant des concepteurs différents un début d'harmonie commune.

Son rôle principal concernerai des question d'urbanisme plus que d'architecture

LE CORBUSIER et le MODULOR

• Le Corbusier va, a 23 ans se poser une question qui l’angoissera: « quelle est la regle qui ordonne, qui lie toute les choses?? »

• A partir de la, sa recherche va s’axer vers les tracées régulateurs et une normalisations des dimensions qui va aboutir au MODULOR, qu’il fera breveter en 1945.

C'est avant tout la prise en compte de l'homme, "cet animal qui doit pouvoir s'ébrouer tout à son aise dans l'espace de sa maison", qui guide les choix architecturaux de Le Corbusier.

va s'ajouter un besoin de normalisation aussi bien en architecture qu'en construction mécanique. Cette normalisation s'impose esthétiquement, "pour plus d'harmonie" et économiquement dans cette phase de reconstruction urgente au lendemain de la guerre.

(le Corbusier va jusqu'à parler de "machine à habiter"). Le modulor est ainsi utilisé pour respecter l'échelle humaine.

Le Corbusier utilise la section d’or d’un carré d’a peu près un mètre de coté après un processus géométrique complexe il aboutit a une grille (voire schéma)

Le Corbusier construit et représente sa grille sur la silhouette d'un homme debout, levant un bras. En bâtissant l'échelle humaine, le Corbusier rejoint notamment les architectes de la Grèce antique. Comme ceux ci il aménage l'espace architectural pour que le corps s'y reconnaisse.

Sa réflexion sur le comportement de l'homme, sur l'équilibre des volumes, de leurs dimensions et proportions l'amène à établir une grille de mesures s'appuyant sur le "Nombre d'Or". Il construit sa grille par rapport aux différentes parties du corps humain et l'appelle "le Modulor".

Tracé régulateur de la façade de la Villa LA ROCHE par le Corbusier

La grille fournit 3 mesures 113,70,43 qui sont en rapport avec Phi et la série Fibonacci 43+70=113

113+70=183 113+70+43=226

Ces trois mesures sont celles qui caractérisent l’occupation de l’espace par un homme de 6 pieds

La mesure 113 fournit la section d’or 70 (série rouge)

La mesure 226(double) fournit la section 140 (série bleue)

Statures humaines selon Le Corbusier

• Quelques exemples de l'échelle du Modulor :

Hauteur de plafond : 226 cmHauteur de table : 70 cm Hauteur d'un élément de cuisine : 86 cm Hauteur de chaise : 43 cm Hauteur de bar : 113 cm

• Ces valeurs sont utilisées pour mettre en oeuvre un milieu de vie dans lequel on se sent bien.

• Le Corbusier va désormais recourir au modulor dans toutes ces conceptions, apogée de l’utilisation étant la « Cité Radieuse de Marseille » où absolument tout sera calculé en fonction du modulor aussi bien l’aspect technique, fonctionnelle qu’esthétique.

C'est de très loin l'utilisation la plus clairement établie du nombre

d'or, puisque Le Corbusier en a parlé sans ambiguïté.