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Exemples de modélisation mathématique
du cycle cellulaire
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1. La modélisation mathématique2. Le cycle cellulaire3. L’exemple de la levure4. Biocham et un cycle cellulaire générique5. Description des projets
Outline
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1. Modélisation mathématique classique de systèmes dynamiques non-linéaires
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Les diagrammes permettent d’organiser les résultats expérimentaux
Protein A
Protein B
Un exemple:
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Méthodes de modélisationde systèmes dynamiques et non-linéaires
Une cellule peut être considérée - comme un système non-linéaire car certaines de ses parties interagissent, interfèrent ou coopèrent entre elles.-comme un système dynamique car elle évolue dans le tempset l’espace
Les équations différentielles peuvent être utilisées pour dessystèmes qui changent dans le temps de manière continue.
Les équations différentielles peuvent suivre les changements de concentrations des protéines en fonction du temps
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2. Le cycle cellulaire
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Définition
Cycle cellulaire : le cycle cellulaire est une succession d’évènements pendant lesquels une cellule grossit et se divise en deux cellules filles, chacune contenant l’information nécessaire pour répéter le processus
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Cycle cellulaire
G1 Gap entre les phases M et S
S Synthèse de l’ADN
G2 Gap entre les phases S et M
M Mitose
Quatre phases
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Le cycle embryonnaire et le cycle de cellules somatiques
0 6 12 18 24heures
Cycle cellulaire d’une cellule somatique typique
12 cycles cellulaires embryonnaires
G1 S G2 M
L’œuf est déjà de grande taille et possède tous les nutriments nécessaires, les enzymes qui catalysent les procédés du cycle cellulaire, toutes les composantes de la structure de la cellule => pas de G1 et G2.
Une cellule somatique est de petite taille, et doit importer tous les nutriments nécessaires pour qu’elle puisse grandir et dupliquer toutes les composantes de la cellule.
Early embryonic and somatic cell cycles in frogs from Murray and Hunt, The Cell Cycle, 1993, fig. 2-2
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Régulation du cycle cellulaire par les CDKCDK: - est formé de 2 unités: Cdk (cyclin dependent kinase) et son partenaire, une cycline- assure l’alternance entre les phases S et M- contrôle la taille de la cellule- contrôle la réplication de l’ADN- vérifie que l’ADN se réplique une fois et une seule fois par cycle
Le cycle cellulaire estorchestré par leschangements d’activitédes complexes Cdk/cycline
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3. Exemple de la levure de boulanger
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Le cycle cellulaire de la levure
Saccharomyces cerevisiae
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Les complexes Cdk/cyclines au centre du cycle cellulaire …
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M(anaphase)
M(telophase)
Division cellulaire
G1
S
G2
M(metaphase)
Ennemis Cdc28 Clb5Cdc28
Clb5
Cln2Cdc28
Cln2
Clb2Cdc28
Clb2
SPF
MPF
Emergence du bourgeon
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SPF et MPF en fonction du temps
G1 G1S G2 M
MPF
SPF
temps
Concentrationdes protéines
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Différentes manières de régulerl’activité des complexes Cdk/cycline
SPF, MPF
Dégradation Inhibition
Synthèse Phosphorylation
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Pourquoi SPF et MPF sont-ils inactifs en phase G1?
- ils ne sont pas synthétisés- les inhibiteurs sont actifs - le processus de dégradation est actif
G1 G1S G2 M
MPF
SPF
temps
Concentrationdes protéines
Ennemi
Ennemi
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Antagonisme entre SPF et MPF et leurs ennemis
SPF, MPF
G1: ennemis sont présents SPF, MPF sont absents
S/G2/M: ennemis sont absents SPF, MPF sont présents
STA
RT
FIN
ISH
Comment passe-t-on d’un état à l’autre?
Il existe deux états stables
Ennemis
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G1 G1S G2 M
MPF
SPF
temps
Concentrationdes protéines
Ennemi
Ennemi
Aide Start
AideFinish
Certains mécanismes aident le système à passer par ces transitions
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Mais en est-on sûr ?
Modèle simple à deux variables
' "syn deg deg
a i
[CycB]( [APC]) [CycB]
[APC] ( 20) (1 [APC]) ( 2) [CycB] [APC]1 [APC] [APC]
20 concentration of proteins that activates APC at Finish
concentration of proteins
dk k k
dtd B Cdc A Cln
dt J J
Cdc
Cln2
that inactivates APC at Start
0.01 0.1 10.0
0.5
1.0
R=40 R=20 R=3
G1
S/G2/M
ln(CycB)
APC
CycB
APC
APC
Assume Cdc28 always present and in excess
Cln2Cdc20
G1
Start
Finish
[Cln2]
[Cdc20]
AR
B
S/G2/M
AB
ln(CycB)1
03 40
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Cdc28/CycBactivity
A + Cln2B + Cdc20
G1
S/G2/M
time
Cln2Cdc20
DNA replication and chromosome alignment
Growth
Le cycle cellulaire : une hysteresis
Start
Finish
A
B
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Un modèle plus réaliste du cycle cellulaire de la levure…
growth
Lte1
Clb5MBF
SCFSwi5
Mcm1APC
CDKs
Cln2SBF
?
andCln3
Bck2
DNA synthesis
Inactive trimer
P
Budding
Cdc20
Cdc20
Cdh1
Cdh1
Mcm1
Mad2
unattached kinetochores
Cdc14
SBF
Esp1 Esp1Pds1
Pds1
Net1
Net1-P
PPX
Cdc15/MEN
Tem1-GDP
Tem1-GTP
Bub2
spindle defect
Sister chromatid separation
Mcm1
IEP
RENT
mitosis
CKI CKI
Clb2
Cdc20/APC
Cdh1/APC
CDKs
Cdc20/APC
SCF
Cdc14
Clb2
Cdc14
Inactive trimer
Chen et al. 2004, MBC
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Ce modèle peut-il décrire de manière quantitative ce que l’on sait de la
physiologie de la levure ?
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Pour cela, il nous faut des modèles mathématiques
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d CDK dt = k1 - (v2’ + v2” . Cdh1 ) . CDK
d Cdh1dt =
(k3’ + k3” . Cdc20A) (1 - Cdh1) J3 + 1 - Cdh1 -
(k4’ + k4” . CDK . M) Cdh1 J4 + Cdh1
d IEPdt = k9
. CDK . M . (1 – IEP ) – k10 . IEP
d Cdc20T
dt = k5’ + k5” (CDK . M)4
J54 + (CDK . M)4 - k6
. Cdc20T
d Cdc20A
dt = k7
. IEP (Cdc20T - Cdc20A) J7 + Cdc20T - Cdc20A
- k8
. MAD Cdc20A
J8 + Cdc20A - k6
. Cdc20T
on dérive des équations différentielles…
et des valeurs des paramètres.
k1 = 0.0013, v2’ = 0.001, v2” = 0.17,
k3’ = 0.02, k3” = 0.85, k4’ = 0.01, k4” = 0.9,
J3 = 0.01, J4 = 0.01, k9 = 0.38, k10 = 0.2,
k5’ = 0.005, k5” = 2.4, J5 = 0.5, k6 = 0.33,
k7 = 2.2, J7 = 0.05, k8 = 0.2, J8 = 0.05,
…
Construction classique d’un modèle mathématique
A partir d’un diagramme …
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Une approche mathématique classique
'1 1 2
d[Cln2]( [SBF]) mass [Cln2]
dk k k
t
' '3 3 4 4 5
d[Clb2]( [Mcm1]) mass [Cdh1] [Clb2] [Sic1][Clb2]
dk k k k k
t
' ' "6 6 T 7 7 7
6 T 7
[Cdc14] [Cdh1] [Cdh1] [Clb5]+ [Clb2] [Cdh1]d[Cdh1]
d [Cdh1] [Cdh1] [Cdh1]
k k k k k
t J J
synthesis degradation
synthesis degradation binding
activation inactivation
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Comment choisir les paramètres ?
Un exemple: Cln2
' "s,n2 s,n2 d,n2
d[Cln2]( [SBF]) mass [Cln2]
dk k k
t
1d,n2 0.12min ,k from half-life measurements, Barral et al. (1995) Genes Dev.
9:399.
" -1s,n2 0.15 min ,k from Cross’ measurements of total Cln2 in asynchronous culture,
Cross et al. (2002) Mol. Biol. Cell 13:52-70.
's,n2 0,k when simulating over-expression, this parameter is set to 0.15
Pas toujours aussi simple…
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Simulation de la cellule fille(type sauvage)
Time (min)
Concentration(a.u.)
Clb2
CKI
Cdc20
Cdh1
Mass
Cln2
Clb5
Comparaison entre données expérimentales et la simulation
mathématique du modèle complexe
Time (min)
Concentration(a.u.)
MPF
CKI
Cdc20
Cdh1
Mass
Cln2
SPF
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Type sauvageMutant: cdc20ts
Arrêt en metaphase
Mutant: clnΔArrêt en G1
Mutant: clnΔ sic1ΔViable mais plus grosse cellule que type sauvage
Le modèle devrait pouvoir décrire aussi les mutations associées aux protéines présentes dans le modèle :
→ si le mutant est viable : Quelle est la longueur de la phase G1 ? Quelle est la taille de la cellule lors de la division ? …
→ si le mutant n’est pas viable : A quel moment du cycle cellulaire s’arrête-t-il?
Est-ce tout ce qu’un modèle mathématique peut ou doit faire?
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Cln2Clb2
Cdh1
CKICdc20
Wild Type
Pds1
Clb2
Cdh1 Clb5Cdc14
cdc20
Cdh1
CKI
cln
Mutant: cln-Paramètres à changer : ksn2’, ksn2’’=0 Phénotype : Arrêt en phase G1
Un cycle cellulaire normal
Quelques exemples
Mutant: cdc20-Paramètres à changer : ks20=0 Phénotype : Arrêt en métaphase
Cln mutants1. cln1 cln2 2. GAL-CLN2 cln1 cln2 3. cln1 cln2 sic14. cln1 cln2 GAL-CLN2 sic15. cln1 cln2 cdh1 6. cln1 cln2 GAL-CLN2 cdh1 7. cln38. GAL-CLN39. cln3 sic110. GAL-CLN3 sic1
Bck2 mutants11. bck2Δ12. 5X BCK213. cln1 cln2Δ bck2Δ14. cln3Δ bck2Δ15. cln3Δ bck2Δ GAL-CLN2 cln1Δ cln2Δ 16. cln3Δ bck2Δ GAL-CLB517. cln3Δ bck2Δ sic1Δ
cln1 cln2 cln3 strain18. cln1Δ cln2Δ cln3Δ19. cln1Δ cln2Δ GAL-CLN2 cln3Δ20. cln1Δ cln2Δ cln3Δ GAL-CLN3 21. cln1Δ cln2Δ cln3Δ sic1Δ22. cln1Δ cln2Δ cln3Δ cdh1Δ23. cln1Δ cln2Δ cln3Δ 2X CLB524. cln1Δ cln2Δ cln3Δ GAL-CLB525. cln1Δ cln2Δ cln3Δ 5X BCK226. cln1Δ cln2Δ cln3Δ GAL-CLB227. cln1Δ cln2Δ cln3Δ apcts
Cdh1, Sic1 and Cdc6 mutants28. sic1 29. GAL-SIC130. GAL-SIC1-db- 31. GAL-SIC1 cln1 cln2 32. GAL-SIC1 cln1 cln2 cdh133. GAL-SIC1 GAL-CLN2 cln1 cln234. GAL-SIC1 GAL-CLN2 cln1 cln2 cdh135. sic1 cdh136. cdh1 37. Cdh1 constitutively active
38. cdc64739. cdc647 sic140. cdc647 cdh1
Clb1 Clb2 mutants41. clb1 clb242. GAL-CLB243. Multicopy GAL-CLB244. GAL-CLB2 sic145. GAL-CLB2 cdh146. GAL-CLB2 GAL-CLN2 cln1 cln2 47. Clb2-db-48. Clb2-db- 3X SIC149. Clb2-db- pds1 clb5 50. Clb2-db- pds1 clb5 cdc2051. GAL-CLB2-db-
Clb5 Clb6 mutants52. clb5 clb653. clb5 cln1 cln254. GAL-CLB555. GAL-CLB5 sic156. GAL-CLB5 cdh157. CLB5-db-58. CLB5-db- sic159. CLB5-db- pds160. CLB5-db- pds1 cdc2061. GAL-CLB5-db-
Cdc20 mutants62. cdc20ts63. cdc20ts clb5Δ 64. cdc20ts pds1Δ65. cdc20ts pds1Δ clb5Δ 66. GAL-CDC20 67. cdc20ts mad2Δ 68. cdc20ts bub2Δ
Pds1/Esp1 interaction69. pds1Δ 70. Esp1ts71. PDS1-db-Δ 72. GAL-PDS1-db-Δ 73. GAL-PDS1-db-Δ esp1ts
74. GAL ESP1 cdc20ts
MEN pathway mutants75. tem1Δ 76. TEM1op 77. tem1Δ GAL-CDC1578. tem1Δ net1ts 79. tem1Δ GAL-CDC1480. tem1Δ then 2X GAL-SIC1 81. cdc15Δ82. CDC15op83. cdc15ts TEM1op84. cdc15ts net1ts85. cdc15ts 2X CDC14 86. cdc15ts 2X 50% active CDC1487. cdc15ts then 2X GAL-SIC1
Exit-of-mitosis mutants88. net1ts 89. NET1opcdc14ts91. CDC14op92. NET1op CDC14op 93. net1ts cdc20ts94. cdc14ts then 3X GAL-SIC195. cdc14ts GAL-SIC1 96. cdc14ts synthetically lethal with sic1Δ 97. cdc14ts synthetically lethal with cdh1Δ 98. cdc14ts synthetically lethal withGAL- CLN299. TAB6-1 100. TAB6-1 cdc15ts101. TAB6-1 clb5Δ clb6Δ102. TAB6-1 clb2Δ
Checkpoint mutants103. mad2Δ104. bub2Δ105. mad2Δ bub2Δ106. WT in nocodazole.107. mad2Δ in nocodazole108. mad2Δ TEM1op in nocodazole
109. mad2Δ pds1Δ in nocodazole110. bub2Δ in nocodazole111. bub2Δ clb5Δ in nocodazole112. bub2Δ pds1Δ in nocodazole113. bub2Δ mad2Δ in nocodazole114. pds1Δ in nocodazole115. net1ts in nocodazole116. 6X GAL-SIC1 enables WT cells innocodazole to exit117. GAL-CDC20 enables WT cells innocodazole to exit
APC mutants118. APC-A119. APC-A cdh1Δ120. APC-A cdh1Δ rescued by GAL-SIC1121. APC-A cdh1Δ rescued by GAL-CDC6 122. APC-A cdh1Δ rescued by GAL- CDC20123. APC-A sic1Δ 124. APC-A GAL-CLB2
125. swi5126. sic1Δ cdh1Δ GALL-CDC20127. cdc647 cdh1 sic1128. cdc6Δ2-49 sic1Δ cdh1Δ GALL-CDC20129. swi5Δ cdh1Δ130. swi5Δ cdh1Δ GAL-SIC1131. swi5Δ GAL-CLB2
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10 mutations ne correspondent pas aux résultatsexpérimentaux.
Les mutations que l’on ne peut expliquerpermettent de mettre à jour les incertitudesdes expériences ou liées aux interactions entreprotéines
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4. Biocham – le cycle cellulaire générique
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Un modèle générique du cycle cellulaire
HYPOTHESES :
- CDK toujours présent et en excès.
- Une seule cycline est prise en compte (CycB), responsable de l’entrée et la sortie de la phase M
- CDK s’associent avec CycB formant un complexe phosphorylés à deux sites de phosphorylation (forme inactive).
-L’activité du complexe Cdk/cycline est contrôlée par -> phosphorylation et dephosphorylation-> inhibition par un CKI-> synthèse et dégradation de CycB non régulées.
Adapted from Qu et al. (2003) Biophysical Journal. 85. p3600-3611.
CDK
CycB
+
CDKCycB
P P
CDKCycB
P
CK
I CDKCycB
PCKI
+
CK
I CDKCycB
P
P
CDKCycB
P
Cdc25 Cdc25-PP Wee1-PWee1
- La phosphatase Cdc25-PP (forme phosphorylée) active le complexe Cdk/CycB- La kinase Wee1 (forme non phosphorylée) inactive le complexe Cdk/CycB- Le complexe Cdk/CycB/CKI est dégradé lorsqu’il est phosphorylé
- On appelle : MPF (M-phase Promoting Factor) la forme active du complexe Cdk/CycB preMPF la forme inactive du complexe Cdk/CycB (P-Cdk/CycB-P)
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Définir les conditions initiales%% Cell cycle Qu et al. 2003 Biophysical journal
absent(preMPF).absent(MPF).absent(C25).absent(C25P).absent(C25PP).absent(Wee1).absent(Wee1P).absent(APC).present(CKI,1).absent(C).absent(CP).
macro(CDK,((c0-[preMPF]-[MPF]-[C]-[CP])/c0)).
Définir des fonctions (macros)
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Définir les réactions biochimiques (1)
% Disponibilité de la cyclinek1 for _=>CycB.k2*[CycB] for CycB=>_.(k2u*[APC])*[CycB] for CycB=[APC]=>_.
% Formation du complexe(k3*CDK*[CycB],k4*[preMPF]) for CycB<=>preMPF.
% Activation / Inactivation de MPF par Cdc25PP et Wee1(k5*[preMPF]) for preMPF=>MPF.[C25PP]*[preMPF] for preMPF=[C25PP]=>MPF.k6*[MPF] for MPF=>preMPF.[Wee1]*[MPF] for MPF=[Wee1]=>preMPF.k7*[MPF] for MPF=>_.k7u*[APC]*[MPF] for MPF=[APC]=>_.
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% Dynamique liée à Cdc25 k8 for _=>C25.k9*[C25] for C25=>_.k9*[C25P] for C25P=>_.k9*[C25PP] for C25PP=>_.
% Dynamique liée à Cdc25P (forme monophosphorylée)bz*[C25] for C25=>C25P.cz*[MPF]*[C25] for C25=[MPF]=>C25P.az*[C25P] for C25P=>C25.
% Dynamique liée à Cdc25PP (forme biphosphorylée)bz*[C25P] for C25P=>C25PP.cz*[MPF]*[C25P] for C25P=[MPF]=>C25PP.az*[C25PP] for C25PP=>C25P.
Définir les réactions biochimiques (2)
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% Dynamique liée à Wee1k10 for _=>Wee1.k11*[Wee1] for Wee1=>_.k11*[Wee1P] for Wee1P=>_.
% Dynamique liée à Wee1Pbw*[Wee1] for Wee1=>Wee1P.cw*[MPF]*[Wee1] for Wee1=[MPF]=>Wee1P.aw*[Wee1P] for Wee1P=>Wee1.
% APC (activée de manière non-linéaire par MPF)(([MPF]*[MPF])/(a*a+([MPF]*[MPF])))/tho for _=[MPF]=>APC. [APC]/tho for APC=>_.
Définir les réactions biochimiques (3)
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% CKI k12 for _=>CKI.k13*[CKI] for CKI=>_.
% Complexation entre MPF et CKI(k14*[CKI]*[MPF],k15*[C]) for CKI+MPF<=>C.
% Dynamique du complexebi*[C] for C=>CP.ci*[MPF]*[C] for C=[MPF]=>CP.ai*[CP] for CP=>C.
k16*[CP] for CP=>MPF.k16u*[APC]*[CP] for CP=[APC]=>MPF.
Définir les réactions biochimiques (4)
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Définir les paramètres
parameter(k1,0.2).parameter(k2,0.2).parameter(k3,30).parameter(k4,1).parameter(k5,0.7).parameter(k6,0.7).parameter(k7,0).parameter(k8,1).parameter(k9,1).parameter(k10,0.5).parameter(k11,0.5).
parameter(az,1).parameter(aw,1).parameter(ai,1).parameter(bz,0.1).parameter(bw,0.1).parameter(bi,0.1).parameter(cz,10).parameter(cw,10).parameter(ci,2).
parameter(k12,1).parameter(k13,1).parameter(k14,50).parameter(k15,0.1).parameter(k16,1).parameter(k2u,2).parameter(k7u,2).parameter(k16u,5).parameter(c0,200).parameter(a,1).parameter(tho,5).
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Définir des fonctions
% Cacher des molécules dans le graphiquehide_molecules(C).hide_molecules(CP).hide_molecules(C25).hide_molecules(C25P).hide_molecules(Wee1P).
% Choisir des couleurs pour chaque moléculeset_color(MPF, 1).…
% Définir le temps de la simulationnumerical_simulation(100).
% Tracer la solutionplot.
…
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Simulation d’une cellule de type sauvage
G1 S G2 M G1 S G2 M …
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Projets en Biocham
Projet 1 : La cascade MAPK
Projet 2 : Entrée en phase S
Projet 3 : Apoptose (ou activation de la protéine p53)
Projet 4 : Un modèle de décision entre prolifération des cellules (entrée en phase S, ici) et apoptose=> Résultat du projet 1, 2 et 3
Projet 5 : Un modèle qualitatif régulant l’entrée dans le cycle cellulaire et l’apoptose (Aguda, 2003)
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