Modélisation continue de structures
discrètes
D. Caillerie
Sols Solides Structures Risques
GRENOBLE, France
26 juin 2013
Introduction
Structures discrètes : structures décrites par un nombre fini dedegrés de libertéMilieu continu : milieu décrit par des fonctionsExposé dans la cadre de la mécanique mais la méthode estapplicable à d’autres domaines : thermique, réseauxhydrauliques, réseaux électriques.
Structures carbonées - nanotube - graphène
Distance interatomique : 0,144 nmModule d’Young ≈TPa
Myocarde
Papier
Treillis
Plan
IntroductionModélisation continue des treillis élastiques répétitifs enpetites déformationsApplications : graphèneRéseau de fibresRéseau de poutresVibration de treilliisElasticité en grandes transformationsCommentaires
Treillis
Un treillis est une structure faite de barre assemblées à leursextémités.Les jonctions, appelées nœuds, sont libres ce qui signifie queles extrémités des barres peuvent tourner librement.La structure n’est chargée qu’en ses nœuds.On étudie un équilibreSi ces conditions ne sont pas respectées, les barres sont despoutres qui peuvent fléchir.
Equilibre d’un treillis
= équilibre des barres et des nœudsEquilibre des barres
!T
!M
!e
O
E
�M = 0 , �T = N�e , N = cst
La force appliquée par la barres sur ses nœuds extrémités notésO et E sont N�e et −N�eL’équilibre du treillis se ramène à celui de ses nœuds
Elasticité
Elasticité linéaireEn supposant la barre homogène (module d’Young E et airede la section droite A constants), la déformation le long de labarre est constante et la loi de comportement globle est :
N = k��uE − �uO
��e
où �uO et �uE sont les déplacements des deux extrémités de labarre, �e est le vecteur unitaire de la barre orientée et k = EA
l, l
étant la longueur de la barre.
Description et géométrie du treillis
1 2
3
5
4
6
1 2 3
4
5 6 7
8
- numérotation des nœuds : ñ ∈ Ñ - positions �x ñ- numérotation des barres orientées : b̃ ∈ B̃ -�B b̃ = �x Ẽ(b̃) − �x Õ(b̃) , �B b̃ = l b̃�e b̃ , l b̃ =
����B b̃��� , �e b̃ vecteur
unitaire de la barre.- déplacements des nœuds �uñ
Problème d’équilibre d’un treillis
Formulation en puissances virtuelles des équations d’équilibre :
∀�v ñ , −�
b̃∈B̃
N b̃�e b̃.��vE(b̃) − �vO(b̃)
�+
�
ñ∈Ñ
�f e/ñ.�v ñ = 0
Lois de comportement :
N b̃ = k b̃��uẼ(b̃) − �uÕ(b̃)
�.�e b̃
Conditions cinématiquesInconnues : déplacement �uñ des nœuds (petites déformations)
Homogénéisation discrète de structures répétitives
Objectif : Déterminer un modèle continu équivalent pour unestructure discrète répétitive.
Méthode : adapter la méthode des développementsasymptotiques en double échelle des milieux périodiques
Treillis répétitifs
Un treillis est une structure dont la topologie (assemblage desnœuds et barres) est répétitive et dont la géométrie estpériodque ou quasi périodique.
12
Ces notions (topologie et géométrie répétitives) peuventparaître redondantes dans la cas exactement périodique, unestructure géométriquement périodique a nécessairement unetopologie répétitive mais la description topologique estindispensable pour identifier les cellules et les nœuds dans lescellules.
Description topologique d’un treillis 2D répétitif
1
1 2 3 4 50 6 70
1
23
45
67
2
!1
!2
Ri
Re
12
Numérotation des cellules :deux intiers (ν1, ν2)
Numérotation des nœuds :ñ = (ν1, ν2, n), n numérotele nœud ñ dans la cellule(ν1, ν2), n ∈ N , N estl’ensembles des nœuds d’unecellule élémentaireNumérotation des barres :b̃ = (ν1, ν2, b), b numérotela barre b̃ dans la cellule ;b ∈ B, B est l’ensembles desbarres d’une celluleélémentaire
Orientation des barresL’origine Õ
�b̃�
de la barre b̃ = (ν1, ν2, b) est choisie dans la
même cellule (ν1, ν2) que b̃, l’extrémité Ẽ�b̃�
est dans lacellule (ν1, ν2) ou dans une cellule voisine :
Õ(b̃) =�ν1, ν2,O(b)
�et Ẽ (b̃) =
�ν1 + δ1b, ν2 + δ2b,E (b)
�
δ1b, δ2b ne dépendent que de b (et non de (ν1, ν2)).
Géométrie d’un treillis répétitif
Définie complètement par la position des nœuds du treillis, lagéométrie du treillis est une donnée en petites déformations,c’est une inconnue en grandes transformations.Cas exactement périodique
!1
!2
!y1
!y2
!Y1
!Y2
12
2
1
3
Position du nœud ñ = (ν1, ν2, n) :
�x ñ = ν1�y1 + ν2�y2 +�rn
Par homothétie :
�x ñ = �ν1�Y1 + �ν2�Y2 + ��Rn
Cas quasipériodique
1
1 2 3 4 50 6 70
1
23
45
67
2
!1
!2
Ri
Re
12
Position du nœud ñ = (ν1, ν2, n) :
�x ñ = �r 0�ν1, ν2
�+�rn1
�ν1, ν2
�
�r 0 (λ1,λ2) et �rn1 (λ1,λ2) sont des fonctions définies surω ⊂ R2.
Treillis à grand nombre de cellules
Petit paramètre :
� =1
(nombre de cellules)1/d
d = dimension du probème
� =longueur des barres
dimension de la structure
Suite de structures paramétrisées par � avec � → 0 ou nombrede cellule → ∞
−→ mis à l’échelle des paramètres (raideur, section droite,inertie de section, . . . ) / �
Dépendance de la géometrie vis à vis de � :
�x ñ = �R0�λ1�,λ2�
�+ ��Rn1
�λ1�,λ2�
�, λi� = �ν i
�R0 (λ1,λ2) et les �Rnk (λ1,λ2) fonctions définies sur ω ⊂ R2.Cas périodique
�R0�λ1,λ2
�= λ1�Y1 + λ2�Y2
�Rn1 indépendants de λ1 et λ2
ν1 et ν2 sont des entiers qui peuvent être grands et, parconsequent λi� = O (1).(λ1,λ2) forment un paramétrage du milieu continu.
Développements asymptotiques
Analogie aves les milieux continus périodiques :
�u(�x) = �u0 (�x) + ��u1��x ,
�x�
�+ �2�u2
��x ,
�x�
�+ · · ·
�x est la variable lente ou de grande échelle, elle positionne lescellules et correspond à (λ1,λ2), �y = �x� est la variable rapideou de petite échelle, elle positionne les points dans la celluleconsidérée et elle correspond à n.
Développement des déplacements des nœuds
Analogie directe avec les milieux continus
�uñ = �u0��x ñ
�+ ��un1
��x ñ
�+ �2�un2
��x ñ
�+ · · ·
�u0 (�x) et les �unk (�x) sont des fonctions définies sur Ω, domaineoccupé par le treillis.Par l’intermédiaire de la géométrie, on a :
�x ñ = �R0�λ1�,λ2�
�+ ��Rn1
�λ1�,λ2�
�, λi� = �ν i
les �u0 et les �unk sont des fonctions des coordonnées curvilignesλ1 et λ2 et �uñ peut se développer en :
�uñ = �u0��R0
�λ1�,λ2�
��
+ ��∇x�u0.�Rn1
�λ1�,λ2�
�+ �uO(b)1
��R0
�λ1�,λ2�
���+ · · ·
On peut donc choisir de développer les �uñ à l’aide de fonctionsdes λ1 et λ2 :
�uñ = �u0�λ1�,λ2�
�+ ��un1
�λ1�,λ2�
�+ �2�un2
�λ1�,λ2�
�+ · · ·
�u0 (λ1,λ2) et les �unk (λ1,λ2) sont des fonctions définies sur(λ1,λ2) ∈ ω ⊂ R2
Développement des �=ce de déplacements
Pour b̃ = (ν1, ν2, b), Õ�b̃�= (ν1, ν2,O (b)) ,
Ẽ�b̃�=
�ν1 + δ1b, ν2 + δ2b,E (b)
�
�uÕ(b̃) = �u0�λ1�,λ2�
�+ ��uO(b)1
�λ1�,λ2�
�+ · · ·
�uẼ(b̃) = �u0�λ1�,λ2�
�+ �
∂�u0
∂λiδib + ��uE(b)1
�λ1�,λ2�
�+ · · ·
d’où :
�uẼ(b̃) − �uÕ(b̃) = ���uE(b)1 − �uO(b)1 + ∂
�u0
∂λiδib
�+ · · ·
Développement des lois de comportement
Le développement des lois de comportement des barres donne :
N b̃ = �2�Nb0
�λ1�,λ2�
�+ �Nb1
�λ1�,λ2�
�+ · · ·
�
Nb0 = kb��uE(b)1 − �uO(b)1 + ∂
�u0
∂λiδib
�.�eb
lb0 et �eb0 sont le vecteur unitaire et la longueur de la barre bde la cellule de référence, obtenus en développant le vecteur�B b̃ = �x Ẽ(b̃) − �x Õ(b̃) = �lb0�eb0 + · · · .On a kb = EbAb
Lboù on a supposé que E b̃ = E b et Ab̃ = �2Ab.
Développement des équations d’équilibre
Le développement des équations d’équilibre est fait à partir dela formulation en puissances virtuelles. On prend des vitessesvirtuelles particulières et on assimile les sommes sur les cellulesà des sommes de Rieman :
�
b̃∈B̃
=�
(ν1,ν2)
�
b∈B
and � → 0 , �2�
(ν1,ν2)
• →ˆω
• dλ1dλ2
par exemple :
∀ñ = (ν1, ν2, n) , �v ñ = �v 0 (λ1�,λ2�) , λi� = �ν i1
�
�b̃∈B̃ N
b̃�e b̃.��vE(b̃) − �vO(b̃)
�→´
ω
��b∈BR N
b0�eb0δib�.∂�v
0
∂λidλ1dλ2
On pose :�S i =
�
b∈BR
Nb0�eb0δib , i = 1, 2
Les deux vecteurs �S i =�
b∈B Nb0�eb0δib , i = 1, 2 représentent
la contrainte du milieu continu équivalent dans le système decoordonnées curvilignes (λ1,λ2).Le changement de variables (λ1,λ2) ↔ �x = �R0 (λ1,λ2)donne :
ˆω
��
b∈B
Nb0�eb0δib�.∂�v 0
∂λidλ1dλ2 =
ˆΩ
σ : ∇x�v 0dsx
où σ = 1g
��b∈B
�S i�⊗ ∂�R0∂λi (g =
���∂�R0∂λ1 ∧∂�R0
∂λ2
���).
Modélisation continue équivalente
Equation d’équilibre du milieu continu équivalent :
divσ + �f = 0 , �f =1g
�
n∈N
�f e/ñ
σ =1g
��
b∈B
�S i�⊗ ∂
�R0
∂λi
La loi de comportment du milieu continu équivalent estobtenue en résolvant le problème de treillis sur la celluleélémentaire dont les inconnues sont les un1 , n ∈ N :Equilibre de la cellule (choix �v ñ = φ (λ1�,λ2�)�vn , λi� = �ν idans la formulation en puissances virtuelles) :
∀�vn ,�
b∈B
Nb0�eb0.��vO(b) − �vE(b)
�= 0
Lois de comportment des barres :
Nb0 = kb��uE(b)1 − �uO(b)1 + ∂
�u0
∂λiδib
�.�eb
Loi de comportement macroscopique
Etant donné les dérivées ∂�u0∂λi , i = 1, 2 du milieu continuéquivalent, déterminer �un1 , n ∈ N en résolvant le problème dela cellule, puis calculer Nb0, �eb0 et finallement σ :
∂�u0
∂λi→ �un1,Nb0 → σ
�∂�u0
∂λi
�=
1g
��
b∈BR
Nb0�eb0δib�⊗ ∂
�R0
∂λi
Remarque∂�u0
∂λi= ∇x�u0.
∂�R0
∂λi
Energie élastique
Densité d’énergie élastique macroscopique :
wM�∂�u0
∂λ1,∂�u0
∂λ2
�=
12
�
b∈B
kb�����u
E(b)1 − �uO(b)1 + ∂�u0
∂λiδib
����2
Equation d’Euler par rapport aux �un −→ problème sur lacellule−→ W M en fonction de ∂�u0∂λi , i = 1, 2
Application à des cellules à un nœud
2
11
3
L1
h
!Y 1
!Y 2
Il n’y presque rien à faire car, comme il n’y a qu’un nœud, iln’y a qu’un �u1 et :
wM�∂�u0
∂λ1,∂�u0
∂λ2
�=
12
�
b∈B
kb����∂�u0
∂λiδib
����2
Application au graphène
Les interactions biatomiques entre atomes les plus proches nesont pas suffisantes pour modéliser le graphène
1
21
23
4
5
6
7
8
9
!Y 1
!Y 2
On peut ajouter des interactions supplémentaires pour assurerla rigidité de la structureModèle continu élastique isotrope :
√3
2σ =
�K2+
3k4
�divx�u(0)I+ 3k
2�x�u(0)
Réseau de fibres - SMC
S. Le Corre,L. Orgéas, D. FavierFibres rigides en interaction par ponts visqueux
Réseaux de poutres
F.Pradel et K. Sab, F. Dos Reis et J.F. GanghofferFlexion des poutres → effort et transverse et moment deflexion- intégration le long d’une poutreDegrés de liberté des nœuds : déplacements and rotationsApplication à la modélisation du papier - C. Marullier, P.Dumont, L. Orgéas
Suivant les ordres relatifs des forces, normales et transverses,et des moments fléchissants on obtient une modélisationcontinue de milieu de Cauchy (« généralisé ») :
∀�v ,ω,−ˆΩ
(σ : ∇x�v + τ : ω) dvx+ˆΩ
1g
��F e .�v + ce : ω
�dvx = 0
σ =1g�T i ⊗ �gi
τ =1gτ̂ =
1g
��gi ⊗ �T i
�A= −σA
ou de Cosserat :
∀�v ,ω,−ˆΩ
(σ : ∇x�v + τ : ω + χ ∴ ∇xω) dvx
+
ˆΩ
1g
��F e .�v + ce : ω
�dvx = 0
χ =1g
M i ⊗ �gi
Vibrations de treillis à nœuds articulés
H. Tollenaere - C. BoutinLa masse est dans les poutres pas dans les nœudsLes poutres ne sont pas en équilibre, elles vibrent, cependantles équations du mouvement peuvent être intégrées le long despoutres pour un champ de déplacement de la forme�u (s, t) = e iωt�U (s)
Effort normal N et transverse T :
sin (α�)NO = EAα�− cos (α�) uO + uE
�
sin (α�)NE = EAα�−uO + cos (α�) uE
�
2 sinh (β�) sin (β�)TO = EIβ3�KvO + HvE
�
2 sinh (β�) sin (β�)T E = −EIβ3�HvO + K
�
K = (cosh (β�) sin (β�)− sinh (β�) cos (β�))H = (sinh (β�)− sin (β�))
où E et ρ sont le module d’Young et la densité de masse, A etI l’aire et l’inertie de le section droite, α2 = ρω
2
E, β4 = A
Iα2, u
et v les déplacements longitudinal et tranversal.
Extension à l’élasticité non linéaire
C’est la géométrie du treillis qui est l’inconnue, c’est-à-dire lespositions �x ñ des nœuds.Formulation en puissances virtuelles des équations d’équilibre :
∀�v ñ , −�
b̃∈B̃
N b̃�e b̃.��vE(b̃) − �vO(b̃)
�+
�
ñ∈Ñ
�f e/ñ.�v ñ = 0
Lois de comportement :
N b̃ = S b̃�l b̃�
où l b̃ est la longueur de la barre b̃ :
�B b̃ = �x Ẽ(b̃) − �x Õ(b̃) = l b̃�e b̃
L’adaptation est simple car presque tous les développementsont été faits pour le cas linéaire
Développements
La position du nœud ñ = (ν1, ν2, n) est cherchée sous laforme :
�x ñ = �R0�λ1�,λ2�
�+��Rn1
�λ1�,λ2�
�+�2�Rn2
�λ1�,λ2�
�+· · · , λi� = �ν i
(λ1,λ2) sont des coordonnées lagangiennes (généralisées).Pour une barre b̃ = (ν1, ν2, b), on a :
�B b̃ = �x Ẽ(b̃) − �x Õ(b̃) = ���RE(b)1 − �RO(b)1 + ∂
�R0
∂λiδib
�+ · · ·
d’où :
l b̃�e b̃ = ��lb0 + �lb1 + · · ·
�, �e b̃ = �eb0 + ��eb1 + · · ·
lb0 =
������RE(b)1 − �RO(b)1 + ∂
�R0
∂λiδib
�����
�eb0 =1lb0
��RE(b)1 − �RO(b)1 + ∂
�R0
∂λiδib
�
Modélisation continue
Equation d’équilibre du milieu continu sur la configurationdéformée :
divσ + �f = 0 , �f =1g
�
n∈NR
�f e/ñ
σ =1g
��
b∈BR
�S i�⊗ ∂
�r 0
∂λi
Problème sur la cellule
Equilibre :
∀�vn ,�
b∈B
Nb0�eb0.��vO(b) − �vE(b)
�= 0
Lois de comportment :
Nb0 = Sb�lb0
�
lb0 =�����r
E(b)1 −�rO(b)1 + ∂�r 0
∂λiδib
����
�eb0 =1lb0
��rE(b)1 −�rO(b)1 + ∂
�r 0
∂λiδib
�
Problème non linéaire
Loi de comportment du milieu continu
Etant donnée la transforation linéaire tangente ∂�R0∂λi , i = 1, 2du milieu continu équivalent, on détermine �Rn1 , n ∈ N enrésolvant le problème sur la cellule, puis on calcule Nb0, �eb0 etσ :
∂�R0
∂λi→ �Rn1,Nb0 → σ
�∂�R0
∂λi
�=
1g
��
b∈B
Nb0�eb0δib�⊗ ∂
�R0
∂λi
Milieu continu élastique non linéaire - Objectivité -Hyperélasticité
Energie élastique
Densité d’énergie élastique acroscopic :
wM�∂�R0
∂λ1,∂�R0
∂λ2
�=
�
b∈BR
Ub������
�RE(b)1 − �RO(b)1 + ∂�R0
∂λiδib
�����
�
Equation d’Euler par rappport à la variation des �Rn1 −→problème de cellule −→ W M en fonction de la déformation∂�r0
∂λi , i = 1, 2
Application au graphène
A. Mourad, A. Raoult
Energie élastique des barres fonction des distancesinteratomiques et des angles entre les directions des vecteursreliant les atomes
W =�
b̃∈B̃
U�l b̃�+�
c̃∈C̃
V�θc̃�
Différenciation de W =�
b̃∈B̃ U�l b̃�+�
c̃∈C̃ V�θc̃�
:
variations δ�x ñ des positions �x ñ des nœuds −→ variation des l b̃−→ tensionsvariations δ�x ñ −→ variation des θc̃ = rotation instantanéevirtuelle des vecteurs reliant les atomes �ωb̃ = �e b̃ ∧ δ�e b̃
−→ moments des vecteurs reliant les atomes
Commentaires
� Robustesse - la seule hypothèse est le développement :�uñ = �u0 (λ1�,λ2�) + ��un1 (λ1�,λ2�) + �2�un2 (λ1�,λ2�) + · · ·
� Le point important est que les �rnk dépendent du numéron du nœud dans une cellule. Quand il n’y a qu’un nœudpar cellule, l’homogénéisation n’est rien d’autre que descalculs de moyennes.
� Adaptable : applications à des domaines différent(mécanique, conduction électrique ou thermique) et àdifférentes sortes de modèles microcospiques (treillis,réseaux de poutres, interactions multinodales)
� Détermination de différents modèles macroscopiquessuivants la mise à l’échelle en fonction de � desparamètres impliqués dans la modélisation.
Merci de votre attention
Top Related