UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR INSTITUTO DE TECNOLOGIA
FACULDADE DE ENGENHARIA MECNICA METODOS MATEMTICOS PARA ENGENHARIA MECNICA
TURMA 02110 - MANH
Soluo Analtica e Numrica da Equao da Onda Bidimensional Pelo Mtodo de Elementos Finitos
Belm
2014
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR INSTITUTO DE TECNOLOGIA
FACULDADE DE ENGENHARIA MECNICA METODOS MATEMTICOS PARA ENGENHARIA MECNICA
TURMA 02110 - MANH
Soluo Analtica e Numrica da Equao da Onda Bidimensional Pelo Mtodo de Elementos Finitos
Graduandos:
Humberto Vincius Muos Aguirre 11188003801
Mailthon Ritter Gil 11021003901
Marco Antnio Beltro Pamplona Jr. 10021000101
Este trabalho foi apresentado como pr-requisito da disciplina Mtodos de Matemtica Aplicada ministrada pelo Prof. Dr. Jerson Vaz.
Belm 2014
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SUMRIO
1. Introduo................................................................................................ 4
2. OBJETIVOS ............................................................................................. 4
2.1 Calculo Analtico da Eq. Diferencial Parcial de Segunda
Ordem 4
3. Anexo I: Soluo Analtica .................................................................. 7
3.1 Equao da onda ................................................................................... 7
4. Anexo II: Soluo Analtica e Soluo Numrica Pelo Mtodo
das Diferenas Finitas .............................................................................................. 13
4.1 Equao Da Onda ................................................................................ 13
5. Anexo III: Rotina Computacional da Soluo Analtica ............ 16
6. RESULTADOS E DISCUSSES........................................................ 16
7. CONCLUSO ........................................................................................ 17
8. REFERENCIAS BIBLIOGRFICA ..................................................... 18
4
1. Introduo
O mtodo dos elementos finitos (MEF ou FEM em ingls) uma forma
de resoluo numrica de um sistema de equaes diferenciais parciais.
O mtodo das diferenas finitas um mtodo de resoluo
de equaes diferenciais que se baseia na aproximao de derivadas por
diferenas finitas. A frmula de aproximao obtm-se da srie de Taylor da
funo derivada
2. OBJETIVOS
Este trabalho visa soluo analtica e numrica, pelo mtodo das
diferenas finitas, da equao da onda bidimensional aplicada em um plano
definido. O principal objetivo comparar os mtodos de soluo pela sua
facilidade de soluo e implementao computacional, visto que, as solues
obtidas no clculo manual foram implementadas no Software MatLab 7.12.0
(R2011a).
2.1 Calculo Analtico da Eq. Diferencial Parcial de Segunda
Ordem
A equao apresentada foi do tipo Diferencial parcial da forma:
y
x
0.0
L
L
5
Para o problema dado, foram estipuladas as seguintes condies de
contorno:
E as seguintes condies iniciais:
A soluo e os passos de obteno da mesma esto explicitados
na forma analtica e na forma numrica, presentes no Anexo 1 e Anexo II,
respectivamente.
As equaes encontradas foram implementadas no MatLab, os
resultados obtidos podem ser sintetizados na Fig. 1. Onde temos o
resultado da plotagem 3d para os instantes T0 = 0s, T = 5s e T = 15s, T =
30s, T = 45s e T = 60s.
6
Figura 01: Plotagem da superfcie 3d nos instantes (A) T0 = 0s, (B) T = 5s, (C) T = 15s, (D) T =
30s, (E) T = 45s e (F) T = 60s.
A B
C D
E
E F
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3. Anexo I: Soluo Analtica
3.1 Equao da onda
O modelo da corda elstica vibrante dado pela equao da
onda unidimensional
2
2= 2.
2
2, =
,
Em que T a tenso na corda e a massa por unidade de
comprimento. U (x, t) a deflexo na corda. Portanto, supomos
uma corda de comprimento L e fixa nas extremidades x= 0 e x= L.
Ento temos duas condies de contorno.
{ = (0, ) = 0
= ( , ) = 0 ( )
Alm disso, temos as seguintes condies iniciais:
( , 0) = ()
(, 0) = () ( 0 )
-Soluo:
Classificao da E.D.P.
E.D.P. de 2 ordem, 1 grau, linear, homognea, transiente,
unidimensional, hiperblica.
-Aplicando o mtodo de separao de variveis:
( , ) = (). (), . . .
2. ( ). ( ) =
22. 2. (). ()
2
8
. 2.
2=
2. . 2.
2 :
2.
2. 2=
2.
2 = 2
Montando o sistema:
{2
2. = 2. 2. (1)
{2
2= 2 (2)
Soluo da equao 1:
{2
2. = 2. 2. , fazendo = e
2
2= 2 , temos
ento:
2. = 22. : 2. +22. =
: . ( 2 + 2 . 2) = 0
:: 2 = 22
Resolvendo : = 2. 2 = , ento:
() = 1. + 2.
-Aplicando a identidade de Euler:
= cos() . ()
() = 1. cos() + () + 2. cos() ()
9
() = (1 + 2). cos() + (1 2) ()
() = 1. cos() + 2. ()
-Soluo da equao (2):
{2
2= 2 , fazendo = e
2
2= 2, temos
ento:
2. = 2. : 2. + 2. = 0
(2 + 2) = 0 : 2 = 2 , resolvendo = 2 =
1,2 =
() = 3. + 4.
-Aplicando a identidade de Euler:
= cos() ()
() = 3. cos() + () + 4 cos() ()
() = (3 + 4). cos() + ( 3 4) ()
() = 3. cos() + 4(), :
( , ) = (). (), :
( , ) = 3. cos() + 4. () 1. cos() + 2. ()
Aplicando as Condies de Contorno
1a Condio de Contorno, sendo: (0, ) = 0
10
Logo,
(0, ) = 0 = (0) () = (0) = 0 , fica ento,
(0, ) = 0 = 3 cos(0) + 4 (0)
(0, ) = 0 = 3 1 + 4 0
(, ) = =
2a Condio de Contorno, sendo: (, ) = 0
Logo,
(, ) = 0 = () (), fica ento,
() = 4 () = 0
() = 0
() = 0
=
=
=
Ento, a deflexo da soluo fica:
(, ) = 4 () [ 1 cos() + C2 x sen ()]
+
=1
11
(, ) = () [ 1
+
=1
4 ] cos()x + [ C2 C4 ] x sen ()
(, ) = () () + ()
+
=
3a Condio de Contorno, sendo: (, 0) = (), fica ento:
() = () cos()x + B x sen ()
+
=1
() = () cos(0)x + B x sen (0)
+
=1
() = () x(1) + B x (0)
+
=1
(, ) = () = ()
+
=
Semi - Srie de Fourier
=
() (
)
4a Condio de Contorno, sendo:
(, 0) = ()
Para, (0 ).
Logo,
12
(, 0) = ()
= () [ () x sen ()
+
=1
+ B x ()x cos()]
(, ) = () = () ()
+
=
Semi Serie de Fourier
= 2
() (
)
0
=
() (
)
Portanto a soluo geral da Equao Onda Unidimensional
:
(, ) = (
) { (
) + (
)}
+
=
Sendo que para:
=
() (
)
13
=
() (
)
4. Anexo II: Soluo Analtica e Soluo Numrica Pelo
Mtodo das Diferenas Finitas
4.1 Equao Da Onda
[
] = [
+
]
Onde,
U = uma funo da posio e do tempo que descreve o
comportamento da onda.
C = a velocidade de propagao da onda.
T = varivel temporal.
Para solucionar esta equao, vamos utilizar o mtodo das
diferenas finitas.
Vale lembrar que este mtodo utilizado na discretizao das
equaes diferenais parciais (EDP), a partir da substituio das
derivadas por relao de diferenas. Portanto trata-se de um
mtodo bastante aproveitado tanto para solues de Equaes
diferenciais de 1a e 2a ordem.
Tendo ento uma malha bidimensional:
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No caso temos uma malha tridimensional devido ao tempo ser uma
dimenso, sendo assim ainda temos um coeficiente k que vem a
ser meu (U) graficamente falando.
Expandindo por srie de Taylor e aplicando as derivadas obtemos
que:
2
2=
[ 1 2 + + 1]
2
2
2=
[ 1 2 + + 1]
2
2
2=
[ 1 2 + + 1]
2
Aplicando o Mtodo das Diferenas Finitas para a Equao da
Onda:
[
] = [
+
]
2
2=
[ 1, , 2, , + + 1, , ]
2
2
2=
[, 1, 2, , + , + 1, ]
2
2
2=
[, , 1 2, , + , , + 1 ]
2
[1
2] [
[, , 1 2, , + , , + 1 ]
2]
= [[ 1, , 2, , + + 1, , ]
2]
+ [[, 1, 2, , + , + 1, ]
2]
Fazendo: 2 = 2, e isolando , , + 1, temos:
15
= [(
)
1
2] < 0,5. .
, , + 1 = (2 4), , +
[ 1, , + + 1, , + , 1, + ,
+ 1, ] , , 1
Sendo est a equao resolvida pelo programa.
No entanto, precisamos de condies iniciais.
Para isso, a condio que satisfaz o problema uma curva
Gaussiana do tipo:
= 0.1 (2 + 2
22)
Onde:
U = uma funo da posio e do tempo que descreve o
comportamento da onda.
X = a variao x da malha.
Y = a variao y da malha.
u = Desvio Padro
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5. Anexo III: Rotina Computacional da Soluo
Analtica
Vede Arquivo MatLab executvel.
6. RESULTADOS E DISCUSSES
A acelerao do meio (gua) tem que ser balanceada pelos
processos difusivos. Ento, utilizando a equao da onda para
representar o processo, a condio final deve ser de elevao
constante (nula). Pois um processo totalmente dissipativo.
Os resultados so obtidos atravs de vrios grficos em 2d,
com o auxlio do programa MatLab, que realiza uma simulao
atravs dos mesmos.
Resultados tirados dos grficos.
1. .
= 0,3 [
]
.
= 60 []
2. .
=1
= 0,0166666 0,0167 []
3. .
17
=
=
=
0,3
0,0167
= 17, 967 []
4. .
= 2
=2
60
= 0,10472 [
]
5. .
= 2
= 2
17,967
= 0,3497[
]
0,35 [
]
7. CONCLUSO
Quanto ao problema fsico, tivemos certa dificuldade em
programar no MatLab a equao da onda, certa dificuldade na
anlise, erros operacionais humanos, tanto interpretao,
programao. No entanto, obtivemos dados, do tipo: perodo,
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frequncia, comprimento de onda, frequncia angular, nmero de
onda.
Concluindo, o programa rodou de acordo com o esperado,
apresentando grficos satisfatrios, bem como a soluo do
mtodo das diferenas finitas que foi eficaz para a resoluo do
problema.
8. REFERENCIAS BIBLIOGRFICA
Zill, D.G.: Equaes Diferenciais com Aplicaes em Modelagem,
Pioneira Thonson Learning, So Paulo, 2003.
Oliveira, E.C., Tygel, M.: Mtodos Matemticos para Engenharia,
SBMAC, So Carlos, 2011.
Conte, S.D., Boor, C.: Elementary Numerical Analysis: An Algorithmic
Approach, McGraw-Hill, 2009.
Anlise Numrica; Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas; 2008.
http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_dos_elementos_finitos#me
diaviewer/Ficheiro:Airflow-Obstructed-Duct.png
http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_dos_elementos_finitos
http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_das_diferen%C3%A7as_fin
itas
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