FFa
MECANIQUERATIONNELLE
Cours&exercicesrsolus
Rappels sur les Vecteurs, Les Torseurs, Statique des Solides, Gomtrie des Masses, Cinmatique du Point et du Solide,
Cintique et Dynamique des Solides
A. KADI
U N I V E R S I T E M H A M E D B O U G A R A - B O U M E R D E S
10,zz
O
A
L
L/2
R
21,xx
0y
0x
2z
C
CLASSES PREPARATOIRES AUX GRANDES ECOLES
TRONC COMMUN DES UNIVERSITES (TCT)
SCIENCES TECHNIQUES (ST) semestre 3 (LMD)
Cet ouvrage est destin aux tudiants de deuxime anne des classes prparatoires aux grandes coles et aux tudiants du tronc commun de technologie des universits ainsi que les tudiants du semestre 3 des sciences techniques du systme LMD. Il contient des chapitres de cours et des exercices rsolus la fin de chaque chapitre. Les solutions sont souvent dtailles et permette ltudiant de complter sa comprhension du cours et faire soit mme son valuation. Les deux premiers chapitres traitent les outils mathmatiques notamment les torseurs utiliss pour simplifier lcriture des quations de la mcanique. Le chapitre trois dcrit lquilibre statique des solides et les diffrentes liaisons entre les solides et les quations qui les rgissent. Le chapitre quatre est consacr la gomtrie des masses donc aux centres dinertie et aux tenseurs dinertie des solides. Savoir utiliser le thorme de Huygens permet de rsoudre un bon nombre de problmes en mcanique des solides et vibrations. Les chapitres cinq, six et sept traitent la cinmatique du point matriel et la cinmatique du solide indformables ainsi que les contacts entre les solides. Le maniement des angles dEuler et leur assimilation sont indispensables pour la comprhension de la mcanique des solides. Les chapitres huit et neuf dcrivent la cintique et les thormes fondamentaux de la dynamique et le principe de laction et de la raction. Le dernier chapitre traite la dynamique des solides en mouvements de rotation autour dun axe et de leur quilibrage statique et dynamique. De nombreux exercices rsolus dans cet ouvrage montrent aussi la manire dont il faut utiliser les thormes gnraux de la mcanique et combien il est important de faire un bon choix des repres pour la dtermination des lments cinmatiques et cintiques des solides. La mcanique est la science qui dcrit les lois des mouvements et de lquilibre. Elle est la base du dimensionnement des mcanismes, des machines, des structures, des ouvrages et autres ralisations de lhomme. Jespre que le lecteur ayant utilis louvrage pourra la fin, en utilisant les torseurs des actions mcaniques et les diffrentes liaisons, crire les quations de mouvement dun mcanisme quelconque et rsoudre le problme. Je tiens remercier, toutes celles et ceux qui voudrons me faire parvenir leurs critiques, remarques ainsi que leurs suggestions afin damliorer le contenu de cet ouvrage.
Lauteur Email : [email protected]
Prface
Quand Ali KADI ma amicalement demand dcrire la prface de cet ouvrage, je nai pas hsit rpondre affirmativement. Loccasion qui mest donc offerte me permet de madresser directement aux tudiants, aux enseignants et ingnieurs concerns par cet ouvrage. Elle me permet aussi de tmoigner toute ma reconnaissance lauteur qui nous a offert, l, un ouvrage fort intressant traitant dun domaine cl des sciences de lingnieur, savoir la cinmatique et dynamique des solides indformables o chaque cours est suivi dune srie dexercices corrigs. Louvrage est structur en chapitres complmentaires les uns des autres, traitant en dtail de la gomtrie des masses jusqu la dynamique des solides en passant par les thormes fondamentaux de la dynamique et du principe de laction et de la raction. Il sadresse aussi bien aux tudiants des deux premires annes des universits, aux tudiants des classes prparatoires aux grandes coles, ainsi quaux enseignants et ingnieurs. Chacun en trouvera ce dont il a besoin. Ltudiant, pour approfondir ses connaissances et aller au-del des concepts vus aux cours. Lenseignant, pour amliorer sa source de savoir. Lingnieur pour en faire une rfrence indispensable. Louvrage propos intgre un lment nouveau : lapproche mthodologique de rsolution de problmes. Corollaire dune dizaines dannes de travail universitaire effectue par lauteur, lapproche est construite avec le souci constant de proposer des exercices corrigs difficult croissante, permettant la matrise graduelle des principes directeurs du cours. Enfin, lheureuse ide davoir inclut au dbut de louvrage une slection des principaux outils mathmatiques connexes la comprhension de la science mcanique, ne peut que renforcer la notorit de cet ouvrage.
Professeur Kamel BADDARI
Doyen de la facult des sciences Universit de Boumerds
Algrie
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A.KADI
CHAPITRE I
LES OUTILS MATHEMATIQUES
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ou
A.KADI
LES OUTILS MATHEMATIQUES
La modlisation de lespace rel, considr dans le cadre de la mcanique classique comme
tant trois dimensions, homogne et isotrope suppose lintroduction doutils mathmatiques
tel que les vecteurs, et les notions sur les torseurs. Dans cette partie nous prsenterons les
rappels et lensemble des oprations mathmatiques sur les vecteurs. Nous dvelopperons
aussi ltude sur les torseurs qui sont des outils mathmatiques trs important en mcanique
classique, notamment en mcanique des solides. Lutilisation des torseurs en mcanique
permet de simplifier lcriture des quations relatives aux grandeurs fondamentales de la
mcanique.
1. Oprations sur les vecteurs
Dans tout ce qui suit, on sintressera lensemble E des vecteurs V de lespace usuel. E est
un espace Euclidien trois dimensions.
2. Dfinition Un vecteur est un segment de droite OA sur lequel on a choisi une origine O et une extrmit
A ; il est dfini par :
- son origine ; O
A - sa direction ;
- son sens ;
- son module.
Par convention on adopte la notation suivante : vecteur : V
OA
3. Classification des vecteurs Il existe plusieurs types de vecteurs :
- Vecteur libre : la direction, le sens et le module sont donns mais la droite support et le
point dapplication (origine du vecteur) ne sont pas connues ;
- Vecteur glissant : le point dapplication (origine du vecteur) nest pas fix ;
- Vecteur li : tous les lments du vecteur sont dtermins ;
- Vecteur unitaire : cest un vecteur dont le module est gal 1.
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A.KADI
4. Composantes dun vecteur
Considrons une base de lespace 3R note : . Cette base est orthonorme
si : e
),,,( 3210= eeeOR
==
ji si 0ji si 1
ji e
1e
2e
3e
La base est dite directe si un observateur se plaant
lextrmit du vecteur e verra le vecteur tourner vers le
vecteur e dans le sens contraire des aiguilles dune montre.
0R
3
1e
2
Dans cette base un vecteur V de composantes ( scrirait :
3),, Rzyx ++= 321 ezeyexV
Les quantits relles x, y, z sont appeles composantes du vecteur V dans la base
3R .
La notation adopte est la suivante : V
=zyx
R0
+=
321 aaa
5. Loi de composition interne : Somme vectorielle
La somme de deux vecteurs V et V est un vecteur W tel que :
1
2
321 , RVV
nous avons W 321 RVV
Soit ( les composantes du vecteur V do : V et
les composantes du vecteur V do : V
),,
1
++= 3322111 eaeaea
),,( 321 bbb
2
++= 3322112 ebebebLe vecteur somme est dfini par la relation :
+++++=+= 33322211121 )()()( ebaebaebaVVW
Llment neutre ou vecteur nul, est not : )0,0,0(0 =
5.1 Proprits de la somme vectorielle
- la somme vectorielle est commutative : V ; +=+ 1221 VVV
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A.KADI
- la somme vectorielle est associative : ;
++=+
+ 321321 VVVVVV
- llment neutre est dfini par : ; =+ VV 0
- A tout vecteur correspond un vecteur oppos not tel que : V
V =
+ 0VV
5.2 Multiplication par un scalaire
Si est un nombre rel et un vecteur, leur produit est un vecteur. VR , ========> 3 RV 3RVW =
Le vecteur est colinaire au vecteur . W
V
Si le vecteur a pour composantes (a, b, c) tel que : ; le vecteur
scrirait :
V
++= 332211 eaeaeaVW
332211 ++= eaeaeaW
La multiplication dun vecteur par un scalaire vrifie les proprits suivantes :
a) Distribution par rapport laddition des scalaires : ; +=+ VVV 2121 )(
b) Distribution par rapport la somme vectorielle : ; +=+ 2121 )( VVVV
c) Associativit pour la multiplication par un scalaire : = VV 2121 )(
6. Combinaison linaire des vecteurs
Soit les n vecteurs : de lespace
ni VVVVV ..................,.........,, 3213R et n ,........,, 321 des
nombres rels. Les vecteurs sont aussi des
vecteurs de lespace
nnii VVVVV ..................,.........,, 332211
3R ainsi que leur somme dfini par : W
=++++= ni
iinn VVVVVW .............332211
Le vecteur est appel combinaison linaire des vecteurs : W
nVVVV ...,.........,, 321
6.1. Dpendance et indpendance linaire entre les vecteurs 6.1.1. Dfinition
On dit que les n vecteurs : de lespace
ni VVVVV ..................,.........,, 3213R sont linairement
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A.KADI
indpendant si et seulement si, ils vrifient la relation suivante : entrane que = 0n
iii V
tous les i sont nuls. =++++= 0.............332211 nnn
iii VVVVV 01 = , 02 = , .. 0=n
Si les i ne sont pas tous nuls on dit que les vecteurs sont linairement dpendant entre eux. 6.1.2. Proprits sur lindpendance des vecteurs
a) Un vecteur est lui seul un vecteur linairement indpendant ; V
b) Dans un systme de vecteurs linairement indpendants, aucun dentre eux ne peut tre un
vecteur nul ;
c) Dans un ensemble de vecteurs indpendants, tout sous ensemble prlev sur ces vecteurs
forme un systme de vecteurs indpendants.
6.1.3. Proprits sur la dpendance des vecteurs
Si n vecteurs sont dpendants entre eux alors, au moins lun dentre eux est une combinaison
linaire des autres. Soit les n vecteurs : de lespace
ni VVVVV ..................,.........,, 3213R et
n ,........,, 321 des nombres rels, si ces vecteurs sont linairement dpendants la relation :
= 0n
iii V
Implique quil existe des i non nuls, de telle sorte que la relation puise scrire : =++++ 0.............332211 nn VVVV qui donne par exemple :
+++= nn VVVV .............332211
+++= nn VVVV .............1
33221
1
On dit alors que dpend linairement des vecteurs :
1V
nVVV .........,........., 32
Remarque :
a) Si sont linairement indpendant, alors les vecteurs
le sont aussi quel que soit les vecteurs
nVVVV .........,.........,, 321
,...,,.........,.........,,
2
1321
+
+
nnn VVVVVV ,...,,
2
1
+
+ nn VV
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A.KADI
Dans un ensemble de vecteurs linairement indpendants, chaque vecteur est une
combinaison unique des autres vecteurs.
b) Soit W et U deux vecteurs indpendants: = ni
ii V = ni
ii V
Lgalit entre les deux vecteurs indpendants est quivalente n galits entre les nombres
rels : Si W = V ii =
7. Produit scalaire de deux vecteurs
On appelle produit scalaire de deux vecteurs V et V une loi de composition externe qui
associe aux deux vecteurs, un scalaire (nombre rel) not : V tel que :
1
2
21 V
RVVRVV 2132 ,1
)cos( 2,12121
= VVVVVV ; le rsultat dun produit scalaire est un scalaire.
Le produit scalaire est nul, si :
Les deux vecteurs sont orthogonaux ; Lun des vecteurs est nul. 7.1 Proprits du produit scalaire
a) linarit : 2 12 1
+
+ =
WVWVWVV
=
WVWV
b) symtrie par rapport aux vecteurs : V donc : V si V
= VWW 0> V 0
Le produit scalaire est une forme linaire symtrique associe aux vecteurs V et W .
7.2 Expression analytique du produit scalaire
Considrons une base b de lespace 3R note : b . Cette base est orthonorme si : ),,( 321= eee
==
ji si 0ji si 1
ji ee
1e
2e
3e
La base b est dite directe si un observateur se plaant lextrmit
du vecteur e verra le vecteur e tourner vers le vecteur
3
1
2e
dans le sens contraire des aiguilles dune montre.
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Soient deux vecteurs et . Leurs expressions dans cette base sont :
1V
2V ++= 3322111 eaeaeaV ++= 3322112 ebebebV
Le produit scalaire des deux vecteurs est donn par :
33221133221133221121 bababaebebebeaeaeaVV ++=
++
++=
7.3. Norme ou module dun vecteur
On appelle norme ou module dun vecteur , not : V
V la racine carre positive du produit
scalaire du vecteur par lui-mme.
== 2VVVV
Nous avons en particuliers : = VV
++ 212121 VVVVVV : appel ingalit triangulaire.
7.4. Vecteurs orthogonaux
Deux vecteurs sont dits orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :
Si
= 0 WVWV
Si trois vecteurs non nuls sont orthogonaux deux deux, ils sont alors linairement
indpendant et ils constituent une base orthogonale dans 3R .
7.5. Base orthonorme
Une base est dite orthonorme si les vecteurs qui la constituent sont perpendiculaires deux
deux et si leurs normes sont gales 1. Si est orthonorme nous avons alors : ),,( 321= eeeb
021 =
ee , , 031 =
ee 032 =
ee
12111 ==
eee , , 12222 ==
eee 12333 ==
eee
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8. Produit vectoriel de deux vecteurs
Le produit vectoriel de deux vecteurs V et V de lespace
1
2
3R est un vecteur W
perpendiculaire V et V , dfini par :
1
2
== nVVVVVVW ,sin 212121
ou : est un vecteur unitaire perpendiculaire V et V n
1
2
1V
2V
W
n
Le produit vectoriel est nul si :
- Les deux vecteurs sont colinaires ;
- Lun des vecteurs, est nul.
8.1. Proprits du produit vectoriel
a) Le module du produit vectoriel est gal laire du paralllogramme form par V et V ;
1
2
b) Le produit vectoriel est distributif gauche et droite pour la somme vectorielle :
)( 2121 +=+ WVWVWVV
+=+ 2121 )( VWVWVVW
c) Le produit vectoriel est associatif pour la multiplication par un nombre rel :
) ( )( = WVWV
) ( ) = WVWV
d) Le produit vectoriel est antisymtrique (anticommutatif)
= 1221 VVVV
Si on applique cette proprit au produit vectoriel dun mme vecteur, nous aurons :
== 0) ( VVVV
On dduit partir de cette proprit que : deux vecteurs non nuls sont colinaires si et
seulement si leur produit vectoriel est nul.
Si alors
21 // VV = 0 21 VV
En effet si on peut crire : 21 // VV = 21 VV
== 0) ( 2221 VVVV
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8.2. Produit vectoriel des vecteurs unitaires dune base orthonorme
Si est orthonorme nous avons : ),,( 321= eeeb
Sens direct : e , e , e = 321 ee
= 132 ee = 213 ee
Sens oppos : , e , = 312 eee
= 123 ee = 231 eee
8.3. Expression analytique du produit vectoriel dans une base orthonorm direct
Le produit vectoriel de deux vecteurs de composantes respectives dans une base
orthonorme direct R:
21 et VV
=
1
1
1
1
ZYX
R
V et
=
2
2
2
2
ZYX
R
V
=
=
2121
2121
2121
2
2
2
1
1
1
21 XYYXZXXZYZZY
ZYX
ZYX
VV
8.4. Produit mixte
On appelle produit mixte de trois vecteurs V pris dans cet ordre, le nombre rel dfini
par : V
321 ,, VV
321 VVLe produit mixte est donc un scalaire gal au volume
3V
1V
2V
du paralllpipde form par les trois vecteurs.
Le produit mixte est nul, si :
- les trois vecteurs sont dans le mme plan ;
- deux des vecteurs sont colinaires ;
- lun des vecteurs, est nul.
On montre facilement que, dans une base orthonorme directe, le produit mixte est un variant
scalaire par permutation circulaire direct des trois vecteurs car le produit scalaire est
commutatif:
=
=
132213321 VVVVVVVVV
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32,1 ,VVV
13,221,332,1 ,,, VVVVVVVVV
A.KADI
Remarque :
Une notation simplifie, dans laquelle les oprateurs napparaissent pas, est adopte dans ce
cas pour faciliter lcriture des quations vectorielles :
321 VVV est quivalent
nous avons alors :
=
=
8.5. Double produit vectoriel
Le double produit vectoriel de trois vecteurs respectifs V est un vecteur W exprim
par la relation : W . Le vecteur W est perpendiculaire au vecteur V et au
vecteur form par le produit : V , il est donc dans le plan form par les vecteurs
. Le vecteur W peut scrire : W
32 1 ,, VV
= 321 VVV
1
32 V
32 et VV += 32 VbVa
Nous pouvons prsenter cette relation autrement par identification des scalaires a et b, on
obtient :
= 321231321 )( )( VVVVVVVVV
Il faut faire attention lordre des vecteurs car le produit vectoriel nest pas commutatif.
Pour retenir cette formule, il est plus simple de lcrire sous la forme :
)( )(
= BACCABCBA
9. Projection des vecteurs
9.1. Projection orthogonale dun vecteur sur un axe
Soit V un vecteur quelconque, et ( ) un axe de lespace dfini par son vecteur unitaire u .
La projection orthogonale du vecteur V est la composante V de ce vecteur du cet axe.
u
u
V
uV
= uuVVu )(
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9.2. Projection orthogonale dun vecteur sur un plan
Soit V un vecteur quelconque, et ( ) un plan de lespace dfini par la normale . La
projection orthogonale du vecteur V est la composante V dans le plan.
n
Le vecteur V a deux composantes lune dans le plan et lautre perpendiculaire au plan. On a
ainsi : V
== nnV( VV V
nV
n
V
V
(
n )
)( )(
Qui scrit aussi sous la forme : V
= nnVVnn
On retrouve la relation du double produit vectoriel
entre les vecteurs V et : V
n )( = nVn
10. Division vectorielle
Si , on dit que = WVX X est le rsultat de la division vectorielle de W par V
i) ne doit pas tre un vecteur nul ; V
ii) et V doivent tre orthogonaux W
Sil existe une solution particulire , alors elle est la forme
0X = WVX 0
En remplaant cette valeur dans lexpression on obtient : = WVX
= WVWV )( = WWVVVVW )()( Comme V alors V ; on obtient :
W 0= W
=WVVW )( 21V=
Nous avons aussi : cette expression montre que le
vecteur ( est parallle V , dans ce cas nous pouvons crire que :
= VXVX 0 = 0)( 0 VXX
)0 XX
= VXX )( 0 avec IR ou += VXX 0
finalement :
+= V
VWVX 2
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11. Rgle des sinus dans un triangle Soit un triangle quelconque ABC nous pouvons tablir une relation entre les trois cts et les
trois angles du triangle.
C
B A E
D
Dans les triangles ABD et CBD , nous avons :
ABDB=sin et
BCDB=sin
do : sinsin BCAB = On dduit :
sinsin ABBC =
De mme pour les triangles AEC et BEC , nous avons :
ACEC=sin et
BCEC= )sin( do sin)sin(sin BCBCAC ==
On dduit : sinACBC =
sin
On dduit finalement une relation appele rgle des sinus dans un triangle:
sinAC
sinsin== ABBC
12. Oprateurs et vecteurs
12.1 Oprateur gradient dans un repre orthonorm ),,,(kjiOR
On dfini loprateur vectorielle not :
+
+= k
zj
yi
x comme tant la drive dans
lespace suivant les trois directions des vecteurs unitaires.
Le gradient dun scalaire U est dfini comme tant la drive vectorielle suivant les trois
directions respectives par rapport aux variables : x, y, z . kji ,,
+
+= k
zUj
yUi
xUzyxgradU ),,( ou UUgrad
=
Exemple :
yzzxxyU 523 += : zyxU 23 =
, zxyU 53 += , yx
zU 52 +=
++++= kyxjzxizyzyxgradU )52()53()23(),,( Le gradient dun scalaire est un vecteur.
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12.2 Oprateur divergence dans un repre orthonorm ),,,(kjiOR
La divergence dun vecteur est dfinie comme tant le produit scalaire ++= kVjViVV zyx
de loprateur :
+
+= k
zj
yi
x par le vecteur ; not :
V
= VVdiv
zV
yV
xVkVjViVk
zj
yi
xVdiv zyxzyx
++
=
++
+
+= )(
La divergence dun vecteur est un scalaire.
12.3 Oprateur rotationnel dans un repre orthonorm ),,,(kjiOR
Le rotationnel dun vecteur est dfinie comme tant le produit ++= kVjViVV zyx
vectoriel de loprateur :
+
+= k
zj
yi
x par le vecteur ;
V
= VVrot ;
++
+
+= kVjViVk
zj
yi
xVrot zyx)(
Le rotationnel dun vecteur est aussi un vecteur.
Sous la forme matricielle nous aurons :
=
=
yV
xV
xV
zV
zV
yV
V
V
V
z
y
xVrot
xy
zx
yz
z
y
x
)(
Remarque :
Si f est un champ scalaire et et A
B deux vecteurs quelconques, les relations suivantes
sont vrifies :
- += gradfAAfdivAfdiv )( ;
- , avec = AAdivgradArotrot )()( 2
2
2
2
2
2
zyx +
+= ;
- ; )( ))( += Arot fAgradfAfrot
- ; = 0)( gradfrot
- ; 0)( ( = Arotdiv- )()() (
= BrotAArotBBAdiv
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A.KADI
EXERCICES ET SOLUTIONS
Exercice 01 :
Deux points A et B, ont pour coordonnes cartsiennes dans lespace : A(2,3,-3), B(5,7,2)
Dterminer les composantes du vecteur ainsi que son module, sa direction et son sens.
AB
Solution :
Le vecteur est donn par :
AB ++=+= iiiOAOBAB 543
Son module : 50543 222 =++=AB Sa direction est dtermine par les angles ),,( quil fait avec chacun des axes du repre. Ses angles se dduisent par le produit scalaire du vecteur par les vecteurs unitaires du
repre orthonorm :
AB
),(= iAB : cos.1.ABiAB = 424.0
503cos ===
ABiAB = 89.64
),(= jAB : cos.1.ABjAB = 565.0
504cos ===
ABjAB = 54.55
),(= kAB : cos.1.ABkAB = 707.0
505cos ===
ABkAB = 99.44
son sens : comme le produit scalaire du vecteur avec les trois vecteurs unitaires est
positif alors, il a un sens positif suivant les trois axes du repre.
AB
k
A
B
i
j
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151 =
A.KADI
Exercice 02 :
La rsultante de deux forces et est gale 50 N et fait un angle de 30 avec la
force . Trouver le module de la force et langle entre les deux forces.
1F 2
F
151 NF =
2F
Solution :
R = 50 N ; V ; N = 30 , n ous avons : += 21 FFRDans le triangle rectangle: ACD rectangle en D, nous avons :
222 DCADAC += cos21 FFBDABAD +=+=
sin2FDC =
On obtient alors : cos2)sin()cos( 212221222212 FFFFFFFR ++=++=cos2 2122212 FFFFR ++= (1)
Nous avons aussi :
sin sin
sin sin
22
F CDFCD
R CDR
CD
==
== (2) sinsin 2FR =
et R
FFR
AD coscos 21 +== 2
1coscos (3) F
FR =
en remplaant lexpression (3) dans (1), on aboutit :
)cos(2cos2 112
22
12
121
22
21
2 FRFFFF
FRFFFFR ++=
++=
do : )cos(2 112
12
2 FRFFRF =
NxF 44,44)1530cos50(1521550 222 ==
Lexpression (3) nous donne : 566,050
1530cos50cos == = 528,55
2F
1F
A
C
D B
R
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A.KADI
Exercice 03 :
Soient les vecteurs suivants : et ++= kAjAiAU 3211
++= kBjBiBU 32121) Calculer les produits scalaires : , , , 221121
UUUUUU
On donne : , , += kjiV 521
+= kjiV 5.75,132 ++= kjiV 453
2) Calculer ; et 2121
VVVV
3) Sans faire de reprsentation graphique que peut-on dire du sens et de la direction du
vecteur par rapport ; 2
V 1V
4) Calculer les produits suivants et ; ) ( 321
VVV ) ( 321
VVV
5) Dterminer la surface du triangle form par les vecteurs
32 et VV
Solution :
1) , , 33221121 BABABAUU ++=
23
22
2111 AAAUU ++=
23
22
2122 BBBUU ++=
2) 455,375,16 21 ==
VV
=
+
=
=
000
335,15,15,75,7
5,75,13
55,1
2 21 VV
3) Comme le produit vectoriel des deux vecteurs est nul, alors ils sont parallles
= 0 21 VV // 21
VV
De plus leur produit scalaire est ngatif , alors les vecteurs sont
parallles et de sens opposs
45 21 =
VV
21 et VV
4) 05,225,40635,45,405,31
51
2
145
5,75,13
51
2) ( 321 ==
=
= VVV
on peut retrouver ce rsultat par la mthode vectorielle :
Nous avons soit // 21
VV 32 = VVW , calculons
3
2
WV
WV
WV1
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33
A.KADI
WVVVWV 1212 // et 0 1 =
WV
V
=
=
=
5,1125,166
198
5,45,405,31
51
2
145
5,75,13
51
2) ( 321 VV
V ++= kjiVV 5,112166198) ( 321
5) La surface du triangle form par les vecteurs V est donne par la moiti du
module du produit vectoriel des deux vecteurs :
32 et V
Nous avons : alors : += k,ji,VV 545,40531 32
50,51)54(5,40531 22232 =++=
,,VV
2V
3V
75,25250,51
2
32
==
=
VVS
cest la demi surface du paralllogramme :
Exercice 04 :
Soient les vecteurs : += kiU 62 , V , , ++= kzjyi8
et
et
+= kjiP 243 ++= kjyiQ 122
1) Dterminer y et z pour que les vecteurs U soient colinaires ; V
2) Dterminer la valeur de y pour que les vecteurs soient perpendiculaires; QP et
Solution :
1) Si U sont colinaires alors:U V
= 0 V
=
+
=000
2482
68
602
y
zy
zy
==
240
zy
2) Si sont perpendiculaires alors : QP et 0 = QP
0 12
2
24
3 0
=
= yQP 02446 =+ y 29=y
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A.KADI
Exercice 05 :
Trouvez le volume dun paralllpipde dont les cots sont les vecteurs : U tel que : , , ,QP
+= jiU 62 , , 53 += kjP , += kjiQ 24
Solution :
Le volume dun paralllpipde est un scalaire positif. On doit utiliser une opration
vectorielle dont le rsultat est un scalaire positif : cest le module du produit mixte des trois
vecteurs : ) (
= QPUv
223025 3
526
062
2
41
530
062
) ( =+=
=
=
QPU ;
2222) ( === QPUv
Exercice 06 :
La trajectoire dun mobile dans un repre orthonorm directe est donne par les
quations paramtriques suivantes : ,
),,,(kjiOR
24tx = )3
(43tty = , 33 ttz +=
Montrer que le vecteur vitesse V fait un angle constant avec laxe oz. Quelle est la valeur de
cet angle.
Solution :
xVyV
xyV
zV
V
k
j
i
La vitesse du mobile est donne par : V
+==
== )
)1(31(4 8
2
2
tVtV
tV
z
y
x
Nous avons en effet :
z
yx
z
xy
VVV
VV
tg22 +==
)1(316321664
)1(3)1(1664
2
242
2
222
tttt
ttt
tg +++=+
+=
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35
A.KADI
34
)1(3)1(4
)1(3)1(16
)1(3)12(16
2
2
2
22
2
22
=++=+
+=+++==
tt
tt
ttt
tg
34=tg = 13,53 la valeur de langle est bien constante.
Exercice 07 :
La ligne daction dune force de 800 N , passe par les points et
dans un repre orthonorm. Dterminer les composantes de cette force
F
74,2022,1
A
61,022,10
B
Solution :
Nous avons :
= ABuABAB AB
ABuAB
= vecteur unitaire port par la ligne daction.
74,2
13,222,122,1)13,2()22,1()22,1(
13,222,122,1 222
+=++
+== kjikjiABABu AB
+= kjiu AB 777,0445,0445,0
La force scrira : F
)6,621356356)777,0445,0445,0(800 +=+== kjikjiuFF AB
Les composantes de la force sont ainsi connues suivant les trois axes du repre.
Exercice 08 :
Soit un repre orthonorm direct dans lespace vectoriel Euclidien ),,,( 321eeeOR 3R trois
dimensions dans le corps des nombres rels. Soit un axe passant par le point O et de
vecteur unitaire tel que : , et un vecteur quelconque
),( uO
u
=
3
2
1
uuu
u
=
3
2
1
VVV
V
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36
A.KADI
On note u un plan orthogonal laxe ),( uO
1) Calculer les produits scalaires suivants : ;
VuVVuu , ,
2) Dterminer les composantes du vecteur dans le repre ; En
dduire dans cette base la matrice reprsentant loprateur produit vectoriel not :
;
= VuW ),,,( 321eeeOR
[ ]uu * =
3) Trouver lexpression du vecteur : projection orthogonale du vecteur sur laxe
; En dduire la matrice
uV
V
),( uO [ ]Pu reprsentant loprateur projection orthogonale sur
laxe ; ),( uO
4) Trouver lexpression du vecteur : projection orthogonale du vecteur sur le plan V
V
u ; En dduire la matrice [ reprsentant loprateur projection orthogonale sur sur le plan
]uu ;
5) Dterminer lexpression de la distance d dun point
zyx
R
P laxe ; En dduire
lexpression matricielle reprsentant la distance au carre : dans le repre R.
),( uO
2d
Solution :
1) Calcul des produits scalaires :
, , 2322
21 uuuuu ++=
2
32
22
1 VVVVV ++=
332211 VuVuVuVu ++=
2) dans le repre = VuW ),,,( 321
eeeOR
, sous forme matricielle lexpression scrira :
=
==
1221
3113
2332
3
2
1
3
2
1
VuVuVuVuVuVu
VVV
uuu
VuW
=
3
2
1
12
13
23
00
0
VVV
uuuu
uuW
= V
uuuu
uuW
00
0
12
13
23
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A.KADI
[ ] = VuW * avec : [ ] oprateur produit vectoriel.
=
00
0*
12
13
23
uuuu
uuu
3) Expression du vecteur , projection de sur laxe dans R
uVV ),(
uO
Nous avons :
= uuVVu
( ) ( )
++++=++=
= 332211332211332211 eueueuVuVuVuuVuVuVuuuVVu
( ) ( ) ( ) ++++++++= 332323213123322221211331221121 eVuVuuVuueVuuVuVuueVuuVuuVu ( ) [ ][ ] =
= VuuVuuu
uuu
T 3213
2
1
Nous avons donc : [ ] [ ][ ] ( )
=
==
233231
322221
312121
321
2
2
1
uuuuuuuuuuuuuuu
uuuuuu
uuu TP
4) Expression du vecteur , projection de sur le plan V
V )( orthogonal u
Le vecteur a deux composantes, lune perpendiculaire au plan elle est porte par laxe
et lautre dans le plan
V
)( )( .
Nous avons alors :
+
=+= VuuVVVV u
=
= uuVVuuuuVVV , on retrouve la forme du double produit
vectoriel do : . Le produit vectoriel est anticommutatif, alors :
, ce qui donne :
= uVuV
[ ] == VuVuuV * [ ] [ ] =VuuV **
mais nous savons que : [ ] on a finalement : [ uu T ** = ][ ] [ ] [ ][ ]{ } [ ] === VuVuuVuuV PTT ****
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=+ =+ =+]
A.KADI
avec [ ] [ ][ ]TP uuu **=Dveloppons cette expression :
[ ] [ ][ ]
+++
=
==
22
213231
3223
2121
312123
22
12
13
23
12
13
23
00
0
00
0**
uuuuuuuuuuuuuuuuuu
uuuuuu
uuuu
uuuuu TP
sachant que : u alors : u , u , u 12322
21 =++ uu 212322 1 uu 222321 1 uu 232221 1 uu
La matrice [ scrira : Pu
[ ]
=
=233231
322221
312121
233231
322221
312121
100010001
11
1
uuuuuuuuuuuuuuu
uuuuuuuuuuuuuuu
uP
[ ] [ ] [ ][ ]Tp uuu = 1 or nous avons [ ] [ ][ ]TP uuu **= [ ][ ] [ ] [ ][ ]TT uuuu = 1** finalement : [ ][ ] [ ][ ] [ ]1 ** =+ TT uuuu 5) Expression de la distance d du point P laxe ),(
uO
= HPd
H
O
)(
u
P
Calculons le produit vectoriel : OP u
Le vecteur a pour composantes :
OP
== zyx
R
rOP
=
+= uHPuHPOHuOP
dHPuHPuHP === 90sin
nous avons alors :
= uOPuOPd 2 nous allons utiliser la rgle du produit mixte afin de dvelopper
cette expression.
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A.KADI
=
=
= OPuOPuuOPuOPuOPuOPd ,,,,2
qui scrit sous forme :
=
= OPuOPuOPuOPu ,,
= Vud 2 avec
= OPuOPV
Daprs ce que lon a vu prcdemment, nous pouvons crire :
=
00
0*
xyxz
yzr
[ ][ ]( )
==
=
= urruurruuOPOPuOPuOPudT
**)((2
or nous avons [ ] [ ]Trr ** =
[ ][ ]( ) [ ] ==uIuurrud O
TT
T
**2 avec [ ][ ]( ) [ ]OT Irr =**
[ ]
+++
=22
22
22
yxyzxzyzzxxyxzxyzy
IO
en faisant intervenir la masse du solide, nous obtenons une matrice de la forme :
[ ]
+++
=
SSS
SSS
SSS
dmyxyzdmxzdm
yzdmdmzxxydm
xzdmxydmdmzy
J
)(
)(
)(
22
22
22
0
qui est une matrice trs particulire que lon retrouvera dans les chapitres sur la cintique et
la dynamique des solides.
Elle est appele matrice dinertie du solide.
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A.KADI
Exercice : 09
Rsoudre lquation vectorielle : o sont deux vecteurs non nuls. = bxa ba et
Solution :
Lquation nadmet de solution que si sont orthogonaux. Soit (ba et ) un plan
contenant les vecteurs , alors le vecteurs est perpendiculaire ce plan xa et
b )( .
On cherche dabord une solution particulire avec un vecteur tel que : soient
deux vecteurs perpendiculaires entre eux :
0x
0et xa
0 00 =
xaxa
Alors on a aussi : Multiplions vectoriellement gauche cette quation par le
vecteur , on obtient :
0 = bxa
a 0
=
baxaa 00
=
baaaxxaa
200
aabxbaaax
==
nous avons ainsi : en faisant la diffrence entre ces deux quations, nous
==
0bxa
bxa
obtenons la solution gnrale : x
=
= 0 0 00 xxaxaxa
Comme le produit vectoriel est nul alors alors do :
0 // xxa 0 = axx
On a finalement : 0 += axx 2
+= aa
abx
Reprsentation gomtrique :
a
0x
b
a x
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A.KADI
Exercice : 10
On dispose de deux forces lune de 9 N lautre de 7 N . Comment doit-on les disposer pour
obtenir une rsultante de : 16 N ; 11,40 ; 3 N
Exercice 11 :
Calculer la surface du triangle ABC, o les sommets ont pour coordonnes dans un repre
orthonorm : )4 ,2 ,3( , )2 ,2 ,2( , )2 ,3 ,1( CBA Exercice 12 :
Dterminer la rsultante des trois forces concourantes au point : )3,2,2(A
+= kjiF 5,271 ; ; += kjiF 522
++= kjiF 433Calculer :
21 FF , 21 FF ,
+ 21 FF
En dduire le module, la direction et le vecteur unitaire port par la rsultante
Que peut-on dire de et .
1F
3F
Exercice 13 :
Soit le systme dquations vectorielles dans un repre orthonorm direct ,
dterminer les deux vecteurs tels que :
),,,(kjiOR
Yet X
==+
(2)
(1)
2
1
VYX
VYX avec
+=++=
kjiV
kjiV
2158
247
2
1
On multiplie vectoriellement gauche lquation (1) par le vecteur X puis on applique la
rgle de division vectorielle quon vient de voir dans lexercice (09). =
+ 1VXYXX , on remplace cette expression dans lquation (2)
do : on dduit daprs ce que lon a vue dans lexercice (9) que :
= 1VXYX = 21 VVX
121
12
+= V
VVVX
+++
= kjiX 247
247
2158
691 247
1372
38
691
+++
= kji
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A.KADI
++
++
+= kjiX 269
137469
276938
On dduit Y facilement par :
269
137469
276938 2471
+
+
+
++== kjiiiiXVY
)1(269137)1(4
692)1(7
6938
++
++
+= kjiY
Exercice 14 :
Dans un repre orthonorm on donne trois points A, B, C de lespace ayant pour
coordonnes : , , . Soit
),,,(kjiOR
)4,3,1(A )2,4,1( B )1,1,0(C )( un plan dfini par ces trois points et la normale celui-ci.
n
Dterminer les composantes du vecteur dans le plan += kjiV 43 )( et suivant la
normale ce plan.
Solution :
Le vecteur scrirait : V
+= VVV n O et )( nV )(
V
Le vecteur unitaire est perpendiculaire au plan et aussi aux vecteurs n
BCACAB ,,
Alors : , , 0= ABn 0= ACn 0= BCnNous avons : , ,
+= kjiAB 62 = kjiAC 32 += kjiBC 33
Soit +=
=
== kiACABW 515
5015
321
612
Le vecteur est perpendiculaire au deux vecteurs donc aussi au vecteur ,
alors il est perpendiculaire au plan
W
ACAB et
BC
)( form par ces trois vecteurs. On dduit le vecteur
unitaire normal au plan )( par : 106
515
+== kiWWn
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A.KADI
On peut vrifier facilement :
0303062106
515 ==
+
+=
kjikiABn
0151532106
515 ==
+=
kjikiACn
0151533106
515 =+=
+
+=
kjikiBCn
La composante, du vecteur, suivant la normale au plan scrirait :
=
+
+=
= nnkikjinnVVn 106
65515106143
=
+==
kikinVn 325975106
1106
51510665
10665
La composante dans le plan )( se dduit par :
+=
+== kjikikjiVVV n 996571061325975
106143
Exercice 15 :
Dterminer lexpression gnrale des vecteurs orthogonaux aux vecteurs :
et . En dduire les vecteurs unitaires port par .
W
++= kjiV 321 += kjiV 532
W
Exercice 16 :
Soient trois vecteurs libres ; montrer quil vrifient la relation suivante : WVU , ,
=
+
+
0 UWVVUWWVU
Solution :
On utilise la formule de dveloppement du double produit vectoriel.
=
VUWWUVWVU
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A.KADI
=
UWVVWUVUW
=
WVUUVWUWV
La somme des trois termes donne :
=
+
+
=
+
+
0
WVUVWUUVWVUWUWVWUV
WVUUVWUWVVWUVUWWUV
Comme le produit scalaire est commutatif alors : =
+
+
0 WVUUUVWWUWVV
Exercice 17 :
Soient deux forces et faisant chacune respectivement un angle de 25 et 35 avec
la rsultante
1F
2F
R qui a une valeur de 400 N . Dterminer les modules des deux forces.
Solution :
B
A
35 25
35
2F
1F
R
C
Utilisons la rgle des sinus :
sin35sin25sinACABBC ==
=+= 120)3525(180 or nous avons : , et 1FAB = 2FBC = RAC = Do : NRF 195
120sin25sin 2 == et NRF 265
120sin35sin 1 ==
Exercice 18 :
Soit , Q += ktjtitP 32 752 += ktjtit 2104 23
1) Vrifier les relations suivantes : dtQdPQ
dtPdQP
dtd
+=
dtQdPQ
dtPdQP
dtd
+=
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A.KADI
2) Calculer les produits suivants : et
QPP
QPP
Soit un vecteur ; quelle est la valeur de += kjtiU 2 pour que le vecteur soit
perpendiculaire
U
P .
3) Dterminer le volume du paralllpipde form par les vecteurs QPU ,, ;
4) Dterminer la composante de sur laxe Q passant par les points A(0,0,1) et B(1,2,1)
Exercice 19 :
Soit f un scalaire et trois vecteurs quelconques, vrifier les relations suivantes : CBA , ,
1)
+= gradfAAfdivAfdiv )( ;
2) += ArotfAgradfAfrot )(
3) ; ) () (
= BACCABCBA
4) = AAdivgradrotArot )()( ;
5) ; 0)( =gradfrot
6) = 0) Arotdiv(
7)
= rotBArotABBAdiv )(
Solution :
1) )()()()( zyx fAzfA
yfA
xAfdiv
++
=
zfA
yfA
xfA
zA
yA
xAf zyxz
yx
+
++
+
+=
=
+ gradfAAfdiv
2)
+
+
+
=
=
=
yfA
yA
fxfA
xA
f
zfA
xAf
zfA
zAf
zfA
zA
fyfA
yAf
yfA
xfA
xfA
zfA
zfA
yfA
fA
fA
fA
z
y
xAfrot
xx
yy
zz
xx
yy
zz
xy
zx
yz
z
y
x
)(
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A.KADI
+
+
+
=
yfA
xfA
yA
xA
f
zfA
zfA
xA
zAf
zfA
yfA
zA
yAf
xyxy
zxzx
yzyz
= + ArotfAgradf
3)
=
=
xyyx
zxxz
yzzy
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
CBCBCBCBCBCB
AAA
CCC
BBB
AAA
CBA
( ) ( )( ) (( ) ( )
=yzzyyzxxzx
xyyxxyzzyz
zxxzzxyyxy
CBCBACBCBACBCBACBCBACBCBACBCBA )
++++++
=zzzzzzyzyzyyzxxxzx
yyyyyyxyxyxxzxzxzz
xxxxxxzxzxzzxyyyxy
CBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBA
( ) ( )( ) (( ) (
++++++++++++
=zzyyxxzzzyyxxz
zzyyxxyzzyyxxy
zzyyxxxzzyyxxx
BABABACCACACABBABABACCACACABBABABACCACACAB ))
) () (
= BACCAB
4)
=
=
zA
yA
yxA
zA
x
yA
xA
xzA
yA
z
xA
zA
zyA
xA
y
yA
xA
xA
zA
zA
yA
z
y
xrotArot
yzzx
xyyz
zxxy
xy
zx
yz
)(
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
= AAdivgrad
Azyxz
Ay
Ax
Az
Azyxz
Ay
Ax
Ay
Azyxz
Ay
Ax
Ax
zzyx
yzyx
xzyx
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
UMBB Boumerds, Facult des sciences, Dpartement de physique
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A.KADI
5) =
=
=
=
= 0000
)(22
22
22
yxf
yxf
xzf
xzf
zyf
zyf
xf
yyf
x
zf
xxf
z
yf
zzf
y
zfyfxf
z
y
x fgradrot
Dune autre manire : =
== 0)( ff fgradrot
6)
==
yA
xA
xA
zA
zA
yA
z
y
xAArotdiv(
xy
zx
yz
)
+
+
=
yA
xA
zxA
zA
yzA
yA
xxyzxyz
0222222
=
+
+
=yz
Axz
Axy
Azy
Azx
Ayx
A xyzxyz
Dune autre manire :
= AArotdiv( ) soit les vecteurs sont perpendiculaires au
vecteur rsultat
= BA Aet B . Nous avons alors :
= BArotdiv( )
Comme do : B 0 = B 0) = Arotdiv(
7)
=
xyyx
zxxz
yzzy
BABABABABABA
z
y
xBAdiv
( ) ( ) ( )xyyxzxxzyzzy BABAzBABAyBABAx ++=
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A.KADI
+
+
=y
Ax
AB
xA
zAB
zA
yAB xyzz
xy
yzx
y
Bx
BA
xB
zBA
zB
yBA xyzz
xy
yzx
= rotBArotABBAdiv )(
Exercice 20 :
Soit un vecteur exprim dans un repre orthonorm . ++= kzjyixr ),,,( kjiOR
1) Calculer et ( ) rgrad
r
grad 1 ;
2) Si U(r) est un champ scalaire symtrie sphrique, montrer que est un
vecteur radial ;
( )(rUgrad )
3) Calculer et en dduire que pour un champ lectrique Coulombien : )(rdiv
rrkE
= on a
; = 0Ediv
4) Montrer que 01 =
r
avec 0r ;
5) Calculer
rrot
Solution :
1) Nous avons : ( )21222222 zyxzyxr ++=++= et ( ) 212221 ++= zyxr
( ) ( ) ( ) ( ) ++++++++=++= kzyxzjzyxyizyxxkzrjyrixrrgrad 21
22221
22221
222
( ) rr
zyx
kzjyix
=++++=
21
222
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A.KADI
+
+
=
k
rzj
ryi
rxrgrad 1111
( ) ( ) ( ) ++++++= kzyxzjzyxyizyxx 232222322223222 ( ) 323222 r
r
zyx
kzjyix
=++++=
2) ( )
+
+
=
++
= kzr
rrUj
yr
rrUi
xr
xrUk
zrUj
yrUi
xrUrUgrad )()()()()()()(
rr
rrUk
zrj
yri
xr
rrU
=
+
+
= )()(
3) 3=+
+=
++
+
+=
zz
yy
xxkzjyixk
zj
yi
xrdiv
4) 13.111 333
+=
=
=
rgradr
rrrdiv
rgraddiv
r
+
+
+= krz
jry
irx
rr 3333
1113.1
nous avons : 562
33
3.3.11rx
rx
rr
xr
rrrx==
=
de mme pour y et z : 535331 , 31r
zrzr
yry
=
=
alors, nous obtenons :
03333.13333.11 33535553 =+=+=
+++=
rr
rrrr
ir
zir
yirxr
rr
5) =
=
=
=
0000
yx
xy
xz
zx
zy
yz
z
y
x
z
y
xrrot
Car x , y , z : sont des variables indpendantes
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A.KADI
CHAPITRE II
LES TORSEURS
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A.KADI
LES TORSEURS
Les torseurs sont des outils mathmatiques trs utiliss en mcanique. Lutilisation des
torseurs dans ltude des systmes mcaniques complexes est trs commode car elle facilite
lcriture des quations vectorielles. Une quation vectorielle reprsente trois quations
scalaires et une quation torsorielle est quivalente deux quations vectorielles donc six
quations scalaires. Nous verrons dans les prochains chapitres quatre types de torseurs
diffrents : le torseur cinmatique, le torseur cintique, le torseur dynamique et le torseur des
actions.
1. Moment dun vecteur par rapport un point
Le moment dun vecteur V dorigine B ( glissant ou li) par rapport un point A est
AM
gal au produit vectoriel du vecteur
position par le vecteur V .
AB
Remarque :
Or nous avons : VBC // = 0) VBC =+== VABVBCABVACVM A )()(
Il scrit : = VABVM A )(
Le tridre form respectivement par les
vecteurs ( est direct. ) , ,
AMVAB
V
)(VM A
A
B )(
Le moment au point A est indpendant
de la position du vecteur V sur laxe
. En effet nous avons :
)( +== VBCABVACVM A )()(
V
)(VM A
A
B )(C
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A.KADI
Le moment est perpendiculaire au plan form par les vecteurs . )(VM A
VAB et
La distance AB est souvent appele bras de levier.
2. Moment dun vecteur par rapport un axe
Le moment dun vecteur V par rapport un axe )(
VM
)( dfini par un point A et un
vecteur unitaire u , est gal la projection du moment sur laxe ( .
)(VM A )
= uuVMVM A )()(
3. Les torseurs 3.1. Dfinition
Un torseur que nous noterons [ est dfini comme tant un ensemble de deux champs de vecteurs dfinis dans lespace gomtrique et ayant les proprits suivantes :
]T
a) Le premier champ de vecteurs fait correspondre tout point A de lespace un vecteur R
indpendant du point A et appel rsultante du torseur [ ]T ; b) Le second champ de vecteur fait correspondre tout point A de lespace un vecteur
qui dpend du point A. Le vecteur est appel moment au point A du torseur [ .
AM
AM ]T3.2. Notation
La rsultante R et le moment rsultant au point A , constituent les lments de
rduction du torseur au point A.
AM
Soit R la rsultante des n vecteurs glissants : V appliqus
respectivement aux points : . Nous pouvons dfinir partir de ce
systme de vecteurs deux grandeurs :
nVVV .....,.........,, 321
nBBBB ......,.........,, 321
- La rsultante des n vecteurs : ; =
=n
iiVR
1
- Le moment rsultant en un point A de lespace est donn par : =
=n
iiiA VABM
1
Le moment par rapport laxe est
indpendant du point A.
V
)(VM A
A
B
)(
VM
)(
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A.KADI
Les deux grandeurs constituent le torseur dvelopp au point A associ au systme de
vecteurs donns. On adopte la notation suivante : [ ]=
A
AMRT
Remarque : Un torseur nest pas gal un couple de vecteur, mais il est reprsent au point
A par ses lments de rduction.
4. Proprits des vecteurs moments 4.1. Formule de transport des moments
Connaissant le Torseur [ ] en un point A de lespace nous pouvons
dterminer les lments de rduction de ce mme torseur en un autre point C de lespace.
=
==
=
n
iiiA
ii
A
VABM
VRT
1
Le moment au point C sexprime en fonction du moment au point A , de la rsultante R et
du vecteur CA . Nous avons en effet :
=
=
=
=
=
=
+=+=+==n
iii
n
ii
n
iii
n
ii
n
iii
n
iiiC VABVCAVABVCAVABCAVCBM
111111)(
+= AC MRCAM
+= RCAMM AC
Cette relation trs importante en mcanique permet de dterminer le moment en un point C en
connaissant le moment au point A.
4.2. Equiprojectivit des vecteurs moments
Les vecteurs moments au point A et
AM
CM
au point C ont la mme projection sur la droite AC :
ACM AA
AM
R
R
CM
C
ACM C
On dit que le champ des vecteurs moments,
est quiprojectif.
+= RCAMM AC
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A.KADI
La projection du vecteur moment sur laxe CA revient faire le produit scalaire avec le
vecteur un facteur multiplicatif prs. Nous avons par la formule de transport :
CA
+= RCAMM AC
Multiplions cette relation scalairement par le vecteur .
CA
)(
+=+= RCACAMCARCAMCAMCA AAC
or est un vecteur perpendiculaire alors : RCA CA 0) ( = RCACA
on obtient finalement :
= AC MCAMCA ou
= CAMCAM AC Le produit scalaire est commutatif.
Cette expression exprime que les projections des vecteurs moments sur la droite
CA sont gales.
AC MM et
5. Oprations vectorielles sur les torseurs 5.1. Egalit de deux torseurs Deux torseurs sont gaux (quivalents), si et seulement si, il existe un point de lespace en
lequel les lments de rduction sont respectivement gaux entre eux. Soient deux torseurs
et [ tel que : [ ]1T ]2T [ ] [ ]PP TT 21 = gaux au point P, cette galit se traduit par deux galits vectorielles : [ ] [ ]PP TT 21 =
==
2
1
21
PP MM
RR
5.2. Somme de deux torseurs
La somme de deux torseurs et [ ]1T [ ]2T est un torseur [ ]T dont les lments de rduction sont respectivement la somme des lments de rduction des deux torseurs.
PMR et
[ ] [ ] [ ]PPP TTT 21 += [ ]
+=+==
2
1
21
PPP
PMMM
RRRT
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5.3. Multiplication dun torseur par un scalaire
Si [ ] [ ]PP TT 1 = [ ] avec
===
1
1
PP
PMM
RRT
IR
5.4. Torseur nul
Le torseur nul, not [ ]0 est llment neutre pour laddition de deux torseurs. Ses lments de rduction sont nuls en tout point de lespace.
[ ]
===
3
0 0 0IRPM
R
P
6. Invariants du torseur 6.1 Dfinition
On appelle invariant dun torseur [ ] toute grandeur indpendante du point de lespace o elle est calcule.
PT
6.2 Invariant vectorielle dun torseur
La rsultante R est un vecteur libre, indpendant du centre de rduction du torseur, elle
constitue linvariant vectorielle du torseur [ ]PT
6.3 Invariant scalaire dun torseur ou automoment Linvariant scalaire dun torseur donn, est par dfinition le produit scalaire des lments de
rductions en un point quelconque de ce torseur.
Le produit scalaire est indpendant du point A. Nous avons vu prcdemment la
formule de transport : ; en faisant le produit scalaire de cette relation
par la rsultante
AMR
+= RCAMM AC
R , on obtient :
+= RRCAMRM AC
+= R RCA R MRM AC
= RMRM AC
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on voit bien que le produit scalaire, des deux lments de rduction dun torseur, est
indpendant du point o est mesur le moment.
7. Axe central dun torseur 7.1. Dfinition Soit un torseur donn de rsultante non nulle. Laxe central ( ) est dfini par lensemble des points P de lespace tel que le moment du torseur en ce point, soit parallle la rsultante.
P avec = RM P IR Laxe central dun torseur est parallle la droite support de la rsultante du torseur :
Dmonstration :
Soient P et P deux points de laxe central, nous pouvons crire : = RM P et car les deux moments sont parallles
= ' ' RM P R
et nous avons aussi par la formule de transport :
' ' += RPPMM PP
' ' += RPPRR ') ' ( = RPPR
Par dfinition le vecteur rsultat de RPP' est perpendiculaire 'PP et R ou nul.
La seule possibilit ici est, quil soit nul, alors dans ce cas : == 0 'et ' RPP
= 0 ' RPP : do laxe central est parallle la rsultante du torseur. // ' RPPNous allons montrer aussi que laxe central est le lieu des points ou le module du moment
PM du torseur est minimum.
Soit P un point appartenant laxe central et soit A un point quelconque de lespace
nappartenant pas laxe central. Nous pouvons crire par la formule de transport :
+= RAPMM PA
on dduit alors :
+
+= RAPMRAPMM PPA 2 222
or nous avons : = RM P
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+
+= RAPRRAPMM PA 2 222
2222 >
+= PPA MRAPMM
Quel que soit P appartenant laxe central le moment en ce point est minimum.
7.2. Symtrie du champ des moments dun torseur
Soit un repre orthonorm direct dont laxe vertical est confondu avec laxe
central du torseur dfini au point O par : [ ] ),,,(
zyxOR
),()(= zO
OO
===
zMMzRRT O
On dfini un autre repre local orthonorm direct en un point A quelconque de lespace tel
que laxe Oz reste confondu : tel que ),,,(zvuAR )
= zvu
Laxe rencontre laxe en un point C. ),(uA ),(
zO
On pose et CA do OA = zhOC = uL +=+= uLzhCAOC
Par la formule de transport nous pouvons crire :
)( ++=+= uLzhzRzMOARMM OOA
+= vL R zMM OA
z
2
AM
1
AM
AM
v
CM
R
OM A2
A1A
C
O
z
uy
)(x
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Daprs cette relation, on constate que les vecteurs moments autour de laxe central sont
situs dans le plan . ),(zv
- Si L = Cte alors : ; OOA MuzRLzzMzM =+=
- Le module du moment est constant si L = Cte :
AM22 )()( RLMM OA +=
On remarque que les vecteurs moments situs une mme distance L de laxe central sont
tangents au cylindre de rvolution de mme axe
)()( .
On constate aussi que lorsque le point A o est mesur le moment se dplace le long de laxe
, le moment en ce point fait des rotations. Nous avons alors ),(uC
- pour est parallle 0=L AM
z
- pour est orthogonal laxe L AM
z
On constate donc une torsion du moment lorsque le point A sloigne de laxe central du
torseur, cest de l que vient lorigine du mot torseur.
7.3. Equation vectorielle de laxe central Soit O lorigine des coordonnes dans un repre orthonorm et )( laxe central dun
torseur [ . Nous avons : ]T )(P = RM P // RM P = 0 RM P Et += RPOMM OP 0
=+= RPORMRMR OPEn utilisant la proprit du double produit vectoriel, on aboutit :
=+ 0) ( )( 2 PORRRPOMR O
) ( )( 2
= PORRMRROP O ) (
22
+= R
R
OPR
R
MROP O
) (
22
+= R
R
OPR
R
MROP O
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60
A.KADI
Le premier terme de cette quation est indpendant du point P, on peut le noter comme tant
un vecteur
=
20
R
MROP O et le second terme dpend du point P car cest un vecteur
parallle R . On pose =
2
) (
R
OPR do : 0 += ROPOP
Laxe central du torseur passe par le point dfini partir de O par lquation : [ ]T 0P
=
20
R
MROP O et parallle R donc au vecteur unitaire :
=
R
Ru .
7.4. Pas du torseur
Nous savons que pour tout point P de laxe central nous avons : = RM P
Le produit scalaire de cette expression par linvariable vectorielle R donne :
= RRRM P do :
= 2
R
RM P
Comme le produit est linvariant scalaire du torseur, la valeur
RM P est indpendante du point P. est appele Pas du torseur elle nest dfinie que si : 0R
8. Torseurs particuliers 8.1. Glisseur
8.1.1. Dfinition Un torseur de rsultante non nulle est un glisseur, si et seulement si, son invariant scalaire est
nul. Cette dfinition peut se traduire par : [ ]T est un glisseur [ ]
==
R avec
P RMTI P0
,0
On sait que linvariant scalaire est indpendant du point P o il est calcul. Comme la
rsultante nest pas nulle alors on peut dire que : un torseur est un glisseur, si et seulement si,
il existe au moins un point en lequel le moment du torseur est nul.
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8.1.2. Moment en un point dun glisseur
Soit [ un glisseur donn. Il existe au moins un point o le moment du glisseur est nul. Soit A ce point, nous pouvons crire : ,
]T = 0 AM
Par la formule de transport le moment en un point P quelconque scrit : += APRMM AP
= APRM P Cette relation exprime le vecteur moment en un point P quelconque dun glisseur dont le
moment est nul au point A.
8.1.3. Axe dun glisseur
Soit [ un glisseur donn et A un point quelconque tel que : , ]T = 0 AMCherchons lensemble des points P pour lesquels le moment du torseur est nul :
Si ; cette relation montre que le vecteur 0 =PM
= 0 APR AP est colinaire la
rsultante R .
Lensemble des points P est dtermin par la droite passant par le point A et de vecteur
unitaire parallle la rsultante R .
Cette droite est appele axe des moments nul du glisseur ou axe du glisseur. Elle reprsente
laxe central du glisseur.
Un torseur de rsultante non nulle est un glisseur, si et seulement si, son invariant scalaire est
nul.
8.2. Torseur couple
8.2.1. Dfinition Un torseur non nul est un torseur couple, si et seulement si, sa rsultante est nulle.
Cette dfinition se traduire par : est un torseur couple [ ]T
=
0 :que tel 0
PMPR
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=
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8.2.2. Proprits du vecteur moment Le moment dun torseur couple est indpendant des points de lespace o il est mesur.
Nous avons : V tel que : 21 V ==+= 1221 0 VVVVR
Le moment en un point A quelconque de lespace est donn par :
1V
2V
P
Q
(S)
H
=+= 1121 VAQVAPVAQVAPM A == 111 VQPVAQVAPM A
On voit bien que le moment au point A est indpendant
du A. on va montrer quil est aussi indpendant des points P et Q.
En effet nous avons : =+== 111 )( VHPVHPQHVQPM A
H est la projection orthogonale du point P sur la droite support du vecteur .
2 V
En ralit le moment dun torseur couple ne dpend que de la distance qui spare les deux
droites supports des deux vecteurs, il est indpendant du lieu o il est mesur.
8.2.3. Dcomposition dun torseur couple
Soit [ un torseur couple dfini par : [ ] . Ce torseur couple peut tre dcompos ]CT =
MTC
0
en deux glisseurs [ et [ tel que : ]1T ]2T [ ] [ ] [ ]21 TTTC += o les deux glisseurs sont dfinis comme suit : [ ]
+==+=
quelconquepoint un est o
0
2
1
21
PMMM
RRTPP
C
Les invariants des deux glisseurs sont nuls: ; 0
1
11 ==
RMI P 0
2
22 ==
RMI PIl existe une infinit de solution quivalente un torseur couple.
Le problme est rsolu de la manire suivante :
a) on choisis un glisseur [ en se donnant : ]1T- la rsultante du glisseur : ;
1R
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A.KADI
- laxe du glisseur, dfini par un point tel que : )( 1 1P ),()( 111= RP
b) Le glisseur est dfini alors par : [ ]2T- sa rsultante ;
= 12 RR- son axe est dtermin facilement car il est parallle )( 2 )( 1 ; il suffit alors de
connatre un point de cet axe. Le point est dtermin par la relation suivante : 2P 2P = MPPR 211
Cette relation dtermine la position du point de faon unique. 2P
9. Torseur quelconque
9.1. Dfinition Un torseur est quelconque, si et seulement si, son invariant scalaire nest pas nul.
[ ]T est un torseur quelconque 0PMR
9.2. Dcomposition dun torseur quelconque
Un torseur quelconque peut tre dcompos dune infinit de faon en la somme dun
torseur glisseur [ et dun torseur couple[ ]T
]1T [ ]2T . Nous procdons de la manire suivante :
a) Choix du point P
On choisit un point P o les lments de rduction du torseur [ ]T sont connus : [ ] =
PMRT
Le choix du point P dpendra du problme rsoudre, on choisit le point le plus simple
dterminer. Une fois que le choix est fait, la dcomposition du torseur quelconque est unique.
b) Construction du glisseur [ ] 1T- la rsultante gale la rsultante du torseur quelconque : , avec son axe qui passe
par le point P dj choisi ;
= RR1
- Le moment est nul sur cet axe : = 0 1PM
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A.KADI
Le glisseur aura pour lments de rduction : [ ]1T [ ]
===
0
1
11
PM
RRT
c) Construction du torseur couple [ ]2T - la rsultante est nulle : ,
= 02R
- Le moment du torseur couple est gal au moment du torseur quelconque: = PP MM
2
Le glisseur aura pour lments de rduction : [ ]1T [ ]
===
2
22
0
PP MM
RT
On obtient ainsi [ ] [ ] [ ]21 TTT += En chaque point choisi initialement nous pouvons faire cette construction. Tous les glisseurs
obtenus auront la mme rsultante. Ils diffrent par leurs axes mais gardent la mme direction
car ils sont tous parallles laxe portant la rsultante du torseur quelconque.
10. Tableau rcapitulatif sur les torseurs
Elments de rduction au point A Construction minimum Type de torseur 0R
= 0 AMR Un vecteur li unique
Torseur glisseur
= 0R 0AM
Deux vecteurs lis formant un couple
Torseur couple
0 AMR
Un vecteur li + 2 vecteurs lis formant un couple
Torseur quelconque
= 0R = 0AM
Vecteurs nuls
Torseur nul
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A.KADI
EXERCICES ET SOLUTIONS
Exercice : 01
Dans un repre orthonorm , deux points A et B ont pour coordonnes : ),,,(kjiOR
A(2, 2, -3) et B(5, 3, 2) ; Dterminer :
1) Le moment du vecteur glissant par rapport au centre O du repre ;
AB
2) Le moment du vecteur glissant par rapport la droite
AB )( passant par le point O et le point C(2, 2, 1)
Solution :
1) Le moment du vecteur par rapport au point O est donn par :
AB
=
=
== kjiABOAM O 41913
419
13
513
322
;
2) Moment du vecteur par rapport au point la droite
AB )( dfinie par le point O et le
vecteur unitaire tel que : u
++=++++==
kjikjiOCOCu 22
31
14422
3
16 )4 3826(31
122
31
419
13
==
=
= uuuuuMM O ;
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A.KADI
Exercice : 02
Soient les trois vecteurs ; , dfinis dans un repre
orthonorm et lis respectivement au points
++= kjiV1 += kjV 22
= jiV3),,,(
kjiOR )0,2,1( ),2,0,1( , )2,1,0( CBA
1) Construire le torseur [ ] associ au systme de vecteurs ; OT 321 ,, VVV2) En dduire lautomoment ;
3) Calculer le pas du torseur ;
4) Dterminer laxe central du torseur vectoriellement et analytiquement.
Solution :
1) Les lments de rduction du torseur [ ]OT sont : La rsultante :
+=++= kjVVVR 3321Le moment au point O :
3
2
1
++= VOCVOBVOAM O
=
+
+
=
+
+
=
121
322
122
121
01
1
221
210
201
111
210
OM
2) Lautomoment : 53223 ==
+== kjikjMRA O
3) Pas du torseur : 105
315
222=
+==
RMRp O
4) Equation vectorielle de laxe central :
Si laxe est un axe central alors : )( )( P = RM P
Son quation vectorielle est donne par :
+= R
RMROP O 2 avec IR
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A.KADI
++
++=
+
=
+
= kjiOP 3
101
103
21
310
13
5
101
310
121
310
101
Si alors :
=zyx
R
OP
0
21=x ; +=
103y et 3
101 +=z
Do : 131093
101
1033
101 +=++=
++= yyyz
Laxe central est une droite dans un plan parallle au plan (yOz) situ 21=x et
dquation : 13 += yz
Exercice : 03
Soit le torseur [ dfini par les trois vecteurs ; , dfinis dans un repre orthonorm respectivement au points
A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) ; et le torseur [ ] o et
.
]OT1 += kjiV 7321 = kjiV 32 += kjiV 823 ),,,(
kjiOR
=
20
22
M
RT O ++= kjiR 322
+= kjiM 723201) Dterminer les lments de rduction du torseur [ ]OT1 , conclusion; 2) Dterminer le pas et laxe central du torseur [ ]OT2 ; 3) Calculer la somme et le produit des deux torseurs ; 4) Calculer lautomoment du torseur somme .
Solution :
1) Elments de rduction du torseur: [ ]
++=++==
321
1
32111
VOCVOBVOAM
VVVRTO
O
0 3211 =++= VVVR
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68
A.KADI
+=
=
+
+
=
+
+
= jiM O 6
061
01
2
301
370
821
100
11
3
010
732
001
1
[ ]
+===
jiM
RTO
O6
0
1
11
2) Pas et axe central du torseur [ ]OT2
Pas du torseur : 711
142123
914
72332
22
222 =+=++
+
++==
kjikji
RMRP
Axe central du torseur :
+= 22
2
22 RR
MROP
+++
=
+
=
+
=
3
21145
21413
312
7513
141
312
723
312
141OP
3) Somme et produit des deux torseurs
a) Somme des deux torseurs :
[ ] [ ] [ ]
+=+=++=+==+=
kjiMMM
kjiRRRTTTOOO
OOO782
32
2
1
2121
b) Produit des deux torseurs :
[ ] [ ] 25 723 32 12 21 2
2
1
121 =
+
++=+=
=
kjikjiMRMRM
R
M
RTT OOOO
OO
4) Automoment du torseur somme :
17782 32 =
+
++== kjikjiMRF O
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A.KADI
Exercice : 04
On considre les points A(0, 1, 1), B(0, 1, -1), C(1, 1, 1) et D(0, 2, -1) dans un repre
orthonorm . Dterminer : ),,,(kjiOR
1) Les lments de rduction du torseur associ aux vecteurs et
AC
BD ;
2) Laxe central du torseur vectoriellement et analytiquement.
Exercice : 05
Soit A un point de lespace dans un repre orthonorm , avec ),,,(kjiOR
= kjiOA9
1294
921 et un vecteur dont laxe passe par le point A .
Soit [ un torseur dfini au point O par ses lments de rduction et tel que :
++= kjiV 331]02T 2R 20M
[ ]
++=++==
kjM
kjiRT
)323()92(
3)4(
20
202
1) Dterminer les lments de rduction du torseur [ ]01T dont la rsultante est le vecteur ; 1V2) Pour quelle valeur de les deux torseurs sont gaux ; 3) En dduire le pas et laxe central du torseur [ ]02T pour cette valeur de . 4) Calculer le produit des deux torseurs pour 2= Solution : 1) Elments de rduction du torseur [ ]01T ; do [ ]
=++==
33
110
101
VOAM
kjiVT
=
== 3/11
110
313
9/129/49/21
110 VOAM
[ ]
=++==
kjM
kjiVT)3/11(11
33
10
101
2) Les deux torseurs sont gaux si leurs lments de rductions sont gaux.
[ ] [ ]
===
2010
210201
MM
RVTT
++=++=++
kjkj
kjikji
)323()92(
31111
3)4(33
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A.KADI Cette galit est vrifie pour : 1= 4) Pas et axe central du torseur pour [ ]02T 1= .
Le torseur scrit : [ ]
=++==
kjM
kjiRT)3/11(11
33
20
202
Pas du torseur : 03
111133191
22
2022 =
++==
kjkjiRMRP
Axe central du torseur : Cest lensemble des point P tel que :
+= 22
2
202 RR
MROP
++
=
+
=
3
19331911
357
110
313
3/11110
313
191OP
si (x, y, z) sont les coordonnes du point P alors : nous aurons les trois quations scalaires:
31933 ,
1911 , 3
57110 +=+== zyx
le point P dcrit la courbe : 5738532 =++ zyx
5) Produit des deux torseurs pour 2=
Pour 2= le torseur [ scrit : ]02T [ ]
=++==
32013
622
20
202 kjM
kjiRT
[ ] [ ] 7 12 21 2
2
1
121 =+=
=
OOOO
OO MRMVM
R
M
VTT
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A.KADI
Exercice : 06
Soient deux torseurs et [ dfinis au mme point A par leurs lments de rduction dans un repre orthonorm :
[ ]AT1 ]AT2),,,(
kjiOR
[ ]
=++==
kjiM
kjiRTA
A74
223
1
11 et [ ]
++===
kjiM
kjiRTA
A74
223
2
22
1) Dterminer laxe central et le pas du torseur [ ]AT1 ; 2) Dterminer lautomoment du torseur [ ]AT1 , montrer quil est indpendant du point A ; 3) Construire le torseur [ ] [ ] [ ]AAA TbTaT 21 += avec IRba et ; 4) Quelle relation doivent vrifier a et b pour que le torseur [ ]AT soit un torseur couple ; 5) Montrer que le torseur couple est indpendant du point ou on le mesure ; 6) Dterminer le systme le plus simple de vecteurs glissants associs au torseur somme :
[ ] [ ]AA TT 21 +Solution :
1) Axe central et Pas du torseur [ ]AT1Axe central : Il est dfini par lensemble des points P tel que :
+= 121
11 RR
MROP A
++
=
+
=
+
=
2
175
21713
31712
223
51312
171
223
71
4
223
171OP
Pas du torseur [ : ]AT1 172874223
171
21
111 =
++==
kjikjiRMRP A
2) Automoment du torseur [ : ]AT1 287422311 = ++=
kjikjiMR A
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)
A.KADI
Lautomoment est indpendant du point A. En effet, daprs la formule de transport nous
pouvons crire : += 1RABMM BA
+= 1111 RABRMRMR BA
= BA MRMR 11 , on voit bien quil est indpendant du point A.
3) [ ] [ ] [ ]AAA TbTaT 21 += [ ]
+=+==
AAA
AMbMaM
RbRaRT21
21
[ ]
+=++==
kbajbaibaM
kbajbaibaRTA
A)(7)()(4
)(2)(2)(3
1
4) Condition pour que [ ] soit un torseur couple : ATil faut que la rsultante soit nulle : baR == 0Le moment dans ce cas sera gal :
=+= iaibaM A 8)(415) Le moment dun torseur couple o les rsultantes ont le mme module mais de
sens opposes et appliques aux points quelconque A et B scrit :
21 , RR
+= 21 ROBROAM A ( 11
+= ROBROA
+== 11 RHABHRBAA
BH
1R
2R
=== 211 RAHRAHRHA
Le moment dun couple est indpendant de la distance entre les points A et B , il dpend
uniquement de la distance qui spare les deux droites supports des rsultantes. Cette distance
est appele bras de levier.
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A.KADI
6) Systme simple de vecteurs glissants associs au torseur somme : [ ] [ ]AA TT 21 + Le torseur somme [ ] est donn par : [ ] AT
===
iMRT
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