1
MATRICES
COURS PROFESSE PAR LE PROFESSEUR AWONO ONANA
ECOLE NATIONALE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE DE YAOUNDE
Définition. On appelle matrice un tableau rectangulaire de n lignes et de m colonnes
d’éléments ija de natures diverses.
11 12 1
21 22 2
1 2
.
.
. . . .
.
m
m
n n nm
a a a
a a a
a a a
Lorsque les éléments ija sont des nombres réels (complexes), la matrice est dite réelle
(complexe). Les indices i et j indiquent que l’élément ija est situé à l’intersection de la
ligne i et de la colonne j . La matrice A constituée de n lignes et de m colonnes est dite
rectangulaire d’ordre n * m . Lorsque n m , la matrice A est dite carrée.
Définition. Une matrice dont tous les éléments sont égaux à zéro est appelée matrice
nulle, notée 0 .
Définition. Une matrice carrée A d’ordre n est symétrique si :
; , 1, 2,...,ij jia a i j n
Exemple. La matrice réelle
1 1 11
2 3
1 1 1 1
2 3 4 1
1 1 1 1
3 4 5 2
1 1 1 1
1 2 2 1
n
n
n
n n n n
H
n , est appelée matrice de Hilbert.
Définition. Un graphe est un ensemble fini de sommets reliés par des arcs.
1P
4P
2P
3P
5P
2
Exemple. Un graphe orienté est un graphe dans lequel on assigne une direction à
chaque arc.
1P
4P
2P
3P
Fig.
Définition. On définit la matrice d’incidence G d’un graphe orienté constitué de
sommets 1 2, ,.., nP P P de la façon suivante :
i j1, si il existe un arc orienté de P à P
0, dans le cas contraireijg
Exemple. La matrice d’incidence associée au graphe orienté de la figure ** est :
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
G
Exemple. L’ammoniac qui sert comme engrais dans l’agriculture s’obtient selon le
procédé représenté sur la figure ci-dessous :
2
2
N
O condenseur
190°C
2N
2
2
4
N
H
CH
2
2
4
N
H
CH2
2
4
N
H
CH
2
2
4
N
H
CH
2
2
3
4
N
H
NH
CH
2O
4
2
CH
H 0
4
2
2
CH
O
H 0
4
2
CH
H
4
2
CH
H
4
2
2
2
CH
H O
H
CO
2
2
H O
CO
3NH
réacteur35°C
condenseur
réacteurcondenseur
85°C
Le process est basée sur la réaction suivante :
2 2 33 2N H NH
3
Pour faire apparaître la matrice d’incidence liée à ce procédé, nous introduisons des
unités fictives dotées pour certaines seulement des sorties et pour d’autres seulement
des entrées. Ce qui donne :
2
2
N
O condenseur
190°C
2N
2
2
4
N
H
CH
2
2
4
N
H
CH2
2
4
N
H
CH
2
2
4
N
H
CH
2
2
3
4
N
H
NH
CH
2O
4
2
CH
H 0
4
2
2
CH
O
H 0
4
2
CH
H
4
2
CH
H
4
2
2
2
CH
H O
H
CO
2
2
H O
CO
3NH
réacteur35°C
condenseur
réacteurcondenseur
85°C
Nous pouvons maintenant représenter un graphe orienté associé au procédé ci-
dessus :
1
2 3 4 5 6 7
8
9
10 11 12
D’où la matrice d’incidence :
4
1
1 1
1
1
1
1 1
1
1
1
1 1
Exemple. Soit 1 2 3
e ,e ,e les vecteurs de base du repère orthonormé 1 2 3O,x ,x ,x .le
tenseur
1 2
0 0
0 0 0
0 0 0
σ e e
Est appelée tenseur uniaxial dans la direction σ et d’intensité .
Exemple. Le modèle mathématique d’un système linéaire stationnaire est donné par
des équations différentielles à coefficients constants. Ainsi le système de la figure
***
tu y t
Le système représenté ci-dessus est linéaire si :
1
1 1 01
n n
n nn n
d y t d y t dy ta a a a y t u t
dt dt dt
Où
Les coefficients 0 1, ,..., na a a sont des coefficients réels constants. Soit :
u t u
Introduisons les variables de phase suivantes :
1
1 2; ,... n
nx y x y x y
Ceci conduit aux équations de phase suivantes :
5
1 2
2 3
0 1 1
1
1 1n n
n n
x x
x x
x a t x a t x ua t a t
y x
Sous forme matricielle, on obtient :
T
t t
t
x A x B u
y C x
Où
0 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
,
1
1 0 0 0
n
nn n
T
t t
a t a t
a ta t a t
t
A B
C
Exemple. Le moment d’impulsion d’un corps solide en rotation autour de l’axe w
qui passe par le point fixe O est donné par la relation :
N = Jw
Où
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
I I I
I I I
I T I
J
La matrice J est un tenseur et ses éléments , ,xx yy zzI I I sont des moments d’inertie
autour des axes respectifs, alors que les éléments :I de la matrice sont des
produits d’inertie.
Exemple. L’énergie potentielle totale d’un système linéaire dynamique mécanique
peut être donnée par la relation :
1 1
1;
2
n n
ij i j ij ji
i j
V k q q k k
Sous forme matricielle, cette relation devient :
6
'
1 11 12 1
2 21 22 2
1 2
1
2
;
n
n
n n n nn
q k k k
q k k k
q k k k
V Q KQ
Q K
K est appelée matrice d’élasticité. Elle est symétrique.
L’énergie cinétique de ce même système est :
1 1
1;
2
n nji
ij ij ji
i j
dqdqT m m m
dt dt
Cette relation, sous forme matricielle devient :
1
2
TT Q MQ
Où
1 11 12 1
2 21 22 2
1 2
; ;
n
nii
n n n nn
q m m m
q m m mdqq
dt
q m m m
Q M
La matrice symétrique M est appelée matrice d’inertie.
Exemple. La question est d’étudier la distribution des votes dans la population en
fonction du critère de filiation. Pour prendre en compte les personnes qui
n’appartiennent à aucun parti politique reconnu, on crée un parti des sans partis. Nous
supposons que le pays compte n partis politiques. Soit ijp la probabilité que le fils
soit membre du parti i lorsque son père est du parti j . Nous définissons ainsi la
matrice carrée P qui caractérise l’état des opinions politiques dans le pays :
11 12 1
21 22
1 2
n
n
n n nn
p p p
p p p
p p p
P
7
Cette matrice est assez particulière. En effet, tous ses éléments sont positifs et la
somme des éléments d’une ligne (d’une colonne) est toujours égale à 1. Une telle
matrice est dite stochastique.
Exemple. On se propose d’étudier la distribution des palmiers dans une palmeraie
selon le critère d’âge. Pour ce faire, les palmiers sont divisés en quatre groupes selon
leur âge. Ainsi :
- a k est le nombre des jeunes plans (âgés de 0 à 9 ans)
- b k est le nombre de plans entrants en phase de grande production (de 10 à
18 ans)
- c k est le nombre de plants en phase de production optimale (de 19à 27 ans)
- d k est le nombre de plants en phase de déclin (28 ans et plus)
Le pas dans le temps est donc de 9 ans. Sachant que :
Un pourcentage connu des plants de chaque groupe meure
Les plants qui restent passent au groupe suivant et les plants en phase de déclin
demeurent dans ce groupe
Les plants morts sont remplacés par des plants du groupe 1.
Le nombre total de palmiers dans le champs doit toujours demeurer constant
dans le temps
Comment évolue dans le temps la distribution du nombre de plants passant d’un âge à
l’autre ?
Solution. On obtient :
1 a b c da k a k b k c k d k
1 1
1 1
1 1 1
a
b
c d
b k a k
c k b k
d k c k d k
Les paramères a b c dα ,α ,α ,α sont positifs et inférieurs à 1. soit :
8
a k
b kk
c k
d k
x , le vecteur distribution des palmiers selon leur âge. Soit A la matrice
telle que :
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 1
a c b d
a
c
b d
A
Il en découle la relation :
1k k x Ax
Nous verrons par la suite, que cette relation définit un système dynamique linéaire.
Exemple. Les matrices s’avèrent également utiles pour modéliser les structures
chimiques, par exemples celles des hydrocarbures. Considérons par exemple la
molécule de benzène 6 6C H représentée en ci-dessous (fig. XXX), constituée
d’atomes de carbone et d’atomes d’hydrogène.
Fig XXXX. Structure type d’une molécule de benzène.
Chacun des douze atomes de la molécule est relié exactement à deux autres atomes.
La modélisation mathématique de cette structure chimique passe par la définition
d’une matrice topologique T telle que :
1, i lié à j
0, i pas lié à jij
T
Par conséquent, dans le cas d’une molécule de benzène :
1
2
3
4
5
6
9
0 1 0 0 0 1
1 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
1 0 0 0 1 0
T
Si la numérotation des atomes sur la structure est de type pair – impair, c’est – à dire
si tout atome de numéro impair vient après tout atome de numéro pair, et que la
numérotation dans chaque groupe est naturelle, alors on obtient la matrice suivante :
1 0 1
; 1 1 0
0 1 1
T
0 BT = B
B 0
Définition. On appelle matrice diagonale toute matrice A telle que :
0, ; 0ij iia i j a
Définition. Une matrice diagonale dont tous les éléments diagonaux sont égaux est
dite scalaire.
Exemple. La matrice
5 0 0
0 5 0
0 0 5
S est une matrice scalaire d’ordre 3.
Exemple. La matrice
1 0
0
0 1
I est appelée matrice unité. La matrice unité I est
une matrice scalaire.
Définition. Une matrice constituée de n lignes et d’une seule colonne est appelée
vecteur de dimension n *1.
Exemple. Dans l’espace 3 , tout point u peut être caractérisé sans équivoque par ses
trois coordonnées , ,x y z . On dit que
x
y
z
u . De façon plus générale, un point de
l’espace n est caractérisé par ses coordonnées 1 2, ,..., nx x x .
10
Opérations sur les matrices
Définition. Deux matrices A et B de dimension *n m sont égales si :
; 1, 2,.., ; 1, 2,...,ij ija b i n j m .
On écrit A = B .
Définition. La somme de deux matrices A et B d’ordre *n m est une matrice C de
même ordre telle que :
; , : 1, 2,.., ; 1, 2,..,ij ij ijc a b i j i n j m
Ainsi,
11 12 1 11 12 1 11 11 12 12 1 1
21 22 2 21 22 2 21 21 22 22 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
11 12 1
21 22
n n n n
n n n n
n n nn n n nn n n n n nn nn
n
a a a b b b a b a b a b
a a a b b b a b a b a b
a a a b b b a b a b a b
c c c
c c
2
1 2
n
n n nn
c
c c c
Définition. Soit A une matrice de dimension *n m et un scalaire donné. Alors, la
matrice A , produit de la matrice A par le scalaire est définie ainsi qu’il suit :
; ij ijb a A = B
Exemple. Considérons les matrices
2 1 1 2 3 3; ;
3 1 1 3
i i
i i i i
A B C = A + B =
Propriétés de l’opération d’addition de matrices et de multiplication par un
scalaire.
Soient A,B,C des matrices de dimension *n m et 0 la matrice nulle de dimension
*n m . Alors, l’addition des matrices vérifie les propriétés suivantes :
11
1) Commutativité : A +B = B + A
2) Associativité : A + B +C = A + B +C
3) Existence de l’élément neutre : A + 0 = A
4) Existence d’un opposé : A - A = 0
Ainsi, l’ensemble ,n mM des matrices de dimension *n m , muni de l’opération
d’addition est un groupe commutatif.
Propriétés du produit d’une matrice par un scalaire
Soient A et B deux matrices de même dimension et un scalaire donné. Alors,
les propriétés suivantes sont vérifiées :
5) A + B A B
6) A A A
7) A A
Définition. Le produit de deux matrices A et B d’ordre *n m et *m p respectivement
est une matrice C d’ordre *n p telle que :
1
n
ij ik kj
k
c a b
Exemple. On considère un réseau de déserte aérienne entre les villes ,A,B,C,D H avec
H comme nœud principal. Pour partir de A à B de façon optimale, on effectue une
escale à H , ce qui donne les deux trajets A H et H B .
A
B
C
D H
Lorsque l’un des deux vols est complet, on n’a d’autre possibilité que d’emprunter un
itinéraire plus complexe, qui nécessitera au moins deux escales. Dès lors,
apparaissent les questions suivantes :
12
Combien d’itinéraires menant de A à B nécessitent deux escales, trois escales,… ?
Pour résoudre ce problème, on passe par la matrice de connectivité du réseau aérien :
1, s'il existe un vol direct entre la ville et la ville 0, dans le cas contraire
ij
i jc
Dans le cas présent :
0 0 1 0 1
1 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 1 0 0 1
1 1 1 1 0
C
ikc est le nombre total de vols directs entre les villes i et K . Dans le même ordre
d’idée,, kjc est le nombre de vols directs entre les villes k et j . Dès lors, ik kjc c est le
nombre de trajets entre les villes i et j qui nécessitent deux vols avec une escale à la
ville k. ainsi, le produit 2C = CCest défini par
52
1
ik kjijk
c c
C est le nombre total de
trajets entre les villes i et j qui nécessitent deux escales. De façon similaire,
1 1 2 2
1 2
53
, 1
ik k k k jijk k
c c c
C est le nombre total d’itinéraires entre les villes i et j qui
nécessitent au moins trois escales. Dans le cas général,
1 1 2 2 1
1 2 1
5
, ,... 1
....n j
n
n
ik k k k j kijk k k
c c c c
C est le nombre total d’itinéraires entre la ville i et la ville
j qui nécessitent n vols.
Ainsi, le nombre total d’itinéraires entre les villes i et j qui nécessitent n i escales
est donnée par la relation 2...
n
ijc c c
Exemple. Sachant que 1/ 3
0 1/ 3
A . Calculez la matrice nA . On a en effet,
2 3 41/ 9 2 / 3 1/ 27 / 3 1/ 81 4 / 27
; ;0 1/ 9 0 1/ 27 0 1/ 81
A A A
En général donc
13
11/ 3 / 3
0 1/ 3
n n
n
n
n
A
Définition. Une chaîne de Markov est un système qui prend un nombre fini d’états
1 2, ,..., nE E E et qui évolue selon les règles suivantes :
1. à chaque instant, le système se trouve dans un état donné ;
2. à chaque étape, le système évolue d’un état à un autre ;
3. les probabilités de passage d’un état à un autre sont des connues
Définition. Le vecteur d’état pour une chaîne de Markov est un vecteur dont le ième
élément indique la probabilité que le système se trouve à l’état iE .
Définition. La matrice de transition d’une chaîne de Markov est une matrice
stochastique M dont l’élément ijm est la probabilité que l’élément se trouvant à l’état
jE évolue à l’état iE à la prochaine étape.
Théorème. Considérons une chaîne de Markov dont p est le vecteur d’état et M la
matrice de transition à une étape donnée. Après n étapes, 1n , le vecteur d’état
devient :
n
n p M p
Exemple. Une compagnie de transport disposant de 1- bus dessert quatre villes A,
B,C, D. on sait que 8 bus se trouvent en A, 4 à B, 3 à C et 1 à D. la probabilité qu’un
bus choisi au hasard se retrouve dans l’une des quatre villes est donnée par le vecteur
d’état :
.5
.25
.1875
.0625
A
Bp
C
D
Supposons maintenant que chaque heure, chaque train se déplace d’une ville à une
autre selon le schéma ci-dessous :
14
A
BC
D
Ce qui conduit à la matrice de transition suivante :
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
A B C DA
BM
C
D
Si np désigne le vecteur d’état à l’étape n, alors :
n n
p M p
Exemple. Soit à gérer le stock d’un antibiotique donnée dans une pharmacie.
L’antibiotique est commandée en cartons une fois par semaine le samedi et mis en
vente dès lundi.
Soient :
ia la demande de la clientèle pendant la ième
semaine.
i le nombre de cartons en stock à la fin de la ième
semaine et
0 le stock initial.
La stratégie de commande du pharmacien est la suivante :
Si 1 0i , alors on commande trois cartons,
Si 1 1i , aucune nouvelle commande n’est passée.
Dans ces conditions, les états possibles du stock sont par conséquent :
0,1,2,3i
La stratégie de réapprovisionnement entraîne l’état du stock :
i-1
1 i-1
max 3 ,0 , si 1; 1, 2,3,...
max ,0 , si 1
i
i
i i
ai
a
15
Supposons que ia est une variable aléatoire qui obéit à une loi de Poison avec 1 .
Calculons la probabilité que 0i sachant que 1 0i . En effet,
1i implique que max 3 ,0i ia .
Donc, si 0i , alors 3ia et la table de la loi de poisson indique que 3 0.08tP a .
Procédant de la même façon pour calculer 10 / 1i iP . En effet,
Si 1 1i , alors max 1 ,0i ia
Comme 1 0.632tP a , alors 10 / 1i iP =0.632.
De même, on obtient 10/ 2i iP =0.264.
Pour généraliser, soit jkp la probabilité de passer de l’état 1i j à l’état 1i k . Soit :
1/jk i iP P k j
La matrice de transition s’écrit :
00 01 02 03
10 11 12 13
20 21 22 23
30 31 32 33
p p p p
p p p p
p p p p
p p p p
P
Dans ce cas précis, on a :
0.08 0.184 0.368 0.368
0.632 0.368 0 0
0.264 0.368 0.368 0
0.08 0.184 0.368 0.368
P
Remarque. Les éléments de la matrice P sont tous positifs et la somme des éléments
d’une même ligne est 1, de même que la somme des éléments d’une même colonne.
Les matrices de ce type sont dites stochastiques.
Soient i l’état probable du stock à la date i et Pri
j i j :
0 1 2 3, , ,
i i i i i
L’état probable du stock à la date 1i est une chaîne de Markov :
1i i
P
16
A la date i n , on aura :
.
i n i n
P
Et si 0i , alors :
0.
n n P
Puisque 0 3 , alors :
00,0,0,1
Ainsi, le calcul de l’état du système à l’instant 1i nécessite le calcul des puissances
de la matrice P .
Propriétés du produit de matrices
Définition. Deux matrices A et B commutent si :
AB = BA
Attention ! Le produit de deux matrices n’est en général pas commutatif, ainsi qu’on
peut le voir à travers l’exemple ci-dessous :
Exemple. Soient :
5 1 2 0 14 3 10 2; ; ;
3 2 4 3 2 6 29 2
A B AB BA
Exemple. Considérons les deux matrices :
1 21 2 1
; 0 10 1 1
1 1
A B
Alors,
1 4 32 5
; 0 1 11 2
1 3 2
AB BA
Exemple. En mécanique quantique, on utilise des opérateurs qui peuvent être des
matrices. Alors,
Définition. Soient A et B deux opérateurs.
17
1) La quantité A,B = AB- BA est appelée commutateur des opérateurs A et B. il
est évident que le commutateur est nul, alors les matrices A et B commutent.
2) la quantité AB + BA est appelée anticommutateur de A et B. s’il est nul, alors
A et B anticommutent.
Exemple. Les matrices de spin de Pauli, que l’on rencontre en mécanique quantique
permettent d’illustrer le produit de matrices anti-commutantes:
20 1 0 1 0
; ; ; 11 0 0 0 1
x y z
ii
i
σ σ σ
En effet,
, ,x y y x x z z x y z z y σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ
Remarque. Le produit de matrices n’étant en général pas commutatif, comment
calculer 2?A + B .
En utilisant les propriétés de la distributivité, on obtient :
2 2 2
A + B = A + B A + B A + AB + BA + B
Soient A et B deux matrices qui commutent. Alors,
2 2 2) 2
)
)
i
ii
iv
2 2
n n n-1 n-2 n-2 n-1
A + B A + AB + BA + B A + AB + B
A - B = A + B A - B
A - B A - B A + A B + + AB + B
Par ailleurs, on a :
1
1
nk k k
k
n n n- n
nA + B = A + C A B + B
Preuve. On procède par récurrence sur n.
Pour 1n on a : 0(
1 0 0 1 1 1
1 1A + B) = A + B = C A B + C A B
Pour 2n on a : 2 2 0 0 1 1 2 2
2 2 2( ) C C C
2 2 2 2 1 0A + B A + AB + BA + B A + 2AB + B A B A B A B .
Supposons que pour un entier 1n on a 0
( )n
n k k n k
n
k
C
A + B A B . Alors
18
1
0 0
( ) ( )( )
. .
n n
n nk k n k k k n k
n n
k k
C C
A + B A + B A + B
A A B B A B
1 1
0 0
n nk k n k k k n k
n n
k k
C C
A B A B
1
0 1 1 1 0 1 1
2 2
n nn k k n k k k n k n n
n n n n n
k k
C C C C C
AB A B A B B AB
0 1 0 1 1 1 0 1 1
2 2
n nn n n k k n k k k n k n n
n n n n n n
k k
C C C C C C
0
AB A B A B A B A B AB
0 1 0 1 1 1 1 0
2
( ) ( )n
n n k k k n k n n
n n n n n n
k
C C C C C C
0
A B AB A B A B
0 1 1 1 1 1 0
1 1
1
( )n
n k k k n k n n
n n n n
k
C C C C
0
A B A B A B
Pour achever la démonstration, on utilise le Lemme suivant :
Lemme : Pour tout couple d’entiers n et k vérifiant : 1n et 0n k , on a
1
1
k k k
n n nC C C
Ceci permet d’obtenir 1
1 0 1 ( 1) 1 1 0 ( 1)
1 1 1 1
1 0
( )n n
n n k k n k n n k k n k
n n n n
k k
C C C C
0
A + B A B A B A B A B
D’où la proposition.
Propriété 4. Soient A,B,C des matrices compatibles données. Alors :
a) la distributivité à gauche
A B +C = AB + AC
Preuve. Soit S = B +C . Alors, ij ij ijs b c . Alors,
A B +C AS T
On a :
1 1 1 1
; 1,2,..., ; 1,2,...,q q q q
ij ik kj ik kj kj ik kj ik kj
k k k k
t a s a b c a b a c i n j m
Sous la forme matricielle, on a :
T = AB + AC
Inversement, le calcul des produits AB et AC conduit au même résultat. La propriété
est démontrée.
b) la distributivité à droite
19
A + B C = AC+ BC
Propriété 2. Le produit des matrices est associatif :
AB C = A BC
Preuve. Supposons que les matrices A,B,C sont de dimension
* , * et *n m m p p q respectivement. Soit S = AB et T = BC . Alors,
1 1 2 2
1
1 1 2 2
1
m
ik i k i k im mk ij jk
j
p
jl j l j l jp pl jk kl
k
s a b a b a b a b
t b c b c b c b c
Multiplions maintenant A parT , ce qui revient à effectuer le produit A par BC .
L’élément de la i-ème ligne et de la l-ème colonne de AB C est :
1 1 2 2
1 1 1
q pm
i l i l iq ql ik kl ij jk kl
k k j
s c s c s c s c a c c
Multiplions maintenant S par C , ce qui revient à effectuer le produit AB par C .
L’élément de la i-ème ligne et de la l-ème colonne de A BC est :
1 1 2 2
1 1 1
pm m
i l i l im ml ij jl ij jk kl
j j k
a t a t a t a t a b c
Les deux expressions étant identiques, on conclut que la propriété est démontrée.
Dans le cas de deux réels et , lorsque le produit 0 , on tire que 0 ou alors
0 . Ceci n’est pas toujours vérifié dans le cas des matrices. En effet,
Propriété 3. Soient A et B deux matrices telles que :
AB = 0
Cette égalité n’entraîne pas forcément que l’une des matrices A ou B est nulle.
Exemple. Soit la matrice 21 0 0
. 1 0 0
i
i
A A
Pour clore cette rubrique, nous donnons une routine FORTRAN pour le calcul du
produit de deux matrices ,N MA et ,M LB
SUBROUTINE PROD(A,B,C,N,M,L)
DO i=1,N
20
DO j=1,L
Sum=0.
DO k=1,M
Sum=sum+A(i,k)*B(k,j)
END DO
C(i,j)=sum
END DO
END DO
Définition. La transposée d’une matrice A de dimension *n m est une matrice TA de
dimension *m n telle que :
ij ji
TA A
Exemple. Considérons les matrices :
1 3 2;
0 2 5
A B
Alors,
1 0
; 3 2
2 5
T TA B
La matrice transposée vérifie les propriétés suivantes :
)
)
)
)
i
ii
iii
iv
T T
T T T
T T T
TT
αA = αA
A + B = A + B
AB = B A
A = A
.
Preuve. Nous allons donner la preuve de la propriété T T T=AB B A . En effet :
* *
; ik kjm n n pa b A B
Alors
T T
* *1 1* *
n nT T T T
ik kj ik kj jk kjp n n m
k kp m p m
b a b a a b
B A
21
d’un autre côté,
* *
1 *
n
ik kj ik kjm n n pk m p
a b a b
AB
ce qui, après transposition , c'est-à-dire après permutation des indices i et j , donne :
T
1 *
n
jk ki
k p m
a b
AB
ce qui achève la démonstration.
Définition. La matrice
A , transposée conjuguée de la matrice A de dimension *m n ,
encore appelée matrice adjointe de A , est définie par la relation :
* ; ,ji
ij
i j
A A
Exemple. Considérons la matrice A telle que :
1
2 3
i
i
A ;
Alors
2
1 3
i
i
A
La matrice complexe conjuguée de A vérifie les propriétés suivantes :
)
)
)
)
i A
ii
iii
iv
- -
- - -
- - -
--
= α A
A + B = A+ B
AB = B A
A = A
Définition. La matrice conjointe de A est sa transposée conjuguée, notée *A , et se
définit par la relation :
*
ijjiA A
La matrice adjointe vérifie les propriétés suivantes :
- ** * ** * * * * *
αA = αA ; A+B = A +B ; AB = B A ; A = A
22
Définition. La matrice carrée A d’ordre n est symétrique si :
; , 1, 2,...ij jia a i j n
Ce qui signifie aussi que :
TA = A
Définition. La matrice carrée A d’ordre n est antisymétrique si :
TA = -A
Exemple. Les deux matrices suivantes sont respectivement symétrique et
antisymétrique :
0
; = 0
0
a b c a b
b d e a f
c e f b f
A B
Remarque. Les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont toujours nuls.
En effet :
0ii ii iia a a
Théorème. Toute matrice carrée A se décompose de façon unique en une somme
d’une matrice symétrique θ et d’une matrice antisymétrique ω .
Preuve. La démarche comprend plusieurs étapes :
1) prouvons que la matrice TC A + A est symétrique. En effet:
T
ij ij ij ij ji
T
ji ji ji ji ij
C A A A A
C A A A A
Donc
ij jiC C
On voit donc que la matrice C est symétrique.
2) Prouvons maintenant que la matrice TΔ A A est antisymétrique. En effet :
; ; 0ij ij ji ji ji ij ij ii Δ A A Δ A A Δ Δ
La matrice Δest donc antisymétrique.
3) il est évident que T T1 1A = A + A + A - A θ+Δ
2 2
23
Passons maintenant à l’unicité de cette décomposition. Supposons l’existence de deux
matrices symétriques1 2θ ,θ et de deux autres matrices antisymétriques
1 2Δ ,Δ . Telles
que :
2 1 1 2 2 1 1 2 1;
T T T T T T T
1 1 2θ +Δ = θ +Δ A A θ +Δ = θ +Δ θ +Δ θ +Δ
On en tire que
2 2;1 1θ = θ Δ = Δ
Ce qui achève la démonstration.
Exemple. Considérons la matrice
2 1 5
7 1 3
2 1 4
A
Alors,
2 4 3.5 0 3 1.5
1 1; 4 1 1 ; 3 0 2
2 23.5 1 4 1.5 2 0
T TA = θ+Δ θ A+A A -A
Définition. Soit A une matrice carrée dont les éléments sont des nombres complexes.
Alors la matrice A est hermitienne si elle est égale à sa transposée conjuguée.
Exemple. La matrice A ci-dessous est hermitienne :
1 1
1 1
i
i
A .
En effet, la transposée de A s’écrit :
1 1
1 1
i
i
-
A
et la conjuguée transposée de A s’écrit :
*1 1
1 1
Ti
i
-
A A A
Exemple. On montre de la même manière que la matrice
1 1 2 3
1 2
2 3 1
i i
i i
i i
A est
hermitienne.
24
Exemple. La matrice
1 4 2
4 1 3
2 3 2
A est réelle et symétrique. Par extension, on voit
bien qu’elle est hermitienne.
Exemple. Deux hermitiennes matrices de bases ,r sγ γ de l’algèbre de Clifford sont
utilisées dans les théories relativistes des particules à spin. Elles vérifient les
relations :
02 ; , 1,2r s s r rs r s γ γ γ γ γ
rs est le symbole de Kroneker et 0 est la matrice unité d’ordre 2. La relation ci-
dessus se décline ainsi qu’il suit :
2
1 0
2
2 0
1 0
1 2 2
γ γ
γ γ
γ γ + γ γ
De ces relations découlent que la trace de ces matrices est nulle. D’où la
représentation :
1 1 1 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
;a ib a ib
a ib a ib
γ γ
En plus, il apparaît que
1 2 0trace trace γ γ
Les six éléments 1 1 1 2 2 2, , , , ,a b c a b c sont tels que :
2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
1
1
0
a b c
a b c
a a b b c c
Les équations ci-dessus impliquent par ailleurs que les déterminants des matrices 1γ et
2γ sont égaux à -1.
A titre d’illustration, les matrices
1 2
sin cos . cos sin .;
cos . sin sin . cos
i i
i i
e e
e e
γ γ
25
Obéissent aux conditions énoncées pour la modélisation des particules à spin dans
l’algèbre de Clifford. Le cas particulier 0 conduit à des formes simplifiées pour
ces matrices :
1 2
0 1 1 0;
1 0 0 1
γ γ
Théorème. Les éléments diagonaux d’une matrice hermitienne sont toujours réels.
Preuve. Ceci découle du fait que les éléments diagonaux des matrices A et *A sont
identiques. Ils sont donc réels.
Définition. Une matrice A est triangulaire supérieure (inférieure) si :
0 ( )ija si i j i j
Définition. La puissance p d’une matrice carrée est la matrice B définie ainsi qu’il
suit :
p fois
B = A* A…A
On admet que 0A I , la matrice unité.
Exemple. 1 0 0
;1 0 0
i
i
2A A
Exercice. Considérons la matrice1/ 2
0 1/ 2
A . Calculer nA .
Solution. On a 2 3 41/ 4 1/ 8 3 / 4 1/16 / 2
; ;0 1/ 4 0 1/ 8 0 1/16
A A A . On peut donc en
déduire pour généraliser que : 1
1/ 2 / 2
0 1/ 2
n n
n
n
n
A .
Théorème. Soient A une matrice carrée et ,p qdeux entiers naturels quelconques.
Alors :
1) p q p qA A A
2) ( )q
p pq q p A A A
Définition. La matrice A est involutive si :
2A = I
26
Définition. La matrice A est idempotente si
2A = A
La notion de puissance d’une matrice permet de définir le polynôme de matrices.
Définition. Soit A une matrice carrée d’ordre n . Considérons le polynôme suivant :
1
1 1 0
m m
m mp x a x a x a x a
On en déduit que le polynôme matriciel associé s’écrit :
1
1 1 0pm m
m ma a a a
A A A A I
Théorème. Soient A et B deux matrices telles que AB = Aet BA = B . Alors, A et B
sont idempotentes.
Preuve. En effet,
2
2
A = AB = A BA = AB A = AA = A
B = BA = B AB = (BA)B = BB = B
Exercice. Considérons la matrice :
1 0 0 1/ 3 1/ 3 1/ 3
0 1 0 1/ 3 1/ 3 1/ 3
0 0 1 1/ 3 1/ 3 1/ 3
0 0 0 1/ 3 1/ 3 1/ 3
0 0 0 1/ 3 1/ 3 1/ 3
0 0 0 1/ 3 1/ 3 1/ 3
A
Calculons la matrice 25A .
Solution. En effet, il apparaît que la matrice A peut être mise sous la forme :
1/ 3 1/ 3 1/ 3
; 1/ 3 1/ 3 1/ 3
1/ 3 1/ 3 1/ 3
3 1
1
3 1
I AA A
0 Aet 3
I et 30 sont respectivement des matrices unité et
nulle d’ordre 3. Remarquons en plus que la matrice 1A est idempotente. Dès, lors, il
est facile de montrer que :
3 125
3 1
I 25AA =
0 A
Exercice. Considérons un système composé de relais électroniques qui peuvent se
trouver soit en position ‘’ouvert’’ soit en position ‘’ fermé’’. Il est établi que, à des
27
intervalles de temps réguliers, appelés cycles de fonctionnement, 25% des relais se
trouvant en position ‘’fermé’’ passent à la position ‘’ ouvert’’ et 80% des relais se
trouvant en position ‘’ ouvert’’ passent à la position ‘’fermé’’. Il est demandé de
montrer que :
Le dispositif approche une situation d’équilibre en ce sens que les proportions
respectives des relais qui changent d’état convergent vers des constances qu’il
faut déterminer.
Indépendamment de l’état initial du dispositif, trouver le nombre minimal de
cycles de fonctionnement nécessaires pour que le dispositif devienne stable.
Solution. Soit en
ux =
zeffet le vecteur des relais, sachant que u est le vecteur des
relais ouverts et z le vecteur des relais en position ‘’fermé’’. Alors, à la situation
d’équilibre du dispositif, on aura,
.2 .25 .2 .25
.75 .8 .75 .8
u z u u 16z = u
z u z z 5
Par ailleurs, pour trouver le nombre de cycles après lequel on atteint une situation
stable du dispositif, indépendamment de l’état initial du système, il faut trouver le
plus petit entier p tel que :
1.2 .25 .2 .25
.75 .8 .75 .8
p p
Définition. La matrice A est nilpotente d’ordre p si, il existe un entier naturel p tel
que :
pA = 0
On dit que la matrice A est nilpotente d’ordre p .
Théorème. Soit A une matrice nilpotente d’ordre p . Alors, si q p : qA = 0
Définition. Une matrice réelle A est normale, si elle commute avec sa transposée :
T TAA = A A
Corollaire. Toute matrice symétrique est normale.
28
Preuve. En effet, une matrice symétrique est égale à sa transposée.
Définition. Une matrice complexe A est dite normale si elle commute avec sa
complexe conjuguée :
* *AA = A A
Propriété. Une matrice hermitienne est normale.
Définition. La matrice réelle A est orthogonale si * T
A A I
Exemple. La matrice :
cos sin
sin cos
A
est orthogonale. Nous verrons que cette matrice est une rotation.
Exemple. La matrice
0 1 0
1 0 0
0 0 1
P
est orthogonale. En fait, cette matrice est une matrice de permutation.
Exercice. Etant donnée la matrice
a b c
b x y
c y z
M , choisir a,b,c pour qu’il existe x,y,z
tels que la matrice M est orthogonale.
Solution. La matrice sera orthogonale si :
1) ses vecteurs colonnes sont deux à deux orthogonaux
0
0
0
ab bx cy
ac by cz
bc xy yz
2) ses vecteurs colonnes sont normés
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
1
1
a b c
b x y
c y z
29
Sans entrer dans les détails fastidieux de la démonstration, on se rend rapidement
compte que un choix raisonnable est obtenu lorsque 0, 0c y . Il existe alors un
tel que :
cos , sin , sin , 1a b x z
Ce qui donne la matrice suivante
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
M
La matrice M représente une symétrie.
Définition. La matrice complexe A est unitaire si : ** A A I
Exemple. La matrice :
1
2 2
1
2 2
i
i
A
est unitaire.
Définition. A étant une matrice donnée de ,n mM , on appelle image de A l’ensemble
ImA défini ainsi qu’il suit :
Im / :n m
A y y = Ax x
Exemple. Considérons la matrice 1 1 2 3 A
Définition. Soit A une matrice carrée d’ordre n . la matrice carrée B d’ordre n telle
que :
AB = BA = I
est appelée inverse de A et notée -1B = A .
Exemple. Soit H une matrice carrée de dimension n dont les sommes en valeur
absolue des éléments de la colonne sont toutes inférieures inférieure à 1. La relation
suivante trouve des applications importantes dans diverses situations :
1( ) ( )1
k
k
I H I H
30
Dans le cadre d’une économie divisée en n secteurs qui produisent un vecteur de
production x de biens et services pour satisfaire une demande finale d et une demande
intermédiaire Cx ; où C est la matrice des coefficients techniques ; le modèle entrée-
sortie de Leontief représente l’équation de production sous forme de l’équation
linéaire suivante :
int
Quantité Demande demande
ermédiaire finaleproduite
x Cx d
D’où la relation :
-1
x = I -C d
Théorème. Si A et B sont deux matrices inversibles et un réel non nul, alors :
11
1 1
1)
2)
3)
4)
5) 1/
-1 -1 -1
-1 TT -1
-1
A A
AB = B A
A = A
I = I
A A
Définition. Une matrice inversible est dite non singulière. Une matrice non inversible
est dite singulière.
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1) A est inversible
2) rang A n
3) Ax = 0 x = 0
Matrices de transformations élémentaires.
Matrice élémentaire du 1er ordre.
C’est une matrice T d’ordre n, diagonale et dont les termes diagonaux sont
égaux à l’unité à l’exception de t tii 0.
31
1 .
. .
. . 0
1 .
. . . . . . . .
. 1
0 . .
. .
. 1
j
ligne it
colonne
T
On a det tT et 1
(1,1,..., ,...,1)diagt
-1
T
Matrice de permutation.
C’est une matrice T d’ordre n, formée à partir de la matrice unité d’ordre n
dans laquelle les lignes p et q ont été permutées.
1 . .
. . .
1 . .
. . . 0 . . . 1 . . . ligne
. 1 .
... . .
. 1 .
. . . 1 . . . 0 . . . ligne
. . 1
. . .
. . 1
ième
ième
p
q
T
On a det 1 T .
1 , 1 , 0pq qp pp qq T T T T
-1T = T
Matrice élémentaire du 2ème ordre.
C’est une matrice élémentaire T , carrée, d’ordre n, issue de la matrice unité
I du même ordre, dans laquelle on a substitué une constante s non nulle à un zéro.
32
1
0 . .
. 1 0
. .
. . . 1 . . .
0 .
. . 1
0 0 1
èmes i ligne
T
ème
j colonne
On a det 1T .
Matrice élémentaire d’élimination.
C’est une matrice élémentaire T , carrée, d’ordre n, issue de la matrice unité et
dans laquelle les éléments subdiagonaux de la k ème colonne ont été remplacés par les
réels ( 1) ( )
,...,k n
k k
L L .
1
1
0 . 0
. 1
. 1
. . .
. . .
0 1
k k k
nk
t
t
T
avec
nkkiLt i
kik ,...,2,1 , )(
.
L’inverse de cette matrice est donnée par :
33
1
1
1
0 . 0
. 1
. 1
. . .
. . .
0 1
k k k
nk
t
t
T
Théorème 1 : Soient ; 1,2,...,i i rT ; des matrices élémentaires d’élimination de
dimension n. Alors,
a)
21
31 33
1
1
1 2
1
. 0
. 1
. . . 1
. . . .
. . . . 0 .
. 0 . 1
r
i
i
r r
n n nr
t
t t
t
t t t
T
b) ( 1)k k 1 2 k 1 2
T T ...T = T + T + ... + T I
c) 1
1
( 1)k
i k
i
k
1 2T I - T - T - ... - T
Preuve. a) Procédons par récurrence sur k :
2
1 1 1
1 11T
nt t
1
O OOT T
I TO T
oùO est le vecteur nul d’ordre 1n ,
34
Tntttt 131211 ... et 32
2
1
1
0 1n
t
t
T
Supposons que
21
31 33
1
1
1 2
1
. 0
. 1
. . . 1
. . . .
. . . . 0 .
. 0 . 1
r
i
r r
n n nr
t
t t
t
t t t
iT T ,
alors,
rr
r+1 (r+1)r (r+1)
n-r r n-r
A O AI OI O A OT.T = = =
B I BI I TO T B T
1
.....
1...
1..
1..
0.
1
11
12
1
31
21
nrnrn
rr
rr
ttt
t
t
t
t
b) 1 2 k
T + T + ... + T
kttt
t
k
ktt
kt
k
nknn
kk
.0.
.0....
....
...
.
0
21
1
3331
21
= 1
1k
i
i
k
T I .
c) Il suffit de remarquer que
35
1 1
1
1
k k
i k
i i
k
k I
-1
i 1 2
1 2 k
T T 2I T + T + ... + T I + 2I
T + T + ... + T
Théorème 2 : Considérons la matrice :
1 1
1
0 . 0
. 1
. 1
0 0 .
. . .
0 0 1
k r rrm m
M
on a :
a) 1
1 1
1
0 . 0
. 1
. 1
0 0 .
. . .
0 0 1
r r rrm m
M
b) 1
( 1)r
i r
i
r
1 2M M + M + ... + M I
c) 1
1 2
1
( 1) ...r
i r
i
r
M I M M M
Preuve. a) Soit A la matrice définie par :
36
1 1
1
0 . 0
. 1
. 1
0 0 .
. . .
0 0 1
r
r rr T
n r
m m
A OA
O I
on a
r -r r -r
r T T T
n-r n-r n-r
A O A O A A OM A = =
O I O I O I
1 1 1
1 1 1
r r r
r r r r r
r r r rm m m m
I O I O I OA A A A I
d’où
r rAM = M A = I
a) On procède par récurrence sur r :
21
2
1
1
.
1
m
1 2M M = IM
Supposons que
1
1
rr
i T
i n r
B O
MO I
où
21
11 1 2
1
1
. . .
. 1
0 . . 0 1
r
r r r
m
m m
B
37
1 1
r rr r r r
i i r T T T
i i n r n r n r
B O A O B A O
M M MO I O I O I
1 1 11
1 11
r r rr
r r T
r rm m
I O U I OU OB A
O
1.
1.
...
1
1
121
2111
21
rrrrr
rrr
mmm
mm
m
On obtient alors (Théorème1)
1 2
1
... ( 1)r
i r
i
r
M M M M I
b) Il suffit de remarquer que
1
1 1
2r r
i i
i i
M M I .
PROPRIETES DES MATRICES ELEMENTAIRES.
Propriétés 1. Soient T une matrice élémentaire d’ordre 1 et A une matrice carrée
du même ordre. Alors :'
TA = A avec :
a a
j n k i i n
a t a
kj kj
ij ii ij
'
'
, ,... ; , ,.. , ,...
1 2 1 2 1 1
Preuve :
Soit kR le vecteur représentant la ième
ligne de la matrice T . Alors :
kk eR , si ik
iiii etR
où ke est le k-ième vecteur de la base canonique de nR .
Soit )( jA la j-ième colonne de A. On a :
ijii
j
iii
kj
j
kj
kkjatAet
ikaAeARa
)(
)(
)(
.
si ,..'
38
Propriété 2. Soit T une matrice de permutation élémentaire et A une matrice carrée
du même ordre.
La matrice 'A = TA est la matrice A dans laquelle on a permuté les p
ème et q ème lignes.
Preuve. Soit kR la i-ième ligne de la matrice T . Alors :
, si et
k k
p q
q p
e k p k q
e
e
R
R
R
Si )( jA est la j-ième colonne de A . Alors on a :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
' .
' . .
' . .
j j
kj k k ij
j j
pj p q qj
j j
qj q p pj
a e a
a e a
a e a
R A A
R A A
R A A
Donc la matrice A’ est obtenue après inversion des lignes q et p de A .
Propriété 3. Soit T une matrice élémentaire d’ordre 2 et A une matrice carrée de
même dimension. Alors, la matrice A' = TA se définit ainsi qu’il suit :
nlasaa
niikaa
jlilil
kjkj
,...,2,1;.
,...,1,1,..,2,1;'
'
Une matrice élémentaire d’élimination peut être représentée comme produit de
matrices élémentaires d’ordre 2.
Preuve : Soit kR la i-ième ligne de la matrice T . Alors :
, si
k k
i j i
k i
s
R e
R e e
Si ( )j
A est la j-ième colonne de A. Alors on a :
( ) ( )
( ) ( )
' . , si
' .
j j
kj k k kj
l l
il i j i jl il
a e a k i
a se e sa a
R A A
R A A
La postmultiplication de A par une des matrices élémentaires T , produit des
transformations analogues sur les colonnes de A .
39
Définition. On appelle trace de la matrice A , notée trA , la somme de ses éléments
diagonaux :
1
n
ii
i
tr a
A
Les relations suivantes ont lieu :
)
)
)
i tr tr
ii tr tr
iii tr tr
*
*
A A
A A
A A
Lorsque deux matrices carrées A et B sont du même ordre,
) iv tr tr tr A + B A B
Pour deux matrices A et B d’ordre *n m et *m n respectivement :
) v tr trAB BA
Preuve. Soit :
1
m
ii ij ji
j
c a b
Alors,
1 1 1 1 1 1
n n m n m n
il ij ji ij ji ii
i i j i j i
tr c a b b a d tr
AB BA
Si A, B, C sont des matrices , , , , ,p q q r r p , alors :
)vi tr trABC CAB
Preuve. Nous partons de la propriété précédente. Dans l’égalité tr AB = tr BA ,
remplaçons A par AB et B par C . On obtient le résultat recherché :
tr trABC CBA
Remarque. Dans le cas de plus de deux matrices carrées, la permutation des facteurs
change la trace.
Exemple. A titre d’illustration, considérons le cas suivant :
40
1 1 1 0 1 1, ,
1 1 1 2 1 0
6; 5tr tr
A B C
ABC ACB
Théorème. La matrice A est nulle si et seulement si :
tr *AA 0
Différentiation et intégration de matrices
Nous supposons ici que les éléments de la matrice A sont des fonctions d’une
variable t . Donc : ( )tA = A . Alors, une variation t de la variable t entraîne une
variation ija de l’élément ija . Et la variation de la matrice A s’écrit :
ija A
Dès lors, la dérivée de la matrice A par rapport à la variable t, notée .
A est définie par
la relation :
.
A =.
0 0lim lim
ij
ijt t
ada
dt t t
. A AA
Propriétés de la dérivation de matrices :
)
)
d d di
dt dt dt
d d dii
dt dt dt
A + B A B
A BAB B A
Exemple. Nous étudions un procédé d’extraction du sel à partir d’un mélange
saumâtre. Considérons un système constitué de trois réservoirs de mélange idéal
d’une contenance de V litres chacun contenant ce mélange. Les réservoirs sont
connectés en cascade ainsi que représentés sur la figure *.
On suppose que tous les robinets sont ouverts au même moment. Le premier réservoir
est alimenté en produit à raison de d litres/ sec et alimente lui-même le deuxième
réservoir avec le même débit et ainsi de suite.
41
Soit x ( )i t la quantité de sel dans le réservoir i à l’instant t. en posant :
1
2
3
x ( )
= x ( )
x ( )
t
t
t
x et 1
2
3
/
/
/
dx dtd
dx dtdt
dx dt
xAx
Où
1 0 0
1 1 0
0 1 1
r
V
A
Définition. La matrice réelle, symétrique A est définie positive si, , 0 x xAx .
Théorème. Si A est une matrice définie positive, alors A est nonsingulière.
Preuve. Nous allons plutôt démontrer que si A est singulière, alors A n’est pas
définie positive. Supposons en effet que A est singulière. Alors, il existe un vecteur
non nul ny tel que Ay = 0 . Ce qui entraîne yAy =0. Donc, A n’est pas définie
positive.
Corollaire. Si la matrice carrée A est définie positive, alors, le système d’équations
linéaires à n équations et n inconnues Au = f admet une solution unique.
Théorème. Soit M une matrice carrée d’ordre n nonsingulière. Alors, la matrice
A = TM M est définie positive.
Preuve. Montrons pour commencer que A est symétrique. En effet :
T
T T T TA = M M M M A M M . Montrons maintenant que A est telle que :
, :n T T Tx x 0 x Ax = x M Mx . Soit y = Mx . Alors, T T
x M Mx = Ty y >0. Donc, la matrice
A est définie positive.
Définition. La matrice carrée A de dimension n est dite matrice bande , si, il existe
un entier naturel l tel que :
0, si i-j
0, si i-j
ij
ij
a l
a l
L’entier naturel l est appelé largeur de la bande.
42
Exemple. Les matrices bandes sont courantes dans les applications. Comme
illustration, considérons le problème aux limites suivant :
2
2,0 1
0 1 0
d uf x x
dx
u u
Soit v une fonction définie et continûment différentiable sur l’intervalle 0,1 , telle
que :
0 1 0v v
Soient ; 0,1,2,...,iv i n des fonctions de base définies et continûment
différentiables sur 0,1 . De sorte que :
0
n
i i
i
u v
Alors, en multipliant les deux membres de l’équation ** par iv , on obtient :
1 1 12
200 0 0
,
0,1,2,...,
nji i
i j i
j
dvdv dvd u duv dx dx fv dx
dx dx dx dx dx
i n
Nous obtenons de la sorte un système d’équations linéaires à matrice pleine :
Mα F
Où,
1
0
; , 0,1,2,...,j i
ij
du dum dx i j n
dx dx
1
0
; 0,1,...,i if fv dx i n
Construisons maintenant sur le segment 0,1 le maillage homogène suivant :
* ; 1/ix i h h n
43
Les fonctions de base iv x sont linéaires par morceaux et définies de la façon
suivante :
1
0;
i i
i
i j
v xv x
v x i j
De plus,
1 1
1 1
0, ,
0, ,
i i i
i i i
v x x x x
v x x x x
Ainsi définies, les fonctions iv x sont l’exemple même de fonctions à support
borné. iv x l’utilisation de telles fonctions est l’une des raisons du succès de la
méthode des éléments finis, car la matrice du M du système, en plus d’être
symétrique, devient une matrice bande de largeur 2.
11 12
21 22 23
32 33 43
1nn nn
m m
m m m
m m m
m m
M
Noyau d’une matrice. On appelle noyau d’une matrice A de dimension *m n ,
l’ensemble :
/ 0n mN x A Ax
Remarque. Il découle de la définition ci-dessus, que N A désigne l’ensemble des
vecteurs qui sont orthogonaux aux vecteurs colonnes de la matrice A .
Exemple. Considérons la matrice
1 2 1
2 4 1
3 6 1
A . Alors, 3
1 2 3/ 2 , 0N x x x A x
Remarque. Le Noyau N A introduit une incertitude dans la définition du vecteur
x partant de y = Ax . En effet :
44
Soit y = Ax et z N A . Alors : y = A x + z .
Supposons maintenant que y = Ax = Ax . On en tire simplement que
Nx = x + z,z A
Il est évident que x est déterminé de façon unique à partir de l’équation
y = Ax si et seulement si N A 0
Tout ceci a un sens physique bien précis et peut s’illustrer par un système physique
constitué d’un capteur A qui détecte des signaux x de fréquence supérieures à un
certain seuil . Dès lors,
,A x Ax
Ce qui signifie que pour ce capteur, les signaux x et x représentent un seul et
même objet.
Pour conclure, il apparaît que N A est caractéristique de la liberté que nous avons
à manipuler les données initiales, sans changer de résultat de l’observation.
Théorème. Le noyau de la matrice A de dimension *m n est un sous espace de n .
Preuve. N A est un sous ensemble de n
car la matrice A a n colonnes. Il est par
ailleurs évident que N0 A . Supposons maintenant que les deux vecteurs
( )Nu, v A . Soient , deux réels quelconques. Alors :
* *0 A u v Au Av 0 0
Ce qui montre bien que N A est un sous espace vectoriel de n .
Exemple. Caractérisons N A lorsque
1 1 2 1
1 1 2 2
1 2 2 1
A
Solution. Dans un premier temps, nous trouvons la solution générale du système
homogène Ax = 0 . Ceci nous conduit à une solution de la forme :
45
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 0
2 2 0
2 2 0
x x x x
x x x x
x x x x
Il découle de ce système que : 4 2 0x x et
4
1 3 4 2/ 2 0; 0N x x x x x A
N A est un sous espace de 4 dont le vecteur générateur est
2
0
1
0
.
Définition. A étant une matrice rectangulaire x nm , l’ensemble image de A , noté Im
A , est défini ainsi qu’il suit :
Im /m n A y y = Ax,x
Dans le même ordre d’idée,
T n mIm = R / = R A y y Ax,x
Remarque. Il découle de la définition ci-dessus que :
ImA est l’enveloppe linéaire des colonnes de A
ImA est l’ensemble des vecteurs y tels que l’équation y = Ax est
compatible.
ImT
A est l’enveloppe linéaire constitué par les lignes de T
A .
Exemple. Considérons la matrice suivante :
*1 *2 *3 *4
1 2 1 0
2 4 1 1
3 6 1 0
Im
, , ,
A
A A A A A
Mais on voit bien que
*1 *2
A 2A
Donc
46
*1 *3 *4Im
, ,
A A A A
Définition. Le rang d’une matrice rectangulaire A de dimension mn * est le nombre
maximal de colonnes indépendantes de A . Le rang de la matrice A est aussi défini
comme le nombre maximal de lignes indépendantes de A .
Corollaire. Il découle de la définition ci-dessus que min ,rang m nA .
Théorème. Les propositions suivantes sont vérifiées pour toutes matrices
rectangulaires A et B de dimensions respectives x nm et x mn :
)
) ,
Ti r r
ii r r r r
A A
AB A AB B
Preuve. Le premier résultat découle de la définition même de la notion de rang d’une
matrice. Pour ce qui est du deuxième résultat, les colonnes de AB AB sont les
combinaisons linéaires des colonnes de A. ce qui justifie que r rAB A . Par
ailleurs,
T T Tr r r r AB B A B B
Théorème. Soit A une matrice carrée d’ordre n inversible. Alors , pour toute matrice
carrée N d’ordre x n m , on a :
r rAB B
Preuve. On a en effet 1r r r r AB B A AB AB . Par conséquent,
r rAB B
Théorème. Soit A une matrice rectangulaire de dimension *n m . Alors :
dim dimIm dimrang N N n A A A A
Définition. On appelle rang de la matrice A , le nombre dimImrank A A .
Théorème. Soit A une matrice de dimension *m n . Alors, si les colonnes de A
forment un ensemble linéairement indépendant, on a :
1) ( ) 0
2) rank( )=n
N A
A
47
Théorème. Soit A une matrice de dimension *m n . Alors, les lignes de A forment
un ensemble linéairement indépendants, si et seulement si :
0
( )
TN
rank m
A
A
Théorème. La matrice carrée A de dimension n est inversible, si et seulement si :
1) les colonnes de A sont linéairement indépendantes
2) les lignes de A sont linéairement indépendantes.
3) N A 0
Théorème. Soit A une matrice de dimension *m n . Alors :
1) 0N A si et seulement si rang(A) = n
2) 0TN A si et seulement si ( )rang mA
Définition. Soient A une matrice réelle de dimension *n m . On appelle espace des
colonnes de A , noté ColA , l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des
vecteurs colonnes de A .
Remarque. ColA est un sous-espace vectoriel de m .
Matrice d’un endomorphisme
Soient 1 2, ,..., nx x x une base d’un espace vectoriel E et f un endomorphisme de E .
Alors :
1 1
n n
k k k k
k k
x x f x f x
En posant
1
n
k ki i
i
f x a f x
Alors,
Définition. La matrice ikaA est appelée matrice de l’endomorphisme f dans la
base 1 2, ,..., nx x x .
1 1 1 1
( )n n n n
k k k ki i k ki k
k k i k
f x f x a f x a x
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