1. Retour sur la construction des ensembles de nombres◗ Construction de l’ensemble � L’équation 1 0x + = n’admet pas de solution dans �, on a donc construit un ensemble appelé �

qui contient � et dans lequel cette équation admet 1– comme solution.

◗ Construction de l’ensemble � L’équation x2 1 0+ = n’admet pas de solution dans �, on a donc construit un ensemble appelé �

qui contient � dans lequel cette équation admet ,0 5– comme solution.

◗ Construction de l’ensemble � L’équation x 1 03 + = n’admet pas de solution dans �, on a donc construit un ensemble appelé �

qui contient � dans lequel cette équation admet 31– comme solution.

◗ Construction de l’ensemble � L’équation x 22 = n’admet pas de solution dans �, on a donc construit un ensemble appelé � qui

contient � dans lequel cette équation admet 2– et 2 comme solutions.

◗ Nécessité d’inventer un nouvel ensemble qui contient � …L’équation x 1–2 = n’admet pas de solution dans �.

Histoire des sciences

En Italie : Il n’existe pas de réel dont le carré est négatif et pourtant dès le XVIIIe siècle, les algébristes italiens dont Cardan, n’hésitent pas à utiliser la notation a– lorsque a est un nombre réel strictement positif. Ils se rendent compte que l’extraction de la racine carrée dans le cas d’un nombre négatif est impossible. Pour manipuler ces nouveaux nombres qu’ils appellent « nombres impossibles » ; ils défi nissent des règles de calcul prolongeant les règles de calcul défi nies sur �.En France : Au début du XVIIe siècle, on doit à Descartes (1637) l’appellation « nombres imaginaires ».En Allemagne : Au XIXe siècle, Gauss, les nomme les « nombres complexes ».En Suisse : Au début du XVIIIe siècle, Euler déclare que la notation 1– est absurde car elle conduit à une contraction :

( ) 11– –2 = par défi nition ;) ( 1) 1( 1 1 1– – – –2 2

#= = = en appliquant les propriétés sur les racines carrées.

Euler introduit donc la notation i en 1777 qui désigne le nombre vérifi ant i2 1–= .

Sachant que i 1–2 = et en utilisant les règles de calcul défi nie sur �, résoudre les équations données.

1. a. z 1–2 = .

b. z 4–2 = .

2. a. Montrer que 2 2 ( 1) 1z z z– –2 2+ += .

b. En déduire les solutions de l’équation z z2 2 0–2 + = .

3. En utilisant une méthode analogue, résoudre l’équation z z4 13 0–2 + = .

découverte

54

2. Un premier lien entre les complexes et la géométrie◗ Première interprétation géométrique des nombres

complexes (du mathématicien français du XVIIIe siècle Argand)

Un nombre complexe x iy+ est relié à un point du plan de coordonnées cartésiennes ( , )x y dans

un repère orthonormé direct ;

Les réels sont les points de coordonnées cartésiennes ( , )x 0 .

On défi nit une addition de deux points en utilisant la règle de parallélogramme :

Si M et M ¢ ont pour coordonnées cartésiennes respectives ( , )x y et , )y(x¢ alors le point

¢MM +=¢M ¢ admet pour coordonnées cartésiennes , )¢y y+(x x+ ¢ .

On défi nit un produit de deux points en utilisant les coordonnées polaires :

Si M et M ¢ ont pour coordonnées polaires respectives ( , )r i et ), ¢i(r ¢ alors le point ¢MM +=¢M ¢

admet pour coordonnées polaires ), ¢+i i(rr¢ .

◗ Passage de ( , )x y à ( , )r i et réciproquement

Coordonnées de départ

On détermine On détermineCoordonnées d’arrivée

Polaires ( , )r iLa valeur de x sachant que cosx r i=

La valeur de y sachant que sinx r i= Cartésiennes ( , )yx

Cartésiennes ( , )x yLa valeur de r sachant que r x y2 2= +

La valeur de i sachant

que cos

sin

rx

ry

i

i

=

=* Polaires ( , )r i

En utilisant la méthode d’Argand, répondre aux questions suivantes :

1. Le produit de deux réels est-il un réel ?

Considérons deux points M et M ¢ de coordonnées cartésiennes respectives ( , )a 0 et , 0)( ¢a .

Déterminer les coordonnées polaires des points M et M ¢ quand

a. a 02 et 02¢a ;

b. a 02 et 01¢a ;

c. a 01 et 02¢a ;

d. a 01 et 01¢a .

Dans chacun des cas, donner les coordonnées polaires du produit M ¢M= #¢M ¢ et en déduire les

coordonnées cartésiennes de ¢M ¢ . Que peut-on répondre à la question ?

2. Peut-on dire que i 1–2 = ?

Le complexe i (noté 1– à l’époque d’Argand) est associé au point J de coordonnées cartésiennes

( , )0 1 . Déterminer les coordonnées cartésiennes de J J# et répondre à la question.

découverte

555. Xxxxxxxx : xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx - xxxxxxxxxxxxxxxx

3. La méthode d’Argand est-elle compatible avec les règles de calcul prolongeant � ?

a. Sachant que i 1–2 = et en respectant les règles de calcul de �, montrer que

)¢iy+( )( ¢x iy x+ )yx+ ¢(i xy+ ¢– yy ¢xx= ¢ .

b. Considérons les points M et M ¢ de coordonnées polaires respectives ( , )r i et ), ¢i(r ¢ ,

déterminer les coordonnées cartésiennes )¢; y ¢¢(x¢ du produit ¢¢M=¢M M# .

c. Donner les coordonnées cartésiennes ( ; )x y et ); y¢(x¢ des points M et M ¢ dont les

coordonnées polaires sont ( , )r i et ), ¢i(r ¢ .

d. A-t-on ¢yy–xx= ¢¢x ¢ et yx+ ¢xy= ¢¢y ¢ ?

Répondre à la question posée dans le titre de ce paragraphe.

3. TICE Les ensembles de pointsLe plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O i j . Soit f l’application qui à tout point

M du plan de coordonnées ( ; )x y avec ( ; ) (0 ; 0)x y ! associe le point M ¢ de coordonnées ); y¢(x¢

tel que =xx yx3–

2 2+¢ et =

x yy

y32 2+

¢ avec ( ; ) (0 ; 0)x y ! .

1. En utilisant un logiciel de géométrie dynamique, donner une conjecture aux questions posées.

2. Quelle est l’image du cercle C de centre O et de rayon 2 par f ?

3. Quelle est l’image du cercle C ¢ de centre ( ; )A 1 1 et de rayon 2 par f ?

4. Quelle est l’image de la droite (d) d’équation 1y x += par f ?

5. Quelle est l’image par f d’une droite (d ¢) passant par le point O ?

découverte

56

Avec Géoplan

Création d’objets géométriques

Créer un point libre dans le plan ;

Créer (numérique, calcul géométrique) x et y abscisse et ordonnée de M ;

Créer (numérique, calcul algébrique) x yx3–

2 2+ nommé x ¢,

x y

y32 2+

nommé y ¢ ;

Créer M ¢ point repéré, de coordonnées ), y ¢(x ¢ . Créer un point repéré dans le plan.

Image d’un cercle

Créer une ligne cercle défi nie par centre et rayon ;

Créer un point libre sur un cercle : M ;

Faire un clic-gauche sur le point libre M pour obtenir une main qui permet de déplacer le point M sur le cercle.

Affi cher sélection trace, choisir M ¢ ;L’icône TT apparaît et permet d’obtenir la trace laissée par le point M ¢ .

Image d’une droite

Créer une ligne droite défi nie par une équation ;

Redéfi nir le point M : Créer un point libre sur la droite (d).

Affi cher sélection trace, choisir M ¢ ;L’icône TT apparaît et permet d’obtenir la trace laissée par le point M ¢ .

Image d’une droite mobile

Créer numérique variable libre notée a

Créer une ligne droite défi nie par une équation Y aX= ;

Redéfi nir le point M ;

Piloter au clavier sélectionner « a ». (En utilisant les fl èches du clavier on fait varier a donc (d ¢).)

découverte

575. Xxxxxxxx : xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx - xxxxxxxxxxxxxxxx