L’espace réciproque
• Espace des vecteurs d’onde• Espace de Fourier
• Inverse• Orthogonal
Réseau réciproqueDéfinition
géométrique• Introduit par Bravais
• Repris par Ewald (1917)• Définition des vecteurs de base
• avec v=(a,b,c) volume de la maille• Définition équivalente (2D, 3D...)
• a* est orthogonal à b et c mais pas en gal à a• v*=(a*,b*,c*)=(2 )p 3/v
vvv
bac
acb
cba
2*,2*,2*
2.*0.*0.*
0.*2.*0.*
0.*0.*2.*
cccbca
bcbbba
acabaa
• Espace réciproque : espace vectoriel base (a*,b*,c*)• Réseau réciproque : ensemble des points
*** cbaQ lkhhkl
RD
RR
ab
b* a*
h,k,l entiers
Définition par les ondes planes
• Q appartient au réseau réciproque ssi :
me uvwuvwi
uvwuvw 2.1. RQRR RQ
• Réseau réciproque
• Ensemble des vecteur q des ondes planes eiq.r ayant une périodicité du réseau direct
• Si mwlvkuhuvwhkl 2)(2.RQ
• Si on pose
entiers.
muvwuvw 2.RQR *** cbaQ zyxhkl
*** cbaQ lkhhkl
zy,x,zyx, hklhklhkl 2.,2.2. cQbQaQ
*** cbaQ lkhhkl
q q
Propriétés du RR
• Symétrie• Le réseau réciproque a
la même symétrie ponctuelle que le réseau direct
• Soit O une opération de symétrie du RR. On veut montrer
• Dualité• Le réseau réciproque du RR est le réseau direct :
• RR du RR formé des points R tel que
• Si R=Ruvw la relation est vérifiée• Réciproquement si R=xa+yb+zc vérifie xu+yv+zw=m, x, y et z sont entiers
b* a*RD RR
muvwhkluvw 2.)( RQOR
mw'v'u'hkluvwhkl
uvwhkluvwhkl
2.)(.
).)((.)(1
1
RQROQ
RQOORQO
ab
mhklhkl 2.RQQ
• Næuds d’un réseau regroupés en plans équidistants :
Les plans réticulaires• Famille de plans forme un feuilletage du
réseau
Plans réticulaires, rangées
[100]
[001]
[010]
<100>• Rangée : file infinie de noeuds dans la direction Ruvw
• Notation [uvw], u, v, w premiers entre eux • Les directions équivalentes par symétrie sont notées
<uvw>
Plans réticulaires
c
1/3
1/4 1/2b
a
lkh
cba,,
h, k, l indices de Miller• Famille de plans (h,k,l) • Familles de plans équivalents par symétrie {h,k,l}
dhkl
• Distance entre plan dhkl
• Si N(hkl) est la densité de næuds par plans, N(hkl)/dhkl est la densité volumique • Les plans les plus denses sont les plus distants• Les facettes des cristaux sont des plans réticulaires de faibles indices de Miller (surface)
Le plan réticulaire le plus proche de l’origine coupe les axes de la maille en :
(0,0,1) (3,2,4)
Relation des plans réticulaires avec le RR
Q010=d*
Q020
d010=2p/Q0102p/Q020
• Le plan réticulaire le plus proche de l’origine satisfait :
• Il coupe les axes en : h, k, l indices de Miller (premiers entre eux)
À chaque famille de plans réticulaires dcorrespond
Une rangée du réseau réciproque de pas 2p/d• Cette rangée est orthogonale à la famille de plan
• Le plus petit vecteur de cette rangée à pour module 2p/d
𝒉𝒖+𝒌𝒗+𝒍𝒘=𝟏𝒂h
,𝒃𝑘
,𝒄𝑙
𝒅=𝟐𝝅 /𝑸
𝑹𝑢𝑣𝑤
est un vecteur du RR
ne peut pas être plus petit, c’est le pas de la rangée
indices de Miller :
𝑑
?
𝒏
Distance interréticulaire dhkl
hklhkl Q
d
2
• Cas général
*βcos*c*lha*cos*c*2klb*cos*b*hka*cl*bk*ahd
222222hkl22
2
2)()ca
lhkk(h34
ad
222hkl
222hkllkh
ad
• Système hexagonal :
60*,*,c
2πc
a3
4*b*a
• Système cubique :
90***,*a
2*b*a c
• dhkl distance entre plan (hkl)
Qhkl plus petit vecteur de la rangée
Cas des mailles multiples
• Exemple d’une maille centrée
• La condition implique
1) h, k ,l entiers (Réseau réciproque du réseau (a,b,c))2)
• Condition d’existence
cbaR
cbaR
0.5)w0.5)v0.5)u
wvu
uvw
uvw
(((
nuvwuvw 2.RQR
2nlkh
I
F
PIFA nlk
h, k ,l
nlkh
2
parité m̂
2
PFIA
Conditions
abA
B
b* a*
A*
B*
a
a*
• Réseau hexagonal• A = a-b; B=a+b; C=c
*)*(2
1
2
)(2
22*
*)*(2
1
2
)(2
22*
abbacAC
B
bacbaCB
A
vv
vv
2nkh
• Définition• Fonction ou distribution
• Le réseau direct est décrit par la distribution « densité de nœuds » :
La transformée de Fourier du RD
• La TF du réseau direct est le réseau réciproque
« densité de nœuds » du RR
• L’espace réciproque est la TF de l’espace direct
𝑆 (𝒓 )=∑𝑢𝑣𝑤
𝛿(𝒓−𝑹𝑢𝑣𝑤)
𝑇𝐹 (𝑆 (𝒓 ) )=𝐹 (𝒒 )=∫∑𝑢𝑣𝑤
𝛿(𝒓 −𝑹𝑢𝑣𝑤)𝑒−𝑖𝒒 ∙𝒓 𝑑3𝒓
𝐹 (𝒒 )=𝑣∗∑h𝑘𝑙
𝛿(𝒒−𝑸h𝑘𝑙)
¿ ∑𝑢𝑣𝑤
𝑒−𝑖𝒒 ∙𝑹𝑢𝑣𝑤=∑𝑢
𝑒− 2𝑖 𝜋 𝑞𝑥𝑢∑𝑣
𝑒−2 𝑖 𝜋 𝑞𝑦 𝑣∑𝑤
𝑒− 2𝑖 𝜋 𝑞𝑧𝑤
¿∑h
𝛿 (𝑞𝑥− h )∑ 𝛿 (𝑞𝑦 −𝑘 )∑𝑙
𝛿 (𝑞𝑧− 𝑙)
∑h
𝛿 (𝑞−h𝑇 )= 1𝑇 ∑
𝑛=− ∞
+∞
𝑒− 2𝑖 𝜋 𝑛 𝑞
𝑇
Série de Fourier duPeigne de Dirac
Propriétés de la TF
uvwuvw
hklhkl vTF )())((1 RrQq
• Dualité du RR et du RD
• Symétrie des espaces directs et réciproques• Si O est un opérateur de symétrie dans ED…
…O est un opérateur de symétrie dans l’ER
)(')'('))'((
)()())((
3'.3'.
3)(.3).( 1
qFrrrrO
rrrrq
rqrq
rOqrq
∫∫∫∫
deSdeS
deSdeSOF
ii
iiO
• Produits de convolution• Le produit de convolution de f et g est f * g
∫ udurur 3)()())(( gfgf
)()()2()(
)()()(3 gTFfTFπfgTF
gTFfTFgfTF
Application aux objets de basse dimension
2p/a
a
a
• 1D : chaîne )()u()(S
u// rarr
• 2D : plan )()()( // rbarr
uvw
vuS
hk
yx kqhqF )()()(q
h
x hqF )()(q
** baq yx qq
*aq xq
Ensemble de plans parallèles
Réseau de tiges
a*
b b*
a*
Lien avec la diffraction• Relation de Bragg• Diffraction sur des plans réticulaires d
md sin2
Vecteur de diffusion
id kkq
• q normal aux plans
md
2
sin4
sin2 kq
Diffraction
q appartient au RR(à la rangée plans)
ki kdqq
d
nqd
2 nq
d
22
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