Nouvelle Equation du potentiel gravitationnel pour les disques minces autosimilaires axisymétriques
Julien Lambert
PlanLes disques en Astrophysiques
Les disques Plats
Les disques minces
Description et intérêt
Potentiel dans un disque Axisymétrique
Mise en Equation
Schéma de résolution, Résultats
Mise en EquationSchéma de résolution,
Résultats
Approximation du paramètre k
Intérêt des disques en
AstrophysiqueLes Disques Astrophysiques sont présents à de nombreuses échelles
Potentiel dans un disque Plat
Mise en Equation du Potentiel sous forme intégrale
Comme en Electromagnétisme, l’équation du potentiel Gravitationnel peut s’écrire sous la forme d’une équation locale
dite de Poisson, au constantes de couplages prés
4 Gy p rD =
La résolution numérique de cette équation impose un maillage de l’espace
Il n’y a pas de solution analytique simple de cette équation pour une géométrie tel que les disques
TEMPS DE CALCUL IMPORTANT
SOLUTION ACCESIBLE NUMERIQUEMENT
Bord externe
Bord interne
Point de champ
Point sourceR
a
Potentiel dans un disque Plat
Mise en Equation du Potentiel sous forme intégrale
Lors de cette étude, nous travaillerons avec un profil en loi de puissance de la forme:
( ) 0s
ext
aa as æ ö÷çS = ÷ç ÷çè ø
Ce profil de densité est justifié aussi bien par l’observation que par des considérations théoriques.
Potentiel dans un disque Plat
Mise en Equation du Potentiel sous forme intégrale
Sachant que le potentiel créé par une masse à la distance d vaut d’après la loi de Newton:
( )dm a ds= åGdmd dy = -
On peut facilement montrer que le potentiel intégré sur tout le disque vaut à une distance R du centre :
Où: et
2 aRm a R= +( )
( )2
2 20 1 sindm
m
p ff
=-òK
( ) ( ) ( )K2 out
in
a
a
aR G a m m daRy = - Sò
Potentiel dans un disque Plat
Mise en Equation du Potentiel sous forme intégrale
La difficulté est que la fonction K(m) présente une divergence en m=1, le problème est donc d’arriver à intégrer une singularité pour
0 1 2 3 4 5
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
[ ];in outR a aÎ
( ) ( )
32, 2
out
a af a R G m mR a
-æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø K
inR a=
outR a=
ina a=
outa a=
Potentiel dans un disque Plat
Mise sous la forme d’une équation différentielle
En dérivant : on peut montrer (Huré & Hersant, 2007) que le potentiel est solution d’une équation différentielle ordinaire de première ordre (ODE) de la forme:
( ) ( ) ( )K2 out
in
a
a
aR G a m m daRy = - Sò
( ) ( )[ ]1 1d s Sdy y vv v= + -
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]K K3
0 22 , ,in in out out
s ina a a a
out out
G R aS m m m m eta av vv+æ öS ÷ç ÷= D - = D =ç ÷ç ÷çè ø
où
Résolution numérique Résolution numérique de l’ODE
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.60.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
psi odePsi Nobones
Rayon
Pote
ntie
l nor
mal
isé
par
le p
o-te
ntie
l Cen
tal
Disque (densité surfacique)
Potentiel dans un disque
minceApproximation du paramètre k
Dans un disque mince, le potentiel est :
( ) ( )( ) ( )K2 ,out a
in a
a z
a z
aR G a z k k dzdaRy r+
-= - ò òOù: ( )2 2
2 aRka R z
=+ +
Jean-Marc Huré a montré (2007,en préparation) que si le disque est mince, c’est-à-dire que h/a<<1, ce potentiel peut s’écrire :
( ) ( ) ( )K* *2 out
in
a
a
aR G a k k daRy = - Sò( )
*2 2
2 aRka R l
=+ +
Où:
Potentiel dans un disque
minceApproximation du paramètre k
( ) ( ) ( )K* *2 out
in
a
a
aR G a k k daRy = - Sò( )
*2 2
2 aRka R l
=+ +
Avec:
Où est solution de l’équation: ( ) ( ) ( )22 2211 1 4
ehh e R el é ù-ê ú» -ê úë û
Pour simplifier (éviter que soit une fonction de R, on prendra :
( )2 21 hh e el l» Þ »
Potentiel dans un disque
minceMise en équation
( ) ( ) ( )K* *2 out
in
a
a
aR G a k k daRy = - SòLe potentiel est donc:
On vois que la forme de l’équation est la même que celle d’un disque plat avec seulementOn obtient donc la même équation différentielle:
( ) ( )*, , ,m f a R k f a R h= ® =
( ) ( )*1 1d s Sdy y vv v
é ù= + -ë û
( ) ( ) ( ) ( ) ( )K K3
0* * * * *22 , ,in in out out
s ina a a a
out out
G R aS k k k k eta av vv+æ öS ÷ç é ù é ù÷= D - = D =ç ÷ë û ë ûç ÷çè ø
Résolution numérique
Algorithme de Thomas, et Mapping de l’espace
Afin de trouver le potentiel jusqu’à l’infini, où l’on sait qu’il est nul, on va transformer l’espace pour ramener l’infini en un point donné (ces le mapping). Pour faire ça, on change la variable d’espace:On pose donc:
( )1arctanr A v=%
L’équation différentielle deviens donc dans notre nouvel espace:
( ) ( ) ( )( )*2 1 tansin 2d A s S Ardr Ary yé ù= + -ë û%% %
Résolution numérique
Algorithme de Thomas, et Mapping de l’espace
On pourrai calculer le potentiel par Euler ou Runge-Kutta, mais le potentiel ne peut pas être calculé jusqu’à l’infini avec ces méthodes.
Cependant, on connait deux conditions aux limites pour résoudre notre équation : le potentiel central qui peut être calculer analytiquement, et le potentiel à l’infini qui est nul de plus, grâce au mapping de l’espace, l’infini est accessible.
Nous prendrons comme schéma numérique:
1 1i i i i i i ia b c dy y y- ++ + =
Résolution numérique
Algorithme de Thomas, et Mapping de l’espace
peut se mettre sous la forme d’un système matriciel tridiagonale fermé à condition de disposer de deux conditions aux limites.
Dans ce cas, le système peut être résolu simplement par l’algorithme de Thomas
1 1i i i i i i ia b c dy y y- ++ + =
1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3
1
0 0
0 0
0 0n
n n n n
b c da b c d
a b dc
a b d
yyy
y-
æ öæ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç=÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè øè ø è ø
LO MO
M O O O M ML
Résolution numérique Résultats
0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Psi NobonesPsi ODE
Rayon
pote
ntie
l nor
mal
isé
Résolution numérique Résultats
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.51E-8
1E-7
1E-6
1E-5
1E-4
1E-3
1E-2
1E-1
1E+0
1E+1
s=-1,5s=-2
Rayon
Erre
ur r
elat
ive
(%)
Résolution numérique Résultats
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0 f(x) = − 1.00093681865595 x + 2.30466430205072Ln(Psi)=f(Ln(R))
Ln(Psi)=f(Ln(R))Regression lineaire
Ln(R)
Ln(P
si)
Conclusion
Cette nouvelle forme pour le potentiel nous donne accès au potentiel de manière rapide et avec une bonne précision.
Pour améliorer le calcul du potentiel, il serait intéressant de pouvoir améliorer la précision du paramètre l
Il serait aussi intéressant de chercher une solution à l’ODE sous forme de série entière à condition que cette dernière converge
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