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Une approche complète

La Mécanique classique de John Taylor s’adresse aux étudiants de licence déjà familiarisés avec les bases de lamécanique.

L’auteur y approfondit les notions fondamentales, puisdéveloppe des thèmes plus avancés tels que la formula-tion lagrangienne, la formulation hamiltonienne, la mécanique dans les référentiels non-inertiels, le mou-vement des corps rigides, les oscillateurs couplés, la théorie du chaos, la relativité restreinte et plusieursautres notions complexes. Certains physiciens incluant larelativité dans le corpus de la mécanique classique, cettebranche de la mécanique est également abordée danscet ouvrage.

Une approche progressive

Le livre est divisé en deux parties : la première partiecontient onze chapitres « essentiels » qui devraient êtrelus intégralement et dans l’ordre, alors que la secondecontient cinq chapitres « optionnels » indépendants lesuns des autres.

Chaque chapitre se termine par un grand nombre d’exer-cices corrigés, permettant notamment à l'étudiant de s'entraîner au traitement numérique par ordinateur.Les formules indispensables sont rappelées au début de chaque section d’entraînement, et une signalétiquesimple évalue la difficulté de chacun des exercices.

Traduit de l’américainT. Becherrawy est titulaire d’un doctorat de troisièmecycle de l’université de Paris et PH.D. de l’université de Rochester. Il enseigne à l’IUFM de Lorraine et à l’université de Nancy 1, et a enseigné à l’universitélibanaise de Beyrouth et à l’université de Savoie àChambéry. Il est par ailleurs l’auteur d’une vingtained’articles spécialisés ayant trait à la physique deshautes énergies.

Aurélie Cusset-Boudier est traductrice, rédactrice et réviseur scientifique.

a Une référence en mécanique classiquea Les notions les plus complexes expliquées de façon simplea De nombreux exercices corrigésa Des exercices à réaliser sur ordinateur

(sans logiciel payant)

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ISBN : 978-2-8041-5689-3

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MECACLA www.deboeck.com

Mécanique classique

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Mécanique classique

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Mecanique Classique

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Mecanique Classique

John R. TaylorUNIVERSITY OF COLORADO

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Pour toute information sur notre fonds et les nouveautes dans votre domaine de

specialisation, consultez notre site web :

www.deboeck.com

Edition originale : Classical Mechanics, ISBN 1-891389-22-X

c© 2005 University Science Books

c© Groupe De Boeck SA

Rue des Minimes, 39

B-1000 Bruxelles

Tous droits reserves pour tous pays.

Il est interdit, sauf accord prealable et ecrit de l’editeur, de reproduire (notamment par

photocopie) partiellement ou totalement le present ouvrage, de le stocker dans une banque

de donnees ou de le communiquer au public, sous quelque forme que ce soit.

Imprime en Belgique

Depot legal :

Bibliotheque nationale, Paris : septembre 2012

Bibliotheque royale Albert Ier, Bruxelles : 2008/0074/067 ISBN : 978-2-8041-5689-3

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Table des Matieres

Preface xiii

PARTIE I Les Fondements 1

CHAPITRE 1 Lois du Mouvement de Newton 3

1.1 Mecanique Classique 3

1.2 L’espace et le temps 4

1.3 Masse et force 11

1.4 Premiere et deuxieme lois de Newton, referentiels inertiels 14

1.5 Troisieme loi et conservation de la quantite de mouvement 19

1.6 Deuxieme loi de Newton en coordonnees cartesiennes 26

1.7 Coordonnees polaires a deux dimensions 29

Principales definitions et equations du chapitre 1 38

Problemes du chapitre 1 38

CHAPITRE 2 Projectiles et Particules Chargees 47

2.1 Resistance de l’air 47

2.2 Resistance lineaire de l’air 51

2.3 Trajectoire et portee dans un milieu lineaire 59

2.4 Resistance quadratique de l’air 63

2.5 Mouvement d’une particule chargee dans un champmagnetique uniforme 72

2.6 Exponentielles complexes 75

2.7 Solution pour le mouvement d’une particule chargee dans unchamp B 77

Principales definitions et equations du Chapitre 2 79

Problemes du chapitre 2 79 v

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vi Table des Matieres

CHAPITRE 3 Quantite de mouvement et moment cinetique 91

3.1 Conservation de la quantite de mouvement 91

3.2 Fusees 93

3.3 Centre de masse (CM) 95

3.4 Moment cinetique d’une particule 98

3.5 Moment cinetique de plusieurs particules 103

Principales definitions et equations du chapitre 3 109

Problemes du chapitre 3 110

CHAPITRE 4 Energie 117

4.1 Energie cinetique et travail 117

4.2 Energie potentielle et forces conservatives 121

4.3 Force comme gradient de l’energie potentielle 129

4.4 La deuxieme condition pour que F soit conservative 132

4.5 Energie potentielle variable dans le temps 135

4.6 Energie des mouvements unidimensionnels rectilignes 137

4.7 Systemes unidimensionnels curvilignes 144

4.8 Forces centrales 149

4.9 Energie d’interaction de deux particules 154

4.10 Energie d’un systeme de plusieurs particules 161

Principales definitions et equations du chapitre 4 166

Problemes du chapitre 4 167

CHAPITRE 5 Oscillations 181

5.1 Loi de Hooke 181

5.2 Oscillations harmoniques 184

5.3 Oscillateurs a deux dimensions 190

5.4 Oscillations amorties 194

5.5 Oscillations forcees 200

5.6 Resonance 209

5.7 Serie de Fourier ∗ 216

5.8 Oscillateur excite par une force periodique quelconque(solution en serie de Fourier) ∗ 221

5.9 Moyenne quadratique (RMS) du deplacement, theoreme deParseval ∗ 227

Principales definitions et equations du Chapitre 5 230

Problemes du chapitre 5 232

∗Les sections marquees d’un asterisque peuvent etre omises en premiere lecture.

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Table des Matieres vii

CHAPITRE 6 Calcul des variations 241

6.1 Deux exemples 242

6.2 Equation d’Euler–Lagrange 245

6.3 Applications de l’equation d’Euler–Lagrange 248

6.4 Systemes a plusieurs fonctions 253

Principales definitions et equations du Chapitre 6 258

Problemes du chapitre 6 258

CHAPITRE 7 Equations de Lagrange 265

7.1 Equations de Lagrange pour un mouvement sanscontraintes 266

7.2 Systemes contraints, un exemple 274

7.3 Systemes contraints dans le cas general 276

7.4 Demonstration des equations de Lagrange pour des systemescontraints 280

7.5 Exemples d’utilisation des equations de Lagrange 284

7.6 Quantites de mouvement generalisees et coordonneescycliques 297

7.7 Conclusion 298

7.8 Lois de conservation ∗ 299

7.9 Equations de Lagrange pour les forceselectromagnetiques ∗ 304

7.10 Multiplicateurs de Lagrange et forces de contrainte ∗ 307

Principales definitions et equations du chapitre 7 313

Problemes du Chapitre 7 314

CHAPITRE 8 Probleme a deux corps en interaction centrale 327

8.1 Le probleme 327

8.2 Coordonnees du CM et coordonnees relatives, massereduite 329

8.3 Equations du mouvement 331

8.4 Le probleme unidimensionnel equivalent 334

8.5 Equation de l’orbite 341

8.6 Orbites de Kepler 343

8.7 Orbites non liees de Kepler 349

8.8 Changement d’orbite 351

Principales definitions et equations du Chapitre 8 355

Problemes du Chapitre 8 356

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viii Table des Matieres

CHAPITRE 9 Mecanique dans les referentiels non inertiels 363

9.1 Referentiels acceleres non tournants 364

9.2 Les marees 367

9.3 Vecteur-rotation 373

9.4 Derivees par rapport au temps dans un referentieltournant 377

9.5 La deuxieme loi de Newton dans un referentiel tournant 379

9.6 Force centrifuge 382

9.7 Force de Coriolis 386

9.8 Chute libre et force de Coriolis 390

9.9 Pendule de Foucault 393

9.10 Force de Coriolis et acceleration de Coriolis 397

Principales definitions et equations du chapitre 9 398

Problemes du chapitre 9 400

CHAPITRE 10 Mouvement de rotation des corps rigides 407

10.1 Proprietes du centre de masse 407

10.2 Rotation autour d’un axe fixe 413

10.3 Rotation autour d’un axe quelconque, tenseur d’inertie 419

10.4 Axes principaux d’inertie 428

10.5 Determination des axes principaux, equations aux valeurspropres 431

10.6 Precession d’une toupie soumise a un moment de forcefaible 435

10.7 Equations d’Euler 438

10.8 Equations d’Euler dans le cas d’un moment de force nul 440

10.9 Angles d’Euler ∗ 445

10.10 Rotation d’une toupie ∗ 448

Principales definitions et equations du chapitre 10 452

Problemes du chapitre 10 453

CHAPITRE 11 Oscillateurs couples et modes propres 463

11.1 Deux masses et trois ressorts 464

11.2 Ressorts identiques et masses egales 468

11.3 Cas de deux oscillateurs faiblement couples 473

11.4 Formalisme lagrangien : le pendule double 478

11.5 Cas general 484

11.6 Trois pendules couples 489

11.7 Coordonnees normales ∗ 493

Principales definitions et equations du Chapitre 11 496

Problemes du chapitre 11 497

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Table des Matieres ix

PARTIE II Themes avances 505

CHAPITRE 12 Mecanique non lineaire et chaos 507

12.1 Linearite et non-linearite 508

12.2 Le pendule amorti et force (PAF) 513

12.3 Quelques caracteristiques previsibles du PAF 515

12.4 Le PAF : un exemple du chaos 518

12.5 Chaos et sensibilite aux conditions initiales 528

12.6 Diagrammes de bifurcation 537

12.7 Orbites dans l’espace d’etat 541

12.8 Sections de Poincare 550

12.9 Application logistique 555

Principales definitions et equations du chapitre 12 571

Problemes du chapitre 12 572

CHAPITRE 13 Mecanique hamiltonienne 581

13.1 Les variables de base 582

13.2 Equations de Hamilton pour les systemesunidimensionnels 584

13.3 Equations de Hamilton pour les systemesmultidimensionnels 589

13.4 Coordonnees cycliques 596

13.5 Equations de Lagrange et equations de Hamilton 598

13.6 Orbites dans l’espace des phases 600

13.7 Theoreme de Liouville ∗ 606

Principales definitions et equations du chapitre 13 614

Problemes du chapitre 13 614

CHAPITRE 14 Theorie des collisions 623

14.1 Angle de diffusion et parametre d’impact 624

14.2 Section efficace de collision 627

14.3 Generalisation de la notion de section efficace 631

14.4 Section efficace differentielle 636

14.5 Calcul de la section efficace differentielle 640

14.6 Diffusion de Rutherford 643

14.7 Sections efficaces dans divers referentiels ∗ 648

14.8 Relation entre les angles de diffusion dans le CM et dans lelaboratoire ∗ 652

Principales definitions et equations du chapitre 14 656

Problemes du chapitre 14 657

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x Table des Matieres

CHAPITRE 15 Relativite restreinte 665

15.1 Relativite 666

15.2 Relativite galileenne 667

15.3 Postulats de la relativite restreinte 672

15.4 Relativite du temps, dilatation des durees 675

15.5 Contraction des longueurs 681

15.6 Transformation de Lorentz 684

15.7 Vitesse relativiste, loi de composition des vitesses 689

15.8 Espace–temps a quatre dimensions, quadrivecteurs 692

15.9 Produit scalaire invariant 698

15.10 Cone de lumiere 700

15.11 Regle du quotient et effet Doppler 706

15.12 Masse, quadri-vitesse et quadri-impulsion 709

15.13 L’energie comme quatrieme composante de l’impulsion 715

15.14 Collisions 722

15.15 Force en relativite 728

15.16 Particules de masse nulle, le photon 731

15.17 Tenseurs ∗ 736

15.18 Electrodynamique et relativite 739

Principales definitions et equations du chapitre 15 745

Problemes du chapitre 15 747

CHAPITRE 16 Mecanique des milieux continus 765

16.1 Mouvement transversal d’une corde tendue 767

16.2 Equation des ondes 770

16.3 Conditions aux limites, ondes sur une corde finie ∗ 774

16.4 Equation des ondes a trois dimensions 780

16.5 Forces volumiques et forces de contact 784

16.6 Contrainte et deformation, modules d’elasticite 788

16.7 Tenseur des contraintes 791

16.8 Tenseur des deformations d’un solide 797

16.9 Relation entre la contrainte et la deformation, loi deHooke 803

16.10 Equation du mouvement pour un solide elastique 806

16.11 Ondes longitudinales et ondes transversales dans unsolide 810

16.12 Fluides : description du mouvement ∗ 812

16.13 Ondes dans un fluide ∗ 816

Principales definitions et equations du chapitre 16 820

Problemes du chapitre 16 822

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Table des Matieres xi

ANNEXES Diagonalisation des matrices reelles et symetriques 829

A.1 Diagonalisation d’une seule matrice 829

A.2 Diagonalisation simultanee de deux matrices 833

Bibliographie 837

Reponses des problemes de numeros impairs 839

Index 867

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Preface

Ce livre s’adresse aux etudiants de sciences physiques qui ont deja aborde des

notions de mecanique dans un cours d’introduction a la physique (cours de

« physique de premiere annee » d’une universite americaine typique) et qui

sont a present prets a approfondir le sujet. Ce livre s’est construit a partir

d’un cours de mecanique que j’ai enseigne au Departement de Physique de

l’Universite du Colorado a des etudiants de deuxieme annee de physique,

de mathematiques, de chimie et a des eleves-ingenieurs. La plupart de ces

etudiants avaient deja suivi le cours de physique de premiere annee et avaient

ainsi deja acquis une certaine connaissance de base des lois de Newton, de

l’energie, de la quantite de mouvement, du mouvement harmonique, etc. En

ecrivant ce livre, je me suis d’abord base sur cette connaissance elementaire

pour en approfondir les idees fondamentales, puis j’ai poursuivi en developpant

des themes plus avances tels que la formulation lagrangienne, la formulation

hamiltonienne, la mecanique dans les referentiels non-inertiels, le mouvement

des corps rigides, les oscillateurs couples, la theorie du chaos et quelques autres

themes.

La mecanique est, bien entendu, l’etude du mouvement des corps : par

exemple d’un electron dans un tube cathodique, d’une balle de base-ball lancee

dans l’air ou encore d’une comete en orbite autour du Soleil. La mecanique

classique correspond a la formulation de la mecanique qui a ete developpee

par Galilee et Newton au 17e siecle et qui a ete reformulee par Lagrange et

Hamilton aux 18e et 19e siecles. Pendant plus de deux siecles, la mecanique

classique a ete consideree comme la seule formulation capable d’expliquer le

mouvement de tous les systemes imaginables.

Mais au debut du 20e siecle, deux grandes revolutions ont montre que

la mecanique classique ne pouvait plus etre utilisee ni pour les mouvements

aux vitesses proches de la vitesse de la lumiere, ni pour les particules sous-

atomiques se deplacant a l’interieur des atomes. Entre 1900 et 1930 sont alors

apparues la mecanique relativiste, developpee a l’origine pour decrire les corps

en mouvement rapide, et la mecanique quantique, developpee a l’origine pour xiii

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xiv Preface

decrire les systemes sous-atomiques. Dans cette nouvelle competition entre les

differentes mecaniques, on pouvait s’attendre a ce que la mecanique classique

perde de son interet et de son importance. Cependant, en ce debut de 21e siecle,

la mecanique classique a garde toute son importante et reste meme toujours

aussi fascinante, et ce pour trois raisons. La premiere est qu’il existe toujours

autant de systemes physiques interessants qui sont mieux decrits en termes

classiques. Pour analyser les orbites des engins spatiaux et les trajectoires

des particules chargees dans les accelerateurs modernes, par exemple, il est

inevitable d’utiliser la mecanique classique. La seconde raison est que des

developpements recents en mecanique classique, en particulier associes au

developpement de la theorie du chaos, ont engendre de nouvelles branches

de la physique et des mathematiques, et ont modifie notre comprehension de

la notion de causalite. Ce sont ces nouvelles idees qui ont incite des physiciens,

parmi les meilleurs au monde, a etudier de nouveau la mecanique classique. La

troisieme raison est qu’une bonne comprehension de la mecanique classique est

toujours un prealable a l’etude de la relativite et de la mecanique quantique.

Les physiciens ont tendance a utiliser l’expression « mecanique classique »d’une facon plutot imprecise. Certains l’utilisent pour designer la mecanique

de Newton, de Lagrange et de Hamilton ; pour eux, la « mecanique classique »exclut la mecanique quantique et la relativite. Dans certains domaines de la

physique cependant, d’autres ont tendance a inclure la relativite comme faisant

partie de la « mecanique classique » ; pour ces physiciens, la « mecanique

classique » est ainsi equivalente a la « mecanique non-quantique ». Influences

par cet usage, certains cours de mecanique classique incluent un chapitre

d’introduction a la mecanique relativiste. Pour cette raison, j’ai inclus dans ce

livre un chapitre sur la mecanique relativiste que vous pourrez choisir d’etudier

ou non.

Un des interets d’un cours de mecanique classique est qu’il offre une belle

occasion d’apprendre certaines techniques mathematiques tres utiles dans de

nombreuses branches de la physique : les vecteurs, le calcul vectoriel, les

equations differentielles, les nombres complexes, les series de Taylor, les series

de Fourier, le calcul des variations, les matrices, etc. J’ai essaye dans ce

livre de vous donner au moins une revision ou une introduction a chacune de

ces techniques (avec des references bibliographiques) et de vous illustrer leur

utilisation dans le contexte generalement simple de la mecanique classique.

J’espere qu’a la lecture de ce livre vous saurez maıtriser ces outils et que vous

aurez pris conscience de leur importance.

Il est evident que ce livre contient plus de sujets que ce qui pourrait

probablement etre traite dans un cours d’un semestre. J’ai neanmoins essaye

d’eviter l’embarras du choix des sujets a omettre. Le livre est divise en deux

parties : la partie I contient onze chapitres « essentiels » qui devraient etre

lus dans l’ordre, alors que la partie II contient cinq chapitres « optionnels »qui sont independants et peuvent etre lus sans reference les uns aux autres.

Evidemment, cette division n’est pas tranchee et sa facon de l’utiliser dependra

du jugement de l’enseignant et de la preparation des etudiants. Dans mon cours

d’un semestre a l’Universite du Colorado, je me suis rendu compte qu’il fallait

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Preface xv

que je traite dans sa quasi-totalite et dans l’ordre les chapitres de la partie I,

et que je laisse aux etudiants la liberte de choisir un des cinq chapitres de la

partie II comme projet de fin de semestre (ce qu’ils ont eu l’air d’apprecier).

Certains des professeurs qui ont utilise une version preliminaire de ce livre ont

trouve que les etudiants etaient suffisamment bien prepares et qu’ils pouvaient

traiter les quatre ou cinq premiers chapitres comme une revision rapide, ce qui

laissait plus de temps pour aborder certains chapitres de la partie II. Dans les

universites ou le cours de mecanique est enseigne sur deux trimestres, il a ete

possible de couvrir toute la partie I ainsi que la majeure partie de la partie II.

Puisque les chapitres de la partie II sont independants l’un des autres, il

est possible d’en etudier certains avant d’avoir fini la partie I. Par exemple,

le chapitre 12 sur le chaos peut etre traite juste apres le chapitre 5 sur les

oscillations. De meme, le chapitre 13 sur la mecanique hamiltonienne peut etre

lu juste apres le chapitre 7 sur la mecanique lagrangienne. Certaines sections

sont marquees d’un asterisque pour indiquer qu’elles peuvent etre omises sans

perdre la continuite du texte. Cela ne veut pas dire que les sujets qu’elles

traitent ne sont pas importants. . . et j’espere que vous reviendrez dessus pour

les lire plus tard !

Comme c’est toujours le cas dans un livre de physique, il est tres impor-

tant que vous traitiez un bon nombre d’exercices apres chaque chapitre. Je

propose dans cet ouvrage un grand nombre de problemes pour laisser du

choix au professeur et aux etudiants. Certains de ces problemes sont des

applications simples des idees developpees dans le chapitre et d’autres sont

des prolongements de ces idees. J’ai organise les problemes par sections, de

sorte que vous puissiez (et meme devriez) essayer d’en traiter quelques uns

des que vous aurez fini de lire chaque section d’un chapitre. (Naturellement,

les problemes poses pour une section donnee exigent generalement d’avoir

pris connaissance des sections precedentes, mais je vous promets qu’ils ne

necessitent pas d’avoir traite les sections suivantes.) J’ai essaye d’evaluer les

problemes pour indiquer leur niveau de difficulte, allant d’un asterisque (⋆)

pour un probleme simple, faisant generalement intervenir un seul concept prin-

cipal, a trois asterisques (⋆⋆⋆) pour un probleme presentant plus de challenge,

faisant intervenir plusieurs concepts et qui vous prendra probablement un

temps et un effort importants. Cette classification est assez subjective, tres

approximative et difficile a faire ; je vous serais reconnaissant de me suggerer

toute modification qui vous semblerait utile.

Certains problemes exigent l’utilisation d’un ordinateur pour tracer des

graphiques, pour resoudre des equations differentielles, etc. Aucun de ces

problemes n’exige de logiciel specifique : certains peuvent etre traites avec

un logiciel relativement simple tel que MathCad ou meme un tableur de type

Excel, d’autres exigent des logiciels plus sophistiques tels que Mathematica,

Maple ou Matlab. (D’ailleurs, l’experience m’a montre que le cours pour

lequel ce livre a ete ecrit etait une excellente occasion pour les etudiants

d’apprendre a utiliser ces logiciels tres utiles.) Les problemes qui exigent

l’utilisation d’un ordinateur portent la mention [Ordinateur]. Je les ai evalues

comme des problemes difficiles (⋆⋆⋆), ou au moins comme des problemes

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xvi Preface

moyens (⋆⋆), parce que l’ecriture du programme peut prendre beaucoup de

temps. Naturellement, ces problemes seront plus faciles pour les etudiants qui

ont une certaine experience du logiciel necessaire.

Avant les problemes de chaque chapitre, j’ai insere un sommaire intitule

« Principales definitions et equations du chapitre xx ». J’espere qu’il vous

permettra de controler votre comprehension du chapitre apres l’avoir lu et qu’il

pourra vous servir plus tard comme reference pour y retrouver les formules de

base dont vous aurez oublie les details.

Il y a de nombreuses personnes que je souhaite remercier pour leur aide et

leurs suggestions. Je pense surtout aux professeurs Larry Baggett, John Cary,

Mike Dubson, Anatoli Levshin, Scott Parker, Steve Pollock et Mike Ritzwoller

de l’Universite du Colorado. Je pense egalement a des professeurs d’autres

institutions, qui ont lu le manuscrit ou ont utilise une edition preliminaire du

livre dans leurs cours :

Meagan Aronson, U of Michigan

Dan Bloom, Kalamazoo College

Peter Blunden, U of Manitoba

Andrew Cleland, UC Santa Barbara

Gayle Cook, Cal Poly, San Luis Obispo

Joel Fajans, UC Berkeley

Richard Fell, Brandeis University

Gayanath Fernando, U of Connecticut

Jonathan Friedman, Amherst College

David Goldhaber-Gordon, Stanford

Thomas Griffy, U of Texas

Elisabeth Gwinn, UC Santa Barbara

Richard Hilt, Colorado College

George Horton, Rutgers

Lynn Knutson, U of Wisconsin

Jonathan Maps, U of Minnesota, Duluth

John Markert, U of Texas

Michael Moloney, Rose-Hulman Institute

Colin Morningstar, Carnegie Mellon

Declan Mulhall, Cal Poly, San Luis Obispo

Carl Mungan, US Naval Academy

Robert Pompi, SUNY Binghamton

Mark Semon, Bates College

James Shepard, U of Colorado

Richard Sonnenfeld, New Mexico Tech

Edward Stern, U of Washington

Michael Weinert, U of Wisconsin, Milwaukee

Alma Zook, Pomona College

Je leur suis a tous tres reconnaissant, ainsi qu’a leurs etudiants, pour leurs

nombreux commentaires tres utiles. J’aimerais remercier tout particulierement

Carl Mungan, pour sa vigilance etonnante a saisir les erreurs de frappe,

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Preface xvii

les points obscurs et les ambiguıtes, ainsi que Jonathan Friedman et son

etudiant Ben Heidenreich qui m’ont evite une erreur vraiment embarrassante

dans le chapitre 10. Je suis particulierement reconnaissant envers mes deux

amis et collegues, Mark Semon au Bates College et Dave Goodmanson a la

Boeing Aircraft Company, qui ont passe le manuscrit au peigne fin et m’ont

reellement fait des centaines de suggestions. Je remercie Christopher Taylor

de l’Universite du Wisconsin pour son aide patiente sur Mathematica et les

mysteres de LaTeX. Bruce Armbruster et Jane Ellis de University Science

Books m’ont permis de realiser mes reves d’auteur. L’editeur de ce texte, Lee

Young, est vraiment exceptionnel : c’est un expert en langue anglaise et en

physique et il m’a suggere de nombreuses ameliorations importantes. Enfin et

surtout, je voudrais remercier mon epouse Debby. Etre mariee a un auteur

peut etre tres penible et elle m’a supporte avec beaucoup de grace. En tant

que professeur d’anglais au plus haut niveau, elle m’a enseigne presque tout

ce que je connais sur l’art d’ecrire et d’editer. Je lui en suis eternellement

reconnaissant.

Malgre tous nos efforts, il y aura surement quelques erreurs dans ce livre

et je vous serais reconnaissant de me faire part de celles que vous pourrez y

trouver. Une documentation annexe, comprenant un manuel de l’enseignant

et d’autres notices, seront disponibles sur le site de University Science Books,

www.uscibooks.com.

John R. Taylor

Department of Physics

University of Colorado

Boulder, Colorado 80309, USA

[email protected]

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PARTIE I

Les FondementsCHAPITRE 1 Lois du Mouvement de Newton

CHAPITRE 2 Projectiles et Particules Chargees

CHAPITRE 3 Quantite de mouvement et moment cinetique

CHAPITRE 4 Energie

CHAPITRE 5 Oscillations

CHAPITRE 6 Calcul des variations

CHAPITRE 7 Equations de Lagrange

CHAPITRE 8 Probleme a deux corps en interaction centrale

CHAPITRE 9 Mecanique dans les referentiels non inertiels

CHAPITRE 10 Mouvement de rotation des corps rigides

CHAPITRE 11 Oscillateurs couples et modes propres

La partie I de ce livre traite les sujets qui sont presque unanimement con-

sideres comme les connaissances essentielles en mecanique que tout etudiant

doit acquerir pour sa licence de physique. La partie II contient des sujets op-

tionnels que vous pourrez choisir au gre de votre preference et du temps dont

vous disposez. Considerer un sujet comme « essentiel » ou « optionnel » est

evidemment discutable et depend votre niveau de connaissance. Si, par exem-

ple, vous vous estimez bien prepare, vous pourrez considerer les cinq premiers

chapitres de la partie I comme une revision rapide ou meme les sauter. En fait,

j’ai choisi d’ecrire les onze chapitres de la partie I de facon a ce qu’ils soient lus

les uns a la suite des autres, pour qu’a la lecture de chaque chapitre vous soyez

familier avec la plupart des idees developpees dans les chapitres precedents.

En revanche, j’ai essaye de rendre les chapitres de la partie II independants

les uns des autres, de sorte que vous puissiez les lire dans n’importe quel ordre,

apres avoir assimile le plus gros de la partie I.

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CHAPITRE 1

Lois du Mouvement de Newton

1.1 Mecanique Classique

La mecanique est l’etude du mouvement des corps : celui des planetes autour

du Soleil, d’un skieur sur une piste ou d’un electron autour du noyau d’un

atome. Pour autant que nous le sachions, les Grecs anciens ont ete les premiers

a reflechir de facon serieuse sur la mecanique, il y a plus de 2000 ans, et la

mecanique qu’ils ont elaboree represente une grande avancee dans l’evolution

de la science. Cependant, les idees des Grecs ont ete serieusement mises a

defaut par les normes modernes et c’est pourquoi nous ne les considererons

pas ici. Le developpement de la mecanique que nous connaissons actuellement

a ete initie par les travaux de Galilee (1564–1642) et de Isaac Newton (1642–

1727). C’est la formulation de Newton, avec ses trois lois du mouvement, qui

constituera notre point de depart dans ce livre.

Vers la fin du 18e siecle et le debut du 19e siecle, deux autres formulations de

la mecanique ont ete developpees. Elles portent les noms de leurs inventeurs :

le mathematicien et astronome francais Joseph-Louis Lagrange (1736–1813)

et le mathematicien irlandais William Rowan Hamilton (1805–1865). Les

formulations lagrangiennes et hamiltoniennes de la mecanique sont exactement

equivalentes a celle de Newton mais elles fournissent des solutions nettement

plus simples a de nombreux problemes complexes. Elles sont aussi le point

de depart de plusieurs developpements de la physique moderne. Le terme

mecanique classique est un peu vague mais il designe generalement ces trois

formulations equivalentes de la mecanique. C’est en ce sens que ce livre traite

de mecanique classique.

Jusqu’au debut du 20e siecle, il semble que la mecanique classique etait

consideree comme le seul type de mecanique, capable de decrire correctement

tous les types de mouvement. Entre 1905 et 1925, il est devenu clair que

la mecanique classique ne pouvait decrire correctement ni le mouvement des

corps se deplacant avec une vitesse proche de celle de la lumiere, ni celui

des particules microscopiques a l’interieur des atomes et des molecules. Il 3

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4 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton

en a resulte le developpement de deux formes completement nouvelles de la

mecanique : la mecanique relativiste, permettant de decrire les mouvements

a tres grande vitesse, et la mecanique quantique, permettant de decrire

le mouvement des particules microscopiques. J’ai inclus dans ce livre une

introduction a la relativite dans le chapitre « optionnel » 15. La mecanique

quantique requiert a elle-seule un livre entier (voire plusieurs) et je n’ai pas

essaye d’en donner ici ne serait-ce qu’une breve introduction.

Bien que la mecanique classique ait ete remplacee par la mecanique rela-

tiviste et par la mecanique quantique dans leurs domaines respectifs, il existe

toujours un vaste eventail de problemes interessants et toujours d’actualite

pour lesquels la mecanique classique donne une description complete et precise

des mouvements possibles. En fait, la recherche en mecanique classique s’est

intensifiee au cours des dernieres decennies et ce sujet est devenu un des do-

maines les plus a la mode de la physique, surtout apres le developpement

de la theorie du chaos. L’objectif de ce livre est de donner au lecteur les

bases approfondies du domaine passionnant qu’est la mecanique classique. Si

les problemes le permettent, je les discuterai dans le cadre de la formulation

newtonienne, mais j’essaierai egalement de souligner les situations ou les for-

mulations plus recentes de Lagrange et de Hamilton sont plus adaptees et de

les utiliser dans ces cas. Pour le niveau aborde dans ce livre, nous verrons que

l’approche lagrangienne presente de nombreux avantages importants par rap-

port a l’approche newtonienne et nous utiliserons la formulation lagrangienne

a plusieurs reprises a partir du chapitre 7. En revanche, les avantages de la

formulation hamiltonienne n’apparaissent qu’a un niveau plus avance et je re-

porterai son introduction au chapitre 13 (bien qu’elle soit utilisee a certains

endroits a partir du chapitre 7).

En ecrivant ce livre, j’ai suppose que vous aviez deja acquis les bases de

la mecanique newtonienne, habituellement enseignees dans un cours typique

d’introduction a la physique de premiere annee d’etudes universitaires. Ce

chapitre contient une breve revision des idees que vous etes suppose connaıtre.

1.2 L’espace et le temps

Les trois lois de mouvement de Newton sont formulees a partir de quatre

concepts fondamentaux sous-jacents : l’espace, le temps, la masse et la force.

Cette section fait le point sur les deux premiers : l’espace et le temps. En plus

d’une breve description de la vision classique de l’espace et du temps, je donne

ici un bref recapitulatif de l’utilisation des vecteurs qui permettent de reperer

les points de l’espace.

L’espace

Chaque point P de l’espace tridimensionnel dans lequel nous vivons peut etre

repere par un vecteur position r qui determine la distance et la direction de P

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Section 1.2 L’espace et le temps 5

axe des z

axe des y

y

x

z

r

O

P

axe des x

Figure 1.1 Le point P est repere par le vecteur position r

qui donne sa position par rapport a l’origine choisie O.

Le vecteur r peut etre determine par ses composantes

cartesiennes (x, y, z) par rapport aux axes choisis Oxyz.

depuis une origine choisie O (voir la figure 1.1). Le vecteur r peut etre defini de

plusieurs facons. Une des plus naturelles consiste a preciser ses composantes

(x, y, z) dans les directions de trois axes perpendiculaires choisis. Il est habituel

pour cela d’introduire trois vecteurs unitaires, x, y et z, pointant le long des

trois axes et d’ecrire

r = xx + yy + zz. (1.1)

(x, y et z sont les composantes cartesiennes de r.)

A un niveau elementaire, il est conseille de choisir une seule bonne notation,

comme dans l’equation (1.1), et de s’y tenir. A un niveau plus avance, il est

presque impossible de se passer d’autres notations. Tous les auteurs ont leur

propre preference de notation (il est par exemple courant de rencontrer i, j et k

au lieu de x, y et z) et vous devez vous habituez a toutes les rencontrer. De

plus, chaque notation a ses inconvenients qui peuvent la rendre inutilisable

dans certaines situations. Ainsi, meme si vous optez pour votre systeme de

notation prefere, ce que vous ferez certainement, vous devez apprendre a

developper une certaine tolerance envers les autres.

Il est parfois pratique d’abreger (1.1) en ecrivant simplement

r = (x, y, z). (1.2)

Cette notation n’est evidemment pas totalement coherente avec l’equa-

tion (1.1) mais elle est habituellement sans aucune ambiguıte. Elle precise

simplement que r est le vecteur dont les composantes sont x, y et z. Lorsque

la notation (1.2) apparaıtra comme la plus pratique, je n’hesiterai pas a

l’utiliser. Dans le cas d’un vecteur quelconque (represente par un caractere

gras), nous designons ses composantes par le meme caractere (italique et non-

gras) affecte d’indices inferieurs x, y et z. Ainsi, les composantes du vecteur

vitesse v sont designees par vx, vy et vz et celles de l’acceleration a par ax, ay

et az.

Lorsque les equations deviennent plus compliquees, il devient tres long

d’ecrire les trois termes d’une somme telle que (1.1) ; on emploie plutot le

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6 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton

signe de sommation∑

suivi d’un seul terme. La notation de l’equation (1.1)

ne se prete pas a ce raccourci. Pour cette raison, j’utiliserai parfois r1, r2 et r3

a la place de x, y et z pour designer les composantes de r, et e1, e2 et e3 a la

place de x, y et z pour designer les trois vecteurs. Nous definissons donc

r1 = x, r2 = y, r3 = z,

et

e1 = x, e2 = y, e3 = z.

(Le symbole e est couramment utilise pour les vecteurs unitaires car e

represente « eins » en allemand, ce qui signifie « un »). Avec ces notations,

l’equation (1.1) devient

r = r1e1 + r2e2 + r3e3 =

3∑

i=1

riei. (1.3)

Dans le cas d’une equation simple telle que celle-ci, la forme (1.3) ne presente

par de reel avantage par rapport a (1.1). Dans le cas d’equations plus com-

pliquees en revanche, la forme (1.3) est beaucoup plus pratique et je l’utiliserai

lorsqu’elle sera appropriee.

Operations sur les vecteurs

En mecanique, nous utilisons frequemment diverses operations mathematiques

qui peuvent etre effectuees sur les vecteurs. Si r et s sont deux vecteurs de

composantes

r = (r1, r2, r3) et s = (s1, s2, s3),

alors leur somme vectorielle (ou resultante) r + s est definie comme le vecteur

dont les composantes sont les sommes des composantes de r et s, d’ou

r + s = (r1 + s1, r2 + s2, r3 + s3). (1.4)

(Vous pouvez facilement verifier que cette regle est equivalente aux regles

habituelles du triangle ou du parallelogramme pour l’addition des vecteurs.)

Un exemple important de l’addition de vecteurs est la resultante des forces

qui agissent sur un corps : si deux forces Fa et Fb agissent en meme temps sur

un corps, leur effet est le meme que celui d’une seule force, la force resultante,

qui est simplement egale a la somme

F = Fa + Fb

selon la regle d’addition vectorielle (1.4).

Si c est une grandeur scalaire (c’est-a-dire un nombre ordinaire) et r un

vecteur, le produit cr est defini par

cr = (cr1, cr2, cr3). (1.5)

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Section 1.2 L’espace et le temps 7

Cela signifie que cr est un vecteur de meme direction1 que r et de module egal

au module de r multiplie par c. Si par exemple un corps de masse m (qui est

une grandeur scalaire) a une acceleration a (qui est un vecteur), la deuxieme

loi de Newton affirme que la resultante F des forces qui agissent sur le corps

sera toujours egale au produit ma donne par la regle (1.5).

On peut considerer deux sortes de produit de deux vecteurs. D’abord, le

produit scalaire qui, pour deux vecteurs r et s, est donne par l’une ou l’autre

des formules equivalentes :

r · s = rs cos θ (1.6)

= r1s1 + r2s2 + r3s3 =

3∑

i=1

risi (1.7)

ou r et s designent les modules des vecteurs r et s tandis que θ est l’angle

qu’ils forment. (Pour montrer que ces deux definitions sont equivalentes, voir

le probleme 1.7.) Si par exemple une force F agit sur un corps et que celui-ci

se deplace d’une petite distance dr, le travail de la force est le produit scalaire

F · dr donne par l’une ou l’autre des equations (1.6) et (1.7). Le produit scalaire

est egalement utilise pour definir le module d’un vecteur : le module (ou la

longueur) d’un vecteur r est designe par |r| ou r. En vertu du theoreme de

Pythagore, il est donne par√

r 21 + r 2

2 + r 23 . L’equation (1.7) permet egalement

de l’ecrire sous la forme

r = |r| =√

r · r. (1.8)

Le produit scalaire r · r est souvent abrege par r2.

La deuxieme sorte de produit de deux vecteurs r et s est le produit vectoriel,

qui est defini par le vecteur p = r × s de composantes

px = rysz − rzsy

py = rzsx − rxsz

pz = rxsy − rysx

(1.9)

ou, de facon equivalente,

r × s = det

x y z

rx ry rz

sx sy sz

,

ou « det » designe le determinant. L’une ou l’autre de ces definitions implique

que r × s est un vecteur perpendiculaire a r et a s, de direction donnee par la

regle de la main droite et de module rs sin θ (voir le probleme 1.15). Le produit

vectoriel joue un role important dans l’analyse du mouvement de rotation. Par

exemple, la rotation d’un corps autour de l’origine sous l’effet d’une force F

(agissant en un point r) est determinee par le moment de F par rapport a O,

defini comme le produit vectoriel Γ = r × F.

1 Bien que ce soit souvent ce que l’on dit, il faut etre prudent avec cette affirmation. En

effet, si c est une grandeur negative alors cr est de direction opposee a celle de r.

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8 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton

Derivation des vecteurs

De nombreuses lois de la physique (peut-etre meme la plupart) impliquent des

vecteurs et la plupart d’entre elles impliquent des derivees de vecteurs. Il y

a tant de facons de deriver les vecteurs qu’elles constituent une sous-branche

des mathematiques appelee analyse vectorielle, dont une grande partie sera

developpee dans ce livre. Je mentionne ici seulement la plus simple, la derivee

par rapport au temps d’un vecteur qui depend du temps. Par exemple, la

vitesse v(t) d’une particule est la derivee de sa position r(t) par rapport au

temps, c’est-a-dire v = dr/dt. De meme, l’acceleration est la derivee du vecteur

vitesse par rapport au temps, a = dv/dt.

La definition de la derivee d’un vecteur est semblable a celle d’une grandeur

scalaire. Rappelons que si x(t) est une fonction scalaire de t, sa derivee est

definie par

dx

dt= lim

∆t→0

∆x

∆t

ou ∆x = x(t + ∆t) − x(t) est la variation de x lorsque l’on passe des instants

t a t + ∆t. De la meme facon, si r(t) est un vecteur qui depend de t, nous

definissons sa derivee par le vecteur

dr

dt= lim

∆t→0

∆r

∆t(1.10)

ou

∆r = r(t + ∆t) − r(t) (1.11)

est la variation correspondante de r(t). L’existence de cette limite peut bien

entendu soulever de nombreuses questions delicates. Heureusement, aucune de

ces questions ne doit nous inquieter ici : tous les vecteurs que nous rencontrons

sont derivables et vous pouvez tenir pour acquis que les limites requises

existent. En utilisant la definition (1.10), nous pouvons montrer que la derivee

des vecteurs a toutes les proprietes habituelles des derivees. Si par exemple

r(t) et s(t) sont deux vecteurs qui dependent de t, la derivee de leur somme

est le resultat prevu :

d

dt(r + s) =

dr

dt+

ds

dt. (1.12)

De meme, si r(t) est un vecteur et f(t) une fonction scalaire, la derivee du

produit f(t)r(t) est donnee par la regle de derivation d’un produit :

d

dt(fr) = f

dr

dt+

df

dtr. (1.13)

Si vous etes le genre de personne qui prend plaisir a prouver ce type de

proposition, vous pouvez montrer qu’elle se deduit de la definition (1.10).

Heureusement, si ce n’est pas votre cas, vous n’avez pas a vous en inquieter

et vous pouvez accepter ce resultat sans demonstration.

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Section 1.2 L’espace et le temps 9

Un autre resultat meritant d’etre mentionne concerne les composantes

de la derivee d’un vecteur. Supposons que la position r d’une particule en

mouvement ait pour composantes x, y, z et que nous voulions determiner sa

vitesse v = dr/dt. Quand nous derivons la somme

r = xx + yy + zz, (1.14)

la regle (1.12) nous donne la somme des derivees des trois termes et la regle

de derivation du produit (1.13) donne deux termes pour chacun de ces trois

termes (par exemple dxdt x + x dx

dt pour xx). La derivee de (1.14) doit donc etre

en principe la somme de six termes. Cependant, les vecteurs unitaires x, y et

z ne dependent pas du temps ; leurs derivees par rapport au temps sont donc

nulles. Par consequent, trois des six termes sont nuls et il nous reste seulement

les trois termes suivants :

dr

dt=

dx

dtx +

dy

dty +

dz

dtz. (1.15)

En comparant ce resultat avec l’expression

v = vxx + vyy + vzz

nous en deduisons que

vx =dx

dt, vy =

dy

dtet vz =

dz

dt. (1.16)

En d’autres termes, les composantes cartesiennes de v sont simplement les

derivees des composantes correspondantes de r. C’est un resultat que nous uti-

lisons frequemment (souvent sans meme y penser) en resolvant les problemes

elementaires de mecanique. Il est important de noter ici que ce resultat est

valable parce que les vecteurs unitaires x, y et z sont constants et que leurs

derivees sont par consequent absentes de l’equation (1.15). Nous verrons que

dans la plupart des systemes de coordonnees, comme les coordonnees polaires,

les vecteurs unitaires ne sont pas constants et que, par consequent, le resultat

donne en (1.16) paraıt sensiblement moins evident. Comme nous le verrons

plus loin, lorsque les problemes necessitent d’utiliser des coordonnees non-

cartesiennes, il est beaucoup plus difficile d’ecrire les relations des vitesses et

des accelerations aux composantes de r.

Le temps

Selon la conception classique, le temps t est un parametre universel et unique

pour tous les observateurs. Cela signifie que si tous les observateurs sont

equipes d’horloges precises et correctement synchronisees, ils seront tous

d’accord sur le moment auquel survient n’importe quel evenement. Actuelle-

ment, nous savons que cette facon de voir n’est pas tout a fait correcte :

selon la theorie de la relativite, l’instant ou survient un evenement n’est pas

le meme pour deux observateurs en mouvement relatif l’un par rapport a

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10 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton

l’autre. Neanmoins, dans le domaine de la mecanique classique ou les vitesses

sont beaucoup plus petites que la vitesse de la lumiere, les differences entre

les temps mesures sont completement negligeables. J’adopterai donc la no-

tion classique d’un temps universel et unique (sauf bien evidemment dans le

chapitre 15 sur la relativite). Bien que le choix de l’origine du temps (ins-

tant que nous choisissons de nommer t = 0) soit completement arbitraire, les

intervalles de temps separant les evenements sont les memes pour tous les

observateurs.

Reperes et referentiels

La plupart des problemes de mecanique classique impliquent le choix (explicite

ou implicite) d’un systeme de reference, c’est-a-dire le choix d’une origine

spatiale et d’axes qui constituent le repere permettant de determiner les

positions (comme dans la figure 1.1) ainsi que le choix d’une origine temporelle

permettant de mesurer le temps. Les differences entre deux systemes peuvent

etre mineures. Ils peuvent par exemple ne pas avoir la meme origine des

temps : ce qui sera nomme t = 0 dans un systeme pourra etre nomme t′ =to 6= 0 dans un autre. Les deux systemes peuvent egalement avoir les memes

origines de l’espace et des temps mais differentes orientations des trois axes

de coordonnees. En profitant de ces differentes possibilites et en choisissant

avec soin le repere, vous pouvez parfois vous simplifier le travail. Par exemple,

dans un probleme ou l’on etudie un bloc qui glisse sur un plan incline, il est

souvent pratique de choisir un des axes dirige dans la direction de plus grande

pente du plan.

Une difference plus importante apparaıt quand les deux reperes sont en

mouvement relatif, c’est-a-dire quand l’origine de l’un se deplace par rapport

a l’autre. Nous parlons alors de referentiels differents. Nous verrons dans la

section 1.4 que tous les referentiels ne sont pas physiquement equivalents2.

Dans certains referentiels speciaux, appeles referentiels inertiels, les lois

fondamentales sont valables, sous leur forme habituelle simple. (C’est parce

que l’une de ces lois fondamentales de la mecanique, la premiere loi de Newton

dite loi d’inertie, est valable que ces referentiels sont dits inertiels.) Si un

premier referentiel est inertiel et un deuxieme est en mouvement rectiligne

accelere ou en rotation par rapport au premier, le second referentiel n’est pas

inertiel. Les lois fondamentales, et en particulier les lois de Newton, ne sont

alors pas valables sous leur forme habituelle dans le second referentiel. Nous

verrons que la distinction entre referentiels inertiels et referentiels non-inertiels

est essentielle dans notre etude de la mecanique classique. Elle joue un role

encore plus explicite dans la theorie de la relativite.

2 Cette assertion est correcte meme dans la theorie de la relativite.

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Section 1.3 Masse et force 11

1.3 Masse et force

Les concepts de masse et de force sont centraux dans la formulation de la

mecanique classique. Les definitions precises de ces grandeurs ont occupe de

nombreux philosophes de la science et font l’objet de traites savants. Heureuse-

ment, nous n’avons pas a trop nous inquieter de ces questions delicates ici.

Vos cours d’introduction a la physique generale vous ont normalement donne

une idee suffisante de ce que les notions de masse et de force signifient et il

est aise de decrire comment ces grandeurs sont definies et mesurees dans de

nombreuses situations realistes.

Masse

La masse d’un corps caracterise son inertie, c’est-a-dire sa resistance a

l’acceleration : un gros rocher est difficile a accelerer — sa masse est grande ;

une petite pierre est facile a accelerer — sa masse est petite. Pour rendre cette

notion quantitative, nous devons definir une unite de masse et proposer une

methode pour mesurer la masse d’un corps en la comparant a cette unite.

L’unite internationalement acceptee de la masse est le kilogramme (kg), defini

arbitrairement comme la masse d’un prototype etalon en platine–iridium con-

serve au Bureau International des Poids et Mesures a Breteuil pres de Paris.

Pour mesurer la masse d’un autre corps, nous avons besoin d’une methode

de comparaison des masses. En principe, cela peut etre realise a l’aide une

balance d’inertie, representee sur la figure 1.2. Les deux corps a comparer

sont fixes aux deux extremites d’une tige legere et rigide. Une traction impor-

tante est ensuite exercee au centre de la tige. Si les masses sont egales, elles

acquierent la meme acceleration et la tige se deplace sans subir de rotation.

Si en revanche les masses ne sont pas egales, la plus grande acquiert une

acceleration plus faible et la tige se deplace en subissant une rotation.

forcecorde

tige

m1

m2

Figure 1.2 Une balance d’inertie compare les masses m1 et

m2 de deux corps fixes aux extremites d’une tige rigide. Les

masses sont egales si et seulement si une force appliquee

au milieu de la tige leur donne la meme acceleration, de

maniere a ce que la tige ne tourne pas.

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12 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton

Ce qui est remarquable dans la balance d’inertie c’est qu’elle offre une

methode de comparaison des masses qui est basee directement sur la notion

de masse comme resistance a l’acceleration. En pratique, une balance d’inertie

est un instrument tres difficile a utiliser. Nous disposons heureusement d’autres

methodes pour comparer les masses, la plus facile etant celle qui consiste a

peser les corps. Comme vous devez certainement vous le rappeler, a partir de

vos cours d’introduction a la physique, la masse d’un corps est exactement

proportionnelle a son poids3 (la force de gravitation exercee sur le corps),

pourvu que toutes les mesures soient faites au meme endroit. Ainsi, deux

corps ont la meme masse si et seulement si leurs poids sont egaux (s’ils sont

peses au meme endroit). Une maniere simple et pratique de verifier si les deux

masses sont egales consiste donc simplement a les peser et a voir si leurs poids

sont egaux.

En disposant de methodes pour comparer les masses, nous pouvons facile-

ment mettre au point un systeme permettant de mesurer la masse d’un corps

quelconque. Nous pouvons d’abord realiser un grand nombre de copies du

kilogramme etalon, en utilisant une balance d’inertie ou une balance de poids.

Nous pouvons ensuite realiser des multiples et des sous-multiples du kilo-

gramme, chacun verifie avec la balance, obtenant ainsi des poids marques.

(Nous verifions l’equilibre d’une masse de 2 kg avec deux masses de 1 kg a

l’aide de la balance, l’equilibre de deux masses de 1/2 kg avec la masse de 1 kg

et ainsi de suite.) Enfin, pour mesurer une masse inconnue, il suffit de la placer

sur l’un des plateaux de la balance et de placer sur l’autre plateau des masses

marquees jusqu’a etablir l’equilibre a la precision desiree.

Force

La notion courante de force comme une poussee ou une traction est, de facon

surprenante, un bon point de depart pour la discussion de cette notion. Nous

sommes certainement conscients des forces que nous exercons nous-memes sur

les corps. Quand je porte un sac de ciment, je suis bien conscient d’exercer

une force ascendante sur le sac. Quand je pousse une caisse lourde sur un

plancher rugueux, je sens que j’exerce une force horizontale importante dans

la direction du mouvement. Il est peut-etre plus difficile d’identifier les forces

exercees par des objets inanimes et nous devons pour y parvenir aller chercher

dans les lois de Newton. Si je laisse tomber le sac de ciment, il s’accelere

vers le sol. Je peux en conclure qu’il doit etre soumis a une force qui le tire

vers le bas : le poids du sac, c’est-a-dire la force de pesanteur que la Terre

exerce sur lui. De la meme maniere, si je pousse la caisse sur le plancher, je

peux observer qu’elle ne s’accelere pas et j’en deduis qu’il doit y avoir une

3 Cette loi remonte aux experiences celebres de Galilee qui a montre que tous les corps

ont la meme acceleration dans le champ de pesanteur. Les premieres experiences modernes

ont ete realisees par le physicien hongrois Lorand Eotvos (1848–1919) ; elles ont montre

que le poids etait proportionnel a la masse avec une precision de l’ordre de 10−9. Des

experiences dans les dernieres decennies ont verifie cette egalite a 10−12 pres.

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Section 1.3 Masse et force 13

pivot1

bras du levier

F2 = 2 N

F1 = 1 N

2

0

0

Figure 1.3 Une des nombreuses methodes pour mesurer une

force. Le dynamometre inferieur est etalonne pour indiquer

1 N. Si la position du pivot du levier a gauche est telle que le

rapport du bras superieur au bras inferieur est 1/2 et si la force

F1 est de 1 N, alors la force F2 qui realise l’equilibre est de 2 N.

Ceci permet d’etalonner le dynamometre superieur pour 2 N.

En modifiant la position du pivot, nous pouvons, en principe,

etalonner le deuxieme dynamometre pour lire n’importe quelle

force.

autre force (de frottement) qui agit sur la caisse dans la direction opposee

au deplacement. Le savoir-faire le plus important d’un etudiant en mecanique

elementaire consiste a bien examiner l’environnement d’un corps et a identifier

toutes les forces exercees sur le corps. Quels sont les objets qui le touchent et

qui peuvent exercer des forces de contact , comme le frottement ou la pression

atmospherique ? Quels sont les objets proches qui peuvent exercer des forces

d’action a distance, comme la force de gravitation de la Terre ou la force

electrostatique d’un corps charge ?

En acceptant que nous sachions identifier les forces, il nous reste a decider

comment les mesurer. Comme unite de force, nous adoptons naturellement le

newton (N), defini comme la force qui, agissant sur une masse de 1 kg, lui

donne une acceleration de 1 m/s2. Apres avoir defini l’unite de force, nous

pouvons utiliser plusieurs methodes pour mesurer une force, toutes donnant

bien evidemment le meme resultat final. La methode que preferent sans doute

la plupart des philosophes de la science consiste a se baser sur la seconde loi

de Newton pour definir la force generale. Par exemple, une force donnee est

de 2 N si elle imprime une acceleration de 2 m/s2 a un corps de 1 kg et ainsi

de suite. Ce n’est pas la facon habituelle de proceder pour mesurer les forces4.

Pour la discussion qui nous concerne, une procedure plus simple consiste a

4 Cette approche pourrait laisser penser que la deuxieme loi de Newton est simplement

une consequence de la definition de la force. Ce n’est pas tout a fait vrai : quelle que soit

la definition adoptee pour la force, une grande partie du contenu de la deuxieme loi de

Newton est experimentale. Un avantage de la determination des forces par le dynamometre

est qu’elle separe la definition de la force de la base experimentale de la deuxieme loi.

Evidemment, toutes les definitions admises pour la force donnent le meme resultat final

quelle que soit la force.

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14 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton

utiliser un dynamometre (qui determine la force a partir de l’allongement

d’un ressort qu’elle provoque). En utilisant notre definition du newton, nous

pouvons etalonner un premier dynamometre pour indiquer 1 N. Nous pouvons

ensuite monter ce premier dynamometre avec un deuxieme aux extremites

d’un levier (voir la figure 1.3), ce qui nous permet de definir des multiples et

des sous-multiples du newton, en changeant la position du pivot. Il est ainsi

possible, en principe, de mesurer n’importe quelle force inconnue en la faisant

agir sur ce dynamometre etalonne et en lisant la valeur indiquee.

Nous avons jusqu’a present uniquement defini le module d’une force.

Comme vous devez deja le savoir, une force est un vecteur et nous devons

egalement definir sa direction. Ceci peut etre fait tres simplement de la facon

suivante : si une seule force F est appliquee a un corps initialement au repos,

la direction de F est definie comme la direction de l’acceleration resultante,

c’est-a-dire la direction du mouvement du corps. Maintenant que nous savons,

du moins en principe, ce qu’on entend par position, temps, masse et force,

nous pouvons commencer a discuter la pierre angulaire de notre sujet : les

trois lois du mouvement de Newton.

1.4 Premiere et deuxieme lois de Newton, referentiels

inertiels

Dans ce chapitre, je vais m’interesser aux lois de Newton appliquees a une

masse ponctuelle. Une masse ponctuelle, ou particule, est une idealisation

commode : c’est un corps qui a une masse, mais des dimensions negligeables,

et qui peut se deplacer dans l’espace sans avoir de degres de liberte internes.

Il peut avoir une energie cinetique « de translation » (energie liee a son

mouvement dans l’espace) mais il n’a aucune energie cinetique de rotation,

de vibration ou de deformation internes. Evidemment, les lois du mouvement

sont plus simples pour une particule ponctuelle que pour un corps etendu et

c’est la raison pour laquelle nous commencons par l’etude du mouvement des

particules. Je construirai plus loin la mecanique des corps etendus a partir de

la mecanique des particules ponctuelles en considerant un corps etendu comme

l’ensemble d’un grand nombre de particules.

Il faut reconnaıtre neanmoins que dans de nombreux problemes importants

les corps que l’on etudie peuvent etre approches de maniere tres realiste par des

masses ponctuelles. Les particules atomiques et sous-atomiques peuvent sou-

vent etre assimilees a des masses ponctuelles. Meme des objets macroscopiques

comme une pierre lancee du haut d’une falaise ou une planete orbitant autour

du Soleil peuvent, dans la plupart des situations, etre considerees comme des

particules ponctuelles. Ainsi, la mecanique des masses ponctuelles n’est pas

seulement un point de depart pour la mecanique des corps etendus ; c’est un

sujet qui a lui-meme beaucoup d’interet.

Les deux premieres lois de Newton sont bien connues et peuvent etre

facilement enoncees :

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Section 1.4 Premiere et deuxieme lois de Newton, referentiels inertiels 15

Premiere loi de Newton (loi d’inertie)

En l’absence de forces, une particule se deplace avec une vitesse v

constante.

Deuxieme loi de Newton

Si des forces agissent sur une particule de masse m, la resultante F de

ces forces est toujours egale a la masse m multipliee par l’acceleration de

la particule :

F = ma. (1.17)

Dans cette equation, F est la somme vectorielle de toutes les forces agissant

sur la particule et a est son acceleration :

a =dv

dt≡ v

=d2r

dt2≡ r.

Ici, v designe la vitesse de la particule et j’ai introduit la notation commode

des symboles pointes pour designer leurs derivees par rapport au temps t,

comme dans v = r et a = v = r.

Les deux lois de Newton peuvent etre enoncees de plusieurs facons

equivalentes. Par exemple, un autre enonce de la premiere loi est : « en

l’absence de forces, une particule immobile demeure immobile et une particule

en mouvement continue a se deplacer avec la meme vitesse et dans la meme

direction ». Ceci revient exactement, bien entendu, a dire que la vitesse v est

toujours constante. Comme v est constante si et seulement si l’acceleration a

est nulle, un enonce encore plus compact de la premiere loi est : « en l’absence

de forces, une particule a une acceleration nulle ».

La deuxieme loi peut etre reformulee en terme de quantite de mouvement

de la particule, definie par

p = mv. (1.18)

En mecanique classique, nous supposons que la masse m d’une particule ne

change pas, ce qui donne

p = mv = ma.

La deuxieme loi (1.17) peut donc etre ecrite sous la forme

F = p. (1.19)

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16 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton

En mecanique classique, les deux formes (1.17) et (1.19) de la deuxieme loi

sont exactement equivalentes5.

Equations differentielles

Ecrite sous la forme mr = F, la deuxieme loi de Newton est une equation

differentielle pour la position r de la particule. Cela revient a dire que c’est

une equation pour la fonction inconnue r(t) qui implique les derivees de la

fonction inconnue. Presque toutes les lois de la physique sont, ou peuvent etre,

ecrites comme des equations differentielles, et un physicien passe beaucoup de

temps a resoudre ces equations. La plupart des problemes dans ce livre font

intervenir des equations differentielles, que ce soit l’expression de la deuxieme

loi de Newton ou les equations equivalentes de la formulation lagrangienne ou

hamiltonienne de la mecanique. Ces equations peuvent etre de difficultes tres

variees. Certaines sont si faciles a resoudre qu’elles passent presque inapercues.

Si par exemple une particule est libre de se deplacer le long de l’axe des x et

qu’elle est soumise a une force constante Fo, la deuxieme loi de Newton s’ecrit

x(t) =Fo

m.

C’est une equation differentielle du second ordre pour x comme une fonction

de t. (Elle est du second ordre parce qu’elle implique des derivees jusqu’au

second ordre mais non d’ordre superieur.) Pour la resoudre, il suffit d’integrer

deux fois. La premiere integration donne la vitesse

x(t) =

x(t) dt = vo +Fo

mt

ou la constante d’integration vo est la vitesse initiale de la particule. Une

deuxieme integration donne la position :

x(t) =

x(t) dt = xo + vot +Fo

2mt2

ou la deuxieme constante d’integration xo est la position initiale de la par-

ticule. La solution de l’equation differentielle x(t) = Fom est si facile que nous

n’avons besoin d’aucune connaissance approfondie de la theorie des equations

differentielles. Cependant, nous rencontrerons dans la suite de ce livre un

bon nombre d’equations qui exigent une connaissance de cette theorie. Je

presenterai la theorie necessaire lorsque nous en aurons besoin. Evidemment,

ce serait un avantage si vous connaissiez les fondements de la theorie des

equations differentielles, mais vous n’aurez aucune difficulte a les apprendre

5 En relativite, les deux formes (1.17) et (1.19) de la deuxieme loi ne sont pas

equivalentes, comme nous le verrons dans le chapitre 15. Le choix entre ces deux formes

pour ecrire correctement la deuxieme loi depend des definitions que l’on donne a la force,

la masse et la quantite de mouvement en relativite. Si nous adoptons les definitions les plus

couramment utilisees de ces trois grandeurs, c’est la forme (1.19) qui est valable.

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Section 1.4 Premiere et deuxieme lois de Newton, referentiels inertiels 17

en progressant dans ce texte. En effet, nombre d’entre nous considerent que

la meilleure facon d’apprendre ce genre de theories mathematiques est de les

apprendre dans le contexte de leurs applications physiques.

Referentiels inertiels

A premiere vue, la deuxieme loi de Newton inclut la premiere : si aucune force

n’agit sur un corps, alors F = 0 et la deuxieme loi (1.17) implique que a = 0, ce

qui n’est autre que la premiere loi. Il y a cependant une importante subtilite

et la premiere loi a un role important a jouer. Les lois de Newton ne peuvent

pas etre vraies dans tous les referentiels imaginables. Pour le comprendre,

considerons uniquement la premiere loi et imaginons un referentiel, que nous

appelleront S, dans lequel cette loi est vraie. Si, par exemple, l’origine et

les axes du referentiel S sont fixes par rapport a la surface de la Terre, la

premiere loi (la loi d’inertie) est valable dans le referentiel S a une tres bonne

approximation pres. Par exemple, un palet qui peut glisser sans frottement

sur une surface horizontale lisse se deplace avec une vitesse constante si la

resultante des forces auxquelles il est soumis est nulle. Puisque la loi d’inertie

est valable, nous disons que S est un referentiel inertiel (ou galileen). Si nous

considerons un deuxieme referentiel S′ qui se deplace par rapport a S avec

une vitesse constante sans subir de rotation, nous observons que ce meme

palet glisse egalement avec une vitesse constante par rapport a S′ (sans que

les vitesses du corps dans S et S′ soient les memes). Le referentiel S

′ est donc

egalement un referentiel inertiel.

Si maintenant nous considerons un troisieme referentiel S′′ qui est accelere

par rapport a S, le palet observe dans S′′ est vu comme accelere (dans la

direction opposee). La loi d’inertie n’est donc pas valable dans le referentiel

accelere S′′ et nous disons que S

′′ est non-inertiel. Je tiens a souligner qu’il

n’y a rien de mysterieux dans ce resultat qui est un fait experimental. Le

referentiel S′ pourrait etre un referentiel lie a un train a grande vitesse roulant

a vitesse constante sur une voie rectiligne et le palet qui glisse sans frottement

pourrait etre un glacon sur le plancher du train (voir la figure 1.4). Observe

dans le train (referentiel S′), le glacon est au repos et reste au repos en

accord avec la premiere loi. Vu par un observateur au sol (le referentiel S), le

glacon se deplace avec la meme vitesse que le train et continue avec la meme

vitesse constante, encore en accord avec la premiere loi. Supposons maintenant

que la meme experience soit realisee dans un deuxieme train (referentiel S′′)

qui accelere vers l’avant. Le glacon observe dans S′′ est alors accelere vers

l’arriere, bien qu’il ne soit soumis a aucune force resultante. Le referentiel S′′

est clairement non-inertiel et aucune des deux premieres lois de Newton n’est

valable dans S′′. On arriverait a la meme conclusion si le referentiel S

′′ etait

lie a un manege tournant. Le palet glissant sans frottement, soumis a aucune

force, ne se deplacerait pas en ligne droite dans S′′ et les lois de Newton ne s’y

appliqueraient donc pas.

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18 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton

v = const' v ≠ const "

"'

Figure 1.4 Le referentiel S est lie au sol et le referentiel S′ est lie a

un train qui roule avec une vitesse v′ par rapport a S. Un glacon,

place sur le plancher du train, obeit a la premiere loi de Newton

qu’il soit observe dans S ou dans S′. Si le referentiel S

′′ est lie a

un train accelere vers l’avant, le glacon place sur le plancher de

S′′ est accelere vers l’arriere et la premiere loi n’est pas valable.

Apparemment donc, les deux lois de Newton sont valables uniquement dans

les referentiels inertiels (non animes d’accelerations rectilignes et non tour-

nants). La plupart des philosophes de la science considerent que la premiere

loi devrait etre utilisee pour identifier ces referentiels inertiels : un referentiel S

est inertiel si les corps qui ne sont soumis a aucune force se deplacent avec une

vitesse constante par rapport a S.6 Ayant identifie les referentiels inertiels au

moyen de la premiere loi de Newton, nous pouvons alors affirmer comme un

fait experimental que la deuxieme loi est valable dans ces memes referentiels

inertiels7.

Les lois du mouvement n’etant valables que dans les referentiels inertiels,

vous etes en droit de penser que notre attention pourrait se concentrer ex-

clusivement sur ces derniers ; c’est ce que nous allons faire pour le moment.

Neanmoins, vous devez avoir conscience que nous allons rencontrer des situa-

tions ou il est necessaire, ou du moins tres pratique, d’utiliser des referentiels

non-inertiels. L’exemple le plus important de tels referentiels est celui de la

Terre elle-meme. A une excellente approximation pres, un referentiel lie a la

Terre est inertiel — heureusement pour les etudiants de physique ! Neanmoins,

la Terre fait un tour par jour autour de son axe, un tour par an autour du

Soleil et le Soleil lui-meme orbite lentement autour du centre de notre galaxie la

6 On risque ici de tourner en rond : comment savoir si un corps n’est soumis a aucune

force ? Il vaut mieux ne pas repondre en disant : « parce qu’il se deplace a vitesse

constante » ! Cependant, on peut heureusement repondre en argumentant qu’il est possible

d’identifier toutes les sources de force : par exemple des personnes qui peuvent pousser

ou tirer ce corps ou encore d’autres corps proches et massifs qui peuvent exercer sur ce

corps des forces de gravitation. S’il n’y a aucune de ces sources autour, nous pouvons

raisonnablement affirmer que le corps n’est soumis a aucune force.7 Comme je l’ai mentionne precedemment, considerer la deuxieme loi comme un fait

experimental depend de la facon de definir la force. Si nous definissons la force par la

deuxieme loi, alors dans une certaine mesure la deuxieme loi devient une question de

definition. Si nous definissons les forces au moyen d’un dynamometre, alors la deuxieme loi

est clairement une proposition verifiable experimentalement.

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Section 1.5 Troisieme loi et conservation de la quantite de mouvement 19

Voie Lactee. Pour toutes ces raisons, un referentiel lie a la Terre n’est pas exac-

tement inertiel. Bien que ces effets soient tres faibles, plusieurs phenomenes

sont plus simplement analyses en tenant compte du caractere non-inertiel d’un

referentiel lie a la Terre. Les marees et la trajectoire des projectiles a longue

portee en sont des exemples. Nous examinerons au chapitre 9 comment les lois

du mouvement doivent etre modifiees pour etre utilisees dans les referentiels

non-inertiels. Pour le moment cependant, nous allons limiter notre discussion

aux referentiels inertiels.

Validite des deux premieres lois

Depuis le developpement de la relativite et de la mecanique quantique, nous

savons que les lois de Newton ne sont pas toujours valables. Neanmoins, il

existe un grand nombre de phenomenes pour lesquels les deux premieres lois

sont exactes pour tous les resultats pratiques : ce sont les phenomenes de la

physique classique. Meme si les vitesses approchent la vitesse de la lumiere c et

que la relativite devient importante, la premiere loi reste exacte. (En relativite

comme en mecanique classique, un referentiel inertiel est par definition un

referentiel dans lequel la premiere loi est valable8.) Comme nous le verrons

dans le chapitre 15, les deux formes F = ma et F = p de la deuxieme loi ne

sont plus equivalentes en relativite. Toutefois, si F et p sont convenablement

definies, la deuxieme loi ecrite sous la forme F = p reste valable. Quoi qu’il

en soit, voici ce qu’il est important de retenir : dans le domaine classique,

nous pouvons supposer et nous supposerons que les deux premieres lois (la

seconde sous l’une ou l’autre des formes F = ma et F = p) sont exactement

et universellement valables. Vous pouvez, si vous le souhaitez, considerer cela

comme la definition d’un modele — le modele classique — du monde naturel.

Ce modele est logiquement coherent et il fournit une si bonne representation

de nombreux phenomenes physiques qu’il est amplement digne de notre etude.

1.5 Troisieme loi et conservation de la quantite de

mouvement

Les deux premieres lois de Newton concernent la reponse d’un seul corps aux

forces qui lui sont appliquees. La troisieme loi aborde une question differente :

chaque force exercee sur un objet implique inevitablement un deuxieme objet,

celui qui exerce la force. Le clou est frappe par le marteau, la charrette est

tiree par le cheval et ainsi de suite. C’est sans doute une question de bon sens,

mais la troisieme loi depasse largement notre experience quotidienne. Newton

s’est rendu compte que, si un corps 1 exerce une force sur un autre corps 2,

8 Cependant, en relativite, la relation entre differents referentiels inertiels (appelee

transformation de Lorentz ) est differente de celle de la mecanique classique. Voir la

section 15.6.

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20 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton

F12 = −F21

F21

1

2

Figure 1.5 La troisieme loi de Newton affirme que

la force de reaction exercee sur le corps 1 par le

corps 2 est de meme module que la force exercee

sur le corps 2 par le corps 1 et de direction opposee,

c’est-a-dire F12 = −F21.

alors le corps 2 exerce une force, dite force de « reaction », sur le corps 1. Cela

semble normal : si vous exercez une forte pression sur un mur, il est evident

que le mur exerce une force sur vous, sinon vous tomberiez vers l’avant. Ce

que la troisieme loi affirme et qui depasse nos perceptions habituelles est ceci :

la force de reaction du corps 2 sur le corps 1 est toujours l’opposee de la force

qu’exerce le corps 1 sur le corps 2 (c’est-a-dire les deux forces ont le meme

module, la meme direction mais des sens opposes). Si nous notons F21 la force

exercee par le corps 1 sur le corps 2, la troisieme loi de Newton peut etre

enoncee d’une maniere compacte :

Troisieme loi de Newton

Si un corps 1 exerce une force F21 sur le corps 2, alors le corps 2 exerce

une force de reaction F12 sur le corps 1, donnee par

F12 = −F21. (1.20)

Cet enonce est illustre sur la figure 1.5 ou les corps 1 et 2 pourraient representer

la Terre et la Lune ou le proton et l’electron dans l’atome d’hydrogene. Il faut

noter que cette figure va reellement au-dela de l’enonce habituel (1.20) de la

troisieme loi : elle montre non seulement que les deux forces sont de meme

module et de directions opposees mais egalement qu’elles agissent suivant la

ligne qui joint les deux corps a la limite ou ils sont ponctuels. Des forces qui

ont cette propriete supplementaire sont dites forces centrales. La troisieme

loi n’exige pas reellement que les forces soient centrales mais, comme nous le

verrons plus tard, la plupart des forces que nous rencontrons (la gravite, la

force electrostatique entre deux charges, etc.) ont cette propriete.

Comme Newton lui-meme le savait bien, la troisieme loi est intimement liee

a la loi de la conservation de la quantite de mouvement. Considerons d’abord

seulement deux corps, comme sur la figure 1.6 qui pourrait illustrer la Terre

et la Lune ou deux patineurs sur glace. En plus de la force qu’exerce chaque

corps sur l’autre, il peut y avoir des forces « externes », exercees par d’autres

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Section 1.5 Troisieme loi et conservation de la quantite de mouvement 21

F12

F2ext

F1ext

F21

1

2

Figure 1.6 Deux corps exercent des forces l’un sur

l’autre et peuvent aussi etre soumis a des forces « ex-

ternes », exercees par d’autres objets non illustres.

corps. La Terre et la Lune subissent toutes les deux les forces exercees par

le Soleil et les deux patineurs pourraient subir la force externe du vent. J’ai

represente les resultantes des forces externes sur les deux corps par Fext1 et

Fext2 . La resultante des forces agissant sur le corps 1 est alors

(resultante des forces sur 1) ≡ F1 = F12 + Fext1

et, de meme,

(resultante des forces sur 2) ≡ F2 = F21 + Fext2 .

Nous pouvons alors calculer les taux de variation des quantites de mouvement

des particules en utilisant la deuxieme loi de Newton :

p1 = F1 = F12 + Fext1 (1.21)

et

p2 = F2 = F21 + Fext2 . (1.22)

Si nous definissons la quantite de mouvement totale des deux corps par

P = p1 + p2,

alors le taux de variation de la quantite de mouvement totale est simplement

P = p1 + p2.

Pour l’evaluer, il suffit d’ajouter les equations (1.21) et (1.22). Alors les deux

forces internes F12 et F21 s’eliminent en vertu de la troisieme loi de Newton et

il nous reste

P = Fext1 + Fext

2 ≡ Fext (1.23)

ou Fext designe la resultante des forces externes sur le systeme de deux

particules.

Le resultat (1.23) est le premier d’une serie de resultats importants qui

nous permettent de construire une theorie des systemes de plusieurs particules

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22 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton

a partir des lois fondamentales etablies pour une seule particule. Il affirme que

les forces internes n’ont aucun effet sur la quantite de mouvement totale d’un

systeme. Dans le cas particulier d’un systeme isole ou soumis a des forces de

resultante nulle (Fext = 0), nous trouvons P = 0, ce qui nous donne ce resultat

important :

si Fext = 0, alors P = constante. (1.24)

En l’absence de forces externes, la quantite de mouvement totale du systeme

de deux particules est constante au cours du temps. Ce resultat est appele

principe de conservation de la quantite de mouvement .

Systemes de plusieurs particules

Nous venons d’etablir la loi de conservation de la quantite de mouvement

pour un systeme de deux particules (1.24). La generalisation de ce resultat

aux systemes constitues d’un nombre quelconque de particules ne pose en

principe aucune difficulte. Je voudrais cependant la detailler car cela me

permet d’introduire une notation importante et cela vous entraınera a utiliser

le symbole de sommation. Considerons un systeme de N particules. Je designe

une particule par un indice grec α ou β, chacun pouvant prendre les valeurs

1, 2, . . . , N . La masse de la particule α est mα et sa quantite de mouvement

est pα. La force agissant sur la particule α est assez compliquee : chacune des

autres (N − 1) particules peut exercer une force que j’appelle Fαβ, la force de

β sur α, comme indique sur la figure 1.7. En outre, il peut y avoir des forces

externes, dont la resultante sur la particule α est Fextα . Ainsi, la force totale

sur la particule α est

(resultante des forces sur la particule α) = Fα =∑

β 6=α

Fαβ + Fextα . (1.25)

F

αF ext

α

α

β

Figure 1.7 Systeme de cinq particules designees par α

ou β = 1, 2, . . . , 5. La particule α est soumise a quatre

forces internes Fαβ (qu’exercent les particules β sur α),

representees par des fleches pleines. La particule α peut

egalement etre soumise a des forces externes dont la

resultante Fextα est representee par la fleche en pointilles.

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Section 1.5 Troisieme loi et conservation de la quantite de mouvement 23

Ici la somme porte sur toutes les valeurs de β differentes de α (il faut se

rappeler qu’il n’y a aucune force Fαα parce que la particule α ne peut pas agir

sur elle-meme). Selon la deuxieme loi de Newton, Fα est le taux de variation

de pα :

pα =∑

β 6=α

Fαβ + Fextα . (1.26)

Ce resultat est valable pour α = 1, . . . , N .

Considerons maintenant la quantite de mouvement totale du systeme de

N particules :

P =∑

α

ou la somme porte evidemment sur les N particules α = 1, 2, . . . , N . En

derivant cette relation par rapport au temps, nous trouvons

P =∑

α

ou bien, en substituant l’expression (1.26) de pα,

P =∑

α

β 6=α

Fαβ +∑

α

Fextα . (1.27)

La somme double contient N(N − 1) termes. Chaque terme Fαβ dans cette

somme peut etre associe a un autre terme Fβα (c’est-a-dire F12 associe a F21

et ainsi de suite), de sorte que

α

β 6=α

Fαβ =∑

α

β>α

(Fαβ + Fβα). (1.28)

La somme double du second membre comprend seulement des valeurs de α et

β telles que β > α et comporte deux fois moins de termes que la somme du

premier membre. Mais chaque terme est la somme de deux forces (Fαβ + Fβα)

et, en vertu de la troisieme loi, chacune de ces sommes est nulle. Par consequent

la somme double de (1.28) est nulle. L’equation (1.27) s’ecrit donc

P =∑

α

Fextα ≡ Fext. (1.29)

Le resultat (1.29) est une generalisation de la relation (1.23) a un nombre

quelconque de particules. Il indique egalement que les forces internes n’ont

aucun effet sur la variation de la quantite de mouvement totale P. Le taux de

variation de P est determine uniquement par la resultante des forces externes

agissant sur le systeme. En particulier, dans le cas ou cette resultante est nulle,

on trouve P = 0, d’ou le

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24 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton

Principe de conservation de la quantite de mouvement :

Si la resultante des forces externes Fext agissant sur un systeme de N

particules est nulle, la quantite de mouvement totale P de ce systeme est

conservee.

Comme vous devez certainement le savoir, cette loi est l’une des plus

importantes de la physique classique et elle est egalement valable en mecanique

quantique et en relativite. Si vous n’etes pas familier avec les manipulations de

sommations que nous avons effectuees, il est conseille de detailler les arguments

menant de l’equation (1.25) a l’equation (1.29) dans le cas de trois ou quatre

particules, en ecrivant toutes les sommes explicitement (voir les problemes 1.28

et 1.29). Vous pouvez egalement vous convaincre du fait que, reciproquement,

si le principe de conservation de la quantite de mouvement est valable pour

tous les systemes de plusieurs particules, la troisieme loi de Newton doit etre

vraie (probleme 1.31). En d’autres termes, la conservation de la quantite de

mouvement et la troisieme loi de Newton sont equivalentes l’une a l’autre.

Validite de la troisieme loi de Newton

En physique classique, la troisieme loi, tout comme la seconde loi, est si

bien verifiee experimentalement qu’elle peut etre consideree comme une loi

exacte de la nature. Cependant, quand les vitesses deviennent proches de la

vitesse de la lumiere, il est facile de voir que la troisieme loi ne peut plus etre

valable. En effet, cette loi affirme que les forces d’action et de reaction, F12(t)

et F21(t), mesurees au meme instant t , sont opposees. Comme vous le savez

certainement, dans les conditions ou la relativite est importante, le concept

d’un temps unique et universel doit etre abandonne : deux evenements qui sont

vus comme simultanes par un observateur sont en general non simultanes s’ils

sont vus par un autre observateur. Ainsi, meme si l’egalite F12(t) = −F21(t)

(ou les instants sont les memes) etait vraie pour un observateur, elle serait

generalement fausse pour un autre. Par consequent, la troisieme loi ne peut

pas etre valable dans le cadre de la relativite.

Assez etonnamment, il existe un exemple simple de force bien connue,

la force magnetique d’interaction entre deux charges en mouvement, pour

laquelle la troisieme loi de Newton n’est pas exactement valable, meme aux

faibles vitesses. Pour le verifier, considerons les deux charges positives de la

figure 1.8, avec q1 se deplacant dans la direction de Ox et q2 se deplacant dans

la direction de Oy. L’expression exacte du champ magnetique produit par

chaque charge est compliquee mais un argument simple permet de determiner

les directions correctes des deux champs et cela nous suffit. La charge mobile

q1 est equivalente a un courant dirige dans la direction de Ox. La regle de la

main droite pour les champs magnetiques montre que le champ qu’elle produit

a proximite de q2 est dirige selon Oz. La regle de la main droite pour les forces

montre alors que ce champ produit sur q2 une force F21 dirigee selon Ox. Un

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Section 1.5 Troisieme loi et conservation de la quantite de mouvement 25

v2

F12

z

B (de q1)

B (de q2)

q2

q1

v1

y

x

F21

O

Figure 1.8 Chacune des charges positives en mouvement

q1 et q2 produit un champ magnetique qui exerce une

force sur l’autre. Ces forces magnetiques F12 et F21

n’obeissent pas a la troisieme loi de Newton.

raisonnement analogue (verifiez-le vous-meme) montre que la force F12 sur q1

est dirigee selon Oy, comme on peut le voir sur la figure 1.8. Il est donc clair

que ces deux forces n’obeissent pas a la troisieme loi de Newton !

Cette conclusion est particulierement surprenante car nous venons de voir

que la troisieme loi de Newton etait equivalente a la loi de conservation de

la quantite de mouvement. Apparemment, la quantite de mouvement totale

m1v1 + m2v2 des deux particules chargees de la figure 1.8 n’est pas conservee.

Cette conclusion, qui est correcte, permet de nous rappeler que la quantite de

mouvement « mecanique » mv des particules n’est pas le seul type de quantite

de mouvement. Les champs electromagnetiques peuvent egalement transporter

de la quantite de mouvement : dans la situation de la figure 1.8, la quantite de

mouvement mecanique perdue par les deux particules est justement la quantite

de mouvement electromagnetique des champs emis.

Heureusement, si les vitesses des particules sont beaucoup plus faibles que

la vitesse c de la lumiere (v ≪ c), la perte de quantite de mouvement mecanique

et la violation resultante de la troisieme loi sont totalement negligeables. Pour

le voir, notons qu’en plus de la force magnetique entre q1 et q2 s’exerce la

force electrostatique de Coulomb9, kq1q2/r2, qui elle obeit a la troisieme loi de

Newton. On peut montrer facilement (probleme 1.32) que la force magnetique

est de l’ordre de v2/c2 fois la force de Coulomb. Ainsi, c’est seulement lorsque

v est comparable a c (et c’est la que la mecanique classique doit alors ceder

la place a la relativite) que la violation de la troisieme loi par les forces

magnetiques devient importante10. On voit que la situation inattendue de la

figure 1.8 ne contredit donc pas notre affirmation selon laquelle la troisieme loi

de Newton est valable dans le domaine classique. C’est ce que nous supposerons

dans nos discussions sur la mecanique non-relativiste.

9 Ici, k est la constante de force de Coulomb, souvent ecrite comme k = 1/(4πǫo).10 La force d’interaction magnetique de deux circuits electriques n’est pas necessairement

faible, meme dans le domaine classique. On peut montrer cependant que cette force verifie

bien la troisieme loi. Voir le probleme 1.33.

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26 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton

1.6 Deuxieme loi de Newton en coordonnees cartesiennes

Parmi les trois lois de Newton, celle que nous utilisons le plus souvent est

la seconde loi, souvent appelee equation du mouvement . Comme nous l’avons

vu, la premiere loi est theoriquement importante pour definir ce que nous

appelons un referentiel inertiel, mais elle n’a pas d’autres utilisations pratiques

en general. La troisieme loi est tres importante pour ecarter les forces internes

dans un systeme constitue de plusieurs particules, mais une fois les forces

impliquees connues, c’est la deuxieme loi que nous utilisons reellement pour

determiner le mouvement des corps qui nous interessent. En particulier, dans

de nombreux problemes simples, les forces sont connues ou faciles a trouver ;

la deuxieme loi est alors la seule qu’il nous faut pour resoudre le probleme.

Comme nous l’avons deja note, l’expression de la deuxieme loi

F = mr (1.30)

est une equation differentielle du second ordre11 pour le vecteur position

r en fonction du temps t. Dans un probleme typique, la resultante F des

forces est connue et notre travail consiste a resoudre l’equation (1.30) pour

determiner r(t). Parfois nous avons des informations sur r(t) et nous devons

utiliser l’equation (1.30) pour determiner certaines forces. Dans tous les cas,

l’equation (1.30) est une equation differentielle vectorielle. La maniere la plus

simple pour resoudre de telles equations est presque toujours de representer les

vecteurs par leurs composantes dans un systeme de coordonnees bien choisi.

Conceptuellement, le systeme de coordonnees le plus simple est le systeme

cartesien (ou rectangulaire) de vecteurs unitaires x, y et z. La force resultante

F s’ecrit alors

F = Fx x + Fy y + Fz z (1.31)

et le vecteur position r s’ecrit

r = x x + y y + z z. (1.32)

Comme nous l’avons note dans la section 1.2, cette expression de r en termes

de coordonnees cartesiennes est particulierement facile a deriver par rapport

au temps car les vecteurs unitaires x, y et z ne dependent pas du temps. Nous

pouvons deriver (1.32) deux fois pour avoir le resultat simple :

r = x x + y y + z z. (1.33)

Les composantes cartesiennes de r sont donc simplement les derivees secondes

des trois coordonnees x, y, et z de r et la deuxieme loi (1.30) devient

Fx x + Fy y + Fz z = mx x + my y + mz z. (1.34)

11 La force F peut parfois impliquer des derivees de r. (Par exemple, la force magnetique

sur une particule chargee en mouvement fait intervenir la vitesse v = r de la particule.) Dans

de rares cas, la force F implique des derivees de r d’ordre n > 2 ; la deuxieme loi est alors

une equation differentielle d’ordre n.

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Section 1.6 Deuxieme loi de Newton en coordonnees cartesiennes 27

En comparant les composantes des deux membres de cette equation vecto-

rielle, nous trouvons que Fx doit etre egale a mx et ainsi de suite pour les

composantes y et z. En coordonnees cartesiennes, l’equation vectorielle (1.30)

est donc equivalente a trois equations dans les trois directions :

F = mr ⇐⇒

Fx = mx

Fy = my

Fz = mz.

(1.35)

Ce beau resultat montre qu’en coordonnees cartesiennes la deuxieme loi de

Newton a trois dimensions est equivalente a trois versions a une dimension

de la meme loi. Ce resultat est a la base de la solution de presque tous

les problemes simples de mecanique en coordonnees cartesiennes. Voici un

exemple de tels problemes.

EXEMPLE 1.1 Bloc glissant sur un plan incline

Un bloc de masse m initialement au repos glisse sur un plan incline d’un

angle θ par rapport a l’horizontale. En supposant que le coefficient de

frottement est µ, quelle distance aura-t-il parcouru au bout du temps t ?

Notre premiere tache consiste a choisir un systeme de reference. Nous

choisissons naturellement l’origine spatiale au point du depart du bloc

et l’origine du temps (t = 0) a l’instant de depart. Comme vous devez

vous en souvenir d’apres vos cours d’introduction a la physique, le

meilleur choix pour les axes consiste a prendre Ox dirige dans la direction

descendante de plus grande pente, Oy normal au plan et le troisieme axe

Oz horizontal et situe dans le plan incline (voir la figure 1.9). Ce choix a

deux avantages. Tout d’abord, comme le bloc glisse dans la direction de

plus grande pente, le mouvement est entierement dirige dans la direction

de Ox (seule x varie). Si nous avions choisi l’axe des x horizontal et l’axe

des y vertical, alors x et y auraient toutes les deux varie. En second

lieu, deux des trois forces s’exercant sur le bloc sont inconnues (la force

normale N et la force de frottement f , le poids w = mg etant connu).

Avec notre choix des axes, chacune des forces inconnues a seulement une

composante non nulle car N est dirigee dans la direction de la normale

Oy et f est dirigee dans la direction de Ox (dans la direction opposee au

mouvement, c’est-a-dire vers les x negatifs).

Nous pouvons a present appliquer la deuxieme loi de Newton. Le

resultat (1.35) signifie que nous pouvons analyser les trois composantes

separement comme suit.

Il n’y a aucune force dirigee dans la direction de Oz et donc Fz = 0.

Comme Fz = mz, nous en deduisons que z (ou vz) est constante et

puisque le bloc demarre sans vitesse initiale, la vitesse z est nulle a

tout instant t. De l’equation z = 0, nous deduisons que z est constante

et, puisque le bloc part de l’origine, nous en concluons que z = 0 a tout

instant t. Comme nous aurions certainement pu le deviner, le mouvement

demeure dans le plan vertical Oxy.

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28 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton

y

O

x

f

N

θw = mg

Figure 1.9 Un bloc glisse sur un plan incline d’un angle θ

par rapport a l’horizontal. Les trois forces qui agissent sur

le bloc sont son poids w = mg, la reaction normale N du

plan et la force de frottement f dont le module est f = µN .

L’axe des z n’est pas represente ; il est horizontal et situe

dans le plan incline (oriente vers l’avant).

Puisque le bloc ne quitte pas le plan incline, nous savons qu’il n’y a

aucun mouvement dans la direction de Oy et que, en particulier, y = 0.

Par consequent, la deuxieme loi de Newton implique que la composante

Fy de la resultante des forces est nulle. De la figure 1.9, nous voyons que

cela implique que

Fy = N − mg cos θ = 0.

Ainsi, en projetant la deuxieme loi de Newton sur Oy, on determine

la reaction normale du plan incline N = mg cos θ tandis que la relation

f = µN determine la force de frottement f = µmg cos θ. Toutes les forces

sont maintenant determinees. Tout ce qui nous reste a faire est d’ecrire

la derniere composante (selon Ox) de la deuxieme loi pour determiner le

mouvement.

La composante de la deuxieme loi selon Ox, Fx = mx (voir la fi-

gure 1.9), implique que

wx − f = mx

ou

mg sin θ − µmg cos θ = mx.

La masse m se simplifie de cette equation et nous trouvons l’acceleration

le long de Ox :

x = g(sin θ − µ cos θ). (1.36)

Ayant determine x et montre que c’est une constante, il suffit de l’integrer

deux fois pour determiner x en fonction de t. La premiere integration

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Section 1.7 Coordonnees polaires a deux dimensions 29

donne la vitesse

x = g(sin θ − µ cos θ)t.

ou nous avons utilise le fait que x = 0 pour t = 0, ce qui impose que

la constante d’integration soit nulle. La seconde integration donne la

position :

x(t) = 12g(sin θ − µ cos θ)t2

(de nouveau la constante d’integration est nulle) et nous avons entiere-

ment resolu le probleme.

1.7 Coordonnees polaires a deux dimensions

r = r

O φ

x

y

Figure 1.10 Definition des coordonnees polaires r et φ.

Bien que les coordonnees cartesiennes aient le merite d’etre simples, nous

allons voir que certains problemes sont presque impossibles a resoudre sans

utiliser des systemes de coordonnees non-cartesiennes. Pour illustrer la com-

plexite des coordonnees non-cartesiennes, considerons la forme de la deuxieme

loi de Newton dans le cas d’un mouvement a deux dimensions, en utilisant les

coordonnees polaires. Ces coordonnees sont definies sur la figure 1.10. Au lieu

d’utiliser les deux coordonnees rectangulaires x et y, nous reperons la position

d’une particule par sa distance r a l’origine O et par l’angle φ mesure a partir

de l’axe des x. Connaissant les coordonnees rectangulaires x et y, il est facile

de calculer les coordonnees polaires r et φ et reciproquement, en utilisant les

relations suivantes (assurez-vous de comprendre ces quatre equations12) :

x = r cos φ

y = r sin φ

}

←→{

r =√

x2 + y2

φ = arctan(y/x)(1.37)

Comme dans le cas des coordonnees cartesiennes, il convient d’introduire

deux vecteurs unitaires, que je noterai ici r et φ. Pour comprendre leurs

definitions, notons que nous pouvons definir le vecteur unitaire x comme le

12 Il y a une petite subtilite dans l’equation donnant φ. On doit s’assurer que φ tombe

dans le bon quadrant car le premier et le troisieme quadrants donnent les memes valeurs

pour y/x (de meme pour le deuxieme et le quatrieme quadrants). Voir le probleme 1.42.

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30 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton

y

x

(a)

r

x

y

x

(b)

r

r

φ

φ

ˆ

ˆ ˆ

Figure 1.11 (a) Le vecteur unitaire x est dirige dans la direc-

tion des x croissants a y constante. (b) Le vecteur unitaire

r est dirige dans la direction des r croissants a φ constant ;

φ est dirige dans la direction des φ croissants a r constante.

Contrairement a x et y, les directions des vecteurs r et φ

changent si le vecteur position r change.

vecteur de module 1 oriente dans la direction des x croissants lorsque y est

maintenue fixe [voir la figure 1.11(a)]. D’une facon analogue, nous definirons

r comme le vecteur unitaire dirige dans la direction du deplacement lorsque r

augmente et que l’angle φ est maintenu fixe (c’est-a-dire un deplacement dans

la direction radiale). De meme, φ est le vecteur unitaire dirige dans la direction

du deplacement lorsque φ augmente et que r est maintenue fixe (c’est-a-dire

un deplacement sur le cercle de rayon r). La figure 1.11 illustre une difference

importante entre les vecteurs unitaires x et y des coordonnees cartesiennes et

les nouveaux vecteurs unitaires r et φ. Les vecteurs x et y sont les memes

en tout point du plan tandis que les directions des vecteurs r et φ changent

avec le vecteur position r. Nous verrons que cela complique l’utilisation de la

deuxieme loi de Newton en coordonnees polaires.

La figure 1.11 suggere une autre facon d’ecrire le vecteur unitaire r. Etant

dirige dans la meme direction que r et de module egal a l’unite, il peut s’ecrire :

r =r

|r| . (1.38)

Ce resultat suggere un deuxieme role pour la notation « chapeau ». Pour tout

vecteur a, nous pouvons definir a comme le vecteur unitaire dirige dans la

direction de a, c’est-a-dire a = a/|a|.Les deux vecteurs unitaires r et φ etant perpendiculaires dans notre espace

bidimensionnel, tout vecteur du plan peut etre ecrit comme une combinaison

lineaire de ces vecteurs. Ainsi, la resultante des forces F exercee sur un corps

peut etre ecrite sous la forme

F = Frr + Fφφ (1.39)

ou Fr et Fφ sont les composantes de F en coordonnees polaires. Si par exemple

le corps en question est une pierre que je fais tournoyer en cercle au bout

d’une corde (ma main etant a l’origine) alors Fr est la tension de la corde

et Fφ est la force de resistance de l’air, tangente au cercle et dirigee dans la

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Section 1.7 Coordonnees polaires a deux dimensions 31

y

x

(a)

t2

1φ1φt1

r(t2)

(b)

r(t1)

r(t2)

r(t1)

1rˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

Figure 1.12 (a) Positions d’une particule a deux instants

consecutifs t1 et t2. A moins que la particule ne se deplace

exactement dans la direction radiale, les vecteurs unitaires

correspondants r(t1) et r(t2) pointent dans des directions

differentes. (b) La variation ∆r de r est la base du triangle

isocele illustre.

direction opposee au mouvement. L’expression du vecteur position r lui-meme

est particulierement simple en coordonnees polaires. D’apres la figure 1.11(b),

il est clair que

r = rr . (1.40)

Nous sommes a present prets a discuter la forme de la deuxieme loi de

Newton, F = mr, en coordonnees polaires. En coordonnees rectangulaires,

nous avons vu que la composante de r selon l’axe des x etait simplement

x, ce qui nous a conduit au resultat tres simple donne en (1.35). Nous devons

maintenant trouver les composantes de r en coordonnees polaires, c’est-a-dire

deriver la relation (1.40) deux fois par rapport a t. Bien que (1.40) soit tres

simple, le vecteur r change lorsque r varie. Aussi, quand nous derivons (1.40),

nous trouvons un terme qui fait intervenir la derivee de r. Notre premiere

tache consiste donc a trouver cette derivee.

La figure 1.12(a) illustre la position d’une particule a deux instants

consecutifs t1 et t2 = t1 + ∆t. Si les angles correspondants φ(t1) et φ(t2)

sont differents, les deux vecteurs unitaires r(t1) et r(t2) ont des directions

differentes. La variation de r est illustree sur la figure 1.12(b). Si ∆t est faible,

elle est approximativement donnee par

∆r ≈ ∆φ φ

≈ ∆φ

∆t∆t φ. (1.41)

(Notez que ∆r est perpendiculaire a r, c’est-a-dire dirige dans la direction

de φ.) En divisant les deux membres par ∆t et prenant la limite ∆t → 0 alors

∆r/∆t → dr/dt et ∆φ∆t → φ et nous trouvons :

dr

dt= φ φ. (1.42)

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32 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton

(Voir le probleme 1.43 pour une autre demonstration de ce resultat important.)

Notons que la derivee dr/dt est dirigee dans la direction de φ et qu’elle est

proportionnelle au taux de variation de l’angle φ dans le temps ; ces deux

proprietes sont bien celles auxquelles on s’attend d’apres la figure 1.12.

Maintenant que nous connaissons la derivee de r, nous sommes prets a

deriver l’equation (1.40). En utilisant la regle de la derivee d’un produit, nous

obtenons deux termes :

r = rr + rdr

dt,

puis, en utilisant le resultat (1.42), nous trouvons pour la vitesse

v ≡ r = rr + rφ φ. (1.43)

De cette relation, nous pouvons tirer les composantes polaires de la vitesse :

vr = r et vφ = rφ = rω (1.44)

ou, dans la deuxieme equation, j’ai utilise la notation habituelle ω pour

la vitesse angulaire φ. Bien que les resultats donnes en (1.44) vous soient

familiers apres vos cours d’introduction a la physique, ils sont clairement

plus compliques que les resultats correspondants en coordonnees cartesiennes

(vx = x et vy = y).

Avant de pouvoir ecrire la deuxieme loi de Newton, nous devons deriver la

relation une deuxieme fois pour obtenir l’acceleration :

a ≡ r =d

dtr =

d

dt(rr + rφ φ) (1.45)

ou l’expression finale est obtenue en remplacant r par l’expression (1.43). Pour

evaluer la derivee obtenue dans (1.45), nous devons calculer la derivee de φ.

Ce calcul est totalement analogue a celui qui mene a (1.42) et il est illustre

sur la figure 1.13. En inspectant cette figure, vous devriez facilement vous

convaincre du fait que

dt= −φr. (1.46)

En retournant a l’equation (1.45), nous pouvons maintenant effectuer la

derivation pour obtenir les cinq termes suivants :

a =

(

rr + rdr

dt

)

+

(

(rφ + rφ)φ + rφdφ

dt

)

ou, si nous remplacons les derivees des deux vecteurs unitaires par les expres-

sions (1.42) et (1.46),

a =(

r − rφ2)

r +(

rφ + 2rφ)

φ. (1.47)

Cet horrible resultat est un peu plus facile a comprendre si nous considerons

le cas particulier ou la distance r est constante, comme dans le cas d’une

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Section 1.7 Coordonnees polaires a deux dimensions 33

y

x

(a) (b)

1

(t2)

(t1)

φ

φ(t1)

φ ‹

φ

(t2)

φ

Figure 1.13 (a) Le vecteur unitaire φ a deux instants

consecutifs t1 et t2. (b) La variation ∆φ.

pierre que je fais tournoyer a l’extremite d’une corde de longueur fixe. Avec

r constante, les deux derivees r et r sont nulles et (1.47) se reduit a deux

termes :

a = −rφ2r + rφφ

ou

a = −rω2r + rαφ,

ou ω = φ designe la vitesse angulaire et α = φ l’acceleration angulaire. Ce

resultat familier de la physique elementaire exprime que, si une particule

decrit un cercle fixe, elle subit une acceleration « centripete » (dirigee vers

le centre) rω2 (ou v2/r) et une acceleration tangentielle rα. Dans le cas

general neanmoins, si la distance r au centre n’est pas constante, l’acceleration

comprend les quatre termes de (1.47). Le premier terme r dans la direction

radiale est bien celui auquel on s’attend si seule r change, mais le dernier

terme 2rφ dans la direction tangentielle φ est plus difficile a interpreter. Il est

appele acceleration de Coriolis et je l’aborderai en detail au chapitre 9.

Apres avoir etabli l’expression de l’acceleration (1.47), nous pouvons finale-

ment ecrire la deuxieme loi de Newton en coordonnees polaires :

F = ma ⇐⇒{

Fr = m(r − rφ2)

Fφ = m(rφ + 2rφ).(1.48)

Ces equations en coordonnees polaires n’ont pas l’admirable simplicite des

equations (1.35) en coordonnees cartesiennes. En definitive, l’une des motiva-

tions principales a prendre la peine de reformuler la mecanique newtonienne

sous forme lagrangienne (chapitre 7) est que cette derniere permet de manip-

uler des coordonnees non-cartesiennes aussi facilement que les coordonnees

cartesiennes.

On pourrait penser que la deuxieme loi de Newton en coordonnees polaires

est si compliquee que l’occasion de l’utiliser ne se presente jamais. Cependant,

il existe en fait de nombreux problemes qui sont plus faciles a resoudre en

utilisant les coordonnees polaires et je conclurai cette section en en donnant

un exemple elementaire.

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34 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton

EXEMPLE 1.2 Skateboard dans un half-pipe

Le « half-pipe » des parcs de skateboards est un demi-cylindre d’axe

horizontal et de rayon R = 5 m (voir la figure 1.14). Un skateboard qui

roule sans frottement est lache sur cette piste. Discutez son mouvement

en utilisant la deuxieme loi de Newton. En particulier, si le skateboard

est lache en un point qui n’est pas tres eloigne du fond, combien de temps

faut-il pour qu’il revienne a son point de depart ?

Le skateboard etant contraint a se deplacer sur une trajectoire circu-

laire, ce probleme peut etre resolu plus facilement en coordonnees polaires

avec l’origine O au centre, comme indique sur la figure. (A un certain

point de l’analyse suivante, essayez d’utiliser les coordonnees cartesiennes

et decouvrez la difficulte que vous aurez a resoudre les equations du

mouvement.) Avec ce choix des coordonnees polaires, la coordonnee

r est constante (r = R) et la position du skateboard est entierement

determinee par l’angle φ. Comme r est constante, la deuxieme loi (1.48)

prend la forme relativement simple

Fr = −mRφ2 (1.49)

et

Fφ = mRφ. (1.50)

Les deux forces qui agissent sur le skateboard sont le poids w = mg et

la force normale a la piste N, comme illustre sur la figure 1.14. On voit

facilement que les composantes de la resultante des forces F = w + N

sont

Fr = mg cos φ − N et Fφ = −mg sin φ.

O

N

w = mg

φ

Figure 1.14 Skateboard dans un « half-pipe »de rayon R. La position du skateboard est

determinee par l’angle φ mesure a partir de

la verticale dans le sens inverse des aiguilles

d’une montre. Les deux forces qui agissent sur

le skateboard sont le poids w = mg et la force

normale N.

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Section 1.7 Coordonnees polaires a deux dimensions 35

En substituant l’expression de Fr dans (1.49), nous obtenons une

equation reliant N , φ et φ. Par chance le terme N ne nous interesse

pas et par chance aussi, si nous substituons l’expression de Fφ dans

(1.50), nous obtenons une equation qui ne depend pas du tout de N :

−mg sinφ = mRφ

ou, en simplifiant par m et en rearrangeant l’equation,

φ = − g

Rsin φ. (1.51)

L’equation (1.51) est l’equation differentielle pour φ(t) qui determine

le mouvement du skateboard. Qualitativement, nous pouvons facilement

voir le type de mouvement auquel elle conduit. D’abord, si φ = 0,

cette equation implique que φ = 0. Par consequent, si nous placons le

skateboard au repos (φ = 0) au point φ = 0, il ne se deplacera jamais

(a moins que quelqu’un ne le pousse). Cela veut dire que φ = 0 est

une position d’equilibre, comme on l’aurait facilement devine. Supposons

ensuite qu’a un instant donne φ ne soit pas nul et pour nous fixer les idees,

supposons que φ > 0, c’est-a-dire que le skateboard soit situe a droite de

la verticale. L’equation (1.51) implique alors que φ < 0 : l’acceleration

est dirigee vers la gauche. Si le skateboard se deplace vers la droite, il

doit donc ralentir et, a un certain moment, s’arreter, puis commencer a

se deplacer vers la gauche13. En se deplacant vers la gauche, il s’accelere,

revient au fond et continue son mouvement vers la gauche. Une fois du

cote gauche (φ < 0), φ devient positive et le skateboard doit, a un certain

moment, retourner vers le fond puis continuer son deplacement vers la

droite. En d’autres termes, l’equation differentielle (1.51) implique que

le skateboard oscille dans un sens puis dans l’autre.

L’equation du mouvement (1.51) ne peut pas etre resolue analytique-

ment en termes de fonctions elementaires telles que des polynomes, des

fonctions trigonometriques, logarithmiques ou exponentielles14. Ainsi, si

nous voulons des informations plus quantitatives sur le mouvement, nous

pouvons la resoudre numeriquement en utilisant un ordinateur (voir le

probleme 1.50). Cependant, si le skateboard est lache avec un angle ini-

tial φo faible, l’angle φ restera toujours faible et nous pouvons utiliser

l’approximation des petits angles :

sin φ ≈ φ. (1.52)

13 Je suppose que le skateboard n’atteint pas le sommet, car il risque alors de quitter

la piste. C’est bien le cas s’il a ete lache sans vitesse initiale a une certaine position φo de

la piste. La methode la plus directe de le montrer est de recourir a la loi de conservation

de l’energie que nous n’aborderons pas avant le chapitre 4. Pour le moment vous pouvez

accepter cette assertion comme une question de bon sens.14 En fait, la solution de l’equation (1.51) est une fonction elliptique de Jacobi . Je pense

cependant que, pour la plupart d’entre nous, la fonction de Jacobi n’est pas « elementaire ».

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36 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton

Dans cette approximation, l’equation (1.51) devient

φ = − g

Rφ. (1.53)

Elle peut alors etre resolue en utilisant des fonctions elementaires. [A

cette etape, vous aurez certainement remarque que notre discussion du

probleme du skateboard est tres similaire a l’analyse du pendule simple.

En particulier, c’est l’approximation des petits angles (1.52) qui permet

de resoudre le probleme du pendule simple dans vos cours d’introduction

a la physique. Cette analogie n’est pas accidentelle. Mathematiquement

les deux problemes sont exactement identiques.] Si nous definissons le

parametre

ω =

√g

R, (1.54)

l’equation (1.53) devient

φ = −ω2φ. (1.55)

C’est l’equation du mouvement de notre skateboard dans l’approximation

des petits angles. Je voudrais a present detailler sa solution pour intro-

duire des idees que nous utiliserons a plusieurs reprises par la suite. (Si

vous avez deja etudie les equations differentielles, vous pouvez considerer

les trois prochains paragraphes comme une revision rapide.)

Nous observons d’abord qu’il est facile de deviner deux solutions

de l’equation (1.55). La fonction φ(t) = A sin(ωt) est clairement une

solution pour toute valeur de la constante A. [Une premiere derivation de

sin(ωt) apporte un facteur ω et change le sinus en cosinus ; une seconde

derivation apporte un autre facteur ω et change le cosinus en −sinus.

Ainsi, la solution proposee satisfait l’equation φ = −ω2φ.] De meme, la

fonction φ(t) = B cos(ωt) est une autre solution pour toute valeur de la

constante B. En outre, comme on peut facilement le verifier, la somme

de ces solutions est elle-meme une solution. Ainsi, nous avons trouve une

famille de solutions :

φ(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt) (1.56)

quelle que soit la valeur des deux constantes A et B.

Je voudrais maintenant montrer que toute solution de l’equation du

mouvement (1.55) est de la forme (1.56), ou en d’autres termes que (1.56)

est la solution generale de (1.55), ou encore que nous avons trouve toutes

les solutions et que nous n’avons pas besoin d’en rechercher d’autres.

Pour nous faire une idee de la raison pour laquelle il en est ainsi, no-

tons que l’equation (1.55) est une expression de la derivee seconde φ

de l’inconnue φ. Si nous connaissions φ en fonction du temps, nous

pourrions trouver φ par deux integrations successives et le resultat con-

tiendrait deux constantes inconnues (les deux constantes d’integration)

qui pourraient etre determinees en considerant par exemple les valeurs

initiales de φ et de φ. En d’autres termes, la connaissance de φ nous

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Section 1.7 Coordonnees polaires a deux dimensions 37

indiquerait que φ appartient a une famille de fonctions qui dependent

precisement de deux constantes indeterminees. En fait, l’equation (1.55)

ne nous indique pas comment evolue φ en fonction de t ; elle relie

simplement φ a φ. Cependant, il est plausible qu’une telle equation

implique que φ appartienne a une famille de fonctions qui contient

precisement deux constantes indeterminees. Si vous connaissez la theorie

des equations differentielles, vous savez que c’est bien le cas, sinon je

dois vous demander de l’accepter comme un fait plausible : toutes les so-

lutions d’une equation differentielle du second ordre [parmi une grande

classe d’equations « raisonnables » incluant l’equation (1.55) et toutes

les equations que nous rencontrerons dans ce livre] appartiennent a une

famille de fonctions qui dependent de deux constantes independantes,

comme les constantes A et B de l’equation (1.56). (Plus generalement,

les solutions d’une equation differentielle d’ordre n contiennent exacte-

ment n constantes independantes.)

Ce theoreme nous eclaire sur la solution (1.56). Nous savions deja

que toute fonction de la forme (1.56) etait une solution de l’equation du

mouvement (1.55). Notre theoreme nous garantit a present que toute

solution de l’equation du mouvement est de cette forme. Ce meme

argument s’applique a toutes les equations differentielles du second ordre

que nous rencontrerons. Si par un moyen quelconque nous pouvons

trouver une solution de la forme de (1.56), qui depend de deux constantes

arbitraires, alors nous pouvons etre certains d’avoir trouve la solution

generale de l’equation.

Il nous reste a present simplement a determiner les deux constantes A

et B pour le skateboard. Pour cela, nous devons considerer les conditions

initiales. A l’instant t = 0, l’equation (1.56) implique que φ = B. Par

consequent B est justement la valeur initiale de φ que nous designons

par φo ; nous avons ainsi B = φo. A l’instant t = 0, l’equation (1.56)

implique que la vitesse angulaire est φ = ωA. Si le skateboard est lache

sans vitesse initiale, nous devons avoir A = 0 et la solution s’ecrit

φ(t) = φo cos(ωt). (1.57)

La premiere chose a noter a propos de cette solution est que,

comme nous l’avions prevu pour des raisons generales, φ(t) oscille

periodiquement et indefiniment des valeurs positives aux valeurs negati-

ves et inversement. En particulier, le skateboard revient pour la premiere

fois a sa position initiale φo lorsque ωt = 2π. Ce temps s’appelle periode

du mouvement, que nous designons par τ . La periode des oscillations du

skateboard est donc

τ =2π

ω= 2π

R

g. (1.58)

Pour R = 5 m et g = 9,8 m/s2, nous trouvons que le skateboard revient a

son point de depart apres τ = 4,5 secondes.

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38 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton

Principales definitions et equations du chapitre 1

Produit scalaire et produit vectoriel

r · s = rs cos θ = rxsx + rysy + rzsz [eqs. (1.6) & (1.7)]

r × s = (rysz − rzsy, rzsx − rxsz, rxsy − rysx) = det

x y z

rx ry rz

sx sy sz

[eq. (1.9)]

Referentiels inertiels

Un referentiel inertiel est un referentiel dans lequel la premiere loi de Newton

est valable, c’est-a-dire un referentiel non accelere et non tournant.

Vecteurs unitaires d’un systeme de coordonnees

Si (ξ, η, ζ) sont les coordonnees d’un systeme orthogonal, alors

ξ est le vecteur unitaire dirige dans la direction des ξ croissants

a η et ζ constantes,

de meme pour η et ζ. Tout vecteur s peut etre ecrit sous la forme

s = sξξ + sηη + sζζ.

La deuxieme loi de Newton dans divers systemes de coordonnees

Forme Cartesiennes Polaires 2D Cylindriques

Vectorielle (x, y, z) (r, φ) (ρ, φ, z)

F = mr

Fx = mx

Fy = my

Fz = mz

{

Fr = m(r − rφ2)

Fφ = m(rφ + 2rφ)

Fr = m(ρ − ρφ2)

Fφ = m(ρφ + 2ρφ)

Fz = mz

eq. (1.35) eq. (1.48) probs. 1.47 ou 1.48

Problemes du chapitre 1

Les problemes de chaque chapitre sont arranges dans l’ordre des sections. Un probleme pose

pour une section donnee exige une comprehension de cette section et des sections precedentes

uniquement. Dans chaque section, les problemes sont ordonnes par difficulte croissante. Un

seul asterisque (⋆) indique un probleme simple impliquant un seul concept important. Deux

asterisques (⋆⋆) indiquent un probleme legerement plus difficile et qui implique souvent plusieurs

concepts. Trois asterisques (⋆⋆⋆) indiquent un probleme qui pose un vrai defi, soit parce qu’il est

intrinsequement difficile soit parce qu’il necessite de longs calculs. Il est inutile de preciser que ces

distinctions sont approximatives.

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Problemes du chapitre 1 39

Les problemes qui necessitent l’utilisation d’un ordinateur sont precises par [Ordinateur]. Ils

sont pour la plupart consideres comme difficiles (⋆⋆⋆) car ils requierent souvent un certain temps

pour ecrire le programme necessaire, particulierement si vous etes debutant dans la programmation.

SECTION 1.2 L’espace et le temps

1.1 ⋆ Soient deux vecteurs b = x + y et c = x + z. Calculez b + c, 5b + 2c, b · c et b × c.

1.2 ⋆ Soient deux vecteurs b = (1, 2, 3) et c = (3, 2, 1). (Rappelez-vous que cette ecriture est

juste une maniere compacte de preciser les composantes des vecteurs.) Trouvez b + c, 5b − 2c,

b · c et b × c.

1.3 ⋆ En appliquant le theoreme de Pythagore deux fois (dans sa version bidimensionnelle

habituelle), montrez que la longueur r d’un vecteur tridimensionnel r = (x, y, z) verifie la

relation r2 = x2 + y2 + z2.

1.4 ⋆ L’une des nombreuses utilisations du produit scalaire est de determiner l’angle forme

entre deux vecteurs donnes. Trouvez l’angle forme entre les vecteurs b = (1, 2, 4) et c = (4, 2, 1)

en evaluant leur produit scalaire.

1.5 ⋆ Determinez l’angle que forme la diagonale volumique d’un cube avec la diagonale d’une

des faces. [Conseil : choisissez un cube de cote 1, ayant un sommet en O et le sommet oppose

au point (1, 1, 1). Determinez le vecteur qui represente la diagonale volumique, le vecteur qui

represente la diagonale d’une face et l’angle forme entre eux comme dans le probleme 1.4.]

1.6 ⋆ En evaluant le produit scalaire b · c, determinez les valeurs du scalaire s pour que les

deux vecteurs b = x + sy et c = x − sy soient orthogonaux. (Rappelez-vous que deux vecteurs

sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.) Expliquez vos reponses a

l’aide d’un croquis.

1.7 ⋆ Montrez que les deux definitions du produit scalaire r · s comme rs cos θ (1.6) et∑

risi (1.7) sont equivalentes. Une maniere de le montrer consiste a choisir l’axe des x

dirige dans la direction de r. [A proprement parler, vous devez d’abord vous assurer que la

definition (1.7) est independante du choix des axes. Si vous appreciez ces subtilites, reportez-

vous au probleme 1.16.]

1.8 ⋆ (a) Utilisez la definition (1.7) pour montrer que le produit scalaire est distributif, c’est-

a-dire que r · (u + v) = r · u + r · v. v. (b) Si r et s sont des vecteurs qui dependent du temps,

montrez que la regle de derivation d’un produit s’applique a r · s, c’est-a-dire que

d

dt(r · s) = r · ds

dt+

dr

dt· s .

1.9 ⋆ En trigonometrie elementaire, vous avez probablement appris la loi des cosinus pour

un triangle de cotes a, b et c, qui s’ecrit c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ, ou θ est l’angle forme entre

les cotes a et b. Montrez que la loi des cosinus est une consequence directe de l’identite

(a + b)2 = a2 + b2 + 2a · b.

1.10 ⋆ Une particule se deplace dans le sens des aiguilles d’une montre sur un cercle de centre O

et de rayon R avec la vitesse angulaire constante ω. Le cercle est dans le plan Oxy et la

particule est sur l’axe des x a l’instant t = 0. Montrez que la position de la particule est

donnee par

r(t) = xR cos(ωt) + yR sin(ωt).

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40 Chapitre 1 Lois du Mouvement de Newton

Determinez la vitesse et l’acceleration de la particule. Determinez le module et la direction de

l’acceleration. Comparez les resultats aux proprietes bien connues du mouvement circulaire

uniforme.

1.11 ⋆ La position d’une particule mobile en fonction du temps t est donnee par

r(t) = xb cos(ωt) + yc sin(ωt),

ou b, c et ω sont des constantes. Decrivez l’orbite de cette particule.

1.12 ⋆ La position d’une particule mobile en fonction du temps t est donnee par

r(t) = xb cos(ωt) + yc sin(ωt) + zvot

ou b, c, vo et ω sont des constantes. Decrivez l’orbite de cette particule

1.13 ⋆ Soit u un vecteur unitaire arbitraire. Montrez que tout vecteur b verifie la relation

b2 = (u · b)2 + (u × b)2.

Expliquez ce resultat par des mots et a l’aide d’un schema.

1.14 ⋆ Montrez que deux vecteurs quelconques a et b verifient l’inegalite

|a + b| ≤ (a + b).

[Conseil : evaluez |a + b|2 et comparez-le a (a + b)2.] Expliquez pourquoi cette relation

s’appelle l’inegalite triangulaire.

1.15 ⋆ Montrez que la definition (1.9) du produit vectoriel est equivalente a la definition

elementaire selon laquelle r × s est perpendiculaire a la fois a r et a s, avec une amplitude

rs sin θ et une direction donnee par la regle de la main droite. [Conseil : bien qu’il soit difficile

de le montrer, la definition (1.9) ne depend pas du choix des axes de reference. Par consequent,

il convient de choisir des axes de sorte que r soit dirige dans la direction de Ox et que s soit

situe dans le plan Oxy.]

1.16 ⋆⋆ (a) En definissant le produit scalaire r · s par l’equation (1.7), r · s =∑

risi , montrez

que le theoreme de Pythagore implique que le module de tout vecteur r est r =√

r · r. (b) Il

est clair que le module d’un vecteur ne depend pas du choix des axes de coordonnees. Le

resultat de la question (a) garantit donc que le produit scalaire r · r, defini par (1.7), est le

meme pour tout choix des axes orthogonaux. Utilisez cela pour montrer que r · s, defini par

(1.7), ne depend pas du choix des axes orthogonaux. [Conseil : rappelez-vous que la longueur

du vecteur est r + s.]

1.17 ⋆⋆ (a) Montrez que le produit vectoriel defini par (1.9) est distributif, c’est-a-dire que

r × (u + v) = (r × u) + (r × v). (b) Etablissez la regle de derivation du produit

d

dt(r × s) = r × ds

dt+

dr

dt× s .

Attention a l’ordre des facteurs.

1.18 ⋆⋆ Supposons que les trois vecteurs a, b et c soient les trois cotes d’un triangle ABC

d’angles aux sommets α, β et γ (figure 1.15). (a) Montrez que l’aire du triangle est donnee

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Index

Toutes les entrees sont identifiees par leur numero de page. De plus, lorsque l’entree fait reference a unesection ou a un chapitre entier, j’ai indique les sections ou les chapitres entre parentheses ; par exemple(sec.1.1) ou (ch.1). De meme, lorsque l’entree fait principalement reference a une figure, un exemple, unprobleme ou une note de bas de page, j’ai ajoute une parenthese comme (fig.1.2), (ex.1.3), (pb.1.4), oujuste (nbp.).

Acceleration,centripete, 33de chute libre, 383–386de Coriolis, 33de Coriolis, et force de

Coriolis, 397 (sec.9.10)en coordonnees cartesiennes,

26en coordonnees polaires 2D,

33Action,

Voir Integrale d’actionAddition,

des vecteurs, 6des vecteurs-rotation, 376

Amortissement,critique, 199–200, comme

limite de l’amortissementfaible, 235–236 (pbs.5.24& 5.32)

eleve, 198faible, 197

Angle solide, 637Angles d’Euler, 445 (sec.10.9)Aphelie, 345Apogee, 351Application logistique, 555

(sec.12.9)chaos, 569–579 (fig.12.43)

definition, 559diagramme de bifurcation,

567–571relation de Feingenbaum, 578

(pb.12.29)sensibilite aux conditions

initiales, 578 (pb.12.30)Application, 557

iteree, f(f(x)), 557, 564sinusoıdale, 577 (pbs.12.23–

12.25)Attracteur, 209

etrange, 552plus d’un attracteur pour un

PAF, 523pour une application

logistique, 560Autosimilarite, des fractales,

552Auto-similitude, du diagramme

logistique de bifurcation,570

Axes principaux de contrainte,826 (pb.16.21)

Axes principaux d’inertie, 428(sec.10.4)

determination, 431 (sec.10.5)d’une lame, 457 (pb.10.30)existence, 430

pour un cube tournant autourd’un sommet, 432 (ex.10.4)

B, Module de compression, 790en fonction de la constante α

de la loi de Hooke, 805pour l’air, 828

Balance d’inertie, 11Bande passante, Voir Largeur

de resonanceBarn, 630Bassin d’attraction, 577

(pb.12.22)β, coefficient d’amortissement,

195Bifurcation, 295

d’un PAF, 526Bloc,

glissant sur un plan incline,27 (ex.1.1), 128 (ex.4.3)

glissant sur une cale enmouvement, 289 (ex.7.5)

Bouteille dans un seau, 189(ex.5.2)

C = module de cisaillement,790

en fonction de la constante βde la loi de Hooke, 806

867

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868 Index

Calcul des variations, 241 (ch.6)definition, 244systeme a plusieurs fonctions,

253 (sec.6.4)Capacite, 558Cascade de doublement de

periode,de convection dans une

cellule a mercure, 525–526(fig.12.9)

pour un PAF, 523–528pour une application

logistique, 568Causalite, 703Centre de masse, Voir CMCerceau tournant avec perle,

291 (exs.7.6 & 7.7)Chambre a brouillard, 627Champ electrique, d’une charge

a vitesse constante, 764(pb.15.110)

Champ electromagnetique,d’une ligne chargee, 742

(ex.15.12)tenseur, 741transformation de Lorentz,

741Champ magnetique, et particule

chargee, 72 (secs.2.5–2.7)Chaos, 507 (ch.12)

critere, 511 (nbp.)pour un PAF, 538–540

(figs.12.17–12.18)pour une application

logistique, 568–569(fig.12.43)

sensibilite aux conditionsinitiales, pour un PAF,532–537

sensibilite aux conditionsinitiales, pour uneapplication logistique, 578(pb.12.19)

Chemin le plus court entre deuxpoints, 648 (ex.6.1), 255(ex.6.3)

a trois dimensions, 264(pb.6.27)

Chemin qui rend l’integralestationnaire, 244

Chute libre,a l’aide de l’energie, 143

(ex.4.6)acceleration, 383et force de Coriolis, 390

(sec.9.8)

Circuit RLC, 194force, 201

CM, centre de masse, 95, 329,407 (sec.10.1)

acceleration reliee aux forcesexternes, 97

definition en tant qu’integrale,97

du systeme Terre-Lune, 112(pb.3.17)

du systeme Terre-Soleil, 112,(pb.3.16)

d’un cone plein, 97, (ex.3.2)referentiel, Voir Referentiel du

CMvitesse reliee a la quantite de

mouvement totale, 97Coefficient d’amortissement β,

195d’un PAF, 514

Coefficients de Fourier,expression integrale,218–219

Colatitude, θ, 151Collision elastique, 110 (pb.3.5),

158de particules de masses

differentes, 177 (pb.4.46)energie perdue dans le

referentiel du laboratoire,663 (pb.14.29)

particules de masses egales,160 (ex.4.8)

relativiste, 724 (ex.15.10)Collision,

de morceaux de masticrelativistes, 722 (ex.15.9)

d’un morceau de mastic etd’une platine tournante,106 (ex.3.3)

parfaitement inelastique, 92(ex.3.1), 178 (pb.4.48)

Comete de Halley, 346Conditions aux limites, 774Cone de lumiere, 700 (sec.15.10)

futur, Voir Nappe du futurpasse, Voir Nappe du passe

Cone,de base, Voir Cone d’espaceCM, 97 (ex.3.2)d’espace, pour la precession

libre, 444du corps, pour la precession

libre, 443tenseur d’inertie, 426 (ex.10.3)

Configuration speciale, 668

Conservation,de la quantite de mouvement,

21, 23, 91de l’energie en mecanique

lagrangienne, 301–304de l’energie pour un systeme

a deux particules, 156–158de l’energie pour un systeme

a plusieurs particules, 163de l’energie, 127du moment cinetique, 99, 106,

332Constante,

d’attenuation, 198–200de force, pour le probleme de

Kepler, 343de Lame, 805 (nbp.)de Planck, 658 (pb.14.12), 733

Contraction de Lorentz-Fitzgerald, 683

Voir aussi Contraction deslongueurs

Contraction des longueurs, 681(sec.15.5)

formule, 683ne peut pas etre vue, 750

(pb.15.14)Contrainte = force/aire,

789–790Coordonnees generalisees, 268,

276–278forcees, 278 (nbp.)naturelles, 278

Coordonnees spheriques, 150gradient, 152–153

Coordonnees,cycliques, 298cylindriques, 45 (pb.1.47)forcees, 278 (nbp.)ignorables, Voir Coordonnees

cycliquesnaturelles, 278normales, 472, 493 (sec.11.7),

504 (pbs.11.33–11.35)polaires 2D, 29rheonomes, 278 (nbp.)scleronomes, 278 (nbp.)

Corbeaux dans un chene, 629(ex.14.1)

Corde,mouvement longitudinal, 825

(pb.16.17)mouvement transversal, 767

(sec.16.1)Corps rigide, 164

en rotation, 407 (ch.10)

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Index 869

Courbe brachistochrone, 249(ex.6.2), 262 (pb.6.21)

= cycloıde, 251, 261 (pb.6.14)proprietes isochrones, 263

(pb.6.25)Courbes de Lissajous, 193Covariance galileenne, des lois

de Newton, 669Cube, en equilibre sur un

cylindre, 145 (ex.4.7)Cycle deux, pour une

application logistique,564

Cycloıde, 251, 261 (pb.6.14)Voir aussi Courbe

brachistochroneCyclone, 388Cylindre sur une pente, 165

(ex.4.9)

Decomposition du tenseur dedeformation, 802

Decomposition en fractionssimples, 87 (pb.2.37)

Definition classique,de la force, 12de la masse, 11de la quantite de mouvement,

15Deformation = variation

relative, 789–791Degres de liberte, 278∇, del, 130

operateur differentiel, 131∇2 = Laplacien, 780Demi-largeur, 213Demi-vie, 680Densite de cibles, ncib, 628Dephasage,

pour la diffusion, 658(pb.14.12)

pres de la resonance, 215Derivation des vecteurs, 8Derivee,

materielle, 813par rapport au temps, dans

un referentiel tournant, 377(sec.9.4)

partielle, 130, 169 (pbs.4.10& 4.11)

totale, Voir Derivee materielleDescription,

de Lagrange d’un fluide, 812(nbp.)

d’Euler d’un fluide, 812 (nbp.)materielle d’un fluide, 812

spatiale d’un fluide, 812Deuxieme loi de Kepler,

100–104Deuxieme loi de Newton, 15

dans un referentiel tournant,379 (sec.9.5)

dans un referentiel tournant,a l’aide du formalismelagrangien, 401 (pb.9.11)

en coordonnees cartesiennes,26 (sec.1.6)

en coordonnees polaires 2D,33

forme rotationnelle, 100validite, 19

Diagonalisation des matrices,829 (annexe)

de deux matrices, 833(sec.A.2)

du tenseur d’inertie, 434d’une seule matrice, 829

(sec.A.1)Diagonalisation simultanee,

de deux matrices, 833(sec.A.2)

Diagramme de bifurcation,pour un PAF, 538–540

(figs.12.17–12.18)pour une application

logistique, 567–571Diffusion de Rutherford, 523,

643 (sec.14.6)dependance angulaire, 646

(ex.14.6)Diffusion par une sphere dure,

642 (ex.14.5)sections efficaces par rapport

au laboratoire et au CM,655 (ex.14.7)

Diffusion,amplitude (en theorie

quantique), 658 (pb.14.12)angle, dans le laboratoire en

fonction du CM, 654angle, θ, 624de deux spheres dures, 631de neutrons par une feuille

d’aluminium, 630 (ex.14.2)elastique & inelastique, 635

Dilatation des durees, 675(sec.15.4)

formule, 679mise en evidence, 680–681ne peut pas etre vue, 749

(pb.15.10)

pour un avion a reaction, 678(ex.15.1)

Dilatation, 800 (ex.16.5)Divergence, ∇ · v, 609

en tant qu’expansion relativepar unite de temps, 611

pour un espace a ndimensions, 612

e1, e2, e3, vecteurs unitaires, 6

Ecoulement,de cisaillement, 610 (ex.13.7)laminaire, 610

Effet Compton, 734–736Effet Doppler, 707–709

transversal, 754 (pb.15.48)

Electrodynamique, relativiste,739 (sec.15.18)

Electromagnetique,quadri-potentiel, 763

(pb.15.107)quadrivecteur de densite de

courant, 763 (pb.15.108)quantite de mouvement, 25

Elements de dilatation, ǫii, d’untenseur des deformations,802

Energie cinetique, 117de rotation autour d’un axe

fixe, 414–415de rotation autour d’un axe

quelconque, 430, 457–458(pb.10.33)

d’un corps en rotation, enfonction des angles d’Euler,448

relativiste, 720totale, comme somme du

terme orbital et du termepropre, 412

Energie potentielle,dans un champ de gravite

uniforme, 168–169 (pbs.4.5–4.6)

de deux particules chargees,134–135

de plusieurs particules,162–163

definition, 124des systemes unidimensionnels

lineaires, 138–142d’un pendule simple, 173

(pb.4.34)d’un ressort, 169 (pb.4.9)d’une molecule diatomique,

141

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870 Index

Energie potentielle, (suite)d’une particule chargee dans

un champ electrique, 125(ex.4.2)

effective, pour un probleme adeux corps, 335

interne, d’un corps rigide, 164kx4, 172 (pb.4.29)pres de la position l’equilibre,

183 (ex.5.1)variable dans le temps, 135,

172 (pb.4.27)

Energie, 117 (ch.4)au repos, 719conservation, Voir

Conservation de l’energiede masse, 719de seuil, 726des mouvements

unidimensionnelsrectilignes, 137 (sec.4.6)

d’interaction de deuxparticules, 154–158

d’un mouvement harmonique,190

d’un systeme de plusieursparticules, 161 (sec.4.10)

d’une comete, relation avecl’excentricite, 348

mecanique, 126relativiste, 716

Entraınement de l’ether, 671

Equation autonome, 511 (nbp.),599 (nbp.)

Equation aux valeurs propres,431

generalisee, pour desoscillateurs couples, 467

Equation des ondes,en fonction du Laplacien, 781pour une corde, 769solution par separation des

variables, 823 (pb.16.9)tridimensionnelles, 780

(sec.16.4)unidimensionnelles, 770

(sec.16.2)

Equation d’Euler-Lagrange, 257avec deux variables

dependantes, 255

Equation du mouvement, 26d’un fluide non visqueux, 814d’un solide elastique, 810Voir aussi Deuxieme loi de

Newton

Equation radiale,pour un probleme a deux

corps, 334transformee, 341

Equation,caracteristique, 196, 432constitutive, 803de Bernouilli, 814–815de continuite, 815de contrainte, 308de croissance, 556de Navier, 809homogene, 202non homogene, 202

seculaire, Voir Equationcaracteristique

Equations de Hamilton, 581(ch.13)

comparaison avec lesequations de Lagrange, 598(sec.13.5)

derivation, pour un systemeunidimensionnel, 586

pour les systemesmultidimensionnels,589 (sec.13.3)

pour les systemesunidimensionnels, 584(sec.13.2)

pour un champ de forcecentral, 592 (ex.13.3)

pour un corps en chute libre,604 (ex.13.6)

pour un oscillateurunidimensionnel, 602(ex.13.5)

pour une masse sur un cone,594 (ex.13.4)

Voir aussi Hamiltonien, H

Equations de Lagrange, 265(ch.7)

avec multiplicateurs deLagrange, 310

comparees aux equations deHamilton, 598 (sec.13.5)

et lois de conservation, 299(sec.7.8)

modifiees, 310pour des forces magnetiques,

304 (sec.7.9)pour des systemes contraints,

280 (sec.7.4)pour un mouvement sans

contraintes, 266 (sec.7.1)Voir aussi Lagrangien

Equations de Maxwell,

sous forme quadri-dimensionnelle, 764(pb.15.111)

Equations d’Euler, 438(secs.10.7–10.8)

avec un moment de force nul,440 (sec.10.8)

Equations differentielles, 16couplees, 52solution generale, 36

Equilibrage dynamique, desroues de voiture, 416

Equilibre,instable, lorsque d2U/dx2 < 0,

139stable, lorsque d2U/dx2 > 0,

139Espace,

de configuration, 582des phases, 584d’etat, 545, 582

Espace-temps, 692 (sec.15.8),695

Etat (ou Etat du mouvement),545

Excentricite, ǫ, des orbites deKepler, 347

relation avec l’energie, 348Exemple du chaos,

le PAF, 518 (sec.12.4)Experience de Michelson et

Morley, 671Exponentielles complexes, 75Exposant de Liapunov, 534

Facteur de poussee, λ, 352Facteur de qualite, Q, 213Fluides ideaux, 812 (secs.16.12–

16.13)Fluides non visqueux, Voir

Fluides ideauxFonction,

complementaire, 203 (nbp.)de Morse, energie potentielle

approchee, 232 (pb.5.2)paire, 222periodique, definition, 216

Fonctions hyperboliques, 67, 86(pbs.2.33–2.34)

Force a symetrie spherique, 149centrale implique

conservative, 176–177(pbs.4.43–4.44)

Voir aussi Invariance dans lesrotations

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Index 871

Force centrale, 20, 100, 149(sec.4.8)

a symetrie spherique impliqueconservative, 176–177(pbs.4.43 & 4.44)

conservative implique asymetrie spherique, 153,177 (pb.4.45)

probleme a deux corps, VoirProbleme a deux corps, eninteraction centrale

Force centrifuge, 293, 381, 382(sec.9.6)

contribution a g, 383–386Force conservative, 121–124

centrale implique a symetriespherique, 153, 177(pb.4.45)

conditions, 123deuxieme condition, 132exemple : force de Coulomb,

133 (ex.4.5)Force de contrainte, 281

eliminee dans l’approchelagrangienne, 265

reliee au multiplicateur deLagrange, 311

Force de Coriolis, 381, 386(sec.9.7)

comparee a la forcemagnetique, 386

effet sur la chute libre, 390(sec.9.8)

et acceleration de Coriolis,397 (sec.9.10)

Force generalisee, 270composante φ = moment, 272

Force magnetique,entre deux circuits, 43

(pb.1.33)et equations de Lagrange, 304

(sec.7.9)violation de la troisieme loi de

Newton, 25Force,

a symetrie spherique, VoirForce a symetrie spherique

agissant sur α, Fα = −∇α U ,163

comme gradient de l’energiepotentielle, 129–131

de contact (de surface),785–786

de Coulomb = conservative,133 (ex.4.5)

de Lorentz, 740

de maree, 369de surface, Voir Force de

contactde type chaleur, 728definition, 12derive d’une energie

potentielle, 131d’excitation, γ, d’un PAF, 514d’inertie, 365fictive, 365non conservative, 127ordinaire, 729relativiste, 728 (sec.15.15)volumique, 785

Forces electriques etmagnetiques, rapportentre les forces, 43 (pb.1.32)

Formule de composition desvitesses,

classique, 364, 669relativiste, 690

Formule de diffusionRutherford, 645

Formule d’Euler, 76Fractale, 551Frequence cyclotron, 73, 79Frisbee, precession, 459

(pb.10.43)Fusees, 93 (sec.3.2)

a plusieurs etages, 112(pb.3.12)

navette spatiale, 111 (pbs.3.7& 3.9)

poussee, 95Saturn V, 111 (pb.3.6)

Futur absolu, 702

g, contribution de la forcecentrifuge, 383–386

go = accelerationgravitationnelle, 384

γ = constante de force, pour leprobleme de Kepler, 343

γ = intensite d’excitation, pourun PAF, 514

γ =√

1 − β2, 679Γ = moment, 99Gedankenexperiment =

experience de pensee, 676Geiger & Marsden, 645

donnees, 660 (pbs.14.16–14.17)

Generateur de Compton, 405(pb.9.31)

Geodesique,sur un cone, 262 (pb.6.17)sur un cylindre, 260 (pb.6.7)sur une sphere, 252, 261

(pb.6.16)GPS, importance de la

dilatation des durees, 681Gradient, ∇, 130, 170

(pbs.4.12–4.15 & 4.18)en coordonnees spheriques,

152–153Grandeur scalaire de Lorentz,

698Voir aussi Quadri-scalaire

Graviton, 732 (nbp.)

Half-pipe et skateboard, 34Haltere, tournant et glissant,

108 (ex.3.4)Hamiltonien, H, 302, 581

(ch.13)definition, 583, 590differente de l’energie pour les

systemes non naturels, 616(pbs.13.11 & 13.12)

d’une particule chargee dansun champ magnetique, 617(pb.13.18)

en tant qu’energie d’unsysteme naturel, 302–304,585

Harmoniques, 517, 776d’une corde finie, 776

Hommes sur un wagon plat, 110(pb.3.4)

Horizon temporel, 575(pb.12.16)

Horizontale, definition, 386Hypothese du continu, 767

Impulsion,d’un photon, reliee au vecteur

d’onde, 733relativiste, 712relativiste, a trois dimensions,

714Voir aussi Quantite de

mouvementInegalite triangulaire, 40

(pb.1.14)Integrale,

curviligne, 119d’action, 268, Voir aussi

Actionelliptique, 176 (pb.4.38)premiere, de l’equation

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872 Index

Integrale, (suite)d’Euler-Lagrange, 261(pb.6.10 & 6.20)

Intervalle de temps propre, 679d’un corps, 711

Invariance,de la masse, Voir Masse

invariabledans les rotations, 149dans les translations, 155de la norme, x · x, 700du produit scalaire dans

l’espace-temps, 699du produit scalaire, 698

(sec.15.9)Isotropie de la pression en

l’absence de force decisaillement, 786

ℓ = moment cinetique, 98L = moment cinetique total,

103–105Lagrangien, L,

definition generale, 304d’une toupie, en fonction des

angles d’Euler, 448L = T − U , 266non-unicite, 304–305pour une particule chargee

dans un champ magnetique,306-307

Voir aussi Equations deLagrange

λ = facteur de poussee, 352λ = rapport de masse, 653Lame,

axes principaux, 457(pb.10.30)

tenseur d’inertie, 456(pb.10.23)

Lamina, 610 (nbp.)Laplacien, ∇2, 780-781Largeur a mi-hauteur, Voir

Largeur de resonanceLargeur de resonance, 213Latitude, 151Lemme de Schur, 804 (nbp.)Libre parcours moyen, d’une

molecule d’air, 632 (ex.14.3)Ligne d’univers, 711, 753

(pb.15.38)Linearite et non-linearite, 508

(sec.12.1)Loi de Hooke, 181 (sec.5.1)

generalisee, pour un solide,804–805

Loi de reflexion, pour ladiffusion par une spheredure, 659 (pb.14.13)

Loi de Snell-Descartes etprincipe de Fermat,259–260 (pb.6.4)

Loi de Stokes, 80 (pb.2.2)Loi de transformation relativiste

de la vitesse,Voir Formule de composition

des vitesses relativisteLoi d’inertie, 15

Voir aussi Premiere Loi deNewton

Lois de conservation,en mecanique lagrangienne,

299 (sec.7.8)Lois de Newton, 3 (ch.1)

deuxieme, Voir Deuxieme loide Newton

premiere, Voir Premiere loide Newton

troisieme, Voir Troisieme loide Newton

Longitude, φ, 151Longueur propre, 683

Machine d’Atwood, 147–149a l’aide du Hamiltonien, 588

(ex.13.2)a l’aide d’un multiplicateur de

Lagrange, 311 (ex.7.8)a partir des equations de

Lagrange, 285 (ex.7.3)avec prise en compte de la

poulie, 174 (pb.4.35)double, 323 (pb.7.27)energie, 173 (pb.4.31)

Marees, 367 (sec.9.2)grandes, 372petites, 372

Masse,changement, dans l’experience

de Franck-Hertz, 718(ex.15.7)

definition classique, 11definition relativiste, 710energie, 719invariable, 710matrice, 465, 488non-conservation, en

relativite, 717–718ponctuelle, 14proportionnelle au poids, 12rapport, 653reduite, µ, 330

variable, 710, 715Matrice,

de masse, Voir Matriced’inertie

de rappel, 465, 488de rotation (3D), 693de rotation (4D), 696definie positive, 834diagonale, 428d’inertie, 465, 488multiplication, 421orthogonale, 737pour une transformation

speciale, 696trace, 802transposee A, 423, 737unite, 1, 425

Mecanique,classique, 3des milieux continus, 765

(ch.16)hamiltonienne, Voir

Equations de Hamilton

lagrangienne, Voir Equationsde Lagrange

non-lineaire, 507 (ch.12)quantique, 4

Meson Pi, desintegration, 748(pb.15.8)

Methode des images, 824(pb.16.12)

MeV/c, 721MeV/c2, 721Minkowski, 692Mode fondamental, 776Modes propres, 463 (ch.11)

determination, 468d’une corde finie, 774–776

Module,de cisaillement, Voir Cde compression, Voir Bde Young, Voir Yd’elasticite = con-

trainte/deformation,791

Molecule diatomique, energiepotentielle, 141

Moment canonique, 583Moment cinetique, 98 (secs.3.4–

3.5)comme somme du terme

orbital et du terme propre,410

conservation, VoirConservation du momentcinetique

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Index 873

de deux corps dans lereferentiel du CM, 333

de plusieurs particules,103–105

d’une particule, ℓ, 98en fonction des angles d’Euler,

447en fonction des coordonnees

du CM et des coordonneesrelatives, 410

L = Iω, 422Lz = Izω, pour une une

rotation autour d’un axe z,414

non necessairement parallele aω, 415

par rapport au CM, 107total, L, 103–105

Moment conjugue,Voir Moment canonique

Moment d’inertie, 105Iz, 414

Moment, Γ, 99Moments d’inertie principaux,

429Mortes-eaux, Voir Marees,

petitesMouvement,

a phase verrouillee, 576(pb.12.17)

absolu, non existence, 674harmonique, Voir Oscillations

harmoniquesoscillatoire, d’un PAF,

535–536 (fig.12.15), 541(fig.12.19)

quasi-periodique, 193Moyenne quadratique, du

deplacement, 228d’un oscillateur force, 229

(ex.5.6)µ = masse reduite, 330Multiplicateur, d’un point fixe,

562Multiplicateurs de Lagrange,

307 (sec.7.10)relies aux forces de contrainte,

311Multiplication, des matrices,

421

n, vecteur unitaire normal a lasurface, 784

Nappe du futur, 700Nappe du passe, 700

Navette spatiale, 111 (pbs.3.7& 3.9)

Neutrino, 732 (nbp.)Nombre de Reynolds, 51, 80

(pb.2.3)Nombres complexes, 88–89

(pb.2.45–2.51)utilises pour une particule

chargee dans un champmagnetique, 74–78

Non-linearite, 508 (sec.12.1)Noyau de la Terre = liquide,

811Nutation, d’une toupie, 450

ωo = pulsation propre, 195, 514Onde longitudinale,

dans un solide, 811sur une corde, 825 (pb.16.17)

Onde transversale,dans un solide, 810sur une corde, 767 (secs.16.1–

16.3)Onde triangulaire,

sur une corde finie, 778(ex.16.2)

sur une corde infinie, 771(ex.16.1)

Onde,dans la roche, 811 (ex.16.8)dans un fluide = longitudinale,

818dans un fluide, 816 (sec.16.13)dans un solide, 810 (sec.16.11)de cisaillement, Voir Onde

transversale, dans un solideplane, 781spherique, 782–783stationnaire, 774sur une corde, 767 (secs.16.1–

16.3)Ondes,

primaires, P, 811secondaires, S, 811

Operateur,differentiel, 201lineaire, 201

Orbite dans l’espace des phases,600 (sec.13.6)

pour un corps en chute libre,604 (ex.13.6)

pour un oscillateurunidimensionnel, 602(ex.13.5)

Orbite dans l’espace d’etat, 541(sec.12.7)

definition, 545Orbites de Kepler, 343

(secs.8.6–8.7)= ellipses, 345changement d’orbite, 351

(sec.8.8)excentricite, 348, 351hyperbole, 351parabole, 351Voir aussi Orbites de l’etat

lie, de l’etat non lieOrbites,

de l’etat lie (ou liees), 339,344–348

de l’etat non lie (ou libre),338, 349 (sec.8.7)

elliptique, de planetes, 345liees, Voir Orbite de l’etat lienon liees, Voir Orbite de

l’etat non lieparaboliques de Kepler, 351

Oscillateur,anisotrope, 192–193isotrope, 190–192

Oscillateurs couples, 463 (ch.11)a n degres de liberte, 484

(sec.11.5)amortis et excites (499

(pb.11.11)amortis, 499 (pb.11.10)equation matricielle du

mouvement, 465, 488faiblement couples, 473

(sec.11.3)Oscillation de Chandler, 444Oscillations forcees (lineaires),

200 (secs.5.5–5.6)solution complexe, 203solution en serie de Fourier,

221 (sec.5.8)Oscillations harmoniques, 184

(sec.5.2)comme partie reelle d’une

exponentielle complexe, 187definition, 186energie, 190

Oscillations, 181 (ch.5)a deux dimensions, 190

(sec.5.3)amorties, 194 (sec.5.4)couplees, Voir Oscillateurs

couplesd’une perle sur un cerceau

filiforme, 295 (ex.7.7)

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874 Index

Oscillations, 181 (ch.5) (suite)excitees par un train

d’impulsions rectangulaires,224 (ex.5.5)

forcees (lineaires), 200(secs.5.5–5.6)

forcees, solutions complexes,203

non amorties, 196sous-amorties, 197sur-amorties, 198

Ouragan, 388

PAF, 513 (sec.12.2)caracteristiques previsibles,

515 (sec.12.3)mouvement revolutif, 536–

537 (fig.12.15), 540–541(fig.12.19)

un exemple du chaos, 518(sec.12.4)

Paradoxe des jumeaux, 748(pb.15.5)

Parametre d’impact, b, 626–627Particule chargee dans un

champ magnetique, 72(sec.2.5–2.7)

Mouvement helicoıdal, 77–79Particule, 14Particules de masse nulle, 731

(sec.15.16)Partie deviatorique E′ du

tenseur des deformations,802

Partie spherique e1 du tenseurdes deformations, 802

Passe absolu, 702Pendule simple,

deuxieme approximation pourla periode, 176 (pb.4.39)

energie potentielle, 173–174(pb.4.34)

periode exacte, 175–176(pb.4.38)

Pendule,amorti et force, Voir PAFdans une voiture acceleree,

365 (ex.5.1)de Foucault, 393 (sec.9.9)double, 478 (sec.11.4)spherique, 322 (pb.7.40)

Pendules couples, 489 (sec.11.6)Perigee, 351Perihelie, 345Periode deux,

pour un PAF, 520

pour une applicationlogistique, 564

Periode trois, pour un PAF, 522Perle,

sur un cerceau en rotation,291 (exs.7.6 & 7.7)

sur un cerceau en rotation,oscillations, 295 (ex.7.7)

sur un fil rectiligne, a l’aide duHamiltonien, 587, (ex.13.1)

sur une tige en rotation, 317(pb.7.21)

Phenomene de Gibbs, 221(nbp.)

φ, vecteur unitaire,derivee, 32en coordonnees cylindriques,

45 (pbs.1.47 & 1.48)en coordonnees polaires 2D,

30en coordonnees spheriques,

151Photon, 731 (sec.15.16)

relation entre p & k, 733Pion, Voir Meson PiPlan incline,

bloc glissant, 27 (ex.1.1), 128(ex.4.3)

cylindre sur une pente, 165(ex.4.9)

Pluton, decouverte, 665 (nbp.)Poids, proportionnel a la masse,

12Poincare, 510

section, Voir Section dePoincare

Point fixe, 560multiplicateur, 562stable, 562valeur propre, 562

Point,de l’espace des phases, z, 599stationnaire, 244

Points limites, 140pour le mouvement radial

d’une comete, 338Portance, 48Portee,

d’un projectile avec resistancelineaire, 60

d’une balle de base-ball avecresistance quadratique, 70(ex.2.6)

Position relative, r, 328Positions d’equilibre d’un

systeme unidimensionnel,pour dU/dx = 0, 140

Poussee, 95Precession,

de Larmor, 403 (pb.9.22)des equinoxes, 437d’un frisbee, 459 (pb.10.43)d’une toupie soumise a un

moment de force faible, 435(sec.10.6)

d’une toupie, en fonction desangles d’Euler, 448

libre, d’un corps a symetriespherique, 442–445

libre, en fonction des anglesd’Euler, 461 (pb.10.55)

Premiere loi de Kepler, 346Premiere loi de Newton, 15

validite, 19Pression = isotrope en l’absence

de forces de cisaillement,786

Principe de Fermat, 243et loi de reflexion, 259 (pb.6.3)et loi de Snell-Descartes, 259

(pb.6.4)Principe de Hamilton, 268Principe de superposition, 185

ne s’applique pas auxequations non lineaires, 512

Principe variationnel, 241, 244Probleme a deux corps, en

interaction centrale, 327(ch.8)

energie potentielle effective,335

equation du mouvementrelatif, 331

equation radiale transformee,341

equation radiale, 334Lagrangien, 331mouvement relatif dans un

plan fixe, 333orbites fermees ou non, 740probleme unidimensionnel

equivalent, 334 (sec.8.4)Probleme de Kepler, 336

Voir aussi Probleme adeux corps, en interactioncentrale

Probleme de la bulle de savon,262 (pb.6.19)

Produit scalaire, 7equivalence des deux

definitions, 39 (pb.1.7)

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Index 875

Produit,d’inertie, 416–417d’un vecteur et d’un scalaire,

6vectoriel, 7

Pulsation d’excitation, ω,d’un PAF, 514vs. pulsation propre ωo, 203

Pulsation naturelle,Voir Pulsation propre

Pulsation propre, ωo, 195d’un PAF, 514vs. pulsation d’excitation, ω,

203Pulsations propres, 467

Quadri-espace, 695Quadri-force, 731Quadri-impulsion, 714Quadri-scalaire, 698Quadrivecteur, 695

definition, 697densite de courant quadri-

dimensionnelle, 763(pb.15.108)

impulsion-energie, 716, Voiraussi Quadri-impulsion

quadri-potentielelectromagnetique, 763(pb.15.107)

Quadri-vitesse, 712Quantite de mouvement

generalisee, 270, 297composante φ = moment

cinetique, 272Quantite de mouvement,

conservation, VoirConservation de laquantite de mouvement

definition classique, 15en electromagnetique, 25totale, reliee au mouvement

du CM, 97

r,derivee, 31vecteur unitaire des

coordonnees polaires2D, 29

vecteur unitaire descoordonnees spheriques,150–151

Rapidite, 752 (pbs.15.30–15.31)Referentiel du CM, 332

pour un probleme a deuxcorps, 331–332

relativiste, 723Referentiel, 9

accelere, 364 (sec.9.1)de l’espace, 438du corps, 438inertiel, 10, 17, 672non-inertiel, 17, 363 (ch.9)privilegie, non existence, 674propre, 683

Referentiels tournants, 377(secs.9.4–9.10)

derivees par rapport autemps, 377 (sec.9.4)

et deuxieme loi de Newton,379 (sec.9.5)

Regime,permanent, 206transitoire, 206

Region de l’eloignement absolu,704

Regle du quotient, 706Regle vdv/dx, 82 (pb.2.12)Relation de Feigenbaum,

pour un PAF, 527–528pour une application

logistique, 578 (pb.12.29)Relativite restreinte, 665 (ch.15)

postulats, 672Relativite, 666

de la simultaneite, 689,750–751 (pb.15.19)

du temps, Voir Dilatation desdurees

galileenne, 667 (sec.15.2)generale, 666

Resistance de l’air, 47–72comparaison des termes

lineaire et quadratique, 49lineaire, 48, 51 (secs.2.2–2.4)quadratique, 48, 63 (secs.2.4–

2.5), 80 (pb.2.4)Resistance lineaire, 48, 51

(secs.2.2–2.4)comparee a la resistance

quadratique, 49pour la trajectoire d’un

projectile, 59pour un mouvement

horizontal, 52pour un mouvement vertical,

54Resistance quadratique, 48, 63

(secs.2.4–2.5), 80 (pb.2.4)comparee a la resistance

lineaire, 49

pour la trajectoire d’une ballede base-ball, 69 (ex.2.6)

pour un mouvementbidimensionnel horizontalet vertical, 68

pour un mouvementhorizontal, 63

pour un mouvement vertical,66

Resonance, 209 (sec.5.6)dephasage a proximite,

214–215largeur, Voir Largeur de

resonancesur une route de type “planche

a laver”, 211, 238 (pb.5.43)Resultante, 6

Voir aussi Somme vectorielleρ = distance a l’axe z, 45

(pb.1.47)ρ, vecteur unitaire, 45–46

(pbs.1.47 & 1.48)RMS, Voir Moyenne

quadratiqueRotation, 407 (ch.10)

autour d’un axe fixe, 413(sec.10.2)

autour d’un axe quelconque,419 (sec.10.3)

Rotationnel d’un vecteur, 132,170–171 ( pbs.4.22 & 4.25)

Route de type “planche alaver”, 211, 238 (pb.5.43)

Rutherford, Voir Diffusion deRutherford

Scalaire a trois dimensions, VoirScalaire dans les rotations

Scalaire dans les rotations, 697Section de Poincare, 550

(sec.12.8)Section efficace differentielle,

636 (secs.14.4–14.5)calcul, 640 (sec.14.5)dans divers differentiels, 648dans le laboratoire, en

fonction du CM, 651, 654definition, 638–639pour la diffusion de

Rutherford, 645pour la diffusion par une

sphere dure, 642 (ex.14.5)Section efficace, 627 (secs.14.2–

14.3)dans divers differentiels, 648de capture, 634

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876 Index

Section efficace, 627 (secs.14.2–14.3) (suite)

de diffusion, 634de fission, 634definition, 629d’ionisation, 634d’ionisation, nulle si energie

< energie d’ionisation, 636elastique & inelastique, 635totale, 635

Sensibilite aux conditionsinitiales,

pour un PAF, 533 (fig.12.13)pour une application

logistique, 578 (pb.12.30)Separation des variables,

pour l’equation des ondes, 823(pb.16.9)

pour une equationdifferentielle du premierordre, 64, 67 (nbp.), 81(pb.2.7)

Serie de Fourier, 216 (sec.5.7–5.9)

definition, 218pour un oscillateur excite, 221

(sec.5.8)pour un train d’impulsions

rectangulaires, 219 (ex.5.4)Serie,

de Taylor, 83 (pb.2.18)des sinus de Fourier, 777, 824

(pb.16.13)d’ondes partielles, 659

(pb.14.12)Serpent relativiste, 687 (ex.15.3)Simultaneite, 689, 750–751

(pb.15.19)Skateboard dans un half-pipe,

34 (ex.1.2)Solution,

complete d’un mouvementunidimensionnel, 142

de l’equation homogene, 203generale, d’une equation

differentielle du secondordre, 37

numerique, pour la trajectoired’une balle de base–ball, 69(ex.2.6)

particuliere, 202Solutions independantes, 196

(nbp.)Somme vectorielle, 6Sous-espaces irreductibles, 804

(nbp.)

Sous-harmonique, 521sr, steradian, 637Stabilite,

des points fixes, 562d’un corps tournant librement,

442Steradian, sr, 637Symbole de Kronecker, δij, 456

(pb.10.21)Symetrie,

axiale, 419de reflexion, 418du tenseur des contraintes,

795du tenseur d’inertie, 422

Systemes unidimensionnels,curvilignes, 144 (sec.4.7)energie, 137 (secs.4.6–4.7)graphiques de l’energie

potentielle, 138–142Systemes,

contraints, 274, 279holonomes, 279non holonomes, 279–280

Temps caracteristique, τ ,pour une resistance lineaire,

53, 57pour une resistance

quadratique, 65Temps,

conception classique, 9discret, 555en relativite, 675 (sec.15.4)propre, d’un corps, 711propre, Voir Intervalle de

temps propreTenseur des contraintes, Σ, 791

(sec.16.7)= symetrique, 795dans un fluide statique, 795

(ex.16.3)definition, 793

Tenseur des deformations, E,decomposition, 802definition, 799d’un solide, 797 (sec.16.8)elements de dilatation, ǫii, 802pour la dilatation, 800

(ex.16.5)pour le glissement, 801

(ex.16.6)Tenseur des derivees, D,

797–798pour une petite rotation, 799

Tenseur d’inertie, 419 (sec.10.3)definition, 421diagonalisation, 434d’un cone plein, 426 (ex.10.3)d’un cube plein, 423 (ex.10.2)d’une lame plane, 456

(pb.10.23)symetrie, 423

Tenseur, 656 (sec.15.17)dans l’espace-temps quadri-

dimensionnel, 739de champ electromagnetique,

741de moment d’inertie, Voir

Tenseur d’inertiedes contraintes et des

deformations, relation, 803(sec.16.9)

metrique, G, 739tridimensionnel, 736–738

Theoreme de la divergence, 609demonstration, 621 (pb.13.37)

Theoreme de l’energie cinetique,sous forme infinitesimale, 118

Theoreme de Liouville, 606(sec.13.7)

demonstration, 612–613Theoreme de Noether, 298, 304

et moment cinetique, 324(pb.7.46)

Theoreme,de Fourier, 218de Gauss, Voir Theoreme de

la divergencede la composante nulle, 753

(pb.15.35)de Parseval, 229de reciprocite de Cauchy, 825

(pb.16.19)des axes paralleles, generalise,

456 (pb.10.24)du viriel, 176 (pb.4.41), 359

(pb.8.17)Theorie des collisions, 623

(ch.14)quantique, 623Voir aussi Diffusion, section

efficaceθ, vecteur unitaire, en

coordonnees spheriques,151

Toupie,mouvement, a l’aide des angles

d’Euler, 448 (sec.10.10)nutation, 450

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Index 877

precession, a l’aide des anglesd’Euler, 449

precession, due a un momentde force faible, 435(sec.10.6)

Trace d’une matrice, 802Train d’impulsions

rectangulaires,excitant un oscillateur, 224

(ex.5.5)serie de Fourier, 219 (ex.5.4)

Transformation canonique, 600exemples, 618–619 (pb.13.24–

13.25)Transformation de Lorentz, 684

(sec.15.6)du champ electromagnetique,

741equations, 685inverse, 686speciale, 696

Transformation,de Legendre, 585 (nbp.)galileenne, 667

Travail,comme variation de l’energie

potentielle, 126d’une force, 118–119pour les deplacements

infinitesimaux, 119Troisieme loi de Kepler, 346–347Troisieme loi de Newton, 19

(sec.1.5)et conservation de la quantite

de mouvement, 22non valide en relativite, 24validite, 24violation pour les forces

magnetiques, 25

Unites naturelles, 490Universalite, du doublement de

periode, 528

Valeur propre, 431d’un point fixe, 562

Vecteur de l’espace des phases,z, 599

Vecteur du genre espace, 704Vecteur du genre temps, 705Vecteur-rotation, 373 (sec.9.3)

addition, 376Vecteurs unitaires,

e1, e2, e3, 6i, j, k, 5

r et φ, 29

r et φ, derives, 31–32

r, θ, φ, 151

ρ, φ, z, 45–46 (pbs.1.47& 1.48)

x, y, z, 5Vecteurs, 4

covariants et contravariants,736

derivation, 8deux definitions du produit

scalaire, 39 (pb.1.7)produit scalaire, 7produit vectoriel, 7propres, 431rotationnel, 132somme vectorielle, 6

Verticale, definition, 386Viscosite, η, 80 (nbp.)Vitesse angulaire,

d’un referentiel lie a la Terre,377

Vitesse de la lumiere,comme limite de la vitesse des

influences causales, 704comme limite de la vitesse des

particules materielles, 705comme limite de la vitesse

entre deux referentielsinertiels, 679

et experience de Michelson etMorley, 671

invariance, 754 (pb.15.43)non-invariance dans la

transformation galileenne,669

Vitesse limite,d’une balle de base-ball,

67(ex.2.5)pour une resistance lineaire,

55pour une resistance

quadratique, 65Vitesse,

des ondes transversales surune corde, 769

du son dans l’air, 828(pb.16.36)

du son dans l’eau, 819(ex.16.9)

du son dans un fluide, 818d’une onde longitudinale dans

un solide, 810d’une onde longitudinale sur

une corde, 825 (pb.16.17)d’une onde transversale dans

un solide, 810

en coordonnees polaires 2D,32

quadrivecteur, 711–712, Voiraussi Quadri-vitesse

Vives-eaux, Voir Marees,grandes

vlim, vitesse limite, 55, 66

x, vecteur unitaire, 5

y, vecteur unitaire, 5Y = module de Young, 790

en fonction des constantes α& β de la loi de Hooke, 806

relie a B et C, 806Yoyo, 316 (pb.7.14)

z, vecteur unitaire, 5Zone de frappe ideale, 455

(pb.10.18)

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Identites trigonometriques

sin(θ ± φ) = sin θ cos φ ± cos θ sinφ cos(θ ± φ) = cos θ cos φ ∓ sin θ sin φ

cos θ cos φ = 12 [cos(θ + φ) + cos(θ − φ)] sin θ sin φ = 1

2 [cos(θ − φ) − cos(θ + φ)]

sin θ cos φ = 12 [sin(θ + φ) + sin(θ − φ)]

cos2 θ = 12 [1 + cos(2θ)] sin2 θ = 1

2 [1 − cos(2θ)]

cos θ + cos φ = 2 cos

(θ + φ

2

)

cos

(θ − φ

2

)

cos θ − cos φ = 2 sin

(θ + φ

2

)

sin

(φ − θ

2

)

sin θ ± sin φ = 2 sin

(θ ± φ

2

)

cos

(θ ∓ φ

2

)

cos2 θ + sin2 θ = 1 sec2 θ =1

cos2 θ= 1 + tan2 θ

eiθ = cos θ + i sin θ [formule d’Euler]

cos θ = 12(e

iθ + e−iθ) sin θ = 12i(e

iθ − e−iθ)

Fonctions hyperboliques

ch z = 12(e

z + e−z) = cos(iz) sh z = 12(e

z − e−z) = −i sin(iz)

th z =sh z

ch zsech z =

1

ch z

ch2z − sh2z = 1 sech2z + th2z = 1

Developpement en series

f(z) = f(a) + f ′(a)(z − a) + 12!f

′′(a)(z − a)2 + 13!f

′′′(a)(z − a)3 + . . . [serie de Taylor]

ez = 1 + z + 12!z

2 + 13!z

3 + . . . ln(1 + z) = z − 12z

2 + 13z

3 − . . . [ |z| < 1]

cos z = 1 − 12!z

2 + 14!z

4 − . . . sin z = z − 13!z

3 + 15!z

5 − . . .

ch z = 1 + 12!z

2 + 14!z

4 + . . . sh z = z + 13!z

3 + 15!z

5 + . . .

tan z = z + 13z

3 + 215z

5 + . . . [ |z| < π/2] th z = z − 13z

3 + 215z

5 − . . . [ |z| < π/2]

(1 + z)n = 1 + nz +n(n − 1)

2!z2 + . . . [ |z| < 1] [serie du binome]

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Quelques derivees

d

dztan z = sec2 z

d

dzth z = sech2 z

d

dzsh z = ch z

d

dzch z = sh z

Quelques integrales

∫dx

1 + x2= arctanx

∫dx

1 − x2= argthx

∫dx√

1 − x2= arcsinx

∫dx√

1 + x2= argshx

tanx dx = − ln(cos x)

th x dx = ln(ch x)

∫dx

x + x2= ln

(x

1 + x

) ∫x dx

1 + x2= ln(1 + x2)

∫dx√

x2 − 1= argchx

∫x dx√1 + x2

=√

1 + x2

∫dx

x√

x2 − 1= arccos

(1

x

) ∫ √x dx√1 − x

= arcsin(√

x) −√

x(1 − x)

∫dx

(1 + x2)3/2=

x

(1 + x2)1/2

ln(x) dx = x ln(x) − x

∫ 1

0

dx√1 − x2

√1 − mx2

= K(m) [integrale elliptique complete de premiere espece]

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Donnees numeriques (qui peuvent etre utilisees dans les problemes)

Systeme solaire

(masse de la Terre) = 5,97 × 1024 kg

(rayon de la Terre) = 6,38 × 106 m

(masse de la Lune) = 7,35 × 1022 kg

(rayon de la Lune) = 1,74 × 106 m

(masse du Soleil) = 1,99 × 1030 kg

(rayon du Soleil) = 6,96 × 108 m

(distance Terre–Lune) = 3,84 × 108 m

(distance Terre–Soleil) = 1,50 × 1011 m

Gaz parfaits

Nombre d’Avogadro, NA = 6,02 × 1023 particules/mole

Constante de Boltzmann, k = 1,38 × 10−23 J/K = 8,62 × 10−5eV/K

Constante des gaz parfaits, R = 8,31 J/(mole.K) = 0,0821 litre.atm/(mole.K)

CNTP = 0◦C et 1 atm

(Volume de 1 mole de gaz aux CNTP ) = 22,4 litres

Facteurs de conversion

Aire : 1 barn = 10−28 m2

Energie : 1 eV = 1,60 × 10−19 J

Quantite de chaleur : 1 cal = 4,184 J

Longueur : 1 inch (pouce) = 2,54 cm

1 mile = 1609 m

Masse : 1 u (unite de masse atomique)

= 1,66 × 10−27 kg = 931,5 MeV/c2

1 lb (livre) = 0,454 kg

1 MeV/c2 = 1,074 × 10−3 u = 1,783 × 10−30 kg

Quantite de mouvement : 1 MeV/c = 5,34 × 10−22 kg.m/s

Quelques constantes fondamentales

Vitesse de la lumiere, c = 3,00 × 108 m/s

Constantes de Planck, h = 6,63 × 10−34 J.s et ℏ = 1,05 × 10−34 J.s

Permeabilite du vide, µo = 4π × 10−7 N/A2

Permittivite du vide, ǫo = 8,85 × 10−12 C2/(N.m2)

Constante de Coulomb, k = 1/(4πǫo) = 8,99 × 109 N.m2/C2

Identites vectorielles

A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B)

A × (B × C) = B(A ·C) − C(A ·B) [regle BAC − CAB]

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Analyse vectorielle

∇f = x∂f

∂x+ y

∂f

∂y+ z

∂f

∂z[coordonnees cartesiennes]

= r∂f

∂r+ θ

1

r

∂f

∂θ+ φ

1

r sin θ

∂f

∂φ[coordonnees spheriques]

= ρ∂f

∂ρ+ φ

1

ρ

∂f

∂φ+ z

∂f

∂z[coordonnees cylindriques]

∇ × A = x

(∂

∂yAz −

∂zAy

)

+ y

(∂

∂zAx −

∂xAz

)

+ z

(∂

∂xAy −

∂yAx

)

[coordonnees cartesiennes]

= r1

r sin θ

[∂

∂θ(sin θAφ) −

∂φAθ

]

+ θ

[1

r sin θ

∂φAr −

1

r

∂r(rAφ)

]

+ φ1

r

[∂

∂r(rAθ) −

∂θAr

]

[coordonnees spheriques]

= ρ

[1

ρ

∂φAz −

∂zAφ

]

+ φ

[∂

∂zAρ −

∂ρAz

]

+ z1

ρ

[∂

∂ρ(ρAφ) −

∂φAρ

]

[coordonnees cylindriques]

∇ ·A =∂

∂xAx +

∂yAy +

∂zAz [coordonnees cartesiennes]

=1

r2

∂r(r2Ar) +

1

r sin θ

∂θ(sin θAθ) +

1

r sin θ

∂φAφ [coordonnees spheriques]

=1

ρ

∂ρ(ρAρ) +

1

ρ

∂φAφ +

∂zAz [coordonnees cylindriques]

∇2f =∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂2f

∂z2[coordonnees cartesiennes]

=1

r

∂2

∂r2(rf) +

1

r2 sin θ

∂θ

(

sin θ∂f

∂θ

)

+1

r2 sin2 θ

∂2f

∂φ2[coordonnees spheriques]

=1

ρ

∂ρ

(

ρ∂f

∂ρ

)

+1

ρ2

∂2f

∂φ2+

∂2f

∂z2[coordonnees cylindriques]

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Une approche complète

La Mécanique classique de John Taylor s’adresse aux étudiants de licence déjà familiarisés avec les bases de lamécanique.

L’auteur y approfondit les notions fondamentales, puisdéveloppe des thèmes plus avancés tels que la formula-tion lagrangienne, la formulation hamiltonienne, la mécanique dans les référentiels non-inertiels, le mou-vement des corps rigides, les oscillateurs couplés, la théorie du chaos, la relativité restreinte et plusieursautres notions complexes. Certains physiciens incluant larelativité dans le corpus de la mécanique classique, cettebranche de la mécanique est également abordée danscet ouvrage.

Une approche progressive

Le livre est divisé en deux parties : la première partiecontient onze chapitres « essentiels » qui devraient êtrelus intégralement et dans l’ordre, alors que la secondecontient cinq chapitres « optionnels » indépendants lesuns des autres.

Chaque chapitre se termine par un grand nombre d’exer-cices corrigés, permettant notamment à l'étudiant de s'entraîner au traitement numérique par ordinateur.Les formules indispensables sont rappelées au début de chaque section d’entraînement, et une signalétiquesimple évalue la difficulté de chacun des exercices.

Traduit de l’américainT. Becherrawy est titulaire d’un doctorat de troisièmecycle de l’université de Paris et PH.D. de l’université de Rochester. Il enseigne à l’IUFM de Lorraine et à l’université de Nancy 1, et a enseigné à l’universitélibanaise de Beyrouth et à l’université de Savoie àChambéry. Il est par ailleurs l’auteur d’une vingtained’articles spécialisés ayant trait à la physique deshautes énergies.

Aurélie Cusset-Boudier est traductrice, rédactrice et réviseur scientifique.

a Une référence en mécanique classiquea Les notions les plus complexes expliquées de façon simplea De nombreux exercices corrigésa Des exercices à réaliser sur ordinateur

(sans logiciel payant)

9 782804 156893

ISBN : 978-2-8041-5689-3

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Mécanique classique

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Mécanique classique

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