GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 1
Introduction à la géostatistique et variogrammes
Automne 2006
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 2
Plan
Rappels statistiques1 v.a.2 v.a.
Point de vue géostatGisement vs modèle stat
HistoriqueEffet supportEffet informationGéostatistique linéaire
Hypothèse de stationnaritéVariogramme expérimentalModèles Problèmes et stratégie de modélisation
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 3
Une v.a. (continue) est entièrement caractérisée par sa fonction de densité
-10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
Loi normale, m=5, σ=3
-10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
Loi lognormale, m=5, σ=3
Intégrale: probabilité
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 4
Résumer une distribution par certaines statistiques
Tendance centrale (moyenne)
-10 -5 0 5 10 15 20 25 300
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2Loi normale, σ=3
m=5m=10m=15
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 5
Dispersion autour de la moyenne (écart-type)
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 300
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4Loi normale, m=5
s=1s=3s=6
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 6
Asymétrie
-10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
Loi normale, m=5, σ=3
-10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
Loi lognormale, m=5, σ=3
-10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3Loi lognormale, m=5, σ=9
= 3.84
= 0
= 0.44
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Le type de loi peut avoir une grande influence sur les ressources et la valeur d’un gisement.
Exemple : gisement m=2, σ=2, t.coupure = 1
1.131.40Profit conv
2.703.02Teneur
0.660.69Tonnage/T0
LognormaleNormale
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Deux v.a.
Loi binormale, σ1=2 σ2=5 ρ=0.8 Loi binormale, σ1=2 σ2=5 ρ=0.2
Un couple de v.a. X et Y (continues) est entièrement caractérisé par la loi de densité conjointe f(x,y)
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 9
On peut résumer une distribution bivariable par différentes statistiques dont :
- moyennes des 2 variables- écart-types (ou variances) des 2 variables- corrélation (ou covariance) entre les 2 variables
La covariance mesure le degré d’association entre 2 v.a.
La corrélation est la covariance entre 2 v.a. normalisées pour présenter un écart-type de 1
YXXY
)Y,X(Covσσ
=ρ
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 10
-4 -2 0 2 4-4
-2
0
2
4
r=0.3
-4 -2 0 2 4-4
-2
0
2
4
r=0.7
-4 -2 0 2 4-4
-2
0
2
4
r=0.96
-4 -2 0 2 40
2
4
6
8
r=0
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 11
0 5 10 15 200
5
10
15
20
r=0.4
0 5 10 15 200
10
20
30
40
r=0.68
0 5 10 15 200
10
20
30
r=0.92
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 12
Espérance mathématique
Notion fondamentale
Si g(X)=(X-m)2 => E[g(X)] = Var(X)
Si g(X,Y)= (X-mx) (Y-my) => E[g(X,Y)]= Cov(X,Y)
∫ ∫∫
∫
=
=
=
dxdy)y,x(f)y,x(g)]Y,X(g[E
dx)x(f)x(g)]X(g[E
dx)x(xf]X[E
Y,X
X
X
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Propriétés de l’espérance mathématique
E est un opérateur linéaire =>E[c g(X)]= c E[g(X)]E[g(X) + h(X)] = E[g(X)] + E[h(X)]E[g(X,Y) + h(X,Y)] = E[g(X,Y)] + E[h(X,Y)]
En particulier
)X,X(Cov*2)X(Var)X(Var)XX(Var 212121 ++=+
)X,X(Cov*ab2)X(Varb)X(Vara)bXaX(Var 2122
12
21 ++=+
∑∑∑= ==
=n
1i
n
1jjiji
n
1iii )X,X(Covaa)Xa(Var
Une des expressions qui revient le plus souvent en géostat
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 14
( ) ∫ ∫∫ = Z(y))dxdyCov(Z(x),cZ(x)dxcVar 2 Une autre expression qui revient souvent en géostat
( ) ∫ ∫∫∫ = dxdy))y(Z),x(Z(Covabdy)y(Zb ,dx)x(ZaCov
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 15
Point de vue de la géostat
Z(x2)
Z(x3)
Z(x1)
Gisement
Gisement => infinité de points ou très grand nombre de « quasi-points » x : emplacement géographiquechaque point -> teneur -> Z(x)chaque teneur -> v. a. (ensemble forme une fonction aléatoire (de x))
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 16
Impossible d’estimer à partir des données la loi de densité conjointe
Impossible d’estimer à partir des données la loi de densité bivariable
Impossible d’estimer à partir des données la loi de densité d’une variable
Cul de sac ? Oui -> zut, cours terminé !
Non -> youppi cours pas terminé !
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sortie
-Hypothèses
-Questions auxquelles le modèle permet de répondre
Gamme de questions Hypothèse Généralité
-Simulations
-Méthodes non-linéaires
-Méthodes linéairesHypothèse
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Historique de la géostatistique
1930-1950 Théorie des fonctions aléatoires (Kolmogorov, Wiener)1955 Daniel Krige : approche empirique (régression) pour corriger pour corriger problèmes de biais conditionnel observé dans les mines
Pourquoi moins que prévu ?Comment prévoir et tenir compte de l’effet support ?
1960-1970 Matheron (mines), Matern (foresterie), Gandin (météorologie) développent ensemble d’outils => naissance de la géostat linéaire stationnaire. Réponse aux questions de Krige. Matheron donne le nom de « krigeage » à la méthode d’estimation qu’il développe.
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 19
Historique (suite)
1973 géostat linéaire non-stationnaire *1975 géostat non-linéaire1977 1er livre en anglais de géostat (M. David)1980 géostat linéaire multivariable *1985 simulations *
* Domaines encore actifs de recherche
Aujourd’hui, la géostat est appliquée dans une foule de domaines(mines, pétrole, foresterie, agriculture, environnement, hydrogéologie, géotechnique, pêches, biologie, biomédical,…)
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 20
Effet supportGisement A Gisement B
Comment prévoir ces comportements différents ?Quel est l’impact $$ ?
0 5 10
0 5 10
0 5 10
0 5 10
0 5 10
0 5 10
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 21
Effet information
VraiMinerai rejeté
Stérile traité
Estimé
Prévoir l’étendue des plages d’erreur et pertes en $ ?Évaluer $ en information pour réduire les pertes ?
On mine à partir d’estimés mais on récolte des valeurs vraies !
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 22
À tonnage extrait égal
⇒on récupère toujours moins de métal avec des gros blocs qu’avec des petits blocs (effet support)
=> on récupère toujours moins de métal avec des estimés qu’avec les vraies valeurs (effet information)
La géostatistique permet théoriquement
- Prévoir l’ampleur de ces effets- Minimiser ces effets- Prendre des décisions éclairées au vu de ces effets
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 23
Géostatistique linéaire
QuestionsEstimation de teneurs ponctuelles ou blocsPrécision associée à ces estimations
HypothèseStationnarité du second ordre
Les caractéristiques sont moyenne, variance et covariance
Deux paires de points espacés d’un même vecteur « h » ont des caractéristiques
semblables
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 24
Gisement
Z(x1)
Z(x2)
Z(x1)
Z(x2)
Diagramme binaire
Moyenne ? Variance ? Covariance?
+ hypothèse stationnarité« h scattergram »
Z(x)
Z(x+h)
Gisement
hhh
h h
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 25
« h1 scattergram »
Z(x)
Z(x+h)Faire varier « h »
Gisement
h1h1h1
h1 h1
« h2 scattergram »
Z(x)
Z(x+h)
Gisement
h2
h2
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 26
« h » peut varier en direction et en module.
|h| =1
Z(x)
Z(x+h)
|h| =2
Z(x)
Z(x+h)
|h| =3
Z(x)
Z(x+h)
|h| Cov
On cherche si possible avoir au moins 30 points sur chaque diagramme
-Tolérance sur la direction
-Tolérance sur le module
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 28
Avec tolérance de 0.5 sur |h| et 15o sur direction
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 29
En pratique, on ne s’intéresse qu’à la covariance (corrélation)
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1h=3 dir=0-180, Cov = 0.17
Z(x+
h)
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1h=8 dir=0-180, Cov = 0.085
Z(x+
h)
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1h=15 dir=0-180, Cov = -0.029
Z(x)
Z(x+
h)
2 4 6 8 10 12 14 16-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2Fonction de covariance
h ±0.5 θ=0 ou 180 ±15o
Cov
aria
nce
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 30
Le variogramme
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1h=3 dir=0-180, Cov = 0.16
Z(x+
h)
Mesure la dispersion sur cette droite
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 31
[ ] ( )[ ]2h)+Z(x-Z(x)E 21h)+Z(x-Z(x)Var
21 = (h) =γ
Si E[Z(x)]=m
Variogramme : définition
DécroîtCroîth
Doit exister = Cov(h=0)Si existe = palier Var
Constante connueConstantem
CovarianceVariogramme
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Lien entre variogramme et covariance
)h(Cov)h( 2 −σ=γ
Covariance
Variogramme
h
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 33
Variogramme expérimentalChoisir une direction + tolérance angulaireDiscrétiser |h| en classes distinctesRépartir les paires dans les classes
[ ]∑=
γ)h(N
iiie h)+x Z(- )xZ(
N(h) 21 = (h)
1
2
N(h) : nombre de paires dans la direction considérée et dans la classe de distance h
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 34
Exemple
1234321
h=1
4213231
1.3334
2.543
1.652
0.561
γ(h)N(h)h
0.8334
1.12543
1.252
1.2561
γ(h)N(h)h
0 1 2 3 4 50
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
3
0 1 2 3 4 50
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
3
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 35
Le variogramme décrit la continuité spatiale du phénomène
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
2
0o
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
2
45o
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
2
90o
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
2
135o
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 36
10 20 30 40 50
10
20
30
40
50
60
N
0 5 10 15 20 250
1000
2000
30000o
0 5 10 15 20 250
1000
2000
300045o
0 5 10 15 20 250
1000
2000
300090o
0 5 10 15 20 250
1000
2000
3000135o
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 37
0 5 10 15 20 250
1000
2000
3000
40000o
0 5 10 15 20 250
1000
2000
3000
400045o
0 5 10 15 20 250
1000
2000
3000
400090o
0 5 10 15 20 250
1000
2000
3000
4000135o
10 20 30 40 50
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50
10
20
30
40
50
60
+
10 20 30 40 50
10
20
30
40
50
60
=
Effet pépite causé par le bruit ajoutéNotez comme la structure sous-jacentedemeure très visible
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 38
50 100 150 200
-2
0
2
Z
donnees
0 50 1000
0.5
1
1.5
2
g(h)
Variogramme
50 100 150 200
-2
0
2
Z
donnees
0 50 1000
0.5
1
1.5
2
g(h)
Variogramme
50 100 150 200
-2
0
2
x
Z
donnees
0 50 1000
0.5
1
1.5
2
h
g(h)
Variogramme
3 exemples en 1D
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 39
Le variogramme est une statistique d’ordre 2
Ce n’est pas suffisant pour caractériser tous les aspects d’une image ou d’un processus
e.g. on peut créer plusieurs images ayant même « m », même variogramme et présentant pourtant des textures très différentes
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 40
Variogramme expérimental
γ(h)
|h|h moyen dans
la classe
?
?
?
Dans les calculs géostat, on doit connaître Cov ou γ pour tout « h »
Modèle
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 41
γ(h)
|h|
?Non, le modèle doit être admissible
Modèle admissible : modèle assurant que toute variance calculée à partir de celui-ci est positive
Modèles démontrés admissibles
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 42
Généralement,
γ(h)
+ +
+ + ++
+Palier : σ2 = C0 + C
Effet de pépite : C0
Portée : a|h|
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 43
0 50 100 150 2000
0.5
1
Gaussien
0 50 100 150 2000
1
2
Linéaire
0 50 100 150 2000
0.5
1
Linéaire avec palier
0 50 100 150 2000
1
2
3
Fractal avec b=1.5
0 50 100 150 2000
0.5
1
1.5
Fractal avec b=0.5
0 50 100 150 2000
2
4
6
DeWijsien
0 50 100 150 2000
1
2
Effet de trou cosinus
0 50 100 150 2000
0.5
1
1.5
Effet de trou sinus
0 50 100 150 2000
0.5
1
Pépite
0 50 100 150 2000
0.5
1
Exponentiel
0 50 100 150 2000
0.5
1
Sphérique
0 50 100 150 2000
0.5
1
Circulaire
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Gravimétrique
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Magnétique
0 50 100 150 2000
0.5
1
Cubique
0 50 100 150 2000
0.5
1
Penta-sphérique (Christakos, 1984 p.264)
Exemples de modèle
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 44
0 50 100 150 2000
0.5
1
Quadratique (Alfaro, 1984)
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Stable (Lantuéjoul,1994)
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Hyperbolique (Lantuéjoul, 1994)
0 500 1000 15000
0.5
1
BK Matern, p.30, 4e, s=2
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Christakos,1984, p.261
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Christakos, 1984, p.262
0 50 100 150 2000
0.5
1
Christakos, 1984, p.262 (74)
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Cosinus hyperbolique
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Stein
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Whittle
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Matern p.30, 2e, n=1
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Matern p.30, 2e, n=3
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
1.5
BJ Matern p.30, 3e, k=0
0 500 1000 15000
0.5
1
BJ Matern p.30, 3e, k=1
0 500 1000 15000
0.5
1
BJ Matern p.30, 3e, k=2
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Bessel 2: Mantoglou et Wilson
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 45
Toute somme (coefficients positifs) de modèles de variogramme est admissible
Toute somme (coefficients positifs) de modèles de covariance est admissible
Tout produit (coefficients positifs) de modèles de covariance est admissible
Chaque modèle peut être isotrope ou anisotrope, les directions d’anisotropie peuvent varier d’un modèle à l’autre
Un modèle peut être admissible en 1D et non-admissible en 2D, 3D,….Par contre, s’il est admissible en 3D il l’est aussi en 2D et 1D.
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 46
Modèles de base en mineEffet de pépite
h
γ (h)
0h si C 0h si 0)h(
0 >==γ
-Erreurs de mesure
-Erreurs de localisation
-Erreurs d’analyse (Gy)
-Microstructure non-identifiable dû au manque de données
Presque toujours présent mais rarement seulEffet de pépite pur => estimation impossible
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 47
Sphérique
h
γ (h)
≥
<<
−
=
=γ
ah si C
ah0 si ah5.0
ah1.5C
0h si 0
)h( 3
Modèle le + fréquent
e.g. teneur, épaisseur, …
Combiné avec effet pépite
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 48
Exponentiel
h
γ (h)
Assez commun
Semblable au sphérique
a: portée effective γ(h)=0.95*C
a’=a/3
−−
−−=γ
a|h|3exp1Cou
'a|h|exp1C)h(
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 49
Gaussien
h
γ (h)
-Peu fréquent en mine-Variables très continues :e.g. topographie, gravimétrie, magnétisme,épaisseur,…- Problèmes numériques si absence d’effet de pépite
a: portée effective γ(h)=0.95*C
a’=a/30.5
−−
−−=γ
22
a|h|3exp1Cou
'a|h|exp1C)h(
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 50
-Modèles sans palier
-Moyenne, variance et covariance non définies
2b0 0,|h| a
|h|C)h(b
<≤>
=γ
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 51
Problèmes Problèmes Problèmes…
Données extrêmes influencent beaucoup le variogramme
10 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 60
10
20
30
40
50
60
70
Variogramme expérimental
Distance
gam
ma(
h)
0 0 10 0 0 0
0 1 2 3 4 5 60
5
10
15
20
25
30
35
Variogramme expérimental
Distance
gam
ma(
h)
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 52
Zone A: (pas de 2m)
4 4 5 6 6 7 6 5 4
Zone B: (pas de 1m), zone +variable
8 6 8 10 12 8 10 12 14 10 8 6 12 8 10 10 8 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8
7
6 5
Variogram m e expérim ental
Dis tance
gam
ma(
h)
Zone A
17
16
15
14
13
12
11
10
9
Zone B
17 24
15
21
13
18
11
15 9
Zone A+B
-Étudier les zones séparément ?
-Sous-échantillonner la zone B
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 53
Pratique de « confirmer » préférentiellement les teneurs riches
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50Variogrammes
h
γ(h)
Grille regulière Grille+10 doublonsGrille+doublons
A pour effet de fournir beaucoup de paires à petite distance et montrant de très fortes variations
Si on rééchantillonne chaque point, pas de problème
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 54
Erreurs de localisation
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8Variogrammes
h
γ(h)
Localisations vraies Localisations erronnées
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 55
La géologie ne collabore pas toujours
-5 0 5 10 15 20-5
0
5
10
15
20Positions observées
x
y
-5 0 5 10 15 20-5
0
5
10
15
20Positions "dépliées"
x
y
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Variogrammes initiaux
h
γ(h)
Dir. xDir. y
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Variogrammes après "dépliage"
h
γ(h) // strates
Perpendiculaire
Certains logiciels permettent de passer à un système de coordonnées géologiques
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 56
Anisotropies1- Géométrique : les portées décrivent une ellipse
agapθ
{ }
aa a
a ag p
p g
θθ θ
=+2 2 2 2 1 2
cos sin/
θ = 0
θ = 30
θ = 45θ = 60θ = 90
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 57
2- zonale : toute anisotropie qui n’est pas géométrique
=> somme de composantes isotropes et avec anisotropies géométriques
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
2
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)
h
γ(h)
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
2
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,0)
h
γ(h)
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
2
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,0)
h
γ(h)
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
2
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,0)
h
γ(h)
M o d . a n i s o . 2 D : t y p e , a x a y , r o t ( t r i g o ) , c
3 7 7 0 0 . 5
3 1 7 1 . 0 4 9 e + 0 0 9 4 5 1 . 5
3 - g a u s s i e n
3 - g a u s s i e n
Gaussien isotrope a=7, C=0.5+
Gaussien aniso géom.a45=17a135=∞
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Ajustement assez bon pour 0-5 pixels dans toutes les directions
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 58
0 5 10 15 200
1000
2000
3000Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)
h
γ(h)
0 5 10 15 200
1000
2000
3000Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,0)
h
γ(h)
0 5 10 15 200
1000
2000
3000Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,0)
h
γ(h)
0 5 10 15 200
1000
2000
3000Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,0)
h
γ(h)
10 20 30 40 50
10
20
30
40
50
60
N
Modèle sphérique avec anisotropie géométriquea(45)=20.4, a(135)=13.8
90o 135o 0o
450
Oh non, je ne vais pas encore
me faire variographer!
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 59
Stratégie de modélisationDéfinition minutieuse du domaine Examen des données, données extrêmes ?Au besoin sous-échantillonnage des données pour éviter de sur-représenter des zones particulièresVariogramme omnidirectionnel => modèle isotrope candidatDéterminer directions géologiques principalesCalculer variogrammes directionnels (au moins 4 directions) attention aux paramètres de calculs (classes de distance et tolérance)Comparer variogrammes directionnels au modèle isotrope candidat
acceptable => terminéInacceptable => ajuster un modèle anisotrope (géométrique)
anisotrope (géométrique) acceptable => terminéInacceptable => anisotropie zonale ?
Dans tous les cas, il importe surtout d’ajuster les premiers points du variogrammeÉviter de « surajuster » les données
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 60
Remarques concernant le calcul des variogrammes
Objectifs:
au moins 30 paires pour la plupart des points du variogramme
4-6 points avant le palier pour pouvoir ajuster modèleh < hmax/2
• Doit avoir un minimum de données
>30 pour variogramme omnidirectionnel>60 pour variogrammes directionnels
• Influence le choix de largeur des classes
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 61
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,90)
h
γ (h)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)
h
γ (h)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,0)
h
γ (h)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,0)
h
γ (h)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,0)
h
γ (h)
Variog. Directionnels
Modèle sphérique a45=20, a135=35
Variog. omni
50 100 150 200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Exemple
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 62
N=30 N=60 N=200
0 50 100 1500
0.5
1
1.5
14
38
52 78
64 76
46
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,90)
h
γ(h)
-100 -50 0 50 100-100
-50
0
50
100
0 20 40 600
0.5
1
1.5
16
38 59
70 89 105
137
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,90)
hγ(
h)
-100 -50 0 50 100-100
-50
0
50
100
Effet de pépite apparent
0 20 40 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
51
164 273
341 459 522 593 615 721
769
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,90)
h
γ(h)
-100 -50 0 50 100-100
-50
0
50
100
M o d . i s o . :
1 1 0 .
4 2 5 . 5 0 .
1 - p é p i t e
4 - s p h é r i q u e
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 63
N=40000 N=200
0 20 40 600
0.5
1
15 39
66
89 126
159 156 154
161 212
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,22.5)
h
γ(h)
0 20 40 600
0.5
1
14
46
62 79
121 113 149 147
181 174
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,22.5)
h
γ(h)
0 20 40 600
0.5
1
5
39 72
82
96 139 152
171
172
200
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,22.5)
h
γ(h)
0 20 40 600
0.5
1
17
40 73
91
116
111 136
143 207 183
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,22.5)
h
γ(h)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)
h
γ(h)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,0)
h
γ(h)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,0)
h
γ(h)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,0)
h
γ(h)
Ajustement ± bon; ne peut être amélioré sans altérer les autres ajustements
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 64
Pour détecter une anisotropie, il faut pouvoir calculer le variogramme dans la direction de meilleure continuité. Celle-ci n’est pas toujours connue.
θ = 0
θ = 30
θ = 45θ = 60θ = 90
1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0
10
20
30
θ
Rapport apparent en fonction de la direction (θ: angle avec ag) et du rapport d'anisotropie
Rapport vrai: ag / ap
Rap
port
app
aren
t: a θ /
aθ +
90
Tout écart => sous-estimation de l’anisotropie
Faible anisotropie peut passer inaperçue
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 65
Tolérance angulaire doit être maintenue faible <22.5, idéalement 0-10.Tolérance trop grande
=> variogrammes peu directionnels=> sous-estimation de l’anisotropie
1 1.5 2 2.5 3 3.5 41
1.5
2
2.5
3
3.5
4
10
20
30
40
0tolérance
Rapport apparent en fonction de la tolérance et du rapport d'anisotropie
Rapport vrai: ag / ap
Rap
port
app
aren
t
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 66
En 3D
Meilleures directions pour le calcul => directions des forages
- Permet de bien estimer le variogramme à petite distance- Erreurs de localisation et de direction ont moins d’impacts surle variogramme car les distances inter-carottes demeurent inchangées
Hic: - Nécessite des forages ayant différentes directions pour pouvoir modéliser l’anisotropie
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 67
Autres outils utiles-Validation croisée de modèles candidats (krigeage); e.g. Tester un modèle
isotrope vs anisotrope; tester un effet de pépite de 10% vs 30%;…
-Modèle permet de prédire les variances des composites de tailles différentes ?
-Modèle permet de prédire les variances des valeurs krigées ?
-Variogramme des log(teneurs) pour identifier les anisotropies possibles, la
(les) portée, l’importance approximative de l’effet de pépite
-Variogramme d’une transformation des teneurs (e.g. rang), même chose que
les log
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