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Introduction la logiquemathmatiqueEncadr par: Mr Laroussi Gary
Anim par: Mr Houssem Eddine Fitati
Anne scolaire 2012 2013
CREFOC-Rads
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Plan du cours
Introduction la logique mathmatique CREFOC Rads2012~2013
Assertion et prdicat
Proprits
Les connecteurs logiques
Les quantificateurs mathmatiques
Diffrents modes de dmonstration
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Prdicat:
Dfinition:
Un prdicat est un nonc
mathmatique contenant des
lettres appeles variables
tel que quand on remplace
chacune de ces variablespar un lment donn dun
ensemble, on obtient une
assertion.
Exemple:
Lnonc suivant :
P(n) = n est un multip
est un prdicat car il
une assertion quand on une valeur n.
P(10) = 10 est un mde 2 est une asvraie,
P(11) = 11 est un mde 2 est une asIntroduction la logique mathmatique CREFOC Rads2012~2013
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Remarque:
Une assertionsinterprter cun prdicat variable, cest
comme un ptoujours vratoujours faux.
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Les connecteurs logiquNgation, conjonction , disjonction , implication &quivalence.
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Disjonction:
Soient P et Q deux prdicats. Le prdicat P ou Q ,appel disjonction de P et de Q, est un prdicat qui:
est vrai lorsque lun au mois des deux prdicat P et vrais,
est faux lorsque les deux sont faux.
On rsume ceci dans la table de vrit:
On crit par fois : PQau lieu de P ou Q.Introduction la logique mathmatique CREFOC Rads2012~2013
P Q
V V
F VV F
F F
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Implication:
Soient P et Q deux prdicats. Le prdicat P Q appel implicatio
vers Qest un prdicat qui:
est faux lorsque P est vrai et Q faux,
est vrai dans tous les autres cas.
On rsume ceci dans la table de vrit :
On dit que P est une condition suffisante pour Q.
Q P sappelle limplication rciproque de P Q.Introduction la logique mathmatique CREFOC Rads2012~2013
P Q
V V
F V
V FF F
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Equivalence:
Soient P et Q deux prdicats. Le prdicat P Q appel quivale
P et de Q est un prdicat qui:
est vrai lorsque P et Q sont simultanment vrai ou faux,
est faux dans tous les autres cas.
On rsume ceci dans la table de vrit :
(P Q) et (Q R) se note: P Q R.
(P Q) et (Q R) se note: P Q R.Introduction la logique mathmatique CREFOC Rads2012~2013
P Q
V V
F V
V FF F
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Propritsquivalence , tautologie , prdicats incompatibles
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Tautologie:
Considrons un prdicat P. Ce prdicat peut prendre la va
vrit) Vrai ou Faux. Considrons le prdicat compos :R = P ou non (P) .
Ce prdicat est remarquable. En effet, R est toujours vraindpendamment de P. Vrifions-le :
Le prdicat compos R est alors qualifi
de tautologie.
Dfinition:
Un prdicat compos R qui est vrai quelles que soient les valeu
vrit des prdicats qui le composent, est appel une tautologieIntroduction la logique mathmatique CREFOC Rads2012~2013
P Non P P o
V F
F V
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Prdicats incompatibles:
Soit P un prdicat. Considrons le prdicat compos :
P et non (P) .
Ce prdicat est toujours faux. Vrifions-le :
On dit que les prdicats P et non(P) sont incompatibles.
Dfinition:
On dit que deux prdicats composs sont incompatiblessi leur conjonction e
quelles que soient les valeurs de vrit des prdicats qui les composent.
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P Non P P et non P
V F FF V F
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Proprits incontournables:
Soit P et Q deux prdicats , on a les les quivalenceslogiques suivantes:
1) P Q (non P) ou Q
2) (Non P) Q P et (non Q)
3) P Q (non Q) (non P)
4) P Q (P Q ) et (Q P )
On dit que Q est une condition ncessaire pour P.
Limplication: (non Q) (non P) est appele la
contrapose de P Q .Introduction la logique mathmatique CREFOC Rads2012~2013
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Quantificateurs simples:
En effet, on se convainc facilement de lquivalence lo:
! x E P(x) R1 et R2
O les deux assertions R1 et R2 sont dfinies comme
R1= x E P(x) . R2= xE xE ( P(x) et P(x)) x=x
Lassertion R1traduit lexistance dun lment de Evrifiant p(x)
Lassertion R traduit lunicitde cet lment.Introduction la logique mathmatique CREFOC Rads2012~2013
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Quantificateurs multiple:
Exemples:
Soit le prdicat deux variables avec z et n
est vra
Alors, lassertion z C n N P(z, n) est vraie.
Lassertion quantifie: n x +1+nx(1+x)n
vraie
Lassertion quantifie: x R y R x + y = 5 est v
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