Éric
T
hié
ba
ut –
B
ord
ea
ux
, 1
9/0
4/2
01
2
41
Interférométrie stellaire et tomographie médicale
●interférométrie astronomique
– faire interférer des télescopes
distants
– résolution angulaire ~ 0.001 seconde
d'arc (5×10-9 rd)
– couverture parcimonieuse des
fréquences spatiales
●tomographie médicale
– mesures de projections d'un objet 3-D
– analogue à mesure de coupes dans le
plan de Fourier
●méthode de reconstruction nécessaire
Éric
T
hié
ba
ut –
B
ord
ea
ux
, 1
9/0
4/2
01
2
43
Principe de l'interférométrie optique
V 1,2t = I 1,2 T 1∗t T 2t
mesure = visibilité complexe instantanée :
transformée de Fourier de la
distribution d'intensité de l'objet
fonctions de transfert de l'amplitude
complexe des télescopes
longueur d'onde
base projetée (B)
1,2 =r2−r1
fréquence spatiale :
instrument
couverture du plan (u,v)
Éric
T
hié
ba
ut –
B
ord
ea
ux
, 1
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2
44
Réponse impulsionnelle brute, couverture (u,v)
(u,v) coverage for Arcturusfréquences spatiales observées
réponse impulsionnelle brute
objet : α Boo (Arcturus)
IOTA/IONIC interferometer
source : S. Lacour et al. (2007)
Éric
T
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B
ord
ea
ux
, 1
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01
2
45
Le problème de la turbulence
T k t = ei k t
(après calibration
photométrique)
fonction de transfert d'amplitude complexe :
déphase aléatoire : k t =2 k t
⟨V 1,2t ⟩ = I 1,2 ⟨T 1∗t T 2 t ⟩ = 0
0
V 1,2t = I 1,2 T 1∗t T 2t mesure de visibilité complexe instantanée :
il faut trouver des estimateurs non-linéairesinsensibles à la turbulence
temps de cohérence de la turbulence ~ 1 ms
en intégrant pendant une pause :
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B
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ea
ux
, 1
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2
46
Mesures eninterférométrie optique
V j , k t = I j , k T j
∗t T k t
T k t = ei k t
⟨V 1,2t ⟩ = I 1,2 ⟨T 1∗t T 2 t ⟩ = 0
visibilité complexe instantanée :
bispectre :
⟨V 1,2t V 2,3t V 3,1t ⟩ = I 1,2 I 2,3 I 3,1 ⟨ei [2 t −1 t ]i [3t −2 t ]i[1 t −3 t ]⟩
= I 1,2 I 2,3 I∗ 1,2 2,3
spectre de puissance : ⟨∣V 1,2t ∣2⟩ = ∣I 1,2∣
2
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ea
ux
, 1
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47
Difficultés
●non-linéarités
●pauvreté de la couverture du plan (u,v)
●manque de mesures de phase de Fourier
(e.g. 1 clôture de phase pour 3 amplitudes)
●contraintes
– positivité
– normalisation (calibration)
●transformation de Fourier (échantillonnage spectral
irrégulier)
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ord
ea
ux
, 1
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48
Approche de type Problèmes Inverses
xbest = arg min x { f data x f prior x } tel que : xk≥0,∀ k ∑k=1
k=N
xk = 1et
reconstruction d'image reformulée comme un problème
d'optimisation sous contraintes :
modèle direct :
régularisation(cohésion du modèle
avec les a priori,
e.g. champ de vue limité)
attache aux données(cohésion du modèle
avec les données,
e.g. chi-2 : χ2)
positivité normalisation
I j = ∑k=1
k=N
A j ,k x kI = ∑k=1
k=N
xk bk T.F.
base de fonctions
paramètres
interpolationspectrale
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ux
, 1
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2
49
Terme d'attache aux données
hypothèse : bruit Gaussien (2D)
pour une mesure complexe
f data x = A⋅x−d T⋅W⋅A⋅x−d
=1
2∥A⋅x−d∥2
mesures de visibilités complexes :
radio-astronomie
f data x = ∑k
1
k
2∣x j1,k x j2,k x j3,k
∗ −dk∣2
mesures de bispectre :
séparation des mesures de module et de phase (enroulement de phase)
interférométrie optique (visible / IR)
non-convexe
x≡A⋅xavec
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ord
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ux
, 1
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2
50
Imaging Beauty Contest 2008
MACIM(Ireland et al., 2008)
building-blocks method(Hofmann & Weigelt, 1983)
MiRA(Thiébaut 2008)
BSMEM(Baron et al. 2008)
objet
(AGN)
reconstructions
(C
otto
n e
t a
l., 2
00
8)
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ux
, 1
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2
51
Reconstruction avec/sansinformation de phase
objet couverture (u,v) objet à la résolution
de l'interféromètre
reconstruction (spectre
de puissance + clôtures)
reconstruction
(sans phase de Fourier)
Éric
T
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ux
, 1
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52
Application à des données
T Leporis
(le
B
ou
qu
in
e
t a
l., 2
00
9, A
stro
n.
& A
stro
ph
ys. L
ett. 4
96
, L
1)
Chi-Cygni
(L
ac
ou
r e
t a
l., 2
00
9,
Astro
ph
ys. J
. 7
07
, 6
32
)
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, 1
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53
application àla tomographie médicale
●bénéficier des avantages de l'approche inverse
– modélisation plus réaliste des mesures (instrument et bruits)
– images exploitables (pour diagnostic) à partir de moins de mesures ou
de mesures de moindre qualité
– moins de rayonnement absorbé par le patient (et le praticien)
– objectif : tomographie dynamique (x,y,z,t)
●modèle plus fin que l'état de l'art (distance driven)
– modèle continu de l'objet sur une base de B-splines
– projections (parallèle, fan beam et conique) approximées comme
étant séparables le long des axes du détecteur
●reconstruction itérative avec contrainte de régularisation
– reconstruction sous régularisation moindre
→ plus de détails préservés
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, 1
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54
Comparaison avec état de l'art
reconstructions à partir de 60 projections
(Momey et al., 2011, conf. GRETSI)
(Momey et al., 2011, conf. IEEE-MIC)
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, 1
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55
reconstruction dynamique
objet vrai reconstruction(à partir de 25 projections/trame)
(Momey et al., 2012)
- modèle B-spline amélioré
- régularisation spatio-temporelle type variation totale (TV 2-D + t)
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, 1
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2
56
Reconstruction d'image en astronomie et imagerie bio-médicale
● déconvolution d'image
– quelle régularisation ?
– mesures quantitatives sur des images reconstruites ?
● données multivariées
– imagerie hyper-spectrale en spectrographie intégrale de champ
● déconvolution aveugle
– coronarographie
– microscopie 3-D
● réponse variable dans le champ
● interférométrie et tomographie
– interférométrie optique
– tomographie dynamique
● détection
– exo-planètes
– particules en holographie numérique
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, 1
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2
57
Holographie numérique : principe
Montage en ligne de type Gabor
Applications : détection, comptage et vélocimétrie de
particules
Modèle analytique dans l'approximation de Fresnel et des faibles densités
10
0 p
artic
ule
s
Position de la figure de diffraction → (x,y), forme → (z,r)
10
p
artic
ule
s
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2
58
Holographie numérique : algorithme
Soulez, Denis, Thiébaut, Fournier & Goepfert, JOSA-A 24, 3708 (2007).
minimisation de fdata
par un algorithme glouton (greedy) avec raffinements des paramètres
avec I (a) = I0−∑k=1
n
αk m(a−ak , zk ,r k)
posit
ion
profondeur
intensit
é
laser
taille
f data = ∑aw (a) [ I (a)− I (a)]
2
données
m
odèle
poid
s
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, 1
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69
Holographie numérique :Précision de localisation
méthode classique : précision de l'ordre de 4 µm (z), 3 µm (x,y)
approche inverse : précision meilleure que 0.3 µm (partout)
erreurs en position latérale (x,y) erreurs en profondeur (z)
inside inside
Soulez, Denis, Fournier, Thiébaut & Goepfert, JOSA-A 24, 1164 (2007).
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ut –
B
ord
ea
ux
, 1
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2
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Holographie numérique :approche parcimonieuse
ho
lo
gra
mm
ere
co
nstru
ctio
n
cla
ssiq
ue
ap
pro
ch
e
in
ve
rse
x = argmin x {12 ∥A . x− y∥2
2 ∥x∥1}
∥x∥1 = ∑k=1
k=N
∣xk∣
reconstruction avec contrainte de parcimonie
(Denis et al. 2009, Opt. Lett. 34, p. 3475)
avec
x = objet 3-D
y = image holographique
A = opérateur de Fresnel
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Darwin
R(θ ,λ , t)F (θ ,λ , t)
A(λ , t) = ∫∫ R(θ ,λ , t) F (θ ,λ , t ) d2θ
observable instrument objet observé
longueur d'onde
tempsdirection
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Détection d'exop-planètes
cartes du critère f = fdata
+ fprior
en fonction de la position
supposée de la planète et
compte tenu des planètes déjà
détectées
spectre reconstruit
(Thiébaut & Mugnier, 2006, IAU conf.)
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2
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Imagerie bio-médicale et astronomique
● des similitudes
– données manquantes (troncature, projection, etc.)
– bas flux (rapport signal/bruit défavorable)
– réponse instrumentale pas/mal étalonnée
● fertilisation croisée
– méthodes itératives non-paramétriques
– déconvolution aveugle
– réponse variable
● développements
– réponse variable auto-étalonnée
– données multi-variées (spatio-temporel/spectral)
– méthodes non supervisées (automatisation)
→ utilisables par des non-experts
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