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Intgration et suites Calcul intgral et suite numrique Exercices corrigs

SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)

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Objectifs abords dans cette fiche : (cliquez sur lexercice pour un accs direct)

Exercice 1 : tudier le sens de variation dune suite dfinie par une intgrale

Exercice 2 : montrer quune suite dfinie par une intgrale est majore ou minore

Exercice 3 : dterminer la limite dune suite dfinie par une intgrale (avec le thorme des gendarmes)

Exercice 4 : justifier la convergence dune suite dfinie par une intgrale

Exercice 5 : dmontrer quune suite dfinie par une intgrale est convergente et en prciser la limite

Exercice 6 : dterminer la limite dune suite dfinie par une intgrale (aprs calcul du terme gnral)

Exercice 7 : donner la limite dune suite dfinie par une intgrale (avec un changement de variable)

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Calcul intgral et suite numrique Intgration

Exercices corrigs



2

Soit ( ) la suite numrique dfinie par :

Montrer que la suite ( ) est croissante.

Rappel : Linarit de lintgrale (linarit additive et linarit multiplicative)

Soient deux rels et . Si et sont deux fonctions continues sur un intervalle [ ] avec , alors :

( ( ) ( ))

( )

( )

( )

( )

Pour tout entier naturel ,

( )

Daprs la linarit de lintgrale, il vient que :

(

)

( )

Or, pour tout rel [ ], daprs la croissance de la fonction exponentielle, il vient que ,

cest--dire . Par consquent, pour tout rel [ ], . Par ailleurs, pour tout rel

[ ], , do . Enfin, pour tout rel [ ] et pour tout entier naturel , .

Lintgrande est donc une fonction positive ou nulle sur [ ], cest--dire ( )

.

Rappel de la notion dintgrande : Dans une intgrale, la fonction qui est intgre est appele intgrande.

Rappel : Positivit de lintgrale

Soit une fonction continue sur un intervalle [ ] avec . Alors, pour tout rel [ ] :

( ) ( )

( ) ( )

Exercice corrig 1 (1 question) Niveau : facile

Correction de lexercice 1 Retour au menu



3

Daprs la positivit de lintgrale, en intgrant sur [ ], il vient finalement que :

( )

( )

Pour tout entier naturel , donc la suite ( ) est croissante.



4


Montrer que la suite ( ) est minore.

Pour tout rel [ ] et pour tout , et . Do pour tout [ ].

Par consquent, daprs la positivit de lintgrale, en intgrant sur [ ] (avec ), on a :

pour tout entier naturel donc la suite ( ) est minore par 0.

Exercice corrig 2 (1 question) Niveau : facile




5


( )

Dterminer la limite de la suite ( ) .

Rappel : Conservation de lordre par intgration (ordre et intgrale / intgration dune ingalit)

Soient et deux fonctions continues sur un intervalle [ ] avec . Alors, pour tout rel [ ] :

( ) ( ) ( )

( )

Remarques :

On dit que lintgrale conserve lordre. La rciproque nest pas vraie.

Pour tout rel [ ], . Or, la fonction logarithme nprien est continue et croissante sur

lensemble des rels strictement positifs, do ( ) , cest--dire ( ) .

De plus, pour tout rel [ ], donc, en multipliant lingalit ( ) par , il

rsulte que ( ) .

Ainsi, comme lintgrale conserve lordre, en intgrant sur [ ], il vient que :

( ) ( )

[

]

[ ]

( )

Rappel : Thorme des gendarmes (aussi appel thorme dencadrement)

Soient ( ), ( ) et ( ) trois suites de nombres rels et soit un rel.

Si, pour tout entier suprieur un certain entier ,

Alors,

Exercice corrig 3 (1 question) Niveau : moyen




6

Or,

donc la suite ( ) est encadre par deux suites de limite nulle.

Finalement, daprs le thorme des gendarmes,

. Autrement dit, la suite ( ) tend vers 0.

Fonction dfinie par ( ) Primitives dfinies par ( ) Conditions sur et



7


1) Dmontrer que, pour tout entier naturel , .

2) Etudier la monotonie de la suite ( ) .

3) En dduire la convergence de la suite ( ) .

1) Dmontrons que, pour tout entier naturel , .

La fonction sinus est continue et positive ou nulle sur [ ], si bien que pour tout entier naturel , .

De surcrot, lintgrale dune fonction continue et positive tant positive, pour tout , .

2) Etudions la monotonie de la suite ( ) .


( )

( )

Or, pour tout rel [ ], dune part , cest--dire et, dautre part,

. Donc, pour tout , ( ) . En vertu de la conservation de lordre par

intgration, il vient que , cest--dire . La suite ( ) est dcroissante.

3) Concluons.

Rappel : Convergence dune suite monotone

Toute suite croissante et majore est convergente.

Toute suite dcroissante et minore est convergente.

Daprs la premire question, la suite ( ) est minore par 0. En outre, daprs la question prcdente, elle

est dcroissante. Il rsulte que la suite ( ) est convergente.

Exercice corrig 4 (3 questions) Niveau : facile




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1) Calculer les deux premiers termes de la suite ( ) .

2) Montrer que la suite ( ) est croissante.

3) Montrer que la suite ( ) est majore.

4) En dduire la convergence de la suite ( ) .

5) Montrer que

.

6) En dduire la limite de la suite ( ) .

1) Calculons les deux premiers termes de la suite ( ) .

[

]

Soit la fonction dfinie sur [ ] par ( ) . Cette fonction est drivable sur [ ] et, pour tout rel

[ ], ( ) . De plus, cette fonction est positive sur [ ] do le rsultat suivant :

( )

( )

[ ( ( )

)]

[ ( )]

Fonction dfinie par ( ) Primitives dfinies par ( ) Conditions sur

( )

( ) ( ( )) drivable et

Remarque :

, cest--dire . On peut conjecturer que la suite ( ) est croissante.

2) Etudions la monotonie de la suite ( ) .

Pour tout rel [ ], ( ). Or, pour tout rel [ ], et

donc , cest--dire . Il vient lingalit puis, en

vertu de la dcroissance de la fonction inverse sur ,

.

Exercice corrig 5 (6 questions) Niveau : moyen




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Ainsi, en intgrant sur [ ], il rsulte de la conservation de lordre par intgration que :

Finalement, pour tout entier naturel . La conjecture mise la question prcdente est vrifie : la

suite ( ) est croissante.

3) Montrons que la suite ( ) est majore.

Pour tout rel [ ], , do . Et, par passage linverse, il sensuit que

.

Ainsi, en intgrant sur [ ], il rsulte de la conservation de lordre par intgration que :

[

]

[ ]

Finalement, . La suite ( ) est donc majore par le rel 1.

4) Montrons que la suite ( ) est convergente.

Daprs la 2me question, la suite ( ) est croissante et, daprs la 3me

question, la suite ( ) est majore.

Par consquent, la suite ( ) est convergente ; elle converge vers un rel que la dernire question

permettra de prciser.

5) Etudions la limite de la suite ( ) .

Pour tout rel [ ], on a :

Or, . Ainsi, comme la fonction inverse est dcroissante sur , on a :

De plus, . Ainsi, comme la fonction oppos est dcroissante sur , , on a :

En dfinitive, on a :

Par consquent, comme lintgrale conserve lordre, en intgrant sur [ ], il vient que :

( )

[

]



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En dfinitive, en utilisant cette minoration et la majoration obtenue la 3me

question, on a un encadrement de

la suite ( ) , savoir

pour tout . Comme

, daprs le

thorme des gendarmes,

. La suite converge donc vers 1.



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Pour tout entier naturel non nul, on pose :

1) Calculer .


1) Exprimons en fonction de .

Soit la fonction dfinie sur [ ] (avec ) par ( )

. Cette fonction est une fonction linaire

donc elle est drivable sur et, pour tout rel [ ], ( )

.

Pour tout entier naturel non nul, on en dduit que :

( ) ( )

[ ( )]

[

]

(

) (

) (

) (

)

Fonction dfinie par ( ) Primitives dfinies par ( ) Conditions sur

( ) ( ) ( ) drivable

2) Dterminons dsormais la limite de la suite ( ) .

( ( ))

( (

))

(

)

Rappel : Drivabilit en un point et nombre driv

Soit une fonction dfinie sur . Soit un rel de .

est drivable en si et seulement si

( ) ( )

( ). Ce nombre rel est alors appel

nombre driv de en et est not ( ).

Ainsi,

( ) ( )

( ) .

Exercice corrig 6 (2 questions) Niveau : moyen




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Or,

et

( ) ( ) donc, daprs le thorme sur la limite de la

compose de deux fonctions, il rsulte que

(

) . Finalement, il vient par produit des limites que

. La suite ( ) tend vers e.

Rappel : Limite de la compose de deux fonctions

Soit une fonction dfinie sur un intervalle et soit une fonction dfinie sur un intervalle , telle que

( ) . , et dsignent des rels, ou .

Si

( ) et si

( ) , alors

( )( ) .

( )

( )

( ( ))



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( )

1) Calculer les 3 premiers termes de la suite ( ) .

2) Calculer lintgrale pour tout entier naturel .


1) Calculons les 3 premiers termes de la suite ( ) .

( )

[

]

(

)

[ ( )

[ ]

]

En effectuant le changement de variable affine dfini par , on a :

( )

(

)

[

[ ]

]

2) Exprimons lintgrale en fonction de pour tout entier naturel .

En effectuant le changement de variable affine dfini par , on a :

( )

(

)

( )

[

]

[

]

(

)

( )( ) ( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

Exercice corrig 7 (3 questions) Niveau : difficile




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( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

3) Prcisons la limite de la suite ( ) .


( )( )

(

)

( ( )) ( (

))

( ) (

)

Or, dune part, on a

do

(

) et

(

) . Ainsi, par produit des

limites, il vient que

((

) (

)) .

Et, dautre part, on a

. Reste donc calculer

.

Rappel : Fonction exponentielle de base a (a>0) / Fonction puissance dun rel positif

Soit un rel strictement positif.

On appelle fonction exponentielle de base la fonction dfinie sur par ( ) .

Pour tout entier naturel , ( ) . Or,

( ) do

(( ) )

(car ). De plus,

. Ainsi, par composition des limites,

( ) , cest--dire

. Et comme

, par produit des limites, il vient que

.

Par consquent, par quotient des limites, on a

( )(

)

. La suite ( ) tend vers 0.