INITIATION AU
CALCUL LITTERAL
CAS 1:ADDITION
SOUSTRACTION L’addition et… la soustraction sont des opérations naturelles.
+ =
Remarquons
que nous
n’avons pas
écritmai
s
Remarquons
également que
signif
ie x( 2 fois 1
cadeau )
+ =
Le dessin des
boîtes est
long et
fastidieux.
Il serait
préférable de
dessiner des
symboles
simples.
Ou mieux …
Des lettres, le
dessin est
facile et connu
de tous.
Remplaçons la
boîte par une
lettre, par
exemple b.
b + b = 2 b
+ =
b + b = 2 b
Rappelons
que b signifie
1 b.
De plus 2 b
signifie 2 x b
En mathématiqu
es, les lettres
ne représenteron
t pas des
objets , mais
des nombres (
la dernière
remarque est donc
importante )
+ =
3 b + 5 b = 8 b 3 a + 5 a = 8 a 3 x + 5 x = 8
x
La lettre x sera
certainement la
lettre la plus
utilisée en
Mathématiques.
Attention de ne
pas la confondre
avec le symbole
de multiplication
!
- =
7 b - 4 b = 3 bCalculer :3a + 2a + 7a =5p + 3p – 6p =3,2x – 1,2x + 2,4x =4y + 5y – 2y – 6y =6x + 2x - 3x – 5x =
12a2p
4,4x1y ( ou y )0x = 0
k x ( a + b ) = k x a + k x b
développement
k x a + k x b = k x ( a + b ) = ( a + b ) x k
factorisation
Le symbole x est ici le symbole de multiplication
Reprenons un des exemples étudiés précédemment.
3 b + 5 b = ?
Nous savons
que 3 b signifie
3 x b
De même, 5b
devrait s’écrire
5 x b
3 b + 5 b = 3 x b + 5 x b Cette écriture
comporte deux
termes*.
Dans chaque
terme, il y a un
facteur*
commun. b.
En factorisant
nous avons :
3 b + 5 b = 3 x b + 5 x b = ( 3 + 5 ) x bSoit, en effectuant dans les parenthèses :
3 b + 5 b = 8 x bEt nous écrirons :
3 b + 5 b = 8 b
+ =
« On ne peut
pas mélanger
des torchons et
des
serviettes. »
Si nous
ajoutons deux
pommes et
trois bananes,
nous obtenons
…
2 pommes +
trois
bananes !!!
Nous pouvons
ajouter ( ou
soustraire) des
pommes avec des
pommes, mais
pas des pommes
avec des bananes
!
2 a + 3 b = 2 a + 3 b
Nous ne pouvons additionner ( ou soustraire ) que des éléments «
rigoureusement identiques »
Calculer :
2a + 3b + 7a + 5b =9a + 8b
7a + 2b + 2c - 3b - a =6a – b + 2c
Dans quel
ordre écrire le
résultat ?
Aucune
importance.
Pour l’instant, et
si l’on veut
choisir un ordre,
écrivons le
résultat dans
l’ordre
alphabétique.
3x + 5y - x + 2y – 4y = Dans cette
écriture, le
symbole x
représente
une lettre.
Si x était le
symbole de
multiplication ,
l’écriture 3x+
n’aurait aucun
sens!
2x + 3y
3,2x + 4y – 1,8x + 0,2x – 4y =1,6x + 0y= 1,6x
5x + 3y – y – 5x – 2y =0x + 0y= 0
Intérêt de cette simplification :
Considérons l’expression A suivante :A = 5a + 8b – 2b – 4a –
6ba et b représentent, en Mathématiques, des nombres.
Calculer cette expression si a = 2,3
et b = 7,2Nous devons remplacer, dans l’expression A, la lettre a par 2,3 et la lettre b par 7,2. Attention, rappelons que 5a signifie 5 x a ( le symbole de multiplication x doit ici être réécrit).Remplacer 5a par 52,3 n’a aucune signification. L’écriture 5a doit donc s’écrire 5 x 2,3
A = 5a + 8b – 2b – 4a – 6bA = 5x2,3 + 8x7,2 – 2x7,2 – 4x2,3 – 6x7,2
La multiplication étant prioritaire sur l’addition et la soustraction, nous avons :
A = 11,5 + 57,6 – 14,4 – 9,2 – 43,2Dans une suite d’additions et de soustractions, les calculs doivent être effectués dans l’ordre. Nous avons donc :
A = 69,1 – 14,4 – 9,2 – 43,2A = 54,7 – 9,2 – 43,2
A = 45,5 – 43,2A = 2,3 Ouf !
Intérêt de cette simplification :
A = 5a + 8b – 2b – 4a – 6b
Reprenons cette expression et simplifions la.Nous avons :
Calculer l’expression A pour a =
2,3 et b = 7,2
A = 5a + 8b – 2b – 4a – 6bA = 1a + 0b
= aCette expression est donc égale à a ( et ne dépend pas de la valeur de b ! ). En remplaçant a par 2,3 et b par … ( aucune importance, l’expression ne comporte plus la lettre b ), nous avons :
A = 2,3 Beaucoup plus facile !
CAS 2:MULTIPLICATION
La multiplication ( la division sera étudiée plus tard ) n’est pas une opération naturelle.
Multiplier des pommes par des bananes n’a aucun sens dans notre vie
quotidienne !
x =
Pourtant, en Mathématiques, nous pouvons multiplier des lettres !!!
Le produit de a et de b donne un nouvel objet qui s’appelle axb ( que nous écrirons ab )
Notons que l’objet ab s’écrit également ba ( axb=bxa )
2a x 3b =
Le symbole x est ici le symbole de multiplication
2 x a x 3 x b
2a x 3b = 2 x 3 x a x b
= 6 x a x b
= 6ab
2a x b x 4c =
2 x a x b x 4 x c = 8 abc
3a x 4a =
3 x a x 4 x a
= 12 x a x a
= 12 aa Lorsque, dans un
produit, les lettres
sont identiques,
nous utiliserons
une nouvelle
notation !
axa ( ou aa ) se
note a²
axaxa ( ou aaa ) se
note a3
etc;
Attention à ne pas
confondre 2a et a²
2a correspond à a
+ a
tandis que
a² correspond à a x
a
Par exemple :
2 x 5 = 10 et
5² = 5 x 5 = 25
= 12 a²
2y x y =
A SUIVRE
Top Related