Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
Fonctions usuelles
Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
PlanEtude d’une fonction
Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite
BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes
Fonctions polynomialesFonctions rationnelles
Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees
Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques
Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
Plan d’etude d’une fonction reelle
1. Si necessaire, recherche du domaine de definition de f .
2. Determination du domaine de continuite et du domaine dederivabilite de f , avant tout calcul de derivee.
3. Reduction eventuelle du domaine d’etude en exploitantl’eventuelle parite, l’eventuelle periodicite.
4. TSD en verifiant qu’on est sur un intervalle, calculs deslimites, TBV, trace.
5. Et s’il y a une limite finie en une valeur interdite ?
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Plan d’etude d’une fonction reelle
1. Si necessaire, recherche du domaine de definition de f .
2. Determination du domaine de continuite et du domaine dederivabilite de f , avant tout calcul de derivee.
3. Reduction eventuelle du domaine d’etude en exploitantl’eventuelle parite, l’eventuelle periodicite.
4. TSD en verifiant qu’on est sur un intervalle, calculs deslimites, TBV, trace.
5. Et s’il y a une limite finie en une valeur interdite ?
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Plan d’etude d’une fonction reelle
1. Si necessaire, recherche du domaine de definition de f .
2. Determination du domaine de continuite et du domaine dederivabilite de f , avant tout calcul de derivee.
3. Reduction eventuelle du domaine d’etude en exploitantl’eventuelle parite, l’eventuelle periodicite.
4. TSD en verifiant qu’on est sur un intervalle, calculs deslimites, TBV, trace.
5. Et s’il y a une limite finie en une valeur interdite ?
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Plan d’etude d’une fonction reelle
1. Si necessaire, recherche du domaine de definition de f .
2. Determination du domaine de continuite et du domaine dederivabilite de f , avant tout calcul de derivee.
3. Reduction eventuelle du domaine d’etude en exploitantl’eventuelle parite, l’eventuelle periodicite.
4. TSD en verifiant qu’on est sur un intervalle, calculs deslimites, TBV, trace.
5. Et s’il y a une limite finie en une valeur interdite ?
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Plan d’etude d’une fonction reelle
1. Si necessaire, recherche du domaine de definition de f .
2. Determination du domaine de continuite et du domaine dederivabilite de f , avant tout calcul de derivee.
3. Reduction eventuelle du domaine d’etude en exploitantl’eventuelle parite, l’eventuelle periodicite.
4. TSD en verifiant qu’on est sur un intervalle, calculs deslimites, TBV, trace.
5. Et s’il y a une limite finie en une valeur interdite ?
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PlanEtude d’une fonction
Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite
BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes
Fonctions polynomialesFonctions rationnelles
Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees
Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques
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Idee
Les fonctions qu’on etudie s’obtiennent a partir d’un petit nombrede ”fonctions de bases” et de sommes, differences, produits,quotients, composees, reciproques...
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Exemple
Devissage de x 7→ (x + 1)esin(x).
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Domaine de definition
Pour � ∈ {+,×,−} : Df�g =
Df ∩ Dg
Df÷g = (Df ∩ Dg ) \ {racines de g}
Df ◦g = Dg ∩ {x ∈ R, g(x) ∈ Df }
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Domaine de definition
Pour � ∈ {+,×,−} : Df�g = Df ∩ Dg
Df÷g = (Df ∩ Dg ) \ {racines de g}
Df ◦g = Dg ∩ {x ∈ R, g(x) ∈ Df }
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Domaine de definition
Pour � ∈ {+,×,−} : Df�g = Df ∩ Dg
Df÷g =
(Df ∩ Dg ) \ {racines de g}
Df ◦g = Dg ∩ {x ∈ R, g(x) ∈ Df }
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Domaine de definition
Pour � ∈ {+,×,−} : Df�g = Df ∩ Dg
Df÷g = (Df ∩ Dg ) \ {racines de g}
Df ◦g = Dg ∩ {x ∈ R, g(x) ∈ Df }
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Domaine de definition
Pour � ∈ {+,×,−} : Df�g = Df ∩ Dg
Df÷g = (Df ∩ Dg ) \ {racines de g}
Df ◦g =
Dg ∩ {x ∈ R, g(x) ∈ Df }
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Domaine de definition
Pour � ∈ {+,×,−} : Df�g = Df ∩ Dg
Df÷g = (Df ∩ Dg ) \ {racines de g}
Df ◦g = Dg ∩ {x ∈ R, g(x) ∈ Df }
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PlanEtude d’une fonction
Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite
BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes
Fonctions polynomialesFonctions rationnelles
Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees
Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques
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Translations
Soit f : R→ R de graphe Cf :
1. Si g = x 7→ f (x + a) alors Cg s’obtient par
translation devecteur −ae1 a partir de Cf .
2. Si g = x 7→ f (x) + b alors Cg s’obtient par translation devecteur +be2 a partir de Cf .
Un dessin.
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Translations
Soit f : R→ R de graphe Cf :
1. Si g = x 7→ f (x + a) alors Cg s’obtient par translation devecteur −ae1 a partir de Cf .
2. Si g = x 7→ f (x) + b alors Cg s’obtient par
translation devecteur +be2 a partir de Cf .
Un dessin.
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Translations
Soit f : R→ R de graphe Cf :
1. Si g = x 7→ f (x + a) alors Cg s’obtient par translation devecteur −ae1 a partir de Cf .
2. Si g = x 7→ f (x) + b alors Cg s’obtient par translation devecteur +be2 a partir de Cf .
Un dessin.
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Translations
Soit f : R→ R de graphe Cf :
1. Si g = x 7→ f (x + a) alors Cg s’obtient par translation devecteur −ae1 a partir de Cf .
2. Si g = x 7→ f (x) + b alors Cg s’obtient par translation devecteur +be2 a partir de Cf .
Un dessin.
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Symetries
Soit f : R→ R de graphe Cf :
1. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par
symetrie d’axe (Oy)a partir de Cf .
2. Si g = x 7→ −f (x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Ox)a partir de Cf .
3. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie de centre Oa partir de Cf .
Un dessin.Un exemple : cos ◦ arccos.
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Symetries
Soit f : R→ R de graphe Cf :
1. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Oy)a partir de Cf .
2. Si g = x 7→ −f (x) alors Cg s’obtient par
symetrie d’axe (Ox)a partir de Cf .
3. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie de centre Oa partir de Cf .
Un dessin.Un exemple : cos ◦ arccos.
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Symetries
Soit f : R→ R de graphe Cf :
1. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Oy)a partir de Cf .
2. Si g = x 7→ −f (x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Ox)a partir de Cf .
3. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par
symetrie de centre Oa partir de Cf .
Un dessin.Un exemple : cos ◦ arccos.
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Symetries
Soit f : R→ R de graphe Cf :
1. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Oy)a partir de Cf .
2. Si g = x 7→ −f (x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Ox)a partir de Cf .
3. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie de centre Oa partir de Cf .
Un dessin.Un exemple : cos ◦ arccos.
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Symetries
Soit f : R→ R de graphe Cf :
1. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Oy)a partir de Cf .
2. Si g = x 7→ −f (x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Ox)a partir de Cf .
3. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie de centre Oa partir de Cf .
Un dessin.
Un exemple : cos ◦ arccos.
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Symetries
Soit f : R→ R de graphe Cf :
1. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Oy)a partir de Cf .
2. Si g = x 7→ −f (x) alors Cg s’obtient par symetrie d’axe (Ox)a partir de Cf .
3. Si g = x 7→ f (−x) alors Cg s’obtient par symetrie de centre Oa partir de Cf .
Un dessin.Un exemple : cos ◦ arccos.
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Homotheties / affinites
Soit f : R→ R de graphe Cf :
1. Si g = x 7→ λf (x) alors Cg s’obtient en
dilatant/contractantsuivant la direction (Oy) et avec un rapport λ la courbe Cf .
2. Si g = x 7→ f (αx) alors Cg s’obtient en dilatant/contractant
suivant la direction (Ox) et avec un rapport1
αa partir de Cf .
Un dessin.Variations sur cos ◦ arccos.
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Homotheties / affinites
Soit f : R→ R de graphe Cf :
1. Si g = x 7→ λf (x) alors Cg s’obtient en dilatant/contractantsuivant la direction (Oy) et avec un rapport λ la courbe Cf .
2. Si g = x 7→ f (αx) alors Cg s’obtient en
dilatant/contractant
suivant la direction (Ox) et avec un rapport1
αa partir de Cf .
Un dessin.Variations sur cos ◦ arccos.
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Homotheties / affinites
Soit f : R→ R de graphe Cf :
1. Si g = x 7→ λf (x) alors Cg s’obtient en dilatant/contractantsuivant la direction (Oy) et avec un rapport λ la courbe Cf .
2. Si g = x 7→ f (αx) alors Cg s’obtient en dilatant/contractant
suivant la direction (Ox) et avec un rapport1
αa partir de Cf .
Un dessin.Variations sur cos ◦ arccos.
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Homotheties / affinites
Soit f : R→ R de graphe Cf :
1. Si g = x 7→ λf (x) alors Cg s’obtient en dilatant/contractantsuivant la direction (Oy) et avec un rapport λ la courbe Cf .
2. Si g = x 7→ f (αx) alors Cg s’obtient en dilatant/contractant
suivant la direction (Ox) et avec un rapport1
αa partir de Cf .
Un dessin.
Variations sur cos ◦ arccos.
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Homotheties / affinites
Soit f : R→ R de graphe Cf :
1. Si g = x 7→ λf (x) alors Cg s’obtient en dilatant/contractantsuivant la direction (Oy) et avec un rapport λ la courbe Cf .
2. Si g = x 7→ f (αx) alors Cg s’obtient en dilatant/contractant
suivant la direction (Ox) et avec un rapport1
αa partir de Cf .
Un dessin.Variations sur cos ◦ arccos.
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PlanEtude d’une fonction
Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite
BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes
Fonctions polynomialesFonctions rationnelles
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Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques
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Prolongement par continuite
Soit f : I \ {a} → J continue, telle que limx→a
x∈I\{a}= ` ∈ J.
On note encore f son prolongement par continuite :I → J
x 7→{
f (x) si x ∈ I \ {a}` si x = a.
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Prolongement par continuite
On a deja rencontre un exemple.
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PlanEtude d’une fonction
Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite
BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes
Fonctions polynomialesFonctions rationnelles
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Definitions
sg :
R∗ → R
x 7→{
1 si x > 0−1 si x < 0
.
| · | :
R∗ → R
x 7→{
x si x > 0−x si x < 0
.
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Proprietes
1. ∀x ∈ R∗, sg(x) =x
|x |=|x |x
2. sg derivable sur R∗ et ∀x ∈ R∗, sg ′(x) = 0
3. | · | derivable sur R∗ et ∀x ∈ R∗,d
dx|x | = sg(x).
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Graphes
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PlanEtude d’une fonction
Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite
BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes
Fonctions polynomialesFonctions rationnelles
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Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques
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Definition
xn =
{x ∗ x · · · ∗ x (n fois) si n ≥ 1
1x |n|
=(
1x
)|n|si n < 0
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Domaine de definition, derivees, limites
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Graphes
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PlanEtude d’une fonction
Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite
BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes
Fonctions polynomialesFonctions rationnelles
Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees
Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques
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Proposition
Pour n ≥ 1,
{R+ → R+
x 7→ xnest une bijection.
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Definition
Fonction racine nieme n√
: R+ → R+.
C’est sa bijection reciproque.
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Comment obtenir le graphe ?
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Derivabilite
Le domaine de derivabilite n’estpas le domaine de definition.
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Derivabilite
Le domaine de derivabilite n’estpas le domaine de definition.
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Prolongement naturel a R
Uniquement pour n impair.
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PlanEtude d’une fonction
Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite
BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes
Fonctions polynomialesFonctions rationnelles
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Definition
P :
{R → Rx 7→ anx
n + · · ·+ a1x + a0
Si an 6= 0, n est le degre de P.
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Derivees
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Limites
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BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes
Fonctions polynomialesFonctions rationnelles
Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees
Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques
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Definition
f = x 7→ P(x)
Q(x)avec P(x), Q(x) polynomiales.
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Domaine de definition, derivees, limites
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Prolongement par continuite
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Un exemple : les homographies
x 7→ ax + b
cx + d
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Fonctions polynomialesFonctions rationnelles
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Exponentielle
On m’a propose cette imaged’illustration.
J’aurais voulu crediterl’auteur de cette versionmais je ne suis pas parvenua l’identifier...
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Proposition-definition
Il existe une unique application f : R→ R, derivable, telle que :
1. f ′ = f sur R2. f (0) = 1
On l’appelle fonction exponentielle et on la note exp (pourl’instant).
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Demonstration
DM02 !
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Demonstration
DM02 !
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Proprietes
1. ∀(x , y) ∈ R2, exp(x + y) = exp(x) exp(y) ;
2. ∀x ∈ R, exp(x) 6= 0 et1
exp(x)= exp(−x) ;
3. ∀x ∈ R,∀n ∈ Z, exp(nx) = exp(x)n.
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Proprietes
1. exp > 0 ;
2. exp est strictement croissante.
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Limites
1. lim+∞
exp = +∞ ;
2. lim−∞
exp = 0.
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Graphe
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PlanEtude d’une fonction
Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite
BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes
Fonctions polynomialesFonctions rationnelles
Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees
Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques
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Proposition-definition
Il existe une unique application f :]0,+∞[→ R, derivable, telleque :
1. f ′ = x 7→ 1
xsur ]0,+∞[
2. f (1) = 0
On l’appelle fonction logarithme neperien et on la note ln.
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Reformulation
Le theoreme fondamental de l’analyse dit qu’on peut le reformuler :
ln(x) =
∫ x
1f (t)dt
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PlanEtude d’une fonction
Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite
BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes
Fonctions polynomialesFonctions rationnelles
Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees
Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques
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Theoreme
exp et ln sont reciproques l’une de l’autre.
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Graphe
On a donc gratuitement le graphe de ln, et
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Proprietes
ln est strictement croissante.
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Proprietes
1. ∀(a, b) ∈]0,+∞[2, ln(ab) = ln(a) + ln(b) ;
2. ∀a ∈]0,+∞[, ln(
1a
)= − ln(a) ;
3. ∀a ∈]0,+∞[,∀n ∈ Z, ln(an) = n ln(a).
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Proprietes
1. lim+∞
ln = +∞ ;
2. limO+
ln = −∞.
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Proprietes
Il existe un unique reel e > 0 tel que ln(e) = 1.
On a e = exp(1) > 1.
Des calculs numeriques d’integrale donnent e ≈ 2, 7.
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Des calculs numeriques d’integrale donnent e ≈ 2, 7.
e > 2 : tres facile. Tu l’as ?
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Des calculs numeriques d’integrale donnent e ≈ 2, 7.
e < 3 : moins facile. Tu l’as ?
1
4× 4
5+
1
4× 3
2+
3
2× 1
3=
43
40
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Des calculs numeriques d’integrale donnent e ≈ 2, 7.
e < 3 : moins facile. Tu l’as ?
1
4× 4
5+
1
4× 3
2+
3
2× 1
3=
43
40
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Des calculs numeriques d’integrale donnent e ≈ 2, 7.
Augmente le nombre de rectangles et tu auras autant de decimalesque tu veux. C’est une methode tres inefficace pour calculer e.
Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
Notation
ex a deja un sens pour x ∈ Z (et meme pour x ∈ Q) et ce quiprecede montre que, pour ces x , on a ex = exp(x).
Gagnons de la place et notons desormais ex = exp(x), y comprispour x ∈ R \Q.
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Notation
ex a deja un sens pour x ∈ Z (et meme pour x ∈ Q) et ce quiprecede montre que, pour ces x , on a ex = exp(x).
Gagnons de la place et notons desormais ex = exp(x), y comprispour x ∈ R \Q.
Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
PlanEtude d’une fonction
Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite
BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes
Fonctions polynomialesFonctions rationnelles
Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees
Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques
Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
Inegalites a savoir
1. ∀x ∈ R, ex ≥ x + 1 ;
2. ∀x ∈]0,+∞[, ln(x) ≤ x − 1 ;
3. ∀x ∈]0,+∞[, ln(x) ≤√x .
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Croissances comparees (1)
1. limx→+∞
ln(x)
x= 0
2. limx→+∞
ex
x= 0
3. limx→0+
x ln(x) = 0
4. limx→−∞
xex = 0
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Croissances comparees (2)
Pour tout entier n ≥ 1 et tout polynome P :
1. limx→+∞
ln(x)n√x
= 0
2. limx→+∞
ex
xn= 0
3. limx→+∞
ex
P(x)= 0
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PlanEtude d’une fonction
Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite
BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes
Fonctions polynomialesFonctions rationnelles
Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees
Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques
Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
Exponentiation
Pour a > 0 et b ∈ Q on a ab = eb ln(a).
Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
Exponentiation
Pour a > 0 et b ∈ R on pose ab = eb ln(a).
(Meme principe que pour ex en lieu et place de exp(x).)
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Exponentiation
Grace a l’equation fonctionnelle de exp, on voit qu’on garde lesproprietes des puissances cheres a nos cœurs.
Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
On fait quoi avec ca ?
On obtient une fonction :
1. En fixant b et en faisant ”bouger a” : x 7→ xα.
2. En fixant a et en faisant ”bouger b” : x 7→ ax .
3. En bougeant dans tous les sens : x 7→ u(x)v(x).
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On fait quoi avec ca ?
On obtient une fonction :
1. En fixant b et en faisant ”bouger a” : x 7→ xα.
2. En fixant a et en faisant ”bouger b” : x 7→ ax .
3. En bougeant dans tous les sens : x 7→ u(x)v(x).
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On fait quoi avec ca ?
On obtient une fonction :
1. En fixant b et en faisant ”bouger a” : x 7→ xα.
2. En fixant a et en faisant ”bouger b” : x 7→ ax .
3. En bougeant dans tous les sens : x 7→ u(x)v(x).
Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
Fonction puissance reelle
x 7→ xα, α ∈ R.
Domaine de definition ? Proprietes ? Derivee ? Graphes ?
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Fonction puissance reelle
x 7→ xα, α ∈ R.
Domaine de definition ?
Proprietes ? Derivee ? Graphes ?
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Fonction puissance reelle
x 7→ xα, α ∈ R.
Domaine de definition ? Proprietes ?
Derivee ? Graphes ?
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Fonction puissance reelle
x 7→ xα, α ∈ R.
Domaine de definition ? Proprietes ? Derivee ?
Graphes ?
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Fonction puissance reelle
x 7→ xα, α ∈ R.
Domaine de definition ? Proprietes ? Derivee ? Graphes ?
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Fonction exponentielle de base a
x 7→ ax , a ∈ R∗+.
Exemple : x 7→ 10x .
Domaine de definition ? Derivee ? Graphe ?
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Fonction exponentielle de base a
x 7→ ax , a ∈ R∗+.
Exemple :
x 7→ 10x .
Domaine de definition ? Derivee ? Graphe ?
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Fonction exponentielle de base a
x 7→ ax , a ∈ R∗+.
Exemple : x 7→ 10x .
Domaine de definition ? Derivee ? Graphe ?
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Fonction exponentielle de base a
x 7→ ax , a ∈ R∗+.
Exemple : x 7→ 10x .
Domaine de definition ?
Derivee ? Graphe ?
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Fonction exponentielle de base a
x 7→ ax , a ∈ R∗+.
Exemple : x 7→ 10x .
Domaine de definition ? Derivee ?
Graphe ?
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Fonction exponentielle de base a
x 7→ ax , a ∈ R∗+.
Exemple : x 7→ 10x .
Domaine de definition ? Derivee ? Graphe ?
Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
Logarithme de base a
loga = x 7→ ln(x)
ln(a), a ∈ R∗+.
C’est la fonction reciproque de x 7→ ax !
Exemple : log = log10.
L’etude est gratuite car le graphe s’obtient par
dilatation/contraction de rapport1
ln(a)a partir de Cln.
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Logarithme de base a
loga = x 7→ ln(x)
ln(a), a ∈ R∗+.
C’est la fonction reciproque de x 7→ ax !
Exemple :
log = log10.
L’etude est gratuite car le graphe s’obtient par
dilatation/contraction de rapport1
ln(a)a partir de Cln.
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Logarithme de base a
loga = x 7→ ln(x)
ln(a), a ∈ R∗+.
C’est la fonction reciproque de x 7→ ax !
Exemple : log = log10.
L’etude est gratuite car le graphe s’obtient par
dilatation/contraction de rapport1
ln(a)a partir de Cln.
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Logarithme de base a
loga = x 7→ ln(x)
ln(a), a ∈ R∗+.
C’est la fonction reciproque de x 7→ ax !
Exemple : log = log10.
L’etude est gratuite car le graphe s’obtient par
dilatation/contraction de rapport1
ln(a)a partir de Cln.
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Logarithme de base a
loga = x 7→ ln(x)
ln(a), a ∈ R∗+.
C’est la fonction reciproque de x 7→ ax !
Exemple : log = log10.
L’etude est gratuite car le graphe s’obtient par
dilatation/contraction de rapport1
ln(a)a partir de Cln.
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Croissances comparees (3)
1. limx→+∞
loga(x)
xα=?
2. limx→+∞
ax
xα=?
Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
f = x 7→ u(x)v(x)
Df ?
f ′ ?
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f = x 7→ u(x)v(x)
Df ?
f ′ ?
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Exemple
Pas mechant : etudions x 7→ xx
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PlanEtude d’une fonction
Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite
BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes
Fonctions polynomialesFonctions rationnelles
Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees
Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques
Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
On se concentre sur
cos : R→ R
sin : R→ R
tan : Dtan → R
ou Dtan =
R \{π
2+ kπ, k ∈ Z
}=⋃k∈Z
]−π
2+ kπ,
π
2+ kπ
[
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On se concentre sur
cos : R→ R
sin : R→ R
tan : Dtan → R
ou Dtan = R \{π
2+ kπ, k ∈ Z
}=⋃k∈Z
]−π
2+ kπ,
π
2+ kπ
[
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Rappel
limx→0
sin(x)
x= 1
Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
Theoreme
cos′ = −sin
sin′ = +cos
”Deriver, c’est tourner dans le sens horaire.”
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Theoreme
cos′ = −sin
sin′ = +cos
”Deriver, c’est tourner dans le sens horaire.”
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Theoreme
tan′ = 1 + tan2 =1
cos2
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Graphes
Connus...
?
Remarque : Csin traverse sa tangente a l’origine.
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Graphes
Connus... ?
Remarque : Csin traverse sa tangente a l’origine.
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Graphes
Connus... ?
Remarque : Csin traverse sa tangente a l’origine.
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PlanEtude d’une fonction
Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite
BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes
Fonctions polynomialesFonctions rationnelles
Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees
Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques
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Rappel
1. arccos est la fonction reciproque de
cos|[−1,1]
|[0,π].
2. arcsin est la fonction reciproque de sin|[−1,1]
|[−π2 ,π2 ]
.
3. arctan est la fonction reciproque de tan|]−π2 ,
π2 [
.
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Rappel
1. arccos est la fonction reciproque de cos|[−1,1]
|[0,π].
2. arcsin est la fonction reciproque de sin|[−1,1]
|[−π2 ,π2 ]
.
3. arctan est la fonction reciproque de tan|]−π2 ,
π2 [
.
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Rappel
1. arccos est la fonction reciproque de cos|[−1,1]
|[0,π].
2. arcsin est la fonction reciproque de sin|[−1,1]
|[−π2 ,π2 ]
.
3. arctan est la fonction reciproque de tan|]−π2 ,
π2 [
.
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Graphes
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Attention
arccos et arcsin ne sont pasderivables en ±1.
Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
Lemme
Soit x ∈ [−1, 1].
1. sin(arccos(x)) =
√1− x2
2. cos(arcsin(x)) =√
1− x2
Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
Lemme
Soit x ∈ [−1, 1].
1. sin(arccos(x)) =√
1− x2
2. cos(arcsin(x)) =√
1− x2
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Lemme
Soit x ∈ [−1, 1].
1. sin(arccos(x)) =√
1− x2
2. cos(arcsin(x)) =
√1− x2
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Lemme
Soit x ∈ [−1, 1].
1. sin(arccos(x)) =√
1− x2
2. cos(arcsin(x)) =√
1− x2
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Theoreme
arccos′ = x 7→ −1√1− x2
arcsin′ = x 7→ +1√1− x2
arctan′ = x 7→ 1
1 + x2
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On retrouve
∀x ∈]− 1, 1[, arcsin(x) + arccos(x) =
π
2
∀x 6= 0, arctan(x) + arctan
(1
x
)= sg(x)
π
2
Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
On retrouve
∀x ∈]− 1, 1[, arcsin(x) + arccos(x) =π
2
∀x 6= 0, arctan(x) + arctan
(1
x
)= sg(x)
π
2
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On retrouve
∀x ∈]− 1, 1[, arcsin(x) + arccos(x) =π
2
∀x 6= 0, arctan(x) + arctan
(1
x
)=
sg(x)π
2
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On retrouve
∀x ∈]− 1, 1[, arcsin(x) + arccos(x) =π
2
∀x 6= 0, arctan(x) + arctan
(1
x
)= sg(x)
π
2
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PlanEtude d’une fonction
Plan d’etudeDevissageReduction du domaine d’etude.Prolongement par continuite
BestiaireValeur absolue. Signe.Fonctions puissances (entieres)Racines niemes
Fonctions polynomialesFonctions rationnelles
Exponentielle, logarithme et applicationsFonction exponentielleFonction logarithme neperienLe miracleInegalites classiquesAutres fonctions associees
Fonctions trigonometriques et assimileesFonctions trigonometriquesFonctions trigonometriques reciproquesFonctions trigonometriques hyperboliques
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Rappel
Toute fonction f : R→ R a une partie paire et une partie impaire.
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Definition
On appelle cosinus hyperbolique ch la partie paire de exp.
On appelle sinus hyperbolique sh la partie impaire de exp.
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Definition
On appelle cosinus hyperbolique ch la partie paire de exp.
On appelle sinus hyperbolique sh la partie impaire de exp.
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Definition
Reformulation :
ch(x) =ex + e−x
2
sh(x) =ex − e−x
2
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Definition
Reformulation :
ch(x) =ex + e−x
2
sh(x) =ex − e−x
2
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Definition
Analogue a :
cos(x) =eix + e−ix
2
sin(x) =eix − e−ix
2i
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Pourquoi ”hyperbolique” ?
Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
Definition
Tangente hyperbolique : th =sh
ch.
(Analogue a : tan =sin
cos.)
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Definition
Tangente hyperbolique : th =sh
ch.
(Analogue a : tan =sin
cos.)
Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
Proprietes immediates
1. ∀x ∈ R, ch(x) + sh(x) =
ex ;
2. ∀x ∈ R, ch(x)− sh(x) = e−x ;
3. ∀x ∈ R, ch2(x)− sh2(x) = 1.
Ce sont les seules formules de trigonometrie hyperbolique”exigibles”.
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Proprietes immediates
1. ∀x ∈ R, ch(x) + sh(x) = ex ;
2. ∀x ∈ R, ch(x)− sh(x) =
e−x ;
3. ∀x ∈ R, ch2(x)− sh2(x) = 1.
Ce sont les seules formules de trigonometrie hyperbolique”exigibles”.
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Proprietes immediates
1. ∀x ∈ R, ch(x) + sh(x) = ex ;
2. ∀x ∈ R, ch(x)− sh(x) = e−x ;
3. ∀x ∈ R, ch2(x)− sh2(x) =
1.
Ce sont les seules formules de trigonometrie hyperbolique”exigibles”.
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Proprietes immediates
1. ∀x ∈ R, ch(x) + sh(x) = ex ;
2. ∀x ∈ R, ch(x)− sh(x) = e−x ;
3. ∀x ∈ R, ch2(x)− sh2(x) = 1.
Ce sont les seules formules de trigonometrie hyperbolique”exigibles”.
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Proprietes immediates
1. ∀x ∈ R, ch(x) + sh(x) = ex ;
2. ∀x ∈ R, ch(x)− sh(x) = e−x ;
3. ∀x ∈ R, ch2(x)− sh2(x) = 1.
Ce sont les seules formules de trigonometrie hyperbolique”exigibles”.
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Derivees
Tout est derivable sur R et :
1. ch′ = sh ;
2. sh′ = ch.
C’est drolement plus simple que la trigonometrie circulaire !
3. th′ =1
ch2= 1− th2.
Ah oui bon sauf pour la tangente alors.
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Derivees
Tout est derivable sur R et :
1. ch′ = sh ;
2. sh′ = ch.
C’est drolement plus simple que la trigonometrie circulaire !
3. th′ =1
ch2= 1− th2.
Ah oui bon sauf pour la tangente alors.
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Derivees
Tout est derivable sur R et :
1. ch′ = sh ;
2. sh′ = ch.
C’est drolement plus simple que la trigonometrie circulaire !
3. th′ =1
ch2= 1− th2.
Ah oui bon sauf pour la tangente alors.
Etude d’une fonction Bestiaire Exponentielle, logarithme et applications Fonctions trigonometriques et assimilees
Graphes
Remarque : Csh traverse sa tangente a l’origine.
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Graphes
Remarque : Csh traverse sa tangente a l’origine.
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Croissances comparees (4)
Pour tout reel α :
1. limx→+∞
ch(x)
xα= +∞
2. limx→+∞
sh(x)
xα= +∞
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