Download - Exemples Calculs Hydrauliques

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  • 1Exemples dapplication

    Sommaire de louvrage

    Partie A lments de mcanique des fluidesChapitre 1 Notions gnrales sur les fluidesChapitre 2 coulement des fluidesPartie B Dplacement des liquides et des mlangesChapitre 3 PompesChapitre 4 Installations jetChapitre 5 Transport pneumatique et hydraulique des solidesPartie C Dplacement des gazChapitre 6 VentilateursChapitre 7 CompresseursChapitre 8 Installations de videPartie D Tuyauterie et stockage des fluidesChapitre 9 Distribution et circulation des fluidesChapitre 10 Stockage des fluidesChapitre 11 Mesures des fluides

  • 2Exemples dapplication du chapitre 1Notions gnrales sur les fluides

    nonc 1.1Dterminer la densit de lair sous un vide de 440 mm Hg, 40 C.

    Solution 1.1Masse molculaire de lair (79 % azote et 21 % oxygne, en volume) :

    M = 0,79 28 + 0,21 32 = 28,8 kg/kmol

    Dans la relation 1.3, 0 = M/22,4 est la densit des gaz des conditions normales,ainsi, il vient aprs remplacement :

    = (M/22,4)273p/Tp0 = 28,8 273(760 440)/22,4 233 760

    = 0,615 kg/m3

    nonc 1.2Calculer la viscosit dune suspension dun solide en eau, obtenue dans unrcipient dans lequel, V = 10 m3 deau, on ajoute m = 1 000 kg de produit solide.Temprature de la suspension : T = 20 CDensit relative de la phase solide : d = 1,2

    Solution 1.2Volume de la phase solide :

    Vs = m/ = 1 000/1 200 = 0,833 m3

    Concentration volumique de la phase solide en suspension :

    = Vs/(V + Vs) = 0,077 m3/m3

    T = 20 C, la viscosit de leau est l = 1,0 103 Pa.s. La relation 1.10 permetde dterminer la viscosit de la suspension :

    s = l(1 + 2,5) = 1,0 103(1 + 2,5 0,077)

    s = 1,19 1,0 103 Pa.sLa mme viscosit calcule avec la relation 1.11 conduit la valeur :

    s = l[0,59/(0,77 )2] = 1,0 103 0,59/(0,77 0,077)2

  • 3s = 1,23 103 Pa.s

    nonc 1.3De lazote se trouve dans un rcipient de 2,0 m3. La pression est de 23,5 bar et latemprature de 128 C. Calculer la masse dazote contenue dans le rcipient etcomparer le rsultat avec la valeur obtenue avec la relation du gaz parfait.

    Solution 1.3Le tableau 1.2 indique pour lazote la paire Tcr = 147,13 C et pcr = 33,92 bar. Onpeut dterminer ensuite la pression et la temprature rduites :

    pr = p/pcr = 23,5/33,92 = 0,7

    Tcr = T/Tcr = (273,15 128)/(273,15 147,13) = 1,15Un coup dil sur labaque (voir figure 1.2) nous permet de trouver pour lefacteur de compressibilit : Z = 0,8.En appliquant la relation 1.15, on trouve :

    m = MpV/ZRT = 28 103 23,5 105 2,0/0,8 8,314 145o M = 28 g/mol est la masse molaire de lazote.

    m = 136,5 kgSi lon avait calcul la masse de lazote laide de la relation du gaz parfait, onaurait :

    m* = Zm = 0,8 136,5 = 109,1 kgsoit un cart de 20 %.

    nonc 1.4Un manomtre form par un tube en U un seul liquide, du mercure, est reli pardeux points une canalisation horizontale transportant du gaz. La diffrence deniveau z du mercure dans le tube est de 25 mm.Calculer la diffrence de pression entre les deux points, si par la canalisationpasse :a) de leau ;b) de lair 20 C et la pression atmosphrique.

    Solution 1.4Puisque la pression dans un mme fluide doit tre gale en tout point dun planhorizontal (figure Ex.1, plan a-a), on crit lgalit :

    p1 + z1g = 2 + z2g + zmang

  • 4On obtient aprs remplacement de z2 par (z1 z) :p1 p2 = z(man )g

    relation dans laquelle est la densit du fluide passant dans la canalisation, ycompris dans les deux branches, et man la densit du liquide dans le tubemanomtrique.Dans les conditions nonces z = 25 mm et man = 13 600 kg/m3, on dduit :a) pour leau, avec = 1 000 kg/m3 :

    p1 p2 = 0,025(13 600 1 000)9,81 = 3 090 Pab) pour lair 20 C :

    = 29 273/22,4 293 = 1,2 kg/m3

    p1 p2 = 0,025(13 600 1,2)9,81 = 3 335 PaDans cette ultime galit il rsulte que, pour lappareil fonctionnant en manomtrediffrentiel un seul liquide, on peut ngliger la correction pour la densit du gaz(

  • 5Solution 2.1Lenthalpie spcifique de leau 86 C peut tre, soit lue dans les tables devapeur, soit dtermine par le calcul (transformation pression constante) :

    h1 = cp(T2 T1) = 4 190(86 0) = 360 103 J/kgavec cp = 4 190 J/kgK, la chaleur spcifique de leau.La masse volumique de leau T1 tant 1 = 1/v1 = 1/0,0010325 = 968,5 kg/m3, onobtient pour le dbit massique la valeur G = Gv = 0,01033 968,5 = 10 kg/s(avec v1 volume massique donn par les tables et Gv = 37,2/3 600 = 0,01033 m3/s).Travail massique communiqu par la pompe lunit de masse de liquide :

    W = Ea/G = 8,2 103/10 = 0,82 103 J/kg

    Chaleur cde par leau dans lchangeur de chaleur :

    Q = 1 500/G = 1 500/10 = 150 103 J/kgLe signe moins signifie que lnergie a t enleve au systme.En substituant ce rsultat dans lquation 2.9 et en ngligeant la variationdnergie cintique due la vitesse dcoulement de leau entre les deux points,on a :

    h2 360 103 + 9,8(20 0) = 150 103 + 0,82 103

    On obtient lenthalpie de leau au point 2 :

    h2 = 210,62 103 J/kg

    ce qui donne :

    T2 = h2/cp = 210,62 103/4 190 = 50,2 C

  • 6nonc 2.2Un liquide ayant les caractristiques de leau T = 20 C scoule librement pargravitation, travers une conduite d = 25 mm, dun rservoir vers un appareil deproduction. La diffrence de niveau entre les deux appareils qui respirent latmosphre est z = 3,0 m. La longueur totale de la conduite, sur laquelle sontmonts deux coudes 90 et un robinet, est L = 8,0 m. Densit du liquide : = 998 kg/m3Calculer le dbit de liquide scoulant dans la conduite si le robinet estcompltement ouvert.

    Figure Ex.2 Illustration de lnonc 2.2.

    Solution 2.2Lquation de Bernoulli applique entre le niveau du liquide dans le rservoir(point 1) et le bout de la conduite lentre dans le racteur (point 2) permetdcrire (figure Ex.2) :

    z1 + w1_/2g + p1/g = z2 + w2_/2g + p2/g + ht (1)tant donn que p1 = p2 et w2 >> w1, lquation (1) devient :

    z1 z2 = w2_/2g + hf + hsou encore :

    zg = (w2_/2)[1 + (L/d) + ] (2)o hs est la perte de charge dans les singularits et hf la perte de charge parfrottement dans la conduite.Pour un liquide tel que leau, une temprature ordinaire, et pour un nombre deReynolds allant jusqu 100 000, ce qui est notre cas, on adopte un coefficient defrottement = 0,025.La somme des coefficients de rsistance locale aboutit aux valeurs :

  • 7Robinet 2,0Entre dans la conduite 0,5Coude 2 1,1 = 2,2Total = 4,7Ainsi, en portant les valeurs numriques dans lquation (2), on obtient :

    3 998 9,81 = 998(w2_/2)[1 + 0,025(8/0,025) + 4,7]do :

    w2_ = 58,86/13,7 = 4,3

    w2 = 2,07 m/sLe dbit maximal de liquide, avec un robinet totalement ouvert, sera :

    Gv = (pid_/4)w2 = (pi 0,025_/4) 2,07 = 4,0 10 m3/s

    Gv = 3,6 m3/h

    nonc 2.3On doit transporter, avec une conduite en acier de diamtre intrieur d1 = 250 mm,un dbit Gv = 0,736 m3/s dair dont la temprature est T = 20 C. un point 2, la conduite prsente une modification de diamtre (vasement), lesnouvelles caractristiques tant d2, w2 et p2.Densit de lair 20 C : = 1,2 kg/m3Viscosit dynamique de lair 20 C : = 18,1 106 N.s/m2a) Calculer le coefficient de frottement .b) Calculer le diamtre d2 en sachant que (p1 p2) = w2(w2 w1), afin que lachute de pression due au frottement ne dpasse pas pf = 50 N/m2.

    Solution 2.3a) Pour lcoulement en rgime turbulent, on peut employer la relation deBlasius :

    = 0,316/Re1/4 = 0,316/(w1d1/)1/4

    En explicitant la vitesse dans lexpression du dbit, on a :

    w1 = 4G1/pid1_

    Il vient aprs remplacement de w1 dans lexpression du coefficient de frottement :

    = 0,316/(4Gv/d1pi)1/4

    do, avec les valeurs numriques :

    = 0,316/[4 0,736 1,2/0,25 1,81 106 pi]1/4

  • 8 = 0,014b) Lquation de Bernoulli applique entre les points 1 et 2 scrit sous la forme :

    p1 + w12/2 = p2 + w22/2 + pfdo on tire pour la perte de charge :

    pf = (p1 p2) + (w12 w22)/2 (1)En introduisant la valeur de (p1 p2) en (1), on dduit :

    pf = [2w2(w2 w1) + w12 w22]/2 = (w1 w2)2/2 (2)Enfin, pour les points 1 et 2, lquation de continuit permet dcrire :

    w2 = w1(A1/A2)Ainsi lexpression (2) devient :

    pf = w12[1 (A1/A2)]2/2 = w12[1 (d1/d2)2]2/2 (3)Puisque la valeur maximale admise pour pf est 50 N/m2, on trouve, partir de(3), le diamtre d2 :

    d2 = d1/[1 (2pf/w12)1/2]1/2 = 0,25/[1 (2 50/152 1,2)]

    d2 = 0,40 m

    w1 = 4Gv/(pid12) = 4 0,736/(pi 0,252) = 15 m/s

    nonc 2.4De lair T = 20 C scoule travers une conduite de longueur L = 5 000 m et dediamtre intrieur d = 150 mm.Dbit volumique de lair : Q = 0,15 m3/sLa conduite dbouche la pression p2 = 1,2 bar.Calculer la pression de lair au dpart afin de maintenir le dbit constant.

    Solution 2.4La diffrence de pression entre les deux points reprsente la chute de pression dueau frottement. Dans ces conditions, lquation scrit :

    p1 p2 = (L/d)(q/A)2vm la pression atmosphrique et 20 C, la densit de lair est = 1,205 kg/m3. Ledbit masse dair devient :

    q = Q = 0,15 1,205 = 0,18 kg/sSection de la conduite dcoulement :

    A = pid2/4 = pi(0,15)2/2 = 0,0176 m2

  • 9Do la vitesse moyenne :

    w = Q/A = 0,15/0,0176 = 8,52 m/sLe dbit masse surfacique aura la valeur :

    qA = q/A = 0,18/0,0176 = 10,227 kg/m2.sAvec = 0,0181 103 la viscosit de lair T = 20 C, on calcule le nombre deReynolds :

    Re = dw/ = 1,205 0,15 8,52/0,0181 103 = 85 000En supposant que la rugosit absolue /d = 0,001, on trouve laide dudiagramme de Moody un coefficient de frottement = 0,023.Le volume massique de lair la pression p2 sera :

    v2 = (22,4/29)(293/273)(1/1,2) = 0,690 m3/kgalors que le mme volume la pression p1 scrit :

    v1 = (22,4/29)(293/273)(1/p1) = 0,829/p1 m3/kgce qui nous permet de calculer le volume moyen :

    vm = (v1 + v2)/2 = [0,690 + (0,829/p1)]/2 = (0,690p1 + 0,829)/2p1Il vient aprs remplacement des valeurs numriques dans la relation de la perte decharge :

    p1 120 103 = 0,0023(5 000/0,15)(10,227)2(0,690p1 + 0,829)/2p1En regroupant, on aboutit lquation :

    p12 147 936p1 11 700 = 0dont la solution est :

    p1 = 148 000Cela signifie que, pour garder le dbit constant, la pression de lair sonadmission dans la conduite doit avoir, au moins, la valeur :

    p1 = 1,48 bar

    nonc 2.5Un dbit Q (en m3/s) de gaz chauds circule dans une canalisation de diamtre d(en m). Les gaz ont une densit = 0,82 kg/m3 et la viscosit = 1,23 105 kg/m.s.tablir une relation qui exprime le coefficient de frottement en fonction du dbitet du diamtre de la canalisation.

    Solution 2.5

  • 10

    Comme il sagit dun coulement en rgime turbulent, on peut utiliser la relationde Blasius, pour exprimer le coefficient de frottement. Ainsi :

    = 0,316/Re0,25 = 0,316/(wd/)0,25

    Or Q = (pid2/4)w donc w = 4Q/pid2Il rsulte aprs le remplacement de w dans lexpression de :

    = 0,316/(4Q/pid)0,25

    ou encore, aprs avoir introduit les valeurs de la densit et de la viscosit :

    = 0,018(d/Q)0,25

    nonc 2.6Un mlange deau et dair scoule, une temprature T = 50 C, travers uneconduite dont le diamtre intrieur d = 40 mm.Dbit masse de leau : G = 0,08 kg/sDbit masse de lair : qm = 0,024 kg/sLes caractristiques physiques des fluides T = 50 C sont :

    - densit de leau w = 998,1 kg/m3- tension superficielle de leau w = 0,0677 N/m (J/m2)- viscosit de leau w = 0,55 mPa.s- densit de lair a = 1,093 kg/m3

    a) Calculer, laide du diagramme de Backer, le rgime dcoulement biphasique.b) Vrifier si lcoulement est accompagn dun phnomne drosion.

    Solution 2.6a) Le dbit masse par unit de surface sera :eau GA = 4G/pid2 = 4 0,08/pi(0,04)2 = 63,7 kg/s.m2air qmA = 4Ga/pid2 = 4 0,024/pi(0,04)2 = 19,1 kg/s.m2Les coefficients caractrisant les fluides sexpriment par les relations :

    k1 = 2,11 106[a1/2w7/6/w1/3w]k1 = 2,11 106[1,0931/2 998,17/6/(0,55 103)1/3 0,0677] = 1,245

    k2 = 34,65/(aw)1/2 = 34,65/(1,093 998,1)1/2 = 1,05La lecture du diagramme logarithmique de Backer nous donne les valeurs :

    qmAk2 = 19,1 1,05 = 20,05 kg/s.m2

    (GA/qmA)k1 = (63,7/19,1) 1,245 = 4,152Le point dintersection de ces deux valeurs indique un coulement de typeannulaire.

  • 11

    b) Une indication sur lapparition du phnomne drosion est donne parlquation :

    mwm2 = 15 000o la densit moyenne :

    m = (GA + qmA)/[(GA/w) + (qmA/m)] (2.87)et la vitesse moyenne :

    wm = ww + wa (2.88)En introduisant les valeurs numriques, on obtient :

    m = (63,7 + 19,1)/[(63,7/998,1) + (19 1/1,093)] = 4,72 kg/m3

    wm = ww + wa = (GA/m) + (qmA/m) = [(63,7/998,1) + (19 1/1,093)]

    wm = 17,54 m/sce qui permet de vrifier la condition :

    mwm2 = 4,72 (17,54)2 = 1 452La valeur dtermine est beaucoup trop petite pour quil y ait un problmequelconque drosion.

    Exemples dapplication du chapitre 3Pompes

    nonc 3.1Une pompe piston double effet transporte un dbit-volume deauGv = 22,5 m3/h.Diamtre du piston : D = 125 mmDiamtre de la tige : D1 = 35 mmRayon de la manivelle : R = 136 mmVitesse de rotation : N = 62 tr/minCalculer le coefficient de dbit (rendement volumique) de la pompe.

    Solution 3.1Le volume deau dplac par le piston une rotation de manivelle sera :

    V = (2A A1)L = (pi/4)(2D2 D12)2Rrelation dans laquelle A et A1 sont respectivement laire de la section du piston etde la tige (en m) ; L = 2R signifie que la course du piston est gale au double durayon de la manivelle (en m).

  • 12

    En introduisant les valeurs numriques on obtient :

    V = (pi/4)[2 (0,125)2 (0,035)2]2 0,136

    V = 0,0064 m3

    Le dbit thorique de la pompe la vitesse de rotation n = 62 tr/min devient :

    Gv,th = NV = 62 0,0064 = 0,397 m3/min

    Gv,th = 0,397 60 = 23,85 m3/hDs lors, on trouve facilement le coefficient de dbit :

    v = Gv/Gv,th = 22,5/23,85

    v = 0,94

    nonc 3.2Une pompe piston simple effet transporte un dbit-volume deau Gv dunrservoir o la pression p1 = 1 bar vers un appareil de production o p2 = 3 bar.Pour une vitesse de leau w = 1,4 m/s dans une conduite de diamtre d = 80 mm,les pertes de charge sont estimes hf = 10 m. Lappareil est situ une hauteurz = 20 m.Rendement volumtrique : v = 0,85Donnes constructives de la pompe :

    - diamtre du piston D = 150 mm- course du piston L = 200 mm

    a) Calculer la vitesse de rotation de la pompe.b) Calculer la puissance ncessaire la pompe avec les donnes suivantes :

    - rendement mcanique : m = 0,95- rendement hydraulique : h = 0,90

    Solution 3.2a) En utilisant lexpression du dbit pour les pompes piston, on peut crire :

    N = Gv60/vALLe dbit deau calcul avec lquation du dbit sera :

    Gv = w(pid2/4) = 1,4(pi 0,082/4) = 0,007 m3/sLaire de la section du piston est gale :

    A = (piD2/4) = (pi 0,152/4) = 0,017 m2

    En portant les valeurs numriques dans la relation donnant la vitesse de rotation,on en dduit :

  • 13

    N = 0,007 60/0,85 0,017 0,2

    N 150 tr/minb) La hauteur dlvation de la pompe ou la hauteur totale se dtermine enappliquant lquation de Bernoulli et en considrant w1 = w2 :

    Zm = p/g + z + hf = (3 1) 105/1 000 9,81 + 20 + 10

    Zm = 50,4 mDo la puissance du moteur ncessaire larbre de la pompe :

    Ea = GvgZm/1 000t = 0,007 1 000 9,81 50,4/1 000 0,855

    Ea = 4,0 kWLe rendement total est :

    t = mh = 0,95 0,90 = 0,855

    nonc 3.3La vitesse de rotation dune pompe volumtrique engrenages simples estN = 480 tr/min. Les dents, en nombre z = 12, ont une largeur b = 42 mm.La surface de la section dune dent, limite par le primtre extrieur de la rouevoisine, est S = 960 mm2. La pompe doit transporter un dbit deauGv = 0,4 m3/min.Calculer le coefficient de dbit de la pompe.

    Solution 3.3Le dbit volume de la pompe engrenages simples sobtient avec la relation :

    Gv = v(2SbzN/60)dans laquelle v est le coefficient de dbit.Le dbit thorique deau transfr par la pompe sera (v = 1,0) :

    Gv,th = 2 0,96 103 0,042 12 480/60

    Gv,th = 7,74 103 m3/s

    Le dbit rel ou effectif donn par lnonc est Gv = 0,4/60 = 6,66 103 m3/sDs lors, on obtient le coefficient de dbit :

    v = Gv/Gv,th = 6,66 103/7,74 103

    v = 0,86

  • 14

    nonc 3.4Soit une pompe centrifuge dont les caractristiques pour une vitesse de rotationN = 2 500 tr/min sont reprsentes sur la figure Ex.3. La pompe transvase de leauentre deux appareils distants dune longueur L = 20 m et dune hauteur z = 10 m.

    Figure Ex.3 Illustration pour les noncs 3.4 et 3.6.

    Diamtre intrieur des tubulures : d = 40 mmLongueur quivalente due aux pertes de charge singulires : hf = 80 mRendement lectrique du moteur : el = 0,95Rendement de transmission : tr = 0,9Les deux appareils respirent la pression atmosphrique.a) Calculer le dbit-volume de la pompe.b) Calculer la puissance sur larbre de la pompe.

    Solution 3.4a) Lapplication de lquation de Bernoulli se rapportant aux fluides rels uncircuit contenant une pompe conduit la relation :

  • 15

    Zm = (z2 z1) + (w22 w12)/2g + (p2 p1)/g + hfEt en tenant compte de lnonc du problme, on peut faire les deux hypothsesp1 = p2 et (w22 w12), ngliger par rapport hf. Ainsi la relation de Bernoulli serduit :

    Zm = 10 + hfIl sensuit que la perte de charge sur la conduite reliant les deux appareils est unefonction du dbit Gv et de la hauteur manomtrique Zm fournir par la pompe.Le calcul de hf se fait avec la formule classique :

    hf = (L/d)w2/2gEn supposant lcoulement turbulent et les conduites neuves, on utiliselexpression de Blasius pour dterminer le coefficient de frottement :

    = 0,3164/Re0,25 = 0,3164/(wd/)0,25

    que lon introduit dans lquation de hf :

    hf = 0,0161(/)0,25(w)1,75L/(d)1,25

    En exprimant la vitesse par lquation de dbit, il vient, aprs remplacement desvaleurs disponibles :

    - d = 0,040 mm- L = 20 + 80 = 100 m- = 1 000 kg/m3- = 1,0 mPa.s- hf = 0,0161(/)0,25(4Gv/pid2)1,75L/(d)1,25- hf = 344,4 103Gv1,75

    Ds lors, la hauteur manomtrique devient :

    Zm = 10 + 344,4 103Gv1,75

    En divisant Gv par 3 600 (les courbes caractristiques de la pompe sont exprimesen m3/h), on en dduit :

    Zm = 10 + 0,2058Gv1,75

    La courbe que lon peut construire avec cette quation coupe la courbecaractristique, pour N = 2 500 tr/min, au point F, dfini par Zm = 38,4 m etGv = 16,7 m3/hDisposant de la valeur du dbit, on peut vrifier les hypothses admises :

    - nombre de Reynolds :

    Re = 3,7 0,04 1 000/103 = 148 000 coulement turbulent

    - hauteur dynamique :

    w2/2g = (3,7)2/2 9,81 = 0,7 m 2,5 % acceptableavec w = (Gv/3 600)/(4/pi0,042) = 3,7 m/s

  • 16

    b) Le calcul numrique de la puissance sur larbre de la pompe seffectue avec larelation :

    Ea = GvgZm/g = (16,7/3 600) 1 000 9,81 38,4/0,65

    Ea = 2 689 Wdans laquelle, le rendement global est donn par :

    g = eltrt = 0,95 0,9 0,76 = 0,65La valeur du rendement total se rapportant au point F est lue sur la courbecaractristique de la pompe.Avec une rserve de puissance de 1 kW, on va choisir un moteur de 3,75 kW,voire mme 4 kW.

    nonc 3.5Une pompe centrifuge transporte de leau T = 20 C, entre deux points(rservoir-appareil) distancs de L = 125 m (y compris la dnivellationz = 25 m), travers une conduite de diamtre d = 100 mm.Dbit vhicul : Gv = 0,008 m3/sDensit de leau 20 C : = 998 kg/m3Viscosit dynamique de leau 20 C : = 1,0 mPa.sRendement total de la pompe : t = 0,7a) Calculer les pertes de charge totales par friction.b) Calculer la puissance du moteur ncessaire la pompe.

    Solution 3.5a) Vitesse de leau dans la conduite :

    w = Gv/A0 = 0,008/0,00785 = 1,02 m/so A0 = pid2/4 = pi(0,1)2/4 = 0,00785 m2tant donn les caractristiques du fluide, lcoulement sera certainement de typeturbulent.Nombre de Reynolds :

    Re = wd/ = 0,1 1,02 998/1 103 = 101 700Les pertes de charge par friction, exprimes en J/kg, se composent :1. de pertes par contraction la sortie du rservoir :

    C1 = 0,55(1 A1/A0) = 0,55(1 0) = 0,55puisque la section du rservoir A1 >> A0 et o C1 est le coefficient de contraction.Do la perte de charge :

    F1 = C1w2/2 = 0,55 [(1,02)2/2] = 0,286 J/kg

  • 17

    2. de pertes dans la conduite droite :

    F2 = (L/d)(w2/2) = 0,02 125/0,1)[(1,02)2/2] = 13,005 J/kgo, pour Re = 100 000 et /d = 0,0004 sur le diagramme de Moody (voirfigure 2.7), on a un coefficient de frottement = 0,02.3. de pertes dans les coudes :

    F3 = 2C3(w2/2) = 2 0,75[(1,02)2/2] = 0,780 J/kg4. de pertes par friction lentre dans lappareil (orifice profilhydrodynamique) :

    C4 = (1 A0/A2)2 = 1,0avec F4 = C4w2/2 = 1,0 [(1,02)2/2] = 1,04 J/kgLes pertes totales reprsentent la somme des pertes numres :

    Ft = F = 0,286 + 13,005 + 0,780 + 1,04

    Ft = 15,111 J/kgb) Lnergie spcifique de pompage est obtenue partir de la relation :

    W = gz + F = 9,81 25 + 15,11 = 260,11 J/kgdans laquelle on a pos w1 = w2 et p1 = p2Lnergie spcifique effective vaut alors :

    Wef = W/t = 260,11/0,7 = 371,6 J/kgtant donn que le dbit masse G = Gv = 0,008 998 = 7,98 kg/s, on en dduitpour la puissance ncessaire larbre de la pompe :

    E = GWef = 7,98 371,6/1 000

    E = 2,96 kW

    nonc 3.6Une pompe centrifuge sert transvaser de leau vers un appareil situ z = 30 mplus haut que le plan de la pompe.Largeur de la conduite de refoulement : L = 100 mDiamtre intrieur de la conduite de refoulement : d = 50 mmRugosit relative de la paroi : /d = 0,002Calculer, laide de la courbe caractristique hauteur manomtrique/dbit (voirfigure Ex.3), le dbit deau arrivant lappareil si la vanne, sur la conduite aprsla pompe, est compltement ouverte.

    Solution 3.6

  • 18

    La puissance dveloppe par la pompe doit lever le dbit deau la hauteur z eten mme temps vaincre la perte de charge dans la conduite due au frottement.En ngligeant lnergie cintique, une quation de bilan entre les points 1 (pompe)et 2 (appareil) permet dcrire :

    gz + p/ = pf /ou encore :

    z + p/g = (L/d)w2/2gPuisque p = p2 p1 p1 et p/g = Zm, lquation de bilan devient :

    30 Zm = (300/0,05)w2/2 9,81 (1)tant donn que les valeurs de p1 et w sont inconnues, on doit procder par essais ;on donne une valeur fictive la vitesse de leau w et ensuite on vrifie lgalit(1).On fait un premier essai avec w = 1,5 m/s. Le dbit volume deau aura la valeur :

    Gv = wA0 3 600 = 1,5 (pi/4)0,052 3 600 = 1,5 1,96 103 3 600

    Gv = 10,6 m3/h laquelle correspond une hauteur manomtrique Zm = 43,0 m.Le nombre de Reynolds

    Re = wd/ = 1,5 0,05 1 000/1,0 103 = 75 000permet de dterminer le coefficient de frottement dans le diagramme de Moody ;pour /d = 0,002, on trouve = 0,026.En remplaant w et dans (1), on obtient :

    30 43,0 = 0,026(100/0,05)1,52/2 9,81

    soit 13,0 6,0

    La valeur prise pour la vitesse tant trop petite, on refait le calcul avecw = 2,0 m/s. Le dbit deau transporte devient :

    Gv = wA0 3 600 = 2,0 (pi/4)0,052 3 600 = 2,0 1,96 103 = 14,1 m3/hvaleur qui conduit une hauteur manomtrique Zm = 40,5 m.Le nombre de Reynolds vaut :

    Re = wd/ = 2,0 0,05 1 000/1,0 103 = 100 000Le diagramme de Moody nous donne, pour une rugosit /d = 0,002, uncoefficient de frottement = 0,0256.En portant ces valeurs dans (1), on a :

    30 40,5 = 0,0256(100/0,05)2,02/2 9,81

    soit 10,5 = 10,44

  • 19

    Les valeurs de lgalit tant trs proches, on peut accepter w = 2,0 m/s, ce quiconduit au dbit recherch :

    Gv = 14,1 m3/h

    nonc 3.7De leau de condensation, T = 90 C, doit tre pompe par une pompe centrifugedun collecteur ayant une respiration la pression atmosphrique (patm = 750 mmHg).La charge de liquide (NPSHp) ncessaire la tubulure daspiration de la pompedoit tre suprieure de 2,5 m la valeur de la tension de vapeur donne pour leau 90 C, afin dviter la cavitation.En admettant une perte de charge dans la conduite daspiration hf = 1,2 m et ensachant que la pompe se trouve situe z1 = 2,0 m sous le condenseur, calculer leniveau minimal de leau dans le condenseur ncessaire pour viter la cavitation(montage de la figure Ex.4).

    Figure Ex.4 Illustration pour lnonc 3.7.

    Solution 3.7En crivant une quation simplifie dnergie pour le systme (entre le niveau duliquide dans le collecteur et la pompe), on exprime la hauteur manomtrique decharge la tubulure daspiration par :

    Zm = p/g + z0 hf

  • 20

    La marge de scurit NPSHp (supplment minimal de pression) dont il faut tenircompte pour viter la cavitation est :

    NPSHp = Zm (pv/g) = (patm/g pv/g) + z0 hfavec patm = 750 mm Hg = 100 kN/m2 et pv = 611 mm Hg = 81,466 kN/m2 lapression de vapeur saturante T = 90 C.En introduisant les valeurs numriques, il vient :

    2,5 = (100 81,466)103/1 000 9,81 + z0 1,2do :

    z0 = 2,5 + 1,6 1,9 = 2,2 mOn en dduit le niveau minimal de liquide dans le collecteur :

    z = z0 z1 = 2,2 2,0

    z = 0,2 m

    nonc 3.8Afin daugmenter le dbit et/ou la pression dans ladduction deau, deux pompessont couples :

    - en srie, avec Zm1 = 25 m, Zm2 = 40 m, 1 = 0,70 et 2 = 0,75- en parallle, avec Gv1 = Gv2 = 25 m3/h, 1 = 0,70 et 2 = 0,75

    a) Calculer le rendement du couplage pour chaque type de montage.b) En supposant les pompes identiques (1,2 = 0,8), calculer leur rendement total.

    Solution 3.8a) Pour le couplage des pompes en srie, la hauteur manomtrique totale est gale la somme des hauteurs manomtriques de chaque pompe. On peut donc crire :

    Zmt = Zm1 + Zm2

    Gvt = Gv1 = Gv2

    Et = E1 + E2On calcule le rendement du montage :

    t = Eu/Et = gGvtZmt/[(gGv1Zm1/1) + (gGv2Zm2/2)]

    t = (25 + 40)/[(25/0,7) + (40/0,75)]

    t = 0,73Dans le cas dun couplage en parallle, le dbit de linstallation sera gal lasomme des dbits de chaque pompe. Cela nous permet dcrire :

  • 21

    Zmt = Zm1 = Zm2

    Gvt = Gv1 + Gv2

    Et = E1 + E2Le rendement total est dans ce cas :

    t = Eu/Et = gGvtZmt/[(gGv1Zm1/1) + (gGv2Zm2/2)]

    t = (25 + 25)/[(25/0,7) + (25/0,75)]

    t = 0,724b) Si les pompes sont identiques, 1 = 2 = 0,8. Le rendement total sera :

    - pour le montage en srie :

    t = (Zm1 + Zm2)/(Zm1 + Zm2)/1t = 1 = 0,8

    - pour le montage en parallle :

    t = (Gv1 + Gv2)/(Gv1 + Gv2)/1t = 1 = 0,8

    On remarque que, dans les deux situations, les rendements sont les mmes :

    t = 1 = 2

    nonc 3.9De leau est aspire dun puits avec une pompe air-lift. Le puits est profond deZt = 120 m et le niveau de leau se trouve Zp = 50 m de la surface.Dbit dair consomm Q = 5 m3/min, une pression de compression p2 = 7 bar.Compression isentropique avec = 1,4.Travail thorique effectif ralis par la pompe : Et = 21,6 kJ/sRendement de la pompe air-lift : p = 20 %a) Calculer le dbit deau que lon peut monter avec cette pompe si le diamtre dela conduite est d = 80 mm.b) Calculer la vitesse moyenne du mlange air-eau dans la conduite.

    Solution 3.9a) Lanalyse fait appel lexpression donnant le travail ncessaire pour unecompression de lair adiabatique :

    p1Q[/( 1)][(p2/p1)(/( 1) 1] = 1 105 0,083[(1,4/0,4)][(7/1)1,4/0,4 1]

  • 22

    = 21,6 kJ/so Q = 5 m3/min = 0,083 m3/sPuissance ncessaire pour cette compression : Et = 21,6 kJ/sNous obtenons la puissance utile de la pompe :

    Eu = 20Et/100 = 0,2 21,6 = 4,32 kW

    Le dbit deau lev la surface se calcule partir de la puissance utile Eu :

    G = Eu/Zpg = 4 320/50 9,81 = 8,81 kg/s

    Gv = 8,81 3 600/1 000

    Gv = 31,7 m3/hb) La vitesse moyenne dpend de la pression de lair dans la conduite. En tenantcompte de Zs = Zt Zp = 120 50 = 70 m, la pression la base du puits estconsidre comme tant Zs = 70 m CE, on trouve alors :

    p1 = Zsg = 70 1 000 9,81

    p1 = 686,7 kN/m2

    La pression la surface est la pression atmosphrique, donc p2 = 100 kN/m2La moyenne de pression est :

    pm = (p1 + p2)/2 = (686,7 + 100)/2 = 393,35 kN/m2Le volume spcifique de lair cette pression et 0 C sera :

    va = (22,4/29)(100/393,35) = 0,196 m3/kgDans des conditions standard, le volume spcifique de lair a une valeur de :

    Va0 = 22,4/29 = 0,772 m3/kgdo Q0 = 0,083/0,772 = 0,107 kg/sOn obtient les dbits dair et deau :

    - dbit-volume moyen de lair :

    Qm = Q0va = 0,107 0,196 = 0,02 m3/s- dbit-volume deau :

    Gvw = G/w = 8,81/1 000 = 0,0088 m3/s

    - dbit-volume total du mlange :

    Gm.mel = Qm + Gvw = 0,02 + 0,0088 = 0,0288 m3/sOn calcule la vitesse moyenne du mlange air-eau dans la conduite, avecA0 = pi(0,08)2/4 = 5,024 103 m2 :

    wm = Gv.mel/A0 = 0,0288/(pid2/4) = 0,0288/5,024 103

  • 23

    wm = 5,73 m/s

    nonc 3.10On sait que, dans une pompe et sur les conduites daspiration et de refoulement, ily a une dgradation de lnergie due aux pertes de charge diverses.En considrant un dbit deau transport par la pompe T = 20 C, on constateque, pour une hauteur dlvation effective z = 7 m et une augmentation depression de p1 = 1 bar p2 = 8 bar, la variation de la temprature de leau estT = 0,3 C.Calculer le rendement mcanique de la pompe.

    Solution 3.10Par unit de masse, le travail dpens afin daugmenter la pression du dbit deauau niveau prvu scrit :

    W = g[(p2 p1)/g + z]/m = 9,81[(8 1)/1 000 9,81 + 7]/mW = 786,6/m (1)

    Par ailleurs, daprs lquation 1.12 dans laquelle on considre lnergie caloriqueintroduite dans le systme Q = 0, on a :

    W = (h2 h1) + gzo W est le travail dentranement reu par larbre de la machine (en J/kg) et (h2 h1) la variation effective de lenthalpie de leau (en J/kg).tant donn que h2 h1 = cpT = 4 180 0,3 = 1 254 J/kg, on dduit le travailfourni larbre :

    W = 1 254 + (9,81 7) = 1 322,67 J/kgIl vient aprs lintroduction de cette valeur dans (1) :

    m = 786,6/1 322,67 = 0,6

    nonc 3.11Une pompe diaphragme dont la capacit dlivre chaque coup de piston estV = 10 dm3 fonctionne avec une vitesse de rotation N = 60 tr/min. Soit E = 6 kWla puissance moyenne communique au fluide.a) Calculer la pression diffrentielle fournie par la pompe en sachant que = 1,0.b) Calculer la prcision sur le dbit si la vitesse de rotation de laxedentranement varie de 2 tr/min.

    Solution 3.11

  • 24

    a) Le dbit de la pompe se dterminant avec Gv = V(N/60) = 0,01 (60/60) = 0,01 m3/s, on obtient la pression diffrentielle :

    p = E/Gv = 6 000/1 0,01 = 6 105 N/m2

    p = 6 barb) Le dbit tant proportionnel la vitesse de rotation, il sensuit quune variationde la vitesse de rotation implique une variation du dbit ; on obtient ainsi :

    N/N = Gv/Gvdo :

    Gv/Gv = (2/60) 100 = 3,33 %

    Gv = 0,033 0,01 = 0,33 103 m3/s

    Exemples dapplication du chapitre 4Installations jet

    nonc 4.1Un fluide gazeux ( = 1,3), qui entre dans un ajutage convergent-divergent latemprature T1 = 250 C, subit une dtente adiabatique de manire que, dans lasection de sortie, la pression soit p2 = 1,1 105 N/m2.a) Calculer la pression du gaz lentre dans lajutage, en sachant que la dtenteprovoque une baisse de temprature de 30 %.b) Calculer la vitesse du gaz sa sortie de lajutage.

    Solution 4.1a) Pour dterminer la pression p1, on part de la relation :

    (T2/T1) = (p2/p1)( 1)/

    que lon peut crire aussi sous la forme :

    (p2/p1) = (T2/T1)/( 1)

    Ainsi, on tire pour la pression de sortie :

    p2 = p1(T2/T1)/( 1)

    Avec les valeurs numriques T1 = 250 + 273 = 523 K et T2 = 0,7T1 + 273 = 0,7 250 + 273 = 448 K, on obtient :

    p1 = 1,1 105(523/448)1,3(1,3 1)

    p1 = 2,15 105 N/m2

  • 25

    b) En considrant que la vitesse w1 lentre de la tuyre est ngligeable parrapport w2, la relation 4.6 nous permet dcrire :

    w2 = {2(/ 1)p1v1[1 (p2/p1)( 1)/]}1/2 = {2(/ 1)RT1[1 (p2/p1)( 1)/]}1/2

    w2 = {2(1,3/1,3 1)287 523[1 (1,1 105/2,15 105)(1,3 1)/1,3]}1/2

    w2 = 431,7 m/s

    nonc 4.2Une tuyre de Laval a les caractristiques de construction et de fonctionnementsuivantes :

    - fluide : air parfait [ = 1,40]- dtente isentrope de p1 = 10 bar et T1 = 300 C p2 = 1 bar- dbit dair Q = 4 kg/s- angle douverture de la partie supersonique = 10- vitesse initiale nulle

    Calculer la longueur de la partie divergente de la tuyre :a) dans le cas o lcoulement se fait sans frottement dans la tuyre ;b) si lcoulement se fait avec frottement (coefficient de vitesse ).

    Figure Ex.5 Illustration pour lnonc 4.2.

    Solution 4.2a) La pression au col de la tuyre sera :

    pcr = p1[2/( + 1)](/ 1) = 10[2/(1,4 + 1)]1,4/1 0,4 = 10 0,5283

    pcr = 5,283 barDo la temprature critique :

  • 26

    Tcr = T1[2/( + 1)] = 527 [2/(1,4 + 1)] = 527 0,8333 = 477,5 KEt la vitesse de lair dans la section minimale :

    wcr = (rTcr)1/2 = (1,4 287,5 477,5)1/2 = 438 m/sLe volume spcifique de lair aux conditions critiques aura la valeur :

    vcr = rTcr/pcr = 287,5 477,5/5,283 105 = 0,260 m3/kgDaprs lquation gnrale du dbit massique, laire de la section dcoulementau col de la tuyre devient :

    Amin = Qvcr/wcr = 4 0,260/438 = 0,00237 m2

    do le diamtre :

    dmin = (4Amin/pi)1/2 = (4 0,00237/pi)1/2 = 0,0055 m = 55 mmOn calcule la vitesse de lair sa sortie de la tuyre :

    w2 = {2(/ 1)p1v1[1 (p2/p1)( 1/)]}1/2

    w2 = {2(1,4/1,4 1)10 105 0,165[1 (1/10)(1,4 1/1,4)]}1/2 = 746 m/s

    v1 = rT1/p1 = 287,5 573/10 105 = 0,165 m3/kgLe volume spcifique de lair la sortie de la tuyre est donn par la relation :

    v2 = v1(p1/p2)(1/) = 0,165(10/1)1/1,4 = 0,855 m3/kgDans ces conditions, on obtient laire de la section de sortie :

    A2 = Qv2/w2 = 4 0,855/746 = 0,00458 m2

    do, il rsulte pour le diamtre :

    d2 = (4A2/pi)1/2 = (4 0,00458/pi)1/2 = 0,0077 m = 77 mmLa longueur de la partie divergente pour un angle douverture = 10(figure Ex.5a) devient :

    L = (d2 dmin)/2tg5 = (77 55)/2 0,0875 = 125,7 mm

    L = 12,6 cmb) Lcoulement de lair avec frottement est reprsent sur le diagramme h-s(figure Ex.5b) par la droite A-D ; le point F correspond la section de la tuyre ola vitesse dcoulement est gale la vitesse locale du son, et le point C, lasection minimale de cette mme tuyre. On peut donc crire :

    D1D/CE = AD1/ACet, tant donn que h/s = T, on exprime ces segments de droite par :

    D1D = (h3 h2)/T3

  • 27

    CE = (hs hcr)/Ts laide de lquation de lcoulement adiabatique pour les gaz, il rsulte :

    h3 h2 = w22(1 2)/2

    h1 h3 = 2w22/2

    hs hcr = wcr2(1 12)/2

    h1 hcr = 12wcr2/2dans lesquelles 1 est le coefficient de vitesse se rapportant au convergent et lecoefficient de vitesse relatif la tuyre entire. partir de ce systme dquations, on dduit la relation :

    [(1 2)/2](Ts/T3) = (1 12)do, aprs remplacement des tempratures Ts et T3 par Tcr et T2 qui sontsensiblement gales, on obtient :

    12 = 1 [(1 2)/2](Tcr/T2)Par ailleurs, la temprature de lair la sortie pour lcoulement sans frottement ala valeur :

    T2 = T1(p1/p2)(1 )/ = 537 (10/1)(1,4 1/1,4) = 294 KAinsi on peut calculer le coefficient de vitesse caractrisant le divergent :

    1 = {1 [(1 0,96_)/0,962](477/294)}1/2 = 0,94et la vitesse minimale :

    wmin = 1wcr = 0,94 438 = 411 m/sLa temprature minimale sera ds lors :

    Tmin = Tcr + (1 12)(1 )/wcr2/2r = 477 + (1 0,942)(1 1,4)/1,4

    Tmin = 484 KCalculons laire de la section minimale de la tuyre :

    Amin = Qvmin/wmin = QrTmin/wminpcr = 4 287,5 484/411 5,283 105

    Amin = 0,00256 m2

    valeur qui nous permet de trouver dmin :

    dmin = (4Amin/pi)1/2 = (4 0,00256/pi)1/2 = 0,057 m = 57 mmLa vitesse de lair la sortie de la tuyre pour lcoulement avec frottement sera :

    w2f = w2 = 0,96 746 = 716 m/s

  • 28

    Par la suite, il est possible de calculer la temprature de lair la sortie :

    T3 = T1 [( 1)/r]wcr2/2 = 573 [(1,4 1)/1,4 287,5] 7162/2 = 318 KLa section et le diamtre la sortie de la buse sont :

    A2 = Qv2/w2 = QrT3/w2f p2 = 4 287,5 318/716 1 105 = 0,0051 m2

    d2 = (4A2/pi)1/2 = (4 0,0051/pi)1/2 = 0,00866 m = 86,6 mmdo la longueur de la partie divergente de la tuyre au cas o il y a coulementavec frottement :

    L = (d2 dmin)/2tg5 = (86,6 57)/2 0,0875 = 135 mm

    L = 13,5 cm

    nonc 4.3Une tuyre de sablage est alimente avec de lair parfait provenant dun rservoirdans lequel rgnent les conditions p1 = 3 bar et T1 = 67 C et o la vitesse peut treconsidre comme nulle.Lalimentation de ce dispositif est assure laide dun compresseur ayant unecapacit daspiration Qv = 120 m3/h aux conditions pa = 1 bar et Ta = 18 C.La dtente seffectue jusqu la pression p2 = 1 bar.a) Dfinir le type de tuyre utiliser.b) Calculer les conditions critiques.c) Calculer le diamtre du col de la tuyre.

    Solution 4.3a) Lair tant considr comme parfait, = 1,40.Ltat gnrateur de la dtente est celui rgnant dans le rservoir : p1 = 3 bar etT1 = 60 C = 333 K.Le rapport de dtente de la tuyre est :

    p2/p1 = 1/3 = 0,333Cette valeur tant infrieure celle du rapport de pression critique (pour lair,0,528), la tuyre doit donc tre de forme convergente-divergente : il sagit doncdune tuyre de Laval.b) Il est ncessaire dtablir la valeur des divers paramtres utiles au col de latuyre (conditions critiques).Masse volumique critique :

    cr = 1[2/( + 1)]1/( 1) = (p1/rT1)[2/( + 1)]1/(1,4 1)

    cr = (3 105/287,5 333)[2/(1,4 + 1)]1/( 1) = 1,99 kg/m3

    Temprature critique :

  • 29

    Tcr = T1[2/( + 1)] = 333[2/(1,4 + 1)] = 277 KVitesse critique (au col) :

    wcr c = [rTcr]1/2 = [1,4 287,5 277]1/2 = 334 m/sc) Le dbit masse dair stablit en considrant le compresseur :

    Q = Qva = (100/3 600)1,209 = 3,36 102 kg/so la masse volumique de lair a laspiration rsulte de :

    va = rTa/pa = 287,5 288/1 105 = 0,827 m3/kgsoit a = 1/va = 1/0,827 = 1,209 kg/m3Compte tenu du dbit masse par unit de surface :

    (Q/A0)c = wcrcr = 334 1,99 = 665 kg/s.m2

    on trouve pour la section du col de la tuyre :

    Aoc = Q/wcrcr = 3,36 102/665 = 50,6 106 m2

    do le diamtre du col :

    dc = 8,02 mm

    nonc 4.4Calculer, en ngligeant les pertes, le vide thorique que lon peut obtenir aumoyen dun jet deau dans la chambre de mlange de ljecteur deau de lafigure Ex.6.

    Figure Ex.6 Illustration pour lnonc 4.4.

    la sortie du diffuseur (pression atmosphrique, p2 = 1,013 105), la vitesse dujet est de 2,7 m/s. Le diamtre du jet d2 = 50 mm dans la section 2 est deux foisplus grand que dans la section 1.

  • 30

    En sachant que le dbit deau dalimentation (T1) est 9,6 m3/h, la diffrence deniveau de liquide entre T1 est T2 est gale 22 m, que le rendement se situe autourde 20 % et que le liquide aspirer a une densit = 1 050 kg/m3, dterminer ledbit du liquide aspirer (de densit = 1 050 kg/m3) si la hauteur daspiration z2(gale z3) est de 4 m.

    Solution 4.4Lquation de Bernoulli, dans laquelle on nglige les pertes, crite entre lessections 1 et 2, se prsente sous la forme :

    z1 + (p1/g) + (w12/2g) = z2 + (p2/g) + (w22/2g)tant donn la position horizontale de la pompe, z1 = z2 et, comme d2 = d1 :

    w1 = (A2/A1)w2 = (50/25)2 2,7 = 12,8 m/slquation de Bernoulli nous permet de dterminer la pression en (1) :

    p1 = p2 + (w22 w12)/2 = 1,013 105 + (2,72 12,82) 1 050/2

    p1 = 101 300 82 188 = 19 111 PaLe vide thorique sera alors :

    Videth = p2 p1 = 101 300 19 111 = 82 189 Pa

    Videth = (82 189/101 300) 760 = 617 mgAvec le rendement du dispositif = 0,2, la puissance consomme par ljecteurest :

    Ec = Gvg(z1 z2) = 9,6 1 050 9,81(22 4)/3 600 = 471 WCe qui donne la puissance utile de ljecteur :

    Eu = Ec = 0,2 471 = 94,2 Wdo lon tire le dbit que lon peut aspirer :

    Gv = Eu/gz2 = 94,2/(1 050 9,81 4) = 2,28 103 m3/s

    Gv = 8,23 m3/h

    nonc 4.5On souhaite rchauffer Gv2 = 50 m3/h deau de Tw1 = 20 C Tw2 = 60 C aumoyen dun rchauffeur jet de vapeur. La vapeur motrice arrive sous unepression de 3 bar.

    Solution 4.5

  • 31

    Une lecture sur la table de vapeur permet de trouver la valeur de lenthalpiespcifique pour la vapeur 3 bar (4 bar absolus), h = 2 737,6 kJ/kg.Chaleur spcifique de leau : cp2 = 4,2 kJ/kgOn obtient pour la consommation de vapeur :

    G1 = Gv2cp2T/(h cpTw2) = 60 1 000[4,2(60 20)/(2 736 4,2 50)]

    G1 = 4 055,4 kg/ho T = Tw2 Tw

    nonc 4.6La vapeur sortant dun vaporateur la temprature T2 = 50 C est aspire par unjecteur vapeur aliment avec de la vapeur du rseau sous pression p1 = 8 bar.Le mlange, assimil des vapeurs deau, est refoul dans le corps de chauffe une temprature de saturation T = 70 C.Calculer la quantit de solution que lon peut vaporer avec 1 kg de vapeur vive.

    Solution 4.6On lit sur le diagramme enthalpique (voir figure 4.13) ou dans les tables devapeurs les valeurs de lenthalpie :

    - pour p1 = 8 bar, h1A = 662 kcal/kg- pour p2 = 0,126 bar, h2B = 505 kcal/kg et h2C = 618 kcal/kg- pour p = 0,312 bar, hD = 655 kcal/kg

    Les valeurs des pressions p2 et p correspondent respectivement aux tempratures50 C et 70 C.Les diffrences denthalpie reprsentant la dtente de la vapeur vive sont :

    h1 = h1A h2B = 662 505 = 157 kcal/hrespectivement la compression de la vapeur aspire est :

    h2 = hD h2C = 655 618 = 37 kcal/hLe rapport h2/h1 = 37/157 = 0,235 permet de trouver sur le diagramme dePetzold, pour une pression p2 = 0,126 bar, un rendement du diffuseur qui varieentre 0,69 et 0,74. Supposons dif = 0,7. Le diagramme de la figure 4.11 indique,pour cette valeur du rendement et pour un rapport denthalpies gal 0,235, unrapport de dbits G1/G2 = 1,15.Il est donc ncessaire de disposer de 1,15 kg de vapeur vive pour aspirer 1 kg devapeur dvaporation. La quantit de vapeur de mlange G1 + G2 = 2,15 kg pourravaporer 2,15/1,06 = 2 kg de solution.

    Remarque

    Ljectocompression a dautant plus dintrt que la pression de vapeurmotrice est leve et que la diffrence entre la pression de la vapeurdvaporation et la pression de la vapeur de chauffage est faible.

  • 32

    nonc 4.7On utilise une pompe liquide jet deau pour diluer de lacide chlorhydriqueHCl 30 % ayant une temprature de 20 C.La concentration de leau motrice est 0 % et la pression p1 = 3,5 bar.Dbit dacide aspir : G2 = 1 000 kg/h pour une pression daspiration p2 = 1,0 barPression de refoulement : p = 1,8 bara) Calculer le dbit de mlange (pour le choix de la pompe).b) Calculer la concentration de la solution dilue.

    Solution 4.7a) Le rapport de pression conduit la valeur :

    = p/p1 = (p p2)/(p1 p2) = (1,8 1,0)/(3,5 1,0) = 0,32Pour un rapport de densits 2/1 = 1,15/1,0 = 1,15, daprs le diagramme de lafigure 4.14, le rapport de pressions demande une consommation spcifique deliquide moteur Csp = 1,8.Il est possible de dterminer le dbit du liquide moteur en crivant :

    G1 = CspG2 = 1,8 1 000 = 1 800 kg/h

    Le dbit de mlange est la somme de deux dbits :

    G = G1 + G2 = 1 800 + 1 000

    G = 2 800 kg/hAinsi le choix de la taille de la pompe se fera en fonction de la valeur de G.b) Pour calculer la concentration du mlange, on peut galement crire :

    Csp = (C2 C)/(C C1) = (0,3 C)/(C 0)do, aprs regroupement, on obtient lgalit :

    2,8C = 0,3

    C 0,1La solution du mlange aura donc une concentration de 10 %.

    nonc 4.8On utilise une pompe vide jet de vapeur pour aspirer un dbit G2 = 100 kg/h devapeur deau 150 C et p2 = 6 mbar. Pression de la vapeur motrice/ p1 = 3 bar.Le refoulement se fait dans un condenseur dont la temprature de leau derefroidissement est Tw = 20 C.a) Calculer la surconsommation de vapeur motrice si la temprature de leau derefroidissement augmente Tw = 30 C.

  • 33

    b) Calculer le nombre dtages de la pompe vide afin daspirer sousp2 = 0,1 mbar et de refouler dans un condenseur p = 56 mbar.

    Solution 4.8a) On adopte T = 4 C ; ainsi, pour une temprature de condensation Tc = 24 C,la pression au condensateur est p = 30 mbar.La consommation tant une fonction des rapports de pressions, il est ncessaire deconnatre :

    - le taux de dtente = p1/p2 = 3 103/6 = 500- le taux de compression pi = p/p2 = 30/6 = 5

    Une lecture du diagramme de la figure 4.15 nous donne une consommationspcifique Csp = 1,85. Do la consommation de vapeur motrice :

    G1 = CspG2 = 1,85 100 = 185 kg/hSi la temprature de leau de refroidissement devient Tw = 30 C, pour T = 5 C,on a une temprature de condensation Tc = 35 C, donc une pression p = 56 mbar.On obtient cette fois K = 56/6 9,3. Une nouvelle lecture du diagramme donneCsp = 3,5.La surconsommation en vapeur motrice sera :

    = (3,5 1,85) 100/1,85

    = 89 %b) Pour une pression daspiration p2 = 0,1 mbar, le taux de compression sera :

    pi = 56/0,1 = 560Pour atteindre des pressions basses, il est ncessaire dinstaller plusieurs jecteursen srie. Gnralement, on doit avoir un taux de compression pi 10. Ainsi, il fautprvoir trois tages de compression (figure Ex.7) ayant chacun un taux pidenviron 8,25. La pression motrice tant identique pour tous les tages, le taux decompression admissible pour chaque tage est fonction de la pression daspiration.

    Figure Ex.7 Exemple de montage dune pompe vide trois tages avec condenseurspar surface pour des pressions daspiration jusqu 5 mbar.

    a : pompe jet. b : condenseur.

  • 34

    Exemples dapplication du chapitre 5Transport pneumatique et hydraulique des solides

    nonc 5.1On cherche dterminer la dimension la plus petite des particules qui se dposentdans une canalisation de gaz de forme carre, de ct a = 1,0 m et de longueurL = 240 m.Vitesse du gaz dans la canalisation : wg = 6 m/sViscosit : = 0,03 103Densit du gaz : g = 0,8 kg/m3Densit des particules : p = 2 400 kg/m3

    Solution 5.1Le temps ncessaire au gaz pour traverser la canalisation sera :

    t = L/w = 240/6 = 40 sDans cet intervalle de temps, vont se dposer uniquement les particules dont lavitesse relle de sdimentation nest pas plus petite que :

    w0 = a/t = 1/40 = 0,025 m/sOn calcule le diamtre des particules de forme sphrique dont la vitesse thoriquede sdimentation est deux fois plus grande, cest--dire w0,th = 0,05 m/s.Le critre de Lyascenko nous donne :

    Ly = w0,th3f2/pg = (0,05)3 0,82/0,03 103 2 400 9,81

    Ly = 1,13 104

    Sur le diagramme de la figure 5.1, on lit la valeur Re = 0,1 de laquelle on dduit :

  • 35

    dp = Ref/w0,thf = 0,1 0,03 103/0,05 0,8 = 0,075 103 m

    dp = 75 m

    nonc 5.2Calculer la dimension des plus grandes particules de carbonate de calcium, deforme sphrique, qui peuvent tre entranes par un courant deau scoulant lavitesse w = 0,6 m/s. Temprature de leau : T = 10 CViscosit de leau 10 C : l = 1,3 103 Pa.sDensit du carbonate de calcium : p = 2 710 kg/m3

    Solution 5.2On calcule la valeur du critre de Lyascenko :

    Ly = w03l2/(p l)g = (0,6)3 1 0002/1,3 103 (2 710 1 000) 9,81

    Ly = 9,88 103

    laide du diagramme de la figure 5.1, pour Ly = 9,88 103, on trouve :Ar = 2,0 106

    Respectivement :

    Re = 2,7 103

    Do le diamtre maximal des particules entranes par leau :

    dp = Rel/w0l = 2,7 103 1,3 103/0,6 1 000 = 5,85 103 m

    dp = 5,85 mm

    nonc 5.3On transporte une suspension de cellulose, 4 % dans leau (fluide non newtoniendu type loi en puissance), par un systme de transport hydraulique une vitessewmix = 1,5 m/s.Densit de la suspension : = 990 kg/m3Longueur de la canalisation : L = 120 mDiamtre de la canalisation : d = 150 mmProprits dcoulement du fluide :

    - k = 22,0 indice de consistance- n = 0,575 indice dcoulement

    a) Calculer la perte de charge pc dans la canalisation en utilisant lquation pourun coulement laminaire. Vrifier avec le critre ReG quil sagit bien duncoulement laminaire.

  • 36

    b) Calculer la perte de charge pc en utilisant la mthode du coefficient defrottement fNN.

    Solution 5.3a) On obtient pour la perte de charge :

    pc = 4k(L/d)[8w/d]n = 4 22(120/0,15)(8 1,5/0,15)0,575

    pc = 8,75 105 N/m2 = 8,75 barOn vrifie le rgime dcoulement avec la relation 5.49 dans laquelle on aremplac k[(3n + 1)/4n]n par k :

    ReG = dnw2 n/8n 1k = [(0,15)0,575(1,5)1,425 990]/80,425 22 = 65,2qui montre que lcoulement est bien laminaire.b) On calcule le coefficient de frottement fNN :

    fNN = 16/ReG = 16/65,2 = 0,245do la perte de charge :

    pc = 4fNN(L/d)(w2/2) = 4 0,245(120/0,15)[(1,5)2/2]990

    pc = 8,746 105 N/m2

    nonc 5.4On fait transporter du charbon pulvrulent, de taille dp 1 mm ets = 1 600 kg/m3, dans une installation hydraulique dont la conduite est delongueur L = 20 km et de diamtre d = 500 mm.Dure du transport : t = 3 hLa suspension est constitue de 50 % en poids de charbon et de 50 % eau(f = 1 000 kg/m3).Calculer le nombre de stations de pompage, si la puissance effective Eu = 125 kWet le rendement des pompes = 0,7.La suspension est considre comme un fluide non newtonien du type loi enpuissance avec les caractristiques n = 0,2 et k = 0,6.

    Solution 5.4Lquation de Bernoulli entre le point de chargement et le point de rcuprationdu charbon scrit :

    gz + w2/2 + p/m + W + F = 0Puisque p1 = p2 = patm et tant donn la longueur de la conduite, les pertes decharge par frottement sont dominantes, par rapport aux autres termes delquation ; ainsi lquation devient :

  • 37

    W + F = 4fNNw2L/dOn calcule la vitesse de la suspension :

    w = L/t = 20 000/3 3 600 = 1,85 m/sce qui nous permet de dterminer le dbit :

    G = wAm = 1,85 (pi 0,52/4) 1 230 = 446,5 kg/so la densit de la suspension rsulte de lexpression :

    m = 2fs/(f + s) = 2 1 000 1 600/(1 000 + 1 600) = 1 230 kg/m3

    On calcule le critre de Reynolds gnralis :

    ReG = dnw2 n/8n 1k[(3n + 1)/4n]n

    ReG = (0,50,2 1,851,8 1 230/80,8 0,6) [4 0,2/(1 + 3 0,2)] = 24 850Il sagit donc dun coulement turbulent.Le diagramme de la figure 5.9 donne, pour n = 0,2, fNN = 0,018, do la perte decharge :

    W = F = 4 0,018 (1,85)2 20 103/0,5 = 985,68 J/kgLa puissance totale dpense pour le transport est :

    Ea = WG/ = 985,68 446,5/0,7 = 628,7 kWdo le nombre de stations :

    n = Ea/Eu = 628,7/125 = 5 stations

    nonc 5.5On transporte du sable dans un convoyeur pneumatique long de 200 m un dbitG = 1,0 kg/s. Caractristiques du sable :

    - taille moyenne du grain dm = 1,25 mm- densit = 2 600 kg/m3

    Calculer le dbit dair ncessaire pour le transport, le diamtre de la conduite et lachute de pression entre les points de chargement et de dchargement.

    Solution 5.5Pour les installations conventionnelles de transport pneumatique lintrieur desconduites, on utilise en rgle gnrale un rapport de x = 5 entre le dbit masse dusolide et le dbit masse du gaz. Ainsi, le dbit dair sera :

    Ga = G/x = 1,0/5 = 0,20 kg/set, en considrant la densit de lair a = 1,3 kg/m3, on obtient :

    Gva = Gaa = 0,20 1,3 = 0,26 m3/h

  • 38

    Afin de limiter la perte de charge, la vitesse de lair dans linstallation ne doit pasdpasser 30 m/s. En ignorant le volume occup par le sable (environ 0,2 % decelui de lair), on aboutit une section de conduite :

    A = Gva/wa = 0,26/30 = 0,0087 m2

    do le diamtre de la conduite :

    d = (4A/pi)1/2 = (4 0,0087/pi)1/2 = 0,105 m

    d = 105 mmIl faut choisir le diamtre lgrement suprieur disponible. Pour lexercice, onprend une valeur trs proche, soit DN = 100 mm.Pour le sable dont la taille est dm = 1,25 mm et la densit = 2 600 kg/m3, lavitesse de chute ( calculer ou consulter dans les tables) est w0 = 4,7 m/s.Vitesse relative air-sable :

    wa w = 4,7/[0,468 + 7,25(4,7/2 600)1/2] = 6,05 m/sAire de la section de la conduite DN = 100 mm (di = 101,6 mm) :

    A = pi 0,10162/4 = 0,0081 m2

    La vitesse de lair :

    wa = 0,26/0,0081 = 32,1 m/snous permet de calculer la vitesse du sable :

    w = 32,1 6,05 = 26,05 m/sOn calcule le nombre de Reynolds, pour lequel on a pris la densit de lair1,3 kg/m3 et la viscosit 1,7 105 Ns/m2 :

    Re = wda/a = 26,05 0,102 1,3/1,7 105 = 2,03 105

    Le diagramme de Moody pour cette valeur nous donne un facteur de frottement = 0,004.En introduisant dans lquation de la perte de charge pour lcoulement de lairuniquement, on obtient :

    pa = 4(L/d)(awa2/2) = 4 0,004(200/0,102)(1,30 32,12/2)

    pa = 21 012 N/m2 = 21,01 kN/m2

    En supposant lcoulement incompressible et des conditions isothermiques :

    (psusp/pa)(w2/G) = 2 805/w0psusp = (2 805paG)/(w0w2) = (2 805 21,01 1,0)/(4,7 18,652)

    psusp = 18,5 kN/m2

  • 39

    nonc 5.6On utilise un cyclone pour la sparation des particules de solide transportes dansun courant dair T = 25 C.Diamtre minimal des particules : d = 80 mDbit du courant dair : qm = 2 000 kg/hCoefficient de rsistance du cyclone : = 160Calculer le diamtre du cyclone en sachant que la rsistance hydraulique admisede lappareil est p/a = 740.

    Solution 5.6On calcule la vitesse radiale w dans la partie cylindrique du cyclone :

    wc2 = 2(p/c)/ = 2 740/160 = 9,25

    wc = 3,04 m/sLa densit de lair 25 C tant :

    a = 0T0/T = 1,29(273/298) = 1,18 kg/m3

    le dbit volumique dair sera :

    Q = qm/a = 2 500/1,18 = 2 118,6 m3/h

    Q = 2 118,6/3 600 = 0,558 m3/sDo le diamtre du cyclone :

    D = (4Q/piwc)1/2 = (4 0,558/pi 3,04)1/2 = 0,496 m

    D = 0,50 m

    Exemples dapplication du chapitre 6Ventilateurs

    nonc 6.1Un dbit masse dair Qm = 20 000 kg/h doit tre assur par un ventilateur dans uneinstallation de schage. La diffrence de pression entre les points de refoulementet daspiration est pt = 400 N/m2.Puissance installe du moteur lectrique : E = 2,50 kW des conditions normales, la densit de lair a la valeur 0 = 1,29 kg/m3.a) Calculer le rendement du moteur lectrique :

    - en t, quand la temprature de lair est T1 = 27 C- en hiver, quand la temprature de lair descend T2 = 10 C

  • 40

    b) Calculer les puissances du moteur, dans les mmes conditions de temprature,si le ventilateur fonctionne une altitude z = 2 000 m.

    Solution 6.1a) tant donn que la densit de lair varie avec la temprature selon lexpression = 0T/T1, on va dterminer cette densit.

    - En t (T1 = 273 + 27 = 300) :1 = 1,29 273/300 = 1,174 kg/m3

    - do le dbit volume :

    Q1 = Qm/3 6001 = 20 000/3 600 1,174 = 4,73 m3/s- En hiver (T2 = 273 10 = 263) :

    2 = 1,29 273/263 = 1,339 kg/m3

    - avec Q2 = Q2/3 6002 = 20 000/3 600 1,339 = 4,15 m3/sOn exprime le rendement du moteur :

    - en t : 1 = Q1pt/1 000E = 4,73 400/1 000 2,51 = 0,757

    - en hiver : 2 = Q2pt/1 000E = 4,15 400/1 000 2,52 = 0,664

    une altitude de 2 000 m, la densit de lair des conditions normales estz = 1,007 kg/m3.En t, T1 = 27 C, on aura :

    - une densit dair z1 = 1,007 273/300 = 0,916 kg/m3- un dbit volume dair Q1 = 20 000 0,916/3 600 = 5,09 m3/s- une puissance lectrique consomme E1 = 5,09 400/0,757 1 000

    E1 = 2,69 kWEn hiver, T2 = 10 C, on aura :

    - une densit dair z2 = 1,007 273/263 = 1,045 kg/m3- un dbit volume dair Q2 = 20 000 1,045/3 600 = 5,81 m3/s- une puissance lectrique consomme E2 = 5,81 400/0,664 1 000

    E2 = 3,50 kW

    nonc 6.2Un ventilateur, destin des gaz de hauts-fourneaux, doit assurer un dbitQ = 100 m3/s.

  • 41

    Les gaz, de masse spcifique = 1,20 kg/m3, sont aspirs une pressionp1 = 1 008 N/m2 et refouls afin dalimenter des fours sous une pressionp2 = 2 000 N/m2.Rendement du ventilateur : = 0,7Le tronon de canalisation laspiration prsente une perte de charge totalehf.asp = 140 mm CE ; aprs le ventilateur, la perte de charge est hf.ref = 120 mm CE.La vitesse moyenne du fluide gazeux lentre du ventilateur est wasp = 20 m/s,celle de la sortie est wref = 25 m/s.a) Calculer la hauteur manomtrique totale, exprime en mm CE et en Pa.b) Calculer la puissance effective (absorbe) prvoir pour le choix du moteurdentranement.

    Solution 6.2a) La hauteur manomtrique totale se calcule en additionnant les hauteursdaspiration et de refoulement, et en tenant compte des pertes de charge.Daprs lquation de Bernoulli, dans laquelle on nglige la vitesse des gaz dansle haut-fourneau et le four, ainsi que la diffrence des cotes entre les diffrentspoints du parcours des gaz :

    ht = href hasp = (wref2/2g + pst,ref/g) (wasp2/2g + pst,asp/g)o href = p2/g + hf,ref = (2 000/1,2 9,81)(1,20/1 000) + 120

    href = 203 + 120 = 323 mm CEet hasp = p1/g hf,asp = (1 008/1,2 9,81)(1,20/1 000) 140

    hasp = 102 140 = 38 mm CE

    En faisant la diffrence :

    ht = 323 (38) = 361 mm CEou, puisque 1 Pa = 0,1019 mm CE :

    pt = 3 543 Pab) En utilisant les donnes prcdentes, on trouve pour la puissance effective :

    E = Qpt/1 000 ef = 100 3 543/1 000 0,7

    E = 506,2 kW

    nonc 6.3Sur le tronon daspiration dun ventilateur centrifuge existe un vide de 15,8 mmCE. Le manomtre mont sur la gaine de refoulement tout de suite aprs leventilateur indique une surpression de 20,7 mm CE. Un anmomtre mont sur letronon de refoulement indique une vitesse du fluide gazeux w = 21,0 m/s. Lesdiamtres des conduites daspiration et de refoulement d = 250 mm sont

  • 42

    identiques. La vitesse de rotation de lappareil est N = 960 tr/min pour uneconsommation dnergie E = 0,70 kW.a) Calculer la pression dveloppe par le ventilateur et le rendement.b) Calculer de quelle manire varie le dbit si le nombre de rotations augmente 1 150 tr/min.

    Solution 6.3a) tant donn que le diamtre des canalisations est le mme, les pertes depression dues la pression dynamique sur la canalisation dadmission,respectivement de refoulement sont identiques ; la pression dveloppe par leventilateur sera :

    p = p2 p1 = [0,0207 9,81 (0,0158 9,81)] 1 000

    p = 354 PaLe calcul du dbit du ventilateur nous donne :

    Q = (pid2/4)w = (pi 0,252/3 600) 21,0 = 1,03 m3/sDs lors, il est possible de dterminer la puissance thorique du ventilateur :

    Eth = (1,03 354)/1 000 = 0,368 kWet ensuite le rendement effectif :

    ef = Eth/E = 0,368/0,77

    ef = 0,53b) Si la vitesse de rotation passe N = 1 150 tr/min, les relations 6.9 6.11permettent dcrire pour le dbit :

    Q = Q(N/N)

    Q = 1,03(1 150/960) = 1,24 m3/set pour la puissance :

    E = E(N/N)3 = 0,70(1 150/960)3

    E = 1,20 kW

    nonc 6.4 lessai dun ventilateur centrifuge, dont la vitesse de rotation estN = 1 500 tr/min, on obtient les valeurs suivantes :

    Q (m3/h) 100 360 700 1 000 1 600 2 000

  • 43

    p (mm CE) 46,0 43,2 44,0 43,5 39,5 32,2

    Le couplage du ventilateur un rseau de ventilation montre que, en fonctionnant la mme vitesse de rotation, les pertes de pression dues lcoulement dundbit volume dair Q = 1 350 m3/h dans le rseau sont :

    - pd = 8,7 mm CE, pression dynamique dpense pour obtenir la vitesse delair la sortie du rseau ;

    - pf + ps = 29,4 mm CE, perte de pression par frottement, respectivementdue aux rsistances locales ;

    - pst = p2 p1 = 13,0 mm CE, pression statique.Calculer le dbit du ventilateur coupl au rseau.

    Solution 6.4On doit reprer le point dintersection entre les deux caractristiques respectivesdu ventilateur et du rseau.La caractristique du rseau se prsente sous la forme dune parabole dontlquation est :

    p = aQ2 + bo le premier terme aQ2 reprsente la somme des pertes de pression pd + pf+ ps et dont la variation est proportionnelle au carr du dbit ; a est uneconstante ; le second terme b correspond la pression statique, donc ladiffrence entre les pressions de refoulement et daspiration.Voici quelques points de cette parabole :

    Q (m3/h) aQ2 b p

    1 350 38,1 13,0 51,4

    1 350/1,5 = 900 38,1/1,52 = 16,9 13,0 29,9

    1 350/2 = 675 38,1/2,02 = 9,5 13,0 22,5

    1 350/2,5 = 540 38,1/2,52 = 6,1 13,0 19,1

    0 0 13,0 13,0

    En traant sur un graphique (p, en ordonne et Q, en abscisse) lescaractristiques respectives du ventilateur et du rseau conformment aux valeursobtenues lessai et selon les points donns dans le tableau prcdent, il rsulteque le point dintersection donnant le dbit du ventilateur correspond Q = 1 175 m3/h (figure Ex.8).

    Figure Ex.8 Illustration de lexercice 6.4.

  • 44

    Exemples dapplication du chapitre 7Compresseurs

    nonc 7.1Un compresseur deux tages aspire un dbit volume dair Q = 400 Nm3/h latemprature T1 = 18 C et la pression P1 = 1 bar.Le refoulement se fait la temprature T2 = 80 C et la pression P2 = 6 bar.Entre les tages, lair traverse un refroidisseur o sa temprature est ramene savaleur initiale ( pression constante).Le rapport entre la course et le diamtre du piston, au premier tage qui dispose dedeux cylindres, est L1/D1 = 1,1. Le mme rapport, au deuxime tage, a la valeurL2/D2 = 1,2.Vitesse de rotation : N = 550 tr/minEspace mort : k = 0,05a) Calculer lexposant polytropique de la compression.b) Calculer les dimensions des cylindres.c) Calculer la puissance utile ncessaire la compression.

    Solution 7.1a) Le rapport optimal de compression pour un tage sera :

    pi = Px/P1 = P2/Px = (P2/P1)1/2 = (6/1)1/2 = 2,45Ainsi la pression intermdiaire devient :

    Px = piP1 = 2,45 1 = 2,45 barLexposant polytropique sobtient en utilisant la relation 7.8 :

    T2/T1 = pi(n 1)/n

    do on tire n sous la forme :

  • 45

    n = lnpi/lnpi(T1/T2) = ln(2,45)/ln(2,45) (291/353)

    n = 1,27b) Le coefficient de remplissage sobtient avec la relation 7.15 :

    v = 1 k[pi(1/n) 1] = 1 0,05[(2,45)1/1,27 1] = 0,949Le dbit volumique dair aspir par le compresseur sera :

    Q1 = Q0(T1/T2) = 400(291/273) = 426,4 m3/hOn en dduit le volume dair aspir par le cylindre du premier tage une coursedu piston :

    Va1 = Q1/iN = 426,4/2 550 60 = 0,00646 m3

    En tenant compte du coefficient de remplissage, le volume du cylindre devient :

    VC1 = Va1/v = 0,00646/0,949 = 0,0068 m3

    Puisque VC1 = (piD12/4)L1 et L1 = 1,1D1, on peut exprimer le diamtre du cylindresous la forme :

    D1 = (4VC1/1,1pi)1/3 = (4 0,0068/1,1 pi)1/3

    D1 = 0,199 mAlors :

    L1 = 1,1D1 = 1,1 0,199 = 0,219 m

    do la longueur totale du cylindre :

    Lt1 = (1 + k)L1 = (1 + 0,05) 0,219

    Lt1 = 0,23 mLe volume dair aspir dans le cylindre du deuxime tage une course du pistonpeut se dterminer avec la relation :

    Va2 = (Q1/N)(P1/Px) = (426,4/550 60)(1/2,45) = 0,00527 m3

    En suivant le mme raisonnement qui nous a permis de calculer D1 et Lt1, onaboutit :

    VC2 = Va2/v = 0,00527/0,949 = 0,00556 m3

    Il rsulte pour le diamtre et la course du piston :

    D2 = (4 0,00556/1,2pi)1/3

    D2 = 0,180 m

    L2 = 1,2D2 = 1,2 0,180 = 0,217 m

    do la longueur totale du cylindre du deuxime tage :

  • 46

    Lt2 = (1 + k)L2 = (1 + 0,05) 0,217

    Lt2 = 0,228 mc) La puissance utile ncessaire la compression se dduit partir de larelation 7.8 dans laquelle on a remplac V par Q :

    Eu = (2n/n 1)P1Q1[pi(n 1)/n 1] = (2n/n 1)P1Q1[(T2/T1) 1]

    Eu = (2 1,27/1,27 1) 100 103 (426,4/3 600)[(353/291) 1]

    Eu = 23 740 W = 23,74 kW

    nonc 7.2Un compresseur est utilis pour assurer un dbit dair comprim QK = 200 m3/h P2 = 40 bar. Lair, aspir la pression P1 = 1 bar, arrive dans le compresseur latemprature T = 20 C. La compression de lair a lieu de manire adiabatique.a) Calculer le nombre dtages de compression et la rpartition des pressions partage.b) Calculer la puissance mcanique demande pour la compression, si celle-ci,considre comme adiabatique, a un rendement gl = 0,8.c) Calculer le dbit deau de refroidissement dans les refroidisseurs, enconsidrant une lvation de la temprature de leau Tw = 8 C.

    Figure Ex.9 Illustration pour lnonc 7.2 : (a) schma de linstallation ;(b) reprsentation des cycles dans le diagramme T-S.

    Solution 7.2a) En choisissant un rapport de compression pi = 4, on peut crire :

    N = (logPN + 1 logP1)/logpi = (log40 log1)/log4

  • 47

    N = 2,66On adopte 3 tages.En ngligeant les pertes de pression entre les tages, le degr de compression pipar tage sera (figure Ex.9a) :

    pi_ = 40/1 = 3,42

    ce qui donne la rpartition approximative par tage suivante :

    Pi Pf

    tage 1 1,0 3,42tage 2 3,42 11,70tage 3 11,70 40,0

    b) Le travail thorique ncessaire la compression se calcule selon la relation :Wad = NRT1(/ 1)[(Pi/Pf)( 1)/)i 1]

    Supposons que, dans le refroidisseur, lair se refroidit jusqu 30 C. Enremplaant les valeurs dans la formule, il rsulte :

    Wad = 3 287 303 (1,4/0,4)[(40/1)(0,4/1,4) 3 1]

    Wad = 383 221 J/kgavec T = 273 + 30 = 303 K.La puissance absorbe sur larbre du compresseur, en tenant compte du rendementglobal, se dtermine partir des relations 7.22 et 7.28 :

    Eac = QKWad/3 600avec = 1,29 kg/m3 la densit de lair :

    Eac = 200 1,29 383 221/3 600 0,8

    Eac = 34 330 W = 34,33 kWc) Pour trouver la consommation en eau dans les refroidisseurs, il faut calculer latemprature aprs les tages 2 et 3 de compression, en considrant quaprs lestages 1 et 2, lair se refroidit 30 C (figure Ex.9b).

    Remarque

    Dans le cylindre du premier tage de compression, la temprature la fin dela compression sera plus petite tant donn que lair est aspir 20 C et non 30 C.

    En utilisant lquation

    T2 = T1(P2/P1)( 1)/

  • 48

    on obtient :

    T2 = 303(3,42)0,4/1,4

    T2 = 430 K = 157 COn suppose que la chaleur spcifique de lair aux trois tages de compressionreste constante et gale cpa = 1,01 kJ/kg.K. Il rsulte que leau de refroidissementdoit vacuer une quantit de chaleur gale :

    Q = QKcpa(T2 T1)/3 600

    Q = 200 1,29 1,01 103(157 303)

    Q = 27,578 kWOn peut galement calculer Q avec :

    Q = WadQK/3 600 = 383 221 200 1,29/3 600 = 27,464 kWPuisque la temprature de leau de refroidissement subit une lvation detemprature Tw = 8 C, la quantit deau ncessaire rsulte de lquation :

    G = Q/cpwTw = 27,578/4,18 8 = 0,825 kg/s

    Gv = 0,825 3 600/1 000

    Gv = 2,97 m3/h

    nonc 7.3Dans une petite unit de production industrielle, un procd de fabricationncessite un dbit dair comprim qm = 65 kg/h, une pression P2 = 4 bar.On dispose dun compresseur piston, simple effet et ayant les caractristiquessuivantes :

    - diamtre du cylindre D = 150 mm- longueur de la course L = 200 mm- nombre de tours N = 250 tr/min- espace mort k = 5 %- compression polytropique avec n = 1,2

    a) Calculer le dbit dair comprim obtenu avec ce compresseur. Au cas o il fautle coupler une soufflante, quelle doit tre la pression de lair avant de pntrerdans la conduite daspiration du compresseur ?b) Calculer la pression limite de refoulement laquelle le dbit devient nul.

    Solution 7.3a) En considrant la pression de lair laspiration P1 = 1 bar, la relation 7.15 nouspermet de dterminer le rendement volumique thorique :

  • 49

    v.th = 1 k[(P2/P1)1/n 1] = 1 0,05 [(4/1)1/1,2 1]

    v.th = 0,891En adoptant un coefficient volumtrique p = 0,9, le rendement volumtriquedevient :

    v = 0,9v.th = 0,9 0,891 = 0,802Le dbit volume du compresseur rsulte de la relation :

    Q = vALN/60 = 0,802 0,01766 0,2 250/60avec A = piD2/4 = pi (0,15)2/4 = 0,01766 m2 laire de la section du cylindre

    Q = 0,0118 m3/s = 42,5 m3/hSi lon considre que lair a t aspir la temprature ambiante, donc ayant unedensit = 1,2 kg/m3, on trouve pour le dbit masse :

    qm = Q = 42,5 1,2 = 51,0 kg/hb) On constate que le compresseur ne peut pas satisfaire la demande en aircomprim la pression de 4 bar. En consquence, on va le coupler avec unesoufflante.La soufflante doit comprimer lair de la pression initiale jusqu une pression :

    Px = 65/51 = 1,275 bar

    nonc 7.4Comparer le travail mcanique thorique ncessaire la compression de 1 m3dair de la pression P1 = 1 bar :a) la pression P2 = 1,1 barb) la pression P2 = 6 barOn va dterminer la valeur du travail mcanique avec la formulethermodynamique pour une compression adiabatique, ainsi quavec la formulehydraulique en considrant lair comme un gaz non compressible.

    Figure Ex.10 Illustration pour lnonc 7.4.

  • 50

    Solution 7.4a) P1 = 100 kPa et P2 = 110 kPa. laide de la relation 7.7 relative au travail dpens pour la compression de 1 m3dair, aux conditions daspiration, on obtient :

    Wtd = (/ 1)P1[(P2/P1)( 1)/ 1]

    Wtd = (1,4/0,4)100 103[(1,1)0,4/1,4 1] = 9 637,5 J/m3

    La formule hydraulique nous permet dcrire pour la mme compression :

    Whd = VP = 1 (110 100) 103 = 10 000 J/m3

    dans laquelle P = P2 P1.b) La formule thermodynamique aboutit :

    Wtd = (1,4/0,4) 100 103[(6,0)0,4/1,4 1] = 233 230 J/m3

    Le mme travail calcul avec la formule hydraulique est :

    Whd = 1 (600 100) 103 = 500 000 J/m3

    En comparant les deux variantes, on remarque que, dans le premier cas(compression jusqu P2 = 1,1 bar), la diffrence entre les deux rsultats est :

    = (10 000 9 637,5) 100/10 000 = 3,6 %Ce cas correspond ltage limite de compression de lair avec les ventilateurs,pour lesquels le calcul de la puissance dentranement se fait daprs la formulehydraulique.Dans le deuxime cas (P2/P1 = 6), relatif la compression de lair avec lecompresseur, la diffrence entre les deux formules dpasse 100 %. Il est videntque, pour le calcul de la puissance, on doit toujours utiliser la formulethermodynamique.Sur le diagramme thorique indiquant le travail dun compresseur piston(figure Ex.10), on voit que la surface abcd (compression P2 = 1,1 bar) est

  • 51

    approximativement gale abde tandis que la surface afge (compression P2 = 6 bar) diffre beaucoup de la surface afhe.

    nonc 7.5Comparer la temprature de lair, le travail mcanique thorique ncessaire et lerendement volumique la fin dune compression de type adiabatique de P1 = 1 bar P2 = 7 bar, si lopration est effectue :a) avec un compresseur piston mono-tag ;b) avec un compresseur deux tages et refroidissement intermdiaire ramenantlair sa temprature daspiration T = 18 C.Lespace mort k reprsente 5 % du volume V.

    Solution 7.5a) La temprature de lair la fin de la compression est dtermine avec larelation 7.7 :

    T2 = T [(P2/P1)( 1)/]

    T2 = 291 [(7/1)(1,4 1)/1,4] = 291 1,744

    T2 = 507,5 K = 234,5 CT1 = 273 + T = 273 + 18 = 291 K et = 1,4.On obtient le travail mcanique spcifique ncessaire la compression aussi partir de la relation 7.7 :

    W*ad = (/ 1)rT1[(P2/P1)( 1)/ 1] = (1,4/0,4) 287 291 (1,744 1)

    W*ad = 217 478 J/kget pour lair 8 310/29 = 287 J/kgLe rendement volumtrique rsulte de la relation 7.15 :

    v = 1 k[(P2/P1)(1/) 1] = 1 0,05[(7/1)1/1,4 1]

    v = 0,85b) Le degr de compression dans chaque tage sobtient avec pi = (7/1)1/2 = 2,645.La temprature aprs chaque tage de compression sera :

    T2 = T1(P2/P1)( 1)/ = 291 (2,645)0,4/1,4 = 291 1,32

    T2 = 384 K et T = 111 COn en dduit le travail thorique total dpens dans les deux tages :

    W*ad = 2 287 291(1,4/0,4) [(7/1)0,4/21,4 1]

    W*ad = 192 924 J/kg

  • 52

    Le rendement volumique, pour la compression deux tages, est :

    v = 1 0,052[(2,645)1/1,4 1]

    v = 0,95Comparaison des deux compresseurs :

    Nombre dtages 1 2

    Temprature la fin de la compression 234,5 C 111 C

    Travail mcanique thorique dpens 217 478 J/kg 192 924 J/kg

    Rendement volumique 0,85 0,95

    Cette comparaison montre la supriorit dune compression deux tages et cecidautant plus que le rapport de compression est plus grand.

    nonc 7.6On aspire du mthane partir dun rservoir sous pression P1 = 2 bar, traversune canalisation de longueur L = 300 m et de diamtre d = 150 mm. Au bout de lacanalisation, un compresseur accrot la pression du gaz jusqu P2 = 8 bar.Lcoulement est considr isothermique, la temprature du mthaneT1 = 293 C.Masse molculaire du mthane : M = 16 kg/kg.molViscosit du mthane : = 1,10 105 Pa.s ( Tm = 293 C)La canalisation dont la surface est propre a un coefficient de frottement = 0,02.Calculer le dbit-masse et la puissance du compresseur si le rendement globalgl = 0,65.

    Solution 7.6La densit du mthane la pression moyenne Pm = (P1 + P2)/2 = 5 bar est :

    m = (16/22,4)(273/293)(500 103/101,3 103) = 3,285 kg/m3

    Laire de la section de la conduite est :

    A = pid2/4 = pi 0,152/4 = 1,76 102 m2

    On calcule le dbit avec la relation 2.31, pour un gaz idal en coulementisotherme permanent :

    [(qm/A)_ln(P2/P1)] (P2 P1)/vm + (L/2d)(qm/A)_ = 0qui devient, aprs remplacement des valeurs numriques et en tenant compte de1/vm = m :

    [(qm/A)2ln(8/2)] (8 2) 105 3,285 + 0,02 (300/0,15)(qm/A)2 = 0

  • 53

    (qm/A)2 = 9,21 104

    qm = 3,03 102 1,76 102

    qm = 5,34 kg/sOn obtient la puissance effective (accouplement sur arbre) :

    Eac = qmPmvmln(P2/P1)/ = 5,34 5 105(1/3,285)ln(8/2)/0,65

    Eac = 17,33 105 W = 1 733 kW

    Exemples dapplication du chapitre 8Installations de vide

    nonc 8.1Afin de limiter la perte de charge 10 % maximum, calculer la vitessedcoulement admissible dans une conduite sous vide de diamtre d = 100 mm etde longueur L = 10 m. Le fluide transport est de la vapeur deau unetemprature de 5 C et une pression totale de 20 mbar.

    Solution 8.1On utilise labaque de la figure 8.2 qui donne la vitesse dcoulement de lair. Ony observe que, pour une canalisation de diamtre 100 mm et de longueur 10 m, lavitesse admissible pour lair 20 C est wa = 58 m/s.Pour la vapeur deau, il faut multiplier cette valeur par le facteur de correction,calcul avec la relation 8.25 :

    f = (T/Mpt)1/2 = (278/18 20)1/2 0,88do :

    ws = fwa = 0,88 58 = 0,87 58

    ws 51 m/s

    nonc 8.2On doit faire la mise sous vide dune enceinte pc = 10 Pa (air 20 C) avec unepompe dont la vitesse de pompage est S = 900 m3/h. La canalisation reliant lapompe lenceinte a un diamtre de 100 mm et une longueur de 8 m(figure Ex.11).

    Figure Ex.11 Illustration pour lnonc 8.2.

  • 54

    a) Calculer la vitesse de pompage effective.b) Calculer la pression la bride daspiration de la pompe.c) Localiser le point de linstallation o la rsistance lvacuation de lair estmaximale.

    Solution 8.2Avant de procder au calcul, il est ncessaire dtablir le rgime dcoulement. Enfaisant le produit pd = 10 0,1 = 1,0 Pa.m, on voit quil sagit dun rgimelaminaire.a) On suppose la pression moyenne dans la conduite pm = 10 Pa. Aprs avoirdtermin la pression la bride daspiration, on refait le calcul pour disposerdune valeur de pm plus prcise.La conductance quivalente est obtenue avec la relation 8.26 :

    1/Ceq = (1/Cor.lam) + (1/Cline.lam) = (1/18d) + (1/1 364d4pm/L)

    1/Ceq = (1/18 0,1) + [1/1 364 (0,1)4 10/10] = 0,555 + 7,331 = 7,886do la vitesse de pompage effective :

    1/Sef = (1/Ceq) + (1/S2) = (7,886) + (1/0,25) = 11,886

    Sef = 0,084 m3/sComme le flux gazeux est conservatif :

    Qp = pcSef = p2S2ce qui donne, pour la pression la bride daspiration de la pompe :

    p2 = pcSef/S2 = 10 0,084/0,25

    p2 = 3,4 Pab) Cette valeur de la pression nous permet de calculer une valeur plus exacte pourla pression moyenne :

    pm = (pc + p2)/2 = (10 + 3,4)/2 = 6,7 PaOn trouve pour la conductance quivalente :

    1/Ceq = (1/18 0,1) + [1/1 364 (0,1)4 6,7/10] = 0,555 + 10,94 = 11,5

  • 55

    et finalement :

    1/Sef = (1/Ceq) + (1/S2) = (11,5) + (1/0,25) = 15,5

    Sef = 0,064 m3/sc) Daprs la relation 8.26, la conductance totale Ctot correspond la vitesse depompage effective :

    1/Ctot = 1/Cor + 1/Cline + 1/S2 = 0,555 + 10,94 + 4 = 15,5do lon tire pour les rsistances au pompage :

    - entre orifice : (0,555/15,5) 100 = 3,6 %- conduite : (10,94/15,5) 100 = 70,6 %- pompe : (4/15,5) 100 = 25,8 %

    On remarque que la majeure partie de cette rsistance est reprsente par laconduite. Afin daugmenter la vitesse dvacuation du gaz, on doit soit diminuerla longueur de la conduite, soit augmenter le diamtre. Cette dernire solution estla meilleure car la vitesse de pompage varie avec d3.

    nonc 8.3En disposant dune pompe vide dune capacit nominale S = 100 m3/h (28 l/s),on doit faire passer la pression de p1 = 970 mbar p2 = 1 mbar dans uneinstallation de volume V = 2 000 l remplie dair, travers une conduitecomprenant L = 10 m de tuyau de diamtre d1 = 25 mm et 3 robinets de diamtred2 = 20 mm et de longueur Lrob = 30 mm.a) Calculer le temps ncessaire pour atteindre le vide exig.b) Calculer la diminution du temps dvacuation de lair si les diamtres passentde 25 d1 = 50 mm et de 20 d2 = 40 mm.

    Solution 8.3a) En appliquant la relation 8.15 avec pm = 1 mbar = 102 Pa, le calcul de laconductance aboutit :

    - pour la conduite :

    C1 = 1 364d4(pm/L) = 1 364 (0,025)4 102/10 = 5,33 103 m3/s = 5,33 l/s- pour les robinets :

    C2 = 1 364d4pm/Ls = 1 364 (0,02)4 102/(18 0,02 + 0,03)

    C2 = 55,96 103 m3/s = 55,96 l/s

    - o Ls = Leq + Lrob ; la longueur de tuyauterie quivalente sajoute salongueur relle. Pour un rgime laminaire, le rtrcissement peutsexprimer par environ 18d2.

    On obtient pour ladmittance quivalente :

  • 56

    1/Ceq = (1/C1) + (3/C2) = (1/5,33) + (3/55,96) = 0,241Le calcul du dbit rel, en tenant compte que le dbit nominal de la pompe estS = 28 l/s, nous donne la valeur :

    1/Sef = (1/Ceq) + (1/S) = (0,241) + (1/28) = 0,277soit un dbit rel :

    Sef = 3,61 l/sLa relation 8.28 permet de dterminer le temps de vidange de linstallation :

    t = (V/Sef)2,303log(p1/p2) = (2 000/3,61) 2,303 log(970/1)

    t = 3 810 s = 63,5 min

    Remarque

    Si le temps est considr trop long, il serait inutile de prendre une pompe pluspuissante et le problme ne peut tre rsolu quen augmentant le diamtre desconduites.

    b) Avec les nouveaux diamtres, les valeurs de ladmittance deviennent :- pour la conduite :

    C1 = 1 364d4pm/L = 1 364 (0,05)4 102/10 = 85,25 103 m3/s

    C1 = 85,25 l/s- pour les robinets :

    C2 = 1 364d4pm/Ls = 1 364 (0,04)4 102/(18 0,04 + 0,03) = 465,58 103 m3/s

    C2 = 465,58 l/sOn obtient pour ladmittance quivalente :

    1/Ceq = (1/C1) + (3/C2) = (1/85,25) + (3/465,58) = 0,018On calcule le dbit rel, en tenant compte que le dbit nominal de la pompe :

    1/Sef = (1/Ceq) + (1/S) = (0,018) + (1/28) = 0,0474

    Sef = 21,1 l/sDo le nouveau temps de vidange :

    t = (2000/21,1)2,303log(970/1) = 652 s

    t 11 min

    nonc 8.4

  • 57

    On doit maintenir un rcipient sous un vide pc = 105 torr. Pour ce faire, on coupleune pompe diffusion (de vitesse S1) une pompe primaire piston tournant dontla vitesse est S2. Le tube C1 reliant le rcipient la pompe diffusion est long deL1 = 10 cm pour un diamtre d1 = 8 cm. La conduite entre les deux pompes a unelongueur L2 = 100 cm et un diamtre d2 = 1,5 cm. On estime le dbit de fuitesqF = 103 torr.litres/s et la pression la bride daspiration de la pompe primairep2 = 102 torr.Calculer les vitesses de pompage S1 et S2 des deux pompes ainsi que la vitesseeffective de la pompe primaire.

    Solution 8.4On suppose quune fois lquilibre atteint dans le systme, le dbit de fuitescorrespond au flux gazeux aspir par la pompe diffusion. Ds lors le flux aspirpar la pompe diffusion est le mme que celui absorb par la pompe primaire. Onpeut crire :

    Qp = qF = S1ef pc = S1p1 = S2ef p2 = S2 p2Selon lquation 8.27 applique la relation du flux, on obtient les vitesses depompage :

    S1 = qFC1/(C1pc qF)

    S2 = qFC2/(C2p2 qF)On calcule les conductances :

    C1 = 12,1d13/(L1 + 4d1/3) = 12,1 63/(10 + 4 6/3) = 145 l/s

    C2 = 12,1d23/(L2 + 4d2/3) = 12,1 1,53/(100 + 4 1,5/3) = 0,40 l/sIl rsulte pour les deux vitesses :

    S1 = 103 145/(145 105 103) = 322 l/s

    S2 = 103 0,40/(0,40 102 103) = 0,133 l/s = 8,0 l/minSoit la vitesse de pompage effective de la pompe primaire :

    S2ef = 103/102 = 0,1 l/s = 6 l/min

    nonc 8.5Calculer la pression limite que lon peut atteindre dans un tube en utilisant unepompe dont la vitesse effective de pompage est Sef = 300 l/s.Les dimensions du tube sont : diamtre intrieur di = 20 cm et longueurL = 100 cm.On considre que le flux qui pntre dans le tube provient uniquement dudgazage sous vide de lenveloppe mtallique. Le dbit de dgazage spcifique(aprs 4 heures) est Kd = 107 torr.litres/s.cm2.

  • 58

    Solution 8.5Puisque la seule source qui vient alimenter le tube est la dsorption et ensupposant que la variations de Sef en fonction de la pression est nulle (Vdp/dt = 0),la relation devient :

    Sp = qd = KdAmPour un tube cylindrique :

    Am = pidiL = pi 20 100 = 6 280 cm2

    Le dbit de dgazage de cette surface sera :

    qd = KdAm = 107 6 280 = 628 106 torr.litres/s

    La pression limite dans le tube est :

    plim = qd/Sef = 628 106/300

    plim = 2,1 106 torr

    nonc 8.6Il est demand de maintenir sous un vide de pression p = 50 mbar, une installationdont le volume est denviron 15 m3. La longueur de ltanchit est estime Let = 10 m, avec des fuites qet de 200 g/h par mtre de joint. Le dbit daspirationde dfinition (air 20 C) se situe autour de Qv = 18 kg/h.Une vrification de laugmentation de pression dans linstallation est effectue pardeux mesures, avec et sans introduction de gaz.La premire mesure, aprs t1 = 120 s, rvle une diffrence de pressionp1 = 10 mbar.La mesure avec introduction de gaz Qp2 = 4 kg/h donne, toujours aprs t2 = 120 s,une augmentation de pression p1 = 10 mbar.Calculer le dbit massique ncessaire la pompe installer.

    Solution 8.6Ce dbit massique se rpartit entre les gaz et les vapeurs librs par les produits vacuer et le flux qui pntre dans linstallation :

    Qp = QV + QFLe flux QF qui pntre dans lenceinte de linstallation a comme origineltanchit et le dgazage des matriaux sous vide.Pour un volume de 15 m3, suivant ltat de la surface, le dgazage des matriauxest compris entre 4 et 7 kg/h. On prend qd = 5 kg/h.Air de fuite : qF = qetLet = 0,2 10 = 2,0 kg/hSupposons que le flux entant dans linstallation QF se situe entre 2 et 5 kg/h.On choisit en premire approximation QF = 4 kg/h. Ainsi le dbit massiquedaspiration devient :

  • 59

    Qp = 18,0 + 4,0 = 22,0 kg/h

    Qp = 23,09(T/M) = 233 22,0 = 5 126 mbar.l/sDo la vitesse de pompage de la pompe :

    S = Qp/p = 5 126/50 = 102,5 l/s = 369 m3/hLe contrle de la pression aprs les deux mesures permet de dterminer un flux depntration dans lappareil :

    QF = (Qp2t2/p2){1/[(t1/p1) (t2/p2)]}

    QF = (932 120/30) {1/[(120/10) (120/30)]}

    QF = 466 mbar.l/sLa vitesse de pompage relle sera :

    S = Qp/p = (4 194 + 466)/50 = 93,2 l/s

    S = 335,5 m3/h

    nonc 8.7On souhaite raliser dans un rcipient un vide de 0,9 bar (pression p1 = 0,1 bar).On considre que la compression de lair dans la pompe vide est polytropique,avec lexposant n = 1,25. Refoulement la pression atmosphrique : p2 = 1 bara) Calculer le travail mcanique thorique de compression consomm au momento le vide dans le rcipient atteint la valeur 0,1 bar, cest--dire que la pressiondans lenceinte est p1 = 0,9 bar.b) Calculer le travail mcanique thorique de compression consomm au momento le vide devient 0,3 bar (p1 = 0,7 bar).c) Calculer le travail mcanique thorique de compression consomm au momento lon obtient le vide ncessaire de 0,9 bar.

    Solution 8.7La relation 7.8 donne le travail de compression polytropique spcifique (1 m3) dela pompe :a) p2/p1 = 1 105/0,9 105 = 1,11

    n/(n 1) = 1,25/0,25 = 5

    (n 1)/n = 0,25/1,25 = 0,2do en remplaant :

    Wt = p1[n/(n 1)][(p2/p1)(n 1)/n 1]

    Wt = 0,9 105 5[1,110,2 1]

  • 60

    Wt = 9 490 J/m3

    b) p2/p1 = 1 105/0,3 105 = 3,33Wt = 0,3 105 5[3,330,2 1]

    Wt = 40 839 J/m3

    c) p2/p1 = 1 105/0,1 105 = 10,0Wt = 0,1 105 5[100,2 1]

    Wt = 29 245 J/m3

    On observe que le travail mcanique passe par un maximum et cest pour cettevaleur que lon choisit la puissance du moteur lectrique de la pompe vide.

    Exemples dapplication du chapitre 9Distribution et circulation des fluides

    nonc 9.1Afin dassurer un dbit G = 2 880 kg/h de vapeur deau sature, il faut installer unrobinet de rglage sur une conduite pour une dtente adiabatique de p1 = 20 bar p2 = 12 bar.On considre quil ny a pas de vaporisation (cavitation) dans le robinet.Exposant adiabatique pour une vapeur sature : = 1,135a) Calculer le Kv de la vanne.b) Calculer le dbit de vapeur si par le mme robinet on fait passer de la vapeursurchauffe p1 = 24 bar et T = 300 C.

    Solution 9.1a) Lexpression du dbit-masse pour lcoulement dun fluide compressible travers un orifice se prsente sous la forme :

    G = Ap1(2/rT)1/2

    o est le facteur de dbit qui est dtermin avec la relation :

    = {(/ 1)[(p2/p1)(2/) (p2/p1)( + 1/)]}1/2

    En portant les valeurs numriques et en tenant compte que le rapportp2/p1 = 12/20 = 0,6, il vient :

    = {(1,135/0,135)[(0,6)(2/1,135) (0,6)(2,135/1,135)]}1/2 = 0,45La constante massique r se dduit en appliquant lquation dtat :

    r = p1v1/T1 = 20 105 0,09954/485 = 410 J/kg.K

  • 61

    avec v1 = 0,09954 m3/kg le volume massique de vapeur 20 bar et T1 = Tsat+ 273 = 212 + 273 = 485 KAinsi on obtient la surface de lorifice :

    A = G(rT/2)1/2/p1 = [0,8(410 485/2)1/2]/0,45 20 105

    A = 2,80 104 m2

    En appliquant la relation 9.6, on trouve :

    Kv = 5,04 104 A = 5,04 104 2,80 104

    Kv = 14,1 m3/hb) Pour la vapeur surchauffe, lexposant adiabatique est =1,30.Le rapport des pressions tant p1/p2 = 12/24 = 0,5, la fonction de dbit aura lavaleur :

    = {(1,30/0,130)[(0,5)(2/1,30) (0,5)2,30/1,30]}1/2 = 0,47avec :

    v1 = 0,09888 m3/kg le volume massique de vapeur 24 bar et 300 CT1 = Tsat + 273 = 300 + 273 = 573 Kr = 24 105 0,09888/573 = 415 J/kg.K la constante massiqueOn peut donc calculer le dbit de vapeur :

    G = Ap1(2/rT1)1/2 = 0,47 2,80 104 24 105(2/415 573)1/2

    G = 0,916 kg/s = 3 297 kg/h

    nonc 9.2On transporte de lair comprim une temprature moyenne de 30 C avec uneconduite en acier de longueur L = 2 000 m et de diamtre d = 0,4 m. Le dbit dairG = 7 000 kg/h doit arriver la sortie de la conduite la pression p2 = 1,8 bar.On considre que les pertes de pression dans la conduite sont dues uniquement aufrottement et on adopte un coefficient de frottement = 0,025.Densit de lair des conditions normales : a = 1,29 kg/m3Calculer la pression initiale ncessaire au transport de lair.

    Solution 9.2Dans le cas de conduites longues transportant du gaz, le calcul des pertes depression par frottement se fait par lintgration de la forme diffrentielle de laformule de Fanning-Darcy :

    dp = (/d)(w2/2)dL (1)

  • 62

    dans laquelle la densit et la vitesse w sont fonctions de la pression du gaz, quidiminue le long de la conduite, et le produit w qui reprsente la vitesse massiquedu courant dair reste constant.En exprimant et w par les caractristiques de lair des conditions normales :

    = 0(pT0/p0T)respectivement :

    w = w0(p0T/pT0)et en les portant dans lquation de la chute de pression (1), on obtient :

    dp = (/2d)(pT0/p0T)[(w0p0T/pT0)2]dL (2)En considrant lcoulement isotherme sur toute la conduite, on regroupe tous lesparamtres constants (y compris ) en un terme not k :

    k = 0w02p0T/2dT0Ainsi, lquation diffrentielle (2) scrit sous la forme :

    pdp = kdL

    En intgrant cette quation entre les limites p1 (pression initiale) et p2 (pressionfinale) :

    pdp = kdLon obtient :

    (p12 p22)/2 = kL

    (p12 p22) = 2kL (3)Dans les conditions de lnonc, la vitesse de lair, 0 C et 1 bar, est :

    w0 = 4 7 000/1,29 3 600 pi 0,4_ = 12,0 m/s

    Il sensuit :

    k = 0,025 1,29 122 100 000 303/2 0,4 273 = 644,3 103

    En introduisant les valeurs numriques dans lquation (3), on aboutit :p12 (180 103)2 = 2 644,3 103 2 000

    ce qui donne pour la pression initiale :

    p1 = 187 103 N/m2

    p1 = 1,87 bar

    nonc 9.3

  • 63

    Une conduite en acier de diamtre d = 40 mm et dpaisseur = 2 mm vhiculeun dbit deau Gv = 2,0 103 m3/s.On suppose une fermeture instantane de la vanne ct sortie se trouvant unedistance L = 650 m.a) Calculer la contrainte dtirement la suite de laugmentation de pression dansla tuyauterie.b) Calculer la phase du coup de blier.

    Solution 9.3a) La vitesse de propagation de londe de choc est donne par la formule deJoukowski et, pour la tuyauterie rigide en acier transportant de leau, se prsentesous la forme :

    c = 1 425/[1 + 0,01(d/)]1/2

    c = 1 425/[1 + 0,01(40/2)]1/2 = 1 301 m/sSoit laugmentation de la pression lors de la fermeture instantane des vannes :

    p = cwavec w = Gv/A0 = 4 2,0 103/pi(0,042/4) = 1,6 m/sEn exprimant cette variation de pression en mtres colonne de liquide :

    h = p/g = cw/g = 1 301 1,6/9,81 = 212 mce qui correspond 2 080 kN/m2, soit environ 21 bar.La contrainte dtirement la suite de la variation de pression sera :

    = pd/2 = 2 080 103 40/2 2 = 0,21 108 N/m2

    Cet accroissement de tension, ajout la valeur de construction = 1,1 108 N/m2, approche de la valeur limite dlasticit de lacier. cet effet il faut monter sur la tuyauterie des soupapes de sret qui souvrentautomatiquement lorsque la pression devient suprieure la valeur normale.b) La phase du coup de blier sobtient daprs