Jeudi 21 septembre 2006, soutenance de thèse de Kévin Berger 1
Etude des phénomènes couplés magnétothermiques
dans les Supraconducteurs à Haute Température
Groupe de Recherche en Electrotechnique et Electronique de NancyFaculté des Sciences et Techniques, Université Henri Poincaré Nancy 1
UMR CNRS 7037, 54506 Vandœuvre-lès-Nancy
Abderrezak REZZOUGJean LÉVÊQUE
2
Plan de l’exposé
Introduction
Modélisation & outils numériques
Résultats
I. Pertes AC dans une amenée de courant en Bi-2223
II. Aimantation d’une pastille en YBCO
Conclusion & perspectives
Introduction 3
Thermally Activated Flux Flow
Thermally ActivatedFlux Creep
Flux Flow
SHT
J
E
0Jc
Ec
0
SBT
Jc
E
00 J
Comportement électrique d’un SHT
Modélisation d’un SHT nécessite une loi de comportement E(J)
Loi en puissancenE J
Modèle de Bean
0
cJ
J
Introduction 4
Problématique
( )n
cc
JE J EJ
1 μV/cm( )
(log ) / (log )
c
c c
EE J En E J
( , )
( , , )( , )
n T
cc
JE J T EJ T
B
BB
Loi en puissance telle que
Jc et n dépendent de B et T
Pour simuler le comportement des SHT Résoudre un problème couplé magnétothermique
Difficile car fortement non linéaire
5
Plan de l’exposé
Introduction
Modélisation & outils numériques
Résultats
I. Pertes AC dans une amenée de courant en Bi-2223
II. Aimantation d’une pastille en YBCO
Conclusion & perspectives
Modélisation & outils numériques 6
Formulation E-J
.
Dans le supraconducteur Dans l’air
Avantages Bonne convergence car on utilise une loi E(J) et non J(E) En 1D et 2D, il n’y a qu’une seule inconnue à calculer
• J dans le supraconducteur • E dans l’air
0 0 0t
t
H JJB H EBE
0( ) 0t
JE J
0 0 J EE
E
J
J
CI
CI1
234
1
2
3
( ) 0E J cste ( ) 0J E cste
Modélisation & outils numériques 7
Equation thermique
Pour un matériau conducteur
Echanges par convection
( ) 0p vTT C pt
T h T T n
vp E J
conductivité thermique masse volumique
Cp chaleur spécifique
pv puissance volumique dissipée
hcoefficient d’échange fluide / supraconducteur
n normale orientée à la surface du supraconducteur
T température du fluide cryogénique
Modélisation & outils numériques 8
Couplage magnétothermique
Système à résoudre
Développement d’un code de calcul en C++ basé sur la MDF Méthode de résolution par « couplage faible »
Bien adaptée pour des diffusivités très différentes (ex. : Bi-2223)• Diffusivité thermique :• Diffusivité électrique :
Plus simple à mettre en œuvre Matrices plus petites gain de mémoire
( , )
0 0( , )
( ) 0
n T
cc
p
EJ T t
TT Ct
BJ J JB J
E J
1 21.36 10 m / spC 5 2
0 3.13 10 m / sc cE J
( , )
0 0( , )
( ) 0
n
cc
p
T
EJ tT
tTCT
BJ J JB J
E J
9
Introduction Modélisation & outils numériques Résultats
I. Pertes AC dans une amenée de courant en Bi-2223• Caractérisation, simulations, mesures• Etude de la stabilité
II. Aimantation d’une pastille en YBCO• Processus d’aimantation• Paramètres influençants• Critère dimensionnant
Conclusion & perspectives
Plan de l’exposé
Résultats I : Etude des pertes 10
2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.80.1
1
10
Symbole Quantité Valeur
l longueur 16 cm
Ri rayon intérieur 3.75 mm
Re rayon extérieur 5 mm
Caractéristiques
Tube en Bi2Sr2Ca2Cu3O10+δ Plongée dans un bain d’azote liquide 77 K Caractéristique E-J en champ propre
2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.80
2
4
6
8
10
Densité de courant, J (A/mm2)
Cha
mp
élec
triqu
e, E
(μV
/cm
)
masse volumique 5 g / cm3
Cp chaleur spécifique 170 J / (kg · K)
conductivité thermique 4 W / (m · K)
h coefficient d’échange avec l’azote 400 W / (m2 · K)
Tc température critique 107 K
Ec champ électrique critique 1 μV / cm
Jc0 densité de courant critique pour B = 0 2.54 A / mm2
Ic0 courant critique pour B = 0 87 A
n0 exposant n pour B = 0 23Jc
Ec
n
Résultats I : Etude des pertes 11
0.2 0.5 1 2 3
0.1
1
10
Densité de courant, J (A/mm2)
Cha
mp
élec
triqu
e, E
(μV
/cm
)
85 mT 0 mT18 mT
B
0.2 0.5 1 2 3
0.1
1
10
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.1
1
10
0 20 40 60 80 1000
5
10
15
20
250
1
2
3
0
1
2
3
0 20 40 60 80 1000
5
10
15
20
25
0 20 40 60 80 1000
5
10
15
20
250
1
2
3
Dépendance en champ magnétique
Den
sité
de
cour
ant c
ritiq
ue,
Jc (
A/m
m2 )
Expo
sant
, n
Induction magnétique appliquée, B (mT)
1.83
1.611 ( / 0.059)( ) 2.541 ( / 0.0079)
cBJ BB
1.2
1.381 ( / 0.021)( ) 4.2 (23.3 4.2)
1 ( / 0.0048)Bn B
B
Jc
Ec
n
E (μ
V/c
m)
18 mT
Résultats I : Etude des pertes 12
Mesures d’aimantation sur un petit échantillon similaire à l’amenée de courant
.
Hypothèse : dépendances en B et T indépendantes .
.
80 85 90 95 100 10516
18
20
22
240
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Dépendance en température
Den
sité
de
cour
ant c
ritiq
ue
rédu
ite, J
c(T) /
Jc(7
7 K
)Ex
posa
nt, n
Température, T (K)
( ) 1 /106.9(77 K) 1 77 /106.9c
c
J T TJ
77( ) 23.3n TT
( )( , ) ( )
(77 K)c
c cc
J TJ B T J BJ
( )( , ) ( )(77 K)n Tn B T n B
n
3 /c eJ M R
80 85 90 95 100 10516
18
20
22
24
Température, T (K)
Résultats I : Etude des pertes 13
Tbain
Tube Bi-2223Tbain
i
( )bainr R
T h T Tr
e
( )bainr R
T h T Tr
i
0r R
er
e
0
e
( )2r R
e di tr R dt
2
02 0
1 =0, 0t
e e j er r r t
2
2 00, p baint
T T TC e j T Tr r r t
Tbain
Tube Bi-2223Tbain
i
( )bainr R
T h T Tr
e
( )bainr R
T h T Tr
i
0r R
er
e
0
e
( )2r R
e di tr R dt
2
02 0
1 =0, 0t
e e j er r r t
2
2 00, p baint
T T TC e j T Tr r r t
Tbain
Tube Bi-2223Tbain
i
( )bainr R
T h T Tr
e
( )bainr R
T h T Tr
i
0r R
er
e
0
e
( )2r R
e di tr R dt
2
02 0
1 =0, 0t
e e j er r r t
2
2 00, p baint
T T TC e j T Tr r r t
Description des simulations
Longueur infinie problème 1D
i(t) = Imax sin(2×50×t) Bt (t) = 0×i(t) / 2Re
20 points dans l’épaisseur
Pas de temps de 10-5 s 2000 points par période 2 périodes 1 min de calcul
Résultats I : Etude des pertes 14
Répartition de la température Simulation pour Imax = 126 A et B = 0 (Ic0 = 87 A)
1000 périodes (20 s) 24 h de temps de calcul Simplification température globale
3.75 4 4.25 4.5 4.75 577.9
78
78.1
78.2
78.3t = 5 st = 10 st = 20 s
Tem
péra
ture
, T (K
)
Rayon du tube, r (mm)
1 / 1tt bain t
PT T T
t hA t
pCt
hA
constante de temps thermique 1.33 s
t pas de temps utilisé 20 ms
A surface d’échange avec le bain 88 cm2
volume du supraconducteur 5.5 cm3
Résultats I : Etude des pertes 15
2
1
12 1 11
01 0.3( ) 2 ( )
6
tn n nn c
t max R c c nc t
EP I l E f I f i t dtn I
2
1
( , ) ( , ) ( , )
( , )
12
( )
1
1,
10
1
1 0.36
( , , )
2 (
( , )( , )
()
( , ,
,
) 1
)
/
t t t
t
t
T T Tt
tt
TT
R c
max tc
t
ma
n B n B n Bc
n Bn B
c
x baint
t
ttt
t
E f
I B l
TT
T
TEf i t dt
I
I Bn
B TT
P
PP Tt hA t
B
I B
2
1
( , ) ( , ) ( , )
( , )( , )
12 1 1
0
1
1 0.36
( , , )
2 ( )
( , )( , )
( , )
t t t
t
t
n B T n B T n B Tc tR c
t max t tc
t
n B Tn B T
c t t
I B Tn B T
I B T
E f
P I B T lEf i t dt
2
1
12 1 11
01 0.3( ) 2 ( )
6
tc
t max R ct
n n nnc n
c
EP II l E f fn
tI
i t d
Formule analytique B. Douine, formule de pertes en champ propre pour Imax > Ic
Résultats I : Etude des pertes 16
Comparaison numérique et analytique
0 5 10 15 20
77.4
77.6
77.8
78
78.2
NumériqueAnalytique
Tem
péra
ture
, T (K
)
Temps, t (s)
Résultats parfaitement identiques Pour le calcul de l’évolution de la température jusqu’à 20 s
24 h en numérique (avec notre code de calcul) instantané en analytique
0 20 40 60 80 100 12010-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
0 50 10010-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1000 mT3.5 mT7.1 mT10.6 mT21.3 mT42.6 mT71.1 mT
Perte
s, P
(W/m
)
Amplitude du courant, Imax (A)
B
Résultats I : Etude des pertes 17
Amplificateur différentiel
Azote liquide (77 K)
Réseau400 V / 50 Hz
Autotransformateur motorisé
Transformateur
Charge résistive
Sonde de courant
Oscilloscope numérique
( )i t
( )u tChamp magnétique
appliqué
Mesure des pertes AC
Résultats I : Etude des pertes 18
10 20 30 40 50 60 7010-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
0 20 40 60 80 100 12010-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
0 20 40 60 80 100 12010-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
0 20 40 60 80 100 12010-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
0 50 10010-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1000 mT3.5 mT7.1 mT10.6 mT21.3 mT42.6 mT71.1 mT
B
Perte
s, P
(W/m
)
Amplitude du courant, Imax (A)
Perte
s, P
(W/m
)Comparaison analytique et mesures
Limitation des pertes mesurées à 0.1 W/m pour ne pas risquer la destruction de l’échantillon
B > 7 mT bonne concordance Concordance médiocre à faible
champ magnétique appliqué Ne correspond pas aux applications
usuelles des supraconducteurs
Hypothèses avancées Champ propre négligé Erreurs de mesures liées notamment
à l’orientation du champ
B = 7.1 mTB = 0 mT
Résultats I : Etude des pertes 19
Influence du couplage thermique
Prise en compte du couplage thermique différences importantes 82 % d’augmentation sur la valeur des pertes
À l’origine des instabilités magnétothermiques également observées expérimentalement 2 amenées de courant détruites
105 110 115 120 125 0
5
10
15
20
25
30Sans couplage thermiqueAvec couplage thermique
Perte
s, P
(W/m
)
Amplitude du courant, Imax (A)0 5 10 15 20
77.5
78
78.5
79
79.5
80 Imax = 125 AImax = 126 AImax = 127 A
Tem
péra
ture
, T (K
)
Temps, t (s)
Instable
10.5 W/m
19.1 W/m
Résultats I : Etude des pertes 20
77
78
79
80
81
82
0 5 10 15 20125128
128 A125 A à T = 80.5 K125 A à T = 79.5 K
77
78
79
80
81
82
8 s77
78
79
80
81
82
77
78
79
80
81
82
0 5 10 15 20125128
128 A125 A à T = 80.5 K125 A à T = 79.5 K
7 s
77
78
79
80
81
82
0 5 10 15 20125128
128 A125 A à T = 80.5 K125 A à T = 79.5 K
77
78
79
80
81
82
La limite de stabilité a été déterminée théoriquement Stable en régime permanent les pertes et la température Instable
le temps avant que le supraconducteur transite (par dépassement de Tc) une température à ne pas dépasser pour redevenir stable
Limite de stabilité
0 20 40 60 80 1000
20
40
60
80
100
120
Am
plitu
de d
u co
uran
t, I m
ax (A
)
Induction magnétique appliquée, B (mT)
Stable
Instable
Temps, t (s)
Tem
péra
ture
, T (K
)I m
ax (A
)
Résultats I : Etude des pertes 21
Discussion
Grâce aux abaques établis théoriquement les marges de fonctionnement sont connues la destruction de l’échantillon peut ainsi être évitée
Se souvenir des hypothèses faites différences avec l’expérience
Veiller aux phénomènes non considérés Par exemple, l’échauffement provoqué par une résistance
importante sur un contact de mauvaise qualité
22
Introduction Modélisation & outils numériques Résultats
I. Pertes AC dans une amenée de courant en Bi-2223• Caractérisation, simulations, mesures• Etude de la stabilité
II. Aimantation d’une pastille en YBCO• Processus d’aimantation• Paramètres influençants• Critère dimensionnant
Conclusion & perspectives
Plan de l’exposé
Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 23
Développement des SHT à structure cristalline (YBaCuO, …) Jc proche de 1000 A/mm2 à 77 K
Très intéressants en tant que cryoaimants (ou écrans magnétiques) Piégeage (ou écrantage) de forts champs magnétiques
Cryoaimants + machine électrique fort couple meilleur rapport Puissance/Volume qu’une machine classique
Cryoaimants
Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 24
Processus d’aimantation
Refroidissement sous champ champ magnétique piégé maximal La méthode “Pulsed Field Magnetization” (PFM)
la plus utilisée car plus commode à mettre en œuvre
Pastille pleine en Y1Ba2Cu3O7+ (Фe = 24 mm et h = 8 mm)
( ) exp 1a mt tB t B
avec 1 ms 0 1 3 4 5 10 15 200
20 %40 %
100 %
Cha
mp
appl
iqué
, Ba/B
m
Temps, t (ms)
( ) exp 1a mt tB t B
Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 25
Différentes lois E(J, B, T) Paramètres influençant l’aimantation ?
4 lois E(J, B, T) ont été utiliséesNom Modèle pour la loi E(J, B, T)
E-J
E-J-T
E-J-B
E-J-B-T
0
0
n
cc
JEJ
( )0 0 1
10 0
avec ( ) et ( )( ) 1 / 1 /
nc
c cc
J J n nE J n nJ B B
B
B BB B B
( , )0
0
0 11
0
1 / avec ( , )( , ) 1 / 1 /
et ( , )1 /
nc c
c cc bain c
b n
T
ai
J J TE JJ B T T
n n Tn nB
TTT
TT
B
BB B
BB
( )
0 01 / avec ( ) et ( )
( ) 1 /
nc ba
Tin
c c cc bain c
J T TE J J n nJ T T
TT TT T
Jc0 = 500 A / mm2
n0 = 20B0 = 0.5 T
n1 = 5
Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 26
Loi E-J
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
80 85 90 95 100 80 85 90 78 79 77.3 77.302 77.304
0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5 2
2A / mm
T T
K K
0.2 mst 4 mst 0.4 mst 1 mst 3 mst 20 mst 0.2 st 2 st 20 st 200 st
(a)
(b)
(c)
0 1 3 4 5 10 15 200 1 T 2 T
5 T
ms
z
r/ 2 4 mmh
( )aB t
12 mmeR
Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 27
Loi E-J-B
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0.5 1 1.5
78 80 82 84 86 88 90 92 94 80 85 90 77.5 79.5 77.301 77.302
2A / mm
T T
K K
0.2 mst 4 mst 0.4 mst 1 mst 3 mst 20 mst 0.2 st 2 st 20 st 200 st
(a)
(b)
(c)
0 1 3 4 5 10 15 200 1 T 2 T
5 T
ms
z
r/ 2 4 mmh
( )aB t
12 mmeR
Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 28
Loi E-J-T
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
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0 5 10 1505
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0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0.5 1 1.5
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
78 80 82 84 86 88 90 78 88 77.5 79.5 77.3 77.30004
2A / mm
T T
K K
0.2 mst 4 mst 0.4 mst 1 mst 3 mst 20 mst 0.2 st 2 st 20 st 200 st
(a)
(b)
(c)
0 1 3 4 5 10 15 200 1 T 2 T
5 T
ms
z
r/ 2 4 mmh
( )aB t
12 mmeR
Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 29
Loi E-J-B-T
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
0 5 10 1505
1015
78 80 82 84 86 88 78 86 77.5 79 77.3 77.3002
2A / mm
T T
K K
0.2 mst 4 mst 0.4 mst 1 mst 3 mst 20 mst 0.2 st 2 st 20 st 200 st
(a)
(b)
(c)
0 1 3 4 5 10 15 200 1 T 2 T
5 T
ms
z
r/ 2 4 mmh
( )aB t
12 mmeR
Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 30
Champ magnétique piégé
Le champ piégé n’a pas la même forme suivant la loi utilisée E-J pénétration incomplète
max(Bz) = 1.3 T E-J-B max(Bz) = 0.95 T E-J-T max(Bz) = 1.6 T E-J-B-T max(Bz) = 0.87 T
Diminution de 33 % entre la loi E-J et la loi E-J-B-T
0 2 4 6 8 10 12
0
0.5
1
1.5 E-J
E-J-BE-J-TE-J-B-T
Cha
mp
mag
nétiq
ue, B
z (T)
Rayon, r (mm)
Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 31
0 1 2 3 4 5 6 70
1
2
3
4
E-JE-J-BE-J-TE-J-B-T
Amplitude du champ appliqué, Bm (T)
Ener
gie
stoc
kée,
Em
ag (J
)Energie magnétique stockée
Dépendance en B engendre une diminution du maximum
d’énergie stockée et de la valeur pour laquelle ce
maximum est atteint Dépendance en T engendre
une diminution de l’énergie au-delà d’une certaine valeur de Bm(à cause des dissipations)• phénomène également observé
expérimentalement par d’autres auteurs
3
1 12 2
s
magE dv dv
R
H B A J
Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 32
Ener
gie
stoc
kée,
Em
ag (J
)
Amplitude du champ appliqué, Bm (T)0 1 2 3 4 5 6 70
0.5
1
1.5
2
2.58-0-248-8-248-16-2412-0-2416-0-24
Valeur optimale de Bm
Maximum pour Bm 1.5 Bp*
Paramètres de la loi Jc(B) Jc0 et B0
Paramètres géométriques Re et Ri
*0
01 1 2 p
pB
B BB
La valeur optimal de Bm est un critère important qui permet de dimensionner le dispositif d’aimantation
h Фi Фe
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.58-0-248-8-248-16-2412-0-2416-0-24
Amplitude réduite du champ, Bm / Bp*
Ener
gie
stoc
kée,
Em
ag (J
)
0 0 ( )p c e iB J R R
Conclusion et perspectives 33
Conclusion Influence du couplage thermique sur les pertes et l’aimantation Formule analytique des pertes très utile Différences importantes de comportement durant l’aimantation
Bm 1.5 Bp* critère dimensionnant très intéressant
Perspectives Vérifications expérimentales mesures de températures Des modifications du code de calcul permettraient d’étudier
également le comportement magnétothermique d’un limiteur de courant, d’un palier magnétique, …
Merci de votre attention !
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