Programme
• 9 h Cours, 9 h TD, 6h TP – 3 ECTS • Dipôles linéaires et association de dipôles. • Régime sinusoïdal monophasé : représentation vectorielle
et complexe, amplitude et impédances complexes. • Puissance instantanée, puissance apparente, puissance
active et réactive. • Théorème de Boucherot. • Relèvement du facteur de puissance et influence sur les
pertes en ligne. • Initiation aux grandeurs triphasées et aux réseaux de
distribution de l’énergie électrique. • Transformateur monophasé idéal.
2
3
Cours N°1 :
Chapitre 1 : Energie électrique
4
Energie électrique
Production Transport Distribution Conversion Utilisation
5
Energie électrique
Production (France) énergie électrique le 8 février 2016 (RTE)
6
Energie électrique :
Stockage de l’énergie électrique sous d’autres formes
station de transfert d’énergie par pompage (STEP)
Accumulateur Li-ion 7 kWh
8
Energie électrique :
Production Transport Distribution Conversion Utilisation
9
Production mondiale d’énergie en 2012
Energies primaires : 155 500 TWh Energie électrique (Energie secondaire) : 10 000 TWh
1 tep= 42 milliards de joules = 42 GJ = 42 109 J = 11700 kWh
10
Production Electrique mondiale d’énergie électrique en 2014
10 000 TWh
12%
68% (~40% Charbon)
16%
4%
http://www.cnrs.fr
Nucléaire
Fossile
Hydroélectrique
Géo./Eolien/Solaire/…
11
Production d’énergie électrique en France : 550 TWh (2014)
Pertes : 15 TWh (2014)
Consommation d’énergie électrique métropolitaine 460TWh (2014)
12
Puissance électrique moyenne
550 (TWh) = 8760 (h/an) x 63 (GW)
Pour information, RTE (Réseau de Transport d’Electricité) propose une application Android et IOS permettant
d’observer la production et la consommation en temps réel d’énergie électrique en France :
13
Production d’énergie électrique : turbo-alternateur (turbine à vapeur + alternateur)
Alternateur Transformateur
14
Voici par exemple à gauche l’une des salles des machines de la centrale de Flamanville.
15
Energies renouvelables ( France 2015)
16
Fonctionnement d’une éolienne idéalement positionnée : 2000h par an
Production d’une éolienne moyenne de 2MW : Environ 600KW en moyenne sur une année
= ~ 5000 éoliennes
1 centrale nucléaire
17
Energie électrique
Production Transport Distribution Conversion Utilisation
18
Réseau électrique
Ensemble des infrastructures (transport, répartition, distribution et protection) visant à acheminer l’énergie électrique des centres de production vers les consommateurs
19
Les réseaux électriques
• Réseaux de transport : réseaux HTB (maillés) de transport des gros centres de production vers les régions consommatrices (400KV et 225KV en France) • Réseaux de répartition : réseaux HTB (bouclés) assurant la desserte à l’échelle régionale (90KV et 63KV en France).
• Réseaux de distribution : réseaux HTA et BT inférieurs à 50KW (en arbre), assurant l’alimentation de la clientèle (sauf gros clients)
20
Les réseaux de transport et de répartition sont principalement gérés par RTE
21
Ces différents réseaux et installations suivant leurs niveaux de tension transportés :
Niveaux de tension normalisés en vigueur en France (ac) (UTE C18-510)
HTB HTA BT TBT
Un > 50KV 1KV < Un ≤ 50KV
50V < Un ≤ 1KV Un ≤ 50V
Anciennes appellations encore couramment rencontrées !
THT HT MT BT
Un > 200KV 35KV < Un ≤ 200KV 1KV < Un ≤ 35KV Un < 1KV
Niveaux les plus couramment rencontrés en France
400KV 225KV 90KV 63KV 20KV 15KV 400V 230V
Réseaux de transport et de répartition
Réseaux de distribution
22
Réseau de transport d’électricité français
23
Le transport de l’énergie électrique se fait le plus couramment en alternatif. Les tensions imposées sur les réseaux Français sont triphasées sinusoïdales. Quel que soit le réseau électrique, toutes les grandeurs travaillent à 50Hz :
ωt (rad/s)
Ligne moyenne tension
V1(t) V2(t) V3(t)
t (s) 2 π/3 4 π/3
0
2π
T = 20 ms f = 50 Hz F = 1/T
V1(t) V2(t) V3(t)
24
Les tensions de production sont différentes des tensions de transport. Sur des distance supérieures à quelques kilomètres, il y a nécessité d’élever les niveaux de tension avant de transporter l’énergie électrique :
• Réduction des chutes de tension en ligne • Limitation des pertes par effet Joule (15 TWh environ par an) • Amélioration de la stabilité des réseaux (plus faible sensibilité aux perturbations)
25
Ligne 400 kV du réseau RTE
Câble de garde relié à la terre (paratonnerre)
Faisceau de 3 conducteurs (entre 2 et 4 en général)
Les conducteurs sont nus et de façon général en alliage d’aluminium
(cuivre trop lourd et trop coûteux)
Isolateur (~20KV par assiette)
L’ensemble de 3 phases électriques représente un terme
Pylône relié à la terre
26
Transport en continu (HVDC).
• 2 conducteurs au lieu de 3
• Interconnexion entre pays (fréquences et tensions différentes)
• Pas de compensation de puissance réactive
27
Energie électrique
Production Transport Distribution Conversion Utilisation
28
Réseaux de distribution :
• Structure en arborescence
• 4 niveaux de tension (20KV, 15KV, 400V et 230V – 50Hz) :
•Topologie plus simple et donc moins coûteuse
• Topologie moins robuste
29
Poste de transformation 20KV/230V sur poteau (HTA/BT) :
Arrivée HTA aérienne
(20KV)
Isolateurs
Transformateur 20KV/230V
Départ BTA souterrain
(230V)
Protection BT (disjoncteur)
parafoudre
Support Transformateur
Commande Manuelle
30
Energie électrique
Production Transport Distribution Conversion Utilisation
31
Energie électrique
Production Transport Distribution Conversion Utilisation
Machines électriques
32
Le fonctionnement d’une machine électrique tournante est entièrement réversible, moteur ou alternateur/générateur. Applications en forte puissance, deux technologies triphasées alternatives se détachent : • Machines Synchrones (MS) : production électrique, transport …
• Machines Asynchrones (MAS) : industrie, moteur vitesse fixe …
Rotor
Stator
Machine synchrone
Machine asynchrone
Stators identiques (grandeurs triphasées)
33
Applications des machines électriques
AGV Alstom (MS à aimants)
Eoliennes 5M RePower (MAS )
A380 Airbus (MS – générateurs à
fréquences variables VFG)
PRIUS Toyota (MS à aimants)
Ligne de montage Peugeot
(MS/MAS)
34
Nouvelles rames de métro (MAS )
Chaîne de montage Chrysler Camaro
TGV Duplex (MAS ) Machine à laver
(MAS )
PRIUS (MS à aimants)
Chaîne d’embouteillage Qingdao
Dans la grande majorité des cas, les machines électriques tournantes sont utilisées en fonctionnement moteur.
35
Pour la production d’électricité, les machines électriques les plus répandues restent les machines synchrones :
Barrage des trois gorges (alternateurs MS – Alstom et Audritz)
5M RePower (MAS – fonctionnement MADA)
A380 de chez Airbus : MS (générateurs) à fréquences variables VFG 360-800Hz
Frégate furtive Courbet (système hybride pour la propulsion et la génération électrique)
36
Energie électrique
Production Transport Distribution Conversion
Utilisation
Transformateurs
37
Introduction – Production – Transport – Protection – Conversion – Utilisation
Un transformateur assure une conversion électrique sans modification de la fréquence des grandeurs, Seuls les amplitudes des courants et tensions sont impactées. Un transformateur est réversible. Utilisation principale sur les réseaux électriques pour de l’élévation ou abaissement de niveaux de tension avant transport, répartition ou distribution :
38
Transformateurs 400KV Alstom présents sur les réseaux de transport (RTE) :
Noyau magnétique et enroulements
Transformateur en test Transformateur en service
39
Structure d’un transformateur
Transformateur monophasé
Transformateur monophasé
Transformateur triphasé
Bobine haute tension
Isolant Galvanique (électrique)
Bobine basse tension
Noyau magnétique (isolation Galvanique)
Bornier primaire/secondaire
40
Energie électrique :
Production Transport Distribution Conversion Utilisation
Electronique de puissance
41
La structure électronique présentée ci-dessous est universelle et se nomme hacheur quatre quadrants (ou pont en H). En fonction des applications visées, des structures moins riches en transistors existent (buck, boost, flyback, forward …) :
Source
Charge (à alimenter)
Interrupteurs Statiques
(transistors, diodes, thyristors)
42
Les structures de l’électronique de puissance sont aptes à réaliser tous types de conversions électriques vers électriques : • Continu vers Alternatif : Onduleurs (structure hacheur) • Alternatif vers Continu : Redresseurs
• Continu vers Continu : Hacheurs
• Alternatif vers Alternatif (fréquence variable) : Redresseurs et
Onduleurs
43
Introduction – Production – Transport – Protection – Conversion – Utilisation
Prenons quelques exemples d’applications :
Alimentation d’ordinateur fixe
Alimentation d’ordinateur portable
Alimentation Xbox One
Alimentation terminaux mobiles
Véhicules hybrides et électriques
Ferroviaire
44
Energie électrique
Production Transport Distribution Conversion Utilisation
45
Usages et applications de l’énergie électrique
• Eclairage : domestique, publique, industrie …
• Chauffage : domestique, publique, industrie …
• Moteurs : industrie , domestique …
• Stockage : électrochimie (batterie, pile …)
• Automatisme : Automatisation de processus (automates programmables) …
46
Utilisation de l’énergie électrique par les particuliers
Eclairage
Moteur Compresseur
Chauffage
47
Cours N°2 :
Chapitre 2 : Puissances en régime sinusoïdal (1)
u(t) =U 2 cos wt +qu( )
48
Grandeurs Sinusoïdales 1.2 Représent at ion des grandeurs sinusoïdales en fonct ion du t emps
Exemple : deux tensions sinusoïdales de même pulsat ion ω = 100π caractérisées par
leurs valeurs efficaces et leurs phases à l’origine :
U1 = 220V et θu1 =π3rad et U2 = 110V et θu2 = − π
3rad.
Amplitude : valeur maximale posit ive de la tension sinusoïdale Um = U√2
Exemple : Um1 = 311V, Um2 = 155V
u1(t) = 311cos 100πt +π
3V
u2(t) = 155cos 100πt −π
3V
Période : T = 2πω
Exemple : T = 20ms
Fréquence : f = 1T= ω
2π
Exemple : f = 50Hz
1.3 Représent at ion de Fresnel
Vecteur de Fresnel :−→U = U cosθu
−→ex + U sin θu−→ey
3
u(t)¾®¾U
qu
i(t)¾®¾I
qi
En régime sinusoïdal permanent toutes les grandeurs électriques sinusoïdales uk(t) et ik (t) ont la même fréquence f unique des sources
Valeur efficace : U Amplitude : Um= U√2 Phase à t = 0 : θu
Fréquence : f = 2πω
Outil complexe
i(t)= I 2 cos wt +qi( )
49
Valeur efficace
u(t) =Um
cos wt +qu( )
U 2 =1
TUm
2 cos2 wt '+qu( )t-T
t
ò dt ' =Um
2
2T1+ cos 2wt '+2qu( )éë ùû
t-T
t
ò dt ' =…
…=Um
2
2Tdt '+ cos 2wt '+2qu( )
t-T
t
ò dt 't-T
t
òé
ëê
ù
ûú=Um
2
2
En régimesinusoidal U =Um
2I =
Im
2
Valeur efficace:U =1
Tu2 (t ')
t-T
t
ò dt '
La valeur efficace de la tension (du courant) est sa valeur équivalente en continu, qui produit la même dissipation de puissance lorsque le signal est appliqué à une résistance R.
Racine carrée de la Moyenne du Carré de la valeur instantanée
50
Représentation des grandeurs sinusoïdales Vectorielle
u(t) =Um
cos wt +qu( )
Représentation de Fresnel (à l’origine des temps : t = 0)
Diagramme vectoriel des tensions, courants
+wt
1.2 Représent at ion des grandeurs sinusoïdales en fonct ion du t emps
Exemple : deux tensions sinusoïdales de même pulsat ion ω = 100π caractérisées par
leurs valeurs efficaces et leurs phases à l’origine :
U1 = 220V et θu1 =π3rad et U2 = 110V et θu2 = − π
3rad.
Amplitude : valeur maximale posit ive de la tension sinusoïdale Um = U√2
Exemple : Um1 = 311V, Um2 = 155V
u1(t) = 311cos 100πt +π
3V
u2(t) = 155cos 100πt −π
3V
Période : T = 2πω
Exemple : T = 20ms
Fréquence : f = 1T= ω
2π
Exemple : f = 50Hz
1.3 Représent at ion de Fresnel
Vecteur de Fresnel :−→U = U cosθu
−→ex + U sinθu−→ey
3
qu U
I qi
51
Représentation des grandeurs sinusoïdales Complexe
i(t)¾®¾ I = I exp j qi( )
u(t) =Um
cos wt +qu( ) i(t) = I
mcos wt +q
i( )
u(t) =U 2 exp j wt +qu( )é
ëùû
i(t) = I 2 exp j wt +qi( )é
ëùû
Diagramme complexe des tensions, courants
Représentation complexe (en rotation wt)
Représentation complexe (à t = 0)
u(t)¾®¾U =U exp j qu( )
1.4 Représentat ion par les complexes
Valeur complexe de la grandeur sinusoïdale x(t) = X√2cos(ωt + θ) :
x(t) = X√2exp (j ωt)
X = X exp (j θ)
Il suffit de représenter X pour décrire la grandeur sinusoïdale car la part ie temporelle
exp (j ωt) est commune à toutes les gardeurs sinusoïdales en régime forcé.
Valeur complexe de la tension efficace :
U = U cosθu + j U sinθu = U exp (j θu)
Module : |U| = U
Argument : argU = θu
Exemple :
U1 = 220ej π3 = 220cos
π
3+ j 220sin
π
3= 110+ 191j (V)
U2 = 110e− j π
3 = 110cos−π
3+ j 110sin−
π
3= 55− 95, 3j (V)
1.5 Opérat ions sur les grandeurs sinusoïdales
Addit ion des vect eurs de Fresnel :
−→U =
−→U1 +
−→U2
4
+wt
U
I
jUsinqu
Ucos qu
qu
qi
52
Lois de Kirchhoff
I eentrant
å = I ssortant
å
Umaille
å = 0
CHAPITRE 6. ASSOCIATIONSD’IMPÉDANCES , THÉORÈMESGÉNÉRAUX 48
Figur e 6.3 – Loi des noeuds appliquée à un noeud d ’un réseau
I 1 + I 2 = I 3 + I 4 + I 5 (6.21)
ou de façon générale la loi des noeuds s’écrit :
k= n
k= 1
I k = 0 (6.22)
e= n1
e= 1
I e =
s= n2
s= 1
I s (6.23)
6.2.2 Lois des mail les
La somme des tensions complexes comptabilisées dans un sens donné le long d’une
maille est nulle.
Figur e 6.4 – Loi des mail les appl iquée à une mail le d’un réseau
UAA = 0 = −I 3j C3ω
+ E 1 − R1I 1 − R2I 1 (6.24)
UBB = 0 = − I 4j L3ω− R7I 4 −I 3j C3ω
− E 2 (6.25)
CHAPITRE 6. ASSOCIATIONS D’IMPÉDANCES , THÉORÈMESGÉNÉRAUX 48
Figur e 6.3 – Loi des noeuds appl iquée à un noeud d ’un réseau
I 1 + I 2 = I 3 + I 4 + I 5 (6.21)
ou de façon générale la loi des noeuds s’écrit :
k= n
k= 1
I k = 0 (6.22)
e= n1
e= 1
I e =
s= n2
s= 1
I s (6.23)
6.2.2 Lois des mail les
La somme des tensions complexes comptabilisées dans un sens donné le long d’une
maille est nulle.
Figur e 6.4 – Loi des mail les appl iquée à une mail le d ’un réseau
UAA = 0 = −I 3j C3ω
+ E 1 − R1I 1 − R2I 1 (6.24)
UBB = 0 = − I 4j L3ω− R7I 4 −I 3j C3ω
− E 2 (6.25)
Loi des nœuds :
Loi des mailles
jL > 0
53
Impédance complexe
R= Zcosj
X = Zsinj
Z = R2 + X2
tanj =X
Z
O Re(Z)
Im(Z)
Diagramme complexe des impédances
R = 100 W
j XL = j 48,2 W
XL > 0
ZL = ZC = 111 W
ZL
j XC = - j 48,2 W
XC < 0
jC<0
ZC
U = ZI
Loi d’ohm complexe (CSR)
Z =R+ jX = Zexp jj
Impédance complexe
U = Z I
j =qu -qi
Loi d’ohm complexe :
U = (U1 cosθu1 + U2 cosθu2)2+ (Um1 sin θu1 + U2 sinθu2)
2
θu = arctanU1 sinθu1 + U2 sinθu2
U1 cosθu1 + U2 cosθu2
Addit ion des valeurs complexes efficaces :
U = U1 + U2 = U1 cosθu1 + U2 cosθu2 + j (U1 sinθu1 + U2 sinθu2)
U = |U|
θu = argU = arctanIm(U)
Re(U)
Exemple :
U = 165+ 95, 3j V
U = 190, 5V
θu =π
6rad
2 Impédance et admit t ance d’un dipôle
2.1 Convent ion
5
Représentation temporelle
UejqU = Zejj × IejqI = Z × Iej j+qI( )
2 équations réelles
> 0 ou < 0
> 0
54
Puissance moyenne en régime sinusoïdal
p(t) = u(t) × i(t)
U = (U1 cosθu1 + U2 cosθu2)2+ (Um1 sin θu1 + U2 sinθu2)
2
θu = arctanU1 sinθu1 + U2 sinθu2
U1 cosθu1 + U2 cosθu2
Addit ion des valeurs complexes efficaces :
U = U1 + U2 = U1 cosθu1 + U2 cosθu2 + j (U1 sinθu1 + U2 sinθu2)
U = |U|
θu = argU = arctanIm(U)
Re(U)
Exemple :
U = 165+ 95, 3j V
U = 190, 5V
θu =π
6rad
2 Impédance et admit t ance d’un dipôle
2.1 Convent ion
5
P=1
Tp(t ')dt '
t-T
t
ò =1
Tu(t ') × i(t ')dt '
t-T
t
ò
Pmoyenne = P= PT= P=UI cosj
Puissance instantanée (aucune hypothèse de convention de signe)
Puissance moyenne consommée dans un dipôle
= 2UI cos wt '+qu( )t-T
t
ò ×cos wt '+qi( )dt '
=UI cos qu -qi( )t-T
t
ò dt '+ cos 2wt '+qu +qi( )t-T
t
ò dt 'é
ëê
ù
ûú=…
…=UI cos qu -qi( ) =UI cosj fp = 2 fU
2cosA×cosB= cos A-B( )+cos A+B( )
55
Puissance active, réactive et apparente
U = (U1 cosθu1 + U2 cosθu2)2+ (Um1 sin θu1 + U2 sinθu2)
2
θu = arctanU1 sinθu1 + U2 sinθu2
U1 cosθu1 + U2 cosθu2
Addit ion des valeurs complexes efficaces :
U = U1 + U2 = U1 cosθu1 + U2 cosθu2 + j (U1 sinθu1 + U2 sinθu2)
U = |U|
θu = argU = arctanIm(U)
Re(U)
Exemple :
U = 165+ 95, 3j V
U = 190, 5V
θu =π
6rad
2 Impédance et admit t ance d’un dipôle
2.1 Convent ion
5
FP=P
S= cosj en sinusoïdal( ) = cos qu -qi( )
P= S×FP
= S×cosj
=UI ×cosj (W)
S=UI (VA)
Q=UI sinj (VAR)
Puissance moyenne consommée ou Puissance active (conservative)
Facteur de puissance
Puissance apparente (NON-conservative)
Puissance réactive (conservative)
56
Formules de puissance (en régime sinusoïdal)
U = (U1 cosθu1 + U2 cosθu2)2+ (Um1 sin θu1 + U2 sinθu2)
2
θu = arctanU1 sinθu1 + U2 sinθu2
U1 cosθu1 + U2 cosθu2
Addit ion des valeurs complexes efficaces :
U = U1 + U2 = U1 cosθu1 + U2 cosθu2 + j (U1 sinθu1 + U2 sinθu2)
U = |U|
θu = argU = arctanIm(U)
Re(U)
Exemple :
U = 165+ 95, 3j V
U = 190, 5V
θu =π
6rad
2 Impédance et admit t ance d’un dipôle
2.1 Convent ion
5
P = Scosj
Q= Ssinj
S= P2 +Q2
P = RIR2 =U
R
2
R
Q= XI X2 =UX
2
X
S= ZI 2 =U 2
ZZ =R+ jX = Zexp jj
cosj =P
S
sinj =Q
S
tanj =Q
P
Formules Globales : Relations entre puissances
Formules Locales :
Expressions de puissances en fonction des impédances
Puissance apparente complexe
Dipôle capacitif
Dipôle Inductif
Puissance apparente complexe :
Facteur de puissance
S =Déf
U × I*
=U exp( jqU ) × I exp(- jq I )
=U × I exp j qU -q I( )( )=U × I exp jj( )
=UI cosj + jUI sinj
= P+ j Q= Sexp jj( )
57
Dipôle capacitif : X, j, Q < 0 FP AV : avant
Dipôle inductif : X, j, Q > 0 FP AR : arrière
: X, j, sinj, tanj, Q > 0
: X, j, sinj, tanj, Q < 0
58
Résistance
j = 0 Û Q= 0
P= S= RI 2 =U 2
R
S= P (numériquement)
ZR =R (purement réelle)
ZR =R jR = 0
I
U
Z
Puissances associées :
Impédance : Résistance pure
CHAPITRE 5. CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDAL PERMANENT 40
5.2.3 Impédance d’une résist ance R
On a aux bornes de R :
uR (t) = Ri (t) = RI√2ej ω t
On en déduit que la tension efficace complexe aux bornes de R est :
UR = UR ej θR = RI
Par analogie avec la loi d’Ohm, on pose UR = ZR I soit ZR = R.
Figur e 5.4 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d’une
resisat ance pure
ZR est l’impédance complexe de la résistanceR en régime sinusoïdale. Son module est
|ZR | = R et son argument est 0.
5.2.4 Résumé
Dipôle Z |Z | θ = arg(Z )
Résistance R R R 0
Inductance L j Lω Lω π2
CapacitéC 1j Cω
1Cω
− π2
5.3 Circuit RLC en régime sinusoïdal permanent
5.3.1 Circuit s éléct r ique
Un générateur detension idéal délivrant unetension sinusoïdalee(t) = EM cos(ωt + θE )
alimenteun circuit RLC série. E est la valeur efficacedela tension e(t). EM est l’amplitude
posit ive de la tension.
On cherche à déterminer les expressions des tensions uC (t), uL (t) et uR (t) aux bornes
des trois dipôles, et l’expression du courant i (t) dans le circuit .
5.3.2 Et ude du régime permanent
La loi des mailles donne en notat ion complexe :
e(t) = uC (t) + uL (t) + uR (t)
+wt
Diagramme complexe des tensions, courants
59
Résistance
p(t) ≥ 0 : toujours reçue
P > 0 (en moyenne)
Q = 0
CHAPITRE 5. CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDAL PERMANENT 40
5.2.3 Impédance d’une résist ance R
On a aux bornes de R :
uR (t) = Ri (t) = RI√2ej ω t
On en déduit que la tension efficace complexe aux bornes de R est :
UR = UR ej θR = RI
Par analogie avec la loi d’Ohm, on pose UR = ZR I soit ZR = R.
Figur e 5.4 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d’une
resisat ance pure
ZR est l’impédance complexe de la résistanceR en régime sinusoïdale. Son module est
|ZR | = R et son argument est 0.
5.2.4 Résumé
Dipôle Z |Z | θ = arg(Z )
Résistance R R R 0
Inductance L j Lω Lω π2
CapacitéC 1j Cω
1Cω
− π2
5.3 Circuit RLC en régime sinusoïdal permanent
5.3.1 Circuit s éléct r ique
Un générateur detension idéal délivrant unetension sinusoïdalee(t) = EM cos(ωt + θE )
alimenteun circuit RLC série. E est la valeur efficacedela tension e(t). EM est l’amplitude
posit ive de la tension.
On cherche à déterminer les expressions des tensions uC (t), uL (t) et uR (t) aux bornes
des trois dipôles, et l’expression du courant i (t) dans le circuit .
5.3.2 Et ude du régime permanent
La loi des mailles donne en notat ion complexe :
e(t) = uC (t) + uL (t) + uR (t)
+wt
Diagramme complexe des U, I
60
Inductance pure
P= 0
Q= S= XLI2 =U 2
XL> 0
Q= I X ×VX > 0
S=Q (numériquement)
ZL = jLw = jXL (purement imaginaire, X > 0)
ZL = Lw XL = Lw > 0
jL = +p
2> 0
I
U
jLw
Puissances associées :
Impédance : Inductance pure
CHAPITRE 5. CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDAL PERMANENT 39
Figur e 5.2 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d’une
induct ance pure
5.2.2 Impédance d’une induct ance C
On a le courant t raversant le condensateur de capacitéC :
i (t) = CduC (t)
dt= j CωuC (t)
soit :
uC (t) =1
j Cωi (t) =
1
j CωI√2ej ωt
On en déduit que la tension efficace complexe aux bornes de C est :
UC = UC ej θC =
1
j CωI
Par analogie avec la loi d’Ohm, on pose UC = ZC I soit ZC =1j Cω
= 1Cωe− j
π2
Figur e 5.3 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d’une
capacité pure
ZC est l’impédance complexe de la capacitéC en régime sinusoïdale. Son module est
|ZC | =1Cωet son argument est − π
2.
+wt
Diagramme complexe des tensions, courants
61
Inductance pure
p(t) > 0 : reçue ou
p(t) < 0 : fournie
P = 0 (en moyenne)
Q > 0 (car X ou j > 0)
Diagramme complexe des U, I
CHAPITRE 5. CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDAL PERMANENT 39
Figur e 5.2 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d’une
induct ance pure
5.2.2 Impédance d’une induct ance C
On a le courant t raversant le condensateur de capacitéC :
i (t) = CduC (t)
dt= j CωuC (t)
soit :
uC (t) =1
j Cωi (t) =
1
j CωI√2ej ωt
On en déduit que la tension efficace complexe aux bornes de C est :
UC = UC ej θC =
1
j CωI
Par analogie avec la loi d’Ohm, on pose UC = ZC I soit ZC =1j Cω
= 1Cωe− j
π2
Figur e 5.3 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d’une
capacité pure
ZC est l’impédance complexe de la capacitéC en régime sinusoïdale. Son module est
|ZC | =1Cωet son argument est − π
2.
+wt
62
Condensateur pur, capacité
P= 0
Q= S= XCI2 =U 2
XC< 0
Q= -I X ×VX < 0
S= Q (numériquement)
ZC =1
jCw
ZC =1
CwXC = -
1
Cw< 0
jC = -p
2< 0
I
U
jCw 1
Puissances associées :
Impédance : Condensateur pur
CHAPITRE 5. CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDAL PERMANENT 39
Figur e 5.2 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d ’une
induct ance pure
5.2.2 Impédance d’une induct ance C
On a le courant t raversant le condensateur de capacitéC :
i (t) = CduC (t)
dt= j CωuC (t)
soit :
uC (t) =1
j Cωi (t) =
1
j CωI√2ej ωt
On en déduit que la tension efficace complexe aux bornes de C est :
UC = UC ej θC =
1
j CωI
Par analogie avec la loi d’Ohm, on pose UC = ZC I soit ZC =1j Cω
= 1Cωe− j
π2
Figur e 5.3 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d ’une
capacité pure
ZC est l’impédance complexe de la capacitéC en régime sinusoïdale. Son module est
|ZC | =1Cωet son argument est − π
2.
+wt
Diagramme complexe des tensions, courants
63
Condensateur pur, capacité
p(t) > 0 : reçue ou
p(t) < 0 : fournie
P = 0 (en moyenne)
Q < 0 (car X ou j < 0)
CHAPITRE 5. CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDAL PERMANENT 39
Figur e 5.2 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d ’une
induct ance pure
5.2.2 Impédance d’une induct ance C
On a le courant t raversant le condensateur de capacitéC :
i (t) = CduC (t)
dt= j CωuC (t)
soit :
uC (t) =1
j Cωi (t) =
1
j CωI√2ej ωt
On en déduit que la tension efficace complexe aux bornes de C est :
UC = UC ej θC =
1
j CωI
Par analogie avec la loi d’Ohm, on pose UC = ZC I soit ZC =1j Cω
= 1Cωe− j
π2
Figur e 5.3 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d ’une
capacité pure
ZC est l’impédance complexe de la capacitéC en régime sinusoïdale. Son module est
|ZC | =1Cωet son argument est − π
2.
Diagramme complexe des U, I
+wt
64
Dipôle inductif : Z = R + j Lw
j > 0
O Re
Im
U
I
+wt
P > 0 (en moyenne)
Q > 0 (car X ou j > 0)
p(t) > 0 : reçue ou
p(t) < 0 : fournie
65
Dipôle capacitif : Z = R + jCw 1
P > 0 (en moyenne)
Q < 0 (car X ou j < 0)
p(t) > 0 : reçue ou
p(t) < 0 : fournie
j < 0
O Re
Im
Diagramme complexe des I, U
I
U
+wt
66
Cours N°3 :
Chapitre 2 : Puissances en régime sinusoïdal (2)
67
Relations simples pour un dipôle R-X
U
I
B
A
R
jX
UR
UX
Dipôle R-X série : Z = R + j X
U = Z I = Z I
U = (R + j X) I
U = R I + j X I = U cosj + j U sinj
U = U cosj + j U sinj = UR + j UX
U cosj = R I
U sinj = X I
D’où
j > 0
O Re
Im
Diagramme complexe des I, U
U
I = I
+wt
UR= R I
UX = j X I
I : origine des phases :
u(t)=U 2 cos wt +j( )i(t)= I 2 cos wt( )
I = I
68
Relations simples pour un dipôle R-X
Dipôle R-X parallèle : Y = 1/R + 1/(j X)
I = Y U = Y U
I = (1/R + 1/(j X)) U
I = U/R – jU/X = I cosj - j I sinj
I = I cosj - j I sinj = IR + j IX
IX < 0 quand j > 0
I cosj = U / R
I sinj = U / X
D’où
U : origine des phases :
i(t)= i 2 cos wt -j( )
u(t)=U 2 cos wt( )
U = U
j > 0
O Re
Im
Diagramme complexe des I, U
U = U
+wt IR = U/R
IX = j U/X
U
B
A
R jX
I IR IX
69
Nature des dipôles (CSR) : Z = R + j X
Partie réelle (R > 0) : Seulement P j = 0 rad cos j = 1 X = 0 W Q = 0 Var i(t) et u(t) en phase
Partie imaginaire (X) : Seulement Q X > 0 X < 0 Inductif Capacitif j > 0 rad j < 0 rad X > 0 W X < 0 W sin j > 0 sin j < 0 tan j > 0 tan j < 0 Q > 0 VAr Q < 0 VAr i(t) en AR sur u(t) i(t) en AV sur u(t) cos j AR > 0 cos j AV > 0
70
Puissances conservatives
La puissance instantanée est conservative : La puissance électrique instantanée p(t) en amont d'un
réseau électrique, est la somme algébrique de toutes les puissances électriques instantanées se trouvant en aval
ce de même réseau électrique.
SEULES, la puissance active P,
la puissance réactive Q et la puissance apparente complexe S
SONT CONSERVATIVES
71
Théorème de Boucherot : énoncé
La puissance apparente complexe S est conservative.
Ceci constitue le théorème de Boucherot qui est un bilan de puissance :
"La puissance apparente complexe S (donc, la puissance active P et la puissance réactive Q)
mise en jeu en amont d'un réseau électrique quelconque
est la somme algébrique
de toutes les puissances apparentes complexes Si (donc les puissances actives Pi et les puissances réactives Qi)
de chaque dipôle i se situant en aval du réseau »
S= Sii
å Q = Qii
åP = Pii
å
72
Théorème de Boucherot : démonstration
Considérons un dipôle D constitué de N dipôles élémentaires Di mis en série. Parcouru par un courant i(t), D présente une tension u(t) à ses bornes.
Représentation complexe :
U =U exp jqU( ) I = I exp jqI( )
U
I
B
A
U1
U2
Ui
UN
u(t)
i(t)
B
A
u1(t)
u2(t)
ui(t)
uN(t)
Représentation temporelle :
U i =Ui exp jqUi( )
73
Théorème de Boucherot : suite
S =Déf
U × I*=U exp( jqU ) × I exp(- jq I )
=U × I exp j qU -q I( )( )=UI cosj + jUI sinj
= Sexp jj( )
= P+ jQ
Pour le dipôle global :
U
I
B
A
R
jX
UR
UX
74
Théorème de Boucherot : démo (suite)
Tous des dipôles Di sont parcourus par le même courant I.
Chaque dipôle Di a une tension Ui à ses bornes :
Pour chaque dipôle : ji = qUi – qI
Loi des mailles :
U = U i
i=1
N
å = Ui
i=1
N
å ejqUi
Pour chaque dipôle Di :
75
Théorème de Boucherot : démo (suite & fin)
S=U × I*= I
*×U = I
*× U i
i=1
N
å = U i × I*
i=1
N
å
= Sii=1
N
å = UiejqUi × Ie- jq I
i=1
N
å = Ui × Iej qUi -q I( )
i=1
N
å
= Ui × Iejji
i=1
N
å = Ui × I cos ji( )+ jUi × I sin j i( )
i=1
N
å
= Pi + j Qii=1
N
å = P + j Q
Qamont =Q = Qii
å =QavalPamont = P = Pii
å = Paval
On a alors :
U
I
B
A
U1
U2
Ui
UN
76
Illustration du théorème de Boucherot
S = S1 + S2 + S3
S ≠ S1 + S2 + S3
j ≠ j1 + j2 + j3
L’axe Imaginaire
S2
P2
Q2
j
Q = Qii
å
Q = Q1 + Q2 + Q3
P = Pii
åP = P1 + P2 + P3
Q1
j P1
S1
Q3
j
P3
S3
L’axe Réelle O
Diagramme Complexe des PUISSANCES
j
Puissances : Relations (globales)
S2 = P2 +Q2S= P2 +Q2 > 0 S=
Q
sinjS=
P
cosj
P=U I cosjP= ± S2 -Q2
= + S2 -Q2 (en L2)
P=Scosj P=Q
tanj
Q=U I sinj
Q= ± S2 -P2
+ : pour dipôleinductif
- : pour dipôlecapacitif
Q=Ssinj Q=P tanj
78
Dipôle série élémentaire : Formules pratiques Dipôle série élémentaire : Z = R + j X (notation complexe)
U
I
B
A
R
jX
UR = RIR
UX = XIX
Dipôle série : Le courant I est la grandeur commune à tous les dipôles Z, R et X. I = IR = IX
Z =R+ jX
U = Z × I = R+ jX( ) × I
S=U × I*= R+ jX( ) × I × I
*= R+ jX( ) × I 2
S=R× I 2 + jX × I 2 =P+ jQ
P= R× I 2 = R× IR2 =UR
2
R
Q= X × I 2 = R× I X2 =UX
2
X
> 0 (inductif ) < 0 (capacitif )
79
Dipôle parallèle élémentaire : Formules pratiques Dipôle parallèle élémentaire : Y = G + j B G = 1/R B = -1/X
Dipôle parallèle : La tension U est la grandeur commune à tous les dipôles Z, R et X. U = UR = UX
1
Z=
1
R+
1
j X
I =U
Z=
1
R+
1
j X
æ
èç
ö
ø÷×U
S=U × I*=U ×
1
R+j
X
æ
èç
ö
ø÷×U
*=
1
R+j
X
æ
èç
ö
ø÷×U
2
S=U 2
R+ j
U 2
X= P+ jQ
P=U 2
R= R× IR
2 =UR
2
RQ=
U 2
X= R× I X
2 =UX
2
X
> 0 (inductif ) < 0 (capacitif )
U
B
A
R jX
IX = UX
X IR =
UR
R
I
80
Dipôles équivalents
Dipôle équivalent série : Dipôle équivalent parallèle :
U
I
B
A
RS
jXS
U
B
A
RP jXp
I
Point de départ : On connaît les valeurs des puissances P et Q.
On doit aussi connaître la valeur de : I (en série) ou U (en parallèle)
P= RS × I2 Û RS =
P
I 2
Q= XS × I2 Û XS =
Q
I 2
P=U 2
RPÛ R
P=U 2
P
Q=U 2
XPÛ X
P=U 2
Q
81
Méthode de Boucherot :
Amélioration du facteur de puissance Un atelier électrique (charge) est modélisé par la mise en parallèle d’une résistance RCH = 0.4 W
et d’une inductance LCH = 637 mH. En régime sinusoïdal permanent, la charge est alimentée par une
source idéale de tension sinusoïdale vSO(t) à la fréquence f = 50 Hz. En CSR, le courant traversant la
charge est i(t). La tension efficace VCH aux bornes de l’atelier est maintenue à VCH = 200 V.
La distribution est réalisée au moyen d’une ligne inductive : r = 0.3 W et l =1.27 m H.
Dans un premier temps, on souhaite déterminer :
1 PCH la puissance active reçue par l'atelier. 2 QCH la puissance réactive reçue par l'atelier. 3 SCH la puissance apparente de l'atelier. 4 I le courant (efficace) qui traverse l'atelier. 5 FPCH le facteur de puissance de l'atelier. 6 Le coût de consommation électrique payé par l’exploitant sur un an, sachant que le prix du kWh est 0,08 € et l’atelier fonctionne en moyenne 4 heures par jour.
vSO(t)=VSO 2 cos wt +qVSO( ) i(t)= I 2 cos wt +qI( )
82
Méthode de Boucherot :
Amélioration du facteur de puissance
4 Intérêt de Boucherot : I = SCH / VCH = 1120 A.
Préliminaires : a) Faire un schéma avec les grandeurs électriques en complexe.
Calculs par le bilan de puissances (Boucherot) :
Dipôle P (kW) Q (kVAR) Formules et explications
RCH
LCH
ZCH
1 2 3
PRCH =VCH
2
RCH=
2002
0.4=100 000WPRCH = 100 QRCH = 0
QLCH =VCH
2
XCH=
2002
0.2= 200 000VARPLCH = 0 QLCH = 200
Piå Qiå PCH2 +QCH
2
5 FPCH = PCH / SCH = 0.446 AR car QCH > 0.
6 Energie1_An = PCH (kW)* 4 (h/j) * 365 j = 146 103 kWh. Coût1_An = 8.76 k€/an.
QCH = = 200 PCH = =100 SCH = = 224 kVA
b) Calculer XCH = LCHw = 0.200 W > 0, à trois chiffres significatifs près. c) Calculer x = lw = 0.0400 W > 0, à trois chiffres significatifs près.
Formule locale
Formule locale
Bilan de puissances
83
Méthode de Boucherot :
Amélioration du facteur de puissance (suite)
La distribution est réalisée au moyen d’une ligne inductive : r = 0.3 W et l =1.27 mH.
Dans un deuxième temps, on souhaite déterminer :
7 PSO la puissance active fournie par la source. 8 QSO la puissance réactive fournie par la source. 9 SS0 la puissance apparente de la source. 10 VS0 la tension (efficace) de la source. 11 FPSO le facteur de puissance de la source.
84
Méthode de Boucherot :
Amélioration du facteur de puissance (suite)
10 Intérêt de Boucherot : VSO = SSO/ I = 757 V. (trop élevée par rapport à VCH)
Calculs par le bilan de puissances (Boucherot) :
Dipôle P (kW) Q (kVAR) Formules et explications
CH
LI
S0
7 8 9
PCH = 100 QCH = 200 I = 1120 A
QLI = xI2 = 501 760VARPLI = 376 QLI = 502
Piå Qiå PSO2 +QSO
2
11 FPSO = PSO / SSO = 0.561 AR car QSO > 0.
QSO = = 702 PSO = = 476 SSO = = 848 kVA
PLI = r I2 = 376 320W
(On reporte les résultats précédents)
Formules locales
Bilan de puissances
85
Méthode de Boucherot :
Amélioration du facteur de puissance
On rajoute un condensateur pur de capacité C en parallèle aux bornes de l’atelier
afin de ramener la facteur de puissance de l’atelier à FP’CH = 1 (unité).
Dans un troisième temps, on souhaite déterminer :
12 La valeur de la capacité C. 13 I’ le nouveau courant de ligne. 14 V’SO la nouvelle tension (efficace) de la source. 15 FP’SO le nouveau facteur de puissance de la source. 16 Le nouveau coût de consommation électrique payé par l’exploitant sur un an. 17 Quel est l’intérêt de relever le facteur de puissance à l’unité. 18 Que faut-il faire pour améliorer la distribution de cette énergie électrique.
86
Méthode de Boucherot :
Amélioration du facteur de puissance (fin)
Calculs par le bilan de puissances (Boucherot) :
Dipôle P (kW) Q (kVAR) Formules et explications
CH
Cpur
CH’
PCH = 100 QCH = 200 VCH = 200 V
QC_ pur = -Cw ×VCH2 =Q'CH-QCH =-QCHPC_pur = 0 QC_pur = ?
Qiå Q’CH = = 0 P’CH = PCH =100 I’ = PCH /VCH = 500 A
12 C=
QCHw ×VCH
2=15.9mF
13
Q'LI = xI '2 =100 000VAR
P’LI = 75.0 QLI = 100 P'LI = r I '2 = 75 000W
LI’
S0 QSO = = 100 PSO = = 175 SSO = = 202 kVA
14 Intérêt de Boucherot : V’SO = S’SO/ I’ = 404 V. (toujours trop élevée par rapport VCH)
15 FP’SO = P’SO / S’SO = 0.866 AR car QSO > 0. (mieux, mais pas assez proche de 1)
Piå Qiå PSO2 +QSO
2
(On reporte les résultats du début)
Formule locale
et Bilan de puissances
Bilan de puissances
Formules locales
Intérêt de Boucherot
87
Méthode de Boucherot :
Amélioration du facteur de puissance (fin)
16 PCH ne change pas. Le coût reste de même : Coût1_An = 8.76 k€/an
17 Pour la même puissance PCH, en diminuant QCH, on diminue SCH et par conséquent on diminue le courant I (dans la ligne). On diminue la chute de tension dans la ligne (r, l) et les pertes en ligne (PLI), pour le même coût électrique.
18 Pour diminuer d’avantage les pertes, on réalise la distribution à HT. Exemple, pour la même PCH, on prend VCH = 200 kV (1000 fois plus grand).
Toutefois, il faut tenir compte du rendement des transformateurs élévateur (coté source) puis abaisseur (côté utilisateur), qui doivent des rendements très élevés.
Pour le cas où la puissance réactive de l’atelier est compensée avec C = 15.9 nF, I’ = 100 kW / 200 kV = 0.5 A (1000 fois plus petit).
P’LI = 75 mW au lieu de 75 kW (10002 = 106 fois plus petit). Q’LI = 100 mVAR au lieu de 100 kVAR (10002 = 106 fois plus petit).
La chute de tension en ligne aussi est très faible, donc VSO = VCH = 200 kV.
88
Méthode de Boucherot :
Quelques astuces
(i) Il s’agit de faire un bilan de puissances (l’utilisation d’un tableau est très pratique) en utilisant souvent (pas toujours) les formules locales pour Pi (RI2 ou U2/R) et Qi (XI2 ou U2/X).
(ii) Chaque triplet (Pi, Qi et Si) se calcule entre DEUX BORNES d’un circuit. On calcule Si seulement quand c’est nécessaire. ATTENTION, S n’est pas conservative.
(iii) Entre deux bornes, à chaque fois que l’on ne connaisse pas soit Ii (ou bien Ui), on essaie de déterminer cette grandeur inconnue avec la formule Si = Ui*Ii (appelée pour cette raison : formule de dimensionnement), à condition que l’autre grandeur est connue.
89
Cours N°4 :
Chapitre 2 : Puissances en régime sinusoïdal (fin)
90
Mesures de puissances : Analogique
Appareils analogigues : Seule la puissance active (ou moyenne) P d’un dipôle (u(t) et i(t)) est directement mesurable avec un WATTMETRE analogique, (ayant deux bobinages : 1 pour la tension et 1 pour le courant), qui mesure en réalité la valeur moyenne de p(t)=u(t)*i(t).
Q= ± S2 -P2
+ : pour dipôleinductif
- : pour dipôlecapacitif
Cette mesure nécessite quelques précautions d’utilisation (voir en L3 EEA) : Incorporation d’un ampèremètre (I) et d’un voltmètre (U) ferromagnétiques.
S = U*I (mesure indirecte à l’aide de l’ampèremètre et du voltmètre).
Mesure indirecte qui suppose que l’on connaisse la nature du dipôle.
91
Principe de mesure au Wattmètre
En respectant les étoiles,
le Wattmètre voit la charge est en CSR :
P = U I cos (qU % I) = U I cos j
SOURCE
U I
CHARGE
* * BOB_I BOB-U
Wattmètre
j > 0
O Re
Im
Diagramme complexe des I, U Exemple pour un dipôle inductif (j > 0)
U
I
+wt
la charge est en CSR
92
Mesures de puissances : Numérique
Appareils numériques : Avec un appareil numérique, toutes les puissances sont mesurées indirectement après échantillonnage
(N points de mesure) de u(t) et i(t) : uk et ik.
u(t)
uI
u2
u3
uk
uN
…
…
i(t)
iI i2
i3
ik
iN
…
…
p2 = u2*i2
p3 = u3*i3
pk = uk*ik
p(t)
pI = uI*iI
pN = uN*iN
…
…
k
1
2
3
k
N
…
…
Le dispositif calcule pk = uk . Ik pour chaque échantillon k.
Par des calculs semblables à vos programmes en INFO (langage C), on obtient de manière indirecte :
I = 1
NiK
2
k=1
N
åU = 1
NuK
2
k=1
N
å S=U × I
Q= ± S2 -P2
+ : pour dipôleinductif
- : pour dipôlecapacitif
P=1
NpK
k=1
N
å
FP=P
S AV ou AR
ATTENTION : Pour le wattmètre numérique, il faut respecter : - les bornes et pour u(t) - d’un sens (flèche) pour i(t) pour que la charge soit en CSR.
+ -
jmes= j-p
Branchement du wattmètre
1 : Etoiles des bobinages u(t) et i(t) respectées --- Charge en CSR
j > 0
O Re
Im
Diagramme complexe des I, U
Umes=U
Imes=I
+wt
P = U I cos j > 0 et Q = U I sin j > 0
2 : Seul i(t) inversé
P = U I cos (j-p) = -P < 0
j > 0
O Re
Im Umes=U
I
+wt
Q = U I sin (j-p) = - Q < 0
Imes= -I
jmes= j-p
3 : Seule u(t) inversée
P = U I cos (j-p) = -P < 0
j > 0
O Re
Im Umes=U
Imes=I
+wt
Q = U I sin (j-p) = - Q < 0
Umes= -U jmes= j
4 : i(t) ET u(t) inversés
P = U I cos (j) > 0
j > 0
O Re
Im Umes=U
Imes=I
+wt
Q = U I sin (j) > 0
Umes= -U
Imes= -I
CSG
CSG CSR
CSR
93
94
Chapitre 4 :
Bobines en régime sinusoïdal
Magnétisme Ferromagnétisme
Bobine à air Bobine à noyau de fer
95
Grandeurs magnétique
Champ d’excitation magnétique ou champ d’excitation H
A.tr.m-1 ou A.m-1
B
Tesla : T ou Wb.m-2 Champ d’induction magnétique ou
champ d’induction
µ H.m-1 Perméabilité magnétique d’un matériau
7
0104
pµ H.m-1 Perméabilité du vide et des
matériaux non-magnétiques
0µ
µµ
r= Sans unité Perméabilité relative
=
S
Sd.B
Weber :Wb Flux du champ d’induction
Force magnéto-motrice (bobinage) x = NI A.tr ou A
96
Champ magnétique
Aimants permanents
Le champ magnétique sort par le pôle Nord et rentre par le pôle Sud.
Les lignes de champ magnétiques sont fermées.
97
Champ magnétique
Courants électriques (continu ou variable)
I
Une boucle de courant
Le sens du champ magnétique est fonction du sens du courant : Règle de la main droite, du tire-bouchon, …
Boucle de courant Solénoïde
I
ou un ensemble de boucles de courants (solénoïde)
se comporte comme un aimant.
Ceci explique la règle des étoiles du Wattmètre
98
Champs magnétiques
Solénoïde (bobinage : N spires) infini (une longueur L très grand) à air parcouru par un courant continu I est le siège d’une force magnéto-motrice NI
Un champ d’excitation uniforme est crée à l’intérieur :
Sa direction (l’axe Oz du solénoïde) et son sens (selon les z > 0) sont donnés par la règle de la main droite
Equivalent à une induction magnétique :
H
H
B
B
I I
99
Flux du champ magnétique
Cas d’une bobine en présence d’un champ uniforme :
I
SLe flux à travers une spire de surface S :
F= N ×B×S
À travers toutes les spires de surface S
F= B×S
La section est perpendiculaire aux champs magnétiques :
100
Flux du champ magnétique
Exemple de calcul pour une bobine à air :
Flux total : FTot =N ×B×S
NI =1000´10 =10000 A× tr
FTot =1000 ×25,1×10-3 ×10 ×10-4 = 25,1 mWb
B= 47 ×10-6 T
I
I
Champ magnétique terrestre :
Aimants permanents : 0,1 à 1 T
B= m0H =4p
107´20000 = 25,1 mT
H =NI
L=
10000
0, 5=20000 A× tr
Calculs :
N = 1000 spires S = 10 cm2
L = 50 cm I = 10 A
Ordre de grandeurs :
101
Ferromagnétisme
Les matériaux qui acquièrent une forte aimantation (alignement de la réponse B avec H) sous l’action d’un champ magnétique extérieur H sont dits ferromagnétiques.
A température ambiante, seuls le Fer, le Nickel, le Cobalt
et des alliages réalisés à partir de ces éléments (dans des proportions différentes
et avec parfois des ajouts de Si, Mn, Cu, Al, …) sont ferromagnétiques.
Les matériaux ferromagnétiques sont utilisés dans de nombreuses applications en électrotechnique (moteurs, alternateurs, transformateurs, électro-aimants, actionneurs, …)
102
Ferromagnétisme
Les différents domaines possèdent une aimantation aléatoire, spontanée permanente.
Ces domaines (par milliards) ont chacune une taille de l’ordre de 10 à 100 µm.
Ils sont séparés entre eux par des parois d’une épaisseur de l’ordre de 0.1µm dans lesquels l’orientation des moments magnétiques changent brutalement.
parois
domaines
Ferromagnétisme
Sous l’action d’un champ d’excitation mag. H
Les domaines s’agrandissent et s’orientent dans la direction de H
H H H
Alignement des domaines : B Alignement maximal : Saturation 103
B est une mesure de l’alignement des domaines dans la direction de H
Ferromagnétisme
Matériaux µr
Co 250
Alliage Fe Ni Mo 150 000
Fe 10 000
Ni 600
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
H [A.m-1]
B [T] Saturation Saturation :
Alignement maximal
B est une mesure de l’alignement des domaines dans la direction de H
BSAT ≤ 2,2 T Linéaire
Coude
Pente = m
104
Ferromagnétisme
(les chemins aller/retour ne sont pas identiques)
Supposons que le matériau ferromagnétique initialement non- aimanté soit soumis à une
excitation H alternative sinusoïdale noté H~.
H~
B~
BR
-HC Hmax
Bmax La courbe B(H) présente alors un Cycle d’hystérésis
Courbe de première aimantation
105
Ferromagnétisme
Action d’un champ magnétique d’excitation dans un solénoïde à noyau de fer : Echauffement du matériau et des pertes d’énergie modélisée par une résistance fer RF.
H (t) =N
ℓi(t) =
N
ℓI 2 cos wt +q
i( )
106
Induction
Observations
107
Induction
Observations
108
Induction
Le flux varie parce que : • L’amplitude du champ d’induction varie • La taille du circuit varie • L’orientation du champ par rapport à l’orientation de la
surface varie
e(t) = -dF
dt
Loi de Lenz Une force électromotrice d’induction est créée lors que le
flux du champ magnétique varie au cours du temps :
109
Auto-induction
L =mN2S
ℓ
Or, H =N
ℓi(t) Þ B= m
N
ℓi(t)
F(t)= N ×mN
ℓi(t) ×S e(t)= -
dF
dtÞ e(t)= -
mN2S
ℓ×di(t)
dt
uL(t) = -e(t) =
mN2S
ℓ×di(t)
dt= L
di(t)
dt
Loi de Lenz : Dans une bobine : F= N ×B×S
e(t) = -dF
dt
110
Bobine à air en régime sinusoïdal permanent
111
Bobine à noyau de fer en régime sinusoïdal permanent
Hypothèses : Bobinage (cuivre) : Parfait (résistance : r = 0 W)
Noyau : Matériau ferromagnétique linéaire : m = cte Matériau ferromagnétique isolant : pas de courants induits
( Pas de pertes Fer- : RF ∞) Canalisation parfaite des lignes de champ : pas d’inductance de fuite : l = 0 H
H B F
N
i(t)
H =N
ℓi(t)
B= mH = mN
ℓi(t)
F=B
S= m
N
Sℓi(t)
FTot = NF= mN2
Sℓi(t)
L =FTot
i(t)= m
N2
Sℓ= m0mr
N2
Sℓ112
S
Modélisation : (Inductance parfaite)
i (t) A
rlf
A
B
RF
LP
r
A
B
RF
Lm
rlf
A
B
Lm
AB
RF
Lm
rAB
Lm
rAB
L
u (t)
B
Lm
Bobine à noyau de fer : défauts
Hypothèses : Bobinage (cuivre) : Non-Parfait (résistance : r ≠ 0 W)
Noyau : Matériau ferromagnétique avec hystérésis Matériau ferromagnétique Non-isolant : courants induits
( Pas de pertes Fer- : RF) (RF existe seulement en régime variable) Fuites des lignes de champ magnétique dabs l’air : inductance de fuite : l f ≠ 0 H
H B F
N
i(t)
u(t) = ri(t)+ l fdi
dt+u'(t)
H =N
ℓim (t)
F=B
S= m
N
Sℓim (t)
L =FTot
im (t)= m0mr
N2
Sℓ
113
S
r lf
A
B
RF LP
r
A
B
RF Lm
r lf
A
B
Lm
A
B
RF Lm
rA
B
Lm
rA
B
L
C
u’ (t) Lm u (t)
i (t)
Modélisation :
i m(t)
114
Cours N° 5
Le transformateur monophasé
Utilisation du transformateur
Les transformateurs sont largement utilisés pour :
115
• La distribution de l’énergie électrique (en diminuant le courant de ligne, à Haute tension)
• Adapter des niveaux de tensions (abaisseur ou élévateur) • L’isolation galvanique de circuits (en principe sans modifier la tension) • Mesurer des fortes intensités
(de moins en moins car Les sondes à effet Hall sont plus performants)
• Adapter les impédances (essentiellement en électronique et pour la sonorisation) • En électronique de puissance - Dans les alimentations à découpages (Forward, Flyback, Onduleurs) - En tête de redresseurs
Un transformateur est : un convertisseur statique assimilé à un quadripôle qui permet de transférer l’énergie électrique en adaptant (transformant) les niveaux de tension entrée/sortie sans en modifier la fréquence, en conservant la puissance instantanée.
Remarque : Le transformateur : - permet une isolation galvanique (électrique) entre l’entrée (primaire) et la sortie (secondaire), et - ne fonctionne pas en régime continu.
Pour comprendre le principe et le modèle du transformateur il est indispensable de comprendre la bobine à noyau.
Rappel : Constitution d’une Bobine à noyau
Un bobinage en cuivre comportant N spires jointives, parcouru par un courant i(t) Rôle : Siège de la force magnétomotrice N i(t). • Hypothèse 1 Conséquence Hypothèse 1 Conducteur parfait => Résistance linéaire : r = 0 W
116
Un noyau ferromagnétique fermé (circuit magnétique) Rôle : Canaliser le flux magnétique F(t). • Hypothèse 2 Conséquence Hypothèse 2 Matériau magnétique linéaire => m est constante
Inductance magnétisante Lm linéaire
=> pas de cycle hystérésis
Pas de pertes hystérésis : (RF)Hyst ∞
• Hypothèse 3 Conséquence Hypothèse 3 (Canalisation du flux) Pas de fuites de lignes de champ
magnétique se refermant dans l’air => Inductance de fuite linéaire lf = 0 H
Bobine à noyau de fer : Notion de reluctance
or, FTot = NF= i(t)
Û i(t) =NF(t)
Lm
Û Ni(t) =N2F(t)
Lm=R F(t)
D 'où, Lm =N2
R= m
N2
Sℓ moy= m0mr
N2
Sℓ moy=
N2
R 117
S
Modèle électrique :
i (t) A
rlf
A
B
RF
LP
r
A
B
RF
Lm
rlf
A
B
Lm
AB
RF
Lm
rAB
Lm
rAB
L
u (t)
B
Lm
H B F i(t)
N
S
Bobine à noyau de fer : défauts (r, lf, RF)
Hypothèses : Bobinage (cuivre) : Non-Parfait (résistance : r ≠ 0 W)
Fuites des lignes de champ magnétique dans l’air : inductance de fuite : l f ≠ 0 H Noyau : Matériau ferromagnétique avec hystérésis Matériau ferromagnétique Non-isolant : courants induits
( Pertes Fer- : RF ) (RF existe seulement en régime variable)
H’ B’ F
N
i(t)
Lm =F'Tot
im (t)= m0mr
N2
Sℓ moy
118
S
r lf
A
B
RF LP
r
A
B
RF Lm
r lf
A
B
Lm
A
B
RF Lm
rA
B
Lm
rA
B
L
C
Lm u (t) u’ (t)
i (t) Modélisation électrique
i m(t)
l f r RF Lm
r =ℓ Cu
sCuSCu
Bobine à noyau : signification du modèle
119
r : Résistance réelle du bobinage et modélise les pertes Joule ou pertes cuivre
lf : Inductance de fuite des lignes de champ magnétiques qui se referment dans l’air. Ceci ne correspond en aucun cas à une pertes de puissance. C’est une mauvaise canalisation des lignes de champ.
Lm : Inductance magnétisante associée au flux magnétisant qui se referme dans le matériau ferromagnétique et au courant magnétisant im.
RF : Résistance fictive qui modélise les pertes dans le matériau ferromagnétique par effet hystéréris et la circulation de courants induits de Foucault. Existe seulement en régime variable
r lf
A
B
RF LP
r
A
B
RF Lm
r lf
A
B
Lm
A
B
RF Lm
rA
B
Lm
rA
B
L
C
Lm u (t) u’ (t)
i (t) Modélisation électrique complet
i m(t) l f r
RF Lm
DEFAUTS
Transformateur monophasé : constitution
DEUX bobinages en cuivre (notés Primaire et Secondaire) comportant respectivement N1 et N2 spires jointives, parcourus respectivement par le courant i1(t) et i2(t).
120
Un noyau ferromagnétique fermé qui constitue un circuit magnétique de couplage. Rôle : Permet le couplage primaire/secondaire sans contact galvanique (électrqiue)
Circuits extérieurs :
- Une source idéale de tension idéale (ici sinusoïdale) est connectée au 1° :
tension primaire = tension d’alimentation : v1(t)
- Une charge est connectée au secondaire (2° vu comme une source de tension) :
ici, la charge est une impédance Z2
tension secondaire = tension de la charge : v2(t)
Conventions de signe : (pratique pour l’ingénieur) - Le primaire du transformateur {i1(t) et v1(t)} est considéré en CSR (l’alimentation en CSG).
- Le secondaire du transformateur {i2(t) et v2(t)} est considéré en CSG (la charge en CSR).
- Au secondaire, ce n’est pas la convention des quadripôles (électronique).
Effet transformateur
121
i2(t)
v2(t) v1(t)
H(t),
B(t)
N1 N2
Couplage
:lmoy, mr, S
F(t)
e1(t) e2(t)
i1(t)
Primaire en CSR
Secondaire en CSG
Hypothèses : 1/ Bobinages parfaitement conducteurs 2/ Noyau linéaire et isolant 3/ Couplage parfait (pas de fuites)
Condition de fonctionnement : 1/ Alimentation sinusoïdale 2/ Secondaire à vide : i2 = 0 A
Effet transformateur :
R =ℓ moy
m0mrS
v1(t)=V1 2 cos(wt)= e1(t)
F(t)=e1(t) dtòN1
dF
dt=e1(t)
N1
Alimentation :
Flux établi dans le noyau :
Flux forcé par la source :
A vide : v1 = v10, i1 = i10, v2 = v20
Loi de Lenz : e2 s’oppose au phénomène lui donnant naissance.
Règle de la main droite : e2(t) orientée vers le haut
Effet transformateur :
e1 = v1 = v10 e2 = v2 = v20
e2 = N2
dF
dt
e1 = v1 e2 = v2
Le flux est commun aux deux bobinages 1° et 2°
e2 (t)
N2
=e1(t)
N1
=dF
dt
e2 (t)
e1(t)=N2
N1
=m> 0
Transformateur : règles des points
122
Signification physique de m : Rapport des nombres de spires secondaire par rapport au primaire. Aussi appelé rapport de transformation. Attention : m n’est pas le rapport des tensions secondaire / primaire
Utilisation des points en tête de bobinages : Afin de simplifier les schémas, on associe à chaque bobinage un () permettant l’écriture des tensions et courants
± Nkå × ik =R F
Règle N° 1 des points : (Tensions) Cette règle s’applique en considérant les bobinages 2 à 2.
Les tensions dirigées vers les () sont comptées positives, sinon négatives : v2 = ± m v1
Règle N° 2 des points : (Courants) Cette règle s’applique en considérant tous les bobinages à la fois.
Tout courant entrant par le () est compté positif, sinon négatif :
Ici : e2 = + m e1
N1 × i1 - N2 × i2 =R F
i2(t)
v2(t) v1(t)
N1 N2
e1(t) e2(t)
i1(t)
Loi d’Hopkinson
Transformateur à vide : modèle
123
i20 = 0 A
v20 v10
N1 N2
e1 e2
i10
Loi d’Hopkinson :
On a : • A vide : i20 = 0 A
• e1 = v10 e2 = v20
• Loi de Lenz-Faraday : e2 = m e1
N1 × i10 - N2 × i20 =R F(t)
F(t) : fonction dev1(t)
N1 × i10 =N1
2
Lm1
F(t)
N1
di10
dt=N1
2
Lm1
dF
dt
N1
di10
dt=N1
Lm1
d NF( )dt
=N1
Lm1
v1
di10
dt=
1
Lm1
v1 Þ v1 = Lm1
di10
dt
Conclusion 1 : • i1 = i10
• e1 = v10
• e2 = m e1
• v2 = v20 = e2
Conclusion 2 : • Lm1 est une inductance associée au bobinage 1
• Lm1 est parcourue par i1(t) est soumise à v1(t)
Transformons ces équations en circuit (modèle) :
?
v10 Lm1
i1 = i10
i10
e1
i’1 = 0
m
e2 = m e1 v20 = e2
i20 = 0
Transformateur idéal : p1(t) = e1(t)i’1(t) = p2(t) = e2(t)i2(t)
m
e2 = m e1 e1
i’1 = m i2 i2
Quadripôle
Modèle mathématique
e1 i’1 = e2 i2
e1 i’1 = m e1 i2
i’1 = m i2
Transformateur : modèle de base
124
Modèle comportemental le plus simple à Basses Fréquences (BF) à 2 éléments : m, Lm
v1
i1
i10
e1
i’1 = m i2
m
v2 = e2
= m e1
i20
Lm1
Une inductance Lm1 : Couplage physique (1
/2
) par le noyau et le flux établi dans ce noyau
Un transformateur idéal (mathématique dépourvu de sens physique) : Couplage mathématique
Ce modèle comprend :
Ce modèle simplifié est utilisé pour étudier certains circuits
traités en électronique de puissance
en L3 EEA comme en M1 EEA
Ce modèle reste valable en régime non-sinusoïdal, mais à basses fréquences seulement
Transfo idéal : transfert d’impédance 2°/1°
125
Transfert d’impédance du 2° vers le 1° : Calcul deZEQ
ZEQ =V1
I'
1
=E1
mI 2
=E2
m
1
mI 2
=1
m2
E2
I 2
=Z2
m2
ZEQ =Z2
m2
A
B
ZEQ = ? m
E2=mE1 E1
I’1 = m I2 I2 C
D
A
B
Z2 Eg Û
Transfert d’impédance du 1° vers le 2° : Calcul ducircuit équivalent vudu2°
V2 = E2 =mE1 =m Eg -mI 1
'×Zg( )
V2 =mEg -m2 I 1
'×Zg =mEg -m
2Zg × I 2
Interprétons cette formule
m
E2=mE1 E1
I’1 = m I2 I2
V2
C
D
A
B
Eg
Zg
ZEQ =m2Zg
m
E2=mEg E1
I’1 = m I2 I2
V2
C
D
A
B
Eg
ZEQ=?
V2 = mEg – ZEQ I2
Le transformateur réel : modèle
126
Modèle comportemental BF du transformateur réel (7 éléments) :
Hypothèses :
v1
i1
i10
e1≠v1
i’1=m i2
m
v20 = e2
= m e1
v2
i2
Lm1
r1
r2
l1
l2
i2
v2 v1
N1 N2
Couplage
F
i1
Noyau : Canalisation des lignes de champ (Lm )
RF
Couplage pas parfait : Fuites des lignes de champ magnétique dans l’air : les inductances de fuite : l1, l2 ≠ 0 H
Bobinages 1° et 2° : Pas parfaits (r1, r2 ≠ 0 W)
Matériau ferromagnétique avec hystérésis (RF )
Il n’est pas facile d’exploiter
ce modèle, qui sera traité en M2 EEA.
Nécessité absolue de simplification.
Le transformateur réel : modèle pratique
127
Modèle comportemental BF du transformateur réel (5 éléments : m, r, l, RF, Lm) :
Ce modèle, certes moins rigoureux,
est très utilisé pour étudier les
transformateurs (L3, M1 EEA)
v1
i1
i10
e1≠v1
i’1=m i2
m
v20 = e2
= m e1
v2
i2
Lm1
r1
r2
l1
l2
RF
APPROX
Si z1 = r1 + j l1w très faible,
vz1 << V1
v1
i1
i10
e1≠v1
i’1=m i2
m
v20 = e2
= m e1
v2
i2
Lm1
r1
r2
l1
l2
RF
v1
i1
i10
e1=v1
i’1=m i2
m
v20 = e2 = m v1 v2
i2
Lm1
m2r1 r2
m2l1
l2
RF
Transfert d’impédances
RIGOUREUX
v1
i1 i10
v1
i’1=m i2
m
v20 = m v1 v2
i2
Lm1
r
l
RF
Signification physique du modèle
128
r : Résistance totale des bobinages 1° et 2°, ramenée au 2°, et caractérisant les pertes Joule (r = r2 + m2r1).
l : Inductance totale de fuite des lignes de champ magnétiques qui se referment dans l’air au 1° et au 2°, ramenée au 2°. Ceci ne correspond en aucun cas à une pertes de puissance. C’est tout simplement une mauvaise canalisation des lignes de champ (l = l2 + m2l1).
Lm : Inductance magnétisante associée au flux magnétisant qui se referme dans le matériau ferromagnétique (couplage) et au courant magnétisant im fictif.
RF : Résistance fictive qui modélise les pertes fer dans la matériau ferromagnétique qui s’échauffe en régime variable par : (1)l’effet hystéréris (non-linéaire) (2) la circulation de courants induits de Foucault (linéaire) due à la propriété conductrice du noyau. Ce phénomène n’existe pas en régime continu.
DEFAUTS
v1
i1 i10
v1
i’1=m i2
m
v20 = m v1 v2
i2
Lm1
r
l
RF
m : Rapport des nombres de spires secondaire au primaire.
Lm = Lm1 =N
1
2
R
m=N2
N1
Notations des courants et tensions
129
v1
i1 i10
v1
i’1=m i2
m
v20 = m v1 v2
i2
Lm1
r
l
RF
Tensions : v1(t) : Tension appliquée aux bornes du 1° du transformateur réel (tension d’alimentation) v10(t) : Tension appliquée aux bornes du 1° du transformateur réel, lorsque le 2° est à vide v1cc(t) : Tension appliquée aux bornes du 1° du transformateur réel, lorsque le 2° est en court-circuit v2(t) : Tension disponible aux bornes du 2° du transformateur réel (tension aux bornes de la charge)
v20(t) : Tension disponible aux bornes du 2° du transformateur réel, à vide. C’est aussi la tension aux bornes du 2° du transformateur idéal du modèle, quelque soit la charge. v2cc(t) : Tension disponible aux bornes du 2° du transformateur réel en court-circuit : v2cc(t) = 0 V
Courants : i1(t) : Courant au 1° du transformateur réel (courant de l’alimentation) i10(t) : Courant au 1° du transformateur réel, lorsque le 2° est à vide i1cc(t) : Courant au 1° du transformateur réel, lorsque le 2° est en court-circuit (CC)
i2(t) : Courant délivré par le 2° du transformateur réel i20(t) : Courant délivré par la 2° du transformateur réel, à vide : i20(t) = 0 A i2cc(t) : Courant délivré par le 2° du transformateur réel en CC
Notations des puissances
130
v1
i1 i10
v1
i’1=m i2
m
v20 = m v1 v2
i2
Lm1
r
l
RF
Puissance réactive : Il suffit de changer P en Q.
Puissance active : P1 : Puissance active reçue par le 1° de la source. Cette puissance transite par le transformateur en subissant des pertes. P10 : P1 lorsque le 2° du transformateur est à vide. P1cc : P1 lorsque le 2° du transformateur est en CC
Puissance apparente : Il suffit de changer P en S.
P2 : Puissance active fournie par le 2° à la charge. P20 : P2 lorsque le 2° du transformateur est à vide. P2cc : P2 lorsque le 2° du transformateur est en CC
Bilan de puissances (P et Q) : Boucherot
131
v1
i1 i10
v1
i’1=m i2
m
v20 = m v1 v2
i2
Lm1
r
l
RF
Puissance active : Diagramme de bilan de puissances
- Le transfert de puissance est représenté par un tube dont le diamètre est proportionnel à P. - Le sens du transfert est représenté par une flèche dans le sens horizontal, par exemple. - Les pertes sont représentées par des flèches incurvées vers le bas, ou le haut.
P1 = V1 I1 cos j1
Q1 = V1 I1 sin j1 S1 = V1 I1
FP1 = P1/S1
P2 = V2 I2 cos j2
Q2 = V2 I2 sin j2 S2 = V2 I2
FP2 = P2/S2
P1
Pr = r I 2
2PRF =
V1
2
RF
P2
P1 =V1
2
RF+ r I 2
2 +P2Q1 =
V1
2
Lmw+ lw I 2
2 +Q2h =
P2
P1
Plaque signalétique
132
Via la plaque signalétique, le constructeur donne quelques grandeurs nominales indispensables (puissances, tensions, fréquence, facteur de puissance). L’utilisateur peut déterminer des valeurs approchées d’autres grandeurs nominales comme les courants et des puissances ainsi que mconstr.
Valeurs nominales
Valeurs préconisées par le constructeur pour que le transformateur fonctionne de manière optimale, suivant un cahier des charges. Très souvent, ce sont des puissances à ne pas dépasser, ou les tensions/courants efficaces à ne pas dépasser.
Plaque signalétique du transformateur réel
V1n : Tension (eff) nominale au 1° du transformateur réel V20_n : Tension (eff) 2° au du transformateur idéal, avec V1 = V1n
S20_n : Puissance apparente au 2° du transformateur idéal en charge, avec V1 = V1n et I2 = I2n
v1
i1
i10
v1
i’1=m i2
m
v20 = m v1 v2
i2
Lm1
r
l
RF
Exploitation de la plaque signalétique
133
Plaque signalétique
230 V / 110 V
500 VA 50 Hz
0.8 AR
Avant d’utiliser un transformateur, l’utilisateur doit connaître toutes les grandeurs électriques nominales afin d’assurer le bon fonctionnement du dispositif. A ce niveau, nous ne connaissons pas les valeurs numériques des paramètres du modèle. Nous devons faire des approximations.
Lecture plaque : La tension nominale au 1° : V1n = 230 V
v1
i1
v1
i’1=m i2
m
v20 = m v1 v2
i2 r
l
Exploitation de la plaque:
Lecture plaque : La tension nominale au 2°, du TR idéal : V20_n = 115 V Calcul rigoureux : On en déduit : mconstr = V20_n / V1n = 0.5 (Par définition)
Lecture plaque : La puissance apparente nominale = S20_n = 500 VA Calcul rigoureux : On peut alors calculer : I2n = S20_n / V20_n = 2 A (Par définition) (Ce calcul rigoureux ne nécessite pas la connaissance des valeurs du modèle).
Calcul approximatif : Pour calculer I1n, nous supposons le 1° comme étant idéal. On obtient alors une valeur légèrement sous-estimée : I1n ≈ S20_n / V1n = 4 A (approx) (On remarque que I1n ≈ mconstr x I2n)
Détermination expérimentale du modèle 1 : Essai à vide
134
Les dispositifs à caractériser en Génie Electrique mettent en jeu des fortes puissances (via soit la tension, ou le courant ou les deux). Pour la détermination expérimentale de leurs modèles, on procède alors par des essais à puissances réduites, la sortie ouvetre ou en court-circuit. La puissance utile est nulle. Ainsi, la puissance absorbée correspondent aux pertes.
Transformateur à vide (P20 Q20 nulles) :
v10
i10
i10 i’1=m i2 = 0
Lm1 RF
Condition de mesures : 1/ Secondaire à vide (I20 = 0 A), 2/V10 = V1n (Plaque signalétique)
Mesures : Connaissant la fréquence, on mesure V10, I10, P10, et V20
Exploitation (voir le modèle simplifié ci-contre) :
m=V20
V10
P10 =V10
2
RFÞ RF =
V10
2
P10
S10 = I10 ×V10 Q10 = + S10
2 -P10
2 (car inductif )
Q10 =V10
2
LmwÞ Lmw =
V10
2
Q10
Þ Lm =Lmw
2p f
Hypothèses simplificatrices :
On considère la chute de tension aux bornes de (r1, l1) << V10.
Détermination expérimentale du modèle 2 : Essai en court-circuit
135
Transformateur en court-circuit (P2CC, Q2CC nulles) :
Condition de mesures : 1/ Secondaire en CC (V2CC = 0 V), 2/ I2CC = I2n (Plaque signalétique)
Mesures : Connaissant la fréquence, on mesure V1CC, I2CC et P1CC,
Exploitation (voir le modèle simplifié ci-contre) :
Hypothèses simplificatrices :
On considère le courant traversant (RF, L) << I1CC.
i1CC= i’1CC=m i2CC
v1CC
m
V20_CC = m v1CC v2CC=0
i2CC
r
l
Détermination de pt de fonctionnement Essai en charge résistive
136
Conditions de calculs : 1/ Secondaire en charge résistive (Q2 = 0) 2/ V1 = V1n (Plaque signalétique)
Partant de la charge, on souhaite calculer I1.
On pourra alors déterminer toutes les grandeurs électriques.
Calculs par la méthode de Boucherot :
On suppose que l’on connaisse les valeurs numériques des 5 paramètres du modèle
P2 = V2 I2 cos j2 = V2 I2
Q2 = V2 I2 sin j2 = 0 VAR
P1 =V1
2
RF+ r I 2
2 +P2
Q1 =V1
2
Lmw+ lw I 2
2
Il faut calculer I2 et P2 pour remonter avec les déterminations au 1° En effet, si I2 et P2 sont connus, on applique la méthode de Boucherot :
S1 = P1
2 +Q1
2
I1 =S1
V1
(V1 est connue)
FP1 =P1
S1
h =P2
P1
137
Cours N° 6
Initiation aux grandeurs triphasées Système équilibré en tension et en courant
Distribution triphasé : Intérêt principal
139
d
r =d
sS
V1 = V2 = V3 = V (sources sont identiques)
I1 = I2 = I3 = I (Les charges sont identiques)
PLI _Mono_1 = 2 r I 2
Monophasé
PLI _Mono_3 = 6 r I 2
v1(t)
i1(t) Ph
N
v2(t)
i2(t) Ph
N
v3(t)
i3(t) Ph
N
v1(t)
i1(t) v2(t)
i2(t)
v3(t)
i3(t)
Ph3
Ph2
Ph1
N N’
Triphasé équilibré
PLI _TRI = 3 r I 2
IN = 0 => pas de retour
Diminution des pertes : 50 %
Distribution triphasé : Autres intérêts
140
Monophasé (6 câbles) Triphasé (3 câbles) - Réduction des pertes en ligne de 50% - Coût plus faible (Conducteur Al, Cu, isolateurs, supports, maintenance) Alternateur de production (Grandes Puissances) entraînée par des turbines - Seulement 1/3 du volume est nécessaire pour le maximum d’efficacité de production de v1(t)
- L’utilisation d’un autre TIERS conduit à une tension v2(t) déphasée de 2p/3.
- L’utilisation du dernier TIERS conduit à une tension v3(t) déphasée de 4p/3.
- Puissance fluctuante nulle
- A forte puissance l’arbre de liaison mécanique de l’alternateur monophasé serait détruit.
- Pas de vibrations.
Câble de garde relié à la terre
(paratonnerre)
Faisceau de 3 conducteurs
(entre 2 et 4 en général)
Isolateur (~20KV par
assiette)
Pylône relié à la terre
v1(t) v2(t) v3(t)
141
Grandeurs de lignes : Tensions simples Système DIRECT : Evolutions temporelles des tensions
V1 = V2 = V3 = V = 220 V U1 = U2 = U3 = U = 400 V
v1(t) = V1M cos(wt) v2(t) en AR de 120
sur v1(t) v3(t) en AV de 120
sur v1(t)
142
Tensions simples de ligne :
V1 =V1
V 2 =V1e- j
2p
3
V 3 =V1e+ j
2p
3
ì
í
ïï
î
ïï
==>
V1 =V1
V 2 = a2
V1
V 3 = aV1
ì
í
ïï
î
ïï
V1 = V2 = V3 =V
V1 +V2 +V3 =V 1+a2+a( ) = 0
v1(t) = 2 V
1 cos wt( ) = 2 V cos wt( )
v2(t) = 2 V
2 cos wt-
2p
3
æ
èç
ö
ø÷ = 2 V cos wt-
2p
3
æ
èç
ö
ø÷
v3(t) = 2 V
3 cos wt-
4p
3
æ
èç
ö
ø÷ = 2 V cos wt+
2p
3
æ
èç
ö
ø÷
ì
í
ïïïï
î
ïïïï
On pose: a = ej2p
3 = cos2p
3+ j sin
2p
3= -
1
2+ j
3
2 et a =1
Système équilibré de 3 tensions ayant :
Mêmes fréquences : w = 2 p f
Mêmes valeurs efficaces :
Des déphasages deux à deux valant : 2 p / 3
Système DIRECT : Tensions simples : Expressions temporelles et complexes
Grandeurs de lignes : Tensions simples (suite)
Propriété remarquable :
143
Système DIRECT : Tensions simples : Représentation complexe
Grandeurs de lignes : Tensions simples (fin)
+ 2p/3
- 2p/3
+wt
Réel
Imaginaire
V2
V3
V1
144
Système DIRECT : Tensions composées : Expressions temporelles et complexes
Tensions composées de ligne :
u12 (t) = v1(t)-v2 (t)
u23(t) = v2(t)-v3(t)
u31(t) = v3(t)- v1(t)
ì
íï
îïï
U12 =V1 -V 2 =V1 1-a2( ) = 3e
jp
6V1 =U12
U 23 =V2 -V3 =V1 a2-a( ) = 3e
- jp
2V1 =U12e- j
2p
3 = a2U12
U 31 =V3 -V1 =V1 a-1( ) = 3ej5p
6 V1 =U12e- j
4p
3 = aU12
ì
í
ïïï
î
ïïï
U12 = U23 = U31=U = 3V
Grandeurs de lignes : Tensions composées
U12, U23 et U31 forment un système triphasé équilibré direct.
Tension composée efficace :
Propriété remarquable : U12 +U23 +U31 =U 1+a2+a( ) = 0
a = -1
2+ j
3
2 a
2= -
1
2- j
3
2
1- a2
= 1 - -1
2- j
3
2
æ
èç
ö
ø÷ =
3
2+ j
3
2= 3 e
jp
6
U12 est en AV sur V1 de p/6 U23 est en AR sur V1 de p/2
a2- a = -
1
2- j
3
2
æ
èç
ö
ø÷ - -
1
2+ j
3
2
æ
èç
ö
ø÷ = - j 3
a-1 = -1
2+ j
3
2
æ
èç
ö
ø÷ - 1 = -
3
2+ j
3
2
æ
èç
ö
ø÷ = 3 e
j5p
6
145
Système DIRECT : Tensions composées : Représentation complexes
Grandeurs de lignes : Tensions composées
p/3
+wt
Réel
Imaginaire
V2
V3
V1
+ p/6
U12
U23
p/6
p/6
U31
p/6
p/6
U = 3V
Ujk AV +p/6 sur Vj
Ujk AR +p/2 sur Vindice manquante
146
Courants de ligne (avec v1(t) comme référence de phase) :
I 1 = I1e- jj
I 2 = I 1e- j
2p
3
I 3 = I 1e- j
4p
3
ì
í
ïïï
î
ïïï
==>
I 1 = I 1
I 2 = a2I 1
I 3 = aI 1
ì
í
ïï
î
ïï
I 1 = I 2 = I 3 = I
I 1 + I 2 + I 3 = I 1+a2+a( ) = 0
i1(t) = 2 I
1 cos wt -j( ) = 2 I cos wt -j( )
i2(t) = 2 I
2 cos wt -j -
2p
3
æ
èç
ö
ø÷ = 2 I cos wt -j -
2p
3
æ
èç
ö
ø÷
i3(t) = 2 I
3 cos wt -j -
4p
3
æ
èç
ö
ø÷ = 2 I cos wt -j -
4p
3
æ
èç
ö
ø÷
ì
í
ïïïï
î
ïïïï
Système équilibré de 3 courants ayant :
Mêmes fréquences : w = 2 p f
Mêmes valeurs efficaces :
Des déphasages deux à deux valant : 2 p / 3
Système DIRECT : Tensions simples : Expressions temporelles et complexes
Grandeurs de lignes : Courants de ligne
Propriété remarquable :
Il n’y a pas de courants composés : les courants ne peuvent pas sauter de ligne
147
Système DIRECT : Courants de ligne : Représentation complexe
Grandeurs de lignes : Courants de ligne (suite)
+wt
Réel
Imaginaire
V2
V3
V1
I1
j
I2
j
I3
j
Grandeurs de lignes : Courant de neutre
On suppose que les trois charges sont identiques : Z1 = Z2 = Z3 = Z
N’
v2(t)
i2(t)
Ph2
Z
i1(t)
Z v1(t)
Ph1
N
i1(t)
i1(t) + i2(t) i1(t) + i2(t) + i3(t) =
0
v3(t)
i3(t)
Ph3
Z
- p/3
+wt
Re
Im
I1
I3
I2
I1+I2
I2
Triangle équilatéral : | I1+I2 | = | I1| = | I2 | = I
Ici la charge est dite en "Etoile" : 3 Phases +
1 Pt Commun (N ou N’)
148
Charge triphasé équilibrée : Couplage ETOILE
On suppose que les trois charges sont identiques : Z1 = Z2 = Z3 = Z
N’
V2
I2
Ph2
Z VC2 VC3
i1(t)
Z V1
Ph1
VC1
N
I1
i1(t) + i2(t) IN = JC1 + JC2 + JC3
= 0
V3
I3
Ph3
Z
JC1 JC2 JC3
Charge en "Etoile" : 3 Phases + 1 Pt Commun (N ou N’)
149
JC1 + JC2 + JC3 = 0
I1 = JC1
I2 = JC2
I3 = JC3
VC1 = V1
VC2 = V2
VC3 = V3
150
Système DIRECT : Courants dans la charge : Représentation complexe
Charge triphasée équilibrée : Couplage étoile
+wt
Réel
Imaginaire
VC2=V2
VC3=V3
VC1=V1
JC1= I1
j
JC2=I2
j
JC3 = I3
j
Charge triphasé équilibrée : Couplage Triangle
On suppose que les trois charges sont identiques : Z1 = Z2 = Z3 = Z
Charge en "Triangle" : 3 Phases seulement --- Pas de neutre
151
Pas de neutre
JC1 + JC2 + JC3 = 0
Z U31
Ph3
VC2=U31
I3
JC2
U23
I2
Ph2
Z VC1=U23
JC1
U12 I1
Ph1
Z
JC3
VC3=U12
I1 = JC3 – JC2
I2 = JC1 – JC3
I3 = JC2 – JC1
VC1 = U23 = V2 – V3
VC2 = U31 = V3 – V1
VC3 = U12 = V1 – V2
152
Charge triphasée équilibrée : Triangle
+wt
Réel
Imaginaire
V2
V3
V1
U12 = VC3
U = 3V
Système DIRECT : Courants dans la charge : Représentation complexe
JC1
JC2
U23 = VC1
p/6
j
I1 = JC3 - JC2
U31 = VC2
JC3 j
JC2
I2 = JC1 – JC3
I3 = JC2 – JC1
I = 3 J
153
Puissance en triphasé équilibré
i1(t) = 2 I cos wt -j( )
i2(t) = 2 I cos wt -j -
2p
3
æ
èç
ö
ø÷
i3(t) = 2 I cos wt -j -
4p
3
æ
èç
ö
ø÷
ì
í
ïïïï
î
ïïïï
v1(t) = 2 V cos wt( )
v2(t) = 2 V cos wt-
2p
3
æ
èç
ö
ø÷
v3(t) = 2 V cos wt-
4p
3
æ
èç
ö
ø÷
ì
í
ïïïï
î
ïïïï
p1(t) = v1(t)´ i1(t)
p2 (t) = v2 (t)´ i2 (t)
p3(t) = v3(t)´ i3(t)
ì
íï
îïï
p1(t) = 2 V cos wt( )´ 2 I cos wt -j( ) = 2VIcos wt( )cos wt -j( ) = VI cosj - cos 2wt -j( )
p2(t) = 2 V cos wt-
2p
3
æ
èç
ö
ø÷´ 2 I cos wt -j-
2p
3
æ
èç
ö
ø÷ = 2VIcos wt-
2p
3
æ
èç
ö
ø÷cos wt -
2p
3-j
æ
èç
ö
ø÷ =VI cosj - cos 2wt -
2p
3-j
æ
èç
ö
ø÷
æ
èç
ö
ø÷
p3(t) = 2 V cos wt+
2p
3
æ
èç
ö
ø÷´ 2 I cos wt -j +
2p
3
æ
èç
ö
ø÷ = 2VIcos wt +
2p
3
æ
èç
ö
ø÷cos wt +
2p
3-j
æ
èç
ö
ø÷ =VI cosj - cos 2wt +
2p
3-j
æ
èç
ö
ø÷
æ
èç
ö
ø÷
ì
í
ïïïï
î
ïïïï
La puissance instantanée est constante : P = 3VI cos ϕ
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