1
Eléments de Mécanique des Fluides
.be
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
2
• Etude de la conservation d’une grandeur sur un volume de contrôle
• Enoncé des deux premiers principes de conservation
Objectifs de la séance
.be
• Enoncé des deux premiers principes de conservation– Conservation de la masse
– Conservation de la quantité de mouvement
• Bernoulli selon une ligne de courant– Etablissement du principe
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ww.hach.ulg.ac. – Exemples d’applications
2
3Notations vectorielles et indicielles
1
2 i
u u
U u v u
x
y
p
xp
py
.be
3u w
y
z
y
p
z
iuu v wU divU
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ix y z x
« La divergence est égale au flux net s’écoulant, par unité de temps et de volume, vers l’extérieur d’un élément de volume dont la mesure tend vers zéro » (Analyse mathématique p. 303)
4
Notations vectorielles et indicielles
u u
produit dyadiqu
2
e
2
2
u uv uwu
v u v w uv v vw
w
UU U
u
U
w vw w
.be
w v
i j ky z
u wU U rotU
z x x y z
i j
j
u uU U
xU U U U
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ww.hach.ulg.ac. z x x y z
v u u v wx y
2 2 2 22
2 2 2 2ix y y x
3
5
• Cours d’Algèbre p.140 et suivantes (E. Delhez)
« …on peut définir des objets mathématiques par leurs coordonnées et étudier le comportement de ces objets lorsque l’on modifie le système de coordonnées Certains
Notion de tenseur.be
lorsque l on modifie le système de coordonnées. Certains de ces objets peuvent se révéler avoir une existence propre indépendante de la base qui a servi à les définir, on les appellera des tenseurs, et d’autres pas. Selon cette terminologie, les scalaires, les vecteurs et les applications linéaires sont des tenseurs, respectivement d’ordre zéro, un et deux.
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,
Il va de soi que toutes les grandeurs physiques doivent être définies mathématiquement come des tenseurs sans quoi leurs valeurs changeraient selon le repère utilisé.
… »
6
Vitesse Eulérienne
• Vitesse des particules qui
passent au point donné = (x,y,z).
P fi é i
RAPPEL: Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne
z
Particule fluide
X
P0
Px
.be
• Pour t fixé, on associe un
vecteur vitesse en chaque point de l’espace
Vitesse Lagrangienne
• Vitesse d’une particule
z
Particule
P0
x
,U U X t
x
U
0X
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V p
donnée le long de sa trajectoire.
• Pour t fixé, on associe un
vecteur vitesse à chaque particule. y
tX
x
fluide 0X
P
U
0
4
7 Trajectoires
RAPPEL: Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne
dxu x t y t z t t
, , , , , , , , , , , , , ,U x y z t u x y z t v x y z t w x y z t
.be
Lignes de courant
, , ,
, , ,
, , ,
u x t y t z t tdtdy
v x t y t z t tdtdz
w x t y t z t tdt
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ww.hach.ulg.ac. Lignes de courant
Trajectoires et lignes de courant s’identifient pour un écoulement stationnaire
, , , , , , , , ,fixe fixe fixe
dx dy dz
u x y z t v x y z t w x y z t
8
• Dérivée particulairePour une particule, définie par sa trajectoire x(t), y(t), z(t), la dérivée totale d’une propriété associée à cette particule permet de définir la dérivée particulaire
Notion mathématique
.be
Soit = (x,y,z,t):
D dx dy dzu v w
Dt t x dt y dt z dt t x y z
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5
Conservation d’une grandeur
.be
pour un volume particulaire
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10
Conservation d’une grandeur pour un volume particulaire
t1
Solide non déformable en
mouvement
.be
t0t2
t0 t1
Fluide en mouvement
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ww.hach.ulg.ac. t0
t2Description en système ouvert
6
11Conservation d’une grandeur pour un volume particulaire
• Les principes fondamentaux de la mécanique des fluides s’appliquent à des particules (Lagrangien).
• On peut formuler une relation entre les équations appliquées à un système de
.be
particules (Lagrange) et les équations appliquées à un volume de contrôle quelconque (Euler) :
z
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xy
temps t
Ligne continue : systèmeLigne pointillée : volume de contrôle
12
Conservation d’une grandeur pour un volume particulaire
Soit V un volume quelconque enserrant un ensemble bien identifié de particules fluides
et une grandeur quelconque
V
ddV
dt
.be
z
I III
IV
Vdt
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Que devient l’ensemble de ces particules au cours du temps?
xy
temps ttemps t+t
II
7
13
• 1ère approche
Conservation d’une grandeur pour un volume particulaire
zIV
.be
x
z
y
temps ttemps t+t
I
II
III
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14
Conservation d’une grandeur pour un volume particulaire
syst ,t t syst ,tV t 0 t 0III IV I tt t
d 1 1dV lim lim dV dV dV
dt t t
.be
z
I III
IV
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xy
temps ttemps t+t
II
8
15Conservation d’une grandeur pour un volume particulaire
syst ,t t syst ,t
III IV I tt t
dV dV dV
.be x
z
y
temps t
I
II
III
IV
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syst ,t t syst ,t
III IV I II IIt t t t tt t
dV dV dV dV dV
temps ttemps t+t
16
Conservation d’une grandeur pour un volume particulaire
syst ,t t syst ,t
III IV I tt t
dV dV dV
IV
.be
x
z
y
temps t
I
temps t+t
II
III
IV
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IVIII II I IIsyst ,t t syst ,t t t t t t t t
dVdV dV dV dV
t t t t
temps t+t
9
17Conservation d’une grandeur pour un volume particulaire
IVIII II I IIsyst ,t t syst,t t t t t t t t
dVdV dV dV dV
t t t t
.be
syst,t t syst ,t
t 0
dlim
t dt
Or
dV dV dV
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III II It t t
t 0volume de contrôle figé
dV dV dVd
lim dVt dt
18
Conservation d’une grandeur pour un volume particulaire
dV
IVIII II I IIsyst ,t t syst,t t t t t t t t
dVdV dV dV dV
t t t t
.be
Or
IV t tsortantt 0
Surface sortante
surface de contrôle du volume figé
II t tentrant
t 0Surface entrante
dV
lim Fluxt
U ndS
dV
lim Fluxt
dSFlux U n dS
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UFlux sortant
in
n
dS
U
Flux entrantin
n
dS
III
II
dSFlux U n dS
10
19Principe de conservation d’une grandeur pour un volume particulaire
volume de contrôle figé surface d'échange
d ddV U ndS
dt dt
.be
z
I III
IV
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xy
temps ttemps t+t
II
20
Conservation d’une grandeur pour un volume particulaire
• Le volume étant figé, l’évaluation de la dérivée totale sur une intégrale – dont le volume d’intégration est indépendant de t
– et dont l’intégrant ne dépend que de t
i i
d ddV U n dS dV U n dS
dt dt t
.be
i i
volume de contrôle figé surface d'échange V Adu volume figé
dt dt t
Théorème de la divergence de Green
avec la normale à Ski i
kV A
dV n dSx
n
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V figé
dU dV
dt t
Théorème de transport de Reynolds
11
21
• 2ème approche
Principe de conservation d’une grandeur pour un volume particulaire
Le volume se modifiant dans le temps et l’espace :
( )D D DdV
dV dV
.be
En supposant de manière « peu rigoureuse » l’intégrale comme une somme determes, il faut ainsi :
1. détailler la dérivée particulaire spécifique à l’intérieur d’un volumequelconque d’intégration avant d’intégrer
( )V V
dV dVDt Dt Dt
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ww.hach.ulg.ac. quelconque d intégration avant d intégrer
2. apporter une correction tenant compte des modifications particulaires de cevolume
22
Dérivée particulaire d’un volume élémentaire (vision Lagrangienne)
A l’instant t, le volume V est lié au volume initial V0 occupé par les mêmes particules dans la configuration de référence :
où J désigne le Jacobien de la transformation faisant passer de la configuration de
0dV JdV
.be
Dès lors, la dérivée particulaire du volume dV devient :
g p gréférence à la configuration actuelle
0 0
,DJ
DJ X tD DJ DtdV dV dV dVDt Dt Dt J
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Le coefficient de proportionnalité entre dV et ne dépend pas de sa forme
mais seulement des coordonnées du point de calcul
DdV
Dt
12
23Dérivée particulaire d’un volume élémentaire (vision Eulerienne)
Considérons le volume unitaire formé des trois vecteurs directeurs e1,e2,e3 d’un trièdre cartésien
dV est donc égal au produit mixte (déterminant) de ces vecteurs :
1 2 1 2 3 3 1 2 2 3 13, , . . 1.dV e e e e e e e e e e e e
.be
Dès lors, la dérivée particulaire du volume dV devient :
Compte-tenu que :
1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , ,D D D D
dV e e e e e e e e eDt Dt Dt Dt
D D D
i i iie X d X X
avec , ,iX x y z
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Différentiation des 3 composantes de vitesse selon ie
, ,i i i i i iiD D D
e X d X X U X d X t U X tDt Dt Dt
i
i
D Ue
Dt x
24
Dérivée particulaire d’un volume élémentaire (vision Eulerienne)
11 1
31 2
2 2 2
1 00 0 1 0
1 0 0 0 0 1
UU U
xx x
U U UDdV U
.be
Pour un volume quelconque, nous avons donc :
pour un volume unitaire
1 2 3
3 3 3
1 2 3
1 0 0 0 0 1
0 1 0 1 0 0
dV UDt x x x
U U U
x x x
DdV UdV
Dt
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Principe de conservation d’une grandeur pour un volume particulaire
V V
D DdV U dV
Dt Dt
13
25Dérivée particulaire d’un volume élémentaire
Or : = (x,y,z,t)
Pour une particule, définie par sa trajectoire x(t), y(t), z(t), la dérivée totale de cette propriété associée à cette particule permet de définir la dérivée particulaire :
.be
D dx dy dzu v w
Dt t x dt y dt z dt t x y z
T
V V V
DU dV U U dV U dV
Dt t t
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Identique au bilan à l’intérieur d’un volume V figé avec prise en compte supplémentaire des échanges aux bornes (vue Eulérienne)
Echanges de aux bornes d’un volume de contrôle fixe = flux de
26
Passage Lagrange – Euler; volume de contrôle
Ainsi , en appliquant la méthode 1 ou 2, on a :
.be
V figé
dU dV
dt t
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26
Théorème de transport de Reynolds
14
Principes de conservation
.be
Principes de conservation
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28
• Enoncé des deux premiers principes de conservation
– Conservation de la masse
Conservation de la quantité de mouvement
Objectifs
.be
– Conservation de la quantité de mouvement
• Simplification des équations aux écoulements incompressibles
• Introduction de la loi de Bernoulli
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15
29
• Principe de « continuité » ou « conservation de la masse »
« Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme. »
Premier principe fondamental.be
« … car rien ne se crée, ni dans les opérations de l'art, ni dans celles de la nature, et l'on peut poser en principe que, danstoute opération, il y a une égale quantité de matière avant et après l'opération ; que la qualité et la quantité desprincipes est la même, et qu'il n'y a que des changements, des modifications. »
LAVOISIER, Traité élémentaire de chimie (1789), p. 101
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0V V figé
u v wdm ddV dV
dt dt t x y z
0V figé
div U dVt
30
Principe de conservation de la masse
Soit V un volume quelconque enserrant un ensemble bien identifié de particules fluides
En l’absence de création ou de destruction de matière, la variation temporelle de masse de ce volume est nulle :
.be
masse de ce volume est nulle :
0V
ddV
dt
d
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0V V
u v wddV dV
dt t x y z
16
31
• Principe de « conservation de la quantité de mouvement »
Quantité de mouvement = masse . vitesse
Deuxième principe fondamental.be
« Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se
trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état. »
NEWTON, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687)
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Cette loi définit un repère inertiel (ou galiléen)
32
• Principe de « conservation de la quantité de mouvement » dans un repère inertiel (ou galiléen)
« Soit un corps de masse m (constante) : l'accélération subie
Deuxième principe fondamental
.be
« Soit un corps de masse m (constante) : l'accélération subie par un corps dans un référentiel galiléen est
proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse m. »
NEWTON, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687)
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i
i
dUF ma m
dt
à masse constante
17
33
• Principe de « conservation de la quantité de mouvement » dans un repère inertiel (ou galiléen) pour un volume particulaire
Deuxième principe fondamental.be
V V A
dUdV FdV TdA
dt
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forces de volume
Tenseur des forces de surface
F
T
34
• Principe de « conservation de la quantité de mouvement »
Deuxième principe fondamental
.be
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Pendule de Newton
18
35
Quantité de mouvement = masse . vitesse
Principe de « conservation de la quantité de mouvement ».be
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36
Principe de conservation de la quantité de mouvement
Forces vectorielles de volume
• forces de gravité
• forces centrifuges
.be Forces de surface
• forces de Coriolis
• forces électromagnétiques
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• pression
• tensions visqueuses
19
37Tenseur et forces de surface
• Tenseur général :
xx xy xz xx xy xz
yx yy yz yx yy yz
zx zy zz zx zy zz
T
.be
• Il est symétrique (démontrable par le théorème des moments cinétiques)
• Vu que la pression est identique dans toutes les directions, il est noté habituellement par :
zx zy zz zx zy zz
T pI
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Où est appelé le tenseur « déviateur » (effets uniquement dus aux tensions internes et/ou à la viscosité)
i ij ij jT p n
38
Principe de conservation de la quantité de mouvement
i i ij ij jV V A
du dV F dV p n dA
dt
pour i de 1 à 3
.be
Théorème de la divergence de Greenpour i de 1 à 3
ji i
jV S
dV n dAx
avec la normale à A,n
i i ij ijd
u dV F dV p dV
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ww.hach.ulg.ac. i i ij ij
V V V j
u dV F dV p dVdt x
i ij ijV
iiV figé figé f éV
jig
udiv F dV p dVu U V
xd
t
20
39Deux premiers principes – formes intégralesformes différentielles
0i ij ijj
iiV figé
F dVu
div u U dVt
px
0V figé
div U dVt
continuité
Quant. mvt
.be
• Etant donné que V est arbitraire, les intégrants doivent vérifier les relations :
j
0div Ut
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0i iji
ijj
i
tu
div u U F pxt
40
• Vision « indicielle »
Système d’équations de base
0i
i
u
t x
.be
• Vision « vectorielle »
i j ijii
j i j
u uu pF
t x x x
0U
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0Ut
UUU F p
t
21
41
• Etant donné que
Formulation alternative de la continuité
aB a B B a
.be
0
0
0
Ut
U Ut
DU
Dt
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Dérivée particulaire
42
• Incompressibilité ≡ la densité de chaque particule ne change pas durant son mouvement
Fluide incompressible
0D
Dt
.be
• Il n'est pas nécessaire que toutes les particules aient la même densité
• Si le fluide est homogène et incompressible :
Cste
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• Si le fluide est homogène (respectivement hétérogène) à un instant initial il restera homogène (respectivement hétérogène)
• Un champ de vitesse incompressible, donc à divergence nulle, est dit solénoïdal
22
43Equations de base, fluide incompressible
0 0j
j
udiv U U
x
.be
1 1 ijii j i
j i jforces volumiquesdérivée temporelle
pressiondérivée spatiale tensions de surfaceterme convectif
forces
u pu u F
t x x x
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Le système formé par les 4 équations en les 4 inconnues ui et p est un système FERME.à condition de disposer d’une relation constitutive pour
Ecriture conservative
44
Transformation des équations de base, fluide incompressible
j ii j i j
u uu u u u
x x x
Développement du terme convectif :
.be
0
j j jx x x
0
1 1
i
i
ij
u
x
u u p
A particulariser, selon le fluide
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ww.hach.ulg.ac. 1 1 iji i
j ij i j
u u pu F
t x x x
Ecriture non conservative
23
45
• Méthodologie– Considérer comme seule force extérieure la gravité
– Multiplier chaque équation de conservation de quantité de mouvement selon xi par la composante de vitesse correspondante ui
Principe DEDUIT: loi de Bernoulli le long d’une ligne de courant.be
i i
– Sommer les 3 équations, (notation : sommation implicite sur les indices répétés)
– Utiliser la définition de la norme de la vitesse pour en tirer une expression le long d’une ligne de courant
– Intégrer l’expression ainsi simplifiée le long de cette ligne de courant
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46
Principe DEDUIT: loi de Bernoulli le long d’une ligne de courant
Multiplication de chaque composante i de la conservation de
QM par ui dans le cas du seul champ de force gravitationnel
F g
.be
Par définition de la norme de la vitesse :
1 1 iji ij i i i
j i j
u u pu u g u
t x x x
2 2 2U u v w
2 2
1 1 ijU U p
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Si le fluide est homogène :
1 1
2 2ij
j i i i ij i j
pu g u u u
t x x x
1 1 et ij ij
i i j j
p p
x x x x
24
47
On obtient :
Principe DEDUIT: loi de Bernoulli le long d’une ligne de courant
2 2
ijU U p
.be
2 2ij
j i i i ij i j
pu g u u u
t x x x
2
2ij
i i i i i
U U pU u g u u u
t x x x
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ww.hach.ulg.ac. 2i i jt x x x
48
Principe DEDUIT: loi de Bernoulli le long d’une ligne de courant
On note sx, sy et sz les composantes du vecteur unitaire tangent
au vecteur vitesse instantané :
ius
.be
On divise par :
2
2ij
i i i i ii i j
U U ps g s s s
t x x x
iis
U
U
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ww.hach.ulg.ac.
i i j
iji i i
i i j
z pg s s s
x x x
25
49Principe DEDUIT: loi de Bernoulli le long d’une ligne de courant
2
2ij
i ii j
U Ups gz s
x t x
.be
L’intégration de la relation précédente entre deux points A et B
le long d’une ligne de courant s’écrit :
2 2
2 2
Bij
ijA
U U Up pgz gz s ds
t x
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http://w
ww.hach.ulg.ac. 2 2 jA
B A
t x
s : coordonnée curviligne le long de la ligne de courant
50
Principe DEDUIT: loi de Bernoulli le long d’une ligne de courant
2 2
2 2
Bij
ijA
B A
U U Up pgz gz s ds
t x
.be
ij ij ij
j j j
V FV
x x V x m M
B B F
Signification physique du terme de tension
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http://w
ww.hach.ulg.ac. ij
ijA A
Fs ds ds
x M
Travail sur la ligne de courant → Pertes…
26
51Principe DEDUIT: loi de Bernoulli – Conservation de l’énergie spécifique
Si l’écoulement est stationnaire, sans perte, nous avons donc
2 2
2 2
U Up pgz gz
.be
2
stU p
gz C
Autrement dit, le long d’une ligne de courant
2 2B A
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2gz C
~ Loi de Bernoulli
Valable pour un fluide incompressible homogène
52
Principe DEDUIT: loi de Bernoulli – Interprétation graphique
p2U
2
2
U
g
.be
h
h
h
g
p
g
2
2
U
g
2
U
gp
g
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Plan de référenceh
27
53
• En négligeant les variations d’altitude, si v alors p et inversément
Effet Venturi.be
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54
Effet Venturi
.be
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28
55
« Lorsqu’un fluide (air ou liquide) quitte un orifice circulaire ou rectangulaire, tout ou partie de ce fluide suit le contour du profil qui prolongerait l’orifice, même si ce profil présente un angle très éloigné de la trajectoire de sortie. »
Effet Coanda (Roumanie 1885‐1972).be
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56
• Si la balle se déplace dans une direction horizontale
• La zone B a une vitesse plus lente que la zone APression en B > Pression en A
Force de « rappel » de la balle vers le centre
Effet de traînée et suspension
.be
• Le flux d’air est dévié par effet Coanda
force de rappel par conservation de la quantité de mouvement
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29
57
• Le jet de fluide sortant à haute vitesse du cône génère une zone de faible pression à l’intérieur
• Le différentiel avec la pression atmosphérique extérieure engendre un écoulement en vortex permettant à la balle
« Lévitation » d’une balle dans un cône.be
de rester dans le cône
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58
Portance d’une voiture
Vsup>Vinf
psup<pinf
.be
psup pinf portance
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Bouche d’extraction et diffuseur arrière pour évacuer au mieux l’air sous la voiture, … vitesse augmente et portance diminue
30
59Effet de sol – mis en place pour les F1 Lotus en 78‐79
.be
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Augmentation de la vitesse jusqu’à créer un effet de dépression
60
Perte de l’effet de sol
.be
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31
61Aviation
• Présence de tourbillons de bout d’aile dus à la différence de pression intrados-extrados
.be
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• La dissipation de ces tourbillons limite la cadence des décollages ou atterrissages des aéroports (plusieurs minutes au sol ou plusieurs km en vol)
62
Principe du siphon
.be
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63Principe du siphon
A
.be
B
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• Une fois le siphon amorcé, le débit ne dépend que du différentiel de charge entre A et B et non de l’altitude locale du parcours
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Principe du pont‐siphon
• Principe déjà appliqué du temps des Romains
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65
• Lorsque la pression remonte, les bulles implosent et peuvent provoquer des dégâts aux structures
Cavitation
Implosion d’une bulle – au centre, jet de fluide à haute vitesse impactant la structure
.be
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Roues de pompe après cavitation
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