ELASTO-PLASTICITY
Jean-Louis Chaboche
ONERA, 29 av. de la Division Leclerc92320 Châtillon, France
ATHENS Course MP06
Nonlinear Computational MechanicsMarch 16 to 20, 2009
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �
Comportements non linéaires
moteur fusée
A 380
essai au solde l’A 380
moteur avion civil
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �
ConstructionGénie Civil
Automobile
talus
collecteur d’échappement
arrachement
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �
Pièces soumises à des sollicitations thermomécaniques sévères
rocketengineaubes de
turbine
collecteurs d’échappement
chambres de combustion
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �
� GENERAL INTRODUCTION
� ELEMENTARY NOTIONS
� ELASTIC LIMIT CRITERIA
� FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY
� PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY
� PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING
� NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS
� NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING
Introduction and Elasto-plasticity
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �
Structural analysis with non-linearities
� ���������������������
� ������
� ������������
� ������� ���������
� ������������� �� ����
�!"#$!%��"'
$����"'�(��%)**)*
*)�+�%)�,�$)�&��)�
!"!,-*�*
� .� ���� ���
� *��/���� � 0
�.����
�%���1������
�%���1���������
�$�����
� ������������
����������
��������������
� ����������������������
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 2
Various scales in metallic materials and structures
�+)3
o
! 453µµµµ
3µµµµ
3�6�34�µµµµ
3�6�34�µµµµ
34�6�344�µµµµ
3�
��������
.�����
.������
.������
.�����
����������
��������
��7����������
8�����������9
�������
����� ������
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity :
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity =
� GENERAL INTRODUCTION
� ELEMENTARY NOTIONS
� ELASTIC LIMIT CRITERIA
� FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY
� PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY
� PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING
� NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS
� NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING
Introduction and Elasto-plasticity
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 34
Notations>σσσσ
.��/��/�� 0
�5�σσσσ
%��������������� ������� 0
*��������1 ����� 0
&������ ������� 0
intrinsic : indicial :σσσσ
$���; ���1 ����� 0% >1�%
>>�σσσσεεεεσσσσ 0 >> εεεεσσσσ
1�>1�% εεεεεεεε0%
ϕ����
#��������� 0������ ���1 0 3������������
≠≠≠≠====
====> 4
> 3>δδδδ
��; ���1 0 (((( ))))3333��
3⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ++++==== (((( ))))>1�>�1�3>1�% δδδδδδδδδδδδδδδδ ++++====
����
⊗⊗⊗⊗==== >> �� ====7�% ⊗⊗⊗⊗==== 1�>>1� 7�% ====7�% ⊗⊗⊗⊗==== >�1>1� 7�% ====7�% ⊗⊗⊗⊗==== >1�>1� 7�% ====
�?
ϕϕϕϕϕϕϕϕ ====∂∂∂∂∂∂∂∂
��
��� ====�
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 33
Invariants
��/�������;
�@����0
(((( )))) [[[[ ]]]] �A31>1>�=�A3���2��� BBBC� σσσσσσσσσσσσ========
σσσσ&��3 ====
[[[[ ]]]]�3������3 �������3
>>�
�����D BBC���C� σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ −−−−++++−−−−++++−−−−====================
�E/������0
F����33113 �30&�� σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ ====++++++++================
(((( )))) >>�3��3� BBB&�C σσσσσσσσσσσσ ========(((( )))) 1>1>�3��3� BBBB&�C σσσσσσσσσσσσσσσσ ======== 3��&�B �3 σσσσσσσσσσσσ −−−−====
��/���������������������0
��/�����������E ���������D���0
���
���
�33
�11
�� ��&�3 εεεεεεεεεεεεεεεεεεεε ++++++++============ℑℑℑℑ
����E�E�����4
��C��
�
�
>�>��
� εεεεεεεεεεεε ���� ========
ττττττττ ������
4
����==== �
��������� E������
�����������������������
� �
��CBB��
�
�
>�>��
����
εεεεεεεεεεεε ========
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3�
Characteristic tests in tension
� F������� 0εεεε
σσσσ
εεεε
� %���� 0
� ����?��� 0��
εεεε
σσσσ
σσσσ
�
�
� �
�
εεεε
�����
�������
σσσσ
εεεε
����?���
;������
�
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3�
Multiaxial tests
����������������
����
����
����������������
====���
��
�
C%
C%
*$
σσσσ
�������
��������
%
$
�
$σσσσ1111
σσσσ2222
������������������������
����
����
������������������������
++++
====
*
$
�
���
��
�
��
��
���
σσσσ
traction –
compression –
internal
pressure
traction –
compression –
torsion
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3�
Notion of plastic strain
�� εεεεεεεεεεεε ++++====
����� ������
������ ������ ��0
G ���/���7�� H���G ������� H������
σσσσ
εεεε
�εεεε �εεεε
�εεεε �εεεε)
σσσσ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3�
�� εεεεεεεεεεεε ++++====���� ������ 0
����
�% %
������
����?��
���������
�$
$
$
%
�� $$$ ====$��� ������ 0
�εεεε
σσσσ
εεεε
εεεε
�εεεε εεεε
Notion of plastic strain
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3�
Notion of hardening
;�������
σσσσ
εεεε
(�� ����� (�����
�������
������������
��8���������
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 32
Bauschinger effects
I����;���� � ���
σσσσ
εεεε
�������������
��8������� ���������
���������/�
������
�
��
��8������� �����������
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3:
Rheological elementary models
εεεεσσσσ )====
εεεεηηηησσσσ �====
"3
εεεεηηηησσσσ �====
�� σσσσσσσσσσσσ ≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−
�����
��������;��
�����������;��
�����
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3=
Parallel and series assemblies
�σσσσ
�σσσσσσσσ)
�� εεεεεεεεεεεε ++++====
�εεεε �εεεε
F
�σσσσ σσσσ
�F� εεεεσσσσσσσσ ++++====εεεε
σσσσ
F�σσσσ
εεεε
σσσσ�σσσσ
�σσσσ−−−−
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �4
σσσσ
F
�σσσσ)
ηηηη
σσσσ) F
�σσσσ
ηηηη
/�������� � �������0
E���� � /��������
�����������
I��;�
�����0
σσσσ)
F
�σσσσ���������������
�������� 0
;�������Viscosity effects
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �3
� GENERAL INTRODUCTION
� ELEMENTARY NOTIONS
� ELASTIC LIMIT CRITERIA
� FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY
� PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY
� PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING
� NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS
� NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING
Introduction and Elasto-plasticity
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
��������������
������ ����0�����/������
4 >(((( ))))>!� σσσσ====/���7������
�����7�
�;� ��� ���������
������
/� �������� &����� 0������������� ;�������� ��������
4�555�1 �D ≤≤≤≤−−−−==== σσσσ/� �����0
B0B�
�C���C ��D σσσσσσσσσσσσσσσσ ============σσσσσσσσ &��
3F ==== (((( )))) �A3���2��� C� ====
Elastic limit criterion = yield criterion
(((( )))) (((( ))))�� B&��
3B0BB5
�
3C σσσσσσσσσσσσσσσσ ========
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
4�555�1 �D ≤≤≤≤−−−−==== σσσσ
/� �����0
��/����
�����
/� ����
&�����
�σσσσ
3σσσσ �σσσσ
�
von Mises and Tresca
4�555�1*�� > ≤≤≤≤−−−−−−−−==== σσσσσσσσ
&����� 0
====>�����3
4 ==== (((( )))) 411�
�2�
����D
�����
��D ====−−−−−−−−−−−− σσσσσσσσ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
(((( )))) 4�555�1�� ����D ≤≤≤≤−−−−==== σσσσφφφφ.���1����3=�=�0
7��8��� /� �������� &�����
��/����
�����
/� ����
&�����
�σσσσ
3σσσσ �σσσσ
�
von Mises, Tresca and Edelman-Drucker
(((( )))) 411�
�21��1
����D
������
���D ≤≤≤≤����
����
��������
���� −−−−++++−−−−−−−−−−−−==== σσσσσσσσ
)����� � .���1����3=�=�0
������ �������� ��J�4�����������/� �������������J�3���������&�����
(((( )))) 4�555�1�� ����D ≤≤≤≤−−−−==== σσσσφφφφ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
Edelman-Drucker
������ ��������
��J�4�����������/� ����������
��J�3����������&�����
�����������������
��������������������
(((( )))) 411�
�21��1
����D
������
���D ≤≤≤≤����
����
��������
���� −−−−++++−−−−−−−−−−−−==== σσσσσσσσ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
�������� �
;�������� ��������
4�555�1��&� �D ≤≤≤≤−−−−++++==== σσσσαααασσσσ
.���1���� (����� 0
��&� σσσσ
�Dσσσσ
��/����
�����
/� �
���
�σσσσ
3σσσσ
�σσσσ�
Drucker – Prager
��&� σσσσ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �2
K������ � ��C�
�����������
��4L%
3
�3
�3
3
�
�
σσσσσσσσ
�3 σσσσσσσσ
/� ����
F��
���������
��������������
�� 4��������=4L
F��M�������� 0
4�555�10F0 ≤≤≤≤−−−−==== σσσσσσσσ
F J�������1 ������� ��� ���;� ������
���������������
Anisotropic criteria
��;����
F����3=�3
���0F0�F ====
G �/��� H�����
�� J����/���� ��>���� 0
1�>>1�>�1�>1�
�
3��
�
3� δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ −−−−++++====
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �:
.���1����3=�=��0
(((( )))) (((( )))) ��
� ≤≤≤≤−−−−−−−−==== �555�1C�C
I������%�N��� ��44���0
(((( )))) ��
� ≤≤≤≤−−−−−−−−==== �555�1C�C
An isotropic non-symmetric criterion
��
����
���
���� 4� ====σσσσ
�σσσσ
3σσσσ
-300
-200
-100
0
100
200
300
-300 -200 -100 0 100 200 300
Barlat-Cazacu
Drucker
von Mises
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �=
� GENERAL INTRODUCTION
� ELEMENTARY NOTIONS
� ELASTIC LIMIT CRITERIA
� FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY
� PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY
� PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING
� NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS
� NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING
Introduction and Elasto-plasticity
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �4
� ������ �� ������� ������������� ������ ������ ����� ;������� ����� ��������� �����
Rate-independent incremental plasticity theory
Context of theory:
Main ingredients :
� ������ ���� ���������� �� � ���� ���������
� �8���
������ �����������
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �3
Hardening
;�������
σσσσ
εεεε
(�� ����� (�����
�������
������������
��8���������
����
������
���;�
������������ 0 σσσσ�
combination of :isotropic hardeningkinematic hardeningothers…
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
initial
��
�σσσσ
3σσσσ �σσσσ
����� ====
Isotropic hardening
�
��
�
��
��(
δ δ δ δ �(�δ �(M�M�
σσσσ
�εεεε
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
�
�
�%O εεεε==== (�������3=�=
Kinematic hardening (linear)
O
initial
�σσσσ
3σσσσ �σσσσ
�
σσσσ
�εεεε
O
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
4
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
&;� �8�� �;� ������ ������������ �������� 8�; �;� ������
������������ ������� � ������ �;�� �;� �8�� ������
8�; ��� �;�� ����7���������������
40� ≥≥≥≥−−−− εεεεσσσσσσσσ �
4 ====
�εεεε�
σσσσ
Principle of maximal plastic work
Pσσσσ σσσσ�
σσσσ�εεεε�
Pσσσσ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
%��������8�; �;� ��?��.�������(������
� � λλλλσσσσ
λλλλεεεε ��� ====∂∂∂∂∂∂∂∂
====
����� �;� ������ ��/�?��
����� ����������7��������������� ���;� ������ �
���������� �;� ;�������� ���������0
������
�������
Concequency : Normality rule
4C
&�C
&� �� ====������������
������������
∂∂∂∂∂∂∂∂====��������
����
������������
∂∂∂∂∂∂∂∂
σσσσσσσσ
4
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �2
�������� 8�; �;� ;������� �������������� �;� ��������������
4!0!
0
>
>
====∂∂∂∂∂∂∂∂
++++∂∂∂∂∂∂∂∂
==== ��� σσσσσσσσ
4 ====�
Consistency condition
4 ====++++++++ σσσσσσσσ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �:
Combination of the different rules
������ 0 � � λλλλσσσσ
λλλλεεεε ��� ====∂∂∂∂∂∂∂∂
====
;������� 0 (((( ))))>11 +�F+ σσσσλλλλ�� ====
��������� 0 4+
F0�+
+
0
1
11
1
====∂∂∂∂∂∂∂∂
++++====∂∂∂∂∂∂∂∂
++++∂∂∂∂∂∂∂∂
==== λλλλσσσσσσσσσσσσ
�����
σσσσσσσσ
σσσσλλλλ ��
� 0�;
3
+
F
0
�
1
1
====
∂∂∂∂∂∂∂∂
−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂
====1
�+
1F; ∂∂∂∂
∂∂∂∂−−−−====
��������� ��������� ������ 0
�0�� �F;
3
�
� σσσσεεεε �� ====
� ;������� 8�;�� ������� �8
������������
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �=
4 ====
σσσσ∂∂∂∂∂∂∂∂==== �
σσσσ
4
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �4
Non-associated plasticity : example of soils mechanics
.���1���(�����
������
(((( )))) 4+� 1 ≤≤≤≤σσσσ)����� ��� 0
� ������� �3����������� �8
(((( )))) 4&� � ====εεεε�
�7���/������ ����� 0
7���0�
�εεεε�σσσσ∂∂∂∂
∂∂∂∂
4
�C
σσσσ&��3 ====
1
�J�4
��J�4
(������ �8������� 0 (((( )))) 4+�� 1 ====σσσσ
σσσσλλλλλλλλεεεε
∂∂∂∂∂∂∂∂
========�
�� ��� 4 ==== 40
≥≥≥≥
∂∂∂∂∂∂∂∂ σσσσσσσσ
� ���
4� ====εεεε� 4
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �3
Elasto-plastic tangent operator (non-associated flow)
�8�������0
��������;� ������ ��� 0
(((( ))))�0 εεεεεεεεσσσσ −−−−ΛΛΛΛ====F
1�M����80
εεεελλλλ �� 00
;
3ΛΛΛΛ======== �00;; � ΛΛΛΛ++++====
��
���� ���������� �������� 0
�0
;
3
�
� σσσσεεεε �� ====
;�������
�����
σσσσ∂∂∂∂∂∂∂∂====
σσσσ∂∂∂∂∂∂∂∂====�
�
(((( )))) ====−−−−−−−−ΛΛΛΛ====∂∂∂∂∂∂∂∂
++++∂∂∂∂∂∂∂∂
==== λλλλεεεεεεεελλλλσσσσσσσσ
������ ��
1
1 ;00
+
F0
4;�0000 � ====−−−−ΛΛΛΛ−−−−ΛΛΛΛ==== λλλλλλλλεεεε ���%�������� 0
(((( )))) (((( ))))εεεεεεεελλλλεεεεεεεεεεεεσσσσ ������� 0,0�0,;
30�000
� −−−−ΛΛΛΛ====ΛΛΛΛ−−−−ΛΛΛΛ====−−−−ΛΛΛΛ====
(((( )))) εεεεεεεε �� 00�0;
30 ΛΛΛΛΛΛΛΛ−−−−ΛΛΛΛ==== ⊗⊗⊗⊗
εεεεσσσσ �� 0�
==== (((( )))) ΛΛΛΛΛΛΛΛ−−−−ΛΛΛΛ==== ⊗⊗⊗⊗ 0�0;
3
� � ====
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
������ 0
��������� 0
��������
εεεελλλλ �� 0��
�====
1�1�1�>1�> ��� εεεεµµµµεεεε �� ====ΛΛΛΛ
Perfectly plastic behavior (associated plasticity)
� � λλλλσσσσ
λλλλεεεε ��� ====∂∂∂∂∂∂∂∂
====
40�0
========∂∂∂∂∂∂∂∂
==== σσσσσσσσσσσσ
���
�������������������������������������������������������
��������������������
������������������������������������������������
4�00�00���00�0�� ====ΛΛΛΛ−−−−ΛΛΛΛ====−−−−ΛΛΛΛ==== λλλλεεεεεεεεεεεεσσσσ �����
����� �������� ��� /� ����������� 0 �� >1�>�11�>>1� δδδδδδδδδδδδδδδδµµµµδδδδλδλδλδλδ ++++++++====ΛΛΛΛ
µµµµ��� 1�>1�> ====ΛΛΛΛ
�00�
00�
ΛΛΛΛ
ΛΛΛΛ====
εεεελλλλ
��
�D
>>
�
�
��
σσσσ====
���C σσσσσσσσ −−−−====
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
���;��������
������������
����
����
������������
−−−−−−−−====
�3
�3
3
�
��
σσσσ
Flow direction associated with von Mises criterion
σσσσσσσσ
σσσσ ∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂====
∂∂∂∂∂∂∂∂
====�
0�
�
�D
σσσσσσσσ ====�D
�D
>>
�
�
��
σσσσ====
��D σσσσσσσσ −−−−====
>
1�
1�
�D>
�
��
σσσσσσσσ
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂====
(((( )))) 1�>>1�>�1�>1�>
1�
�
3
�
3�
�δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ
σσσσ++++++++========
∂∂∂∂∂∂∂∂
�D
�
�
��
σσσσ====
��������������� �������3�0
��
�3
�3
3
� σσσσ����������������
����
����
������������
−−−−−−−−====
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
� GENERAL INTRODUCTION
� ELEMENTARY NOTIONS
� ELASTIC LIMIT CRITERIA
� FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY
� PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY
� PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING
� NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS
� NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING
Introduction and Elasto-plasticity
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
initial
��
�σσσσ
3σσσσ �σσσσ
����� ====
Isotropic hardening
�
��
�
��
��(
δ δ δ δ �(�δ �(M�M�
σσσσ
�εεεε
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
Incremental Prandtl-Reuss plasticity/� �������
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �2
Ramberg-Osgood or Hollomon equation of tensile curve
����� ������� �80
4�&�1� �D ====−−−−−−−−==== σσσσ
3�D �Q1 ++++====σσσσ
3�Q1 εεεεσσσσ ++++====
============−−−−
3
� �
Q���B�;
3�D
Q
1
Q−−−−
������������
������������
−−−−====
σσσσ
�������;�������
����� 0
σσσσ
3�4
�44�����
��4
344
�44
45� 35�354
�εεεε�
�(�
4
����� ====
1
����
�3�,��� �4L%
���������� 0
�(�3�:1 ====��5� ====
�(����Q ====
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �:
Isotropic hardening and cyclic loading
σσσσ
εεεε
����������������
����������������
���������� ���/�
��� �����������
�����������������
�����������������������������������
����������� ��������
���7������7�������� ��������
�������������������������������
���7������7����G ��� ����� ������ H����� �������
�����������������
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �=
Prandtl-Reuss plasticity at variable temperature
σσσσ
)?���� 0�������������������� �������� ���������� 0
�&�1
1
������
&
�&�1�D ====σσσσ
������
���&�1 ++++
4�&�1� �D ≤≤≤≤−−−−−−−−==== σσσσ �&�&�B10�� �F���B�
3� ��� −−−−==== σσσσεεεε
��������������������
�����
����
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �4
� GENERAL INTRODUCTION
� ELEMENTARY NOTIONS
� ELASTIC LIMIT CRITERIA
� FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY
� PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY
� PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING
� NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS
� NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING
Introduction and Elasto-plasticity
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �3
�
�
�%O εεεε==== (�������3=�=
Kinematic hardening (linear)
O
initial
�σσσσ
3σσσσ �σσσσ
�
σσσσ
�εεεε
O
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
�44��(�
�σσσσ
3σσσσ
�44��(�
���
�����
����
�σσσσ
3σσσσ
344��(�
3
�
���� ������
����
+�%�3�
3
�
3 −−−−−−−− �3%���
3 −−−−
������������������� ��������!�"��������������
����� �����5��3=:�
Example of kinematic hardening in some stainless steels
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
Incremental plasticity with Linear Kinematic Hardening/� �������
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
� GENERAL INTRODUCTION
� ELEMENTARY NOTIONS
� ELASTIC LIMIT CRITERIA
� FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY
� PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY
� PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING
� NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS
� NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING
Introduction and Elasto-plasticity
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
Thermodynamic approach – Internal variables
���
�
�
�
�!00 ααααεεεεσσσσαααα
ααααψψψψρρρρεεεε
εεεεψψψψρρρρψψψψρρρρ ����� ++++====
∂∂∂∂∂∂∂∂
++++∂∂∂∂∂∂∂∂
====
� ���� ������/���7�����7���/�7��������������;�� ���� �� ��� ������
������������ �����������������������
� �;� �� ��� ������� /���7���� ��8� � �;� �?������ ����
������ �������
��� �� ααααεεεερψρψρψρψρψρψρψρψ ====
� /������ ������� �;� ����� ������ ����� �;� �� ���� ������ 0
ψψψψ
ψψψψ
�
��!
ααααψψψψρρρρ
εεεεψψψψρρρρσσσσ
∂∂∂∂∂∂∂∂
====∂∂∂∂∂∂∂∂
====
� 8� �������;�� �;��� ������/���7���������� ���� ����������� �;�
8;�� ���� ;����
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
Definition of intrinsic dissipation
(((( )))) (((( ))))����� !0000 ααααεεεεσσσσεεεεσσσσεεεεσσσσψψψψεεεεσσσσ ������� ++++−−−−++++====−−−−====ΦΦΦΦ
(((( )))) (((( ))))��� �N!�K ααααεεεεσσσσ −−−−========
� �������� ��������� �;� � ������ 7��8��� �;� �������� ��;�����
������ ��� �;� �������� ����� ������
� �� � �������� ���;��� �������� �������
� �7/���� �;��� � � ��������������� ������ 7�;�/��
� &;� '������N�� *���������������������������� ������������ ������ 0
� ���� � (�����C�� R������ N�� ��3
�;�������� � C����3 ���S��
K
ΦΦΦΦ�
NK!0 ���
���� ====−−−−====ΦΦΦΦ ααααεεεεσσσσ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �2
� ������0��?����������8�1 ������� ����� ������������� 0
F���0����� �������� �;� �?��
�?��� ����� �;� ��������
Plastic flow – Generalised normality
�0 εεεεσσσσ �� ====ΦΦΦΦ
NK!0 ���
���� ====−−−−====ΦΦΦΦ ααααεεεεσσσσ
� )?������ �?����������������� R������� ��������8����
8� ��� ���?����;� ������ ��������0
� S� ;�/�����?���������������� �;� �������� R�8� ������0
� � λλλλσσσσ
λλλλεεεε ��� ====∂∂∂∂∂∂∂∂
====K
N
∂∂∂∂∂∂∂∂
==== λλλλ��
NK �
/���;�� ���σσσσ∂∂∂∂∂∂∂∂$
�0 εεεεσσσσ �
�!$ ∂∂∂∂∂∂∂∂
(((( )))) (((( ))))����� !� !0!�$ σσσσλλλλααααεεεεσσσσσσσσ ��� −−−−−−−−====
4�!�� � ≤≤≤≤σσσσ
4�!�� � ≤≤≤≤σσσσ
���
�!
∂∂∂∂∂∂∂∂
−−−−==== λλλλαααα ��
� "����� ��������� �8��� ��;������� �/���� 0
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �:
Example : linear kinematic hardening in 1D
������F
�
3)
�
3��� εεεεεεεεεεεεεεεεψψψψ ++++====
� ������������� 8����
� ��������� �;� ������ ��������;� ����� ����8�;
� ������/���7������������������� �;� ����� ������� �F��
� ������ ��������J��������� ������ T ����� ������ 0�
�εεεε
4O�O�� � ====−−−−−−−−==== σσσσσσσσσσσσ�O��
� −−−−==== σσσσεεεε �����
�εεεε
(((( )))) (((( )))) ������ OO εεεεεεεεσσσσεεεεεεεεσσσσεεεεσσσσεεεεσσσσψψψψεεεεσσσσ ��������� −−−−====++++−−−−++++====−−−−====ΦΦΦΦ
(((( )))) ��OO �� ���� σσσσσσσσεεεεσσσσ ====−−−−====−−−−====ΦΦΦΦ
� *���� ������ � �������� 8�; ��/������������ �8��F�54 εεεε
σσσσ)
F
�σσσσ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �=
Example : linear isotropic hardening in 1D
������F
�
3)
�
3��� εεεεεεεεεεεεεεεεψψψψ ++++====� $��� ������ 8����
� ������� ��������J��������� ������ T ����� ������ 0�
(((( )))) ����� �� �������� σσσσσσσσεεεεσσσσεεεεσσσσψψψψεεεεσσσσ ====−−−−====−−−−−−−−====−−−−====ΦΦΦΦ
�
�)εεεε
εεεεψψψψσσσσ ====
∂∂∂∂∂∂∂∂
====
� &;� ������� /���7���������� ����� �������� ������������ ��αααα � �!
� -��� ������ 8���� 4O�O�� � ====−−−−−−−−==== σσσσσσσσσσσσ
� *���� ������ ����� 7� �������� ���������
�������� ����������F�54 �
�F�
� ====∂∂∂∂∂∂∂∂
====ψψψψ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �4
Hardening state variables consistent with GSM
� -��� ������ 8�; �7��� 1�����
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �3
� GENERAL INTRODUCTION
� ELEMENTARY NOTIONS
� ELASTIC LIMIT CRITERIA
� FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY
� PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY
� PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING
� NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS
� NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING
Introduction and Elasto-plasticity
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
Non-Linear Kinematic Hardening
ααααααααψψψψ 0%�
3� ====
O
σσσσ
�εεεε
�����������/��
�.�
��� ααααεεεεαααα −−−−====αααααααα
ψψψψ%
�
�O
� ====∂∂∂∂
∂∂∂∂====
���������� D������� 0
������������/��
σσσσ
�εεεε
(((( ))))�� 0% ααααααααψψψψ ====O ������� ������
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
!�������$������1��3=��
�O.%O�
�
���� −−−−==== εεεε
;�������
�(������
�����
���/���
������������� ����� � �������� 0
�� O.%O εεεεεεεε ��� −−−−====
(((( ))))(((( ))))��.�?�.
%O
.
%O εεεεεεεενννννννν −−−−−−−−����
����
��������
−−−−++++====
Non-Linear Kinematic Hardening
��0
�
�� εεεεεεεε ��� ====
O
σσσσ
�εεεε
%A.
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
���7���� ������0
(((( ))))(((( ))))��.�?�.
%O
.
%O εεεεεεεενννννννν −−−−−−−−����
����
��������
−−−−++++====
������������
������������
∆∆∆∆====
�.&��;
.
%O
�
εεεε
1�
O
�++++==== ∆∆∆∆σσσσ∆∆∆∆
���������0
Non-Linear Kinematic Hardening
O
σσσσ
�εεεε
%A.
Oσσσσ∆∆∆∆
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
�U��A�εεεε∆∆∆∆
�
σσσσ∆∆∆∆
"���"�%�=4
&!�+
+��2=��%7���!���
���"%.�3�
Cyclic curves : Non-Linear Kinematic Hardening
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
����������������
−−−−==== −−−− ��4443 �3�4O
εεεε
����������������
−−−−==== −−−− ��44� �3344O
εεεε
O� J���44�ε ε ε ε �
O�J�O3
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �2
General anisotropic hardening
(((( )))) (((( )))) 4�&�1�O0�0O ≤≤≤≤−−−−−−−−−−−−−−−−==== σσσσσσσσ O������ ;������� 0
����������
Q����� ;������� 0
�����������
!������ ;������� 0
�������
.������� ;������� 5�5�5
���; ���1 ������
O
�
� O �
������� 0������1����������
��������
B33σσσσ
B��σσσσ
B��σσσσ
4
Top Related