Ciencias Responsable de la sección: Patricia Fernández de Liz p ciencias@publico.es

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Un cadáver, una habita-ción cerrada, dos sospe-chosos. No es el comien-zo de una novela poli-ciaca cuyo protagonis-

ta intenta demostrar que no existe el crimen perfecto, sino la metáfora ele-gida por el escritor Guillermo Martí-nez para explicar uno de los teoremas más profundos de la lógica. Antes de dedicarse por completo a la literatu-ra, este argentino nacido en 1962 se doctoró en matemáticas y pasó dos años completando sus investigacio-nes en la Universidad de Oxford. Tres pasiones –la escritura, la lógica y el encanto misterioso de los colleges–que se entrelazarían años más tarde en su novela Los crímenes de Oxford, que posteriormente fue llevada al ci-ne por Álex de la Iglesia. En la obra, el académico Arthur Sheldon y un es-tudiante estadounidense investigan una serie de asesinatos “impercepti-bles”, con la ayuda de los teoremas de Kurt Gödel y de la filosofía del len-guaje de Ludwig Wittgenstein.

En esta ocasión, el compañero de viaje para seducir al gran público con unos teoremas que han fascinado por igual a científicos y humanistas a lo largo de la segunda mitad del siglo XX no ha sido un personaje de fic-ción, sino el también matemático ar-gentino Gustavo Piñeiro. Juntos han escrito Gödel para todos (Ediciones Destino, 2010), una obra que se plan-tea “como un juego por etapas, con la esperanza de que los lectores se desa-fíen a sí mismos a pulsar enter al final de cada capítulo para pasar al próxi-mo nivel”, dicen los autores. Como explican los expertos, mientras las sofisticadas matemáticas que subya-cen a la teoría de la relatividad plan-tean una ruptura entre los libros de divulgación y los manuales técnicos, en el caso de los teoremas de Gödel es posible presentar una exposición a la vez rigurosa y accesible, que sólo re-quiere del lector que no haya olvida-do sumar y multiplicar. Además, des-de su blog (http://godelparatodos.blogspot.com), Martínez y Piñeiro responden regularmente a las dudas que les plantean los lectores.

un crimen sin pruebas

Así que imaginen que en una habita-ción cerrada se comete un crimen y que, al llegar la policía, junto al cadá-ver hay dos sospechosos. Cada uno de ellos sabe toda la verdad sobre el asesinato: sabe si fue él o no fue él. Sin embargo, a menos que confie-sen, los inspectores tendrán que en-contrar huellas dactilares, restos de ADN o cualquier otra prueba secun-daria que permita acusarlos ante un juez. Si esta búsqueda se demostrara inconcluyente, los sospechosos que-darían libres, pero la verdad de lo que sucedió en la sala seguiría estando ahí. Aunque la verdad existe, el méto-do es insuficiente para alcanzarla. Lo sabían desde el principio los detec-tives y los arqueólogos, pero los ma-temáticos vivieron en el optimismo de que todo lo verdadero es demos-trable, hasta la entrada en escena de

javier fresánparís

Reportaje

Kurt Gödel, en sus años como profesor del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (EEUU).

El teorema GödelUn libro descubre los secretos del matemático austriaco

Aritmética. ‘Gödel para todos’ plantea a los lectores un «juego por etapas»

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un joven austriaco, en noviembre de 1930.

Los principales expertos en la ló-gica matemática se habían reunido en la ciudad alemana de Köenigs-berg para discutir el estado de la dis-ciplina. El propio Gödel había sido invitado a exponer los resultados de su tesis doctoral, que dejaban aún la puerta abierta a unas matemáticas todopoderosas. Sin embargo, en los meses transcurridos entre el inicio brillante de su carrera y el encuen-tro de Köenigsberg, Gödel había avanzado en sus investigaciones, hasta convencerse de que el sueño de los lógicos de su generación era imposible. Nada parecía indicarlo mientras pronunciaba su conferen-cia pero, en los últimos minutos de la mesa redonda que cerró el con-greso al día siguiente, por fin se atre-vió a anunciar que tenía ejemplos de “proposiciones verdaderas por su contenido que no podían demos-trarse a partir de los axiomas”.

los teoremas de incompletitud

Como explican Martínez y Piñeiro, el edificio de las matemáticas des-cansa sobre un puñado de princi-pios que se dan por sentados por su sencillez y utilidad: son los axio-mas. A partir de ellos, el trabajo de los matemáticos consiste en dedu-cir propiedades sobre los números, mediante un proceso riguroso que se conoce con el nombre de demos-tración. Por así decirlo, los axiomas son los personajes del relato, de mo-do que el éxito de la historia depen-derá de cómo se elijan. Por un la-do, no deben dar lugar a contradic-ciones, pues de nada servirán unos axiomas si de ellos se puede deducir al mismo tiempo que cero es igual a uno y distinto de uno. Tampoco es posible construir una teoría razo-nable si no somos capaces de distin-

guir los axiomas de otras afirmacio-nes, de saber lo que hay que demos-trar y lo que puede suponerse.

Con estos ingredientes, explicados a través de ejemplos y de ejercicios, los autores de Gödel para todos están en condiciones de enunciar el teore-ma que el lógico austriaco comunicó discretamente a sus compañeros en la reunión de Köenigsberg. Dice que, sean cuales sean los axiomas que eli-jamos para hablar sobre los números, si estamos seguros de que son reco-nocibles y de que no dan lugar a con-tradicciones, entonces automática-mente existirá una propiedad que es verdadera, pero que no se puede de-mostrar a partir de ellos. Un crimen que los detectives nunca lograrán re-solver. Como el teorema mostraba que ninguna colección de axiomas podía completar todas las verdades aritméticas, enseguida pasó a llamar-se teorema de incompletitud.

Para demostrarlo, Gödel modificó de manera ingeniosa la llamada pa-radoja del mentiroso, que se produ-ce cuando alguien afirma “Yo siem-pre miento”, pues si la persona mien-te, entonces dice la verdad, y si dice la verdad, entonces miente. Por esta ra-zón, algunos de sus contemporáneos pensaron que las verdades indemos-trables eran puramente anecdóticas. Sin embargo, el teorema de Gödel inspiraría a Alan Turing la creación de los primeros ordenadores teóricos.

Ochenta años después, unos pá-rrafos bastan para explicar qué dicen sus teoremas, pero en su día sólo uno de los asistentes a la mesa redonda, el genial John von Neumann, pudo comprenderlos. Habría que esperar a que se publicaran varias obras de di-vulgación para que el teorema se in-corporase al folklore matemático. Y lo hizo con tanta fuerza que, como se-ñalan Martínez y Piñeiro, la incom-pletitud pasó a formar parte de ese

extraño grupo de “palabras mágicas de la escena postmoderna como caos, fractal o indeterminación” que se aso-cian “a supuestas derrotas de la razón y al fin de la certidumbre en el terre-no más exclusivo del pensamiento: el reino de las fórmulas exactas”.

En uno de los capítulos de Gödel para todos, el lector comprobará con asombro las insensateces que, a cuen-ta del teorema de incompletitud, han escrito filósofos como Julia Kristeva, Jacques Lacan o Régis Debray. En sus manos quedará interpretarlas como una muestra más del peligro de ha-blar de lo que no se sabe o como la mejor evidencia de la misteriosa se-ducción de un resultado que, como dijo Von Neuman, “permanecerá vi-sible en el espacio y en el tiempo”. D

Los matemáticos vivían en el optimismo de que lo verdadero es demostrable

Sólo John von Neumann pudo comprender lo que sugería Gödel

Guillermo Martínez, coautor del libro, también escribió ‘Los crímenes de Oxford’

Gödel dijo que hay proposiciones ciertas que no pueden ser probadas

Albert Einstein, a la derecha, pasea con Kurt Gödel, en una fotografía tomada el 1 de enero de 1954 en Princeton. GETTY

* MATEMáTiCO EN LA UNiVERSiTé PARiS 13”

Y autor de ‘Gödel. la lóGica

DE LOS ESCéPTiCOS’ (ED. NiVOLA),

‘Gödel para todos’autores guillermo martínez y gustavo piñeiro

editorial Destino

precio 18,5 euros

tras huir de la alemania nazi, Kurt Gödel se instalaría definitivamen-te en la universidad de princeton (eeuu) en 1940. siete años después, cuando obtuvo la nacionalidad es-tadounidenses, tendría lugar una de las anécdotas más conocidas del personaje. como todos los solici-tantes, Gödel debía dar cuenta de su conocimiento de la legislación en un examen sobre la constitución. en la práctica, la prueba no era más que un trámite, pero él quiso prepa-rársela a conciencia y mientras lo hacía creyó descubrir algunas con-tradicciones lógicas. al examen lo acompañó su amigo albert einstein, que conocía al juez. Viendo el desas-tre que podría ocurrir si se le dejaba exponer su teoría, einstein advirtió al juez de que Gödel no era un can-didato como los demás. Y, en efecto, al comienzo del examen, y con gran excitación, Gödel intentó exponer al juez esas contradicciones lógicas.–“usted tenía hasta ahora la nacio-nalidad alemana”.-“perdone, señor, austriaca”, corrigió Gödel.-“ah, ya, el maldito dictador. afortu- nadamente, eso no es posible en américa”, añadió el juez.-“al contrario –interrumpió Gödel–, ¡yo sé cómo sería posible!”. pero antes de dejarle hablar, el juez tomó las riendas de la situación y llevó el examen hacia preguntas más rutinarias. Más o menos por esa épo-ca, algunos lógicos habían empeza-do a sentar las bases de una teoría, la lógica deóntica, cuyo objetivo es precisamente evitar que cuando se incorporan nuevas leyes a un código civil surjan contradicciones.

un dictador en estados unidos, o la lógica deóntica