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Table des matières

Modélisation des transistors bipolaires intégrés . . . . . . . . . . . . . . . 15

Eléments de physique des semiconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Philippe DOLLFUS, Sylvie GALDIN-RETAILLEAU et Arnaud BOURNEL

1.1. Les matériaux semiconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.2. Structure cristalline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.2.1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.2.2. Les systèmes cristallins cc et cfc . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1.3. Réseau réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.3.1. Vecteurs du réseau réciproque . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.3.2. Zones de Brillouin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.1.3.3. Réseau réciproque et première ZB du réseau cfc . . . . . 21

1.1.4. Les vibrations du réseau cristallin . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.1.4.1. Modes de vibration d’une chaîne 1D à 2 atomes par maille 23 1.1.4.2. Vibrations d’un cristal 3D et à 2 atomes par maille . . . . 25 1.1.4.3. Energie associée aux modes de vibration . . . . . . . . . . 26

1.2. Structure de bandes des semiconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2.1. Bandes d'énergie des électrons dans un cristal parfait . . . . . . 28

1.2.1.1. Description de la formation des bandes par LCAO. . . . . 28 1.2.1.2. Schrödinger, potentiel cristallin et fonctions de Bloch . . . 31 1.2.1.3. Cristal 1D – Modèle de l'électron presque libre . . . . . . 31

1.2.2. Dynamique de l'électron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.2.2.1. Impulsion, vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.2.2.2. Effet d’une force extérieure, masse effective . . . . . . . . 36 1.2.2.3. Classification métal/isolant/semiconducteur . . . . . . . . 37

1.2.3. Notion de trou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.2.4. Cristal 3D - Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.2.5. Structure de bande de Si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.2.5.1. Bande de conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.2.5.2. Bande de valence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.2.6. Densité d'états dans les bandes permises . . . . . . . . . . . . . 46 1.2.6.1. Densité d'états dans l'espace réciproque . . . . . . . . . . 46 1.2.6.2. Densité d'états en énergie (cristal 3D) . . . . . . . . . . . 47

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10 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

1.2.7. Niveaux d'énergie introduits par les imperfections du cristal . . 48 1.2.7.1. Dopage pour un semiconducteur de la colonne IV . . . . . 49 1.2.7.2. Réduction de la largeur de bande interdite . . . . . . . . . 50 1.2.7.3. Niveaux profonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.2.8. Peuplement des niveaux d'énergie à l'équilibre thermique . . . . 52 1.2.8.1. Probabilité d'occupation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.2.8.2. Concentration des porteurs dans les bandes permises . . . 54

1.3. Effet des perturbations : transport et génération-recombinaison . . . . 55 1.3.1. Phénomènes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.3.1.1. Les mécanismes de relaxation des porteurs : les interactions 57 1.3.1.2. Fonction de distribution – Equation de Boltzmann . . . . . 58 1.3.1.3. Conduction électrique en champ faible (E < 1 kV.cm-1) . . 61 1.3.1.4. Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.3.1.5. Equation de dérive-diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.3.1.6. Champ électro-moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.3.1.7. Conduction en champ fort. . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.3.2. Création de porteurs en excès et recombinaison . . . . . . . . . 68 1.3.2.1. Création de porteurs en excès . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1.3.2.2. Recombinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.3.3. Equation de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1.4. Transport dans les dispositifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.4.1. Système à l'équilibre thermodynamique . . . . . . . . . . . . . 74 1.4.2. Système hors d'équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.4.3. Relations fondamentales de la théorie des dispositifs . . . . . . 77

1.4.3.1. Courants de diffusion et de dérive . . . . . . . . . . . . . 77 1.4.3.2. Equation de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 1.4.3.3. Equations à résoudre pour l'étude des dispositifs . . . . . . 79

1.5. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

B2. De la jonction PN au transistor bipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Sylvie GALDIN-RETAILLEAU, Philippe DOLLFUS et Arnaud BOURNEL

2.1. La jonction PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.1.1. Réalisation : profils de dopage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.1.2. Jonction PN à l'équilibre thermodynamique . . . . . . . . . . . 85

2.1.2.1. Formation de la Zone de Charge d'Espace (ZCE) . . . . . 86 2.1.2.2. Etude quantitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.1.3. Jonction PN polarisée en direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.1.3.1. Description phénoménologique . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.1.3.2. Calcul du courant dans une diode réelle . . . . . . . . . . 91

2.1.4. Jonction PN polarisée en inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.1.4.1. Description phénoménologique . . . . . . . . . . . . . . . 106

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Eléments de physique des semiconducteurs 11

2.1.4.2. Calcul du courant inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.1.4.3. Claquage de la jonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.1.5. Schémas équivalents de la jonction PN. . . . . . . . . . . . . . 112 2.1.5.1. Capacités de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.1.5.2. Capacités de diffusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 2.1.5.3. Conductance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 2.1.5.4. Schémas équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.2. Le transistor bipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 2.2.1. Effet transistor (en mode normal direct) . . . . . . . . . . . . . 116 2.2.2. Bilan des courants et calcul des gains . . . . . . . . . . . . . . 117

2.2.2.1. Bilan des courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.2.2.2. Calcul des gains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.2.3. Différents régimes de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . 119 2.2.3.1. Régime normal direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 2.2.3.2. Régime normal inversé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.2.3.3. Régime normal saturé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

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Modélisation des transistors bipolaires intégrés

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Eléments de physique des semiconducteurs

1.1. Les cristaux semiconducteurs

1.1.1. Généralités

D’un point de vue macroscopique élémentaire, les semiconducteurs se distinguent des autres solides cristallins (métaux et isolants) par leurs propriétés électriques très différentes :

– métal : ρ ≈ 10-6 Ω.cm, et n ≈ 1022 à 1023 électrons libres par cm3, quel que soit le métal, quelles que soient sa pureté et sa température ;

– isolant : ρ ≈ 108 Ω.cm (peu modulable), avec très peu de porteurs libres ; – semiconducteur : ρ ≈ 10-3 à 103 Ω.cm, et n ≈ 1013 à 1020 cm-3, selon la pureté

et la température du matériau. Tout l’intérêt des semiconducteurs vient du fait que l’on sait très bien en contrôler la résistivité, notamment par le dopage.

Tous les atomes de la colonne IV (C, Si, Ge) ont une couche électronique externe incomplète à 4 électrons, c’est-à-dire ns2 np2 en notation spectroscopique (au lieu de 8 électrons pour une couche complète ns2 np6).

Dans le cristal formé d'atomes de cette famille, l’arrangement atomique, schématisé sur la figure 1.1, est tel que chaque atome est entouré de 4 plus proches voisins avec lesquels il échange 4 liaisons de valence. Les 4 électrons de valence de chaque atome sont donc engagés dans des liaisons complètes. Il s’ensuit que dans le cristal pur à température nulle, il n’y a pas d’électron libre (le cristal est isolant).

Chapitre rédigé par Philippe DOLLFUS, Sylvie GALDIN-RETAILLEAU et Arnaud BOURNEL.

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16 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

Si

Si Si

Si

Si Si

Figure 1.1. Schéma de liaisons de valence dans un cristal de silicium.

Il est également possible d’assembler des atomes différents de la colonne IV pour former des alliages semiconducteurs (Si1-xGex, Si1-yCy, Si1-x-yGexCy). L'assemblage d'un nombre égal d'éléments de la colonne III et d'éléments de la colonne V peut également conduire à la formation d'un semiconducteur (GaAs, InP,…). Dans la suite de ce chapitre, nous ne traiterons essentiellement que du silicium.

1.1.2. Structure cristalline

1.1.2.1. Définitions

L’état cristallin correspond à un arrangement compact et périodique des atomes du solide. Un cristal parfait est donc constitué par la répétition d’un motif atomique, appelé base, suivant trois vecteurs de translation ( )cba

rrr,, qui définissent un réseau.

A partir d'une origine O, tous les points A tels que cnbnanOArrr

321 ++= voient le même environnement atomique que O. L’ensemble des points A constitue un réseau de points appelés nœuds du réseau. La donnée d’une base et d’un réseau caractérise donc entièrement la structure cristalline.

Les vecteurs de translation sont dits fondamentaux ou primitifs si pour tous les points A qui voient le même environnement que O, on peut trouver des entiers n1,

n2, n3 tels que cnbnanOArrr

321 ++= . Le parallélépipède défini par ar

, br

et cr

est appelé maille. Une maille permet de remplir tout l’espace en appliquant les opérations de translation convenables. La maille définie par les vecteurs de translation fondamentaux est dite primitive ou élémentaire. C’est en fait une maille de volume minimal.

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Eléments de physique des semiconducteurs 17

1.1.2.2. Les systèmes cristallins cubique centré et cubique faces centrées

Dans un espace tridimensionnel (3D) il y a 14 types de systèmes cristallins possibles, et en particulier 3 systèmes cubiques : cubique simple, cubique centré (cc) et cubique faces centrées (cfc). Les plus importants pour les cristaux semiconducteurs usuels sont les systèmes cc et cfc.

1.1.2.2.1. Le système cfc

La maille conventionnelle cubique et la maille élémentaire rhomboédrique sont représentées sur la figure 1.2. La maille rhomboédrique est construite sur 3 vecteurs

CBArrr

,, de longueurs égales et formant entre eux des angles de 60°. Chacun de ces vecteurs joint un coin du cube à un centre de face (figure 1.2). La maille conventionnelle cubique contient 4 nœuds du réseau ; elle est bâtie sur les trois vecteurs orthogonaux cba

rrr,, définis à partir de CBA

rrr,, par les relations :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−+=

+−=

++−=

CBAc

CBAb

CBAa

rrrr

rrrr

rrrr

et réciproquement

( )( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

+=

+=

+=

2/

2/

2/

baC

caB

cbA

rrr

rrr

rrr

[1.1]

a

b

c

AB

C

Figure 1.2. Mailles élémentaires cubique et rhomboédrique du réseau cfc.

On vérifie facilement que la maille cubique est 4 fois plus volumineuse que la maille rhomboédrique, c’est-à-dire que ( ) ( ) CBAcba

rrrrrr.4. ×=× .

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18 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

1.1.2.2.2. Le système cc

La maille conventionnelle cubique et les vecteurs fondamentaux CBArrr

,, sont représentés sur la figure 1.3. Ces vecteurs fondamentaux joignent un coin de cube à un centre de cube et font entre eux un angle de 109°28’. La maille primitive qu’ils construisent est encore rhomboédrique. Les vecteurs de translation cba

rrr,, de la

maille cubique, qui contient 2 nœuds, sont définis à partir de CBArrr

,, par :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

+=

+=

+=

BAc

CAb

CBa

rrr

rrr

rrr

et réciproquement

( )( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

−+=

+−=

++−=

2/

2/

2/

cbaC

cbaB

cbaA

rrrr

rrrr

rrrr

[1.2]

On vérifie facilement que la maille cubique est 2 fois plus volumineuse que la maille rhomboédrique.

AB

C

ab

c AB

C

Figure 1.3. Mailles élémentaires cubique et rhomboédrique du réseau cc.

1.1.2.2.3. Structure cristalline « diamant » (Si, C, Ge)

Les quatre électrons de la couche externe de chaque atome sont engagés dans des liaisons de valence avec quatre atomes voisins (les 4 plus proches voisins). Ces liaisons sont orientées dans l’espace en position tétraédrique et font entre elles un angle α de 109°28’ (Figure 1.4). La répétition de ce motif avec les bonnes orientations permet de construire le cristal. On obtient une structure dite diamant, dans laquelle les atomes occupent les nœuds de 2 réseaux cfc décalés l’un de l’autre d’un quart de la diagonale du cube.

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Eléments de physique des semiconducteurs 19

α

a/2

a

a

a

Figure 1.4. Liaisons tétraédriques et structure cristalline des réseaux « diamant » et « zinc-blende ». Les atomes gris constituent un réseau cfc ; les atomes noirs constituent une

partie d'un second réseau cfc décalé d'un quart de la diagonale du cube.

Remarquons que la structure cristalline de GaAs est identique au diamant mais avec une alternance d'un réseau cfc de Ga et d'un réseau cfc d'As. C'est la structure dite zinc-blende.

On observe que les 4 plus proches voisins d’un atome, ceux avec lesquels il a des liaisons covalentes, appartiennent à l’autre réseau cfc. On prend généralement comme maille élémentaire le cube correspondant à 1 réseau cfc. La longueur a de l’arête du cube est appelée paramètre cristallin. On vérifie aisément que :

– 1 maille cubique (de volume a3) contient 8 atomes (4 de chaque réseau cfc) ; – 1 maille primitive rhomboédrique (de volume a3/4) contient 2 atomes (1 de

chaque réseau cfc) ; – la distance entre plus proches voisins (ppv) est 43 a ; – la densité d’atomes dans le cristal est 8/a3.

Quelques caractéristiques de Ge et Si sont données dans le tableau 1.1.

Ge Si

Paramètre cristallin [Å] 5,658 5,43

Masse atomique 72,6 28,09

Densité d'atomes [cm-3] 4,42 × 1022 5,0 × 1022

Masse volumique [g.cm-3] 5,33 2,33

Distance entre ppv [Å] 2,45 2,35

Tableau 1.1. Quelques caractéristiques cristallines de Si et Ge.

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20 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

1.1.3. Réseau réciproque

De même que l’espace des fréquences est très utile pour le traitement de grandeurs (comme le courant électrique par exemple) périodiques dans le temps, l’espace des vecteurs d’onde (ou espace réciproque) est d’un grand intérêt pour décrire beaucoup de phénomènes physiques (en particulier les phénomènes de propagation) se produisant dans un espace périodique tel qu’un cristal. On crée donc un nouveau réseau à partir du réseau cristallin et qui en conserve les symétries. On le définit de façon à ce que les nœuds du réseau soient ceux sur lesquels les grandeurs physiques ayant la périodicité du réseau cristallin se décomposent en série de Fourier.

1.1.3.1. Vecteurs du réseau réciproque

Les vecteurs fondamentaux *** ,, CBArrr

du réseau réciproque sont construits à partir des vecteurs fondamentaux CBA

rrr,, du réseau cristallin. Soit ( )CB.AVc

rrr×=

le volume de la maille primitive du réseau cristallin,

CBV

Ac

rrr×=

π2* , ACV

Bc

rrr×=

π2* , BAV

Cc

rrr×=

π2* [1.3]

Ainsi chaque vecteur primitif du réseau réciproque est orthogonal à 2 vecteurs primitifs du réseau cristallin :

π2.* =AArr

, 0.* =BArr

, 0.* =CArr

, et permutations circulaires [1.4]

Les vecteurs *** ClBkAhGrrrr

++= (h, k, l entiers) sont appelés vecteurs du réseau réciproque. On démontre facilement que la série de Fourier d’une fonction périodique d’un réseau cristallin ne contient que des termes ( )rGiFG

rr.exp où les

vecteurs Gr

sont des vecteurs du réseau réciproque. Le volume de la maille élémentaire du réseau réciproque est :

( ) c***

r VCB.AV 38π=×=rrr

[1.5]

1.1.3.2. Zones de Brillouin

Une zone de Brillouin (ZB) est un sous-ensemble de l’espace réciproque de volume minimal permettant de décrire entièrement les fonctions périodiques (par exemple l'énergie des électrons) dans cet espace.

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Eléments de physique des semiconducteurs 21

La première zone de Brillouin est la ZB particulière admettant l’origine des vecteurs d’onde comme centre de symétrie. C’est en fait la maille de l’espace réciproque construite de la façon suivante : joindre l’origine à tous les points du réseau (les plus proches suffisent en pratique), puis construire les plans médiateurs aux segments obtenus. La ZB est le plus petit polyèdre limité par ces plans médiateurs et centré sur l’origine.

Dans l’exemple de la chaîne linéaire d’atomes identiques de période a (figure 1.5), la première ZB est l’intervalle [ ]aa ππ ,− .

x

k

réseau cristallin

réseau réciproque

r a

A* =2πa

0−2πa

2πa

−πa

πa

1ère ZB

Figure 1.5. Construction de la 1ère zone de Brillouin d’une chaîne linéaire d’atomes identiques.

1.1.3.3. Réseau réciproque et première zone de Brillouin du réseau cfc

Appliquons la définition [1.3] des vecteurs du réseau réciproque au cas du réseau cfc dont les vecteurs CBA

rrr,, qui définissent la maille primitive (rhomboédrique)

sont liés au repère cbarrr

,, du cube par l'Eq. [1.1]. Le résultat obtenu dans le repère orthonormé ( )zyx rrr

,, défini par xaarr

= , yabrr

= , et zac rr= est :

( )zyxa

A rrrr++−=

214* π , ( )zyx

aB rrrr

+−=214* π , ( )zyx

aC rrrr

−+=214* π [1.6]

On reconnaît les vecteurs primitifs d’un réseau cubique centré (Eq. [1.2]) dont l’arête du cube élémentaire a pour longueur aπ4 . Le réseau réciproque d’un réseau cfc est donc un réseau cc (et réciproquement).

La construction de la première zone de Brillouin est illustrée sur la figure 1.6 :

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22 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

– les plus petits Gr

sont les 8 vecteurs ( )zyxa

G rrrr±±±=

π2 parallèles à [111]

qui joignent le centre du cube à 1 coin. Leurs plans médiateurs, situés à aπ3 du centre, forment un octaèdre ;

– les Gr

de taille supérieure sont les 6 vecteurs xa

rπ4± , y

arπ4

± , za

rπ4± qui

joignent 2 centres de cube. Leurs plans médiateurs, situés à aπ2 du centre, tronquent l’octaèdre.

Cet octaèdre tronqué constitue la première zone de Brillouin d’un réseau cfc, et donc de tous les semiconducteurs usuels.

La figure 1.6 indique de plus certains points particuliers et directions privilégiées de la 1ère ZB du réseau cfc : les points Γ (0,0,0), X (1,0,0) et L (1,1,1), et les directions ∆ [100], Σ [110], et Λ [111].

X

L KΣΛ

Γ

∆∆

4π/a

Figure 1.6. Première zone de Brillouin du réseau cfc. Points particuliers et directions privilégiées.

1.1.4. Les vibrations du réseau cristallin

Jusque là, nous n’avons considéré le réseau cristallin que sous l’angle de la cristallographie où l’on assigne aux atomes des positions fixes. Or les atomes oscillent autour de leur site cristallin, et ce d’autant plus que la température est élevée ; des oscillations cristallines persistent même à température nulle. Ces vibrations, non incohérentes, ont une grande importance pour l’étude des propriétés électriques des solides car elles modifient le potentiel cristallin dans lequel évoluent

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Eléments de physique des semiconducteurs 23

les électrons, ce qui perturbe leur mouvement. C’est par l’intermédiaire de ces vibrations que les porteurs et le réseau cristallin échangent de l’énergie.

Nous décrirons ici les modes de vibration ( )kr

ω d’un cristal et l’énergie de ces modes. La physique classique suffit à mettre en évidence les modes de vibration ; il s’agit en fait d’un problème de ressorts couplés. Il faut en revanche faire appel à la mécanique quantique pour en quantifier l’énergie. Ces quanta d’énergie de vibration sont assimilés à des particules appelées phonons.

1.1.4.1. Modes de vibration d’une chaîne linéaire comportant 2 atomes par maille élémentaire

Le cas d’une maille élémentaire contenant deux atomes est en fait celui de tous les semiconducteurs usuels dont la structure cristalline est de type « diamant » ou « zinc-blende ». Nous avons vu que dans ces structures la maille élémentaire rhomboédrique contient un atome de chaque réseau cfc. Dans le cas « diamant » (Si) les deux atomes sont de même nature, alors que dans le cas « zinc-blende » (GaAs) ils sont de nature différente. Nous allons faire les calculs pour une chaîne et nous généraliserons les résultats à un réseau tridimensionnel (3D).

Considérons donc la chaîne représentée sur la figure 1.7. Sa maille élémentaire, de longueur a, contient 2 atomes a priori de nature différente et de masse respective M1 et M2.

a2

a a a

M1 M2 M1 M2 M1 M2

2n 2n+12n–1

Figure 1.7. Chaîne linéaire à deux atomes par maille élémentaire.

On suppose qu’à l’équilibre les atomes de masse M1 occupent les positions « paires » d’abscisse (2n)a/2, et les atomes de masse M2 les positions « impaires » d’abscisse (2n+1) a/2.

Les écarts par rapport aux positions d'équilibre étant de plus supposés faibles, on considère que la force exercée par un atome sur l'un de ses 2 voisins est proportionnelle à la variation de distance séparant ces atomes. On note B la constante de proportionnalité. Il y a alors deux équations du mouvement :

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24 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

[ ]

[ ]⎪⎪

⎪⎪

+−=

+−=

+++

−+

nnnn

nnnn

uuuBdtudM

uuuBdtudM

21222212

2

2

1221222

2

1

2

2 [1.7]

On cherche des solutions pour u2n et u2n+1 sous la forme d’ondes progressives d'amplitudes A1 et A2, correspondant à des modes de pulsation ω et de vecteur d'onde K. On aboutit à la relation de dispersion recherchée :

2sin41111 2

21

22

21

2

21

2 aKMM

BMM

BMM

B −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+±⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+=ω [1.8]

– la branche inférieure comporte des modes de basse fréquence ; c’est pourquoi on l’appelle branche acoustique. Pour ces modes de basse fréquence (ω ≈ 0, K ≈ 0) on a A1 ≈ A2, c’est-à-dire que dans chaque maille les 2 atomes se déplacent de façon identique dans la même direction. Ils vibrent en phase ; il y a translation de toute la maille ;

– la branche supérieure ne comporte que des modes de fréquence élevée. Ainsi pour K ≈ 0 :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≈

11

112MM

Bω et 1

2

2

1MM

AA

−≈

Les 2 atomes de la maille se déplacent en sens contraire (en opposition de phase) de façon inversement proportionnelle à leur masse. Le centre de gravité de la maille reste donc immobile. Si les 2 atomes sont de charges opposées, on peut exciter une vibration de ce type par le champ électrique d’une onde lumineuse. C’est pour cela que cette branche est appelée branche optique.

À chaque valeur de K correspondent 2 modes de vibration et la courbe de dispersion comporte donc 2 branches représentées sur la figure 1.8. Les pulsations caractéristiques sont ω1, ω2, ω3 définies, si M2 > M1 par :

11

2M

B=ω ;

22

2M

B=ω ; ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

213

112MM

Page 17: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 25

K

ω

0

ω3

0 π/a

ω1ω2

branche optique

branche acoustique

Figure 1.8. Allure des courbes de dispersion des vibrations dans un réseau linéaire de 2

atomes par maille primitive.

1.1.4.2. Vibrations d’un cristal à 3 dimensions et à 2 atomes par maille élémentaire

Ce cas est celui des cristaux à cfc, c’est-à-dire de tous les semiconducteurs usuels.

Dans un cristal 3D l’espace réciproque devient également 3D et aux modes longitudinaux (acoustiques et optiques) que l’on a en 1D s’ajoutent dans chaque cas 2 modes transverses polarisés à 90° l’un de l’autre (figure 1.9).

On montre d’une manière générale que si la maille élémentaire contient p atomes, les courbes de dispersion sont constituées de 3p branches, dont 3 branches acoustiques et 3p - 3 branches optiques. Cela donne bien, pour p = 2, 3 branches acoustiques et 3 branches optiques.

Les courbes de dispersion dépendent maintenant de la direction de propagation. Une allure typique est représentée sur la Figure 1.9 dans la direction [100]. En raison de la symétrie cristalline dans cette direction (ainsi que dans la direction [111]), les modes transversaux sont dégénérés. Aussi l'on ne voit que quatre branches : longitudinale optique (LO), transverse optique (TO), longitudinale acoustique (LA), et transverse acoustique (TA).

Page 18: Du Cristal Au Bipolaire

26 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

K

ω

00 2π/a∆

TO

LO

LA

TA

Figure 1.9. Allure des courbes de dispersion dans un cristal pour des vibrations se

propageant dans la direction [100].

1.1.4.3. Energie associée aux modes de vibration

1.1.4.3.1. Quantification de l’énergie d’un mode – Phonons

Pour calculer l’énergie associée aux modes de vibration il faut faire le traitement quantique du réseau d’oscillateurs harmoniques couplés que constitue le réseau cristallin. Ce traitement est fait dans tous les ouvrages de mécanique quantique (par exemple dans [COH 73]) ; nous ne l’aborderons pas dans ce chapitre.

Les valeurs propres de l’hamiltonien du système sont quantifiées et de la forme :

ωh⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

21nEn [1.9]

où n = 0, 1, 2,…, et ω est la pulsation du mode considéré

L’énergie de chaque mode de vibration est donc quantifiée ; le quantum d’énergie hω qui sépare deux niveaux consécutifs est appelé phonon par analogie avec le photon qui désigne le quantum d’énergie lumineuse. Un phonon peut être assimilé à une particule d’énergie hω et de vecteur d’onde K

r, c’est-à-dire le vecteur

d’onde du mode associé. Insistons sur le fait qu'un phonon n’est pas une « vraie » particule. En effet, il n’a pas d’existence propre : il n’existe que parce que le réseau

Page 19: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 27

existe et que les atomes vibrent. Toutefois, il se comporte à l’intérieur du cristal comme une vraie particule et on le traite comme tel.

Les phonons sont des particules indiscernables non soumises au principe d’exclusion de Pauli : ce sont des bosons, auxquels on applique la statistique de Bose-Einstein. La fonction d’occupation du niveau hω est donc :

( )1exp

1

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Tk

f

B

ωω

hh [1.10]

où kB est la constante de Boltzmann.

1.1.4.3.2. Interaction électron-réseau (ou électron - phonon)

Comme toutes les particules, les phonons interagissent avec les autres particules présentes dans leur voisinage, en l’occurrence avec les électrons. En fait, c’est par l’intermédiaire des phonons que les électrons « libres » du cristal échangent de l’énergie avec le réseau d’atomes. Une interaction électron-réseau se traduit par le gain ou la perte d’un quantum d’énergie hω. On dit aussi qu’un électron émet ou absorbe un phonon.

Ce processus se fait en conservant l’énergie et le vecteur d’onde du système. Si l’on désigne par E et k

r l’énergie et le vecteur d’onde de l’électron avant interaction,

et par Kr

le vecteur d’onde du phonon, on a après interaction :

⎪⎩

⎪⎨⎧

+±=′

±=′

GKkk

EErrrr

hω [1.11]

où Gr

est un vecteur du réseau réciproque. En effet, de même que l’addition d’un tel vecteur ne fait que changer le vecteur d’onde de la zone de Brillouin sans modifier le mode de vibration, nous verrons qu’elle ne modifie pas non plus le vecteur d’onde d’un électron. Cette interaction a une grande influence sur le mouvement des électrons dans le cristal.

Page 20: Du Cristal Au Bipolaire

28 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

1.2. Structure de bandes des semiconducteurs

1.2.1. Bandes d’énergie des électrons dans un cristal parfait

Le but de cette partie est de décrire les niveaux d’énergie accessibles à un électron dans le cristal. Nous définirons ensuite le concept de « trou », ainsi que celui, très important pour la dynamique des porteurs dans le cristal, de masse effective. Pour appréhender les propriétés des niveaux d'énergie des électrons dans un cristal, on distingue essentiellement deux approches :

– imaginer la formation du cristal à partir d’atomes individuels que l’on rapproche, ce qui induit un couplage entre atomes. C’est la méthode de « Combinaison Linéaire d’Orbitales Atomiques » (LCAO) utilisée en chimie. Nous la décrirons brièvement de façon très qualitative ;

– considérer le solide comme une boîte d’électrons vide d’ions, et introduire l’attraction des ions comme une perturbation. C’est la méthode des électrons presque libres. Elle se prête plus facilement à des calculs simples.

Dans le premier cas on part de niveaux d’énergie discrets, et dans le second d’un continuum. Ces deux approches conduisent à la formation de bandes d’énergie permises séparées par des bandes interdites. Nous verrons ensuite comment la connaissance des bandes d'énergie permises permet de définir la notion de masse effective, d'un grand intérêt pratique. En effet, en attribuant à l'électron cette masse virtuelle, on peut décrire son mouvement dans le cristal comme celui d'une particule classique dans le vide, en "oubliant" l'origine physique de cette masse.

1.2.1.1. Description de la formation des bandes d’énergie par LCAO

1.2.1.1.1. Atomes isolés : rappel sur les orbitales atomiques

Une orbitale atomique est l’état propre de l’énergie d’un électron dans le potentiel central créé par le noyau et par la distribution moyenne des Z-1 autres électrons. Chaque orbitale est définie par la donnée de trois nombres quantiques :

– n = nombre quantique principal (n ≥ 1) ; – l = nombre quantique orbital (0 ≤ l ≤ n-1) ; – m = nombre quantique azimutal (-l ≤ m ≤ l).

L’énergie associée à une orbitale Ψnlm ne dépend que de n et l. Ainsi le niveau Enl est dégénéré g = 2(2l+1) fois. Le facteur 2 vient de l’indépendance du potentiel par rapport au spin de l’électron ; le facteur 2l+1 traduit l’invariance par rotation du potentiel central.

Page 21: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 29

Les états correspondant à une même valeur de n forment une couche électronique :

n = 1, 2, 3, 4, … → couches K, L, M, N, …

Les g états correspondants à une même énergie forment une sous-couche :

l = 0, 1, 2, 3, … → sous-couches s, p, d, f, … (notations spectroscopiques)

Il y a donc 2 places sur une orbitale s, 6 places sur une orbitale p, 10 places sur une orbitale d, … La configuration électronique de l’atome est la liste des couches et sous-couches occupées avec le nombre d’électrons qui s’y trouvent. On se limite en pratique à la dernière couche. Ainsi, tous les atomes de la colonne IV (C, Si, Ge, …) présentent une couche externe incomplète ns2np2 de 4 électrons au lieu de 8 pour une couche complète ns2np6.

Si l’on considère N atomes isolés, il y a alors N orbitales Ψqnlm(q = 1, …, N) correspondant à la même énergie Enl dont le niveau de dégénérescence est g×N.

1.2.1.1.2. Atomes interagissant

Si l’on rapproche suffisamment 2 atomes, le potentiel global vu par un électron n’est plus central et il y a couplage entre les orbitales. Le couplage entre 2 orbitales donne lieu à 2 nouvelles orbitales. L’une est symétrique par échange des 2 atomes (orbitale liante), alors que l’autre est antisymétrique (orbitale anti-liante). De plus, si V est le potentiel de couplage, l’énergie de ces orbitales est modifiée de ∆E = <Ψ1nlm⎮V⎮Ψ2nlm> (figure 1.10). C’est un résultat général : le couplage entre N états identiques lève la dégénérescence d’ordre N.

∆ EΨ 1nlm Ψ 2nlm

anti-liante

liante

Figure 1.10. Levée de dégénérescence des orbitales couplées (orbitales liante et anti-liante).

Le décalage d’énergie ∆E (energy splitting), c’est-à-dire en fait le couplage entre les deux orbitales, est d’autant plus grand que, d’une part, les atomes sont proches, et que, d’autre part, le nombre quantique principal n des orbitales est élevé. Les couches internes sont en effet peu affectées par le couplage : les électrons de ces couches sont très fortement liés à leur atome d’origine. En revanche, les électrons

Page 22: Du Cristal Au Bipolaire

30 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

des couches externes ne sont plus liés à un atome particulier mais à la paire d’atomes.

Sur l’exemple typique de la figure 1.11, correspondant à des éléments de la colonne IV, les électrons issus des orbitales externes (ns2 et np2) se retrouvent sur les deux niveaux issus des couplages liants ; ces niveaux offrant 8 places à eux deux sont entièrement occupés, alors que les deux niveaux provenant des couplages anti-liants sont entièrement vides.

N = 1 N = 2 N = 4 N grand

3N

N

3N

N

bande de conduction

(4N places vides)

bande de valence

(4N places pleines)

bande interdite

Figure 1.11. Couplage des orbitales ns2 et np2 dans le cas d’un grand nombre d’atomes ; formation des bandes d'énergie.

Le concept d’orbitales liantes et anti-liantes peut être étendu au cas d’un grand nombre d’atomes en supposant que les orbitales de chaque atome interagissent avec celles des plus proches voisins. On arrive ainsi à la formation de séries de niveaux discrets très rapprochés que l’on peut assimiler à des bandes (figure 1.11).

Les orbitales liantes offrent 4N places et sont donc entièrement occupées ; elles forment la bande de valence. Les orbitales anti-liantes offrent également 4N places qui sont donc entièrement vides ; elles forment la bande de conduction. Bande de conduction et bande de valence sont séparées par une bande interdite.

Dans une telle disposition, les électrons de valence ne sont plus liés à un atome particulier mais bien à l’ensemble du réseau cristallin. D’une manière générale, dans un solide quelconque, c’est la disposition et le remplissage des bandes permises qui déterminent les propriétés électriques du matériau, et qui permettent de le classer en métal, isolant ou semiconducteur. Cela sera précisé plus loin dans ce chapitre.

Page 23: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 31

1.2.1.2. Equation de Schrödinger pour un électron – Potentiel cristallin et fonctions de Bloch

Nous allons maintenant considérer le cristal semiconducteur comme une boîte d'électrons indépendants. ( )rV

r est le potentiel moyen vu par chaque électron. Il a la

périodicité du réseau cristallin et est appelé potentiel cristallin. L’équation de Schrödinger décrivant l’état d’un électron est finalement :

( ) ( ) ( )rErrVm

p rrrψψ =

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+

2

2 [1.12]

Le théorème de Bloch énonce que les solutions de l’équation [1.12], où ( )rVr

est périodique, sont de la forme de fonctions de Bloch :

( ) ( ) ( )rurkir kkrrrr rr exp=ψ [1.13]

où ( )rukr

r a la périodicité de ( )rVr

, c’est-à-dire celle du réseau cristallin, c’est-à-dire

que pour tout vecteur cnbnanTrrrr

321 ++= , ( ) ( )ruTru kkrrr

=+ .

Nous admettrons ce théorème dont on peut trouver une démonstration dans, par exemple, [KIT 83].

Il ne reste, pour déterminer les états propres de l’électron dans un cristal, qu’à connaître la forme du potentiel cristallin ( )rV

r dans lequel il évolue, puis à résoudre

l’équation de Schrödinger [1.12] en utilisant des fonctions d’onde de Bloch [1.13], seules fonctions propres possibles.

Les termes de couplage négligés dans le potentiel cristallin (couplages électron-électron, électron-phonon, …) sont considérés comme de faibles perturbations qui ne modifient pas les solutions de l'hamiltonien principal mais induisent des transitions entre les états propres. Nous y reviendrons dans l'étude sur le transport.

1.2.1.3. Cristal 1D – Modèle de l'électron presque libre

1.2.1.3.1. Rappel : électron libre dans un solide

Imaginons un électron libre de se mouvoir à l’intérieur d’une cuvette vide unidimensionnelle de longueur L et de hauteur de potentiel U (Figure 1.12).

Page 24: Du Cristal Au Bipolaire

32 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

On s’intéresse aux états liés de l’électron, c’est-à-dire au cas ε < U. L’hamiltonien de l’électron de masse m se réduit à :

mp

xmH

22

2

2

22

0 =∂

∂−=

h [1.14]

ε

0 L

V

U

Figure 1.12. Electron libre dans un boîte.

Les solutions de l'équation de Schrödinger [1.12] sont des ondes planes Ψk de la forme :

( ) ( )xkiL

xk exp1=ψ [1.15]

avec mk

2

22h=ε où k est le vecteur d’onde de l’électron.

Ainsi toutes les énergies sont a priori permises et la courbe de dispersion ε(k) est une parabole.

On définit la quantité de mouvement de l’électron p = mv par :

( ) ( )

( ) ( ) kdxxxk

dxxx

ixp

kk

kkkk

hh

h

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−===

∫ψψ

ψψψψ

*

*pp

La quantité kh , qui définit l’état de l’électron, est appelée moment cristallin. Elle est donc égale à la quantité de mouvement pour un électron libre.

Page 25: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 33

1.2.1.3.2. Electron presque libre

Au potentiel de la cuvette vide on superpose maintenant un potentiel périodique V(x) ayant la périodicité a du réseau cristallin (Figure 1.13).

ε

0 L

V

U

Figure 1.13. Electron presque libre dans une boîte.

V(x) étant périodique, on peut le développer en série de Fourier :

( ) ( )∑=k

k kxVxV cos2 [1.16]

où a

nk π2= sont les points du réseau réciproque.

On commence par considérer le cas le plus simple, celui où seul le premier terme de la série [1.16] est non nul. Ainsi :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′=

axVVV π2cos2 1 [1.17]

Supposons que V1 soit petit devant les énergies cinétiques de l’électron et on considère V’ comme une perturbation par rapport au cas précédent de l’électron libre. On applique donc la théorie des perturbations (voir [SAP 90]). Le potentiel perturbateur V ′ ne couple sensiblement que les deux états de bord de zone de Brillouin aπ et aπ− et a essentiellement pour effet de lever la dégénérescence entre ces deux états. Une correction d'énergie au deuxième ordre aux points ak π±= conduit aux nouveaux états propres d'énergie +′ε et −′ε correspondant aux fonctions propres +′ψ et −′ψ :

Page 26: Du Cristal Au Bipolaire

34 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

⎩⎨⎧

−=′+=′

+

10

10VV

εεεε

et

⎪⎪

⎪⎪

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=′

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=′

+

ax

Li

aa

ax

Laa

πππψ

πππψ

sin22

1

cos22

1

[1.18]

Remarquons une nouvelle fois que, comme dans le cas des vibrations des atomes du cristal, on obtient des ondes stationnaires en bord de zone de Brillouin.

La Figure 1.14 montre schématiquement la déformation de la courbe de dispersion en bord de zone de Brillouin (trait épais), par rapport au cas non perturbé (trait fin) de l’électron libre. On remarque la formation d’une bande d’énergie interdite entre −′ε et +′ε .

k

ε

−πa

πa

−2πa

2πa

0

ε '-

ε '+

ε ''-

ε ''+

Figure 1.14. Bandes d’énergie dans un cristal 1D. La zone grisée représente la 1ère zone de Brillouin.

Considérons maintenant le second terme de la série [1.16], c’est-à-dire :

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=′′=a

xVVV

π22cos2 2 [1.19]

Page 27: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 35

Un calcul similaire au précédent montre que V ′ ne couple que les états dégénérés aπ2 et aπ2− . La dégénérescence entre ces deux états est levée. Le

calcul de la correction d’énergie au 2ème ordre conduit aux deux niveaux +′′ε et −′′ε :

⎩⎨⎧

−=′′+=′′

+

20

20VV

εεεε

[1.20]

Il y a ainsi création d’une nouvelle bande d’énergie interdite entre −′′ε et +′′ε , comme cela est schématiquement représenté sur la Figure 1.14. On crée donc autant de bandes interdites qu’il y a de termes dans la série de Fourier [1.16] de V.

D’après le théorème de Bloch énoncé en 1.2.1.2, les fonctions d’onde solutions de l’équation de Schrödinger en présence du potentiel périodique V(x) de période a sont des fonctions de Bloch, c’est-à-dire des ondes planes modulées par une fonction périodique qui a la même périodicité que celle de V(x), en l’occurrence celle du cristal :

( ) ( ) ( )xuxkix kk exp=ψ avec ( ) ( )xuaxu kk =+

On peut en déduire que les énergies propres ε(k) sont également périodiques, de période aπ2 . Ce résultat a deux conséquences importantes :

– les portions de bandes permises représentées sur la Figure 1.14 peuvent être prolongées de façon à former des bandes continues ;

– on peut une nouvelle fois, comme dans le cas des modes de vibration des atomes du cristal, restreindre l’intervalle d’étude à la zone réduite [-π/a , π/a], c’est-à-dire à la première zone de Brillouin.

Ces courbes de dispersion restreintes à la première zone de Brillouin constituent la représentation habituelle du diagramme de bande d’un cristal 1D. Le calcul est bien sûr plus compliqué dans le cas d’un cristal réel 3D, mais les principales idées physiques qui permettent de le mener sont effectivement contenues dans l’exemple simple que nous avons considéré.

1.2.2. Dynamique de l’électron

1.2.2.1. Impulsion, vitesse

On se rappelle que pour une onde plane, c’est-à-dire pour un électron libre, l’impulsion mv est égale au moment cristallin hk. Ce n’est plus le cas pour un électron de Bloch. En effet,

Page 28: Du Cristal Au Bipolaire

36 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

( ) ( ) ( )∫ ∂∂

−=== dxxx

ixkkp kk ψψ h*pp

soit,

( ) ( ) kdxxux

xuikp kk hhh ≠∂∂

−= ∫ * [1.21]

Dans un cristal, il n’y a pas de relation simple entre l’impulsion de l’électron dans un état de Bloch et le moment cristallin qui définit cet état.

En fait, le mouvement de l’électron doit être décrit par un paquet d’ondes de Bloch centré autour de k. La vitesse de l’électron est alors la vitesse de groupe du paquet d’ondes :

dkd

dkdv εω

h

1== [1.22]

L’influence du cristal sur le mouvement de l’électron est ainsi entièrement contenue dans la relation de dispersion ε(k) qui prend donc, on le voit maintenant, toute son importance pour l’étude du transport.

1.2.2.2. Effet d’une force extérieure, masse effective

Supposons que l’électron soit soumis à une force F. La variation de son énergie pendant dt est égale au travail de la force : dtvFdxFd ==ε . D’où, d’après [1.22] :

h

Fdtdk

= [1.23]

Remarquons au passage que si la force F est nulle, le vecteur d’onde k est constant.

En calculant l’accélération subie par l’électron grâce à [1.22] et [1.23], on obtient :

Fdtdv

k=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂−

21

2

2h

ε

Page 29: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 37

On retrouve donc la relation fondamentale de la dynamique, à condition d’associer à l’électron une masse effective m* définie par :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂=

km 2

2

2*11 εh

[1.24]

Ce résultat est très important. Notons d’ailleurs que cette masse effective, qui dépend de la courbure de la relation de dispersion ε(k) peut être aussi bien négative que positive.

Au voisinage d’un extremum ε0 de bande d’énergie situé en k = k0 (on verra que les extrema de bande sont les points cruciaux du comportement des électrons dans un semiconducteur), on peut développer ε(k) en série limitée :

( )20

2

0 *2kk

m−±=

hεε [1.25]

Au voisinage d’un extremum de bande d’énergie, la notion de masse effective prend donc tout son intérêt : on retrouve la relation de dispersion d’un électron libre, mais avec une masse différente. C’est pourquoi l’on parle d’électron quasi-libre.

1.2.2.3 Classification métal/isolant/semiconducteur

Nous avons maintenant tous les éléments pour comprendre ce qui différencie un semiconducteur d’un métal ou d’un isolant. Commençons par démontrer le résultat important suivant : une bande pleine ne conduit pas le courant. En effet le courant transporté par les électrons d’une bande s’écrit pour un cristal 1D de longueur L :

( ) ∑∑ −=−=kk dk

dLqkv

LqI ε

h

1

où la somme porte sur tous les états k "occupés". La bande étant pleine, à tout point k où la vitesse est v(k) correspond le point -k de vitesse opposée, de telle sorte que I = 0. Ainsi, (i) une bande pleine ne réagit pas au champ électrique et ne participe pas au courant, et (ii) un cristal dont toutes les bandes occupées sont pleines est un isolant.

La figure 1.15 représente schématiquement le remplissage des bandes, compte tenu du fait que les électrons sont des fermions, dans le cas d’un métal et dans celui d’un isolant. Dans un métal, la dernière bande occupée n’est pas complètement remplie. Elle peut donc de façon naturelle participer au courant ; aussi est-elle

Page 30: Du Cristal Au Bipolaire

38 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

appelée bande de conduction. Au contraire, dans un isolant, la dernière bande occupée est complètement remplie ; c’est la bande de valence. Aucune conduction n’est donc possible.

Un semiconducteur est un cristal isolant à température nulle, mais dont la largeur de la bande interdite est suffisamment faible – inférieure à environ 2 eV – pour que des électrons de la bande de valence puissent être excités thermiquement vers la bande de conduction. Toute variation de température permet ainsi de moduler le remplissage de la bande de conduction, et donc de moduler la résistivité du matériau. On verra plus avant dans ce chapitre que l’on peut également moduler la résistivité d’un semiconducteur en y introduisant des impuretés (dopage), de façon à créer des niveaux dans la bande interdite. Ces niveaux supplémentaires modifient l’occupation des bandes et donc les propriétés électriques du matériau.

BC

BV

métal

BC

BV

isolant

EG

Figures 1.15. Occupation des bandes dans un métal et un isolant.

1.2.3. Notion de trou

Supposons que l’on soit à température non nulle et qu’un électron soit excité vers la bande de conduction, ce qui laisse une place vide dans la bande de valence. Cet électron a donc été détaché d’une liaison covalente (Figure 1.16) et il peut transporter un courant, par exemple en présence d’un champ électrique, et ce d’autant plus facilement qu’il voit beaucoup de places vides d’énergie proche autour de lui.

L’existence d’une place vide dans la bande de valence signifie qu’il manque un électron dans une liaison covalente. En présence d’un champ électrique cette place vide peut être comblée par un électron provenant de la rupture d’une autre liaison

Page 31: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 39

covalente. Ainsi, la place vide se déplace dans le sens du champ électrique, comme une particule de charge positive que l’on appelle trou. Nous verrons que l’on peut attribuer au trou toutes les caractéristiques d’une vraie particule que l’on traitera effectivement comme telle.

+–

Figure 1.16. Illustration de l'existence d'un trou.

Supposons que l’on a extrait un électron de vecteur d’onde ke de la bande de valence (Figure 1.17). Le vecteur d’onde total de la bande de valence est alors - ke, que l’on attribue au trou :

kh = -ke [1.26]

ε

k

ke kh

BC

BV

ε

k

keke kh

BC

BV

Figure 1.17. Vecteur d’onde du trou.

Si εtot est l’énergie totale de la bande de valence pleine, εtot-εe(ke) est l’énergie totale de la bande de valence à laquelle il manque un électron d’énergie εe(ke). On

Page 32: Du Cristal Au Bipolaire

40 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

peut donc définir l’énergie du trou par εh(kh) = -εe(ke) + constante, où la constante dépend du choix de l’origine. En pratique, on prend comme origine des énergies d’une bande l’extremum de cette bande. Avec ce choix la constante est nulle et l'énergie du trou est εh, comme cela est représenté sur la Figure 1.18 :

εh(kh) = -εe(ke) [1.27]

ε

k

BC

BV

εh kh( )

εe ke( )

ε

k

BC

BV

εh kh( )

εe ke( )εe ke( )

Figure 1.18. Energie du trou.

Pour en déterminer la vitesse on applique au trou la relation [1.22] et on utilise [1.26] et [1.27] :

( ) ( )( ) ( )e

ee

e

ee

h

hhh dk

kddk

kddk

kdv

εεεhhh

111=

−−

==

c’est-à-dire:

vh = ve [1.28]

On définit sa masse en appliquant la relation [1.24] au trou :

( ) ( )ee

ee

h

hh

h mdk

kd

dk

kdm

11112

2

22

2

2−=−==

εε

hh

c’est-à-dire:

mh = -me [1.29]

Page 33: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 41

Soit F = qhE la force électrostatique ressentie par le trou en présence du champ électrique E. On applique au trou la relation [1.23] pour déterminer sa charge électrique qh :

EqFdtkd

hh ==h

c’est-à-dire d’après (1.26) :

qEEqEqdtkd

ehe =−==− h

et par conséquent :

qh = -qe = q [1.30]

1.2.4. Cristal 3D – Généralisation

Tous les résultats obtenus pour un cristal à 1 dimension se généralisent aisément à un cristal à 3 dimensions. Il suffit, dans les expressions précédentes, de remplacer

x par ( )zyxr ,,r

, k par ( )zyx kkkk ,,r

, x∂

∂ par ∇r

, …

L’expression [1.22] de la vitesse devient :

( )kv k

r

h

r rε∇=1 [1.31]

L’expression [1.23] décrivant l’effet d’une force sur le vecteur d’onde devient :

h

rrF

dtkd

= [1.32]

Calculons la composante suivant x de l’accélération γr

subie par l’électron :

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡++=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛== z

zxy

yxx

xx

xx F

dkdkdF

dkdkdF

dkd

dkd

dtd

dtvd εεεεγ

22

2

2

211hh

Page 34: Du Cristal Au Bipolaire

42 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

Pour identifier cette relation à la relation fondamentale il faut introduire le

tenseur de masse effective ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡*

1m

:

Fm

rr⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

*1γ , avec

jiij kkm ∂∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε2

21

*1

h [1.33]

1.2.5. Structure de bande du Si

Déterminer la structure de bande d’un cristal, c’est trouver la correspondance entre énergie et vecteur d’onde en tout point de la première zone de Brillouin. Plusieurs méthodes de calcul, essentiellement numériques, ont été développées pour les cristaux réels : voir par exemple [YU 96].

L’approche théorique de ce problème sort du cadre de ce chapitre ; nous en utiliserons les résultats en retenant que les principes physiques invoqués et les résultats obtenus dans les paragraphes précédents pour un modèle simple 1D restent valables pour les semiconducteurs réels. La description des extrema des bandes de valence et de conduction est une donnée de base pour l’étude des propriétés de transport, mais aussi des propriétés optiques, des semiconducteurs.

La structure de bande schématique et simplifiée du Si est représentée sur la Figure 1.19. La bande interdite est indirecte : les électrons doivent changer de vecteur d’onde pour passer de la bande de valence à la bande de conduction.

Page 35: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 43

ΓL X<100><111>

∆so

2πa0,85

EXL = 1 eV

EXL

∆so = 0,44 eVEG = 1,12 eV

Figure 1.19. Allure de la structure de bande du Si.

1.2.5.1 Bande de conduction

Qualitativement, les structures de bande des semiconducteurs diffèrent essentiellement par la bande de conduction. En effet, tous les semiconducteurs ont le maximum de bande de valence au centre de la zone de Brillouin, ce qui n’est pas toujours le cas du minimum de bande de conduction.

Les minima de bande de conduction se trouvent sur les axes <100>, à 85% du bord de zone. Il y a donc 6 minima au bas de vallées appelées vallées X (ou parfois ∆). Au-dessus des minima, les surfaces équi-énergie se décomposent en 6 ellipsoïdes

de révolution autour des axes <100> et centrés sur les points a

kmπ285,0=

(Figure 1.20).

Page 36: Du Cristal Au Bipolaire

44 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

[100]

[010]

[001]

Figure 1.20. Surfaces équi-énergie de la bande de conduction du Si.

Au voisinage de ces points, l’énergie des électrons est donc de la forme :

( ) ( )222

22

22 zyt

mxl

c kkm

kkm

E ++−+=hhε

(avec permutations de x, y, z suivant la vallée), et leur énergie cinétique est alors :

( )222

22

22 zyt

xl

kkm

km

++=hhε [1.34]

où ml et mt sont les masses effectives longitudinales et transverses données par :

1

2

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂=

xl

km ε

h , 1

2

22

1

2

22

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂=⎟

⎜⎜

∂=

zyt

kkm εε

hh

Une meilleure description des vallées X est obtenue en introduisant, dans la relation de dispersion [1.34], un coefficient de non-parabolicité α :

( ) ( )222

22

221 zy

tx

lkk

mk

m++=+

hhεαε [1.35]

Dans les vallées X de Si : ml = 0,92 m0, mt = 0,19 m0, α = 0,5.

Page 37: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 45

1.2.5.2. Bande de valence

Il y a toujours 3 bandes de valence dont les maxima sont en Γ. Ces bandes sont issues des orbitales p-liantes triplement dégénérées. Cette dégénérescence est partiellement levée par l’interaction spin-orbite : dans le mouvement de l’électron, son spin, qui est un moment magnétique, voit un champ magnétique avec lequel il interagit. La prise en compte de l’hamitonien d’interaction spin-orbite décale de ∆so une des 3 bandes de valence. On l’appelle bande split-off. Les 3 bandes présentent des courbures différentes, donc des masses différentes. Les 2 bandes qui restent dégénérées en k = 0 sont appelées bande de trous lourds et bande de trous légers. Ce sont essentiellement ces deux bandes qui déterminent les propriétés de transport des trous dans le semiconducteur.

Quel que soit le semiconducteur, les bandes de trous lourds et de trous légers sont assez fortement anisotropes et les surfaces équi-énergie, des « warped sphères », sont décrites par la relation de dispersion :

( )( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++±−=

2/12222222422

0

2

2 yzzxyx kkkkkkCkBkAmhε [1.36]

(+ pour les trous légers, – pour les trous lourds). A, B et C sont des coefficients caractéristiques du matériau. Pour les faibles énergies, on utilise parfois la forme suivante de la relation de dispersion :

( )ϕθε ,2

22

gkm

h= [1.37]

où m (notée mlh pour les trous légers et mhh pour les trous lourds) représente une masse effective isotrope, et g(θ,ϕ) est un facteur correctif d’anisotropie.

Pour Si, mlh = 0,166 m0 et mhh = 0,53 m0.

La bande split-off, généralement peu peuplée, est souvent négligée pour l’étude des propriétés de transport. Les surfaces équi-énergies sont des sphères et la relation de dispersion, caractérisée par une masse isotrope mso, est donnée par :

22

2k

mso

h=ε [1.38]

Page 38: Du Cristal Au Bipolaire

46 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

1.2.6. Densité d’états dans les bandes permises

La notion de densité d’états est très importante. Elle nous permettra notamment de répartir la population d’électrons dans les bandes d’énergie.

1.2.6.1. Densité d’états dans l’espace réciproque

Quelle que soit la forme de la bande, les dimensions finies du cristal imposent des conditions aux limites qui discrétisent les états accessibles et limitent leur nombre. Nous avons déjà obtenu un résultat similaire à propos des modes de vibrations des atomes. Si Lx, Ly, Lz sont les dimensions du cristal, les conditions aux limites périodiques (dites de Born-Von Karman) imposent :

( ) ( ) ( ) ( )zkykxkk LLL ,0,00,,00,0,0,0,0 rrrr ψψψψ ===

c'est-à-dire :

( ) ( ) ( ) 1expexpexp === zzyyxx LkiLkiLki

Les valeurs permises de kx, ky et kz sont donc les valeurs discrètes :

xxx L

nkπ2

= , y

yy Lnk π2

= , z

zz Lnk

π2=

où nx, ny et nz sont des entiers.

On dénombre alors le nombre d’états accessibles en tenant compte du principe d’exclusion de Pauli auquel sont soumis les électrons, c’est-à-dire que sur chaque état k permis, on ne peut mettre que 2 électrons de spins opposés.

A chaque volume zyx LLLπππ 222 de l'espace réciproque correspondent deux états

possibles. La densité d’états dans cet espace est donc ( )πππ 222

2,, zyxzyx

LLLkkkn = ,

soit, pour un volume unité du cristal :

( )34

1,,π

=zyx kkkn [1.39]

Page 39: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 47

Et le nombre d’états contenus dans un élément de volume kdr

3 est

( )3

33

kdkdknr

rr= .

1.2.6.2. Densité d’états en énergie (cristal 3D)

1.2.6.2.1. Cas d'une bande isotrope

Dans ce cas, la relation de dispersion est de la forme ( ) 22

2k

mk hr

=ε et l’élément

de volume correspondant à un bord de sphère d’épaisseur dk est dkkkd 23 4π=r

.

Le nombre d’états contenus dans l’intervalle [ε , ε + dε] est donc :

( ) ( ) ( ) εεππ

πεε dmdkkkdkndn 2/3323

23 2

21

44

h

rr===

et finalement :

( ) ( ) επε 233 24 /m

hn = [1.40]

1.2.6.2.2. Bande de conduction du Si (bande ellipsoïdale)

Dans ce cas la relation de dispersion est de la forme [1.34]. On en déduit par un calcul analogue au précédent la densité d'états suivante pour l’ensemble des 6 ellipsoïdes :

( ) ( ) επε tlc mmh

n 2/12/33 246=

On peut écrire cette expression sous une forme proche de [1.40] :

( ) ( ) επε 2/33 24

dcc mh

n = [1.41]

où mdc = (6ml1/2mt)2/3 est la masse effective de densité d’états de la bande de

conduction. Dans le Si, on a mdc = 1,06 m0.

Page 40: Du Cristal Au Bipolaire

48 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

1.2.6.2.3. Bande de valence

On néglige la contribution de la bande split-off, et on somme les contributions des trous lourds et des trous légers :

( ) ( ) επε 2/32/32/33 24

hhlhv mmh

n +=

En définissant la masse effective de densité d’états de la bande de valence mdv = (mlh

3/2 + mhh3/2)2/3, cette expression se met sous la même forme que

l'équation [1.40] c'est-à-dire que celle obtenue pour une bande sphérique (avec mdv = 0,59 m0 dans le Si) :

( ) ( ) επε 2/33 24

dvv mh

n = [1.42]

1.2.7. Niveaux d’énergie introduits par les imperfections du cristal

Une imperfection du cristal est une rupture locale de la périodicité du réseau, et donc du potentiel cristallin. Une telle rupture est due essentiellement à la présence, souhaitée ou non, d’une impureté, ou à un défaut d’arrangement des atomes. La rupture de périodicité du potentiel cristallin modifie localement les niveaux d’énergie qui peuvent être occupés par les électrons. Ainsi, les électrons se répartissent non seulement sur les bandes d’énergie permises du cristal parfait, les niveaux intrinsèques, mais aussi sur des niveaux extrinsèques localisés introduits par les imperfections.

Les niveaux extrinsèques peuvent se trouver dans les bandes permises, mais ils ne jouent alors pratiquement aucun rôle, ne faisant qu’augmenter de façon négligeable une densité d’états déjà élevée. Ils peuvent aussi se trouver dans la bande interdite, ce qui modifie sensiblement la répartition des électrons à l’équilibre et peut conférer au semiconducteur des propriétés très intéressantes. C’est essentiellement parce que l’on sait créer de tels niveaux en contrôlant leur quantité que les semiconducteurs ont des applications pratiques.

On distingue, dans la bande interdite, deux types de niveaux extrinsèques : – les niveaux voisins des bandes permises (shallow levels, voisin signifiant

typiquement à moins de 0,1 eV) : ces niveaux interagissent facilement avec la bande permise proche. Ils contrôlent la conductivité extrinsèque du matériau en fournissant des électrons ou des trous aux bandes de conduction ou de valence ;

Page 41: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 49

– les niveaux profonds (deep levels) : ils peuvent agir indirectement sur la conductivité par compensation de l’effet de niveaux proches. En revanche, ils agissent directement sur les propriétés de recombinaison, pour laquelle ils peuvent servir d’intermédiaire, et donc sur la durée de vie des porteurs.

Il est à noter que les niveaux extrinsèques sont généralement discrets. Toutefois, si les impuretés sont très nombreuses et denses, elles peuvent se trouver suffisamment proches les unes des autres pour interagir entre elles, ce qui donne lieu à la formation de bandes d’impuretés.

1.2.7.1 Niveaux associés aux impuretés de dopage pour un semiconducteur de la colonne IV (Si, Ge, C)

Lorsque des impuretés sont introduites dans le réseau, elles peuvent occuper des positions substitutionnelles ou interstitielles. Un atome en position interstitielle introduit un grand désordre dans le réseau et constitue généralement une configuration instable. Nous ne nous intéressons ici qu’aux impuretés substitutionnelles introduisant des niveaux peu profonds, les seuls susceptibles de « doper » un matériau.

1.2.7.1.1 Dopage de type N par un élément de la colonne V (P, As)

Un atome de la colonne V possède 5 électrons périphériques. Placé en site substitutionnel dans un réseau Si, il engage 4 de ces électrons dans des liaisons de valence avec 4 atomes Si voisins. Ces électrons « participent » ainsi à la bande de valence du semiconducteur.

Le 5ème électron est faiblement lié ; il occupe un niveau ED peu profond de la bande interdite et peut être facilement arraché à l’impureté (Figure 1.21). Il alimente ainsi la bande de conduction du cristal. Tous les atomes de la colonne V fournissent la bande de conduction de Si en électrons ; ce sont des donneurs, permettant de doper en électrons le semiconducteur qui est alors dit de type N.

Page 42: Du Cristal Au Bipolaire

50 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

P+

Si

Si

Si

Si–

ECED

EV

(EC - ED) + P ↔ P+ + e–

Figure 1.21. Effet d’un atome de phosphore substitutionnel dans un réseau Si. Création d’un niveau donneur ED dans la bande interdite. Il suffit de fournir l’énergie EC - ED pour libérer

l’électron en excès qui occupe ce niveau vers la bande de conduction du cristal Si.

Les états de charge d’un centre donneur sont : – (0) si le niveau est occupé ; – (+) si le niveau est vide.

Les niveaux donneurs usuels dans Si sont : P → EC - ED = 45 meV, As → EC - ED = 54 meV, Sb → EC - ED = 39 meV.

1.2.7.1.2. Dopage de type P par un élément de la colonne III (B, Ga, In)

Un atome de la colonne III a 3 électrons périphériques. En position substitutionnelle dans un réseau Si, il ne peut engager que 3 liaisons de valence avec 3 des 4 atomes Si voisins. Mais par l’intermédiaire d’un niveau EA introduit à proximité de la bande de valence, il peut facilement capturer un électron de valence d’un autre atome Si pour finalement échanger une 4ème liaison de valence avec ses voisins (Figure 1.22). Cette capture d’un électron de la bande de valence vers le niveau EA crée donc un trou dans la bande de valence symbolisé par Si+ sur la figure. Les atomes de la colonne III, permettant de doper en trous le semiconducteur, qui est alors de type P, sont dits accepteurs.

Les états de charge d’un centre accepteur sont : – (–) si le niveau est occupé ; – (0) si le niveau est vide.

Les niveaux accepteurs usuels dans Si sont : Β → EA - EV = 45 meV, Ga → EA - EV = 72 meV, In → EA - EV = 160 meV.

Page 43: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 51

Si

Si

Si

Si B–

Si+

EC

EV

EA

(EA - EV) + B + Si ↔ B – + Si+

Figure 1.22. Effet d’un atome de bore substitutionnel dans un réseau Si. Création d’un niveau accepteur EA dans la bande interdite. Il suffit de fournir l’énergie EA - EV pour que ce niveau capture un électron de la bande de valence du cristal Si, c’est-à-dire pour qu’il crée

un trou.

1.2.7.2. Réduction de la largeur de bande interdite (Band gap narrowing)

A fort dopage, le couplage entre les niveaux donneurs ou accepteurs avec, respectivement, la bande de conduction ou la bande de valence conduit à l'apparition de niveaux d'énergie permis supplémentaires dans la bande interdite et donc à la réduction de la largeur de la bande interdite. Ce phénomène est appelé en langue anglaise « band gap narrowing ». La figure 1.23 représente l'évolution de la réduction de la largeur de bande interdite ∆EG en fonction du dopage, pour le silicium.

10

100

1017 1018 1019 1020

∆ (meV)

(cm-3)N

EG

Figure 1.23. Variation ∆EG, dans Si à 300 K en fonction de la concentration N de dopants.

Page 44: Du Cristal Au Bipolaire

52 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

1.2.7.3. Niveaux profonds

Dans le cas du silicium, les niveaux profonds sont essentiellement créés par des impuretés qui ne sont ni de la colonne III ni de la colonne V. La plupart de ces impuretés sont d’ailleurs multi-valentes, c’est-à-dire qu’elles introduisent plusieurs niveaux dans la bande interdite. Par exemple l’or crée un niveau accepteur situé à 0,54 eV sous la bande de conduction de Si et un niveau donneur à 0,29 eV au-dessus de la bande de valence. Une telle impureté ne peut donc pas être utilisée comme dopant car elle ne peut être facilement ionisée qu’à des températures très élevées.

Ces niveaux profonds peuvent interagir avec les deux bandes permises et donnent lieu à de la recombinaison indirecte qui sera étudiée plus loin. C'est le mécanisme de recombinaison le plus efficace dans Si. Par exemple, un état accepteur inoccupé (état 0) peut capturer un électron libre (il passe à l’état –) puis un trou libre (retour à l’état 0). La capture d’un trou libre signifie que l’électron qui occupe le niveau retombe sur une place vide de la bande de valence. L’introduction de tels centres recombinants peut être bénéfique pour certains composants fonctionnant en commutation, en aidant à évacuer les charges stockées de porteurs libres, mais catastrophique pour d’autres composants, tels que les diodes électroluminescentes qui voient leur rendement lumineux dégradé par la recombinaison.

1.2.8. Peuplement des niveaux d’énergie à l’équilibre thermique

Dans les deux parties précédentes, nous avons déterminé un ensemble de niveaux d’énergie accessibles aux électrons « quasi-libres » du semiconducteur. Cet ensemble comprend des niveaux intrinsèques, groupés en bandes permises séparées par une bande interdite, et des niveaux extrinsèques discrets introduits dans la bande interdite par, essentiellement, des impuretés. Nous allons voir maintenant comment les électrons se répartissent sur ces niveaux. C’est un problème de physique statistique dont nous admettrons le résultat fondamental suivant : les électrons obéissent à la statistique quantique de Fermi-Dirac.

1.2.8.1. Probabilité d’occupation d’un niveau d’énergie ε

1.2.8.1.1. Statistique de Fermi-Dirac pour les fermions

Les fermions obéissent au principe d’exclusion de Pauli, ce qui n’est pas le cas des bosons. Le principe d’exclusion de Pauli stipule que (1) un état quantique ne peut pas être occupé par deux fermions (2) les niveaux d’énergie inférieure sont peuplés en priorité.

Page 45: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 53

La statistique à laquelle obéissent les fermions s’obtient en calculant, compte tenu de ce principe, la répartition des fermions qui rend maximum l’entropie du système de particules. On aboutit à la statistique de Fermi-Dirac qui donne pour les fermions (donc en particulier pour les électrons) la probabilité f(ε) pour qu’un niveau d’énergie ε soit occupé. Cette probabilité est aussi appelée fonction d’occupation du niveau ε. Elle s’écrit :

TkEff

B

FFD −

+== εεε

exp1

1)()( [1.43]

où EF est appelé niveau de Fermi. D’un point de vue thermodynamique, le niveau de Fermi n’est autre que le potentiel chimique du système de particules, c’est-à-dire la dérivée partielle de l’énergie libre par rapport au nombre de particules du système.

ATTENTION.- En théorie du transport, l’énergie de Fermi est plutôt appelée potentiel électrochimique.

1.2.8.1.2. Probabilité de présence des porteurs dans un semiconducteur à l’équilibre thermique

Dans un semiconducteur, la probabilité de présence d'un électron au niveau ε est donnée par :

TkEf

B

Fn −

+= εε

exp1

1)( [1.44]

REMARQUE.- A 300 K, kBT vaut environ 25 meV.

La présence d’un trou sur un niveau équivaut à l’absence d’un électron. La probabilité de présence d'un trou est alors donnée par :

TkEff

B

Fnp εεε

−+

=−=exp1

1)(1)( [1.45]

1.2.8.1.3. Semiconducteur non dégénéré

Si le semiconducteur n’est pas très dopé (typiquement moins que 1018 cm-3 dans Si), le nombre d’électrons et de trous présents dans les bandes permises est très inférieur au nombre de places disponibles. Par conséquent, la statistique de

Page 46: Du Cristal Au Bipolaire

54 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

Maxwell-Boltzmann peut s’appliquer à tous les niveaux des bandes permises, c’est-à-dire que EF se trouve dans la bande interdite à plus de 3kBT des bandes permises.

Il y a dégénérescence lorsque le niveau de Fermi pénètre dans une bande permise, situation analogue à celle d’un métal.

Dans la suite, nous nous limiterons au cas des semiconducteurs non dégénérés. Nous aurons donc à utiliser les expressions suivantes :

– électrons dans la bande de conduction : si EC – EF >> kBT, soit en pratique si EC > EF + 3kBT :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−≈

TkEf

B

Fn

εε exp)( [1.46.a]

– électrons sur les niveaux extrinsèques :

TkEf

B

Fn −

+= εε

exp1

1)( [1.46.b]

– trous dans la bande de valence : si EV – EF << kBT, soit en pratique si EV < EF + 3kBT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −≈

TkEf

B

Fp

εε exp)( [1.46.c]

– trous sur les niveaux extrinsèques :

TkEf

B

Fp εε

−+

=exp1

1)( [1.46.d]

Notons enfin que les fonctions d'occupation des niveaux extrinsèques données par [1.46.b] et [1.46.d] ne tiennent pas compte de l'éventuelle dégénérescence des niveaux liée à la dégénérescence de spin. En effet pour un niveau donneur ED, il existe deux façons de passer de l'état ionisé à l'état neutre (capture d'un électron de spin « up » ou « down ») mais un seul type de transition est possible pour passer de l'état neutre à l'état ionisé (émission d'un électron de spin déterminé). Dans le cas d'un niveau accepteur il n'existe qu'une seule façon de passer de l'état neutre à l'état ionisé (capture d'un électron de spin déterminé) mais deux types de transition sont possibles pour le passage de l'état ionisé à l'état neutre. On est donc conduit à modifier les poids respectifs des états neutre et ionisé, ce qui conduit finalement à :

Page 47: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 55

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

−+

=

−+

=

TkEEEf

TkEEEf

B

FAAn

B

FDDn

exp21

1)(

exp211

1)(

[1.46.e]

1.2.8.2. Concentration des porteurs dans les bandes permises

La concentration d’électrons se calcule en intégrant, sur toutes les valeurs possibles de l’énergie, la densité d’états (établie en 1.2.6) modulée par la fonction d’occupation :

∫+∞

=

CEnc dfnn εεε )()(

où EC est le bas de la bande de conduction.

Le calcul complet, compte tenu de [1.46.a], conduit à :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

TkEENn

B

CFC exp [1.47]

où 2/3

222 ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

hTkmN Bdc

Cπ est la concentration équivalente de la bande de

conduction, c’est-à-dire la concentration d’électrons lorsque EF = EC On calcule de même la concentration de trous :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

TkEENp

B

FVV exp [1.48]

où 2/3

222 ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

hTkmN Bdv

Vπ est la concentration équivalente de la bande de

valence.

Dans Si, NC = 2,5 × 1019 (T/300)3/2 et NV = 1019 (T/300)3/2 (en cm-3).

Page 48: Du Cristal Au Bipolaire

56 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

Un résultat remarquable et important est que le produit np est indépendant de EF à l’équilibre thermique. En effet, d’après [1.47] et [1.48] :

2expexp iB

GVC

B

CVVC n

TkENN

TkEENNpn =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= [1.49]

On définit ainsi la concentration intrinsèque ni. Dans Si à 300 K, ni ≈ 1010 cm-3. Pour un matériau pur, la neutralité électrique impose n = p = ni, ni est donc bien la concentration intrinsèque d’un matériau pur. On a de plus en utilisant la relation précédente :

iV

CBVCF E

NNTkEEE ≈−

+= ln

22

Pour un matériau pur, le niveau de Fermi n’est donc pas, en toute rigueur, au milieu de la bande interdite. Il en est proche seulement si NV est proche de NC, c’est-à-dire si la masse de densité d’états des trous est proche de celle des électrons. Moyennant cette approximation, les concentrations d'électrons et de trous [1.47] et [1.48] peuvent s'écrire sous la forme :

⎪⎪

⎪⎪

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

TkEEexpnp

TkEEexpnn

B

Fii

B

iFi

[1.50]

1.3. Effet des perturbations : transport et génération-recombinaison

1.3.1. Phénomènes de transport

Dans la partie précédente, nous avons étudié comment, à l’équilibre thermique, les électrons se répartissent sur les niveaux d’énergie d’un semiconducteur. En fait, les électrons effectuent constamment des transitions entre niveaux d’énergie, et la répartition que l’on a déterminée résulte d’un équilibre statistique entre ces transitions.

Dans les paragraphes qui suivent nous allons discuter des différents phénomènes de transport à partir du formalisme fondamental de Boltzmann. Le lecteur qui ne souhaite pas approfondir le détail de ce formalisme pourra directement passer au

Page 49: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 57

paragraphe 1.3.1.5 où sont établies les fameuses équations simplifiées de "dérive-diffusion" qui permettent de traiter un grand nombre de problèmes de transport.

Si l’on perturbe l’équilibre thermique (par application d’un champ électrique, par création d’un gradient de concentration, d’un gradient de température, …), on favorise certaines transitions par rapport à d’autres et on modifie la répartition des porteurs sur les niveaux d’énergie. Des mécanismes de retour à l’équilibre, c’est-à-dire de relaxation, s’opposent à cette perturbation. Nous aborderons essentiellement dans cette partie les perturbations peu intenses, c’est-à-dire qui modifient la répartition fn(ε) ou fp(ε) des porteurs sur les niveaux sans changer le nombre de porteurs n ou p. Le cas des perturbations intenses, c’est-à-dire susceptibles de créer des porteurs libres en excès par des transitions entre bandes ou entre niveaux extrinsèques et bandes permises, sera traité dans le paragraphe 1.3.2 suivant.

L’analyse de la compétition entre perturbation et mécanismes de relaxation conduit à deux situations typiques :

– régime transitoire : à partir d’un état de déséquilibre on supprime la perturbation qui l’a créé ; on observe le retour à l’équilibre caractérisé par un temps de relaxation ;

– régime permanent : la perturbation est maintenue constante ; il y a création d’un état permanent de déséquilibre caractérisé par un flux (de porteurs ou de chaleur) Φ

r. Soient iv

r la vitesse du porteur i et Qi la quantité qu’il transporte. le

flux résultant s’écrit :

∑=Φi

ii vQrr

[1.51]

Le tableau 1.2 dresse pour les trois principaux types de perturbation, les noms du phénomène auquel elle donne lieu, de la quantité transportée, et du flux résultant. Etudier les phénomènes de transport, c’est faire le lien quantitatif entre le flux et la perturbation.

Perturbation Phénomène Qi Flux

Er

Conduction électrique Charges électriques Densité de courant

nn ∇∇rr

, Diffusion de porteurs Particules Flux de particules

T∇r

Conduction thermique Chaleur Flux de chaleur

Tableau 1.2. Description des principales perturbations et phénomènes liés.

Page 50: Du Cristal Au Bipolaire

58 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

1.3.1.1. Les mécanismes de relaxation des porteurs : les interactions

Nous avons vu précédemment que la structure de bande d'un cristal s'établit en résolvant l'équation de Schrödinger pour un électron dans un cristal parfait (Eq. 1.12) décrit par le potentiel cristallin périodique. Cette équation « simple » est en fait une approximation de l'équation globale pour le système d'atomes et d'électrons constituant le cristal. Cette approximation consiste notamment à négliger dans l'hamiltonien principal les couplages entre électrons, entre électrons et vibrations du réseau (phonons) ou entre électrons et impuretés. Ces couplages jouent cependant un rôle très important car ils constituent les mécanismes de relaxation qui tendent à replacer un système hors d'équilibre dans son état d'équilibre. Ils sont traités comme de faibles perturbations (au sens de la mécanique quantique) par rapport au potentiel cristallin. Autrement dit, ils ne modifient pas la structure de bandes du matériau, c'est-à-dire les états d'énergie permis, mais induisent des transitions entre ces états. Chaque processus est décrit comme une interaction (ou collision) instantanée caractérisée par une densité de probabilité par unité de temps pour que l'électron passe d'un état initial k

r à un état final k ′

r. Cette densité de

probabilité ( )kksi ′rr

, , où i repère le processus considéré, est donnée par la règle d'or de Fermi (voir par exemple [COH 73]) :

( ) ( )εεδρπ ′−=′ ′kii Mkks 22

,h

rr [1.52]

où kVkM iirr

′= est l'élément de matrice de transition, Vi est le potentiel de

couplage, k′ρ est la densité d'états finals, ε et ε ′ sont les énergies initiale et finale. En sommant sur tous les états finals possibles on peut déduire de [1.52] pour chaque processus i et pour chaque électron dans un état k

r une fréquence d'interaction

( )kir

λ et un temps de relaxation de la vitesse ( )kir

τ définis respectivement par (pour un matériau non dégénéré dans lequel les états sont faiblement occupés) :

( ) ( )∫ ′′= kdkksk ii3,

rrrλ et ( ) ( )∫ ′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

−′= kdkkkks

ki

i

3cos1,1 θτ

rrr [1.53]

où θ est l'angle entre kr

et k ′r

. Pour aller plus loin dans la description de ces processus il faut expliciter pour chacun d'eux le potentiel de perturbation Vi, ce qui sort du cadre de ce chapitre. Nous nous contenterons d'une brève description des interactions prépondérantes pour les électrons dans le silicium. On peut en trouver un développement complet dans de nombreux ouvrages tels que [LUN 00].

Page 51: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 59

D'une manière générale, l'effet d'une interaction subie par un porteur est de modifier la direction de son vecteur d'onde et éventuellement, dans le cas d'une interaction inélastique, son énergie. Les principales interactions subies par les électrons dans Si sont les suivantes :

– interaction porteurs – impuretés ionisées : la fréquence (ou l'inverse du temps de relaxation) de ce processus élastique (sans échange d'énergie) varie en 1/ε3/2 et en NI, où NI est la concentration d'impuretés. Cette interaction a un effet important sur la relaxation de la vitesse, notamment dans les zones dopées ainsi qu'à faible température où elle est prédominante ;

– interactions porteurs – phonons : dans le silicium on distingue essentiellement deux mécanismes suivant la nature du phonon échangé :

- phonon acoustique intravallée : cette interaction met en jeu des phonons acoustiques de faible vecteur d'onde et donc de faible énergie. La fréquence de ce mécanisme est proportionnelle à ε1/2. Le processus est quasi-élastique avec une déviation isotrope du vecteur d'onde. Il joue un rôle important dans la relaxation des porteurs de faible énergie,

- phonon intervallée : cette interaction met en jeu un phonon acoustique ou optique de grand vecteur d'onde et d'énergie constante qui fait passer les électrons d'une vallée X à une autre vallée X. La fréquence de ce mécanisme inélastique est proportionnelle à ε1/2. L'émission de phonons intervallée est le processus de relaxation dominant pour les électrons de forte énergie.

1.3.1.2. Fonction de distribution – Equation de Boltzmann

L'état du système que forme la population d'électrons d'un semiconducteur est entièrement décrit par la fonction de distribution ( )trkf ,,

rr qui représente à l'instant t

la probabilité de présence d'un électron aux points kr

de l'espace réciproque et rr

de l'espace réel. La connaissance de cette fonction permet de déterminer toutes les grandeurs locales liées aux porteurs telles que la concentration ( )trn ,

r ou la valeur

totale ( )trA ,r

de toute grandeur transportée (vitesse, énergie,…) via les expressions suivantes :

( ) ( ) ( )∫= kdtkrfkntrnrrrrr

,,, et ( ) ( ) ( ) ( )∫= kdtkrfknkAtrArrrrrr

,,, [1.54]

et l'expression générale [1.51] du flux transporté devient :

( ) ( ) ( ) ( ) kdtkrfknkvkQrrrrrrr

,,∫=Φ [1.55]

En présence d’une perturbation, f s’écarte de la fonction à l'équilibre thermique f0 d’une quantité f1 :

Page 52: Du Cristal Au Bipolaire

60 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

( ) ( ) ( )tkrftkrftkrf ,,,,,, 10rrrrrr

+= [1.56]

La fonction ( )trkf ,,0rr

correspond à la statistique de Fermi-Dirac :

( ) ( ) ( ) ( ) 1

00 exp1,,,−

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++==

TkEkrEkrftrkf

B

FCrrrrrr ε [1.57]

où ( )rECr

est l'énergie potentielle (bas de bande de conduction) et ( )kr

ε l'énergie cinétique des électrons. Le but est donc de déterminer l’évolution dans le temps de f dans un espace à 6 dimensions (l’espace des phases). Cette évolution est décrite par l'équation de Boltzmann qui s'établit par exemple (pour un système unidimensionnel) en écrivant la conservation durant l'intervalle de temps δt du nombre de porteurs initialement contenu dans l'élément de volume dx dkx. Durant δt, la fonction f s'accroît de δf. On a donc :

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] tdkdxtfdxt

dtdktdkkxftkxf

dktdtdxtkdxxftkxfdkdxf

xc

xxxx

xxxx

δδ

δδ

⎟⎠⎞

∂∂

++−+

++−=

,,,,

,,,,

où ct

f⎟⎟⎠

⎞∂∂ représente la contribution des collisions. Ainsi, compte tenu de la relation

[1.23] :

( ) ( )

( ) ( )c

x

x

xxx

xxx

tfF

dktdkkxftkxf

vdx

tkdxxftkxftf

⎟⎠⎞

∂∂

++−

+

+−=

h

,,,,

,,,,δδ

En faisant tendre les éléments δt, dx, et dkx vers 0 et en généralisant à un cristal 3D, nous obtenons l'équation de Boltzmann :

ckr t

ffFfvdtdf

⎟⎠⎞

∂∂

+∇⋅−∇⋅−= rrrr

h

rr 1 [1.58]

La quantité df/dt se décompose donc en une somme de trois termes, qui correspondent respectivement à la contribution des gradients de la fonction de

Page 53: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 61

distribution, celle des forces appliquées Fr

, et celle des interactions (ou collisions). Compte tenu de [1.52], le terme de collision peut être explicité ainsi :

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) kdkkstkrftkrf

kdkkstkrftkrftf

c

′′′−−

′′−′=⎟⎠

⎞∂∂

∫rrrrrrr

rrrrrrr

,,,1,,

,,,1,, [1.59]

où encore dans le cas d'un semiconducteur non dégénéré (faibles probabilités d'occupation) :

( ) ( ) ( ) ( ) kdkkstkrfkdkkstkrftf

c′′−′′′=⎟

⎞∂∂

∫∫rrrrrrrrrr

,,,,,, [1.60]

APPROXIMATION DE BOLTZMANN.- Les collisions ont tendance à ramener la fonction f vers son état d’équilibre f0 ; pour calculer leur contribution à l’évolution temporelle de f, nous nous plaçons dans l’hypothèse de faibles perturbations, c’est-à-dire que la vitesse de retour à l’équilibre est proportionnelle à l’écart f – f0, avec pour facteur de proportionnalité 1/τ, où τ est un temps de relaxation dépendant a priori de l'énergie. C’est l’hypothèse de Boltzmann. Ainsi,

ττ10 fff

dtdf

c−=

−−=⎟

⎞ [1.61]

Si on se place en régime permanent, 0=dtdf . On aboutit alors, en rassemblant

[1.58] et [1.61], à l’équation de Boltzmann simplifiée :

01 1 =+∇⋅+∇⋅τffFfv kr

rrrr

h

rr [1.62]

La contribution de f0 à l’intégrale [1.55] donnant l’expression générale du flux résultant est nulle car il n’y a pas de flux à l’équilibre thermique. Avec les notations et les hypothèses de ce paragraphe, l’expression [1.55] devient donc :

( ) ( ) ( ) ( ) kdtkrfknkvkQrrrrrrr

,,1∫=Φ [1.63]

Nous allons maintenant appliquer l’équation de Boltzmann au calcul de la conductivité électrique et du coefficient de diffusion des porteurs.

Page 54: Du Cristal Au Bipolaire

62 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

1.3.1.3. Conduction électrique en champ faible (E < 1 kV.cm-1)

La perturbation est une force électrostatique EqFrr

−= , la quantité transportée est

la charge électrique -q, le flux résultant est la densité de courant Jr

, c’est-à-dire, d’après [1.63] :

( ) ( ) ( ) ( ) kdtkrfknkvqrJrrrrrrr

,,1∫−= [1.64]

Nous allons faire le calcul de Jr

dans le cadre de l'approximation de Boltzmann et des hypothèses suivantes : (i) semiconducteur non dégénéré, (ii) de dopage et de température uniforme, et (iii) dans lequel règne un champ électrique faible, constant et uniforme. Nous supposerons de plus que (iv) les électrons se trouvent sur une bande d'énergie parabolique et isotrope, ce qui correspond plutôt au cas de GaAs. Nous généraliserons ensuite le résultat au cas des bandes ellipsoïdales du Si.

Du fait de l'hypothèse (ii), l'équation de Boltzmann [1.62] se réduit à :

01 1 =+∇⋅τffF k

rrr

h [1.65]

L'hypothèse de champ faible (iii) permet, pour le calcul de fkr

r∇ , de considérer

que f = f0 + f1 ≈ f0. Nous avons alors pour un semiconducteur non dégénéré :

vfkT

ff kkrhrr

rr0

0 −=∇∂∂

=∇ εε

ce qui, reporté dans [1.65], conduit à l'expression de f1 :

( ) ( ) ( ) vEkfTk

qkfB

rrrr⋅−= 01 ετ [1.66]

En prenant pour axe Ox la direction du champ, la densité de courant [1.64] devient :

( ) ( ) ( )∫= kdknvkfETk

qJ xxB

xrrr 2

0

2ετ [1.67]

La bande d'énergie considérée étant parabolique et isotrope (hypothèse (iv)), il est commode de remplacer l'intégration sur k

r par une intégration sur l'énergie ε. De

Page 55: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 63

plus, l'hypothèse de faible champ implique que l'énergie cinétique moyenne des porteurs reste égale à sa valeur d'équilibre thermodynamique, et équitablement répartie suivant toutes les directions. Ainsi, calculée sur toute fonction de distribution, la valeur moyenne de vx

2 peut s'écrire <vx2> = <v2>/3 = 2<ε>/(3m*).

Nous pouvons donc remplacer dans [1.67] vx2 par 2ε/(3m*). Compte tenu de la

densité d'états en énergie (relation [1.40]), la densité de courant [1.67] devient alors :

( ) ( ) ( )∫= εεεεετ dnfm

ETk

qJ xB

x 0

2

*32

ce qui peut également s'écrire :

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )∫

∫∫

∫=εεε

εεεε

εεεε

εεεεετ

dnf

dnf

dnf

dnfn

mE

TkqJ xB

x0

0

0

02

*32

c'est-à-dire :

εετε

*322

mE

TkqnJ xB

x = [1.68]

Or, ε = 1,5 kBT. On utilise de plus l'abus d'écriture suivant qui simplifie les

notations : ετε

τ = . Cette quantité τ est homogène à un temps mais n'est pas

rigoureusement le temps de relaxation moyen. La densité de courant [1.68] s'écrit alors :

xx Emq

nJ τ*

2=

On retrouve ainsi la loi d'Ohm qui relie la densité de courant au champ électrique par la conductivité σ. On définit de plus la mobilité par le rapport Ev /=µ . On a alors :

Page 56: Du Cristal Au Bipolaire

64 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

⎪⎪

⎪⎪

===

===

trous)des(cas*

avecoù

électrons)des(cas*

avecoù

p

pppppp

n

nnnnnn

m

qqpEJ

mq

qnEJ

τµµσσ

τµµσσ

rr

rr

[1.69]

Dans le cas des vallées anisotropes (ellipsoïdales) du silicium, d’une manière générale, l’anisotropie du diagramme de bandes du silicium et du temps de relaxation amène à donner une forme tensorielle au coefficient de transport qui relie le flux à la perturbation. Ce tenseur n’est pas forcément diagonal, c’est-à-dire que le flux transporté n’est pas forcément colinéaire à la force appliquée. Toutefois, pour certains coefficients de transport, les symétries du cristal permettent de donner une forme scalaire à ce tenseur. C’est le cas de la conductivité, à condition d’utiliser une nouvelle masse effective, appelée masse effective de conductivité. En effet, en faisant le même calcul que précédemment pour chacun des six ellipsoïdes et en sommant les différentes contributions, on obtient, si l'on fait une approximation isotrope du temps de relaxation :

EmqnJ

ccn

rrτ

2= [1.70]

où la masse effective de conductivité mcc est définie par :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

tlcc mmm21

311 [1.71]

Il faut faire attention à ne pas confondre la masse effective de conduction mcc avec la masse effective de densité d’états mdc définie dans le paragraphe 1.2.6. En effet, avec ml = 0,916 m0 et mt = 0,19 m0, on a mdc = 1,06 m0 et mcc = 0,26 m0.

1.3.1.4. Diffusion

La perturbation est un gradient spatial de concentration de porteurs, et la quantité transportée est un nombre de particules. D’une manière générale dans un processus de diffusion, le flux résultant s’écrit donc, d’après [1.63] :

( ) ( ) ( ) kdtkrfknkvrrrrrr

,,1∫=Φ [1.72]

Les porteurs étant chargés électriquement, ce flux se traduit bien sûr par une densité de courant. Nous allons faire le calcul de Φ

r dans le cadre des hypothèses

Page 57: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 65

suivantes : (i) semiconducteur non dégénéré, (ii) absence de force exercée sur les porteurs (iii) faible perturbation de la fonction de distribution, et (iv) bande parabolique isotrope.

L’hypothèse (ii) réduit l’équation de Boltzmann [1.62] en régime permanent à :

01 =+∇⋅τffv r

rrr

[1.73]

Les hypothèses (i) et (iii) nous permettent de considérer, pour le calcul de fr∇r

que :

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −≈≈

TkE

TkEE

TkEkfkrf

B

C

B

CF

B

F εε expexpexp, 0rrr

où ΕC - ε ne varie pas spatialement. On a donc, compte tenu de la relation [1.47] du chapitre 1 :

( ) ( )n

nTkTk

fEEEE

ff rB

BCFr

CFr

rrr

rrr ∇

=−∇−∂

∂=∇ 00

0

Par conséquent, d’après cette même relation [1.47], f1 est donnée, pour un gradient unidimensionnel par :

xvdxdn

nff 101 τ−= [1.74]

On calcule alors le flux [1.72] de façon analogue au calcul de la densité de courant dans l’étude de la conductivité :

( ) ( ) ( )dxdnD

dxdn

mTkdnf

nmdxdn

nB

x −=−=−= ∫ τεεεεετΦ 01

32

et le flux s’écrit finalement comme une loi de Fick où l’on a introduit le coefficient de diffusion Dn reliant le flux à sa cause. Ainsi, le coefficient de transport lié à la diffusion est relié à la mobilité, qui caractérise le phénomène de conduction, par la relation d’Einstein :

nB

n qTkD µ= (électrons) et p

Bp q

TkD µ= (trous) [1.75]

Page 58: Du Cristal Au Bipolaire

66 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

On obtient l’expression générale du courant de diffusion pour les deux types de porteurs :

⎪⎩

⎪⎨⎧

∇−=

∇=

pDqJ

nDqJ

pp

nnrr

rr

[1.76]

Dans le cas de la bande de conduction anisotrope du silicium, on obtient le même résultat que précédemment en remplaçant, dans l’expression du coefficient de diffusion, la masse effective m par la masse effective de conductivité mcc définie par la relation [1.71]. Les valeurs des coefficients de transport dans Si non dopé à 300 K sont : µn = 1500 cm2V-1s-1, µp = 500 cm2V-1s-1, Dn = 37,5 cm2s-1, et Dp = 12,5 cm2s-1.

1.3.1.5. Equations de dérive-diffusion

En présence à la fois d’un champ électrique et d’un gradient de concentration, on a donc, en rassemblant [1.69] et [1.76] :

⎪⎩

⎪⎨⎧

∇−=

∇+=

pqDEqpJ

nqDEqnJ

ppp

nnnrrr

rrr

µ

µ [1.77]

Ce sont les équations de dérive-diffusion, largement employées pour l’étude du transport dans les dispositifs semiconducteurs.

Dans l’utilisation de ces équations, il faut faire très attention au fait que le champ électrique qui y figure n’est pas un champ électromoteur, c’est-à-dire qu’il n’est pas lui-même responsable d’un courant mesurable. Il suffit pour s’en convaincre de considérer le cas classique d’un semiconducteur inhomogène, par exemple une jonction PN. A l’équilibre, c’est-à-dire en l’absence de différence de potentiel appliquée ou de toute autre perturbation extérieure, le courant qui traverse la structure est rigoureusement nul. Cependant, les porteurs des zones de forte concentration ont tendance à diffuser dans les régions où ils sont minoritaires, ou dans les zones de plus faible concentration. Des courants de diffusion existent donc bien dans la structure, mais un champ électrique s’établit localement pour s’opposer à la diffusion. A l’équilibre, les composantes de dérive et de diffusion peuvent être toutes les deux très fortes localement, mais en se compensant parfaitement.

Page 59: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 67

1.3.1.6. Champ électromoteur

Nous avons déjà mentionné que le niveau de Fermi, du point de vue de la thermodynamique, n'est autre que le potentiel chimique du système de particules. Il est donc uniforme pour un semiconducteur au repos, et identique pour les électrons et les trous. En présence d'une perturbation externe, certaines zones du semiconducteur, ou du dispositif semiconducteur, ne sont plus à l'équilibre et les concentrations de porteurs sont modifiées dans ces zones. Pour conserver les expressions [1.47], [1.48] et [1.50] qui donnent les concentrations de porteurs, il faut définir des niveaux de Fermi différents pour les électrons et les trous, respectivement EFn et EFp, appelés quasi-niveaux de Fermi. Les courants d'électrons et de trous définis en [1.77] s'écrivent alors, compte tenu de [1.47] :

[ ][ ]

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

∇−∇−=

∇−∇+=

FpVB

ppp

CFnB

nnn

EETk

pqDEqpJ

EETk

nqDEqnJ

rrrr

rrrr

µ

µ

Or, EqEE VCrrr

=∇=∇ , ce qui nous donne, compte tenu de la relation d'Einstein [1.75] :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

∇=

∇=

Fpp

p

Fnn

n

Eq

J

Eq

J

rr

rr

σ

σ

[1.78]

Ces expressions montrent que FnEq

∇r1 et FpE

q∇r1 sont les seuls véritables

champs électromoteurs pour les électrons et les trous.

Nous reviendrons un peu plus loin dans le paragraphe 1.4 sur la notion de quasi-niveau de Fermi, en l'introduisant par une approche thermodynamique.

1.3.1.7. Conduction en champ fort

1.3.1.7.1. Transport stationnaire

Si l'on se place en régime permanent (champ constant) et qu'un état d'équilibre stable est atteint, le transport est dit stationnaire. La vitesse stationnaire est alors la vitesse d'équilibre atteinte par une population de porteurs placés dans un champ

Page 60: Du Cristal Au Bipolaire

68 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

donné. Elle résulte d'un équilibre entre l'accélération par le champ et le freinage par les collisions avec le réseau (phonons) et avec les impuretés.

Pour établir la notion de mobilité, nous avons supposé que le champ était suffisamment faible (< 1 kV.cm-1) pour qu'il n'y ait pas d'échauffement des porteurs. Cela signifie que l'énergie gagnée par les électrons entre deux collisions est en moyenne totalement évacuée durant la collision. Ce n'est plus le cas si le champ est supérieur à 1 kV.cm-1. L'énergie des électrons augmentant, la fréquence des collisions augmente également, ce qui conduit à une chute de la mobilité, puis à une saturation de la vitesse de l'ensemble des porteurs à vsat ≈ 107 cm.s-1 (Figure 1.24).

Vitesse v

Champ électrique E

vsat ≈ 107 cm.s-1

0

Figure 1.24. Allure de la courbe vitesse-champ dans Si dans le cas d'un transport stationnaire.

1.3.1.7.2. Transport non stationnaire

Les porteurs sont dits en survitesse lorsqu'ils atteignent une vitesse supérieure à la vitesse stationnaire correspondant au champ qu'ils ressentent. Le phénomène est observé en cas de variation brutale du champ. Il faut alors un certain temps et donc une certaine distance pour que les porteurs atteignent leur nouvelle vitesse stationnaire. Il y a donc une zone intermédiaire (en temps et en espace) où les électrons ne sont pas dans un état stationnaire. Ils peuvent alors se retrouver en survitesse, c'est-à-dire avec une vitesse moyenne sensiblement supérieure à vsat. Ce phénomène est très important dans des dispositifs dont la zone active est de dimension très faible (transistor à effet de champ à grille courte, transistor bipolaire à base courte) : les électrons peuvent être en survitesse sur une grande partie ou sur la totalité de la zone active.

Le cas « ultime » du transport non stationnaire est le transport balistique, c'est-à-dire le transport sans interaction. Il est « observable » à 300 K sur des distances inférieures à 0,1 µm :

– certains porteurs traversent une zone en ne subissant aucune interaction ; – leur transport se fait alors à énergie totale constante : toute l'énergie potentielle

due au champ est transformée sans perte en énergie cinétique ;

Page 61: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 69

– les vitesses atteintes peuvent être très élevées, supérieures à 6 × 107 cm.s-1.

1.3.2. Création de porteurs en excès et recombinaison

On se place maintenant dans le cas de perturbations « dures » qui modifient le nombre de porteurs libres dans le cristal. Le phénomène de génération-recombinaison peut être considéré comme le résultat de la superposition de plusieurs processus. Les principaux mécanismes sont les suivants : génération-recombinaison optique (transitions de photons) et ionisation par impact, recombinaison non radiative (transition de phonons), recombinaison à trois particules (recombinaison Auger) et recombinaison en surface. La génération-recombinaison est caractérisée par une vitesse nette G, donnée en cm-3.s-1, représentant la concentration de porteurs créés par seconde. Elle s'exprime alors comme la somme des différentes contributions :

G = Goptique + Gimpact + GSRH + GAuger + Gsurface [1.79]

1.3.2.1. Création de porteurs en excès

1.3.2.1.1. Création de porteurs par éclairement

Ce processus est une transition directe des porteurs entre la bande de conduction et la bande de valence. La génération correspond au passage d'un électron de la bande de valence à la bande de conduction par un gain d'énergie apportée par un photon. De même, la recombinaison radiative est le phénomène inverse de l'excitation par éclairement, c’est-à-dire que l’énergie est libérée sous la forme d’émission de photons. Ce mécanisme est très efficace dans les semiconducteurs à bande interdite directe. Il est exploité dans les dispositifs électroluminescents. La vitesse nette de génération-recombinaison est donnée par :

Goptique = Copt (ni2 - np) [1.80]

Copt étant le taux de capture et d'émission optique, caractéristique du matériau.

1.3.2.1.2. Création de porteurs par radiation ionisante

Ce phénomène touche essentiellement, mais pas uniquement, les circuits embarqués dans les avions et les satellites. Nous ne traiterons pas ce cas ici.

Page 62: Du Cristal Au Bipolaire

70 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

1.3.2.1.3. Création de porteurs par porteurs chauds (champ électrique intense)

Ce phénomène, appelé aussi ionisation par impact, se produit pour des champs électriques supérieurs à 100 kV.cm-1, par exemple dans la zone de charge d’espace d’une jonction en inverse. Un porteur accéléré par un tel champ voit croître son énergie cinétique jusqu’à pouvoir se comporter comme une radiation ionisante, c’est-à-dire qu’il peut céder une partie de son énergie pour créer une paire électron-trou. Les porteurs ainsi créés subissent également l’accélération du champ électrique et peuvent créer d’autres paires, ce qui donne lieu au phénomène d’avalanche, puis au claquage de la jonction.

Deux paramètres caractérisent le phénomène d'ionisation par impact : – Le seuil d’énergie d’ionisation qui est l’énergie cinétique minimum que doit

acquérir un porteur pour créer une paire. Cette énergie est sensiblement supérieure à la largeur de bande interdite ;

– Le coefficient d’ionisation α (cm-1) qui donne le nombre de paires créées par cm parcouru par un porteur chaud. Ce coefficient dépend directement de l’énergie du porteur, grandeur cependant peu accessible expérimentalement. Aussi ce coefficient d’ionisation est-il donné en fonction du champ électrique. Des modèles semi-empiriques permettent de l’évaluer (voir par exemple [THO 81]).

La vitesse nette de génération est donnée par :

[ ]ppnnimpact JJq

G αα +=1 [1.81]

où αn et αp sont les coefficients d'ionisation et Jn et Jp les densités de courant d'électrons et de trous.

1.3.2.2. Recombinaison

1.3.2.2.1. Description des mécanismes

Lorsqu’il y a excès d’électrons libres et de trous libres par rapport à l’équilibre thermique, différents processus de recombinaison interviennent pour rétablir les concentrations d’équilibre. On distingue la recombinaison directe, ou bande à bande, et la recombinaison indirecte, qui se fait par l’intermédiaire de niveaux profonds (figure 1.25).

Page 63: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 71

EC

EV

directeindirecte

Figure 1.25. Processus de recombinaison directe et indirecte.

La recombinaison libère de l’énergie ; les mécanismes se différencient par la manière de dissiper cette énergie. On en distingue essentiellement trois :

– recombinaison non radiative : l’énergie libérée sert à exciter des modes de vibration du réseau cristallin, c’est-à-dire que des phonons sont émis (figure 1.26.a). Il y a échauffement du cristal. La recombinaison indirecte non radiative est le mécanisme prépondérant dans le silicium. Dans du Si très pur, la durée de vie des porteurs, τn ou τp, est de l’ordre de 1 ms. Elle peut descendre à environ 1 ns si l’on introduit des centres de recombinaison indirecte, par exemple par diffusion d’or ou de platine. Dans le cas de recombinaison indirecte, la vitesse nette de génération-recombinaison est donnée par le modèle de Shockley-Read-Hall, soit :

)()(

2

inip

iSRH npnn

npnG

+++−

−=ττ

[1.82]

– recombinaison Auger : l’énergie libérée est fournie à un porteur libre (figure 1.26.b) ; c’est le mécanisme inverse de l’ionisation par impact. Il n’est important qu’à température élevée ou en présence d’un champ fort. La vitesse nette de génération-recombinaison est donnée par :

GAuger = (ni2 - np) (nCn + pCp) [1.83]

où Cn et Cp sont les coefficients Auger, respectivement de l'ordre de 3 × 10-43 m6s-1 et 10-43 m6s-1 à température ambiante.

Page 64: Du Cristal Au Bipolaire

72 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

(a) (b)

EC

EV

Figure 1.26. Les mécanismes de recombinaison ; (a) non radiative, (b) Auger.

– recombinaison en surface : en surface, ou contre une interface avec un diélectrique, la rupture de périodicité cristalline introduit des états localisés dont les niveaux peuvent se trouver dans la bande interdite (figure 1.27). Ces états favorisent une recombinaison superficielle, par un processus analogue à la recombinaison indirecte précédemment décrite.

EC

EV

Air oudiélectrique Centres d’interface

Figure 1.27. Recombinaison superficielle.

La vitesse nette de génération-recombinaison superficielle est donnée par :

( )( ) ( )ispisn

isspnRss npcnnc

npnccNG

+++

−=

2 [1.84]

où NRs est la densité surfacique des centres d’interface (cm-2), cn et cp sont les coefficients de capture en cm3.s-1 dans le silicium, et ns et ps sont les concentrations volumiques (cm-3) des porteurs à la surface.

Page 65: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 73

1.4. Transport dans les dispositifs

L'étude du matériau semiconducteur qui a été présentée jusqu'à présent s'est essentiellement préoccupée de la répartition des électrons et des trous sur les divers niveaux d'énergie offerts dans le cristal. On a, jusque là, considéré les positions relatives de ces différents niveaux, et c'est pourquoi les concentrations n et p d'électrons et de trous ont pu être exprimées (cf. expression [1.50]) en fonction de la différence entre EF (niveau de Fermi) et Ei (niveau intrinsèque).

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

TkEEpp

TkEEnn

B

Fii

B

iFi

exp

exp [1.85]

Tout étant relatif, on n'avait pas besoin d'une référence commune pour les énergies. Pour l'étude des dispositifs, ils sont soumis à des actions extérieures (polarisation, éclairement...). Il devient donc nécessaire de repérer les énergies par rapport au milieu extérieur en choisissant une origine commune.

On considère un gaz d'électrons constituant un système thermodynamique en interaction avec le milieu extérieur. La variation d'énergie interne U lorsqu'on accroît la quantité du nombre de particules dn et dp (n et p variables extensives) est donnée pour une réaction isotherme et adiabatique (dT = 0 et δQ = 0) par l'expression suivante (pour dp = 0) :

dU = µcn dn -qΨ dn = nµ~ dn [1.86]

avec les variables intensives : – µcn : énergie potentielle chimique des électrons ;

– Ψ : potentiel électrostatique introduit par le milieu extérieur ; – nµ~ : énergie potentielle électrochimique des électrons.

On définit de même pour les trous les énergies µcp et pµ~ . On a enfin les

relations :

⎩⎨⎧

Ψ+=Ψ−=

q µµq µµ

cpp

cnn~~

[1.87]

Page 66: Du Cristal Au Bipolaire

74 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

1.4.1. Système à l'équilibre thermodynamique

Le système est à l'équilibre thermodynamique lorsqu'il n'échange pas d'énergie avec le milieu extérieur (bilan nul des échanges d'énergie avec l'extérieur). On montre que la condition nécessaire est que les variables intensives T, nµ~ , pµ~ ne

varient pas avec la position :

( )( )( )⎪

⎪⎨

==

=

constante ~constante ~

constante

rµrµ

rT

p

nr

r

r

[1.88]

De plus, on montre en thermodynamique que :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

iBcp

iBcn

npTkµ

nnTkµ

ln

ln [1.89]

En utilisant les relations [1.85] on obtient :

⎩⎨⎧

−=−=

Ficp

iFcnEEµEEµ

[1.90]

où Ei est par définition associé à Ψ :

Ei = -qΨ [1.91]

Le signe – est conventionnel car l'on définit un diagramme d'énergie pour les électrons.

On a donc :

⎩⎨⎧

−=+==−=

Fcpp

FcnnEqµµ

EqµµΨΨ

~~

[1.92]

A l'équilibre thermodynamique les expressions [1.88] permettent alors d'affirmer que le niveau de Fermi EF est plat pour un cristal semiconducteur au repos.

Page 67: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 75

Lorsque le cristal n'est pas uniformément dopé, les quantités n et p varient, donc µcn et µcp aussi. Les bandes se courbent autour du niveau de Fermi. En effet, n variant le long du cristal, µcn varie aussi (expression [1.89]), et Ψ (expression [1.87]) s'ajuste pour que nµ~ (ou EF) reste constant.

Les variations de Ei le long du cristal montrent qu'il existe un gradient de potentiel le long du barreau et donc un champ électrostatique :

dxdE

qE i1

= [1.93]

A l'équilibre, ce champ s'oppose à la diffusion des porteurs, les deux courants de diffusion et de conduction existent et se compensent parfaitement ; c'est pourquoi il n'y a pas de courant global.

1.4.2. Système hors d'équilibre

D'après ce qui précède, un état de déséquilibre, c'est à dire un gradient du potentiel électro-chimique, peut avoir diverses causes, et notamment :

– l'application d'une différence de potentiel induisant un gradient de Ψ ; – la génération locale de porteurs en excès (radiation ionisante, par exemple)

induisant un gradient de µcn.

Dans l'hypothèse de perturbations suffisamment faibles, les flux de porteurs résultants sont proportionnels au gradient des variables intensives du système. On obtient ainsi, dans le cas d'un semiconducteur isotherme les densités de courant suivantes :

⎪⎪

⎪⎪

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇=

q

µσJ

σJ

ppp

nnn

~

~

rr

rr

[1.94]

avec σn et σp les conductivités respectivement des électrons et des trous.

On remarque que pour un système à concentration constante Ψ∇−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇

rr

qµn~

,

donc on retrouve bien la loi d'Ohm EJrr

σ= .

Page 68: Du Cristal Au Bipolaire

76 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

On définit les pseudo-potentiels de Fermi nϕ et pϕ pour les électrons et les

trous, respectivement :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

−=

q

µqµ

pp

nn

~

~

ϕ

ϕ [1.95]

Alors qu'à l'équilibre ces potentiels étaient égaux, ils n'ont maintenant plus de raison de l'être en tous points du dispositif en présence d'une perturbation. On est donc amené à définir localement un quasi-niveau de Fermi pour chaque type de porteur par :

⎩⎨⎧

−==

pFp

nFnµE

µE~~

[1.96]

On a alors :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

∇=∇−=

∇=∇−=

Fpp

ppp

Fnn

nnn

Eqσ

σJ

EqσσJ

rrr

rrr

ϕ

ϕ [1.97]

On retrouve ici les expressions [1.78] et le fait que FnE∇−r

et FpE∇−r

sont les

seuls véritables champs électromoteurs pour les porteurs libres. La différence de potentiel électromoteur appliquée entre deux points d'un cristal au moyen d'un générateur extérieur sera donc égale à la circulation de FnE∇−

r ou FpE∇−

r :

[ ])()(1 BEAEq

VV FpFnnBA −−=∇−=− ∫ ϕr

[1.98]

Les concentrations de porteurs restent liées aux potentiels chimiques et sont données par :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

TkEE

expnTk

µexpnp

TkEEexpn

Tkµexpnn

B

Fpii

B

cpi

B

iFni

B

cni

[1.99]

Page 69: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 77

On a donc maintenant dans le cas général :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

TkEE

npnB

FpFni exp2 [1.100]

1.4.3. Equations à résoudre pour l'étude des dispositifs

1.4.3.1. Expression des courants

Les parties relatives aux électrons des expressions [1.87] et [1.89] peuvent être reportées dans la relation [1.94] ce qui donne :

Ψ∇−∇

=r

rr

nnB

n σnnσ

qTkJ [1.101]

Comme σn = qnµn et nB

n µqTkD = (cf. [1.69] et [1.75]), la relation [1.101]

devient donc :

( )Fnnnnn EµnEµnqnDqJ ∇=+∇=rrrr

[1.102]

et on a de même pour le courant de trous :

( )Fppppp EµpEµpqpDqJ ∇=+∇−=rrrr

[1.103]

On retrouve donc bien les relations [1.77] et [1.78] données précédemment. On peut faire également deux commentaires :

– à champ électrostatique nul, il peut y avoir un courant s'il existe un gradient de concentration ;

– la densité de courant nJr

peut être nulle même en présence d’un champ

électrostatique si celui-ci est de la forme : nqTkE B ∇−=

rr.

L'existence d'un courant suppose une variation spatiale de la position des pseudo-niveaux de Fermi, dont les gradients sont des champs électromoteurs.

Page 70: Du Cristal Au Bipolaire

78 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

1.4.3.2. Equation de continuité

L'équation dite de continuité est très importante en théorie des dispositifs. Elle exprime la conservation locale de la densité de charges, compte tenu des densités de courants et des phénomènes de génération-recombinaison qui existent à l'instant t.

Soit une tranche comprise entre x et x + dx d'un semiconducteur de type N dans laquelle la concentration d'électrons est n0. Pendant le temps dt :

– il entre Jn(x + dx) dt charges dans la tranche ;

– il sort Jn(x) dt charges de la tranche ;

– si Gn(x,t) est la vitesse nette de génération-recombinaison des électrons en cm-3s-1, on génère la charge qGn(x,t) dx dt dans la tranche.

Le bilan de la variation de charge d'électrons entre x et x + dx est donc :

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) dtdxtxGqdttxJtdxxJdxtxndttxnq nnn ,,,,, +−+=−+

Le taux de variation de la concentration d'électrons est donc :

( ) ( ) ( )x

txJq

txGt

txn nn ∂

∂+=

∂∂ ,1,

,

En procédant de même pour les trous, on obtient finalement les deux équations de continuité :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⋅∇−=∂

⋅∇+=∂

txJq

txGt

txp

txJq

txGt

txn

pp

nn

,1,,

,1,,

rr

rr

[1.104]

Le signe devant le gradient de courant est : – positif pour les électrons car si le courant diminue avec x, il sort plus

d'électrons qu'il n'en rentre ; – négatif pour les trous car si le courant diminue avec x, il entre plus de trous

qu'il n'en sort.

Pour étudier un dispositif, il faut résoudre les deux équations de continuité ainsi que l'équation de Poisson :

Page 71: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 79

)()( ADsc NnpNqE −−+=⋅∇rr

ε [1.105]

où εsc est la permittivité diélectrique absolue du semiconducteur considéré, NA et ND les concentrations respectives en dopants accepteurs et donneurs. Ce système de trois équations à trois inconnues est généralement impossible à résoudre analytiquement. On est alors conduit à effectuer des approximations, ou bien à mettre en œuvre une méthode de résolution numérique. On peut cependant y parvenir si on fait l'une ou l'autre des approximations suivantes :

– on se place dans une zone de charge d'espace (ZCE) où l'on peut négliger les densités d'électrons et de trous. On résout alors l’équation de Poisson qui permet de déterminer l'allure du potentiel ;

– on se place dans une zone de quasi neutralité (ZQN) où la densité des porteurs majoritaires (électrons dans une zone de type N, ou trous dans une zone de type P) est égale à la densité des atomes d'impuretés et où le champ électrique est nul. On résout alors les équations de continuité.

Evaluons par exemple la réaction d'un système à une petite perturbation locale, spatiale ou temporelle dans une ZQN de type N pour laquelle Ox est la seule direction d'intérêt. On peut alors écrire G = 0 :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−=

=

sc

n

nnqxE

xtxJ

qttxn

ε∂∂

∂∂

∂∂

)(

),(1),(

0 [1.106]

où n0 est la concentration en électrons à l'équilibre. De plus, on a :

xtxnqDEσJ nnn ∂

∂ ),(+= [1.107]

En supposant que la zone considérée présente une conductivité uniforme, le système [1.106] se réduit à :

2

20 )(x

nDnnσ

tn

nsc

n∂∂

ε∂∂

+−

= [1.108]

Soit, en considérant que σn = qnµn ≈ σ0 = qn0µn, et en définissant 0nnn −=∆ :

02

20 =

∆−∆+

xnDnσ

tn

nsc ∂

∂ε∂

∂ [1.109]

Page 72: Du Cristal Au Bipolaire

80 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

Nous allons chercher les solution de cette équation différentielle dans deux cas particuliers qui nous conduirons à définir deux grandeurs physiques importantes : le temps de relaxation diélectrique et la longueur de Debye.

1.4.3.2.1. Perturbation temporelle : temps de relaxation diélectrique

Soit une perturbation temporelle ∆n0 à t = 0. On a 02

2=

xn

∂∂ . L'équation [1.109]

devient donc :

00 =∆+∆ n

εσ

tn

sc∂∂ [1.110]

La solution de cette équation différentielle du premier ordre est :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∆=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−∆=∆

Dsc

tnε

tσnnτ

expexp 00

0 [1.111]

où 00 nqµ

εσε

n

scscD ==τ est le temps de relaxation diélectrique : le déséquilibre est

relaxé avec la constante de temps caractéristique τD.

Sur la figure 1.28 est tracé le temps de relaxation diélectrique τD à mobilité constante en fonction de la concentration de porteurs. On peut noter que τD, temps de retour à la neutralité électrique, est de l'ordre de la ps, voire nettement inférieure à la ps pour de forts dopages. On peut ainsi supposer que la neutralité diélectrique est toujours vérifiée dans les zones les plus conductrices d'un dispositif.

Page 73: Du Cristal Au Bipolaire

Eléments de physique des semiconducteurs 81

10-4

10-3

10-2

0,1

1

10

1015 1016 1017 1018 1019 1020

τ (ps)

µ

0 (cm-3)n

D

= 300 cm2.V-1.s-1

600 1200 2400 4800 9600

Figure 1.28. Temps de relaxation diélectrique τD à mobilité constante.

1.4.3.2.2. Perturbation spatiale : longueur de Debye

Soit une perturbation spatiale ∆n0 en x = 0. On a 0=∆tn

∂∂ . L'équation [1.109]

devient donc :

02

20 =

∆−∆

xnDn

εσ

nsc ∂

∂ [1.112]

La solution de cette équation différentielle du second ordre est :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∆=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−∆=∆

DBsc Lxnx

Tkεnqnn expexp 0

02

0 [1.113]

où 0

2nqTkεL Bsc

D = est la longueur de Debye. Le déséquilibre est relaxé sur une

longueur caractéristique LD.

Sur la figure 1.29 est tracée la longueur de Debye en fonction de la concentration de porteurs. Notons que LD peut atteindre des valeurs très faibles, inférieures au nm, dans des zones très dopées. Ceci pose problème quand on résout numériquement l'équation de Poisson dans un dispositif puisque la dimension des mailles utilisées

Page 74: Du Cristal Au Bipolaire

82 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

pour décrire le composant doit au plus être de l'ordre de la longueur de Debye (dans le cas contraire le système ne peut évoluer librement vers un état d'équilibre et des variations artificielles de potentiel électrique peuvent apparaître).

0,1

1

10

100

1015 1016 1017 1018 1019 1020

(nm)

0 (cm-3)

LD

n

Figure 1.29. Longueur de Debye en fonction de la concentration de porteurs à 300 K dans Si.

1.5. Bibliographie [COH 73] COHEN-TANNOUDJI C., DIU B., LALOË F., Mécanique quantique, Ed. Hermann,

1973.

[KIT 83] KITTEL C., Physique de l’état solide, Ed. Dunod, 1983.

[LUN 00] LUNDSTROM M., Fundamentals of carrier transport, Ed. Cambridge University Press, 2000.

[THO 81] THORNBER K.K., « Applications of scaling to problems in high-field electronic transport », J. Appl. Phys., Vol. 52, n°1, p. 279-290, Janvier 1981.

[YU 96] YU P. et CARDONA M., Fundamentals of semiconductors, Ed. Springer, 1996.

Page 75: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire

2.1. Exemple de la jonction PN

2.1.1. Réalisation : profils de dopage

Pour réaliser une diode à jonction PN, on part d'un substrat semiconducteur (par exemple de type P), et l'on effectue des opérations qui vont localement inverser le type du semiconducteur. La diode occupera une mince couche à la surface du semiconducteur (comme d'ailleurs tous les composants). On peut alors classer les méthodes de fabrication en deux groupes :

– on introduit dans un matériau préalablement dopé des impuretés de type opposé au dopage initial. Ce sont les méthodes de diffusion ou d'implantation :

- diffusion : en déposant en surface du semiconducteur une forte concentration d'une espèce chimique, on crée un fort gradient de concentration de cette espèce qui tend à diffuser à l'intérieur du matériau. Pour que la diffusion puisse se produire, il faut créer des lacunes dans le semiconducteur par agitation thermique. Dans le cas du silicium, on le porte à des températures allant de 900 °C à 1100 °C. Les profils de dopage obtenus par diffusion sont soit gaussien, soit en fonction erreur complémentaire (erfc(x) si on maintient une densité constante en surface) (Figure 2.1). Un diffusion peu profonde permet d'obtenir une jonction abrupte (passage brusque d'une région de type P à une région de type N). Dans le cas d'une diffusion profonde, la transition entre la région de type P et celle de type N est plus douce, ce qui donne lieu à une jonction graduelle.

- implantation : on place le semiconducteur dans un accélérateur de particules et on le bombarde avec des ions. Le dopage dépend du flux et de l'énergie des ions mais le réseau est complètement disloqué. Il faut le reconstruire par des recuits (aujourd'hui recuits « flash »). Les profils de dopage obtenus par implantation ionique sont des gaussiennes avec un maximum éloigné de la surface (cf. Figure 2.1),

– le deuxième groupe de méthodes consiste à faire croître, sur un matériau servant de substrat, une couche de semiconducteur contenant la quantité requise de dopants et assurant la continuité des réseaux cristallins à la traversée de l'interface. On parle alors d'épitaxie, et on obtient dans ce cas une jonction plutôt abrupte.

Dans les deux cas, un recuit thermique permet d'activer les dopants, c'est à dire à les placer de façon optimale en sites substitutionnels du Si.

Chapitre rédigé par Sylvie GALDIN-RETAILLEAU, Philippe DOLLFUS et Arnaud BOURNEL.

Page 76: Du Cristal Au Bipolaire

84 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

ND, NA (cm-3)

Profondeur (µm)0,1 0,2 0,30

1010

1014

1018

Figure 2.1. Profils de dopage obtenus par diffusion (trait plein) ou par implantation (tirets).

On voit donc qu'il est possible d'obtenir deux types principaux de profil de dopage : les profils abrupts et les profils graduels.

2.1.2. Jonction PN à l'équilibre thermodynamique

Nous allons, dans un premier temps, présenter la théorie de Shockley qui considère la jonction PN comme l'empilement de trois zones :

– une zone quasi neutre de type P (ZQN) ; – une zone de charge d'espace (ZCE) ; – une zone quasi neutre de type N (ZQN).

De plus, elle repose sur un certain nombre d'hypothèses que nous soulignerons au passage. Les hypothèses de départ sont les suivantes (illustrées par la Figure 2.2) :

– jonction abrupte ; – structure unidimensionnelle ; – dopages uniformes.

Page 77: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 85

x0

Concentrations en dopants

p = NA

n = ND

NA+

ND+

+xn-xp

ZQN P ZCE ZQN N

+Xn-Xp

Figure 2.2. Profil de dopage abrupt considéré pour l'étude de la jonction PN.

Une jonction PN est à l'équilibre thermodynamique lorsque la polarisation appliquée entre les régions P et N est nulle et que la jonction est dans l'obscurité.

2.1.2.1. Formation de la Zone de Charge d'Espace (ZCE)

L'équilibre thermodynamique de la jonction résulte des différentes étapes du processus décrit ci-dessous :

– diffusion des porteurs majoritaires vers les zones où ils sont minoritaires ; – recombinaison des porteurs minoritaires en excès ; – création de part et d'autre de la jonction d'une zone de charge d'espace ZCE

désertée en porteurs et globalement neutre ; – établissement d'un champ électrostatique de N vers P qui s'oppose à la

diffusion des porteurs majoritaires.

L'état de repos de la diode résulte donc de l'équilibre entre deux tendances antagonistes :

– la diffusion sous l'effet d'un gradient de concentration ; – la dérive sous l'effet du champ électrostatique.

Les frontières de la ZCE sont définies sur la Figure 2.2 par -xp et xn. La circulation de -xp à xn du champ définit une différence de potentiel (ddp) électrostatique ΨD (barrière ou potentiel de diffusion). Sa nature électrostatique (et non électrochimique) fait qu'elle ne peut être mesurée à l'aide d'un voltmètre.

Page 78: Du Cristal Au Bipolaire

86 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

2.1.2.2. Etude quantitative

2.1.2.2.1. Allure du diagramme des bandes

Nous avons vu dans le chapitre précédant (section 1.4.1) que : – pour un système à l'équilibre, le potentiel électrochimique ne varie pas, donc le

niveau de Fermi est plat ; – le niveau d'énergie Ei est, par définition, associé au potentiel électrostatique ψ :

Ei = -qψ. On trace (par convention) un diagramme pour les électrons.

On a ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

TkEEnp

B

Fii exp , soit côté P :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

i

ABFiP n

NTkEE ln [2.1]

On a ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

TkEEnn

B

iFi exp , soit côté N :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

i

DBiNF n

NTkEE ln [2.2]

Le diagramme des bandes d'une jonction PN au repos est représenté sur la Figure 2.3.

On peut déduire le potentiel de diffusion du diagramme des bandes :

-qΨD = EiN - EiP [2.3]

La combinaison des équations [2.1], [2.2] et [2.3] donne l'expression du potentiel de diffusion :

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡= 2ln

i

DABD

nNN

qTkΨ [2.4]

Avec NA = 1018 cm-3 et ND = 1015 cm-3, on trouve pour Si à 300 K : ΨD = 0,77 V.

Page 79: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 87

EF

EiN

EvN

EcNEiP

EvP

EcP

Energie

-qΨD

x0 +xn-xp

Figure 2.3. Diagramme de bandes de la jonction PN à l'équilibre.

2.1.2.2.2. Calcul du champ électrostatique et de la largeur de la ZCE

Dans ce calcul nous faisons l'hypothèse de complète désertion dans la ZCE: p = n = 0.

On détermine les variations du champ électrostatique E et du potentiel électrostatique ψ le long du dispositif (Figure 2.4) à partir de l'équation de Poisson :

scdxdE

ερ

= [2.5]

où :

dxdE ψ

−= [2.6]

La continuité du champ en x = 0, nous permet d'écrire :

psc

An

sc

D xqNxqNEεε

==max [2.7]

On retrouve ainsi la relation de neutralité électrique globale de la ZCE :

ND xn = NA xp [2.8]

Page 80: Du Cristal Au Bipolaire

88 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

La ZCE s'étend donc du côté le moins dopé. Sa largeur WZCE est donnée par l'équation :

DAD

scZCE Ψ

NNqW ⎥

⎤⎢⎣

⎡+=

112ε [2.9]

ρ

x0

-qNA

+qND

+xn-xp

x0 +xn-xp

E

x0 +xn-xp

Ψ

ΨD

Figure 2.4. Profils de densité de charge ρ, de champ électrique E et de potentiel Ψ le long de la jonction.

Dans le Si, pour NA = 1018 cm-3, ND = 1015 cm-3, ΨD = 0,77 V, et εSi = 1,04.10-12 F.cm-1, on a : Emax = 15 kV.cm-1, WZCE = 1 µm, xn = 1 µm, et xp = 1 nm.

REMARQUE.– On a supposé que le passage entre la ZCE et les ZQN est abrupt. Or on a vu dans le chapitre précédant (paragraphe 1.4.3.2) qu'un semiconducteur amortit une perturbation sur une distance de l'ordre de la longueur de Debye LD, soit : 4 nm

Page 81: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 89

pour un dopage N = 1018 cm-3, 13 nm pour N = 1017 cm-3, 130 nm pour N = 1015 cm-3.

Dans ces trois cas, LD < xn correspondant à la largeur de la ZCE du côté le moins dopé, l'approximation est donc ici justifiée. Dans la zone la plus dopée, tout ceci est beaucoup plus discutable !

2.1.3. Jonction PN polarisée en direct

2.1.3.1. Description phénoménologique

Une jonction est polarisée en direct si la région P est polarisée positivement par rapport à la région N sous une tension VF (Forward). Ceci correspond à l'application d'un champ électromoteur qui s'oppose au champ électrostatique initial et donc favorise la diffusion des majoritaires. En conséquence :

– la ddp entre les deux zones diminue et devient égale à ΨD - VF. La largeur de la ZCE est donc réduite ;

– il y a injection de porteurs dans les ZQN ; – le courant dans le dispositif est dû à la diffusion des porteurs majoritaires.

Il faut remarquer que le type des porteurs responsables du courant évolue le long de la structure. Par exemple, les électrons qui diffusent de la région de type N vers la région de type P sont, dans un premier temps, responsables d'un courant d'électrons. Lorsqu'ils arrivent dans la zone de type P, ils se recombinent, ce qui suppose l'arrivée de trous majoritaires depuis le contact de la région de type P et le courant devient alors un courant de trous. On a le même phénomène pour les trous qui diffusent de la région de type P vers la région de type N. Ce courant est conservatif en régime permanent puisqu'il n'y a nulle part accumulation de charges. Mais au cours de sa traversée du dispositif le courant change de nature. Le phénomène physique responsable de cette mutation du courant est la recombinaison des paires électrons-trous.

On a donc cinq régions décrites sur la Figure 2.5 : – 1 : ZCE où circule les courants de diffusion d'électrons et de trous ; – 2 et 3 : zones où les minoritaires ayant diffusé se recombinent, ce qui donne

lieu à un courant de recombinaison ; – 4 et 5 : ZQN où l'on peut définir un niveau de Fermi côté P EFP et côté N EFN.

La polarisation directe VF est liée à la différence des niveaux de Fermi par :

EFP - EFN = -q VF [2.10]

Page 82: Du Cristal Au Bipolaire

90 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

12 34 5

ZCE ZQNZQN

P N

Recom-binaison

Recom-binaison

Figure 2.5. Les différentes régions caractéristiques d'une jonction PN polarisée en direct.

En supposant toujours vraie l'hypothèse de complète désertion dans la ZCE, on peut utiliser la même expression [2.9] pour WZCE que précédemment, en remplaçant ΨD par ΨD - VF :

)(112FD

AD

scZCE VΨ

NNqW −⎥

⎤⎢⎣

⎡+=

ε [2.11]

L'hypothèse de totale désertion sous entend que la densité volumique des porteurs traversant la ZCE reste faible devant celle des ions fixes. Le fait d'employer ΨD - VF pour nouvelle hauteur de la barrière de diffusion sous-entend qu'aucune chute de tension n'intervient dans les ZQN du fait du passage du courant. Cet ensemble d'hypothèses suppose donc que le courant direct n'est pas trop important, c'est-à-dire que l'on est en faible injection.

2.1.3.2. Calcul du courant dans une diode réelle

On constate expérimentalement que la caractéristique courant-tension d'une diode PN a l'allure de la courbe schématisée sur la Figure 2.6. On remarque sur ce graphe log(I) = f(VF) que le courant varie en fonction de la tension appliquée VF en

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛1exp

TmkqV

B

F , avec m = 1 (région 2 de la courbe) ou m = 2 (régions 1 et 3)

suivant le niveau de polarisation. Nous allons expliquer ce comportement.

Page 83: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 91

VF

Log I

Faible injection(m = 1)

Recombinaisondans la ZCE

(m = 2)

Forte injection(m = 2)

Résistancesérie

1 2 3 40

Figure 2.6. Allure de la caractéristique courant-tension d'une jonction PN en direct ; cette courbe logarithmique du courant présente plusieurs régimes linéaires de pente q/mkBT.

2.1.3.2.1. Régime de faible injection

Pour effectuer le calcul des différentes composantes du courant direct, dans les domaines 1 et 2 de polarisation définis sur la Figure 2.6, nous allons utilisé la notion de quasi niveaux de Fermi des électrons et des trous (introduite en 1.4.2 au chapitre précédant), puis faire deux hypothèses :

– hypothèse de quasi équilibre ; – hypothèse de faible injection.

En toute rigueur, dans la région de transition de la jonction, on ne peut plus définir un niveau de Fermi puisqu'on n'est plus dans une situation d'équilibre thermique. Les concentrations de porteurs (supérieures à leurs valeurs d'équilibre) peuvent néanmoins être décrites en faisant intervenir deux quasi niveaux de Fermi, EFn pour les électrons, EFp pour les trous [1.96] du chapitre précédant. D'après la relation [1.99] de ce chapitre, ces niveaux sont liés aux concentrations par les relations suivantes :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

TkxExEnxn

B

iFni

)()(exp)( [2.12]

Page 84: Du Cristal Au Bipolaire

92 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

TkxExE

nxpB

Fpii

)()(exp)( [2.13]

On a alors :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

TkxExE

nxpxnB

FpFni

)()(exp)()( 2 [2.14]

La Figure 2.7 représente les variations des différents niveaux d'énergie, et en particulier des quasi niveaux de Fermi (ou pseudo niveaux de Fermi) le long d'une diode polarisée en direct.

EFN

EvN

EcN

EFP

EvP

EcP

Energie

-q(ΨD - VF)

-qVF

12 34 5

Figure 2.7. Diagramme de bandes de la jonction polarisée en direct.

HYPOTHESE DE QUASI EQUILIBRE.– Dans la ZCE, on suppose que le déséquilibre introduit par la polarisation directe entre la tendance à la diffusion et la tendance à la dérive reste faible devant chacune d'elle. On peut donc supposer que les courants Jn et Jp sont négligeables devant chacune des composantes (dérive et surtout diffusion), et donc que EFn et EFp restent constants à la traversée de la ZCE (rappelons que :

dxdEnµJ Fn

nn = et dx

dEpµJ Fp

pp = ) (Figure 2.7). Il en résulte que le produit

n(x) p(x) est constant dans toute la ZCE et est donné par l'expression [2.14], soit :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

TkqVnxpxn

B

Fi exp)()( 2 [2.15]

Page 85: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 93

HYPOTHESE DE FAIBLE INJECTION.– Dans les zones de recombinaison (2 et 3), la densité de porteurs minoritaires est faible par rapport à celle des majoritaires. Le niveau de Fermi des majoritaires reste donc fixé par le dopage, et celui des minoritaires passe progressivement de sa position dans la ZCE à la position du niveau de Fermi des majoritaires dans la ZQN (4 et 5) (Figure 2.7). On peut écrire du côté P en x = -xp :

Appp

pppppp

p

ppp

p

ppp

Npxpnxnpxp

p

nxn

p

pxp==−⇒

⎪⎩

⎪⎨

=−−−−−

<<−−

=−−

0

00

0

0

0

0

)(0))(()(

1)()(

[2.16]

On obtient des équations analogues du côté N en x = xn, avec finalement :

Dnnn Nnxn == 0)( [2.17]

où pp0 = NA, concentration de trous et A

ip N

nn2

0 = concentration d'électrons dans la

ZQN P, nn0 = ND concentration d'électrons et D

in N

np

2

0 = concentration de trous

dans la ZQN N.

Trois possibilités de recombinaison s'offrent aux électrons et aux trous injectés depuis les zones N et P en polarisation directe :

– recombinaison dans les ZQN. Ce phénomène donne lieu au courant de diffusion ID ;

– recombinaison sur des centres répartis dans le volume de la ZCE. On observe un courant IR dit courant de recombinaison ;

– recombinaison sur des centres situés en surface de la ZCE. On observe un courant IRS dit courant de recombinaison superficielle.

Lorsque, partant des très faibles niveaux, on fait croître le courant de diffusion, la densité de porteurs atteint progressivement un niveau tel que tous les centres de recombinaison dans la ZCE se saturent. Les courants IR et IRS n'augmentent donc plus et le courant de diffusion devient prépondérant (avec m = 1, comme nous le verrons ci-dessous). Ces phénomènes de recombinaison sont donc importants à faible niveau de polarisation. Nous allons établir ce résultat par le calcul de ces différentes contributions au courant.

Page 86: Du Cristal Au Bipolaire

94 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

Pour calculer le courant de diffusion ID, on utilise les hypothèses de Shockley suivantes :

– unidimensionnalité ; – pas de chute de tension dans les ZQN ; – complète désertion dans la ZCE ; – quasi équilibre ; – faible injection.

Soit une diode PN avec la jonction métallurgique en x = 0. Rappelons que la ZCE est délimitée par -xp et xn respectivement côté P et N. De plus, les épaisseurs des zones P et N sont respectivement définies par -Xp et Xn.

Cherchons dans un premier temps à déterminer le profil de concentrations des trous dans la région N. Pour cela, on utilise l'équation de continuité en volume :

xJ

qG

tp np

pn

∂∂

∂∂ 1

−= [2.18]

Cette équation est résolue avec les hypothèses suivantes :

– régime permanent : 0=t

pn∂

∂ ;

– pas de génération-recombinaison autre que le phénomène thermique SRH ; – ZQN donc E = 0.

Rappelons les expressions du courant de diffusion npJ et de la vitesse de

recombinaison GSRH données précédemment dans ce chapitre :

xpDqJ n

pp nn ∂∂

−= ; ( ) ( )inninp

innpSRH npnn

npnGnn

+++−

−=ττ

2

Or, du côté N, nn = ND >> pn, d'où : n

pp

nnSRG

ppG

τ0−

−≈

L'équation [2.18] se simplifie alors ainsi :

( )0

)()( 02

02

=−

−−

nn

p

nnnnp

pxp

x

pxpD

τ∂

∂ [2.19]

Page 87: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 95

où Dpn est le coefficient de diffusion des trous côté N, τpn est la durée de vie des trous côté N. On introduit la longueur de diffusion des trous dans la région N :

nnn ppp DL τ= . Cette grandeur joue un rôle important dans la physique des

dispositifs à injection de porteurs minoritaires. C'est la longueur sur laquelle les minoritaires se recombinent. L'équation [2.19] se réécrit :

0)())((2

02

02

=−

−−

np

nnnn

L

pxp

x

pxp

∂ [2.20]

La solution de l'équation [2.20] est :

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ ∆−=−

npnn L

xshApxp0

)( [2.21]

Pour déterminer A et ∆, on applique les conditions aux limites. Du côté N, les expressions [2.15] et [2.17] permettent d'écrire la condition limite en x = xn :

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡=

TkVqp

TkVq

Nnxp

B

Fn

B

F

D

inn expexp

0

2 [2.22]

Pour la condition en x = Xn, on suppose que le contact est parfaitement recombinant, c'est-à-dire que le coefficient de recombinaison sp qui relie la vitesse de recombinaison de surface Gsp à l'excès de trous ∆p est infinie. Le courant de recombinaison correspondant à ce contact est : ( ) ( )( )

0nnnpnp pXpsqXJn

−= .

Dans cette équation npJ a une valeur finie alors que sp est infinie. Donc :

( )0nnn pXp = [2.23]

L'équation [2.21] est alors entièrement établie :

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

n

n

p

nn

p

n

B

Fnnn

LXxsh

LXxsh

TkVqppxp 1exp

00 [2.24]

Page 88: Du Cristal Au Bipolaire

96 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

Le même calcul peut être fait dans la région P. Les expressions [2.15] et [2.16] permettent d'écrire la condition limite en x = -xp :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡=−

TkqVn

TkqV

Nnxn

B

Fp

B

F

A

ipp expexp)(

0

2 [2.25]

L'hypothèse d'un contact parfaitement recombinant en x = -Xp revient à écrire :

( )0ppp nXn =− [2.26]

On trouve alors :

( )

⎟⎟

⎜⎜

⎛ +−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

p

n

n

pp

p

p

B

Fppp

LXx

sh

LXx

sh

TkVqnnxn 1exp

00 [2.27]

Calculons, à présent, le courant de diffusion. On a côté N :

( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−=∂

∂−= 1

0 TkVqexp

LXxsh

LXxch

pLD

qx

pDqxJB

F

p

nn

p

n

np

pnpp

n

n

n

n

nn [2.28]

et côté P :

( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟

⎜⎜

⎛ +−

⎟⎟

⎜⎜

⎛ +

−=∂

∂= 1

0 TkVqexp

LXx

sh

LXx

ch

nL

Dq

xn

DqxJB

F

n

pp

n

p

pn

npnn

p

p

p

p

pp [2.29]

On doit avoir conservation du courant total : JD = Jp(x) + Jn(x).

Si l'on néglige les phénomènes de génération-recombinaison dans la ZCE, on peut écrire :

Page 89: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 97

( ) ( )nppp xJxJnp

=− et ( ) ( )nnpn xJxJnp

=− . [2.30]

On a donc :

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=+−= 1exp)()(

TkqVJxJxJJ

B

FSnppnD np

[2.31]

avec :

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ +−+

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ −=

pp

p

nn

n

n

ppp

n

n

p

nnn

p

pS L

Xxn

L

Dq

LXxp

LD

qJ cothcoth00

[2.32]

Considérons le cas où les régions N et P sont longues, c'est-à-dire npn LX >>

et pnp LX >> . On remarque qu'on a alors :

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ −−−≈

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ −−−

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ −=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ −

n

nnn

p

nn

p

nn

p

nn

p

nn

LXx

LXx

LXx

LXx

sh

exp

expexp2

[2.33]

L'expression [2.24] devient donc :

( )

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ −−−

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ −−−

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

n

nn

p

nn

p

n

p

n

B

Fnnn

LXx

LXx

LXx

TkVqppxp

exp

expexp

1exp00

(ne pas simplifier trop rapidement au numérateur (cas x = Xn)). On a alors :

( )

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

nn p

nnn

p

nn

B

Fnnn

LXxXx

LXxx

TkVqppxp

exp2exp

1exp00

Page 90: Du Cristal Au Bipolaire

98 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

np

n

B

Fnnn L

xxTk

Vqppxp exp1exp00

[2.34]

De même, on peut écrire :

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ +−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ +−−−

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ +−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ +−

p

ppp

n

pp

n

pp

n

pp

n

pp

LXx

LXx

LXx

LXx

exp

expexpsh2

[2.35]

Ce qui permet de simplifier l'expression [2.27] de la façon suivante :

( ) ⎟⎟

⎜⎜

⎛ +

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

pn

p

B

Fppp L

xxTk

Vqnnxn exp1exp00

[2.36]

Les expressions [2.28], [2.29] et [2.32] deviennent alors :

( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟

⎜⎜

⎛ −−−= 1expexp

0 TkVq

Lxxp

LD

qxJB

F

p

nn

p

pp

nn

nn

[2.37]

( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟

⎜⎜

⎛ +−= 1expexp

0 TkVq

Lxx

nL

DqxJ

B

F

n

pp

n

nn

pp

pp

[2.38]

00 pn

nn

p

pS n

L

Dqp

LD

qJp

p

n

n += [2.39]

La Figure 2.8 représente les variations des courants pnJ et

npJ le long du

dispositif.

Page 91: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 99

J JD

nnJ

npJ

ppJ

pnJ

-xp 0 xn x

Figure2.8. Variations des densités de courant d'électrons et de trous le long de la jonction.

Pour NA = 1018 cm-3, pnD = 12 cm2/s,

pnL = 110 µm, ND = 1015 cm-3,

npD = 10 cm2.s-1 et pnL = 550 µm, on a JS = 3 × 10-12 A.cm-2

Considérons le cas où les régions N et P sont courtes, c'est-à-dire npn LX <<

et pnp LX << . On peut alors écrire :

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

≈⎟⎟

⎜⎜

⎛ −−+

⎟⎟

⎜⎜

⎛ −=

⎟⎟

⎜⎜

⎛ −

⎟⎟

⎜⎜

⎛ −≈

⎟⎟

⎜⎜

⎛ −−−

⎟⎟

⎜⎜

⎛ −=

⎟⎟

⎜⎜

⎛ −

2expexp2

2expexp2

nnn

nnnn

p

nn

p

nn

p

nn

p

nn

p

nn

p

nn

p

nn

LXx

LXx

LXx

ch

LXx

LXx

LXx

LXx

sh

[2.40]

On obtient des expressions similaires du côté P. Les expressions [2.28], [2.29] et [2.32] deviennent alors :

( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 1exp

0 TkVqp

XD

qxJB

Fn

n

pp

nn

[2.41]

( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 1exp

0 TkVqn

X

DqxJ

B

Fp

p

nn

pp

[2.42]

Page 92: Du Cristal Au Bipolaire

100 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

00 pp

nn

n

pS n

X

Dqp

XD

qJ pn += [2.43]

Dans tous les cas on a un courant de diffusion de la forme suivante :

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛= 1exp

TkmVqJJ

B

FSD , avec m = 1 [2.44]

A partir de l'expression de JS [2.43], on peut remarquer qu'en cas d'une jonction fortement dissymétrique, le dopage le plus élevé n'intervient pas dans l'intensité du courant.

Pour calculer le courant de recombinaison en volume dans la ZCE IR, on fait appel au modèle de Shockley-Read-Hall (SRH), valable pour des semiconducteurs tels que le silicium, dans lesquels la recombinaison se fait indirectement par l'intermédiaire de centres profonds dans la bande interdite. Elle n'est pas applicable au cas du GaAs dans lequel la recombinaison directe bande à bande est prédominante. Si l'on admet que la recombinaison se fait principalement sur un seul type de centre, la vitesse nette de recombinaison (nombre de paires recombinées par seconde et par unité de volume), dans la ZCE, est donnée par :

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )xppxnn

nxpxnxGnp

iSRH +++

−−=

11

2

ττ [2.45]

Avec τp = τn = τ les durées de vie caractéristiques du centre principal, n1 et p1 les concentrations équivalentes du niveau de défaut ET qu'il introduit dans la bande interdite. Les densités n1 et p1 sont définies pour le cas où ET est proche de EF, c’est-à-dire :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

TkEENp

TkEENn

B

TVV

B

CTC

exp

exp

1

1 [2.46]

Ne connaissant pas, a priori, les lois de variations de n(x) et p(x), nous ne pouvons utiliser l'expression [2.45] qu'en introduisant des approximations :

– le niveau de défaut ET est très voisin du milieu de la bande interdite (ET = Ei) :

Page 93: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 101

n1 = p1 = ni [2.47]

– nFE et

pFE sont plats à la traversée de la barrière (hypothèse de quasi

équilibre) :

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

kTVqn

Tk

EEnxpxn F

iB

FFi

pn expexp 22 [2.48]

L'expression [2.45] devient alors :

( )

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

−=

Tk

EE

TkEE

n

TkqVn

xG

B

Fi

B

iFi

B

Fi

SRHpn expexp2

1exp2

τ

[2.49]

La vitesse GSRH est maximale lorsque p(x) = n(x), c'est-à-dire au point où le milieu de la bande interdite Ei se situe à équidistance de

nFE et pFE , soit

pour2

FFiiF

VqEEEE

pn=−=− . Sa valeur est alors :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

−=Tk

Vq

TkVq

TkVqn

GB

F

B

F

B

Fi

SRH 2exp

2n

2exp12

1expi

max ττ

[2.50]

Le courant de recombinaison s'obtient en intégrant GSRH(x) sur l'étendue de la ZCE :

( )∫−

=n

p

x

xSRHR dxxGAqI [2.51]

A est l'aire de la section droite de la diode. Soit ∆ l'épaisseur à l'intérieur de laquelle la recombinaison est significative, c'est-à-dire sur laquelle GSRH(x) varie très peu et peut être considéré comme égal à GSRH max. On peut alors écrire :

Page 94: Du Cristal Au Bipolaire

102 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈

TkVqnAqIB

FiR 2

exp2

∆τ

[2.52]

Ce courant est donc de la même forme que le courant de diffusion [2.44], mais avec m = 2. Il est alors intéressant de comparer IR au courant direct de diffusion ID :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+

=Tk

qVn

nL

Dp

L

D

II

B

F

i

pn

nn

p

p

R

D p

p

n

n

2exp

2

00

τ

[2.53]

Pour NA = 1018 cm-3, ND = 1015cm-3 et τ = 10-8 s, on a JS = 3 × 10-12 A.cm-2.

Un ordre de grandeur de ∆ peut être obtenu en évaluant l'épaisseur sur laquelle GSRH(x) varie de GSRH max/10 à GSRH max. On a sur ∆/2 une ddp δψ telle que :

qTk

Tkq B

B3,210exp =⇒=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛δψ

δψ. De plus, dans la ZCE, on a :

maxmax

16,42 Eq

TkE B=∆⇒=

∆ δψ [2.54]

Pour notre application numérique, Emax = 15 kV.cm-1, l'expression [2.54] donne : ∆ = 79 nm.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

×××××

=

−−−

TkqV

TkqV

II

B

F

B

F

R

D

2exp1074,4

2exp10.2

10.6,1101079103

6

819107

12

[2.55]

Donc ID = IR pour VF = 0,63 V.

Il est clair qu'à faible VF, on a ID << IR, et lorsque VF augmente, très rapidement ID devient supérieur à IR.

Enfin, notons que les régions de rencontre entre la ZCE et la surface du dispositif donnent lieu à un important courant de recombinaison en surface en régime de polarisation directe. La couche de silice (SiO2) contient une certaine quantité d'ions.

Page 95: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 103

Si la densité de ces charges est suffisante, elles induisent une zone déserte qui prolonge la ZCE en augmentant d'autant son aire de contact.

2.1.3.2.2. Régimes de forte injection

Lorsque la densité de courant de la diode dépasse un certain seuil, les concentrations des porteurs injectés dans les zones N et P deviennent comparables, voire supérieures, à la concentration des majoritaires. Les ZQN des régions N et P n'existent plus car il y apparaît une chute de potentiel. Ces chutes de tension sont associées à deux composantes du champ électrique :

– composante ohmique ER due à la chute de tension dans les ZQN ;

– composante ambipolaire Ed due à la charge d'espace des porteurs majoritaires excédentaires.

Le champ ohmique ER n'est important que dans la région où le courant des majoritaires a remplacé celui des minoritaires (par recombinaison), dans la zone la moins dopée, soit par exemple dès que n(x) = ND pour une diode P+N. Sa valeur est alors :

DnDn

nR Nq

JNq

JEµµ

≈= [2.56]

J étant la densité de courant total. La chute de tension correspondante ∆VC a alors pour expression, pour une diode dont la zone N a pour épaisseur Xn :

Dn

nX

DnC Nqµ

XJdxNqµ

JVn

∫ =<∆0

[2.57]

Sa valeur ne peut être négligeable que si la zone la plus faiblement dopée (ici N) est peu épaisse ou si le dopage est important (ND > 1016 cm-3). S'il ne peut en être ainsi (pour des raisons de tenue en tension inverse comme nous le verrons dans le collecteur d'un bipolaire), on est conduit à réaliser une zone N+ dont le rôle est d'injecter des majoritaires lorsque la diode est sous polarisation directe. On a alors à faire à une diode P+νN+. Toutes les diodes de puissance sont d'ailleurs de ce type.

Le champ ambipolaire Ed existe dans la zone où une forte injection de minoritaires entraîne un déséquilibre de la concentration de majoritaires. Par exemple, pour une diode P+N, dans la zone N, si p(x) > ND, des électrons affluent pour assurer la neutralité électrique, c'est-à-dire n(x) = p(x) > ND. Un champ

Page 96: Du Cristal Au Bipolaire

104 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

électrique Ed, dit ambipolaire, se crée pour maintenir en place l'excès de porteurs majoritaires (les électrons) (Figure 2.9) et donc annuler localement le courant de porteurs majoritaires. On en déduit ainsi la valeur de ce champ ambipolaire :

dxdp

pqTk

dxdn

nqTkE

dxdnqDEqnµJ BB

dndnn110 −=−=⇒=+= [2.58]

Le courant de minoritaires est alors donné par l'expression suivante :

dxdnqD

dxdpqDEqpµJ ppdpp 2−=−= [2.59]

ZCE

pP

nN

nPpN

(a)

pP

nN

nPpN

(b)

Ed

Figure 2.9. Profils des concentrations de trous et d'électrons dans l'hypothèse de zones N et P

courtes, a) en régime de faible injection, b) en régime de forte injection.

Le calcul de l'expression de Jp exige de connaître l'expression de n(x). Pour cela, on écrit l'équation de continuité dont la résolution nécessite la connaissance des conditions aux limites, sous condition de forte injection en x = xn.

Pour x = xn, on a ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

TkVqnxpxnB

Finn 2exp .

Pour x = Xn, on a ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=<<=

TkVq

nxnNXnB

FinDn 2

exp (forte injection).

Page 97: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 105

De la même façon que pour les expressions [2.41], dans le cas npn LX < , on

obtient finalement un courant de la forme :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

TkVqn

XD

qJB

Fi

n

pp 2

exp2 [2.60]

Le courant varie donc bien en ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Tk

Vq

B

F2

exp , et de plus la résistivité de la région

la moins dopée (ici N) ne joue plus aucun rôle en forte injection.

2.1.4. Jonction PN polarisée en inverse

2.1.4.1. Description phénoménologique

Une jonction est polarisée en inverse si la région P est polarisée négativement par rapport à la région N sous une tension VR < 0 (Reverse). Ceci correspond à l'application d'un champ électromoteur qui s'ajoute au champ électrostatique initial ; il empêche toute diffusion supplémentaire des majoritaires et augmente au contraire la tendance à la dérive.

En conséquence : – la ddp ΨD - VR entre les deux zones P et N augmente, ainsi donc que la largeur

de la ZCE ; – le courant dans le dispositif est dû à la « dérive » des porteurs minoritaires.

En maintenant l'hypothèse de complète désertion dans la ZCE, on peut utiliser la même expression pour WZCE que précédemment, en remplaçant ΨD par ΨD - VR :

( )RDAD

scZCE VΨ

NNqW −⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

112 ε [2.61]

2.1.4.2. Calcul du courant inverse

Nous allons, dans un premier temps, considérer la jonction PN polarisée sous faible tension inverse, en dehors du régime d'avalanche, et montrer qu'elle est traversée par un courant :

IR = IS + IG [2.62]

Page 98: Du Cristal Au Bipolaire

106 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

où IS est le courant de « saturation » dû à la génération thermique dans les ZQN et IG est le courant dû à la génération de porteurs dans la ZCE.

2.1.4.2.1. Génération et diffusion des porteurs dans les ZQN

Les conditions aux limites sont les mêmes que dans les diodes en direct. Les hypothèses (totale désertion dans la ZCE, quasi équilibre, faible injection) demeurent. Si l'on néglige la génération de porteurs libres dans la ZCE, les expressions [2.43] et [2.44] donnant le courant restent valables. En inverse, on a donc une densité de courant JI donnée par :

SB

RSI J

TkVqJJ −≈

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛= 1exp pour VR < 0 V [2.63]

JS étant donné par l'expression [2.43]. On a donc le courant de « saturation » : IS = -A JS, avec A l'aire de la section droite de la jonction.

2.1.4.2.2. Génération dans la ZCE

Cette composante fournit l'essentiel du courant inverse dans les matériaux à large bande interdite. Dans ces matériaux, la génération thermique s'effectue de façon indirecte par l'intermédiaire d'impuretés ou défauts introduisant des niveaux profonds dans la bande interdite du semiconducteur. Le processus est le suivant :

– un électron de la bande de valence est excité thermiquement sur le niveau ET introduit par l'impureté. Il laisse un trou libre dans la bande de valence. Ce trou est immédiatement « balayé » par le champ électrique intense qui règne dans la ZCE vers la région P ;

– l'électron piégé sur l'impureté est alors excité thermiquement dans la bande de conduction où le champ électrique le catapulte dans la région N.

Tout se passe comme si un porteur avait traversé la ZCE. La vitesse de génération des paires est donnée par l'expression SRH appliquée dans la ZCE, c'est-à-dire pour n = p = 0 :

τττ 2i

pn

i nnG =

+= [2.64]

avec τn = τp = τ.

Page 99: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 107

En supposant que les porteurs générés n'ont pas le temps de se recombiner dans la ZCE, le courant de génération est calculé à partir de l'équation de continuité

01=+

xdJd

qG G , qui, intégrée sur l'étendue de la ZCE donne :

ZCEi

G Wnq

Jτ2

−= [2.65]

Le sens positif du courant est pris de la région P vers la région N.

Pour NA = 1018 cm-3, ND = 1015 cm-3, τ = 1 µs et VR = -10 V, on a WZCE = 31 µm et on trouve finalement : JG = 2 µA.cm-2.

2.1.4.3. Claquage de la jonction

Le claquage de la jonction correspond à la brutale augmentation de son courant inverse lorsqu'on augmente la polarisation inverse au delà d'une tension dite de claquage. Le claquage n'est destructif que s'il conduit à un échauffement excessif du dispositif, c'est-à-dire lorsque le courant inverse n'est pas limité par le circuit extérieur. Dans les autres cas, le claquage est un phénomène réversible qui disparaît quand on ramène la tension inverse au dessous de la tension de claquage.

Deux phénomènes sont à l'origine du claquage d'une jonction : l'effet Zener et .l'ionisation par choc.

2.1.4.3.1. Effet Zener

Cet effet ne se produit que si le champ électrique dans la ZCE devient supérieur à 106 V.cm-1 (pour Si). Un tel champ électrique est capable de « briser » des liaisons de valence entre atomes de Si, libérant ainsi un électron et un trou qui participent à l'augmentation du courant inverse. Cette ionisation correspond au transfert d'un électron d'un état de la bande de valence dans un état de la bande de conduction de même énergie à travers la bande interdite par effet tunnel. Pour que ce transfert soit possible, il faut que les bandes soient très courbées. Une telle situation ne se rencontre que pour des jonctions dopées à plus de 1018 cm-3 de part et d'autre.

2.1.4.3.2. Ionisation par choc

La zone de charge d'espace d'une jonction en inverse est parcourue par quelques porteurs responsables du courant de « saturation ». Ces porteurs sont très fortement accélérés par le champ électrique qui règne dans la ZCE. Si ce champ est suffisamment élevé (> 105 V.cm-1) les porteurs acquièrent à la traversée de la ZCE

Page 100: Du Cristal Au Bipolaire

108 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

suffisamment d'énergie cinétique pour transférer à un électron engagé dans une liaison de valence une énergie d'ionisation capable de le faire « monter » dans la bande de conduction, créant ainsi une paire électron-trou. Les porteurs ainsi créés peuvent à leur tour être accélérés et ioniser d'autres atomes. Il y a donc multiplication des porteurs.

Deux paramètres caractérisent le phénomène d'ionisation par choc : – les coefficients d'ionisation αn(E) et αp(E) en cm-1 qui représentent le nombre

de paires créées par centimètre de parcours d'un électron ou d'un trou, et qui sont des fonctions croissantes du champ électrique (dans Si αn(E) = 103 cm-1 pour E = 2 × 105 V.cm-1) ;

– le coefficient de multiplication M qui représente le rapport du courant inverse de la jonction IR en présence de multiplication au courant inverse IR0 sans multiplication :

0R

RIIM = [2.66]

2.1.4.3.3. Calcul du coefficient de multiplication et de la tension d'avalanche

La détermination de la tension d'avalanche s'effectue en deux étapes : – détermination du coefficient d'ionisation α(E) ; – calcul du champ critique d'ionisation.

Dans le silicium, théorie et expérience concordent pour donner à αn(E) et αp(E) des expressions du type :

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∞=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−∞=

EB

E

EB

E

ppp

nnn

exp

exp

αα

αα [2.67]

Une théorie simplifiée ne considère qu'un coefficient, où pour E exprimé en V.cm-1 :

α = αn = αp = α0 E5 avec α0 = 1,65×10-24 [2.68]

Page 101: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 109

Lorsqu'une paire est créée dans la ZCE à la distance x d'un bord, l'électron parcourt WZCE - x et le trou x. Du point de vue du courant résultant, ce processus est équivalent à la traversée de WZCE par un électron.

Le courant IR (respectivement IR0) est équivalent au passage de n électrons (respectivement n0) dans la ZCE. Il y a donc n - n0 créations de paires électrons-trous dans la ZCE. Ces n - n0 ionisations peuvent à leur tour être considérées comme créées par le passage de n porteurs (par exemple électrons) parcourant WZCE.

Soit α dx le nombre de paires créées par un porteur qui parcourt dx. On a :

∫∫ =−⇒=−ZCEZCE WW

xdn

nxdnnn

0

0

00 1 αα [2.69]

Le facteur de multiplication M est tel que n = M n0, c'est-à-dire

∫−=

xdM

α1

1

L'avalanche se produit lorsque n → ∞, soit :

10

=∫critE

EdEdxd

α [2.70]

Ecrit est alors calculé à partir de cette équation. Il représente le champ critique minimum pour qu'il y ait avalanche.

Considérons par exemple une jonction P+N abrupte. La ZCE s'étend donc surtout

du côté N, on peut alors écrire ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 1max

ZCEWxExE avec

sc

ZCED

WNqEε

=max , d'où encore :

sc

D

ZCE

NqWE

xdEd

ε== max [2.71]

L'avalanche se produit pour :

Page 102: Du Cristal Au Bipolaire

110 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

∫∫ ==critcrit E

D

scE

EdNq

EdEdxd

00

1 αεα [2.72]

α étant donné par l'expression [2.68], l'expression [2.72] devient :

31

0

26

06

61 ⎥

⎤⎢⎣

⎡=⇒=

αεαε

sc

Dcrit

crit

D

sc qNEEqN

[2.73]

La tension du début d'avalanche VB (Breakdown) est donnée par

critcritB WEV21

= avec critD

sccrit E

qNW ε

= et donc :

22 crit

D

scB E

qNV ε

= [2.74]

L'expression [2.73] permet alors de calculer la tension d'avalanche :

32

1232

31

0

32

106,232

−−×=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= DD

scB NN

qV

αε [2.75]

Le seul paramètre que l'on puisse faire varier pour modifier VB est le dopage. La tension d'avalanche s'effondre si l'on augmente ND, comme illustré par les valeurs numériques données dans le tableau 2.1. suivant, puisque Ecrit n'augmente que lentement.

ND (cm-3) 1012 1015 1018

Ecrit (V.cm-1) 105 3 × 105 106

VB (V) 2,6 × 104 260 2,6

Tableau 2.1. Champ critique et tension d'avalanche dans une jonction P+N abrupte pour quelques valeurs de dopage de type N.

On verra que c'est pour cela que l'on sous-dope le collecteur des transistors bipolaires.

Le facteur de multiplication répond de façon empirique à :

Page 103: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 111

n

BVV

M

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

1

1 [2.76]

avec n = 2 pour Si dopé N et n = 4 pour Si dopé P.

2.1.5. Schémas équivalents de la jonction PN

Soit une diode PN polarisée sous V0 à laquelle on superpose une variation δV.

2.1.5.1. Capacités de transition

En direct comme en inverse, une variation de tension δV entraîne une variation δW de la largeur de la ZCE. Il en résulte une modification de la charge stockée. Cet effet capacitif est caractérisé par la capacité dite de jonction. La charge stockée Qj dans la ZCE est donnée par :

( ) ( )∫∫−

−==0

0 p

n

xA

x

DJ xdxNqxdxNqQ [2.77]

Pour une variation δxn, la charge d'espace est modifiée de δQj = qND(xn)δxn. Il

faut relier δxn à δV en appliquant le théorème de Gauss, soit nsc

D xNqE δε

δ = , et

donc :

ZCE

xx

xx

WEdxEVnn

pp

δδδδ

δ

≈= ∫+

+− )(

[2.78]

La capacité de jonction est alors déduite des expressions [2.77] et [2.78] :

ZCE

sc

ZCEnsc

DnD

V

jj WWxNq

xNqV

QC ε

δε

δ∂∂

===0

[2.79]

Pour εSi = 1,04 × 10-12 F.cm-1 et WZCE = 10 µm, on a : CJ = 1 nF.cm-2.

Page 104: Du Cristal Au Bipolaire

112 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

Cette capacité dépend, par l'intermédiaire de WZCE, de la polarisation de la diode. On réalise ainsi une capacité contrôlée par une tension (Varactor ou Varicap).

La réponse en fréquence de cette capacité est excellente puisqu'elle met en jeu un déplacement de porteurs majoritaires qui s'éloignent ou se rapprochent du plan de jonction. On montre que la « fréquence de coupure » est de l'ordre de l'inverse du

temps de relaxation diélectrique τD : s10 12−==σ

ετ scD avec σ la conductivité en

Ω-1.cm-1.

2.1.5.2. Capacités de diffusion

Lorsque la diode est en direct, les concentrations pn et np des minoritaires injectés au niveau des frontières de la ZCE sont modifiées. Globalement, la charge électrique est nulle mais il y a eu apport dans une même zone de δp trous et δn électrons, ce qui est équivalent à la circulation d'un courant capacitif véhiculant la charge q δp, appelé charge stockée.

Dans la zone N, on a ( )∫ −=n

n

X

xnnp dxppqQ

0, avec pour

npn LX >> ,

⎟⎟

⎜⎜

⎛ −−

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

np

n

B

Fnnn L

xxTk

Vqppp exp1exp00

. On obtient donc

( )npp

p

B

Fpnp xJ

D

L

TkVqLpqQ

n

nn

2

1exp0

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛= , c'est-à-dire finalement :

( )nppp xJQ τ= [2.80]

De même, on a du côté P :

)( pnnn xJQ −= τ [2.81]

La charge totale stockée est donc, si τn = τp = τ :

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛== 1exp

TkVqJJQB

FSDS ττ [2.82]

La capacité de diffusion est donc donnée par l'expression suivante :

Page 105: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 113

SB

DB

SD Q

TkqJ

Tkq

VdQdC === τ [2.83]

2.1.5.3. Conductance

En direct, on définit une conductance différentielle GD due aussi à la diffusion des porteurs majoritaires :

DB

DD J

Tkq

dVdJG == [2.84]

2.1.5.4. Schémas équivalents

En direct, le schéma équivalent d'une diode est constitué d'une capacité C = CJ + CD en parallèle avec une conductance GD.

En inverse le schéma équivalent d'une diode se réduit à la seule capacité CJ.

2.2. Le transistor bipolaire

Le transistor bipolaire est un dispositif à trois couches, de types différents, séparées par deux jonctions. Les trois couches sont appelées émetteur, base, collecteur. Suivant les types choisis pour ces couches, on peut construire deux sortes de transistor : NPN ou PNP.

La Figure 2.10 représente une coupe d'un transistor bipolaire intégré NPN, ainsi que les profils simplifiés de dopage (uniformes et abrupts). La zone N+ qui sert de semelle au collecteur permet de rendre négligeable la résistance d'accès au collecteur. Dans toute cette partie, nous considérerons un transistor de type NPN et nous ferons, si nécessaire, les remarques particulières sur les transistors de type PNP.

Toutes les hypothèses seront repérées par les symboles **, elles correspondent à une description au « premier ordre » du fonctionnement du dispositif en régime statique.

Page 106: Du Cristal Au Bipolaire

114 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

B EC

Substrat P

N+N

N+

P+

P+ P+

N+

x

Dopage

NDE

E

NAB

x

NDC

NDSC

SubcollecteurB C

(a) (b)

Figure 2.10. a) Coupe d'un transistor bipolaire intégré et b) profils simplifiés de dopage le

long de la zone active suivant une coupe sous l'émetteur.

2.2.1. Effet transistor (en mode normal direct)

Le but est d'injecter des électrons de l'émetteur (qui émet !) vers le collecteur (qui collecte !) en commandant ce flux par l'électrode de base.

– injection : la première jonction à franchir pour les électrons, majoritaires dans la zone N, est la jonction émetteur-base (N-P). Il faut donc favoriser la diffusion des majoritaires et donc polariser la jonction émetteur-base en direct. La tension VBE module la hauteur de la barrière de potentiel de la jonction émetteur-base et donc le flux de courant ;

– transport dans la base : une fois dans la base, les électrons sont minoritaires, ils risquent donc de se recombiner. Afin de minimiser ce risque, on réalise une base de longueur WB petite devant la longueur de diffusion des électrons dans la base : LnB.

– collection : pour que les électrons, présents en fin de base, puissent être récoltés au collecteur, il faut favoriser le passage des minoritaires c'est-à-dire polariser la jonction base-collecteur en inverse. Les électrons sont alors happés par le fort champ électrique qui règne dans la ZCE base-collecteur et catapultés dans le collecteur, où ils se retrouvent majoritaires.

Ainsi une grande partie du courant d'électrons injectés au niveau de l'émetteur se retrouve dans le collecteur : c'est l'effet transistor.

Page 107: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 115

2.2.2. Bilan des courants et calcul des gains

2.2.2.1. Bilan des courants

Reprenons plus en détails ces trois étapes, en faisant le bilan de la distribution des courants circulant dans un transistor bipolaire NPN, représentée sur la Figure 2.11 :

VBE VBC

E (N+) B (P+) C (N)

InE

IpE

Inc = B0InE MInC

IE

IB

IC

ZCE

IpE IBR

(M - 1) InC

ICB0

Figure 2.11. Bilan des courants dans un transistor bipolaire

– injection : la diffusion des majoritaires à la jonction émetteur-base donne lieu, au niveau de l'émetteur, aux courants suivants :

- EnI : courant dû à la diffusion des électrons de l'émetteur vers la base,

- EpI : courant dû à la diffusion des trous de la base vers l'émetteur.

On a donc:

EE pnE III += [2.85]

Les trous injectés de la base (B) vers l'émetteur (E) ne participent pas à l'effet transistor et il convient donc de minimiser cette injection en favorisant celle des électrons de l'émetteur vers la base. Pour cela, l'émetteur sera plus dopé que la base. Cette première étape d'injection est caractérisée par l'efficacité d'injection γ définie par l'expression suivante :

EE

E

pn

n

JJ

J

+=γ [2.86]

Page 108: Du Cristal Au Bipolaire

116 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

– transport dans la base : la recombinaison dans la base est représentée par le facteur de transport B0, défini comme le rapport de la densité de courant d'électrons récupérés en fin de base

CnJ sur la densité de courant d'électrons injectés dans la

base EnJ , c'est-à-dire par :

E

C

n

n

J

JB =0 [2.87]

– collection : si la jonction base-collecteur est suffisamment polarisée en inverse, le courant d'électrons va subir une multiplication à la traversée de la ZCE de cette jonction où règne un fort champ électrique. Ce coefficient de multiplication M est défini par :

Cn

CJJ

M = [2.88]

Le courant collecteur est donc constitué par : - un courant d'électrons collectés dans la base et multipliés dans la ZCE B-C :

EnIBM 0 , - un courant d'électrons représentant la fuite de la jonction B-C :

0CBI .

00 CBnC IIBMIE

+= [2.89]

Le courant base est plus complexe, il est constitué de quatre courants de trous : - un courant de trous injectés de B vers E :

EpI (sens entrant), - un courant de recombinaison BRI dû à l'apport nécessaire de trous dans la

base (injectés par l'électrode de base) pour compenser la consommation de trous par la recombinaison (neutralité électrique) : ( )

EnBR IBI 01−= (sens entrant), - un courant de trous dû aux trous créés par multiplication dans la ZCE B-C

et catapultés dans la base par le fort champ électrique. Ces trous sont collectés par l'électrode de base et donnent le courant : ( )

EnIBM 01− (sens sortant), - un courant de trous dû à la fuite de la jonction B-C :

0CBI (sens sortant). On a finalement un courant base de la forme :

( ) ( )000 11 CBnnEpEB IIBMIBII

E−−−−+= [2.90]

On a donc, en mode de fonctionnement normal direct, la relation entre les courants :

IE = IB + IC [2.91]

Page 109: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 117

Ce bilan permet de mettre en évidence l'intérêt de l'effet transistor : lorsque l'effet transistor se manifeste, une partie du courant d'émetteur se retrouve dans le collecteur. Or, l'injection du courant d'émetteur ne nécessite qu'une très faible tension de polarisation VBE (variation exponentielle). Le contrôle de cette injection assure le contrôle du courant collecteur qui, lui, circule sous la tension VCB, beaucoup plus élevée. Le gain de l'opération se traduit au niveau de la puissance par :

EBE

CCBP IV

IVA = [2.92]

Ces composants sont donc intéressants pour les circuits amplificateurs, dans le cas où le courant IC reste voisin de IE.

2.2.2.2. Calcul des gains

Toutes les définitions données dans ce chapitre supposent que les jonctions EB et BC sont de même surface : c'est ** l'hypothèse du transistor filamentaire.

Le gain en courant dans le montage base commune s'exprime par :

E

n

n

n

n

C

E

C

E

CJ

J

J

J

JJ

JJ

II

a E

E

C

C

=== [2.93]

C'est-à-dire :

a = γ B0 M [2.94]

Le gain en courant dans le montage émetteur commun s'exprime par :

aa

III

II

bCE

C

B

C−

=−

==1

[2.95]

2.2.3. Différents régimes de fonctionnement

Nous avons jusqu'à présent envisagé le régime de fonctionnement normal direct pour lequel la jonction EB est en direct et celle BC en inverse. Dans le tableau 2.2 sont définis les trois autres régimes de fonctionnement : normal inversé, saturé, et bloqué.

Page 110: Du Cristal Au Bipolaire

118 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

Régime Jonction EB Jonction BC

Normal direct Direct Inverse

Normal inversé Inverse Direct Saturé Direct Direct Bloqué Inverse Inverse

Tableau 2.2. Récapitulatif des différents régimes de fonctionnement d'un transistor bipolaire, avec le type de polarisation des deux jonctions PN.

2.2.3.1. Régime normal direct: VBE > 0 et VBC < 0 (pour un transistor NPN)

Dans un premier temps, l'étude du transistor bipolaire sera faite avec les ** hypothèses suivantes :

– géométrie unidimensionnelle ; – base uniformément dopée ; – jonctions abruptes ; – hypothèse de totale désertion dans les ZCE ; – hypothèses de quasi équilibre et de faible injection.

Les épaisseurs de l'émetteur, de la base et du collecteur sont notées respectivement WE, WB et WC.

2.2.3.1.1. Distribution des charges et des courants en régime permanent

Les densités de courant d'électrons et de trous constituant le courant d'émetteur sont essentiellement des courants de diffusion :

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−=

=

xxp

DqJ

xxn

DqJ

Epp

Bnn

EE

EE

∂∂∂

[2.96]

Pour les calculer, il faut tout d'abord déterminer les profils de concentrations des minoritaires dans la base nB(x) et dans l'émetteur pE(x). Nous allons détailler le calcul de nB(x) et

EnJ ; on obtiendra alors pE(x) et EpJ par identification.

Dans la base, les variations de la densité d'électrons nB(x) sont données par l'équation de continuité :

Page 111: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 119

( )x

Jq

UGt

xn nEB∂

∂∂

∂ 1+−= [2.97]

En régime permanent ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 0

txnB

∂∂

et en supposant une base courte devant la

longueur de diffusion des électrons dans la base (WB << LnB), soit en négligeant la recombinaison (G – U = 0), l'équation de continuité s'écrit en considérant l'équation [2.96] :

( )0

2

2=

x

xnB

∂ [2.98]

Les conditions aux limites dans la base sont : – en début de base, en considérant l'hypothèse de quasi équilibre :

( )AB

iB

BEBB N

nn

TkVq

nn2

00avecexp0 =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛= [2.99]

– en fin de base, si l'on suppose que l'on est à VBC = 0 V :

( )0BBB nWn = [2.100]

La concentration d'électrons dans la base est donc donnée par :

( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− 1exp1

00 TkVq

Wxnnxn BE

BBBB [2.101]

La densité de courant d'électrons à l'émetteur est déduite de l'équation (2.12), et donne l'expression :

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 1exp0

TkVq

Wn

DqJ BE

B

Bnn BE

[2.102]

Par identification, la densité de courant de trous à l'émetteur est donnée par l'expression :

EEE D

iE

BE

E

Epp N

np

TkVq

W

pDqJ

2

00 avec1exp =

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−= [2.103]

Page 112: Du Cristal Au Bipolaire

120 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

La densité de courant total d'émetteur est donc :

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛= 1exp

TkVqJJ BE

EE S [2.104]

avec :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

E

Ep

B

BnE W

pD

W

nDqJ

EBS00 [2.105]

2.2.3.1.2. Efficacité d'injection

Les expressions [2.102) et [2.103] permettent de calculer l'efficacité d'injection :

E

B

B

E

D

A

E

B

n

pF N

NWW

DD

=+

= δδ

γ avec1

1 [2.106]

Pour que γ soit aussi voisin que possible de 1, il faut que :

BE AD NN >> [2.107]

Mais avec une base peu dopée, la circulation des trous est pénalisée par une forte résistance d'accès qui pénalise notamment les performances en fréquence du transistor. Donc, dans le cas d'un transistor bipolaire homojonction, il y a un compromis à faire entre un bon gain en courant b et une faible résistance d'accès rbb'.

Si le matériau constituant l'émetteur a une largeur de bande interdite supérieure à celle du matériau de la base (cas des hétérojonctions), l'expression [2.107] devient :

E

B

B

E

B

E

D

A

E

B

n

p

i

i

NN

WW

DD

n

n2

2

=δ [2.108]

Or, puisque ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

kTE

NNn GVCi exp2 , nous avons maintenant

BE ii nn << . Par

conséquent, δ tend vers 0 sans aucune condition sur les dopages. On peut alors surdoper la base pour minimiser la résistance d'accès.

Page 113: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 121

Pour EDN = 1020 cm-3,

EpD = 2 cm2.s-1, WE = 0,1 µm, BAN = 1018 cm-3,

BnD = 6 cm2.s-1 et WB = 1 µm, on a γF = 0,968.

2.2.3.1.3. Transport dans la base

Pour déterminer l'exacte valeur de B0, il faut évaluer le nombre d'électrons qui se recombinent dans la base par seconde. Ce nombre est égal :

– d'une part, au nombre d'électrons en excès dans la base (BnQ : la charge

d'électrons en excès stockée dans la base, divisée par q) divisée par leur durée de vie τnB :

B

B

n

n

qQτ

; – d'autre part, à la différence des flux d'électrons entrant et sortant de la base :

q

JJCE nn −

.

De plus, la densité de courant EnJ est reliée au temps de transit tB des électrons

dans la base par la relation :

B

nn t

QJ B

E= [2.109]

On a donc :

BE

C

n

B

n

n tJ

JB

τ−== 10 [2.110]

Enfin, la détermination de BnQ permettrait de calculer tB. Or la charge en excès

stockée dans la base est définie comme ( )( )∫ −−=B

B

W

BBn dxnxnqQ0

0, soit l'aire du

triangle hachuré de la Figure 2.12, donc en utilisant la relation [2.108], B0 peut aussi s'exprimer par :

2

2

02

11BEB

B

n

B

nn

n

LW

JQ

B −=−=τ

[2.111]

Page 114: Du Cristal Au Bipolaire

122 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

ZCEBC

nB

nB0

0 WBx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kT

qVn BEB exp0

Figure 2.12. Profil de concentration des électrons dans la base d'un transistor bipolaire

On en déduit une expression du temps de transit tB :

Bn

BB D

Wt2

2= [2.112]

Avec tB = 10 ps, BnD = 25 cm2.s-1 et l'expression [2.112], on obtient

WB = 223 nm. Avec le même exemple que pour l'efficacité d'injection, on a enfin

Bnτ = 1 µs d'où B0 = 0,9992.

2.2.3.1.4. Gains en courants

En base commune, on a : E

CF I

IMBa == 0γ . Ceci permet d'écrire une relation

entre les courants qui sera utile pour la modélisation du transistor :

0CEFC IIaI += [2.113]

En émetteur commun, on a : F

FF a

ab

−=

1.

Avec les mêmes données que pour le calcul du coefficient d'injection, on a : aF = 0,967 et bF = 29.

Page 115: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 123

2.2.3.1.5. Facteur de multiplication

Nous exprimons le coefficient de multiplication par une relation empirique simple faisant intervenir la tension VBC et sa tension d'avalanche VBK :

3

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

BK

BCVV

M [2.114]

On a vu dans la partie précédente sur la jonction PN (section 2.1.4.3.3) qu'une bonne tenue en tension, c'est-à-dire une tension de claquage VBK élevée, exigeait un faible dopage collecteur.

2.2.3.2. Régime normal inversé VBE < 0 et VBC > 0 (pour un NPN)

Dans ce cas, tout est inversé, c'est-à-dire que le collecteur émet et l'émetteur collecte !

Au niveau des courants on a les relations suivantes :

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−++=

+=

nCBRpB

pnC

JMJJJ

JJJ

C

CC

1 [2.115]

Le coefficient d'injection est donné par :

C

B

B

C

D

A

C

B

n

pR

NN

WW

DD

+=

1

1γ [2.116]

On définit le gain en base commune : aR = C

EII

= γR B0 M.

On définit le gain en émetteur commun : RB

CR aI

Ib

−==

11 , ce qui permet

d'écrire une relation entre les courants qui sera utile pour la modélisation du transistor :

IE = aRIC - IE0 [2.117]

Page 116: Du Cristal Au Bipolaire

124 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

On rajoute à l'exemple de calcul numérique précédent les données du collecteur :

CDN = 1016 cm-3, CpD = 10 cm2.s-1, WC = 10 µm,

Epτ = 1 ns, Bnτ = 1 µs et

Cpτ = 50µs. On a alors : γR = 0,057, aR = 0,057 et bR = 1,06.

2.2.3.3. Régime saturé VBE > 0 et VBC > 0 (pour un NPN)

Au niveau des courants, si l'on considère M = 1, on a les relations suivantes :

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=

−+=

CCE

CEE

pnnC

npnE

JJJBJ

JBJJJ

0

0 [2.118]

Soit :

⎪⎪

⎪⎪

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1exp1exp

1exp1exp

TkVq

JTk

VqJaJ

TkVq

JaTk

VqJJ

BCSC

BESFC

BCSCR

BESE

E

E

[2.119]

On a alors pour le courant base :

( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=

1exp11exp1Tk

VqJa

TkVq

Ja

JJJ

BCSCR

BESEF

CEB

[2.120]

Sur la Figure 2.13(a), on a tracé le réseau de caractéristiques IC(VCE) à IB constant du transistor bipolaire. A une valeur

satCEV correspond un courant IB1. Si

on augmente IB, satCEV ne variant pas, IC ne change pas, donc les profils de

concentration d'électrons dans la base correspondant aux courants de base IB1, IB2, IB3 (Figure 2.13(b)) correspondent à un même courant IC pour un montage émetteur commun, bien que l'on ait différents degrés de saturation du transistor. Il est intéressant de connaître la valeur théorique

satCEV de la tension de saturation du transistor correspondant au couple (JC,JB). A partir des expressions de (JC,JB) on écrit les relations suivantes entre les concentrations d'électrons dans la base :

Page 117: Du Cristal Au Bipolaire

De la jonction PN au transistor bipolaire 125

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪

⎪⎪

−=+

=−

B

BnBBB

n

BCBBB

WqJ

nWn

DqWJ

nWn

B

B

τ20

0

[2.121]

nB

0 WB

x

S1

S3S2

VCE

IC

IB1

IB2

IB3

P

VCEsat

(b)(a)

Figure 2.13. a) Réseaux de caractéristiques IC (VCE) d'un transistor bipolaire et b) profils de concentration des électrons dans la base pour trois courants de base IB1, IB2 et IB3.

D'où :

( )

( )⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+−=

−=

B

Bn

n

BCB

B

Bn

n

BCBB

WqJ

DqWJ

n

WqJ

DqWJ

Wn

B

B

B

B

τ

τ

20

2 [2.122]

On peut alors calculer satCEV sous la forme :

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

+

=

B

C

nn

B

B

C

nn

B

CE

JJ

DW

JJ

DW

qTkV

BB

BBsat

τ

τ

12

1

12

1ln 2

2

[2.123]

Page 118: Du Cristal Au Bipolaire

126 Modélisation des transistors bipolaires intégrés

D'après l'expression [2.112] donnant le temps de transit tB, satCEV peut s'écrire :

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

+

=

B

C

n

B

B

C

n

B

CE

JJtJJt

qTkV

B

Bsat

τ

τ

1

1ln [2.124]

D'après cette formule, il suffirait d'augmenter JB pour diminuer satCEV et donc

atteindre le régime de saturation plus tard. Pour un transistor réel et non idéal ceci est à voir de plus près !