Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Discrete calculus, introduction
Tristan Roussillon
09/09/2013
[GP2010] Leo J. Grady and Jonathan R. Polimeni.Discrete calculus. Applied analysis on graphs for computational science.Springer, 2010.
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 1 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Motivations
données traitementsimages 2d, 3d filtrage
graphes pondérés clusteringmaillages manifold learning
nuages de points nd rankingmatching
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 2 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Motivations
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 2 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Motivations
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 2 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Motivations
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 2 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Motivations
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 2 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Motivations
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 2 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Objectif
On a une fonction φ, sur un domaine, dont on veut calculer lesvariations.
domaine : continu/discret, euclidien/variétéopérateurs : grad ∇, curl ∇×, div ∇., laplacien ∇2
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 3 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Outline
1 Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord
2 Opérateur de Hodge
3 Méthodes de minimisation d’énergie
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 4 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Dérivée directionnelle et dérivée extérieure
En calcul extérieur, la dérivée extérieure généralise la dérivéedirectionnelle, pour prendre en compte toutes les directions.
En un point x de R2, si le plan tangent en φ(x) est donné par lafonctionnelle linéaire dφ : R2 → R, telle quedφ(x) =< c, x >= c1x1 + c2x2, alors on a c = ∇φ(x).
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 5 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Remarques sur d
1. On note d l’opérateur de dérivée extérieur.2. Appliquer d à un champs de scalaires φ donne un champs
de vecteurs dφ (car en chaque point x, dφ(x) peut êtreassocié à ∇φ(x)).
3. En fait, appliquer d à un champs de scalaires associés à deséléments de dimension p donne un champs de scalairesassociés à des éléments de dimension p+ 1.
4. d est indépendant d’un système de coordonnées.
Tout ceci suggère la possibilité d’un calcul adapté aux complexescellulaires.
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 6 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Complexe cellulaire et p-cellules (p-vecteurs)
Complexe cellulaire de dimension n :ensemble de cellules orientées de dimension p, 0 ≤ p ≤ n.
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 7 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Matrices d’incidence
La structure d’un complexe cellulaire de dimension n estreprésenté par n− 1 matrices d’incidence. La p-matriced’incidence, notée NT
p , de dimension np−1 × np indique, à l’aidede 1, 0 et −1, quelles sont les (p− 1)-cellules incidentes auxp-cellules du complexe.On note aussi NT
1 = AT .
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 8 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
p-chaine (= p-domaine)
Une p-chaine est un ensemble de p-cellules. C’est l’équivalentd’un champs de p-vecteurs, c’est-à-dire un p-domaine.Vectoriellement, on note :
τp =
np∑i
aiσ̄i.
C’est un vecteur colonne de dimension np × 1.
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 9 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Opérateur de bord NTp
La matrice d’incidence est donc l’opérateur de bord :
τp−1 = NTp τp.
Remarque : NTp−1N
Tp = 0, c’est-à-dire que le bord d’un bord est 0.
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 10 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
p-cochaine (=p-forme)
Une p-cochaine est un ensemble de scalaires associés auxp-cellules d’une p-chaine. C’est l’équivalent d’un champs dep-formes (ou une p-forme).
cp =
np∑i
aiσ̃i.
C’est un vecteur colonne de dimension de dimension np × 1.
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 11 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Opérateur de cobord
D’après le Théorème de Stockes généralisé, l’opérateur dérivéeextérieure est adjoint à l’opérateur de bord :
< dw̃,S >=< w̃, ∂S > .
On connait par exemple :∫[a,b]
f ′(x)dx = f(b)− f(a).
Par conséquent, la transposée de l’opérateur de bord, Np, appelél’opérateur de cobord, est l’équivalent de l’opérateur dérivéeextérieure :
< Npcp−1, τp >=< cp−1, NT
p τp > .
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 12 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Outline
1 Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord
2 Opérateur de Hodge
3 Méthodes de minimisation d’énergie
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 13 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Ingrédient 1 : dualité
Un complexe cellulaire a un complexe cellulaire dual dans lequella structure d’incidence est préservée.La structure du complexe cellulaire dual est représenté par n− 1matrices d’incidence qui vérifient :
M(n−p+1) = NTp .
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 14 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Ingrédient 2 : métrique
Bijection entre p-chaines et p-cochaines quand on définit untenseur métrique, comme une matrice carrée diagonale Gp dedimension np × np :
cp = Gpτp, τp = G−1p cp.
Dans un domaine euclidien :
cp = τp, τp = cp.
De plus, le tenseur métrique du complexe dual vérifie :
Hn−p = Gp.
idée qu’une p-chaine peut s’interpréter comme une p-cochaine etinversement
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 15 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Opérateur de Hodge discret
L’opérateur discret distingue l’application de l’espace desp-cochaines vers l’espace des n− p-cochaines du complexe dualet l’application inverse :
c′n−p = G−1p cp, cp = Gpc′n−p.
Dans un domaine euclidien :
c′n−p = cp, cp = c′n−p.
idée que les calculs qu’on fait sur une p-cochaine ressemblentaux calculs qu’on fait sur la n− p-cochaine du complexe dual, carles p-cellules sont orthogonales aux n− p-cellules du complexedual.
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 16 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Opérateur de cobord dual
L’opérateur de cobord dual, l’équivalent de l’opérateurcodifférentiel, est défini par l’opérateur de cobord et l’opérateurde Hodge discret :
Hn−p+1Mn−p+1G−1p = Gp−1N
Tp G−1p .
Dans un domaine euclidien, on a NTp .
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 17 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Interprétation 2d
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 18 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Résumé
standard extérieur discret∇ d A
∇× ?d G−12 N2
∇. δ = ?d? Gp−1NTp G−1p
∇2 δd = ?d ? d Gp−1NTp G−1p Np
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 19 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Outline
1 Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord
2 Opérateur de Hodge
3 Méthodes de minimisation d’énergie
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 20 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Calcul discret et minimisation d’énergie
La démarche consiste à chercher une 0-cochaine x qui minimiseune énergie (intégrale avec des quantités différentielles).Trois modèles majeurs sont présentés :
1. le modèle de minimisation d’énergie basique (minimumtrivial).
2. le modèle de minimisation d’énergie étendu avec noeudsfantomes fixes pour ajouter un terme d’attache aux donnéesqui évite le minimum trivial.
3. le modèle de minimisation d’énergie non ciblé (minimumtrivial).
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 21 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Modèle de minimisation d’énergie basique
Soient x une 0-cochaine et A l’opérateur de cobord.
EBEM (x) = 1T (G−11 )q|Ax|p
Il y a le minimum trivial x = k. Trois types d’algorithmes existentpour s’approcher du minimum sans l’atteindre :
filtres (mode p = 0, médian p = 1, moyen p = 2, minimaxp =∞)descente de gradient possible pour p = 2 (voire pour p = 0).décomposition en valeurs propres (fourier sur un grapheshift-invariant) pour p = 2
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 22 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Différents paramètres pour p et q
p,q 0 1 2 ∞1 seeds max-flow/min-cut watershed2 l2-norm Voronoï random walker power watershed∞ l1-norm Voronoï shortest paths power watershed
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 23 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Modèle de minimisation d’énergie non ciblé
EUBEM (x) = 1T (G−11 )|Ax|p − λ1T (G−10 )|x|q
Quand p = 2, q = 2 et G−10 , x est un vecteur propre de L. Unesolution triviale est x = k. Mais le vecteur associé à la deuxièmeplus petite valeur propre (Fiedler vector) mène à uneminimisation dans l’espace orthogonal à x = k. Seuiller le Fiedlervector (spectral clustering) partitionne l’ensemble des 0-cellulesen deux groupes connectés !
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 24 / 25
Gradient, dérivée extérieure et opérateur de cobord Opérateur de Hodge Méthodes de minimisation d’énergie
Courte conclusion
cadre théorique solide, général, partagé dans de nombreuxdomaines (graphes, images, électricité, physique).on peut manipuler un domaine pondéré ou non (illustré ici).on peut traiter aussi bien des 0-cellules que des p-cellules(non illustré ici).vision unifiée de nombreuses méthodes de filtrage etsegmentation d’images.
T. Roussillon séminaire équipe M2Disco 09/09/13 25 / 25
Top Related