CENTRE DES TECHNIQUES SPATIALES. CYCLE : INGENIEUR 3ème

ANNEE. EXAMEN N° 1 DE MATHEMATIQUES. DUREE : 1H30.

ARZEW, LE 24/11/2014 Exercice N°1 :

On cherche à évaluer l’intégrale : 1

0 10

n

n

xI dx

x

n

1- Calculer l’intégrale nI par récurrence.

2- Calculer à trois (03) décimales près les termes 0 1 2 3, , ,I I I I .

3- Montrer que : 110n nI I ,

4- Monter que : 1

10

10( 1)( 2)n nI I

n n

, et en déduire le remède en

inversant le coefficient d’amplification de l’erreur

Exercice N°2 :

Soit la fonction Er Er définie par 2

0

2x

tEr( x ) e dt

0x .

a) Encadrer Er par deux entiers consécutifs.

b) Calculer le développement de Taylor de la fonction xx e se limitant aux six (06)

premiers termes. c) En déduire le développement de Taylor de la fonction Er . d) Donner une approximation de Er (3) en calculant les 10 premiers termes de la série. En déduire que pour 3x on a un phénomène de compensation dans le calcul de la somme des premiers termes de la série. Exercice N°3 : On considère l’équation : ( ) ² 0f x x A ……… (1)

1- Montrer que la méthode de Newton appliquée à l’équation (1) et la méthode des approximation successives accélérée appliquée à la résolution de l’équation équivalente : ( )X f X X , conduisent au même algorithme :

1 0

1 n=0,1,....;

2n n

n

Ax x x

x

donné.

2- Monter que cette suite converge quadratiquement vers A

(L’ordre de convergence k d’une méthode est tel que : ( 1)'( ) "( ) .... ( ) 0k et

( )( ) 0k où est solution de

l’équation ( )x x ).

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