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Dept GEII IUT Bordeaux I
I- Généralités sur les oscillateurs (diaporama)- Conditions d'oscillation dans un système du deuxième ordre sans perte etavec perte
- Les oscillateurs en pratique ; conséquence sur la forme de l'oscillation- Importance du coefficient de surtension Q du réseau de réaction sur laprécision de la fréquence de l'oscillation
II- Les différents types d'oscillateursII- 1- Oscillateurs basses fréquencesII- 2- Oscillateurs hautes fréquences
a) Oscillateur Colpittsb) Oscillateur Hartleyc) Oscillateur Clapp et stabilité des oscillateursd) Oscillateur Clapp à fréquence variable
III- Oscillateurs à quartzIII- 1- Notions de piézo-électricitéIII- 2- Schéma électrique équivalent d'un quartzIII- 3- Ordre de grandeur des éléments du schéma équivalent d'un quartzIII- 4- Comportement en fréquence d'un quartzIII- 5- Oscillateur à résonance série du quartzIII- 6- Oscillateur à résonance parallèle du quartzIII- 7- Oscillateur travaillant en mode harmonique
IV- Oscillateurs à résistance négativeIV- 1- Stabilité ou instabilitéIV- 2- Fonctionnement d'un astable à diode tunnel
Annexe I : Application note 200-2 Hewlett Packard : Fundamentals of quartzoscillators
Annexe II : Use of the TMS320C5x Internal Osillator With External Crystals orCeramic Resonators, Application Report, Texas Instruments
II - Les différents types d'oscillateursII- 1- Remarque sur le calcul du gain de boucle
Avant de présenter les différents types d'oscillateurs, il est nécessaire de faire uneremarque sur le calcul du gain en boucle ouverte. En effet, bien souvent les quadripoles sontsupposés avoir une impédance de sortie nulle et une impédance d'entrée infinie. En pratique, cen'est pas le cas et il faut évidemment tenir compte des impédances d'entrée et de sortie.
Pour calculer le gain en boucle ouverte d'un système en réaction, on peut à priori ouvrirla boucle n'importe où. Cependant pour que le calcul ait un sens il faut prendre certainesprécautions, en particulier en ce qui concerne les impédances d'entrée.
Soit par exemple le système bouclé suivant :
A
β
(
(
ω
ω
)
)
ΜΜ ΝΝ
Fig. 1 Synoptique d'un système bouclé, où couper la boucle ?
Le gain de boucle G(ω) peut être obtenu en coupant la boucle en M ou N ou tout autrepoint à l'intérieur d'un des quadripôles. Prenons par exemple le cas où on coupe en M, onobtient donc le gain G(ω) en injectant un signal Ve à l'entrée de A et en mesurant le signal Vsen sortie de β, à condition de charger le quadripôle β par une impédance Ze égale àl'impédance d'entrée du quadripôle A.
Ze
A(
β(
ω
ω
)
)
Ve
Vs
ZeG(ω )=
V sV e
Fig. 2 Méthode de calcul du gain en boucle ouverte
Nous présentons ci-dessous divers types d'oscillateurs en commençant par lesoscillateurs basses fréquences utilisant comme réseau de réaction des cellules R-C. Ensuite
nous aborderons les oscillateurs hautes fréquences dont les réseaux de réaction sont constituéspar des selfs et condensateurs. Une discussion de la stabilité des oscillateurs nous conduirafinalement aux oscillateurs à quartz.
II - 2- Oscillateurs basses fréquencesLes oscillateurs basses fréquences sont constitués par un amplificateur (amplificateur
opérationnel ou transistor) sur lequel on effectue une réaction de la sortie sur l'entrée au moyende circuits RC.
Pour un amplificateur qui déphase de π on utilise trois cellules R-C en cascade, pour unamplificateur qui déphase 2π, le quadripôle de réaction est un pont de Wien.
a) Cas d'un amplificateur déphasant de πLe montage avec amplificateur opérationnel se présente sous la forme suivante :
R aR
C C/a
R 1
R2
+
a2 R
C/a2
MN_
Fig. 3 Oscillateur à trois cellules RC
L'amplificateur A(ω) de la Fig. 1 est constitué d'un amplificateur opérationnel monté eninverseur, son gain est égal à -R2/R1. Le réseau de réaction est constitué de trois cellules RCen cascade. Le gain de boucle G(ω) peut à priori être obtenu en coupant soit en M soit en N,une coupure en N conduit cependant à des calculs plus compliqués qu'une coupure en M, ceciparce que l'impédance vue à droite du point N est complexe. L'impédance d'entrée à droite dupoint M (Ze de la Fig. 1) est égale à R1, il faut donc pour calculer G(ω) ouvrir en M puismettre en parallèle sur le dernier condensateur de valeur C/a2 un résistance R1. Pour simplifier
les calculs, on choisit R1, C et le paramètre a tels que 1
(C / a )R
2 1ωosc
<< (avec ωosc la
pulsation de l'oscillateur) , dans ce cas le gain en boucle ouverte G(ω)=Vs/Ve est obtenu àpartir du schéma électrique de la Fig. 4.
On obtient :
G( )R
R
1
1 (32
a)( ) j (3
2
a
1
a) ( )
2
1
0
22
0 0
3
ωωω
ωω
ωω
= −− +
+ + + −
avec ω0RC=1 (1)
La fréquence d'oscillation est obtenue en écrivant que la partie imaginaire de G(ω)=0,ceci conduit à une pulsation d'oscillation ωosc :
ω ωosc 0 232
a
1
a= + + (2)
La condition G(ωosc)≥1 sur le gain conduit à :
R
R6
12
a
7
a
2
a2
12 3≥ + + +
(3)
R
R 1
2
+
_
VeVs
R aR
C C/a
a2R
C/a2e
V
VG(ω )=
s
Fig. 4 Schéma électrique utilisé pour le calcul du gain en boucle ouverte
La non linéarité fixant l'amplitude de l'oscillation est ici générée par l'amplificateuropérationnel. Pour contrôler l'amplitude de l'oscillation, on peut utiliser une varistance (VDRpour voltage dependent resistor), c'est un élément dont la résistance diminue à mesure que latension aux bornes augmente. Cet élément est placé en parallèle sur la résistance R2, ainsi le
gain de la partie amplificatrice devient −+
1
R
R R
R R1
2 VDR
2 VDR avec RVDR la valeur de la VDR. Le
gain diminue si l'amplitude du signal augmente. Le fait que l'amplitude soit stabilisée par unélément non-linéaire conduit inévitablement à une oscillation légèrement différente d'unesinusoïde pure, on peut qualifier la pureté de l'oscillation par son taux de distorsion.
b) Cas d'un amplificateur déphasant de 2πDans ce cas le réseau de réaction est constitué par un pont de "Wien" comme le montre
la Fig. 5 ci-dessous.L'amplificateur est constitué d'un amplificateur opérationnel monté en "non-inverseur"
de gain égal à (1+R2/R1). Le gain en boucle ouverte G(ω) peut encore être obtenu en coupantla boucle soit en M soit en N. Pour simplifier les calculs, il est préférable de couper au point M,car l'impédance à droite de M est pratiquement infinie (entrée V+ de l'amplificateuropérationnel).
_
+
N
M
R
R 1
2
R C
mR C/n
Fig. 5 Oscillateur à pont de "Wien"
Le gain de boucle ouverte G(ω) est donc obtenu en calculant le rapport Vs/Ve dans leschéma électrique de la Fig. 6. On obtient :
( )
G( ) 1R
R
1
1 m n j RCmn
RC
2
1
ωω
ω
= +
+ + + −
(4)
_
+
R
R1
2
mR
C/n
CR
V
V
e
s
G( )=VsVe
ω
Fig. 6 Schéma électrique utilisé pour le calcul du gain en boucle ouverte
La fréquence d'oscillation est obtenue en écrivant que la partie imaginaire de G(ω)=0,ceci conduit à une pulsation d'oscillation ωosc :
ωosc1
RC
n
m= (5)
La condition G(ωosc)≥1 sur le gain conduit à :
1R
R
1
(1 m n)2
1
+
+ +≥ 1 (6)
II -3 -Oscillateurs hautes fréquencesCes oscillateurs sont constitués d'un élément actif, un transistor bipolaire ou un FET et
d'un réseau de réaction accordé sur la fréquence d'oscillation. Le réseau de réaction utilise desselfs et condensateurs. Les selfs ne sont pas utilisées aux basses fréquences car leurencombrement est trop important.
Le réseau de réaction est en général une cellule en π, différents montages sont possiblessuivant l'agencement des selfs et condensateurs. Nous passons ainsi en revue les oscillateursColpitts, Hartley et Clapp.
a) Oscillateur ColpittsLe montage avec un transistor à effet de champ est le suivant :
C C C
C
R R
R
L
e
c
3
1 2
Vcc
FET
NM
4
Fig. 7 oscillateur Colpitts avec un FET
Dans ce montage les résistances R, Re et Rc participent à la polarisation du FET, C3 estun condensateur de liaison , C4 est un condensateur de découplage. Le réseau de réaction estconstitué de la self L et des deux condensateurs C1 et C2. Le schéma électrique aux variationsde la Fig. 8 permet de calculer le gain en boucle ouverte. Dans ce schéma on a supposé que leséléments du réseau de réaction, en particulier la self L, étaient sans perte. Nous reviendronssur ce point lors de l'étude de la stabilité des oscillateurs.
C C1 2
L
V Ve s
R
gmVe
eq'
Fig. 8 Schéma électrique pour le calcul du gain en boucle ouverte
La résistance Req correspond à Rc en parallèle avec la résistance de sortie du FET. Larésistance R est supposée très supérieure à l'impédance du condensateur C2. L'impédanced'entrée du FET est essentiellement capacitive, la capacité Ce d'entrée du FET est inclue dansC2
' =C2+Ce.Le gain G(ω)=Vs/Ve se met sous la forme suivante :
( ) ( )( )G( )g R
LC jR C C LC C
m eq
2' 2
eq 1 2'
1 2' 3
ωω ω ω
=−
− + + + −1 (7)
La fréquence d'oscillation est obtenue en écrivant que la partie imaginaire de G(ω)=0,ceci conduit à une pulsation d'oscillation ωosc :
ωosc1 2
'
1 2'
1
LC C
C C
=
+
(8)
La condition G(ωosc)≥1 sur le gain conduit à :
g R C
C1m eq 1
2'
≥ (9)
b) Oscillateur HartleyC'est un montage analogue à l'oscillateur Colpitts, il suffit de permuter le rôle des
inductances et capacités dans le réseau de réaction. On obtient donc le montage suivant :
C
C
R R
R
C
e
c
3
4
5
Vcc
FET
NM
L L
C
1 2
Fig. 9 oscillateur Hartley avec un FET
Le gain en boucle ouverte G(ω) se calcule à partir d'un schéma analogue à celuide la Fig. 18, on obtient :
G( )- g
C1
L
1
R
1
C
1
C1
L
j 11
L
1
C
1
C1
L
(10)
avec C la capacité d'entrée du FET.
m
e2 eq
e2
1e
2
e
ω
ωω ω ω
ωω ω ω
ω
=
−
+
−
+ − +−
Dans l'hypothèse où 1
CL
e2ωω>> , on obtient pour pulsation d'oscillation :
ωosc1 2
1
C(L L )≈
+(11)
La condition sur le gain conduit à :
g R L
L1
m eq 2
1≥ (12)
c) Oscillateur Clapp et stabilité des oscillateursLa dérive de la pulsation ωosc et de l'amplitude des oscillations en fonction du temps
dépend de l'évolution des éléments actifs (transistor, FET, ampli. op.) et passifs (R, L, C) ainsique de la charge.
-Le problème de la charge est résolu en intercalant entre l'oscillateur et la chargeutilisateur un étage séparateur d'impédance d'entrée indépendante de la charge de sortie.
-Le vieillissement des composants passifs et l'effet de la température conduisentà une modification de ωosc. L'utilisation de quartz compensés en température donne lesmeilleurs résultats.
-L'évolution des composants actifs peut être liée à la dérive de la tensiond'alimentation. Nous montrons ci-dessous que la dérive en fréquence sera d'autant moindre quela courbe de phase du réseau de réaction présentera une variation de phase très importante auvoisinage de la pulsation ωosc. L'oscillateur Clapp est ainsi une amélioration par rapport àl'oscillateur Colpitts, il ne permet pas cependant d'obtenir les performances des oscillateurs àquartz comme nous le verrons au paragraphe III.
Dans les calculs précédents nous avons supposé que la partie amplificatrice del'oscillateur déphasait de 180°, en conséquence il y a oscillation à la pulsation ωosc lorsque leréseau de réaction déphase également de 180°. Supposons maintenant que le déphasage de lapartie amplificatrice passe de 180° à 180°+δ, il s'ensuit que la pulsation d'oscillation va sedéplacer à ωosc
' telle que le déphasage du réseau de réaction soit maintenant égal à 180°-δ.
Pour que ωosc' reste voisin de ωosc il faut donc que la variation de phase du réseau de réaction
autour de ωosc soit la plus importante possible, ce qui s'exprime par la relation mathématiquesuivante :
d
osc
φω ωd
→ ∞ (13)
avec φ(ω) la phase du réseau de réaction.La Fig. 10 ci-dessous montre le cas de deux oscillateurs, un stable l'autre peu stable.
L'oscillateur A est plus stable que l'oscillateur B, en effet pour une même variation de phase δde l'amplificateur, la pulsation de l'oscillateur A passe de ωosc à ωosc
' alors que celle de
l'oscillateur B passe de ωosc à ωosc'' avec ω ω ω ωosc osc
'osc osc
''− << − .
amplificateur
réseau de réaction
oscil. Aoscil. B
δω
ω
ω
ω
'
''
phase du réseau de réaction
osc
osc
osc
180°
Fig. 10 Illustration de la stabilité d'un oscillateur
La stabilité d'un oscillateur est donc directement liée à la courbe de phase du réseau deréaction. Il est possible par exemple d'améliorer la stabilité d'un oscillateur de type Colpitts enmodifiant la branche horizontale de la cellule de réaction en ΠΠ. En effet si on remplace la self Lde la Fig. 7 par une self L1 en série avec un condensateur C on obtient une variation de lacourbe de phase beaucoup plus rapide autour de la pulsation ωosc. L'oscillateur ainsi réaliséporte le nom d'oscillateur Clapp, son schéma est donné en Fig. 11.
Pour trouver la pulsation d'oscillation ωosc il n'est pas nécessaire de refaire tous lescalculs, on peut utiliser les résultats de l'oscillateur Colpitts. En effet il y aura oscillation à ωosclorsque l'ensemble self L1 en série avec le condensateur C sera équivalent à la self L dumontage Colpitts, c'est à dire lorsque :
L LC
L = LC
osc 1 oscosc
1osc2
ω ωω ω
= − → −1 1
(14)
C C CR R
R
L
e
c
1 2
Vcc
FETM
1 C
N
3
Fig. 11 Oscillateur Clapp
Pour trouver ωosc, il suffit alors de remplacer L de la relation (8) par l'expression (14),on obtient finalement :
ωosc1 2
'
1 2'
eqL
1
C C
C C
1
C
1
C=
+
+
= = + +1 1 1 1 1
1 1 1 2L Cavec
C C Ceq' (15)
avec C2' =C2+Ce et Ce la capacité d'entrée du FET.
Pour illustrer l'avantage de l'oscillateur Clapp sur l'oscillateur Colpitts, nous avons tracésur les Fig. 12 et 13 les courbes de phase ϕ(Vs/Ve) des montages Clapp et Colpitts. Leséléments sont tels que la fréquence d'oscillation fosc est de 27.037MHz dans les deuxmontages. Dans les calculs l'amplificateur est représenté sous forme d'un générateur de tensionen série avec une résistance, on a donc les équivalences suivantes avec les éléments de la Fig.8; A0=-gmReq et Rs=Req. Les courbes de la Fig. 12 correspondent à un réseau de réaction sansperte alors que les courbes de la Fig. 13 incluent des pertes dans la self, les courbes de la Fig.
14 donnent le module du gain. On définit un facteur de qualité Q=Lωosc/r pour l'oscillateurColpitts et Q=L1ωosc/r pour l'oscillateur Clapp. On obtient respectivement :
oscillateur Colpitts sans perte : d
dfrd / Hz
27.037MHz
ϕ= −1 429 10 5. x
oscillateur Clapp sans perte : d
dfrd / Hz
27.037MHz
ϕ= −5 953 10 5. x
oscillateur Colpitts avec perte : d
dfrd / Hz
27.037MHz
ϕ= −3 928 10 6. x Q=78
oscillateur Clapp avec perte : d
dfrd / Hz
27.037MHz
ϕ= −1 629 10 5. x Q=338
Prenons le cas des oscillateurs avec perte, si la phase de l'amplificateur vient à varier deun degré pour une raison quelconque la fréquence variera de 4441Hz pour l'oscillateur Colpittsalors que pour l'oscillateur Clapp la variation sera seulement de 1070Hz.
Le calcul complet de la phase du gain de boucle permet d'obtenir la pente dϕ/df auvoisinage de ωosc, on obtient (voir TD Oscillateurs) :
d
df
R C
CR C
Qosc
s 12
eqs 1
2ϕ π
ωω≈
+
4
osc
(16)
Pour obtenir une grande stabilité il faut, pour des valeurs de C1, Rs et ωosc fixées :-diminuer Ceq-augmenter Q
tout en conservant la relation L Ceq osc12 1ω = , ceci conduit à rechercher pour la branche
horizontale de la cellule de réaction en ΠΠ, une faible capacité C et une forte valeur de L1 pourobtenir un coefficient de qualité Q élevé. Nous verrons qu'un quartz se caractériseprincipalement par sa très forte valeur de Q, dans ce cas la relation (16) se ramène à :
d
dfosc
ϕ
ω≈ 2
Q
fosc
L'intérêt du montage Clapp est double. Il permet :
1) d'obtenir une plus grande stabilité 2) de réaliser un oscillateur à fréquence variable.
d) Oscillateur Clapp à fréquence variablePour réaliser un tel oscillateur on modifie le montage de base de la Fig. 7 afin que l'une
des bornes du condensateur C soit à la masse.
R R
R
e
c
Vcc
FET
C
LC
C
C 3
1
2
1
N
M
Fig. 15 Oscillateur Clapp à fréquence variable
Le montage de la Fig. 15 est de type grille à la masse, le condensateur C3 est uncondensateur de découplage. Pour étudier le gain en boucle ouverte on peut par exemplecouper au point M, il faut alors mettre en parallèle sur le condensateur C2 l'impédance vue àgauche du point M, c'est à dire, d'après le schéma en boucle ouverte de la Fig. 16, Re//(1/gm) àla pulsation de résonance ωosc. Si 1/C2ωosc<< Re//(1/gm), les calculs sont très simples, en effetil est facile de voir que le gain en boucle ouverte Vs/Ve sera réel quand le circuit bouchon L1,C, C1 et C2 sera à la résonance, c'est à dire lorsqu'il présentera une impédance infinie. Ceci estobtenu pour la pulsation ωosc telle que :
1
01
jC1
jC
1
jL1
jC1 osc 2 osc1 osc
oscω ωω
ω+
++
= → ωosc1 2
1 2
L
1
C C
C C
1
C=
+
+
1
1
(17)
On remarque que ce résultat est analogue à celui de la relation (15).
R
g m
e
R cC
C
L
C
1
2
1
V1
V1
Ve Vs
Fig.16 Schéma simplifié pour l'étude du gain en boucle ouverte du montage de la Fig. 20
La condition sur le gain se ramène à :
V
Vg R
C
C Cs
em c
1
1 2oscω
=+
≥ 1 (18)
NB : Pour réaliser un oscillateur à fréquence variable on peut remplacer lecondensateur variable C par une diode varicap. On rappelle qu'une diode varicap est une diodepolarisée en inverse, la capacité Cdiode d'une telle diode varie comme l'inverse de la racinecarrée de la tension de polarisation Vpol :
C1
(V V )diode
pol bi
∝+
(19)
Vbi est le potentiel de diffusion de la diode (voir cours de physique des semiconducteurs).La polarisation de la diode nécessite quelques précautions pour ne pas perturber : 1) la
polarisation du FET, 2) la pulsation de résonance ωosc.
L
C 4
L
1
2 VpolD
C
C
1
2
Fig. 17 Circuit de polarisation d'une diode varicap
Le condensateur C4 est un condensateur de liaison, il évite la perturbation de lapolarisation du FET par la tension Vpol . Sa valeur est telle que :
1
C
1
C C C
4 osc diode osc4 diodeω ω
<< → >> (20)
La self L2 est une self de choc, elle évite la perturbation de la pulsation de résonanceωosc par la tension de polarisation Vpol. Sa valeur est telle que :
L1
C2 oscdiode osc
ωω
>> (21)
III- Oscillateurs à quartzPour obtenir une bonne stabilité nous avons vu qu'il fallait disposer d'une branche
horizontale du réseau de réaction en ΠΠ avec un fort coefficient de qualité Q, une forte valeurde L1 et une faible valeur de capacité. A cet effet on utilise un quartz qui est un résonateurpiézo-électrique. En tant qu'électroniciens nous avons besoin de connaître le schéma électriqueéquivalent d'un quartz. Avant de présenter ce schéma nous rappelons brièvement ce qu'est lapiézo-électricité.
III- 1- Notions de piézo-électricitéLa piézo-électricité est un phénomène propre à certains types de cristaux (le
quartz est le plus connu) anisotropes. La piézo-électricité a été mise en évidence par les frèresPierre et Jacques Curie en 1880. L'effet "direct" consiste en l'apparition de charges électriquesà la surface des électrodes lorsque le matériau piézo-électrique est soumis à des contraintesmécaniques.
Paux électrodes
matériau piézo-électrique
électrodes métalliquesplans de charges
contrainte mécanique
(isolant électronique)
Fig. 18 Mise en évidence de l'effet piézo-électrique "direct"
Lorsque le matériau piézo-électrique est soumis à une contrainte mécanique(compression, extension, cisaillement, ... ), il en résulte une déformation, celle-ci entraîne unepolarisation P à l'intérieur du matériau. Si les deux électrodes métalliques sont reliées par uncourt-circuit, il passe un courant I dans celui-ci lors de la variation de la contrainte et deuxplans de charges apparaîssent dans les électrodes métalliques aux interfaces électrode/matériau.
Le courant I est donné par :
IdQ
dt
d(S )
dtS
dD
dt avec D = E P P car E = 0 d'où I S
dP
dt 0= = = + = =
σε (22)
S est la surface des électrodes, D l'induction électrique et E le champ électrique. On rappelleque la polarisation P d'un élément de volume dv est égal au moment dipolaire p par unité devolume :
12
3
i
Ori
élément de volume dv
r r r rp Pdv avec p = rq et qi
ii i
i
= =∑ ∑ 0, P s'exprime en Cm-2
qi est une charge localisée au point i dans le volume dv, le point O peut être quelconque dansla mesure où la somme des charges est nulle, c'est à dire q 0i
i∑ = .
L'effet piézo-électrique "inverse" consiste en une modification des dimensions descristaux en présence d'un champ électrique, la tension de polarisation Vpol entraîne unepolarisation qui conduit à une modification des dimensions. Cette polarisation s'ajoute à lapolarisation classique due à la permittivité ε0εr du matériau. Les générateurs d'ultrasonsutilisent l'effet piézo-électrique inverse.
électrodes métalliques
matériau
piézo-électrique
VpolP
Fig. 19 Mise en évidence de l'effet piézo-électrique "inverse"
Explication de la piézo-électricité : Un cristal non polarisé peut être considéré commeun ensemble de particules chargées positives et négatives ( q 0i
i∑ = ) avec des centres de
gravité confondus. Lorsque le cristal est soumis à une contrainte mécanique (compression,extension, cisaillement, .. ), il y a modification des dimensions du cristal. Il n'apparaît pas pourautant une polarisation P de déformation. Seuls les cristaux ne présentant pas de centre desymétrie donneront naissance à une polarisation P. Pour illustrer ce concept nous montrons sur
la Fig. 20 ci-dessous le cas de deux ensembles de charges qi, l'exemple [a] contient un centrede symétrie alors que l'exemple [b] n'en contient pas.
En l'absence de contrainte les centres de gravité des charges + et - se trouvent en Cpour les cas [a] et [b].
En présence d'une contrainte de compression les centres de gravité des charges + et -sont encore confondus en C dans le cas [a], par contre dans le cas [b] les centres de gravitédes charges + et - sont distincts et sont respectivement situés en C+ et C-.
La contrainte ne fait pas apparaître de moment dipolaire dans le cas [a] alors qu'elle enfait apparaître dans le cas [b].
Dans la théorie de la piézo-électricité on introduit des coefficients piézo-électriques quirelient la polarisation aux contraintes mécaniques. Ces coefficients forment ce qu'on appelle untenseur, en effet la polarisation qui est un vecteur à trois composantes n'a pas forcément lamême direction que les contraintes. Dans l'exemple de la Fig. 20, on voit par exemple que lapolarisation se développe perpendiculairement à la direction de la contrainte de compression.La direction et l'amplitude de la polarisation P dépendront fortement des contraintesappliquées.
La piézo-électricité ne se manifeste donc que pour certaines classes de géométriecristalline, autrement dit pour certains types d'arrangements des atomes dans la maillecristalline. Le quartz par exemple, qui est une forme cristalline de la silice (SiO2), présente descoefficients piézo-électriques non nuls. Deux coefficients piézo-électriques sont nécessairespour qualifier le quartz.
C
C C C+ -
sans contrainte
contrainte de compression
[a] [b]
C
Fig. 20 Effet de l'arrangement des charges sur la piézo-électricité, une contrainte de compression fait apparaître une polarisation non nulle dans le cas [b].
L'arrangement simplifié des atomes dans le cas du quartz est représenté sur la Fig. 21,simplifié car O2
− est un groupement d'atomes. On définit trois axes, l'axe optique (z) passe par
les sommets des rombohèdres, l'axe mécanique (y) passe par le milieu des faces et l'axeélectrique (x) passe par le sommet, ces axes sont perpendiculaires à l'axe z. Il existe trois axes(x) et trois axes (y) déduits les uns des autres par une rotation de 120° autour de l'axe (z). Onremarque que la disposition des charges dans le plan R est analogue à celle du cas [b] de la Fig.20.
Les propriétés vibratoires d'une lamelle de quartz taillée dans un cristal orientédépendent fortement de l'orientation de cette lamelle par rapport aux axes x, y et z. On définitainsi différentes coupes suivant les applications recherchées. Ces coupes sont baptisées denoms conventionnels (X, Y, BT, AT, DT, CT, FT, etc ... ), voir la Fig. 6 de l'annexe I.Chacune d'elles est optimale dans une gamme de fréquences données, et à chacunecorrespondent des performances thermiques particulières.
Une lamelle de quartz piézo-électrique, de coupe et de dimensions particulières,possède un certain nombre de fréquences de résonance mécanique propres. Cette lamelle peutêtre excitée par une tension alternative appliquée à des électrodes déposées sur elle de manièrequ'une de ces résonances soit priviligiée.
Les principaux modes de vibration utilisés sont la flexion, l'élongation, le cisaillement desurface et d'épaisseur. Le mode de vibration est déterminé par la disposition et la forme desélectrodes métalliques (Au, Ag ou Al) déposées sous vide par évaporation à la surface de lalamelle.
A titre indicatif les quartz utilisés dans la gamme de 0.8MHz-30MHz travaillent encisaillement d'épaisseur et sur le mode fondamental, les coupes sont soit du type AT ou BT.Pour des fréquences plus élevées, jusqu'à 150MHz le quartz vibre sur un harmonique (trois,cinq, ... ).
S i+
O2-
S
S
S
S
i
i
i
i
+
+
+
+
O
O
O
O
O2
2
2
2
-
-
-
-
2-
S i+ axe optique
60°
axe électrique
axe mécanique
R
disposition des atomes dans le plan R
z
y
x
Fig. 21 Disposition simplifiée des atomes de Si et O dans une maille élémentaire de quartz
III- 2- Schéma électrique équivalent d'un quartzAvant d'étudier le cas d'un matériau piézo-électrique comme le quartz analysons le
comportement d'un matériau non piézo-électrique.
a) cas des cristaux non piézo-électriquesOn cherche à établir la relation entre le courant I et tension V appliquée aux bornes
d'une lamelle d'un cristal non piézo-électrique de permittivité relative εr, d'épaisseur d et desurface S. La relation courant-tension est obtenue à partir des équations ci-dessous :
( )
( )
IdQ
dt
d S
dtS
dD
dt avec D = E P, P = E et E =
V
d
d'où I =S
d
dV
dt en posant = (1 + ) on obtient finalement :
I = CdV
dt avec C =
S
d
0 0
0r
0 00 r
= = = +
+
σε ε χ
ε χε χ
ε ε
1(23)
Comme prévu la lamelle est équivalente à un simple condensateur de valeurC0=ε0εrS/d. Dans les équations précédentes, Q est la charge à la surface des électrodes et σ estla densité de charge, c'est à dire Q/S. D est l'induction électrique et P la polarisation reliée auchamp électrique par la susceptibilité χ. Ιci il s'agit d'une polarisation sans modification desdimensions du cristal, la polarisation résulte de la déformation des couches électroniquesexternes des atomes. Cette polarisation est toujours présente même dans les cristaux piézo-électriques, c'est elle qui est responsable de la permittivité, elle est introduite via lesconstantes χ ou εr.
b) Cas des cristaux piézo-électriquesPour trouver la relation entre courant et tension d'une lamelle piézo-électrique, il faut
rajouter, à la polarisation introduite par les constantes χ ou εr, la polarisation résultant de lamodification des dimensions. Cette polarisation met en jeu le déplacement d'atomes de naturedifférente (exemple Si et O dans le quartz), ces atomes sont couplés entre eux par des forcesde rappel, grosso modo on peut donc assimiler la matière à des masses et des ressorts, pourêtre complet il faut ajouter des forces de frottement pour exprimer qu'une partie de l'énergie estdissipée sous forme de chaleur. Une description quantitative exacte du problème est complexe,pour bien faire comprendre les paramètres pertinents du problème on va ramener celui-ci à uncas simple de polarisation induite par le déplacement d'un seul type d'atome de masse M.
Soit donc un ion de charge (+) et de masse M qui s'éloigne de la quantité x de son pointde repos sous l'action d'une tension de polarisation V, le fait que l'ion de charge (-) resteimmobile revient à supposer que sa masse est très supérieure à M.
++ -
avec tension appliquée
les centres de gravité des
charges + et - sont confondus
-
M ion immobile
les centres de gravité des
charges + et - sont différents
sans tension appliquée
x
d'où moment dipolaire p=qx
Fig. 22 Modèle simple pour l'obtention du schéma électrique équivalent du quartz
Dans le cas d'une lamelle piézo-électrique comprenant N moments dipolaires lapolarisation P devient :
P = E +Nqx
Sd 0ε χ
avec q la charge de l'ion, qx le moment dipolaire et Sd le volume de la lamelle, d'oùl'expression I du courant :
( ) ( )I
dQ
dtS
d
dtS
dD
dtS
d E P
dtS
d E E Nqx / Sd)
dt
S (1 )
d
dV
dt
Nq
d
dx
dt= i i (24)
0 0 0
01 2
= = = =+
=+ +
=+
+ +
σ ε ε ε χ
ε χ
(
Posons comme précédemment CS (1 )
d
S
d00 0 r=
+=
ε χ ε ε, c'est la capacité géométrique
de la lamelle, indépendamment de l'effet piézo-électrique.On peut d'ores et déjà mettre le schéma électrique de la lamelle de quartz sous forme
de deux branches en parallèle, une première branche équivalente à un condensateur C0 danslaquelle passe le courant i1, la deuxième branche d'impédance Zm est parcourue par le couranti2. Cette branche appelée impédance motionnelle représente l'effet piézo-électrique proprementdit.
I
i
i1
2
C 0
V
Zm
Fig. 23 Schéma électrique obtenu à partir des équations (24)
Etudions maintenant la contribution i2, c'est à dire celle provenant du terme en dx/dt,remarquons que dx/dt représente la vitesse de déplacement de l'ion de masse M. Pour obtenirdx/dt il faut résoudre l'équation cinématique de la masse M. Faisons le bilan des forcess'appliquant sur l'ion de masse M :
Md x
dtforces force électrique + forces mécaniques
2
2 = =∑ ∑
Md x
dtqE kx a
dx
dtq
V
d kx a
dx
dt
force force de force de
électrique rappel frottement
2
2 = − − = − −
↓ ↓ ↓ (25)
k est la raideur du "ressort" simulant la liaison entre les deux atomes, les forces de frottementsont directement proportionnelles à la vitesse (modèle classique), a est une constante.
En introduisant iNq
d
dx
dt2 = dans l'équation 25, on obtient :
Md
Nq
di
dt
kd
Nqi (u)du
ad
Nqi V
2
22
2
2 20
t2
2 2+ + =∫
en posant : LMd
Nq, C =
Nq
kd et r =
ad
Nq
2
2
2
2
2
2= , on obtient finalement l'équation suivante :
Ldi
dt
1
Ci (u)du ri V2
20
t
2+ + =∫ (26)
L'impédance Zm est donc équivalente à un circuit r, L, C en série. Le schéma électriqueéquivalent du quartz se met donc sous la forme suivante :
I
i
i1
2
C0
V
L C r
Fig. 24 Schéma électrique équivalent d'une lamelle de quartz
Remarque 1 : on peut vérifier par les équations aux dimensions l'homogénéité desrelations obtenues, sachant que M est en kg, k en Nm-1 et a en Nsm-1, on obtient bien L enVsA-1, C en AsV-1 et r en VA-1.
Remarque 2 : on vérifie bien que la pulsation de résonance propre électromécanique1
LC M / k=
1, résultat classique en mécanique.
Remarque 3 : La fréquence de résonance dépend légèrement de la température (voir §III et IV de l'annexe) par l'intermédiaire de la constante k, on peut minimiser cette dépendancelors de la fabrication en choisissant une coupe adéquate ou encore en thermostatant le montageoscillateur avec un module à effet Peltier par exemple.
III- 3- Ordre de grandeur des éléments du schéma équivalent d'un quartzA titre d'exemple nous donnons les valeurs de L, C, r et C0 d'un quartz dont la
fréquence de résonance parallèle (voir par la suite la définition de cette fréquence) est égale à27MHz.
L=3.486mH, C=10fF, r=30Ω et C0=3pF
On vérifie bien que 1
LC2π≈27MHz, comme attendu le coefficient de qualité est
élevé, on obtient QL
r= ≈
ω
2720000
MHz, par ailleurs on a C0<<C. En pratique le coefficient
de qualité est compris entre q.q.104 et 106 pour les meilleurs quartz.
NB : Dans la suite de l'exposé, les exemples numériques traités utilisent les valeurs deL, C, C0 et r données ci-dessus.
III- 4- Comportement en fréquence d'un quartzOn se propose maintenant d'étudier le comportement en fréquence du schéma
équivalent du quartz représenté à la Fig. 24. L'impédance complexe Z d'un quartz se met sousla forme suivante :
( )Z =(1- LC jrC
rCC j C C LCCZ jZ
2
02
0 03 r i
ω ωω ω ω ω
) +− + + −
= + (27)
Pour faire clairement apparaître le comportement en fréquence, étudions Z dans le casoù on néglige r, on obtient un comportement assez proche de la réalité, il vient :
( )Z =(1- LC
j C C LCC
j
C
2
0 03
0
s2
p2
ω
ω ω ω ωω ωω ω
)
+ −=
− −−
2 2
avec fLC
et f1
L
1
C
1
Cs p0
= = +
1
2
1
2π π , on en déduit : f f
C
Cp s0
= +
1
1 2/
(28)
La fréquence fs est appelée fréquence de résonance série, dans l'approximation r=0 c'estla fréquence de résonance électromécanique, pour cette fréquence Z=0.
La fréquence fp est appelée fréquence de résonance parallèle, pour cette fréquenceZ → ∞ .
D'après la relation (39) on a le comportement suivant :
f f le quartz a un comportement capacitif
f f < f le quartz a un comportement selfique
f f le quartz a un comportement capacitif
s
s p
p
< →< →
> →application numérique :
1) Calculs approchés avec r=0, on obtient :
fs=26 956 061.61Hz, fp=27 000 951.00Hz, fp-fs=44889.39Hz
L'allure de la partie imaginaire Zi est représentée ci-dessous, la partie réelle Zr est nulle.
26956061.61 27000951.00
Z i
fréquence (Hz)
CAPACITIF SELFIQUE CAPACITIF
Fig. 25 Allure de la partie imaginaire Zi pour r=0
2) Calculs complets avec r=30Ω, on obtient les allures suivantes pour Zi et Zr :
Z i
Z r
fréquence (Hz)26956072 27000246
27001615
( Ω )
( Ω )
fréquence (Hz)
30
62354
capacitif selfique capacitif f s f p
-66300
s
p
f '
f '
27000940
128682
27000951
Fig. 26 Allure des parties imaginaire Zi et réelle Zr pour r=30Ω
Nous donnons sur la Fig. 27 les allures des parties imaginaire et réelle ainsi que de laphase (arctg(Zi/Zr)) pour une large gamme de fréquences.
D'après les courbes des Fig. 26 et 27 on voit qu'au voisinage de fs le quartz secomporte grosso modo come un circuit résonnant série alors qu'autour de fp il se comportecomme un circuit résonnant parallèle.
III- 5- Oscillateur à résonance série du quartz Si on prend en compte la résistance r, l'impédance Zi passe par zéro non pas pour fs
mais pour une fréquence fs' légèrement supérieure à fs comme le montre la Fig. 26. Au
voisinage de fs ou (fs' ) la branche motionnelle présente une impédance (Zr≈r et Zi≈0) beaucoup
plus faible que l'impédance du condensateur C0 (r<<1/C0ωs), il s'ensuit que le quartz peut êtreassimilé à un circuit résonant série à très fort coefficient de qualité Q=Lωs/r>104, son schémaest donné ci-dessous :
I
i
i1
2
C0
V
L C rL C
V
I r
Fig. 28 Schéma électrique équivalent du quartz au voisinage de la fréquence de résonance série fs
Pour obtenir un oscillateur avec une très grande stabilité il suffit alors de remplacer lecircuit R, L1, C d'un oscillateur Clapp par un quartz et de faire travailler celui-ci au voisinagede la pulsation de résonance série ωs .
On choisit alors C1 et C2 tels que :
LCC C C Ceq osc
eqω2
1 21
1 1 1 1= = + + avec
et ωosc très légèrement supérieure à ωs (en fait ωs' ), en effet la branche horizontale doit être
équivalente à une self.D'un point de vue pratique le constructeur de quartz donne la valeur à laquelle le quartz
est prévu pour fonctionner, c'est à dire ωosc, et la valeur de la capacité dite de chargeC1C2/(C1+C2).
Compte tenu des valeurs de Q très élevées dans les quartz, on obtient des valeurs ded / dϕ f plus de 1000 fois supérieures à celles rencontrées dans les oscillateurs classiquesutilisant des composants discrets pour lesquels il est difficile d'avoir des Q>100.
Un rapide calcul à partir de la relation (16) et des valeurs mentionnés ci-dessus conduità une valeur :
d
dfrdsx
ϕ≈ − −1 4 10 3 1. avec Rs=20kΩ et C1=60pF (29)
a) Oscillateurs sinusoïdauxDans la plupart des oscillateurs le quartz est utilisé au voisinage de la résonance série,
un montage possible pour signaux sinusoïdaux est représenté sur la Fig. 29 ci-dessous, cemontage est équivalent à l'oscillateur Clapp de la Fig. 11.
A la fréquence d'oscillation fosc désirée, on doit vérifier :
LCC C C Ceq oscω2
1 2 41
1 1 1 1= = + + + avec
1
Ceq
La capacité Cc telle que : 1 1 1 1
1 2 4C C C Cc= + + est la valeur de la capacité de charge
imposée par le constructeur pour que le quartz travaille effectivement à ωosc.la capacité C4>>C (quartz) permet d'ajuster la fréquence de l'oscillateur à la valeur fosc.
C C CR R
R
e
c
1 2
Vcc
FET CQ
fréquence
fs fs'
fosc
Zi (Quartz)
3
4
Fig. 29 Oscillateur à quartz au voisinage de la résonance série et partie imaginaire Zi du quartz
.A titre indicatif nous donnons sur les Fig. 30 et 31, les courbes du module et de la
phase du gain en boucle ouverte correspondant au schéma de la Fig. 29.Le montage oscille à la fréquence fosc=26963564Hz et au voisinage de cette fréquence
on mesure d'après la courbe de la Fig. 35-b : d
df MHz
ϕ
26 963.≈1.4x10-3rds-1, une valeur
équivalente à 2Q
fosc=1.4x10-3rds-1. Une variation de phase de un degré entraîne une variation de
fréquence de seulement 12Hz.L'amplitude de l'oscillation "quasi-sinusoïdale" est fixée par les non-linéarités du FET,
voir en TD pour le calcul de cette amplitude.
b) Oscillateurs pour signaux numériquesUn montage oscillateur très utilisé en numérique est représenté sur la Fig. 32. Ce
montage est encore de type Clapp, mais l'amplificateur est ici un inverseur CMOS. Larésistance R (q.q. MΩ) assure le point de fonctionnement statique en M (Vs=Ve=VDD/2, avecVDD la tension d'alimentation), c'est à dire dans la région linéaire où le gain est compris entre10 et 100, suivant le type d'inverseur.
En sortie de l'inverseur on obtient un signal (signal logique à deux états '0' et '1')décomposable en séries de Fourier, le réseau de réaction en ΠΠ ne transmet pratiquement que lefondamental, le signal Ve d'attaque de l'inverseur est donc quasi-sinusoïdal et d'amplitude telleque l'inverseur passe du niveau '0' au niveau '1'.
Le condensateur C3 permet d'ajuster la fréquence fosc à la valeur désirée, son rôle estidentique à C4 de la Fig. 29.
R
C1C 2
C 3Q
Vs
V e
droite Vs =Ve
a) b)
VDD
/2
VDD/2
M
DDVVsVe
CMOSinverseur
R
Fig. 32 Osillateur à quartz au voisinage de la résonance série et caractéristique de l'inverseur CMOS
Remarque : la résistance R du schéma de la Fig. 32 sert à limiter la puissancedissipée dans le quartz, sa valeur est de q.q. 10Ω. Si la puissance dissipée dans le quartz esttrop importante, celui-ci s'échauffe et la fréquence d'oscillation est modifiée. La courbe de laFig. 19 de l'annexe II montre la variation de fréquence en fonction de la température pour unquartz de coupe AT.
III- 6- Oscillateur à résonance parallèle du quartzAu voisinage de la fréquence fp le quartz est donc équivalent à un circuit Rp, Lp, Cp
parallèle, cherchons les valeurs de ces éléments en fonction des éléments L, C, r et C0 duquartz. Pour ce faire il faut repartir de l'équation (27) donnant l'expression de Z ou plutôt deson inverse, on obtient :
( )( )Y
rCC j C + C LCC
1- LC jrC0 0 0
2= =− + −
+1 2 3
Z
ω ω ω ω
ω ω
Au voisinage de fp on peut faire les approximations suivantes :
( )1 LCC
C
C
C et
C
CrC2
2
s2
p
s2
0 0 0p
− = − ≈ − = − −
= − >>ω
ωω
ω
ωω ω( ) ( )1 1 1 1
2
d'où :
( )Y
rCCC
C
1
j C
C C C
jLCC
C
C
1
R
1
jLjC
02
0 0 0
0
0
p pp≈
−
−+
+
+ = + +ω
ω
ω
ωω
ω1
2
3
avec RC
rCC
1
rC
LC
rCp
02
p2
02
s2
02
≈ ≈ =ω ω
( )LC
C C C
1
LCp0 0 p
202≈
+=
ω
CLCC
CC
L C
(C + Cp0 p
2
0
203
0≈ =
ω C
)(30)
On obtient donc le schéma équivalent suivant autour de fp :
I
i
i1
2
C0
V
L C r
L
C
V
I
Rp
p
p
Fig. 33 Schéma électrique équivalent du quartz au voisinage de la fréquence de résonance parallèle fp
Il est important de noter que contrairement à un circuit R, L, C parallèle classique lequartz ne passe pas le continu comme pourrait le laisser croire le schéma de la Fig. 33.
Le principe des oscillateurs utilisant un quartz travaillant à la résonance parallèle fp estdonné à la Fig. 34. Hors de la résonance fp du quartz l'impédance de celui-ci est faible et le gainen boucle ouverte est très inférieur à l'unité. Au voisinage de fp, l'impédance du quartz estélevée et est égale à Rp, le gain de boucle peut, suivant les valeurs du gain A et de la résistanceR, devenir ≥1, il y alors oscillation.
Rappelons que la fréquence fp dépend de la capacité géométrique C0 du quartz,fp=fs(1+C/C0)1/2, toute capacité mise en parallèle sur C0 modifie donc la fréquence derésonance parallèle, en particulier la capacité d'entrée de l'amplificateur A.
A
Q
R
Q
C
C R
1
2
Vcc(a) (b)
Fig. 34 (a)Montage de base d'un oscillateur à quartz travaillant au voisinage de la résonance parallèle et (b)montage utilisant un transistor
III - 7- Oscillateur travaillant en mode harmoniqueLes oscillateurs travaillant à des fréquences élevées (>20-30MHz) utilisent des quartz
prévus pour vibrer non pas sur la fréquence fondamentale mais sur l'harmonique trois ou cinq,ces quartz sont dits travailler en mode harmonique (overtone).
NB : En pratique, un quartz prévu pour travailler à fosc, sur l'harmonique trois parexemple, aura en fait une fréquence fondamentale légèrement différente de fosc/3.
L'utilisation des quartz en mode harmonique nécessite des montages particuliers évitanttout risque d'oscillation sur le fondamental, un montage type est donné ci-dessous à la Fig. 35.
C
C
QL
C1
2
Vcc
3
RR 12
Fig. 35 Montage oscillateur travaillant en mode harmonique
Si on remplace le quartz par un court circuit ce montage est analogue à celui de la Fig.15 et la fréquence d'oscillation est donnée par :
f1
2 LC C
C C
11 2
1 2
=
+π
qui est la fréquence de résonance propre du circuit L, C1 et C2.En présence du quartz, prévu pour travailler par exemple en mode harmonique trois, le
montage oscillera quand l'impédance de celui-ci sera pratiquement un court circuit, c'est à direà la fréquence fosc de l'harmonique trois mais également au voisinage de fosc/3. Pour empêcherl'oscillation à cette dernière fréquence on effectue une présélection par l'intermédiaire du circuitL, C1 et C2.
Le circuit L, C1 et C2 est calculé tel que sa fréquence de résonance f1 soit le plus prèspossible de fosc, à cette fréquence le gain de boucle G(ω) est élevé et la condition G( )ω ≥ 1 estréalisée.
A la fréquence fosc/3 le circuit L, C1 et C2 est très loin de sa résonance propre. Ils'ensuit que son impédance est très faible et que par conséquent la fraction de tension sur C2est pratiquement nulle ce qui conduit à un gain de boucle très inférieur à l'unité, empêchant dumême coup le risque d'une oscillation à la fréquence fosc/3.
La Fig. 36 montre deux oscillateurs utilisant un quartz travaillant en mode harmonique,dans chaque cas les deux circuits L4 et C4 ont une fréquence de résonance série égale à lafréquence fondamentale du quartz empêchant ainsi l'oscillation sur le fondamental.
R
C1C
C 3Q
DDVVsVe
CMOSinverseur
R
L
C2
4
4
Q
C
C R
1
2
Vcc
L
C
4
4
Fig. 36 Montages utilisant un quartz travaillant en mode harmonique
IV- Oscillateurs à résistance négativeIl est possible de réaliser des oscillateurs avec des dispositifs à résistance négative, c'est
le cas par exemple de la diode tunnel. La caractéristique I-V d'une diode tunnel est tracée engras sur la Fig. 37 ci-dessous. Nous rappelons qu'une diode tunnel est obtenue en juxtaposantdeux semiconducteurs N et P dégénérés, c'est à dire fortement dopés (≈1018cm-3). L'effettunnel ne peut s'expliquer que dans le cadre de la mécanique quantique, c'est à dire lorsque lemouvement des électrons est décrit par une fonction d'onde. Il autorise par exemple le passaged'un courant entre deux métaux séparés de q.q. nm.
I
VD
M
PQ
D1
I II IIII
V
V1
P '
N
RS
V2
2
Q '
Fig. 37 Caractéristique I-V d'une diode tunnel et droite de charge
La caractéristique I-V présente deux zones de résistances positives I et III et une zonede résistance négative dans la région II (dV/dI<0), la région III est équivalente à lacaractéristique d'une diode classique.
Nous allons montrer que le montage ci-dessous utilisant une diode tunnel conduitsuivant les valeurs de Vpol et R à un montage stable ou au contraire à un montage instable, c'està dire un oscillateur.
V
R LI
polV
Fig. 38 Montage oscillateur avec diode tunnel
IV- 1- Stabilité ou instabilitéA chaque instant t on peut écrire l'équation suivante :
V Ri LdI
dtV ou encore V RI V L
dI
dtpol pol= + + − − = (31)
la droite Vpol-RI-V=0 correspond à la droite de charge statique. L'intersection de cette droiteavec la caractéristique I-V de la diode tunnel définit en principe le point de repos. En fait deuxcas sont à considérer suivant que la droite de charge coupe la caractéristique I-V dans lesrégions de résistance positive ou dans la région de résistance négative. a) Cas où la droite de charge statique coupe la caractéristique I-V dans la région I ouIII
Ce cas est illustré par la droite de charge D1 sur la Fig. 37. Pour savoir si le point M quicorrespond à l'intersection de la droite de charge statique et de la caractéristique I-V est stableil suffit de créer une perturbation qui éloigne le point de fonctionnement de M, déplacement en
Q de coordonnées (I,V) par exemple, et de regarder si le point de fonctionnement revient bienen M après suppression de la perturbation. Si c'est le cas le montage est reputé stable.
Sur la Fig. 37 intéressons nous au segment PQ, il vaut :
PQ V V1= − (32)
Le point P appartient à la droite de charge statique, il vérifie la relation Vpol-RI-V1=0,d'où la nouvelle écriture de la relation (32) :
PQ V RI Vpol= − − (33)
La comparaison des équations (31) et (33) donne :
PQ LdI
dt= (34)
En conclusion, quand on fait passer le point de fonctionnement de M en Q, I diminue,la quantité PQ=LdI/dt est positive quant à elle, donc le courant croît et tend de nouveau versM, autrement dit le point de fonctionnement converge vers M.
Pour s'en convaincre il suffit de refaire le même raisonnement avec un point defonctionnement quittant M pour Q' (voir Fig. 37), I augmente, mais dans ce cas la quantitéP'Q'=LdI/dt est négative et le courant diminue, le point de fonctionnement retourne vers lepoint M.
b) Cas où la droite de charge statique coupe la caractéristique I-V dans la région IICe cas est illustré par la droite de charge D2 sur la Fig. 37 qui coupe la caractéristique
I-V en N. Procédons comme précédemment, éloignons le point de fonctionnement en R, lecourant diminue. Intéressons nous au segment SR=LdI/dt, cette fois la valeur de SR estnégative, il s'ensuit que le courant I diminue le point de fonctionnement ne converge donc pasvers le point N.
En conclusion, si la droite de charge statique coupe la caractéristique I-V dansune région de résistance négative il n'y a pas de point de fonctionnement stable.
Du fait de l'absence de point de fonctionnement stable, le montage constitue alors unastable dont on se propose maintenant d'étudier la forme des signaux.
IV- 2- Fonctionnement d'un astable à diode tunnelPour simplifier le raisonnement et les calculs on commence par linéariser par morceaux
la caractéristique I-V de la diode tunnel, voir Fig. 39 ci-dessous. Comme le point N n'est pasun point stable et que le point de fonctionnement à un instant t doit se trouver sur lacaractéristique I-V, le seul cycle autorisé est donc EABCE....
I
V
AB
CDE
N
O E 0V VE A V VC B
I CF
VF VD
I A
X
Y
Fig. 39 caractéristique linéarisée d'une diode tunnel et cycle de l'astable
Etudions les différentes étapes :1) étape EA, la diode est équivalente à une résistance r1, le circuit permettant de
déterminer V et I est donc le suivant :
V
R L
rpol 1 V
Fig. 40 Schéma équivalent lors de l'étape EA
Lors de cette étape la tension V évolue de VE à VA avec la constante de tempsτ1=L/(R+r1).
Arrivé au point A le courant ne peut diminuer pour emprunter le trajet AD, (voir laremarque précédente sur cette portion de courbe à résistance négative), le point defonctionnement saute en B. Il y a un saut de tension de VA à VB sans variation de courantcompte tenu de la self.
2)étape BC, la diode est équivalente à une résistance r2 en série avec une forceélectromotrice E0 , le circuit permettant de déterminer V et I est donc le suivant :
V
R L
rpol V2
E 0
Fig. 41 Schéma équivalent lors de l'étape BC
Lors de cette étape la tension V évolue de VB à VC avec la constante de tempsτ2=L/(R+r2)<τ1.
Au point C, la diode se comporte comme un générateur de courant de valeur Ic, latension V devrait passer instantanément de VC à VF, impossible car le point F n'est pas sur lacaractéristique de la diode, la tension passe donc instantanément de VC à VD. Arrivé au pointD, le courant ne peut augmenter pour emprunter le trajet DA, (voir la remarque précédente surcette portion de courbe à résistance négative), le point de fonctionnement saute en E. Il y adonc un saut de tension de VC à VE sans variation de courant compte tenu de la self. Le cyclecontinue ainsi indéfiniment.
Les graphes des tensions V et I sont représentés ci-dessous :
V
I
V
VV
VEA
B
t
t
I
I
A
C
τ τ
Τ Τ2
C
12
1
B
C
E AA
Fig. 42 Graphes de la tension et du courant d'un montage astable à diode tunnel
Un calcul rapide montre que les durées T1 et T2 valent respectivement :
T lnV V
V V et T ln
V V
V V 2 2
Y B
Y C1 1
X E
X A=
−−
=−−
τ τ (35)
Les tensions VX et VY sont données par les intersections de la droite de charge avec lacaractéristique de la diode dans les régions I et III.
Conclusion : Compte tenu du fait que les transitions AB et CE sont instantanées enthéorie (en pratique il y a un temps de transition ≠ 0), les astables à diode tunnel permettentd'atteindre des fréquences très élevées, de l'ordre du GHz.
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