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  • ALGE01 : Polynmes, fractions rationnelles Cours Octobre 2002

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    POLYNOMES, FRACTIONS RATIONNELLES

    Dans tout le chapitre, K dsigne soit lensemble R des rels, soit lensemble C des complexes.

    1 Polynmes.

    1.1 Gnralits

    On appelle monme toute expression de la forme kka X , o ka est un lment de K appel coefficient du monme, et X une variable indtermine.

    On appelle polynme une indtermine X sur K l'expression dfinie par

    1 21 2 1 0

    n nn nP( X ) a X a X ....... a X a X a , n N

    = + + + + +

    o 0 1 na ,a ,......,a sont des lments de K appels coefficients du polynme ( )P X , et X une variable indtermine. On utilise aussi la notation

    0

    nk

    kk

    P( X ) a X=

    =

    Lensemble de tous les polynmes coefficients dans K se note [ ]K X .

    Si 0P , on appelle degr de P , et on note ( )deg P ou encore dP, le plus grand entier naturel n tel que 0na . Le coefficient na est le coefficient du terme de plus haut degr. Une constante non nulle est un polynme de degr 0. Le polynme nul n'a pas de degr. Pour tout entier naturel n, lensemble des polynmes de degr infrieur ou gal n et coefficients dans K se note [ ]nK X .

    On appelle fonction polynme associe au polynme P lapplication

    ( )K Kx P x

    !

    On peut se permettre dassimiler un polynme sa fonction polynme, et ainsi par exemple driver un polynme. Nous le ferons dans ce chapitre.

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    On appelle racine ou zro dun polynme P toute valeur de x telle que ( ) 0P x = .

    Le trinme du second degr coefficients dans R. Cest un polynme de la forme ( ) 2T x ax bx c= + + avec ( ) 2*a,b,c R R . Le coefficient a est donc non nul do second degr et en gnral il y a trois termes do trinme . Rappelons les rsultats essentiels : on pose 2 4b ac = :

    Si 0 > alors il y a deux racines : 1 2bx

    a

    = et 2 2bx

    a +

    = : la somme

    des racines vaut bSa

    = et le produit cPa

    = .

    Si 0 = il y a une racine double 0 2bxa

    =

    Si 0 < alors on pose = et on a deux racines complexes conjugues :

    1 2b iz

    a

    = et 2 2b iz

    a +

    = .

    1.2 Structure de lensemble des polynmes

    La somme de deux polynmes, le produit de deux polynmes, et le produit dun polynme par un rel sont des polynmes. Plus prcisment :

    Soit [ ]K X lensemble des polynmes une indtermine, et pour tout entier naturel n, [ ]nK X lensemble des polynmes de degr infrieur ou gal n. Si P et Q appartiennent [ ]K X alors P Q+ appartient [ ]K X et pour tout

    [ ]R, P K X Si P et Q appartiennent [ ]nK X alors P Q+ appartient [ ]nK X et pour tout

    [ ]nR, P K X . On dit alors que [ ]K X et [ ]nK X sont des espaces vectoriels sur K. Cette notion sera tudie au chapitre suivant.

    ( ) ( ) ( )= + .deg PQ deg P deg Q ( ) ( ) ( )( )deg P Q max deg P ,deg Q+

    Donc la deuxime proprit ne serait pas vraie si la dfinition de [ ]nK X tait ensemble des polynmes de degr gal n .

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    En effet : si ( ) 2 1P x x x= + + et ( ) 2 2 1Q x x x= + alors ( ) ( ) 2P x Q x x+ = + et ( ) ( ) 4 3 23 2 1P x Q x x x x x= + , et on a bien ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 2 2deg P Q Max deg P ,deg Q Max ,+ = = = , ( ) ( ) ( )=4= + =2+2.deg PQ deg P deg Q

    Donc :

    Soit [ ]K X lensemble des polynmes une indtermine, et pour tout entier naturel n, [ ]nK X lensemble des polynmes de degr infrieur ou gal n. Si P et Q appartiennent [ ]K X alors PQ appartient [ ]K X Si P et Q appartiennent [ ]nK X alors PQ nappartient pas ncessairement

    [ ]nK X

    1.3 Division euclidienne ou division suivant les puissances dcroissantes.

    On dit que le polynme B divise le polynme A ( ou que A est divisible par B ) sil existe un polynme C tel que A BC= . Le polynme nul est divisible par tout polynme, mais il ne divise aucun polynme.

    Le polynme 1( )

    2P x x= divise le polynme ( ) 2 32 2

    2Q x x x= + car

    ( )2 3 12 2 2 32 2

    x x x x + = +

    .

    Etant donns deux polynmes A et B avec 0B , il existe un couple unique de polynmes ( )Q,R vrifiant : A BQ R= + et ( ) ( )( )ou 0deg R deg B R< = .

    Commenons par montrer lexistence. Si d A d B

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    Alors on appelle 2Q le quotient des monmes de plus haut degr de 1R et de B. On pose 2 1 2R R BQ= et on a 2 1d R d R > >" " " " qui se termine

    forcment par nR tel que nd R d B , la drive dordre h sannulera en a jusqu ce que

    1h k= . Ensuite on aura ( ) ( ) 0kP a . 2) Rciproquement, supposons le polynme de degr n. La formule de Taylor

    permet dcrire

    ( ) ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( )111

    k k nk k nP a P a P aP x x a x a ... x a

    k ! k ! n!

    ++= + + +

    + et on peut

    mettre ( )kx a en facteur dun polynme ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( )1

    1

    k k kn kP a P a P aQ x a ... x a

    k ! k ! k !

    += + + +

    + qui ne sannule pas en

    a puisque ( ) ( ) 0kP ak !

    . Donc a est une racine dordre k de P.

    ( )( )( )

    3

    2

    3 2

    3 3

    6

    P x x x

    P x x

    P x x

    = +

    =

    =

    On a ( ) ( )1 1 0P P= = mais ( )1 0P donc 1 est un zro dordre 2 de P.

    Un polynme P est divisible par un polynme Q si toutes les racines de Q sont aussi racines de P avec au moins le mme ordre de multiplicit.

    Le polynme ( ) ( ) ( )21 2Q x x x= + + divise le polynme ( ) ( ) ( )2 21 1 2P x x x= + + mais pas le polynme ( ) ( )( )32 1 2P x x x= + + .

    ALGE01E02A Soit le polynme ( ) 4 3 25 13 19 10P x x x x x= + + . Calculer ( )1P puis ( )2P . En dduire la factorisation du polynme dans [ ]R X puis [ ]C X .

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    1.5 Factorisation des polynmes coefficients rels.

    1.5.1 Thorme de DAlembert.

    Tout polynme de [ ]C X de degr 1n admet au moins une racine complexe. On en dduit :

    Tout polynme ( )P x coefficients complexes, de degr 0n > , admet exactement n racines complexes, chacune tant compte avec son ordre de multiplicit et s'crit

    ( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 1 2avecpn p pP x a x x x x .... x x .... n = + + + = . Les valeurs 1 2 px ,x ,....x sont des nombres complexes tous distincts.

    On a donc dcompos ( )P x en produit de polynmes irrductibles.

    ( ) ( )( ) ( )( )( )( )4 2 21 1 1 1 1P x x x x x x x i x i= = + = + +

    Ces deux thormes sont admis.

    1.5.2 Cas o les coefficients sont rels.

    Si un polynme ( )P x coefficients rels admet le nombre complexe z C R pour racine, alors le conjugu z de z est aussi racine, avec le mme ordre de multiplicit.

    Ecrivons ( ) 11 1 0...n nn nP x a x a x a x a= + + + + avec des coefficients 0 1, ,..., na a a rels. Comme z est racine de P :

    11 1 0... 0

    n nn na z a z a z a

    + + + + =

    Prenons le conjugu de chacun des membres de lgalit : 1

    1 1 0... 0 0n n

    n na z a z a z a

    + + + + = =

    Utilisons les proprits des conjugus : ( ), , nnz z z z zz zz z z + = + = = ainsi que a R a a = : il vient

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    ( ) ( ) 11 1 0... 0n nn na z a z a z a+ + + + = ce qui prouve que z est galement racine de P.

    Ce rsultat serait faux dans [ ]C X : par exemple le polynme

    ( ) ( )( )2 1 2 1 2x i x i x i x i+ + + = + a deux racines complexes absolument pas conjugues.

    Le polynme ( ) 2 2 5P x x x= + coefficients rels admet 1 2i+ et donc 1 2i comme racines simples (dordre 1). Il peut scrire sous la forme ( ) ( )( )2 2 5 1 2 1 2P x x x x i x i= + = + .

    On peut regrouper deux deux les racines complexes non relles de P. Tout polynme coefficients rels se factorise sous la forme ( ) ( ) ( ) ( )1 211 1 2 rk m m mnn k rP x ( x a ) ......( x a ) T x T x ...T x= o les iT sont des

    trinmes du second degr discriminant strictement ngatif. On en dduit aussi : Les polynmes irrductibles de [ ]C X sont de degr 1. Les polynmes irrductibles de [ ]R X sont de degr 1 ou des trinmes de

    degr 2 discriminant strictement ngatif.

    Tout polynme de degr impair coefficients rels admet au moins une racine dans R. En effet, la fonction polynme st continue, 2 1nx + tend vers + si x + et

    2 1nx + tend vers si x donc la fonction sannule au moins une fois.

    1.6 Division suivant les puissances croissantes.

    Etant donn un entier naturel h et deux polynmes ( )A x et ( )B x avec ( )0 0B , il existe un couple unique de polynmes ( ) ( )( )Q x ,R x vrifiant : ( ) ( ) ( ) ( )1hA x B x Q x x R x+= + et ( ) ( )( )ou 0deg Q h R x = . Le polynme ( )Q x est le quotient de la division de ( )A x par ( )B x suivant les puissances croissantes jusqu' l'ordre h et le polynme ( )R x le reste de la division de ( )A x par ( )B x suivant les puissances croissantes jusqu' l'ordre h.

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    Disposition pratique de lopration.

    Dterminons le quotient de la division du polynme suivant les puissances croissantes jusqu' l'ordre 2 du polynme ( ) 5 4 3 22 4A x x x x x= + + + + par ( ) 3 2B x x= + .

    2 3 4 54 2x x x x+ + + + 32 x+

    34 2x 22 x+

    2 3 4 52x x x x + +

    2 52x x

    3 4x x + Le quotient ( )Q x est alors donn par ( ) 2 2Q x x= + et le reste ( )R x par ( ) ( )3 1R x x x= . On a donc

    ( ) ( )( ) ( )5 4 3 2 3 2 32 4 2 2 1A x x x x x x x x x= + + + + = + + + .

    Cette division ne se termine jamais ! Cest pour cela quon indique jusqu lordre n et on sait alors que le reste est constitu de monmes de degr au moins 1n + .

    ALGE01E03A Effectuer la division suivant les puissances croissantes lordre 3 de ( ) 22 3 2A x x x= + par ( ) 2 31 2B x x x= + .

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    2 Fractions rationnelles

    2.1 Gnralits

    2.1.1 Dfinition

    Considrons deux polynmes P et Q ( 0Q )

    On appelle fraction rationnelle F le quotient de P par Q et on note PFQ

    = .

    On appelle fonction rationnelle ( )F x le quotient de la fonction polynme ( )P x par

    la fonction polynme ( )Q x et on note ( ) ( )( )P x

    F xQ x

    = .

    2.1.2 Ple d'une fraction rationnelle.

    Soit a un nombre rel ou complexe.

    On dit qu'un nombre a est un zro d'ordre k de ( ) ( )( )P x

    F xQ x

    = si et seulement si a est

    un zro d'ordre k de ( )P x et a n'est pas un zro de ( )Q x .

    On dit qu'un nombre a est un ple d'ordre k de ( ) ( )( )P x

    F xQ x

    = si et seulement si a est

    racine d'ordre k de ( )Q x .

    1) ( ) ( )2

    21

    1x

    F xx

    =+

    , 1 est zro dordre 2 ; la fraction admet i et i comme ples dans

    C, mais na pas de ples rels.

    2) ( )( )

    2

    21

    1xF xx

    +=

    , i et i sont des zros dans C, mais la fraction na pas de zros

    dans R ; 1 est ple dordre 2.

    3) La fraction rationnelle ( )2

    33xF x

    x

    = admet 3 et 3 comme zros (simples)

    et 0 comme ple dordre 3.

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    2.1.3 Partie entire d'une fraction rationnelle.

    Soit PFQ

    = . Effectuons la division euclidienne de P par Q : il existe un couple

    unique de polynmes ( )E,R tel que :

    ( ) ( )

    P QE Rdeg R deg Q= +

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    2.2 Dcomposition dune fraction rationnelle en lments simples de premire espce.

    On suppose que le dnominateur de la fraction rationnelle peut se factoriser sous la forme

    ( ) ( ) ( )1 21 2 pkk k px a x a .... x a o 1 2 pa ,a ,...a sont des nombres complexes distincts et 1 2 pk ,k ,...k des entiers naturels non nuls. On va soccuper sparment de chacun des ples 1 2 pa ,a ,...a .

    Considrons la fraction ( )( )

    2

    33

    1xF xx+

    =

    .

    On souhaite crire cette fraction comme une somme de fractions plus simples, de dnominateurs gaux des puissances de ( )1x avec des exposants 3 , et de numrateurs constants.

    ( )( ) ( )3 2 11 1

    A B CF xxx x

    = + +

    .

    Un thorme permet daffirmer lexistence, et lunicit, de cette dcomposition.

    Soit F une fraction rationnelle et a un ple de F dordre k, *k N . On appelle partie principale de la fraction rationnelle F relative au ple a d'ordre k, l'expression

    1 11

    k kk k

    A A A........ x a( x a ) ( x a )

    + + +

    o 1 2 kA ,A ,.....,A sont des constantes de K.

    Soit PF

    Q= une fraction rationnelle dont le dnominateur se factorise en

    ( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 pkk k pQ x x a x a .... x a= et telle que d P d Q < . Il existe une dcomposition unique de F sous la forme

    1 2 pF F F ... F= + + + avec pour chaque iF la formule

    ( ) 1 11k k

    i k kii i

    A A AF x ........ x a( x a ) ( x a )

    = + + +

    On dit que lon a dcompos F en lments simples de premire espce. Cette dcomposition est toujours possible dans C daprs le thorme de dAlembert.

    Admise.

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    Comment dterminer pratiquement la partie principale relative un ple ?

    Supposons que la fraction rationnelle ( ) ( )( )P x

    F xQ x

    = admette un ple a d'ordre k.

    ( )Q x est donc de la forme ( ) ( ) ( )1kQ x x a Q x= , ( )1 0Q a . Pour obtenir la partie principale relative au ple a, on pose h x a x a h= = + et on effectue la division suivant les puissances croissantes de ( )P x a par ( )1Q x a jusqu lordre 1k .

    ( )( )

    2

    33

    1xF xx+

    =

    Il y a un seul ple dordre 3 qui est 1a = . On pose 1 1h x x h= = + et on transforme la fraction :

    ( )2

    34 2h hF x

    h+ +

    =

    Ensuite on effectue la division de 24 2h h+ + par 3h suivant les puissances croissantes. On repasse ensuite la variable x :

    ( )( ) ( )

    2

    3 3 2 3 24 2 4 2 1 4 2 1

    11 1h hF x

    h xh h h x x+ +

    = = + + = + +

    Il existe une autre mthode trs sympathique : lidentification. On sait que la dcomposition sera de la forme

    ( )( ) ( )3 2 11 1

    a b cF xxx x

    = + +

    24 2h h+ + 3h

    -4 3 24 2 1h h h

    + + 22h h+

    2h

    2h

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    On rduit la somme des fractions au mme dnominateur et on identifie le nouveau numrateur avec 2 3x + pour dterminer a, b et c.

    Ici ( ) ( ) ( )( )

    ( ) ( )( ) ( )

    2 2 2

    3 3 3

    1 1 2 31 1 1

    a b x c x cx b c x a b c xF xx x x

    + + + + + += = =

    On en dduit 12 0

    3

    cb ca b c

    = = + =

    et finalement 4, 2, 1a b c= = = .

    ( )( ) ( ) ( )

    2

    3 3 23 4 2 1

    11 1 1xF x

    xx x x+

    = = + +

    2.3 Dcomposition dune fraction rationnelle en lments simples de seconde espce.

    Supposons maintenant que le polynme soit coefficients dans R, et que le dnominateur ne se factorise plus aussi simplement que

    ( ) ( ) ( )1 21 2 pkk k px a x a .... x a Il peut en effet apparatre des facteurs irrductibles du second degr, cest--dire des polynmes 2x px q+ + avec 2 4 0p q = < . On va dabord envisager le cas o il ny a que des facteurs du second degr au dnominateur.

    Soit F une fraction rationnelle dont le dnominateur se factorise en ( ) 12 21 1 mll m mQ x ( x p x q ) ....( x p x q )= + + + +

    Il existe une dcomposition unique de F sous la forme 1 2 mF G G ... G= + + +

    avec pour chaque iG la formule

    ( ) 1 1 1 12 2 1 2k k k k

    i k kA x B A x B A x BG x ........

    ( x px q ) ( x px q ) x px q

    + + +

    = + + ++ + + + + +

    On dit que lon a dcompos F en lments simples de deuxime espce.

    Admise.

    ( )( )

    4 3 2

    32

    2 2 4 3

    1

    x x xF xx

    + +=

    +

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    Ici la partie entire est nulle car le degr du numrateur est infrieur au degr du dnominateur. On sait daprs le thorme que la fraction va se dcomposer en

    ( )( ) ( ) ( )

    3 3 2 2 1 13 2 22 2 11 1

    A x B A x B A x BF xxx x

    + + += + +

    ++ +

    Pour dterminer les coefficients i iA ,B on effectue les divisions euclidiennes

    successives de ( )F x par 2 1x + .

    4 3 22 2 4 3x x x + + 2 1x + 4 22 2x x 22 2 2x x + 2 1x +

    22 2x 2 3 22 2 3x x + +

    22 2x x+ 2x

    22 2 3x x+ + 22 2x

    2 1x + La premire division euclidienne se traduit par

    ( )( ) ( )4 3 2 2 22 2 4 3 1 2 2 2 2 1x x x x x x x + + = + + + + Et comme ensuite ( )2 22 2 2 2 1 2x x x x + = + , en injectant cette galit dans la prcdente on obtient

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )24 3 2 2 2 2 22 2 4 3 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1x x x x x x x x x x x + + = + + + + = + + + + On divise prsent par ( )32 1x + :

    ( )( )

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    22 24 3 2

    3 3 2 2 32 2 2 2

    2 1 2 1 2 12 2 4 3 2 2 2 111 1 1 1

    x x x xx x x x xF xxx x x x

    + + + + + + += = = +

    ++ + + +

    Autre mthode possible On effectue la dcomposition en lments de premire espce sur C, puis on regroupe les termes conjugus pour revenir dans R.

    ( )( ) ( ) ( )

    3 3

    2 2 22

    2 2

    1

    x x x xF xx i x ix

    + += =

    ++

    On peut crire la dcomposition dans C sous la forme

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    ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2

    a b c dF xx i x ix i x i

    = + + + + +

    Pour obtenir la partie relative au ple i on pose h x i x i h= = + et on effectue la division suivant les puissances croissantes lordre 2 de ( ) ( )3 2i h i h+ + + par

    ( )22i h+ : on obtient ....4 2i h

    + + donc 1,4 2ia b= = .

    Pour trouver c et d on peut recommencer une division ou remarquer que i est le

    conjugu de i : donc 4ic a= = et 1

    2d b= = .

    Finalement ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2

    1 14 2 4 2i i

    F xx i x ix i x i

    = + + +

    + +

    On regroupe ensuite les fractions en ( )2x i et ( )2x i+ ensemble, ainsi que les fractions en ( )x i et ( )x i+ :

    ( )( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )( )( )

    2 2

    2 2

    1 14 4 2 2i ix i x i x i x i

    F xx i x ix i x i

    + + + + = +

    + +

    ce qui aprs simplification scrit

    ( )( )2 22 11

    x xF xxx

    = +++

    .

    Finalement, dans le cas gnral on admet que :

    Soit F une fraction rationnelle dont le dnominateur se factorise en ( ) 1 12 21 1 1n mk lk ln m mQ x ( x a ) ......( x a ) ( x p x q ) ....( x p x q )= + + + +

    Il existe une dcomposition unique de F sous la forme 1 2 1 2n mF F F ... F G G ... G= + + + + + + +

    avec pour chaque iF la formule

    ( ) 1 11k k

    i k kii i

    A A AF x ........ x a( x a ) ( x a )

    = + + +

    et pour chaque iG la formule

    ( ) 1 1 1 12 2 1 2k k k k

    i k kA x B A x B A x BG x ........

    ( x px q ) ( x px q ) x px q

    + + +

    = + + ++ + + + + +

    Cette dcomposition est unique.

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    17

    2.4 Mthodes pratiques de dcomposition.

    2.4.1 Cas gnral.

    Si ( ) ( )deg P deg Q , on cherche la partie entire de ( ) ( )( )P x

    F xQ x

    = ; celle-ci

    s'obtient en calculant le quotient de la division euclidienne de ( )P x par ( )Q x . Une fois que ( )E x est calcule, ( ) ( )F x E x est une nouvelle fraction rationnelle

    ( ) ( )( )1

    11

    P xF x

    Q x= avec ( ) ( )1 1deg P deg Q< .

    2.4.2 Dcomposition en lments simples de premire espce.

    Ple simple.

    Si a est un ple simple de ( )F x alors ( )Q x se met sous la forme 1 1avec 0Q( x ) ( x a )Q ( x ) Q ( a )=

    et la partie principale relative a se met sous la forme 1

    avec P( a )x a Q ( a ) =

    .

    Ainsi, ( )F x est de la forme ( ) ( )1

    B xF x

    x a Q ( x )

    = +

    .

    De manire pratique, pour dterminer le coefficient , on multiplie les deux

    membres de ( ) ( )( )P x

    F xQ x

    = par ( )x a , cest--dire

    ( ) ( ) ( )1

    P xx a F x

    Q ( x ) =

    et on fait x a= .

    Dcomposer en lments simples dans R la fraction rationnelle

    ( )2 1

    1 2 3x xF x

    ( x )( x )( x )+ +

    =+ + +

    .

    La partie entire est nulle, puisque le degr du numrateur est strictement infrieur celui du dnominateur. Il n'y a que des ples rels et donc des lments simples de premire espce. La dcomposition de ( )F x en lments simples est de la forme :

    ( ) ( ) ( ) ( )2 1

    1 2 3 1 2 3x x A B CF x

    ( x )( x )( x ) x x x+ +

    = = + ++ + + + + +

    o A, B et C sont des nombres rels dterminer.

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    18

    En considrant la fraction rationnelle associe et en remplaant

    x par 1 dans ( ) ( )1x F x+ , on obtient 12

    A = .

    En remplaant x par 2 dans ( ) ( )2x F x+ , on obtient 3B = .

    En remplaant x par 3 dans ( ) ( )3x F x+ , on obtient 72

    C = .

    La dcomposition est donc :

    ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 3 7

    1 2 3 2 1 2 2 3x xF x

    ( x )( x )( x ) x x x+ +

    = = ++ + + + + +

    .

    Considrons la fraction rationnelle ( ) ( )( )3

    1 2xF x

    x x=

    + +.

    La partie entire est non nulle, puisque le degr du numrateur 3 est suprieur au degr du dnominateur 2. On la dtermine par division euclidienne : on dveloppe ( )( ) 21 2 3 2x x x x+ + = + + et ( )( ) ( )3 23 3 2 7 6x x x x x= + + + + .

    Donc ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )3 7 63 3

    1 2 1 2 1 2x x A BF x x x

    x x x x x x+

    = = + = + ++ + + + + +

    Calculons la partie principale relative au ple simple 1.

    On multiplie par ( )1x + et on fait 1x = : alors ( )( )

    311

    1 2A

    = =

    +.

    On multiplie par ( )2x + et on fait 2x = : alors ( )( )

    328

    2 1B

    = =

    +.

    On a ainsi ( ) ( )( ) ( ) ( )3 1 83

    1 2 1 2xF x x

    x x x x= = +

    + + + +.

    ALGE01E04A

    Dcomposer en lments simples dans [ ]R X la fraction

    ( )3 2

    22 3

    3 2x x xF x

    x x

    = +

    Ple multiple

    Si 0 est ple multiple d'ordre n alors ( ) ( )( )( )( ) 11

    et 0 0nP x P x

    F x Q ( )Q x x Q x

    = = . Les

    coefficients de la dcomposition relative au ple 0 sont ceux de la division suivant

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    19

    les puissances croissantes de ( )P x par ( )1Q x l'ordre 1n (on obtient les coefficients l'envers).

    Dcomposer en lments simples dans R la fraction rationnelle ( ) 3

    11

    F xx ( x )

    =

    .

    La partie entire est nulle, puisque le degr du numrateur est strictement infrieur celui du dnominateur. Le dnominateur de ( )F x admet deux ples rels : 0 est un ple triple et 1 ple simple La dcomposition de ( )F x en lments simples est de la forme :

    ( ) 31 23 3 21

    11AA A BF xx xx ( x ) x x

    = = + + +

    o 1 2 3A ,A ,A et B sont des nombres rels dterminer. En considrant la fraction rationnelle associe et en remplaant x par 1 dans ( ) ( )1x F x , on obtient 1B = . Le ple triple tant le rel 0, il n'y a pas lieu d'effectuer de changement de variable. On forme la division suivant les puissances croissantes de 1 par 1 x + jusqu' l'ordre 2 ;

    2 31 1 1( x )( x x ) x= + +

    do par division par 3 1x ( x ) , on obtient

    ( ) 3 3 21 1 1 1 1

    11F x

    x xx ( x ) x x= = +

    et donc 1 2 31 1 et 1A , A A= = = (On retrouve la valeur 1B = ).

    Si 0a est ple multiple d'ordre 1n > , on effectue d'abord le changement de variable (on dit parfois la translation ) h x a= et on se ramne au cas prcdent en effectuant la division suivant les puissances croissantes de P( h ) P( x a )= + par

    1 1Q ( h ) Q ( x a )= + l'ordre 1n . Si l'ordre de multiplicit est 2 ou 3, on procde par identification en remplaant x par une valeur particulire (en vitant les ples) ou en multipliant par x et en faisant tendre x vers l'infini (ce n'est possible que si la partie entire est nulle).

    Dcomposer en lments simples dans R la fraction rationnelle

    ( )2

    2 31

    1 1xF x

    ( x ) ( x )+

    = +

    .

    La partie entire est nulle. Le dnominateur de ( )F x admet deux ples rels : 1 est un ple double et 1 ple triple.

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    20

    La dcomposition de ( )F x en lments simples est de la forme :

    ( )2

    31 2 1 22 3 2 3 2

    11 11 1 1 1 1

    Bx A A B BF xx x( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x )

    += = + + + +

    + + + +

    o 1 2 1 2 3A ,A ,B ,B et B sont des nombres rels dterminer. Pour le ple rel double 1, on effectue la translation 1x h= + et on effectue la division suivant les puissances croissantes de

    2 2 21 1 1 2 2x ( h ) h h+ = + + = + + par 3 3 2 31 2 8 12 6( x ) ( h ) h h h+ = + = + + + Le quotient de la division suivant les puissances croissantes de

    2 2 3 12 2 par 8 12 6 l ordre 1 est4 8

    hh h h h h + + + + +

    do par division par 2 32h ( h )+ , 2

    2 3 22 2 1 1

    82 4h h ......

    hh ( h ) h+ +

    = ++

    1 21 1et donc et4 8

    A A= =

    Pour le ple rel triple 1, on effectue la translation 1x k= + et on effectue la division suivant les puissances croissantes de

    2 2 21 1 1 2 2x ( k ) k k+ = + + = + par 2 2 21 2 4 4( x ) ( k ) k k = + = + Le quotient de la division suivant les puissances croissantes de

    22 2 12 2 par 4 4 l ordre 2 est

    2 8kk k k k + + +

    do par division par 3 22k ( k ) 2

    3 2 32 2 1 1

    82 2k k ......

    kk ( k ) k +

    = + +

    1 2 31 1et donc 0 et2 8

    B , B B= = =

    Par consquent,

    ( )2

    2 3 2 31 1 1 1 1

    8 1 8 11 1 4 1 2 1xF x

    ( x ) ( x )( x ) ( x ) ( x ) ( x )+

    = = + + + + +

    ALGE01E05A

    Dcomposer en lments simples dans [ ]R X la fraction

    ( )( )( )3

    271 2

    F xx x

    =+

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    21

    2.4.3 Dcomposition en lments simples de seconde espce.

    Pour dterminer les lments simples de la forme 2 1m m

    mM x N , m

    ( x px q )+

    >+ +

    , en

    multipliant par 2 m( x px q )+ + et en remplaant x par la racine complexe, en identifiant partie relle et partie imaginaire des deux membres, on obtient un systme de deux quations deux inconnues sur m mM et N qui permet de calculer ces deux coefficients.

    On considre alors la fraction rationnelle ( ) 2m m

    mM x NF x

    ( x px q )+

    + +

    que l'on simplifie,

    puisqu'il y a unicit de la dcomposition en lments simples.

    On calcule alors les coefficients du terme 1 12 1m m

    mM x N

    ( x px q )

    +

    + + en utilisant la mthode

    prcdente, c'est la mthode de diminution du degr. Cas particulier : S'il n'y a que des ples complexes, c'est--dire si la fraction rationnelle se prsente

    sous la forme ( ) ( )2 mP x

    F x( x px q )

    =+ +

    , on effectue les divisions euclidiennes

    successives de ( )P x (puis des diffrents quotients) par 2x px q+ +

    Dcomposer en lments simples dans R la fraction rationnelle

    ( )6

    2 22

    1 1xF x

    ( x )( x )+

    = +

    .

    1 est ple simple et i et i sont ples doubles. Comme le degr du numrateur est 6 et le degr du dnominateur 5, il existe une partie entire de degr 1 : on lobtient par division euclidienne du numrateur par le dnominateur et vaut ( ) 1E x x= + . La dcomposition est de la forme

    ( )6

    2 2 2 2 22 1

    11 1 1 1x A ax b cx dF x x

    x( x )( x ) ( x ) x+ + +

    = = + + + + + + +

    Le coefficient A est obtenu en multipliant par 1x et en faisant 1x = ; 34

    A = .

    La fraction 2 2 21 1ax b cx d

    ( x ) x+ +

    ++ +

    peut tre calcule par la diffrence

    ( ) ( )6

    2 22 31

    4 11 1x x

    x( x )( x )+

    + +

    .

    On trouve ainsi

    ( )3 2

    2 2 2 22

    7 7 9 91 1 4 1

    ax b cx d x x x( x ) x x

    + + + =

    + + +

  • ALGE01 : Polynmes, fractions rationnelles Cours Octobre 2002

    Cycles Prparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL. Isabelle HENROT

    22

    La division de 3 27 7 9 9x x x par 2 1x + suivant les puissances dcroissantes donne

    ( ) ( ) ( )3 2 27 7 9 9 1 7 1 2 1x x x x x x = + + + . On en dduit, en divisant par ( )224 1x + :

    ( ) ( ) ( )2 2 2 22 21 7 7

    1 4 11 2 1

    ax b cx d x xx xx x

    + + + ++ =

    + ++ +

    do

    ( ) ( )6

    2 2 2 2 22 3 1 7 71

    4 11 1 2 1 4 1x x xF x x

    x( x )( x ) ( x ) ( x )+ + +

    = = + + + + +

    .

    ALGE01E06A

    Dcomposer en lments simples dans [ ]R X la fraction

    ( )( )

    5

    32 1

    xF xx x

    =+ +

  • ALGE01 : Polynmes, Fractions rationnelles Exercices supplmentaires Mai 2003

    Cycles Prparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL. Isabelle HENROT

    ALGE01S01

    1) Soit 3( m,n, p ) N , montrer que 2 1X X+ + divise 3 2 3 1 3m n pX X X+ ++ + dans [ ]C X . 2) Factoriser dans [ ]R X le polynme ( ) 5 4 3 23 4 4 3 1Q x x x x x x= + + + + + .

    ALGE01S02 Dcomposer en lments simples dans [ ]R X la fraction

    ( )2

    5 4 3 2

    33 4 4 3 1

    xF xx x x x x

    +=

    + + + + +

  • ALGE01 : Polynmes, fractions rationnelles Exercices Mai 2003

    Cycles Prparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL. Isabelle HENROT

    ALGE01E01B

    Soit P un polynme dont le reste de la division euclidienne par 1( x ) est 4 et par 2( x ) est 3 . Quel est le reste de la division euclidienne de P par 1 2( x )( x ) ?

  • ALGE01 : Polynmes, fractions rationnelles Exercices Mai 2003

    Cycles Prparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL. Isabelle HENROT

    ALGE01E01C Dterminer le reste de la division de

    22 1 1n nA ( x ) ( x )= + +

    par 21 2B ( x ) ( x )=

  • ALGE01 : Polynmes, fractions rationnelles Exercices Mai 2003

    Cycles Prparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL. Isabelle HENROT

    ALGE01E02B

    Montrer que le polynme 4 22 8 5P( x ) x x x= + + admet une racine double. En dduire la dcomposition en produit de polynmes irrductibles dans [ ]R X .

  • ALGE01 : Polynmes, fractions rationnelles Exercices Mai 2003

    Cycles Prparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL. Isabelle HENROT

    ALGE01E02C Dterminer l'ordre de multiplicit de la racine 1 du polynme P de [ ]R X 5 4 3 25 14 22 17 5P( x ) x x x x x= + +

  • ALGE01 : Polynmes, fractions rationnelles Exercices Mai 2003

    Cycles Prparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL. Isabelle HENROT

    ALGE01E03B Effectuer la division suivant les puissances croissantes lordre 4 de ( ) 4A x = par

    ( ) ( )22B x x= .

  • ALGE01 : Polynmes, fractions rationnelles Exercices Mai 2003

    Cycles Prparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL. Isabelle HENROT

    ALGE01E05B Dcomposer en lments simples dans [ ]R X la fraction

    ( )( )22

    4

    1F x

    x=

  • ALGE01 : Polynmes, fractions rationnelles Exercices Mai 2003

    Cycles Prparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL. Isabelle HENROT

    ALGE01E06B Dcomposer en lments simples dans [ ]R X la fraction

    ( ) ( )2

    4 3

    11 1x

    x x+

    +

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    1

    ALGE01E01A

    3 2 3x x x+ 2x

    3 22x x + 2 3 5x x+ +

    23 3x x 23 6x x +

    5 3x

    5 10x + 7

    ( )( )3 2 23 2 3 5 7x x x x x x+ = + + + Le dividende est 3 2 3x x x+ , le diviseur est 2x , le quotient 2 3 5x x+ + et le reste 7. Si vous avez prouv des difficults rsoudre cet exercice, nous vous conseillons de cliquer sur Exercice

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    2

    ALGE01E01B ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )

    1

    2

    1 4

    2 3

    1 2

    P x Q x x

    P x Q x x

    P x Q x x x R x

    =

    = +

    = +

    avec ( )R x ax b= + puisque 1d R o . ( ) ( )( ) ( )1 1 4

    2 2 2 3

    P R a b

    P R a b

    = = + =

    = = + =

    On rsout le systme ( )7 11 7 11a ,b R x x= = =

    Si vous avez prouv des difficults rsoudre cet exercice, nous vous conseillons de cliquer sur Exercice

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    3

    ALGE01E01C

    ( ) ( )( ) ( )

    2

    2

    2 1 1

    1 2

    n nA x x

    B x x

    = + +

    =

    Si 0n = ou si 1n = le polynme est de degr 2 et le reste est A. Sinon, on crit 0, 2A BQ R d R= + . Il faut donc trouver 3 rels a,b,c tels que 2R ax bx c= + + . ( ) ( )( ) ( )1 1 1

    2 2 1

    A R

    A R

    = =

    = =

    On drive : ( ) ( )1 1 2A B Q BQ R A R n = + + = = On a donc le systme :

    24 2 22 2

    a b ca b ca b n

    + + = + + = + =

    qui fournit 2 , 6 , 2 4a n b n c n= = = + . Donc 22 6 2 4R nX nX n= + + . Si vous avez prouv des difficults rsoudre cet exercice, nous vous conseillons de contacter votre tuteur

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    4

    ALGE01E02A

    ( ) ( )1 0 2 0P ,P= = donc on peut diviser P par le produit ( )( ) 21 2 3 2x x x x = + .

    La division donne ( ) ( )( )2 23 2 2 5P x x x x x= + +

    Le trinme 2 2 5x x + a un discriminant ngatif donc il est irrductible dans [ ]R X . En revanche on peut le factoriser dans [ ]C X : ( )( )2 2 5 1 2 1 2x x x i x i + = + . Donc : Dans [ ]R X on a ( ) ( )( )( )21 2 2 5P x x x x x= + Dans [ ]C X on a ( ) ( )( )( )( )1 2 1 2 1 2P x x x x i x i= + . Si vous avez prouv des difficults rsoudre cet exercice, nous vous conseillons de cliquer sur Exercice

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    5

    ALGE01E02B

    ( ) 34 4 8P x x x = + a une racine vidente 1 qui est aussi racine de P donc au moins

    racine double. On effectue la division euclidienne de P par ( )21x : ( ) ( ) ( )2 21 2 5P x x x x= + + . Le polynme 2 2 5x x+ + tant irrductible sur R, la dcomposition sur [ ]R X est termine. Si vous avez prouv des difficults rsoudre cet exercice, nous vous conseillons de cliquer sur Exercice

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    6

    ALGE01E02C

    ( )1 0P = ( ) ( )4 3 25 20 42 44 17 1 0P x x x x x P = + + = ( ) ( )3 220 60 84 44 1 0P x x x x P = + = ( ) ( )260 120 84 1 0P x x x P = +

    On en dduit que 1 est racine triple de P. Si vous avez prouv des difficults rsoudre cet exercice, nous vous conseillons de contacter votre tuteur

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    7

    ALGE01E03A

    22 3 2x x+ 2 31 2x x+

    22 6 4x x + 2 32 3 4x x x+ +

    2 33 4 4x x x +

    3 43 3 6x x x +

    2 3 44 6x x x + + 2 4 54 4 8x x x+

    3 4 510 10x x x+

    3 5 62x x x +

    4 5 610 9 2x x x +

    ( )( ) ( )2 2 3 2 3 4 5 62 3 2 1 2 2 3 4 10 9 2x x x x x x x x x x+ = + + + + + Si vous avez prouv des difficults rsoudre cet exercice, nous vous conseillons de cliquer sur Exercice

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    8

    ALGE01E03B

    Il faut commencer par dvelopper ( ) ( )2 2 22 4 4 4 4B x x x x x x= = + = + .

    4 24 4x x +

    24 4x x + 2 3 43 1 514 2 16

    x x x x+ + + + 24x x

    2 34 4x x x +

    2 33x x

    2 3 433 34

    x x x +

    3 432

    4x x

    3 4 512 22

    x x x +

    4 55 1

    4 2x x

    4 5 65 5 54 4 16

    x x x +

    5 63 5

    4 16x x

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  • ALGE01 : Polynmes, fractions rationnelles Solutions Mai 2003

    Cycles Prparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL. Isabelle HENROT

    9

    ALGE01E04A

    On dtermine la partie entire ( )E x , puisque le degr du numrateur est suprieur celui du dnominateur. On effectue la division euclidienne du numrateur

    3 22 3x x x par le dnominateur 2 3 2x x + . ce qui donne 3 2 22 3 3 2 1 5x x x ( x x )( x ) = + +

    D'o ( ) 2513 2

    F x xx x

    = + +

    .

    Puisque 2 3 2 1 2x x ( x )( x ) + = , on cherche A et B rels tels que

    ( ) 51 2 1 2

    A BR x( x )( x ) x x

    = = +

    En passant aux fonctions rationnelles associes et en remplaant x par 1 dans 1( x )R( x ) on obtient 5A = . En remplaant x par 2 dans 2( x )R( x ) , on obtient

    5B = . Do

    ( )3 2

    22 3 5 51

    1 23 2x x xF x x

    x xx x

    = = + + +

    .

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    ALGE01E05A

    Le degr du numrateur tant infrieur au degr du dnominateur, on sait que la dcomposition sera de la forme

    ( )( ) ( ) ( )3 21 22 2

    A B C DF xx xx x

    = + + ++

    Pour trouver A, on multiplie par ( )1x + et on fait 1x = : on a ( )3

    27 13

    A = =

    .

    Pour dterminer les autres coefficients, on pose 2 2h x x h= = + et on divise le numrateur 27 par 1 3x h+ = + lordre 2 : 27 3+h -27-9h 9-3h+h -9h 9h+3h 3h

    On en dduit ( ) ( )2

    3 3 3 2

    27 9 3 ... 9 3 1 ...3

    h hF xh h h h h h

    + += = = + +

    +

    Et en remplaant par la variable x : ( )( ) ( ) ( )3 2

    1 9 3 11 22 2

    F xx xx x

    = + + ++

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    ALGE01E05B

    Comme la partie entire est nulle, la dcomposition sera de la forme

    ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22

    4 41 11 1 1 11

    A B C DF xx xx x x xx

    = = = + + + + + +

    On peut comme pour lexercice prcdent effectuer le changement de variable 1h x= et une division suivant les puissances croissantes pour trouver A et B, et le

    changement de variable 1h x= + et une division suivant les puissances croissantes pour trouver C et D. Je vous propose ici une mthode plus astucieuse adapte la fonction qui possde la proprit dtre paire.

    ( ) ( ),x F x F x = Comme la dcomposition est unique, les coefficients de la dcomposition de ( )F x doivent correspondre ceux de la dcomposition de ( )F x :

    ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 11 1 1 1A B C D A B C D

    x x x xx x x x+ + + = + + +

    + + + +

    et on en dduit que ,A C B D= = ce qui permet de navoir que deux coefficients chercher. Pour obtenir A on multiplie par ( )21x et on fait 1x = : 1 1A C= = . Pour obtenir B et D on fait 0x = dans lgalit : 4 1 1 4 2 2 1, 1B D B B D= + + = + = =

    Finalement ( )( ) ( ) ( )2 2 22

    4 1 1 1 11 11 11

    F xx xx xx

    = = + + + + +

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    ALGE01E06A

    La partie entire est nulle, et la dcomposition se fera en lments simples de seconde espce. On fait la division euclidienne du numrateur par le dnominateur.

    5x 2 1x x+ +

    5 4 3x x x 3 2 1x x + 2 1x x+ +

    4 3x x 3 2x x x 2x 4 3 2x x x+ +

    22 1x x + 2x 22 2 2x x+ +

    2 1x x 3x +

    1x

    ( ) ( )( ) ( ) ( )5 2 21 1 2 3 1x x x x x x x x = + + + + + + +

    ( )( ) ( ) ( ) ( )

    5

    3 3 2 22 2 2

    1 3 211 1 1

    x x x xF xx xx x x x x x

    + = = + +

    + ++ + + + + +

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    13

    ALGE01E06B

    Factorisons le dnominateur : ( ) ( ) ( ) ( )( )

    2 2

    4 43 2

    1 11 1 1 1 1x x

    x x x x x x+ +

    = + + +

    La dcomposition comporte donc deux lments de premire espce dus au ple simple 1, au ple quadruple 1 et un lment de seconde espce de dnominateur

    2 1x x + . Dterminons la partie principale relative au ple 1 : on multiplie par ( )1x + et on

    fait 1x = : on obtient 18

    A =

    Dterminons la partie principale relative au ple 1 en posant 1 1h x x h= = + et en effectuant la division suivant les puissances croissantes de 2 21 2 2x h h+ = + + par

    3 2 31 2 3 3x h h h+ = + + + .

    22 2h h+ + 2 32 3 3h h h+ + +

    2 32 3 3h h h 2 351

    2 4 8h h h

    +

    2 32h h h

    2 3 43 32 2 2h h hh + + +

    2 3 4

    2 2 2h h h

    + +

    2 3 4 53 32 4 4 4h h h h

    + + +

    3 4 55 5

    4 4 4h h h

    + +

    La partie principale relative au ple simple 1 est donc

    ( ) ( ) ( ) ( )2 3

    4 3 24 4 3 2

    1 5 1 1 1 5 1 1 1 512 4 8 2 4 8 8 11 2 1 4 1h h h

    h h h h h xx x x

    + = + = + Dterminons llment de seconde espce de la dcomposition : ici les racines du trinme 2 1x x + sont simples, cest j et 2j , donc on va choisir de dcomposer dans C et de rassembler les conjugus pour obtenir la dcomposition dans R.

    La dcomposition relative j et 2j est de la forme 2x j x j

    ++ +

    .

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    14

    Pour calculer on multiplie par x j+ et on fait x j= :

    ( )( ) ( )( ) ( )( )

    ( )( ) ( )

    ( )2 22 2 24 2 2 922 8 8 2

    1 1191 1 1 1 1

    j j jj jjj j j j j j j j j j

    +

    = = = = + +

    Or 9 1j = et ( )2

    22 1 3 3 3 1 3 3 3 31 32 2 2 2 2 2 2 2

    ij j i i i

    = + + = + + =

    Dautre part 3 = =

    Donc ( )( )

    2

    2 2 22

    1 1 1 1 2 1 2 13 3 3 1

    x j j xx j x j x j x j x xx j x j + + + = + = = + + + + + ++ +

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    2

    4 3

    4 3 2 2

    11 11 1 1 5 1 2 1

    8 1 24 1 3 11 2 1 4 1

    x( x ) ( x )

    xx x x xx x x

    + +

    += + + +

    + +

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  • ALGE01 : Polynmes, fractions rationnelles Aides Mai 2003

    Cycles Prparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL. Isabelle HENROT

    ALGE01E01A Posez la division comme un division dans lensemble des nombres Ecrivez les polynmes dans lordre dcroissant des puissances.

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    Cycles Prparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL. Isabelle HENROT

    ALGE01E01B Commencez par crire ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )

    1

    2

    1 4

    2 3

    1 2

    P x Q x x

    P x Q x x

    P x Q x x x R x

    =

    = +

    = +

    avec ( )R x ax b= + puisque 1d R o . Et remplacez x par 1 puis 2 .

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    Cycles Prparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL. Isabelle HENROT

    ALGE01E01C

    ( ) ( )( ) ( )

    2

    2

    2 1 1

    1 2

    n nA x x

    B x x

    = + +

    =

    Si 0n = ou si 1n = le polynme est de degr 2 et le reste est A. Sinon, on crit 0, 2A BQ R d R= + . Il faut donc trouver 3 rels a,b,c tels que 2R ax bx c= + + . Remplacez x par 1 puis 2.

  • ALGE01 : Polynmes, fractions rationnelles Aides Mai 2003

    Cycles Prparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL. Isabelle HENROT

    ALGE01E02A ( ) ( )1 0 2 0P ,P= = donc on peut diviser P par le produit ( )( ) 21 2 3 2x x x x = + .

  • ALGE01 : Polynmes, fractions rationnelles Aides Mai 2003

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    ALGE01E02B

    ( ) 34 4 8P x x x = + a une racine vidente 1 qui est aussi racine de P donc au moins racine double. On effectue la division euclidienne de P par ( )21x .

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    ALGE01E02C On vrifie dabord que ( )1 0P = , puis on calcule les drives successives de P en regardant celles qui sannulent pour 1x = . Ds quune drive ne sannule pas en 1 on sarrte !

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    ALGE01E03A Contrairement la division euclidienne, il faut crire les polynmes dans lordre croissant des monmes donc commencer par les termes constants quand il y en a (cest le cas ici).

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    ALGE01E03B Il faut commencer par dvelopper ( ) ( )2 2 22 4 4 4 4B x x x x x x= = + = + .

  • ALGE01 : Polynmes, fractions rationnelles Aides Mai 2003

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    ALGE01E04A On dtermine la partie entire ( )E x , puisque le degr du numrateur est suprieur celui du dnominateur. On effectue la division euclidienne du numrateur

    3 22 3x x x par le dnominateur 2 3 2x x + . Ensuite on dtermine les parties principales relatives aux deux ples 1 et 2 qui sont

    de la forme 1 2

    A Bx x

    +

    : pour A on multiplie par ( )1x et on fait 1x = , pour B on

    multiplie par ( )2x et on fait 2x = .

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    ALGE01E05A Le degr du numrateur tant infrieur au degr du dnominateur, on sait que la dcomposition sera de la forme

    ( )( ) ( ) ( )3 21 22 2

    A B C DF xx xx x

    = + + ++

    Pour trouver A, on multiplie par ( )1x + et on fait 1x = . Pour dterminer les autres coefficients, on pose 2 2h x x h= = + et on divise le numrateur 27 par 1 3x h+ = + lordre 2 .

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    ALGE01E05B Comme la partie entire est nulle, la dcomposition sera de la forme

    ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22

    4 41 11 1 1 11

    A B C DF xx xx x x xx

    = = = + + + + + +

    On peut comme pour lexercice prcdent effectuer le changement de variable 1h x= et une division suivant les puissances croissantes pour trouver A et B, et le

    changement de variable 1h x= + et une division suivant les puissances croissantes pour trouver C et D : une autre mthode est propose titre dexemple dans la solution.

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    ALGE01E06A La partie entire est nulle, et la dcomposition se fera en lments simples de seconde espce. On fait la division euclidienne du numrateur par le dnominateur.

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    ALGE01E06B

    Factorisons le dnominateur : ( ) ( ) ( ) ( )( )

    2 2

    4 43 2

    1 11 1 1 1 1x x

    x x x x x x+ +

    = + + +

    La dcomposition comporte donc deux lments de premire espce dus au ple simple 1, au ple quadruple 1 et un lment de seconde espce de dnominateur

    2 1x x + . Ensuite on utilise des techniques adaptes la nature des lments de dcomposition (premire ou seconde espce) et au fait que les ples sont simples ou multiples. Cet exercice rcapitule les exercices prcdents !

    POLYNOMES, FRACTIONS RATIONNELLESPolynmes.GnralitsStructure de lensemble des polynmesDivision euclidienne ou division suivant les puisALGE01E01ARacine dun polynme. Ordre de multiplicit.ALGE01E02AFactorisation des polynmes coefficients relThorme de DAlembert.Cas o les coefficients sont rels.

    Division suivant les puissances croissantes.ALGE01E03A

    Fractions rationnellesGnralitsDfinitionPle d'une fraction rationnelle.Partie entire d'une fraction rationnelle.

    Dcomposition dune fraction rationnelle en lDcomposition dune fraction rationnelle en lMthodes pratiques de dcomposition.Cas gnral.Dcomposition en lments simples de premire Ple simple.ALGE01E04AALGE01E05ADcomposition en lments simples de seconde esALGE01E06A

    Exercices supplmentaires