1Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
Ch.02- Statique des fluides
2.1 Pression dans un fluide2.2 Equations fondamentales de la statique des fluides2.3 Applications
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
2Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
•••• On considère un fluide au repos (statique des Fluides);
•••• On considère un petit élément de surface δδδδS, muni d’un vecteur unitairenormal à l’élément de surface;
• L’élément de surface peut être immergé entièrement dans le fluide, ou appartenir à l’interface entre un solide et un fluide:
2.1 Pression dans un fluide immobile: définition
0rr
====v
nr
nr
solidefluide
nr
δδδδS
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
3Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
• Alors, le fluide au repos exerce sur le petit élément de surface une force ;cette force est perpendiculaire à δδδδS; le rapport est homogène à une contrainte (force par unité de surface). C’est par définition la pression P du fluide:
• Corps solide de frontière (S) en contact ou immergé dans un fluide
Force totale exercée par le fluide sur le solide:
Fr
δSF δδ
SnPF δδ rr−=
∫∫∫∫∫∫∫∫ −−−−========→→→→
(S))S(
solidefluide dS n PF Frrr
δδδδ
nr
nr
dS
dS
(S)
:vecteur unitaire, normal à la paroi, « sortant » de la paroinr
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
4Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
2.2.1 Cas d’un fluide incompressible
•••• On considère un fluide incompressible au repos (statique des Fluides):
•••• On suppose que le fluide est soumis à une force volumique F’ par unité de masse; par exemple, dans le cas de la force de gravité:
•••• On écrit l’équilibre mécanique d’un petit volume de fluide de dimensions (δδδδx,δδδδy,δδδδz):
2.2 Equations fondamentales de la statique des Fluides
0rr
====v
k g'Frr
−−−−====
appliquées forces des somme0onaccélérati . masse ========
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
5Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
•••• Force de pression sur la face inférieure: P(z-δδδδz/2).δδδδx.δδδδy•••• Force de pression sur la face supérieure: -P(z+δδδδz/2).δδδδx.δδδδy•••• Force de pression sur la face gauche: P(y-δδδδy/2).δδδδx.δδδδz•••• Force de pression sur la face droite : -P(y+δδδδy/2).δδδδx.δδδδz•••• Force de pression sur la face avant : P(x-δδδδx/2).δδδδy.δδδδz•••• Force de pression sur la face arrière : -P(x+δδδδx/2).δδδδy.δδδδz
•••• Force volumique : -ρρρρ.δδδδx.δδδδy.δδδδz.g
z+δδδδz/2
z-δδδδz/2
P(z+δδδδz/2)
P(z-δδδδz/2)
kr
ir
jr
P(x+δδδδx/2)
P(x-δδδδx/2)
P(y-δδδδy/2)
P(y+δδδδy/2)
-ρ.ρ.ρ.ρ.g δδδδx.δδδδy.δδδδz
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
6Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
•••• Premier principe de la dynamique projeté sur les directions x et y :
P indépendant de x et y: P = P(z)
•••• Premier principe de la dynamique projeté sur la direction z :
soit:
•••• P ne dépend que de z•••• P varie linéairement avec z•••• P diminue si l’altitude z augmente
z.y.x.g.y.x.z
z
PPy.x.
z
z
PP δδδδδδδδδδδδρρρρδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ −−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂++++−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====
220
z.y.x
x
PPz.y.
x
x
PP δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ
∂∂∂∂∂∂∂∂++++−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====
220
z.x.y
yP
Pz.x.y
yP
P δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ
δδδδ
∂∂∂∂∂∂∂∂++++−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====
220
0====∂∂∂∂∂∂∂∂====
∂∂∂∂∂∂∂∂
y
P
x
P
gdz
dP ρρρρ−−−−==== tecgzP ====++++ ρρρρ )c( te====ρρρρ
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
7Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
Conséquences:
- surface libre en contact avec l’air à pression atmosphérique à l’altitude z0 :
- surface libre d’un liquide: plan horizontal
- continuité de la pression à l’interface entre deux fluides:
(((( )))) (((( ))))zzgPzP atm −−−−++++==== 0ρρρρ
Fluide 1
Fluide 2P(z)
z
z0 ( ) ( )−+ = 00 zPzP
tecz g P 11 =+ ρ
tecz g P 22 ====++++ ρρρρ
Fluide 1
Interface
Fluide 2
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
8Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
Application:
1) Cas de l’eau: deux points A et B avec une différence d’altitude de 10m
On trouve :
La pression augmente environ d’1 atmosphère tous les 10 m.
2) Cas de l’air: pour la même différence d’altitude, en supposant que la masse volumique ne varie pas avec z:
La variation de pression est négligeable pour ces ∆∆∆∆z.
Ce résultat tombe en défaut pour de fortes variations d’altitude (plusieurs km), car la masse volumique varie avec z.
(((( )))) Pa1010 ., .10zz g PP 53ABeauAB ≈≈≈≈≈≈≈≈−−−−====−−−− 819ρρρρ
(((( )))) Pa1010 ., . 1,2zz g PP 2ABairAB ≈≈≈≈≈≈≈≈−−−−====−−−− 819ρρρρ
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
9Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
Conséquences
La surface libre est à la même altitude dans tous les réservoirs
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
10Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
Vérin hydraulique
Hypothèses:
zA1 = zA2
Force F1 appliquée sur S1
Question: valeur de F2 ?
Conclusion:
F2 = F1 S2 /S1
Si S2 >> S1, alors F2 >> F1
S1 S2
F1 F2
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
11Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
2.3.1 Mesure d’une pression avec une colonne de liquide
2.3 Applications
hM
Inconvénients:
- PM > Patm- fluide = liquide
h g PP liqatmM ρρρρ++++====
1ρρρρ 2ρρρρ
h2h1
M
1122 h g h g PP atmM ρρρρρρρρ −−−−++++====
Avantages:
- PM > Patm ou PM < Patm- fluide 1= liquide ou gaz
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
12Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
Remarques
• Technique de mesure limitée à des ∆∆∆∆P pas trop importants
• Pas adaptée à des pressions variant rapidement dans le temps
Il existe d’autres technologies de capteurs de pression adaptées aux fortes pressions et/ou aux variations rapides de pression:
•••• Principe mécanique avec circuit magnétique/électrique: capteur type Bourdon
•••• Capteurs piezo-électrique ou piezorésisitif: bonne réponse en fréquence
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
13Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
2.3.2 Force exercée sur un solide immergé
On considère un volume V délimité par une surface S immergée dans un liquide en équilibre hydrostatique.
dS: élément de surface
: normale à la surface (dirigée vers l’extérieur)
Force élémentaire exercée par le fluide sur dS:
Force totale exercée par le fluide sur V délimité par S:
S
z
dS n P Fd −−−−====
∫∫∫∫−−−−====S
dS n P F
n
n
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
14Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
Théorème d’Archimède
Conditions de validité:
- volume complètement ou partiellement immergé par le fluide au repos- ou alors pression continue sur la surface S du solide
Le théorème permet de calculer simplement la force résultante sans calculer l’intégrale des forces de pression
La résultante des forces de pression s’exerçant sur un volume V immergé
dans un fluide en équilibre hydrostatique est égale au poids du volume de
fluide déplacé. Cette force passe par le centre de gravité de la masse de
fluide déplacé.
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
15Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
Vérification du théorème d’Archimède sur un cas simple
Parallèpipède (a,b,c)Hauteur immergée h
Force face supérieure: -Patmac
Force face inférieure: P(z=-h)ac
Loi de l’hydrostatique: P(z=-h) = Patm + ρρρρe g h
Force totale exercée par fluide: ρρρρeghac = g ρρρρehac
a
b
c
h
Poids du volume d’eau déplacé
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
16Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
Exercice
•••• ρρρρ eau = 1000 kg.m-3
•••• ρρρρ huile = 600 kg.m-3
•••• ρρρρ bois = 900 kg.m-3
•••• Quelle fraction du volume de la bille est immergée dans l’eau ?
eau
huile
bois
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
17Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
2.3.3 Force et centre de poussée
h
Cas d’un barrage rectangulaire, verticalde masse volumique homogène
Force de poussée: résultante des forces de pression exercées par lefluide sur la paroi
À droite : pression atmosphérique
P(z) = PatmÀ gauche: pression hydrostatique
P(z) = Patm - ρρρρe g z
PatmP(z) = Patm - ρρρρe g zO
Centre de poussée: point C pour lequel le moment de la force résultante est nul.
z=-h
Fr
Fr
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
18Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
Calcul de la poussée F:
•••• force exercée sur élément de surface de hauteur dz:
•••• force totale:
(((( ))))[[[[ ]]]] dz b PzP atm−−−−
(((( ))))[[[[ ]]]] ∫∫∫∫∫∫∫∫−−−−−−−−
====−−−−====−−−−====0
h
2e
e
0
h
atm 2
bh gdz z b gdz b PzPF
ρρρρρρρρ
Calcul du centre de poussée C :
•••• moment par rapport à C :
•••• moment par rapport à O :
••••
•••• d’où :
OFCOMM OC
rrrr====∧∧∧∧++++====
(((( ))))[[[[ ]]]] ∫∫∫∫∫∫∫∫−−−−−−−−
====−−−−====−−−−0
h
3e2
e
0
h
atm 3bh g
dz z b gdz z b PzPρρρρρρρρ
2
z h b g FCO C
2eρρρρ
====∧∧∧∧r
3
h 2zh CC ====−−−−====
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
19Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
Remarques :
•••• Soient zG l’altitude du centre de gravité du barrage: zG = -h/2S la surface du barrage: S = bh
alors: F = ρρρρe g b h2/2 = ρρρρe g |zG| S
On verra que cette relation:
est vraie quelle que soit la forme du barrage, même incliné,
pourvu qu’il soit plan. Il suffit donc de connaître hG et S.
•••• Le centre de poussée C est situé plus bas que le centre de gravitéG du barrage
SghF Geρρρρ====
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
20Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
Cas d’une paroi plane inclinée de forme quelconque
hhG
O
x
y
dF
G
C
yGyC
y
xR
x
G : centre de surfaceC : centre de poussée
θθθθ
Élément de surface dS
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
21Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
Calcul de la force résultante:
•••• force exercée sur élément de surface : perpendiculaire à l’élément de
surface et d’intensité
•••• force résultante :
•••• moment d’ordre 1 de la surface par rapport à l’axe x et coordonnée du
centre de surface (de gravité) G:
•••• d’où:
soit:
dS h g dF ρρρρ====
dS y sin g dS sin y g dS h g F
SSS∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ============ θθθθρρρρθθθθρρρρρρρρ
∫∫∫∫====S
G dS y S1
y
h S g F Gρρρρ====
sin y S g F G θθθθρρρρ====
hG: distance verticale entre la surface libre et le centre de gravité de S
GG h sin y ====θθθθ
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
22Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
Calcul du centre de poussée:
•••• le moment de la force résultante est égal au moment de la répartition
de pression sur S:
•••• soit :
•••• moment d’inertie par rapport l’axe x:
donc:
•••• théorème des axes parallèles:
•••• Finalement: ( yC > yG )
∫∫∫∫ ∫∫∫∫========S S
2C dS y sing dF y F y θθθθρρρρ
S y
dS y
yG
S
2
C
∫∫∫∫====
∫∫∫∫====S
2x dS y I
S y
I y
G
xC ====
2GG xx y SI I ++++====
GG
G xC y
S y
I y ++++====
Moment d’inertie par rapport àl’axe x dans repère d’origine G
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
23Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
•••• de même, on trouve:
avec le produit d’inertie IxyG calculé dans un repère d’origine G par rapportaux axes x et y:
∫∫∫∫====S
Gxy dS yx I
GG
G xyC x
S y
I x ++++====
Moments d’inertie pour des formes simples:
Rectangle Cercle
Gx
y
b
a Gx
y
R
================
0 I
12/b a I
12/ba I
ab S
xyG
3yG
3xG
============
====
0 I
4 /R I I
R S
xyG
4yGxG
2
ππππππππ
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
24Mécanique des Fluides - Département GEN 2007-2008
Cas du barrage rectangulaire vertical:
••••
•••• hC = yC = 2h/3S = bhIxG = h3b/12yG = h/2
h S g F Gρρρρ====(((( )))) 2
h bhg
2
h b g F
2
ρρρρρρρρ ========
S hG
GG
G xC y
S y
I y ++++====6/h
S yI
G
G x ====
ENIM
Mécanique des Fluides – Tronc Commun 1ère année 2009-2010
Top Related