8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
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MATHÉMATIQUES
ECO GESTIONL1 Premier Semestre
Armand Taranco
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BIBLIOGRAPHIE
Boissonnade et !redon " Ana#$se mat%&mati'(e) tomes1 et *) !#as% U) A+ Co#in+
,(-ont " A#./0re -o(r #es sciences &conomi'(es) !#as%U) A+ Co#in+
Bernard G(errien) Isa0e##e T%is " Les mat%&mati'(es de#a micro&conomie) Economica) &dition de -oc%e+
Leco(tre " Mat%&mati'(es -o(r sciences &conomi'(es+Eercices corri.&s a2ec ra--e#s de co(rs) Masson+
Car#) P+ Simon et La3rence B#(me) mat%&mati'(es -o(r&conomistes) trad(it c%e4 ,eBoec5 6+ C+ ,ameron " Mat%&mati'(es sc%&matis&es)
Economica+
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PLAN ,U COURS
La droite n(m&ri'(e Pro-ri&t&s m&tri'(es de Rn
Les 7onctions n(m&ri'(es d8(ne 2aria0#e r&e##e
Les 7onctions n(m&ri'(es de -#(sie(rs 2aria0#esr&e##es
Con2eit&) conca2it&
O-timisation " sans contraintes) a2ec contraintes
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LA ,ROITE NUMÉRIQUE
Notations
R est #8ensem0#e des nom0res r&e#s+
R∗ est #8ensem0#e des r&e#s non n(#s+
R9 est #8ensem0#e des r&e#s -ositi7s o( n(#s+
Inter2a##es de R
a et 0 de( r&e#s) a : 0Inter2a##e ouvert " ;a) 0< = >∈R ? a @ @ 0Inter2a##e fermé " ∈R ? a : : 0
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LA ,ROITE NUMÉRIQUE
a#e(r a0so#(e d8(n r&e# = si D
= F si @
Propriétés
Po(r to(t r&e# " D
= = ⇔
Po(r to(t r&e# " = F
Po(r to(s #es r&e#s et $ " +$ = + $
Po(r to(s #es r&e#s et $ " F $ : 9 $ : 9 $
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LA ,ROITE NUMÉRIQUE
,istance
d " R R R9
) $ J $
d)$ = J $
Propriétés
d)$ = = $⇔ ∀∈R ∀$∈R d ) $ = d$) ∀∈R ∀$∈R ∀4∈R d)$ : d)4 9 d4)$
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LA ,ROITE NUMÉRIQUE
Inter2a##e o(2ert de centre a et de ra$on r
Ia)r = ; a F r) a 9 r <
O(2ert de R
U R est (n⊂ ouvert si et se(#ement si "∀a∈U ∃r K te# '(e Ia)r ⊂ UExemple
;F*) < est (n o(2ert+
a<a9r
;aFr
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LA ,ROITE NUMÉRIQUE
!erm& de R
! ⊂ R est (n fermé si et se(#ement si soncom-#&mentaire est (n o(2ert+
Exemple! =
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PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES ,E Rn
Notation
Un -oint de Rn est (n 2ecte(r caract&ris& -ar sescoordonn&es 1)+++) n+ On &crit " = 1)+++) n+
Norme s(r RnUne norme de Rn est (ne a--#ication N " Rn R9 2&ri7iant "
F N = = ⇔
F ∀∈Rn ∀λ∈R Nλ+ = λ+NF ∀∈Rn ∀$∈Rn N 9 $ : N 9 N$
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PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES ,E Rn
Exemples
Po(r = 1)+++) n)
F norme e(c#idienne
F
F ∑==n
1ii* N )(
)MaN n11 ,)( =
*
n
*
1 ++=
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PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES ,E Rn
Remarque
La norme e(c#idienne dans Rn -ro2ient d( -rod(itsca#aire de de( 2ecte(rs et $ "
= 1)+++) n) $ = $1)+++) $n
∑=
=•n
1iii$$
∑==•n
1i
*i
•=
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PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES ,E Rn
,istances s(r Rn
On -e(t associer c%a'(e norme N s(r Rn (nedistance d "
d " Rn Rn R9 ) $ d)$
d)$ = N F $
Exemple
distance e(c#idienne "
*
nn
*
11 I$HI$H$F −++−=
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PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES ,E Rn
Bo(#es dans Rn
Rn m(ni de #a norme e(c#idienne se note Rn ) +
Boule ouverte de centre a et de rayon r, notée B(a,r)
Ba)r = >∈Rn ? J a @ rExemple
,ans R* ) ) Ba)r est (n dis'(e o(2ert de centre a etde ra$on r+
a1
a*
1
*
a=a1)a*r
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PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES ,E Rn
Boule fermée de centre a et de rayon r, notée Ba)rBa)r = >∈Rn ? J a : r
RemarqueTo(tes #es 0o(#es ne sont -as rondes
Exemple
,ans R*
)N*) BO)1 est (n carr& de centre O+BO)1 =>1)*∈ R* ? 1 9 *@1
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PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES ,E Rn
Bo(#e BO)1 dans R*)N*
1
*
1)F1)
)F1
)1
O
*1* N +=
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PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES ,E Rn
O(2erts dans Rn
U⊂Rn est (n ouvert si et se(#ement si "
∀∈ U ∃rK te# '(e B)r ⊂U
U
B)r
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PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES ,E Rn
Exemple
Une 0o(#e o(2erte est (n o(2ert+
r a
d1
d*B)ρ a2ec
*
Id)MinHdQ *1≤
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PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES ,E Rn
!erm&s dans Rn
! R⊂ n est (n 7erm& si et se(#ement si #e com-#&mentairede ! dans Rn dans est (n o(2ert+
Exemple
! =
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
,&7inition d8(ne 7onction n(m&ri'(e d8(ne2aria0#eOn a--e##e fonction numérique d8(ne 2aria0#e r&e##e
(ne a--#ication d8(ne -artie E R 2a#e(rs dans R+⊂
On note7 " E R 7
Remarque Une 7onction n(m&ri'(e n8est -as n&cessairementd&7inie -o(r to(s #es r&e#s+ Ainsi) #a 7onction n8est d&7inie '(e -o(r ∈ R9+
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
,omaine de d&7inition d8(ne 7onctionL8ensem0#e des r&e#s -o(r #es'(e#s #a 7onction 7 estd&7inie s8a--e##e #e domaine de d&7inition de #a 7onction 7+Les r/.#es s(i2antes sont so(2ent (ti#is&es -o(rd&terminer #8ensem0#e de d&7inition d8(ne 7onction+F On ne -e(t -as di2iser -ar +F On ne -e(t -as ca#c(#er #a racine et -#(s .&n&ra#ement)#a -(issance non enti/re d8(n nom0re strictement
n&.ati7+F On ne -e(t -as ca#c(#er #e #o.arit%me d8(n nom0ren&.ati7+
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Notion de #imiteLa notion de #imite re-ose s(r #a notion de proximité+
On dit '(e #a 7onction 7 tend 2ers # #ors'(e tend 2ers a
et #8on &crit "
-o(r e-rimer #e 7ait '(e 7 est a(ssi -roc%e '(e #8on
so(%aite d( r&e# # -o(r2( '(e soit s(77isamment -roc%ed( r&e# a+
#7HI#imaa
=≠→
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Po(r 7orma#iser #a notion de #imite) on a reco(rs #anotion de distance) c8estFFdire dans R) #a 2a#e(ra0so#(e de #a di77&rence entre de( nom0res+
Définition 1On dit '(e #a 7onction 7 a -o(r #imite # #ors'(e tend 2ersa si et se(#ement si "
-o(r to(t εK) i# eiste dK te# '(e -o(r to(t 2&ri7iant
@ J a@don ait 7 J #@ε+
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Définition
On dit '(e 7 tend 2ers # '(and tend 2ers 9 et on#8on note "
#ors'(e 7 est a(ssi -roc%e '(e #8on 2e(t d( r&e# # si est s(77isamment .rand) ce '(e #8on trad(itmat%&mati'(ement -ar "
-o(r to(t εK) i# eiste MK te# '(e -o(r to(t 2&ri7iantDM on ait 7 J #@ε.Exemples
#7HI#im =∞→
Ee#im
=−
∞→
x
E
1#im
=∞→
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Q(and #a #imite d8(ne 7onction n8eisteFtFe##e -asdans RV
F Lors'(e #a #imite est infinie!Exemple
F Lors'(e #es #imites .a(c%e et droite eistent maisne sont -as &.a#es+
Exemple
+∞=→ *
1#im
0
1
#im
=>→
1
#im
−=
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
F Lors'(e #es #imites .a(c%e o( droite n8eistent -as
Exemple
≠→
1sin#im
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Unicit& de #a #imite
Si (ne 7onction 7 admet (ne #imite # #ors'(e tend 2ers a)a#ors cette #imite est unique+
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
O-&rations s(r #es #imites7 et . sont de( 7onctions te##es '(e "
a#ors
#7HI#ima
=→
%.HI#ima
=→
%#.IHIH7 #ima
+=+→
%#.IHIH7 #ima ×=×→
E%si%
#IHI.
7 H#ima
≠=→
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Passa.e #a #imite dans #es in&.a#it&sF 7 et . sont de( 7onctions te##es '(e 7 : . -o(rto(t ∈U) (n inter2a##e o(2ert contenant a+Si et eistent) a#ors "
F t%&or/me des .endarmesSi -o(r to(t ∈U on a . : 7 : %et
a#ors
7HI#ima→
.HI#ima→
.HI#im7HI#imaa →→
≤
R#%HI#im.HI#imaa
∈==→→
#7HI#imaa
=≠→
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Notion de contin(it&Soit 7 (ne 7onction n(m&ri'(e d&7inie en a+ On dit '(e 7est continue en a si se(#ement si "
7 est contin(e s(r (n inter2a##e o(2ert U si e##e estcontin(e en to(t -oint de U+
"ntuitivement) (ne 7onction est contin(e si et se(#ementsi on -e(t #a re-r&senter .ra-%i'(ement en (n se(# trait)sans a2oir #e2er #e cra$on de sa 7e(i##e+
7HaI7HI#imaa =
≠→
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Exemples de fonctions continues
F #es 7onctions a77ines
F #es 7onctions -o#$nWmes
F #es 7onctions sin(s et cosin(s
Exemple de fonction discontinue en un point
si X
7 =
17 =
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Si D) a#ors 7 = 1
Si @) a#ors 7 = F1
,8oY
7 n8est -as contin(e en +
7HEI17HI ==>→00lim x x
717 ≠−=<→00
lim
x
x
F1
1
O
7
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Pro#on.ement -ar contin(it&
Soit 7 (ne 7onction contin(e s(r (n inter2a##e U sa(7 en a+
On s(--ose '(e eiste+ Soit # cette #imite+
Soit . d&7inie -ar ". = 7 si X a
. est (ne 7onction contin(e en a+ C8est #e prolon#ementpar continuité de 7 en a+
7#im
a
a
≠
→
#7#im.aaa
==≠→
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Exemple
La 7onction d&7inie -ar n8est -as
d&7inie en = 1+ E##e n8est donc -as contin(e en = 1+Ce-endant) +
On -e(t donc d&7inir #e -ro#on.ement -ar contin(it& de 7en 1 "
1
*7
*
−−+
=
4=≠→7HI#im
11
Z.H1I
1si1M*7HI.HI
*
=
≠− −+==
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Racine de 7
Les so#(tions d8(ne &'(ation de #a 7orme 7 = sonta--e#&es #es racines de 7+
Point 7ie de 7 Les so#(tions d8(ne &'(ation de #a 7orme 7 = sonta--e#&es des -oints 7ies de 7+
Remarque
Les racines de 7 sont #es -oints 7ies de . d&7inie -ar
7 [ . \ +
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
T%&or/me des 2a#e(rs interm&diaires
Soit U (n inter2a##e non 2ide de R et 7 (ne 7onctionn(m&ri'(e d&7inie et contin(e s(r U+
Soient a et 0 dans U) a : 0+Si 7a : 70) a#ors -o(r to(t $∈
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
I##(stration d( coro##aire
$
a 0c
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Si 7 n8est -as contin(e #e t%&or/me et #e coro##aire sontmis en d&7a(t+
$
a 0
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Eem-#e oY (ne racine eiste) 0ien '(e #8(ne des%$-ot%/ses d( coro##aire ne soit -as 2&ri7i&e+
$
a 0
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Un t%&or/me de -oint 7ie
Si 7 est contin(e s(r
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
La 7onction . 2&ri7ie donc "
.a D et .0 :
,8oY .a+.0 :
Le coro##aire a77irme a#ors #8eistence d8(n r&e# c te# '(e#8on ait .c = ) c8estFFdire 7c = c+
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
,&ri2&e d8(ne 7onction n(m&ri'(eLa notion mat%&mati'(e de d&ri2&e est 7ondamenta#e en&conomie oY e##e corres-ond a( .rande(rs dites
mar.ina#es+Définition " Soit 7 (ne 7onction n(m&ri'(e d&7inie s(r (ninter2a##e o(2ert contenant U+ 7 est d&ri2a0#e en a∈U sison ta( de 2ariation "
admet (ne #imite '(and tend 2ers a+
aF
7HaIF7HI#im
aa
≠→
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
On a--e##e a#ors cette #imite) #ors'(8e##e eiste)#a dérivée de 7 en a et on #a note "
Remarques U doit ^tre o(2ert La #imite -r&c&dente est a(ssi &.a#e
aF
7HaIF7HI#imHaI7
a
a
≠
→=′
%
7HaIF%I7Ha#im
%%
+≠→
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Si on se #imite %K) on o0tient #a d&ri2&e droite en a+
,e #a m^me 7a_on) si %@) on o0tient #a d&ri2&e .a(c%e de a) not&e +
7 est d&ri2a0#e si et se(#ement si +
Définition 7 est d&ri2a0#e s(r (n o(2ert U si et se(#ement si 7 estd&ri2a0#e en c%a'(e -oint de U+
a7 .′a7 a7 d. ′=′
%
7HaIF%I7Ha#imHaI7
E% E%
d
+=′>→
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
7 est dériva%le en "
Comme
i# en r&s(#te "
1sin#im
EF
7HEIF7HI#im
≠→
≠→
=
1sin ≤
0==≠→
≠→
1sin#im
EF
7HEIF7HI#im
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
F Po(r #e ca#c(# de #a dérivée sur un intervalle ouvert "(ti#iser #es d&ri2&es de 7onctions conn(es et #es r/.#es deca#c(# des d&ri2&es+
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Eem-#e &conomi'(e " cot de -rod(ction
F Cot tota#
La 7onction de cot e-rime #e cot tota# C$ -ermettant
(ne entre-rise de -rod(ire (ne '(antit& $ de 0iens+F Cot mo$en
On d&7init a#ors #e cot mo$en -ar "
b
CbCMb =
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
F Cot mar.ina# Le cot mar.ina# Cmar.ina# de -rod(ction est d&7initcomme "
#e cot s(--#&mentaire de -rod(ction -ermettant #a-rod(ction d8(ne (nit& s(--#&mentaire+
Une a(.mentation de #a -rod(ction de $) corres-ond (ne a(.mentation d( cot de C= $ + Cmar.ina#+
c8est dire "
$
C$F$C$Cmar.ina#
+≈
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
I# s8a.it en 7ait d8(n $ in7init&sima#) et #a notion de cotmar.ina# est re-r&sent&e mat%&mati'(ement -ar #ad&ri2&e de #a 7onction de cot "
H$IC $
CH$IF $ICH$#imCE $
mar.ina# ′=+=
→
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLEQ(e#'(es d&ri2&es de 7onctions (s(e##es
7 78 7 78αx
1α-αx αu(x) (x)uαu(x)α ′
x1
2x
1−u(x)1
( ) 2u(x)
(x)u′−
v(x)u(x) (x)vu(x)v(x)(x)u ′+′ v(x)u(x)
( ) 2v(x)
(x)vu(x)v(x)(x)u ′−′
lnx x1
lnu(x)u(x)
(x)u′
x
e
x
e
u(x)
e
u(x)
e(x)u′sinx cosx sinH(HII cos((′
cosx sinx− cos( sin((F ′
tanx
( )2
cosx
1
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Le t%&or/me des accroissements 7inis
Si 7 est contin(e s(r
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
I##(stration d( t%&or/me des accroissements 7inis
$
a 0c1 c*
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
!onctions de c#asse Cn
Soit 7 " , ⊂ R R (ne 7onction -oss&dant desd&ri2&es contin(es (s'(8 #8ordre n s(r ,+ On dit a#ors
'(e 7 est de c#asse Cn
s(r ,+Proposition
Soit 7 (ne 7onction de c#asse C1 s(r
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
&ormule de 'aylor a#ran#e
Soit 7 "
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
&ormule de 'aylor oun#
Soit I (n inter2a##e r&e# o(2ert et 7 " I R (ne 7onction n
7ois d&ri2a0#e en E∈I+
A#ors i# eiste (ne 7onction ε " I R te##e '(e "
et -o(r to(t % te# '(e E9%∈I
fH%I%nP
%
IH7 +++I%H7 I7H%I7H
nn
n
+++′+=+
f%#im%
=→
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
&ormule de 'aylor *ac aurin
Soit I (n inter2a##e r&e# o(2ert contenant #e r&e#
et 7 " I R (ne 7onction n 7ois d&ri2a0#e en +
A#ors i# eiste (ne 7onction ε " I R te##e '(e "
et -o(r to(t ∈I
On dit '(e #8on a e77ect(& (n développement de 'aylor en = #8ordre n+
f#imE
=→
fHInP
HEI7 +++HEI7 7HEI7HI
nn
n
+++′+=
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Exemples
F E77ect(er (n d&2e#o--ement de Ta$#or de #a 7onctione) en =) #8ordre +
F E77ect(er (n d&2e#o--ement de Ta$#or de #a 7onction
#n19) en =) #8ordre *+
fHIMP
*P
1e M
M*
++++=
fHI*
I#nH1 *
*
+−=+
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
Position d8(ne co(r0e -ar ra--ort sa tan.ente
A a)7a
$
T
a
7a
M
P
a9%
On s(--ose #a 7onction 7 g s(77isamment d&ri2a0#e h -o(r -o(2oir a--#i'(er
#a 7orm(#e de Ta$#or #8ordre n+
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
É'(ation de #a tan.ente en =a
La -osition de #a co(r0e -ar ra--ort sa tan.ente en a
est d&termin&e -ar #e si.ne de "
A On s(--ose et #8eistence d8(n entier n te# '(e#8on ait "
et '(e 7 HnI soit contin(e en a+Une a--#ication de #a 7orm(#e de Ta$#or montre '(e "
F si n est im-air) i# $ a (n -oint d8in7#eion
F si n est -air) i# n8$ a -as de -oint d8in7#eion+
aIHHaI7 7HaI$ −×′=−
a7 %7a%7aPHPMHMd% ′+−+=−==
EHaI7 et EHaI7 +++HaI7 n1Fn ≠===′′EHaI7 ≠′
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!ONCTIONS ,8UNE ARIABLE
B On s(--ose et #8eistence d8(n entier n te# '(e #8onait "
et '(e 7 HnI soit contin(e en a+
Une a--#ication de #a 7orm(#e de Ta$#or montre '(e "
EHaI7 et EHaI7 +++HaI7 n1Fn ≠===′′EHaI7 =′
n -air
7 na@ 7 naK
maim(m #oca# minim(m #oca#
n im-air
7 na@ 7 naK
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURSARIABLES
,&7inition d8(ne 7onction n(m&ri'(e de -#(sie(rs2aria0#es
Une 7onction numérique de n 2aria0#es est (ne
a--#ication d8(ne -artie , de Rn
2a#e(rs dans R+On #a note "
7 " , R
1) +++) n 7 1) +++) n
Le domaine de d&7inition de 7 est #8ensem0#e des -oints1) +++) n te#s '(e $ = 7 1) +++) n eiste dans R+ On #enote ,7 +
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURSARIABLES
Exemple
Soit 7 d&7inie -ar "
)$∈ ,7 >Z J ⇔ * J $* K )$∈ ,7 >⇔ * 9 $* @Z
** $Z
$I7H)
−−=
1
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURSARIABLES
C%eminUn c%emin c de Rn est (ne a--#ication d8(n inter2a##e I deR 2a#e(rs dans Rn "
c: I → Rn
t c1 t ) +++) cn t
Exemple
La -osition t) $t) 4t d8(n o0et (n instant donn& tdans #8es-ace d&7init (n c%emin de R "
t t) $t) 4t
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURSARIABLES
Limite d8(ne 7onctionSoit 7 (ne 7onction de n 2aria0#es d&7inie s(r , R⊂ n+ Ondit '(e 7 tend 2ers # '(and ∈ Rn tend 2ers a∈ Rn si et se(#ement si "
∀ε K ∃αK te# '(e -o(r to(t ∈ , 2&ri7iant Fa@α on ait 7F#@ε.
On &crit "
Si #a 7onction 7 -oss/de (ne #imite -o(r tendant 2ers a)a#ors cette #imite est unique+
#7HI#ima
=→
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURSARIABLES
Remarque
La #imite d8(ne 7onction 7 " Rn R en (n -oint a)#ors'(8e##e eiste) ne doit -as d&-endre de #a 7a_on donton tend 2ers a+
Exemple
Soit 7 " R* R d&7inie -ar "
E7HE)EI
HE)EI$IH)si
$
$$I7H)
**
=
≠
+
=
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURSARIABLES
Le #on. de #a droite d8&'(ation $ = t) on a "
Esit
ttI7H)
***
*
≠
+
= x
Esit1
ttI7H)
* ≠
+=
*E t1
ttI7H)#im
+=
→
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURSARIABLES
On en conc#(t '(e #a #imite de #a 7onction 7 #ors'(e
)$ ) ne -e(t eister -(is'(8e##e d&-end d(c%emin '(e #8on em-r(nte -o(r se ra--roc%er d( -oint
)+Ce -roc&d& -e(t ^tre (ti#is& -o(r montrer '(e #a #imited8(ne 7onction en (n -oint donn& n8eiste -as+
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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Contin(it& d8(ne 7onction 7 en (n -oint aUne 7onction de n 2aria0#es d&7inie s(r , R⊂ n estcontin(e en a ∈, si et se(#ement si "
Remarque
Une 7onction de -#(sie(rs 2aria0#es -e(t ^tre contin(e
-ar ra--ort c%ac(ne des 2aria0#es sans ^tre contin(ea( sens -r&c&dent -ar ra--ort #8ensem0#e des2aria0#es+
7HaI7HI#ima =→
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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ExempleSoit 7 " R* R d&7inie -ar "
Les 7onctions d8(ne 2aria0#e d&7inies -ar " et sont contin(es en +
Mais cette 7onction de de( 2aria0#es 7 n8est -ascontin(e en ) car e##e n8a -as de #imite en )+
E7HE)EI
HE)EI$IH)si$
$$I7H)
**
=
≠+
=
7H)EI"% → $I7HE)$". →
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURSARIABLES
,&ri2&es -artie##es Soit 7 " R* R) a∈ R*) a = a1)a*
Si eiste)
On note ce nom0re et on dit '(e c8est #a
d&ri2&e -artie##e de 7 -ar ra--ort 1 en a = a1)a*+
%
Ia)7HaIa%)7Ha
#im
*1*1 −+→0h
Ia)Ha
7 *1
1∂∂
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURSARIABLES
,e m^me si eiste) on note ce
nom0re et on dit '(e c8est #a d&ri2&e
-artie##e de 7 -ar ra--ort * en a = a1)a*+
%
Ia)7Ha%Ia)7Ha#im *1*1
−+→0h
Ia)Ha
7
*1*∂
∂
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURSARIABLES
P#(s .&n&ra#ement) soit 7 " Rn R et a = a1))an+
Si eiste) on note ce
nom0re et on #8a--e##e #a i&me d&ri2&e -artie##e de 7en a+
Remarque
C8est en 7ait #a d&ri2&e de #a 7onction n(m&ri'(e d8(ne2aria0#e " en =a i+
%
a)+++)7aa%)+++)a)+++)7a#im n1ni1
%
−+→
(a)xf
i∂∂
Ia)+++))+++)7Ha n1→
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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Exemple
19(1,3)y
f 74yy)(x,
y
f
16(1,3)x
f
115xy)(x,x
f
7yx2y5xy)f(x,
2
23
−=∂∂
−−=∂∂
=∂∂
+=∂∂
−+−=
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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Exercice
Ca#c(#e4 #es d&ri2&es -artie##es) -o(r to(t )$ de R*) de#ja--#ication 7 "
E7HE)EI
HE)EI$IH)si$
$$I7H)
**
=
≠+
=
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURSARIABLES
Par s$m&trie entre et $ on en d&d(it "
,&ri2&es -artie##es en )$ X )
0(0,0)y
f =
∂∂
***
**
***
**
I$H
$$IH)$
7
I$H
$$$IH)
7
+−−=
∂∂
+−
=∂∂
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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,&ri2&es -artie##es s(ccessi2esSoit 7 (ne 7onction de n 2aria0#es admettant (ne d&ri2&e-artie##e -ar ra--ort i -o(r to(t = 1))n+
Lors'(e #a 7onction
admet e##e m^me (ne d&ri2&e -artie##e -ar ra--ort )on a--e##e cette derni/re (ne d&ri2&e -artie##e seconde
o( d8ordre * et on #a note "
)+++)7 )+++) n1in1 ∂∂→
∂∂
∂∂
=∂∂
∂)x,...,(x
x
f
x)x,...,(x
xx
f n1
i j
n1
ji
2
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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Exemple
$)$ 7 $)$ 7
F$)$
7 Z$$)
$
7
$)
7 11k$)
7
$*$k$7)
**
*
*
*
**
*
=∂∂∂=∂∂∂
=∂∂
−−=∂∂
=∂
∂
+=∂
∂
−+−=
4
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURSARIABLES
T%&or/me de Sc%3art4Soit 7 " Rn R
Si #es d&ri2&es -artie##es secondes sont contin(es dans
(n o(2ert contenant a∈Rn) a#ors "
Le t%&or/me de Sc%3art4 s8a--#i'(e -ar eem-#e -o(r#es 7onctions -o#$nWmes)#es 7ractions rationne##es+
(a)xx
f (a)
xx
f
i j
2
ji
2
∂∂∂
=∂∂
∂
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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Remarque d+ordre pratique Po(r -o(2oir a--#i'(er 7aci#ement #e t%&or/me deSc%3art4) i# 7a(t ^tre ca-a0#e de reconna`tre si #a7onction &t(di&e a des d&ri2&es -artie##es secondes
contin(es sinon son a--#ication n&cessite #e ca#c(#e-#icite des d&ri2&es -artie##es secondes+
Eem-#es de 7onctions d&ri2&es -artie##es secondescontin(es " #es 7onctions -o#$nWmes de -#(sie(rs
2aria0#es) #es 7ractions rationne##es en (n -ointn8ann(#ant -as #e d&nominate(r)
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURSARIABLES
En to(t -oint di77&rent de #8ori.ine) #e t%&or/me deSc%3art4 est 2&ri7i& "
$IH)$
7
I$H
I$$1EIH$H$IH)
$
7 *
**
Z**Z***
∂∂
∂=
+
++−=
∂∂
∂
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURSARIABLES
!onctions de c#asse Cr
Soit 7 " Rn R+
7 est dite de c#asse Cr si 7 -oss/de des d&ri2&es
-artie##es contin(es (s'(8 #8ordre r s(r Rn
+
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURSARIABLES
Matrice %essienneSoit 7 " R* R) a∈ R*) a = a1)a*+ On s(--ose '(e 7admet des d&ri2&es -artie##es en a (s'(8 #8ordre de(+
La matrice %essienne de 7) ca#c(#&e en a) est "
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
a)a$
7 a)a$
7
a)a$
7 a)a
7
*1*
*
*1
*
*1
*
*1*
*
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURSARIABLES
Exemple
Ca#c(#er #a matrice %essienne de 7 en a=*)1+
1
12
=∂∂
∂=
∂∂∂
=∂∂
+−=∂∂
=∂∂+=
∂∂
+−=
$)$
7 1$)
$
7
F$)$
7 $$)
$
7
$)
7 $1k$)7
$*$k$7)
**
*
**
*
*
*
y
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURSARIABLES
Exemple s(iteMatrice %essienne de 7 ca#c(#&e en a=*)1
−= 121160
essf(2,1)
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURSARIABLES
Gradient d8(ne 7onction 7 " Rn RLe .radient d8(ne 7onction 7 " Rn R en a∈Rn est #e2ecte(r "
∂
∂
∂∂
=→
(a)x
f
(a)x
f
f(a)!"a#
n
1
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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O C O S US U SARIABLES
Co(r0es) s(r7aces de ni2ea(Soit 7 " , -artie de R* R+ Une co(r0e de ni2ea( de 7est #e so(sFensem0#e de R* d&7ini -ar 7) $ = 5 oY 5 est(n nom0re r&e#+
Notation" On note #a co(r0e de ni2ea( 5 -ar C5 = >) $ ∈ R*l 7) $ = 5+Soit 7 " ,-artie de R R+ Une s(r7ace de ni2ea( de 7est #e so(sFensem0#e de R d&7ini -ar 7) $)4 = 5 oY 5
est (n nom0re r&e#+ Notation" On note #a s(r7ace de ni2ea( 5 -ar S5 = >) $)4 ∈ Rl 7) $)4 = 5+
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!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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ARIABLES
,i77&rentie##e d8(ne 7onction 7 " Rn RLa di77&rentie##e de 7 en a = a1))an) est #8a--#ication)not&e d7a " Rn R
Remarque
Si #es d&ri2&es -artie##es de 7 en a eistent a#ors #adi77&rentie##e de 7 en a eiste+
H%Id7HaIHaI7 %I%)+++)H%
n
1i iin1 ∑
=
=∂∂→
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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ARIABLESExemple
Ca#c(#er #a di77&rentie##e de 7 d&7inie -ar "
2121
2
2
2
33
23$17$)$,#f(1,2)($
% % f(1,2)
-23(1,2)y
f x6yy)(x,
y
f
17(1,2)x
f y15xy)(x,
x
f (1,2).aen
xy2y5xy)f(x,
−=→
=∂
∂
+−=∂
∂
=∂∂
+=∂∂ =
+−=
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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ARIABLES
Lien entre #a di77&rentie##e de 7 en a et #e .radientde 7 en a "La di77&rentie##e de 7 en a ca#c(#&e en % est &.a# a(-rod(it sca#aire d( .radient de 7 en a a2ec #e 2ecte(r "
nR%to(t-o(r %7a.radd7a% ∈•= →→→
$
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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ARIABLES
,i77&rentia0i#it& d8(ne 7onction 7 " Rn R 7 est di77&rentia0#e en a∈Rn s8i# eiste (ne 7onctionε " Rn R te# '(e #8on ait "
Remarques
Cette re#ation si.ni7ie '(e 7) a( 2oisina.e de a) c8estFF
dire en a9%) est a--roimati2ement &.a#e 7 -e(t -oss&der des d&ri2&es -artie##es en a sans -o(ra(tant ^tre di77&rentia0#e en a+
fH%I%d7HaIH%I7HaI%I7Ha ++=+ 0($)limavec 0$ =→
d7a%+7a +
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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ARIABLES
P#an tan.ent Soit 7 " R* R) #8&'(ation d( -#an tan.ent #a s(r7aced8&'(ation 4=7)$ a( -oint ME E)$E s8&crit "
Remarque
"ntuitivement) (ne 7onction de de( 2aria0#es estdi77&rentia0#e en E)$E si et se(#ement si son .ra-%e est0ien a--roc%& -ar son -#an tan.ent+
$+$$)$7 +$)
7 $)74 −∂
∂+−∂∂=−
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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ARIABLES
,&2e#o--ement de Ta$#or d8(ne 7onction 7 " U o(2ert de R* ROn s(--ose '(e 7 -oss/de des d&ri2&es -artie##es
contin(es (s'(8 #8ordre * s(r (n o(2ert U 7 est dite dec#asse C* s(r U contenant E)$E+
Si %=%1)%*∈ R* est te# '(e E9%1)$E9%* ∈U) a#ors on a "
0($)limavec
($)$)y,(xy
f
2
$)y,(x
yx
f $$)y,(x
x
f
2
$
)y,(x
y
f $)y,(x
x
f $)y,f(x)$y,$f(x
0,0)()$,($
2
002
22
200
2
21002
22
1
002001002010
21 =
+∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
+
∂
∂+
∂
∂+=++
→
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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ARIABLESExemple
Écrire #e d&2e#o--ement de Ta$#or #8ordre *) a(to(r d(-oint ) -o(r #a 7onction d&7inie -ar "
1(0,0)
yx
f 1(0,0)
y
f 1(0,0)
x
f
ey)(x,x
f ey)(x,
y
f e-2y)(x,
x
f
-1(0,0)y
f 1(0,0)
x
f
ey)(x,y
f e2xy)(x,
x
f
ex1y)f(x,
2
2
2
2
2
yx2
yx
2
2yx
2
2
yxyx
yx2
−=
∂∂
∂−=
∂
∂=
∂
∂
−=∂∂
∂−=
∂∂
=∂∂
=∂∂
−=∂∂
−=∂∂−=
∂∂
−+=
+++
++
+
y
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
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ARIABLESExemple s(ite
%)f%#ima2ec
%)f%%%*
%%%
*
%%%%)7%
*1)%)%
*1*
**
1
**
*1
*1
*1*1
*1=
++−−+−−=
→
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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ARIABLES
A--#ication #a rec%erc%e des etrema d8(ne7onctionSoit 7 " Uo(2ert de Rn R (ne 7onction di77&rentia0#es(r U+
Si #e maim(m res-ecti2ement #e minim(m de 7 estatteint en (n -oint a de U) a#ors d7a=) c8estFFdire "
-o(r to(t 1:i:n
Remarque
La r&ci-ro'(e est en .&n&ra# 7a(sse+
0(a)x
f
i
=
∂
∂
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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ARIABLESDéfinition Soit 7 " U o(2ert de Rn R (ne 7onction di77&rentia0#es(r U+ a∈Rn est (n -oint criti'(e de 7 si d7a=+$onditions du 1er ordre
Ce sont des conditions n&cessaires d8o-tima#it&+ E##es-ermettent de tro(2er #es -oints criti'(es de 7+
0)x,...,(xxf
0)x,...,(xxf
n1
n
n1
1
=∂∂
=∂∂
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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ARIABLESExemple
43).-*(-13, c"iti+ue ointseulun#oncayl
3-4y3,-1xsolution ou"asystme/e
03y2xy
f
02yx2xf
o"#"e "emie"#u/on#itions
y3x2yyxxy)(x,f 22
==
=++=∂∂
=++=∂∂
++++=
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
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ARIABLES
Conditions d( second ordreSoit 7 " U o(2ert de R* R) a∈ R*) a = a1)a*+S(--osons '(e a soit (n -oint criti'(e de 7) a#ors on a "
Si %=%1)%*∈ R* est te# '(e a19%1)a*9%* ∈U) #a 7orm(#ede Ta$#or s8&crit "
a)a$
7
a)a
7 *1*1 =∂
∂=∂
∂
( )
0($)limet
)a,(ay
f /)a,(a
yx
f )a,(a
x
f avec
($)$/$$2$$2
1)a,f(a)$a,$f(a
0$
212
2
21
2
212
2
22
221
2
1212211
=
∂∂
=∂∂
∂=
∂∂
=
++++=++
→
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
103/153
ARIABLES
Le si.ne de est donc ce#(i de#8e-ression "
Ia)7HaI%a)%7Ha *1**11 −++
−+
+=
−+
+=
++
=≠
++=
*
**
*
1*
**1
*
**
*
1*
**1
*
1
*
*
1*
**1*
*
**1
*
1*1
A
B AC
A
B
%
% A%I%)'H%
A
B
A
C
A
B
%
% A%I%)'H%
AC
%%
AB*
%% A%I%)'H%E%Si
C%%*B% A%I%)'H%
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
104/153
ARIABLES
Si %*X et '%1)%* sera -ositi7 -o(r -o(r AKet n&.ati7 -o(r A@+
Si %*= et %1X sera -ositi7 -o(r AK
et n&.ati7 -o(r A@+
Si ) on ne -e(t rien dire d( si.ne de '%1)%* i#d&-end des 2a#e(rs de %1 et %*+
0>*BF AC
*
1*1 A%I%)'H% =
0
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
105/153
ARIABLES$onditions du second ordreSoit 7 " U o(2ert de R* R de c#asse C* et a∈R*+La matrice %essienne de 7 en a eiste et s8&crit "
1 Si AK et ) a est (n minim(m+* Si A@ et ) a est (n maim(m+
Si ) a n8est ni (n maim(m ni (n minim(m)a est (n -oint co# o( se##e+Z Si ) cette m&t%ode ne -ermet -as deconc#(re+ I# 7a(t 7aire (ne &t(de directe+
= CB
B AHess7a
0>*BF AC0>*BF AC
0<*
BF AC
0=*BF AC
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
106/153
ARIABLESRemarquesLes conditions d( second ordre sont des conditionss(77isantes d8o-tima#it&+
E##es se .&n&ra#isent -o(r nK*+
E##es concernent des etrem(ms #oca(+
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
107/153
ARIABLESExempleSoit 7 " R* R d&7inie -ar "
Le -oint ) est (n -oint criti'(e de 7+
Cas EK) GK " #8ori.ine est (n minim(m+
22 yxy)f(x, +=
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
108/153
ARIABLES
Cas E@) G@ " #8ori.ine est (n maim(m+
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
109/153
ARIABLES
Cas EK) G@ " i# n8$ a -as d8etrem(m) #8ori.ine est (n-oint co#+
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
110/153
ARIABLESExerciceSoit 7 " R* R d&7inie -ar "
1 Rec%erc%er #es -onts criti'(es de 7+
* Ét(dier #e(r nat(re+
So#(tion
1
) est donc #e se(# -ont criti'(e+
42 yxy)f(x, +=
EZ$
E* =
=
!ONCTIONS ,E PLUSIEURS
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
111/153
ARIABLESExercice s(ite* Nat(re d( -oint criti'(e )
On ne -e(t conc#(re+ On eamine #e si.ne de "
) est donc (n minim(m+
0/00
020)ess(f)(0,
0y)(x,yx
f y12y)(x,
y
f y4y)(x,
y
f
2y)(x,x
f x2y)(x,
x
f
2
22
2
23
2
2
=−
=
=∂∂
∂=
∂∂
=∂∂
=
∂
∂=
∂
∂
0$$f(0,0))$,0$f(0 4
2
2
121 ≥+=−++
CONEITÉ
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
112/153
CONEITÉ
Ensem0#e con2eeUne so(sFensem0#e A de Rn est con2ee s8i# contient to(tse.ment oi.nant de( '(e#con'(es de ses -oints+
∀M1)M*∈ A*) t∀ ∈
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
113/153
CONEITÉ
!onctions con2ees) conca2esSoit 7 " A -artie con2ee de Rn R+ 7 est con2ee s(r A si "
∀M1)M*∈ A*) ∀t∈
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
114/153
CONEITÉ
Remarques J Une 7onction 7 est con2ee si et se(#ement si #e
se.ment re#iant to(t co(-#e de -oints sit(&s s(r #as(r7ace d&7inie -ar 7 est sit(& a(Fdess(s de cette
s(r7ace+ J Une 7onction 7 est conca2e si et se(#ement si #e
se.ment re#iant to(t co(-#e de -oints sit(&s s(r #as(r7ace d&7inie -ar 7 est sit(& a(Fdesso(s de cette
s(r7ace+ J Ne -as con7ondre ensem0#e con2ee et 7onctioncon2ee+
CONEITÉ
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
115/153
CONEITÉ
Exemples * est con2ee s(r R*+
#n est conca2e s(r >∈ R K +
1? est con2ee s(r >∈R K +
α
est con2ee s(r R9 -o(r
α ≥
1 o( α ≤
l conca2e-o(r ≤ α ≤ 1+
CONEITÉ
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
116/153
CONEITÉ
7
e-i7
É-i.ra-%e de 7 e-i7 = >)t ∈,7) 7 : t,7 " domaine de d&7inition de 7
7 con2ee e-i 7 con2ee⇔
t) t
CONEITÉ
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
117/153
CONEITÉ
Pro-ri&t&s1 Soit 7 1 " Rn R)) 7 5 " Rn R) 5 7onctions con2eess(r Rn) a#ors #a somme est con2ee s(r Rn+
* Si 7 est (ne 7onction con2ee s(r Rn et aK a#ors a+7
est (ne 7onction con2ee s(r Rn+ Soit 7 1 " R R)) 7 5 " R R) 5 7onctions con2eess(r R) a#ors #a 7onction 7 d&7inie -ar "
71))5 = 7 11 99 7 55
est (ne 7onction con2ee s(r R5+
CONEITÉ
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
118/153
Z Si 7 " Rn R est (ne 7onction con2ee s(r Rn
et . " RR (ne 7onction croissante con2ee s(r R) a#ors. 7 est (ne 7onction con2ee s(r∘ Rn+
Exemples
Soit 7 " R R d&7inie -ar " 7)$)4 = *9$*94*+
7 est con2ee R s(r d8a-r/s #a -ro-ri&t& +
Soit % " R R d&7inie -ar " %)$)4 = e-7)$)4+
% est con2ee s(r R d8a-r/s #a -ro-ri&t& Z) a2ec
.(=e-(+
CONEITÉ
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
119/153
CONEITÉ
!onctions d&ri2a0#es con2eesProposition 1 " soit 7 " I inter2a##e de R R (ne7onction d&ri2a0#e s(r I+ A#ors 7 est con2ee res-+conca2e s(r I si et se(#ement si est croissante res-+
d&croissante+Proposition " (ne 7onction d&ri2a0#e s(r (n inter2a##e Iest con2ee si et se(#ement si -o(r to(t co(-#e a) de-oints de I "
E##e est strictement con2ee si #8in&.a#it& est stricte -o(rto(t Xa+
aIHaIH7 7HaI7HI −′≥−
7 ′
CONEITÉ
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
120/153
CONEITÉ
Remarque
La -ro-osition * si.ni7ie '(e -o(r (ne 7onction d&ri2a0#e)7 est con2ee si et se(#ement si #e .ra-%e de 7 est sit(&a( dess(s de to(tes #es tan.entes+
7
a
CONEITÉ
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
121/153
CONEITÉ
Proposition Soit 7 " I inter2a##e de R R (ne 7onction de( 7oisd&ri2a0#e s(r I) a#ors 7 est con2ee res-+ conca2e si etse(#ement si res-+ s(r I+
Exemples 7 est con2ee s(rR+
. est donc conca2e s(r ;)<
xxx e(x)f e(x)f ef(x) =′′=′=
*
1HI.
1HI.#n.HI −=′′=′=
0f ≥′′ 0f ≥′′
CONEITÉ
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
122/153
CONEITÉ
Proposition -Soit 7 " I inter2a##e de R R (ne 7onction de( 7oisd&ri2a0#e s(r I+ Si s(r I) a#ors 7 est strictementcon2ee s(r I+
RemarqueLa r&ci-ro'(e de #a -ro-osition Z est 7a(sse en .&n&ra#+
Ainsi) Z est strictement con2ee s(r R et ce-endant#a d&ri2&e seconde de cette 7onction n8est -as
strictement -ositi2e en +
0f >′′
CONEITÉ CONCAITÉ
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
123/153
CONEITÉ CONCAITÉ
!onctions 7 " A⊂ R* R de c#asse C* con2eesProposition 1
Soit A (ne -artie con2ee de R* et 7 " A R (ne 7onctionde c#asse C*+
7 est con2ee s(r A si et se(#ement si "
7 est conca2e s(r A si et se(#ement si "
0y)(x,yx
f -y)(x,
y
f y)(x,
x
f 0,y)(x,
x
f y)(x,
22
2
2
2
2
2
2
≥
∂∂
∂∂∂
×∂∂
≥∂∂
∈∀
0y)(x,yx
f -y)(x,
y
f y)(x,
x
f 0,y)(x,
x
f y)(x,
22
2
2
2
2
2
2
≥
∂∂
∂∂∂
×∂∂
≤∂∂
∈∀
CONEITÉ
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
124/153
CO
Proposition
Soit A (ne -artie con2ee de R* et 7 " A R (ne 7onctionde c#asse C*+ Si
a#ors 7 est strictement con2ee s(r A+ Si
a#ors 7 est strictement conca2e s(r A+
0y)(x,yx
f
-y)(x,y
f
y)(x,x
f
0,y)(x,x
f
y)(x,
22
2
2
2
2
2
2
>
∂∂
∂
∂
∂
×∂
∂
>∂
∂
∈∀
0y)(x,
yx
f -y)(x,
y
f y)(x,
x
f 0,y)(x,
x
f y)(x,
22
2
2
2
2
2
2
>
∂∂
∂
∂
∂×
∂
∂<
∂
∂∈∀
CONEITÉ
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
125/153
Exemple
7 est (ne 7onction strictement con2ee s(r R*
+
Remarque
La r&ci-ro'(e de #a -ro-osition * est 7a(sse en .&n&ra#+
040y)(x,yx
f -y)(x,
y
f y)(x,
x
f
0y)(x,
yx
f 4y)(x,
y
f 010y)(x,
x
f
2y5xy)f(x,
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
>=
∂∂
∂∂∂
×∂∂
=
∂∂
∂=
∂
∂>=
∂
∂
+=
CONEITÉ
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
126/153
Remarque Les -ro-ositions -r&c&dentes se .&n&ra#isent endimension n+ La notion de d&terminant d8ordre n estce-endant n&cessaire #e(r 7orm(#ation+ La -ro-osition
s(i2ante consid/re #e cas n=+
CONEITÉ
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
127/153
Proposition Soit A (ne -artie con2ee de R et 7 " A R (ne 7onction dec#asse C*+ 7 est con2ee s(r A si et se(#ement si "
-o(r to(t )$)4∈ A "
0)y,(x,x
f 2
2
≥∂∂
0≥
∂∂
∂∂∂ ∂∂
∂
∂
∂
4I$)H)$
7 4I$)H)
$
7
4I$)H)
$
7 4I$)H)
7
*
**
*
*
*
0
)y,(x,
f )y,(x,
y
f )y,(x,
x
f
)y,(x,yf )y,(x,
yf )y,(x,
yxf
)y,(x,x
f )y,(x,
yx
f )y,(x,
x
f
2
222
2
2
22
22
2
2
≥
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
CONEITÉ
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
128/153
Exemple
0423
326
01220
06
06
3
2
1
>===∆
>==∆
>=∆
=
+++=
*
*
4$)Hess7)
$4Z4$4$)7) ***
7 est con2ee s(r R
CONEITÉ
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
129/153
Etrem(ms de 7onctions con2ees o( conca2es'.éor/me
Soit A (ne -artie con2ee res-+ conca2e de Rn
et 7 " A R (ne 7onction de c#asse C1 con2ee res-+conca2e s(r A+ A#ors to(t -oint criti'(e de 7 s(r A est (nminim(m res-+ maim(m a0so#(+
Si 7 est strictement con2ee res-+ conca2e) ceminim(m res-+ maim(m a0so#( est (ni'(e+
O-timisation a2ec (ne contrainte
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
130/153
-
!orm(#ation #a.ran.ienneSoit #e -ro0#/me d8o-timisation " so(s #acontrainte7 est #a 7onction g o0ecti7 h
La.ran.ien associ& "
Remarque Le #a.ran.ien -ermet de trans7ormer #e -ro0#/me initia#de maimisation so(s contrainte en (n -ro0#/me demaimisation sans contrainte -ortant non -#(s s(r #a7onction o0ecti7 mais s(r #e #a.ran.ien+
)x,...,f(xmax n10)x,...,!(x n1 =
)x,...,6!(x)x,...,f(x6),x,...,7(x n1n1n1 +=
O-timisation a2ec (ne contrainte
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
131/153
-
,e '(e##es m&t%odes dis-oseFtFon -o(r &t(dier#a nat(re des -oints criti'(es d( #a.ran.ien V J Et(dier #a con2eit& o( #a conca2it& d( La.ran.ien
Si L est con2ee) (n -oint criti'(e est (n minim(m so(s
contrainte o( minim(m #i&+ Si L est conca2e) (n -oint criti'(e est (n maim(m so(s
contrainte o( maim(m #i&+
J Et(dier #a matrice %essienne d( #a.ran.ien
J Et(dier directement #e si.ne de 79%F7) et9% satis7aisant #8&'(ation de #a contrainte "
.= et .9%=+
O-timisation a2ec (ne contrainte
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
132/153
-
Et(de de #a con2eit& o( de #a conca2it& d(#a.ran.ien J Si 7 est con2ee res-+ conca2e et #a contrainte est #in&aire a#ors
#e #a.ran.ien est con2ee res-+ conca2e+
J Si 7 est con2ee res-+ conca2e) #a contrainte con2ee res-+conca2e et #e m(#ti-#icate(r de La.ran.e a( -oint criti'(e-ositi7) a#ors #e #a.ran.ien est con2ee res-+ conca2e+
J Si 7 est con2ee res-+ conca2e) #a contrainte conca2e res-+con2ee et #e m(#ti-#icate(r de La.ran.e a( -oint criti'(e
n&.ati7) a#ors #e #a.ran.ien est con2ee res-+ conca2e+
O-timisation a2ec (ne contrainte
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
133/153
-
Exemple 1 0 optimiser le cot sous contrainteSoit de( 0iens et $ de -ri res-ecti7 1 et k+
Cot des 0iens "
Soit % (ne 7onction de -rod(ction des de( 0iens et $ "
de2ant satis7aire "
La.ran.ien "
22 y-15yx-20xy)$(x, +=
)55y-15yx-20x(510)y,(x, 22 −+++= λ λ y x
y x 510y)f(x, +=
55y)$(x,
=
O-timisation a2ec (ne contrainte
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
134/153
-
Exemple 1 0 optimiser le cot sous contrainteConditions d( -remier ordre
02x)-20(10
x
=+=
∂
∂λ
02y)-(155y
=+=
∂∂
λ
055-y-15yx-20x
22 =+=∂
∂
O-timisation a2ec (ne contrainte
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
135/153
-
Exemple 1 0 optimiser le cot sous contrainteRec%erc%e des -oints criti'(es
λ
λ 105 x+
=λ
λ
2
155 y+
=
055-2
155 -
2
15515
105 -
10520
22
=
+++
++
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
9
5,9
5
1
25
0125405
21
2
2
=−=
=
=−
λ λ
λ
λ
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
136/153
O-timisation a2ec (ne contrainte
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
137/153
Matrice %essienne d( #a.ran.ien
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=
2
222
2
2
22
22
2
2
)y,(x,ess
)y,(x,
y
)y,(x,
x
)y,(x,
y
)y,(x,
y
)y,(x,
xy
)y,(x, x
)y,(x,
yx
)y,(x,
x
)y,(x,
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
138/153
O-timisation a2ec (ne contrainte
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
139/153
Nat(re des -oints criti'(esPo(r &t(dier #a nat(re des -oints criti'(es) no(s a##onsa--#i'(er #a m&t%ode dite d( %essien 0ord&+
O-timisation a2ec (ne contrainte
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
140/153
Matrice %essienne 0ord&e d( La.ran.ien
∂∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
0x
!
x
!
x
!
x
!
x
xx
xx
x
!
xx
x
xx
x
!
xx
xx
x
n21
n2n
2
n2
2
n1
2
2n2
2
2
2
2
21
2
1n1
2
21
2
2
1
2
O-timisation a2ec - contraintes
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
141/153
$onditions du premier ordre
i10)x,...,(x!6
6),x,...,7(x
0x
)x,...,(x!6 x
)x,...,f(xx
6),x,...,7(x
0x
)x,...,(x!6 x
)x,...,f(xx
6),x,...,7(x
0x
)x,...,(x!6
x
)x,...,f(x
x
6),x,...,7(x
n1i
i
n1
1 n
n1ii
n
n1
n
n1
1 2
n1ii
2
n1
2
n1
1 1
n1ii
1
n1
1
n1
≤≤==∂
∂
=∂∂+∂∂=∂∂
=∂
∂+∂
∂=∂
∂
=∂
∂+
∂∂
=∂
∂
∑
∑
∑
=
=
=
p
i
p
i
p
i
O-timisation a2ec - contraintes
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
142/153
Matrice %essienne 0ord&e d( La.ran.ien
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
000x
!
x
!
x
!
000x
!
x
!
x
!
000x
!
x
!
x
!
x
!
x
!
x
!
x
7
xx
7
xx
7
x
!
x
!
x
!
xx
7
x
7
xx
7
x
!
x
!
x
!
xx
7
xx
7
x
7
n
2
1
n
2
2
2
1
2
n
1
2
1
1
1
n
n
2
n
1
2
n
2
n2
2
n1
2
2
2
2
2
1
n2
2
2
2
2
21
21
1
2
1
1
n1
2
21
2
2
1
2
O-timisation a2ec - contraintes
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
143/153
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaaaaaa
Mine(rs -rinci-a( dia.ona( d8ordre 5 d8(nematrice carr&e
Ordre 1
Ordre *
Ordre
Ordre Z
O-timisation a2ec - contraintes
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
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Matrice %essienne d( #a.ran.ien ca#c(#&e en)λ Cas de 2aria0#es et 1 contrainte
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂∂∂∂ ∂∂∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
08)(x8,x
!8)(x8,
x
!8)(x8,
x
!
8)(x8,x!8)(x8,
x8)(x8,
xx8)(x8,
xx
8)(x8,x
!8)(x8,
xx
8)(x8,
x
8)(x8,
xx
8)(x8,x!8)(x8,
xx8)(x8,
xx8)(x8,
x
3
1
2
1
1
1
3
12
3
2
32
2
31
22
1
32
2
2
2
2
21
21
1
31
2
21
2
2
1
2
O-timisation a2ec - contraintes
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
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,&terminants em0o`t&s ∆iB -91:i:nCas de 2aria0#es et 1 contrainte
068)(x8,x!68)(x8,
x!
68)(x8,x
!68)(x8,
x
768)(x8,
xx
7
68)(x8,x
!68)(x8,
xx
768)(x8,
x
7
2
1
1
1
2
1
2
2
2
21
21
1
21
2
2
1
2
2
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂
=∆
1 * (ne contrainteMine(r -rinci-a#
dia.ona# d8ordre *
O-timisation a2ec - contraintes
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146/153
,&terminants em0o`t&s ∆iB -91:i:nCas de 2aria0#es et 1 contrainte
08)(x8,x
!8)(x8,
x
!8)(x8,
x
!
8)(x8,x
!8)(x8,
x
8)(x8,
xx
8)(x8,
xx
8)(x8,x
!8)(x8,
xx
8)(x8,
x
8)(x8,
xx
8)(x8,x
!8)(x8,
xx
8)(x8,
xx
8)(x8,
x
3
1
2
1
1
1
3
1
23
2
32
2
31
22
1
32
2
2
2
2
21
21
1
31
2
21
2
21
2
3
∂∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂∂
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=∆
1 * (ne contrainte
Mine(r -rinci-a#
dia.ona# d8ordre
O-timisation a2ec - contraintes
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
147/153
Conditions s(77isantes d( second ordre -o(r (no-tim(m #oca#'.éor/me
Soit )λ (n -oint criti'(e d( La.ran.ien )λ 2&ri7ie
#es CPO+ J Si #es nF- d&terminants ∆iB -91 : i :n sont de si.ne
a#tern&) #e -remier a$ant #e si.ne de F1-91) a#ors est (n maximum local so(s contrainte o( lié de 7+
J Si #es nF- d&terminants ∆iB -91 : i :n ont #e si.nede F1-) a#ors est (n minimum local so(scontrainte o( lié de 7+
O-timisation a2ec - contraintes
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
148/153
Exemple 1 0 optimiser le cot sous contrainte (suite)Po(r #e -oint criti'(e
Le -oint criti'(e est (n minim(m
#oca#+
= 09199100
10910
) ,y,(xess 111
( ) ( )95,3,1,y,x 111 −=λ
45009199100
10910
2 −==
( ) ( )95,3,1,y,x 111 −=λ
O-timisation a2ec - contraintes
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
149/153
Exemple 1 0 optimiser le cot sous contrainte (suite)Po(r #e -oint criti'(e
Le -oint criti'(e est (n maim(m#oca#+
( ) ( )95,12,19,y,x 222 =λ
−−
−−−−
=
0915
99100
150910
7 ) ,y,(xess 222
450
091
99100
10910
2 =
−−
−−−−
=∆
( ) ( )95,12,19,y,x 222 =λ
O-timisation a2ec - contraintes
8/18/2019 Cours Mathématiques - Semestre 1
150/153
Exemple 0 o-timiser "so(s #es contraintes "
La.ran.ien "
y2xyyx)y,f(x, 2
+−−+=
03-x
01y2x
=+=−−
3)-y(x1)-y-(2xy2xyyx),,y,7(x, 2 +++++−−+= µ λ µ λ
O-timisation a2ec - contraintes
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151/153
Exemple (suite) Conditions d( -remier ordre
03x:
01y2x
0:y1
0 2x1y
0:2 2y2xx
=−+=∂∂
=−−=∂∂
=++−=∂∂
=−+−=∂∂
=++−=∂∂
S$st/me S
O-timisation a2ec - contraintes
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Exemple (suite)R&so#(tion d( s$st/me S
Princi-e " ca#c(#er ) $ et 4 en 7onction de λ et µ #8aidedes -remi/res &'(ations+ P(is rem-#acer dans #es
&'(ations des contraintes ) $ et 4 -ar #es e-ressionso0ten(es+ On r&so(t a#ors #e s$st/me o0ten( -ar ra--ort λ et µ+ I# reste ca#c(#er ) $ et 4 -o(r #es 2a#e(rstro(2&es de λ et µ+
On tro(2e "( )-25:825,895,875,y865,x8 =====
O-timisation a2ec - contraintes
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153/153
Exemple (suite)Matrice %essienne d( La.ran.ien "
I# $a 2aria0#es et * contraintes) donc (n se(#d&terminant ca#c(#er ∆B=detHB=F@
−
−−−
=
00101
00012
10010
01102
12022
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