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Cours de mécanique analytique

MÉCANIQUE ANALYTIQUE 

 

1. Formalisme Lagrangien 

 

1.1. Coordonnées généralisées et référentiels

1.2. Principe variationnel

1.3. Équation d'Euler-Lagrange 

 

1.3.1. Théorème du calcul variationnel

1.4. Formalisme canonique 

 

1.4.1. Transformation de Legendre

1.4.2. Hamiltonien

1.4.3. Crochets de Poisson

1.4.4. Transformations canoniques

Nous devons la forme actuelle de la mécanique analytique appelée aussi parfois

"mécanique lagrangienne" aux travaux des frères Bernoulli et particulièrement d'Euleret Lagrange. C'est effectivement en 1696 que commence l'histoire de la vraiephysique théorique.

Au fait, l'événement de départ de la mécanique analytique provient de l'observationsuivante (énoncée au 17ème siècle) : Tout système semble évoluer d'un état à un autretoujours en utilisant les moyens les plus simples et en conservant une grandeur

constante entre les deux états.

 Remarques: 

R1. Les moyens précités peuvent êtres : le chemin le plus court, le chemin le plusrapide (les trajectoires spatio-temporelles à plus faibles amplitudes en gros...).

R2. Selon le premier principe fondamental de la physique, la grandeur constante estchoisie comme étant l'énergie.

Cet énoncé est appelé dans le cadre de la mécanique "principe de moindre action (deMaupertuis)" ou dans le cadre de la physique générale "principe variationnel" ouencore parfois dans le cadre de l'optique "principe d'économie" ou "principe de

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Fermat". Dans le cadre mathématique faisant purement abstraction des conceptsphysiques, nous parlons de "principe de Hamilton".

Plus techniquement, il est aussi formulé de la manière suivante : Un système se meutd'une configuration à une autre de telle façon que la variation de l'action (voir plus

loin) entre la trajectoire naturelle effectivement suivie et toute trajectoire virtuelleinfiniment voisine ayant les mêmes extrémités dans l'espace et dans le temps soitnulle.

Au fait, bien que cet énoncé puisse paraître comme cohérent, il peut faire doutermais... nous verrons :

1. Qu'en mécanique classique, nous pouvons démontrer la première loi de Newton enadmettant ce principe comme vrai et en y superposant le principe de conservation del'énergie et nous pouvons expliquer le mouvement de nutation presque tout solidesimple.

2. En électromagnétisme, nous retrouverons toutes les équations de Maxwell (inextenso la loi de Biot-Savart, Faraday, force de Lorentz, loi de Laplace, etc.) à partirdes propriétés du principe de moindre action et de conservation de l'énergie.

3. En optique, nous démontrerons que le chemin suivi par la lumière est toujours laplus courte et nous permettra donc de démontrer le principe de Fermat à la base detoute l'optique géométrique.

4. En physique atomique, les propriétés du principe de moindre action nous

permettront de déterminer certaines propriétés mathématique des atomes et autresparticules (les fermions et les bosons en physique quantique des champs).

5. Le principe de moindre action nous permettra également de démontrer que toutcorps, avec ou sans masse, est dévié par un champ d'accélération et... permet donc dedéterminer l'équation d'Einstein des champs qui est à la base de tout le chapitre sur larelativité générale.

6. Ce principe s'applique également pour obtenir des résultats puissants en géométriecomme nous allons le voir un peu plus loin. Ainsi, les techniques de la mécaniqueanalytique est très intiment liée à la mathématique pure.

Il va donc sans dire par ces six petits exemples les applications phénoménales de ceprincipe!!

Historiquement, il est intéressant de savoir que c'est Pierre-Louis Moreau deMaupertuis qui a énoncé le premier le principe de moindre action sous forme peuscientifique. L'intervention d'Euler et Lagrange dans ce domaine a été de mettre sousforme mathématique ce principe et de démontrer (tenez-vous bien...) qu'il découled'une simple propriété mathématique des optima des fonctions continues. Il va sansdire, que sachant que cela a permis de redémontrer toutes les lois de la physique en adérangé plus d'un...

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Ce principe a eu (et a toujours) des répercussions inimaginables et le problème futd'appliquer l'expression mathématique de ce dernier à tous les phénomènes physiquesqui avaient déjà étés démontrés de façon expérimentale et empirique à l'époque.Effectuer cette démonstration revenait ainsi à expliquer pourquoi tel phénomène outel loi était ainsi plutôt qu'autrement. Imaginez !

Ainsi, le premier à s'attaquer au problème fût donc le Bâlois (Suisse) Léonhard Euler.Mais nous avons également gardé le nom de Lagrange (d'où l'appellation :"formalisme lagrangien") pour définir toute la méthode et le formalismemathématique construit autour du principe de moindre action.

FORMALISME LAGRANGIEN

MÉCANIQUE ANALYTIQUE 

 

1. Formalisme Lagrangien 

 

1.1. Coordonnées généralisées et référentiels

1.2. Principe variationnel

1.3. Équation d'Euler-Lagrange 

 

1.3.1. Théorème du calcul variationnel

1.4. Formalisme canonique 

 

1.4.1. Transformation de Legendre

1.4.2. Hamiltonien

1.4.3. Crochets de Poisson

1.4.4. Transformations canoniques

La mécanique classique peut être formalisée de différentes manières. La plus couranteest la formulation de Newton, qui utilise la notion de force ( cf. chapitre de MécaniqueClassique). Elle est de loin la plus simple lorsqu'il s'agit de considérer un problèmeconcret et c'est pourquoi c'est celle qui est enseignée. Mais pour pouvoir traiter desproblèmes plus complexes ou plus finement, et pour pouvoir faire des démonstrationsrigoureuses, cette formulation n'est pas la plus pratique.

La mécanique analytique, initiée dès le 18ème siècle, regroupe ainsi différentesformulations très mathématisées de la mécanique classique, notamment lesmécaniques de Hamilton et de Lagrange (toutes ces formulations sont équivalentes!).

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Cette formalisation est assez peu enseignée dans les petites écoles car il faut bienl'avouer le formalisme lagrangien et hamiltonien (contenant donc le principe demoindre action sous forme mathématique) fait appel à un niveau d'abstraction un peuplus élevé que les méthodes normales et malgré qu'il soit souvent d'une aide précieusedans l'élaboration de théories (physique fondamentale, physique quantique, relativité

générale, théorie quantique des champs, théorie des supercordes), il en découlerarement de nouvelles solutions (mais plutôt une réduction et une méthode devalidation utile et très puissante).

Commençons donc notre travail :

COORDONNÉES GÉNÉRALISÉES ET RÉFÉRENTIELS

Un réflexe naturel conduit généralement à référer la position d'un point dans l'espace àla seule connaissance de ses trois coordonnées cartésiennes x, y, z. Cette attitude est

d'ailleurs le plus souvent justifiée par la simplicité d'un grand nombre de situationsrencontrées dans la pratique, où il n'est pas nécessaire de rechercher de méthodes plusélaborées ou de passer dans d'autres systèmes de coordonnées (cf. chapitre de CalculVectoriel).

Pour repérer la position d'un mobile (ou d'un point matériel) en physique il estnécessaire dans un premier temps d'associer un repère au référentiel. Ainsi, un"repère" est un système (physique concret) de repérage dans l'espace associé auréférentiel.

Les repères conventionnels en mécanique classique constituent majoritairement des

bases d'espaces pré-euclidiens canoniques (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) orientéset où chaque point, ou vecteur de l'espace, peut-être représenté algébriquement par sesvaleurs d'affixes (la valeur à l'ordoonnée (projection sur l'axe vertical) et la valeur àl'abscisse (projection sur l'axe horizontal).

Voici quelques exemples triviaux:

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 (ou plan d'Argand-Cauchy)

(29.1) 

Remarque: Comme nous l'avons vu dans le chapitre de Géométrie Différentielle, la distance

entre deux points d'une trajectoire courbe en parcourant la courbe est appelée "abscisse

curviligne". Sinon, la distance entre deux points d'une trajectoire rectiligne est appelée

simplement "abscisse".

Définitions: 

D1. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "référentiel Galiléen" (c'est rare quenous en fassions explicitement mention en physique par manque de rigueur) si :

- Nous pouvons le considérer comme immobile pendant toute l'étude du mouvementdu système ou comme étant en translation rectiligne uniforme par rapport à un autreréférentiel lui même immobile.

Donc si on néglige le mouvement de rotation du Soleil autour du centre de la galaxie,alors le référentiel héliocentrique peut être considéré comme galiléen. Si on néglige lemouvement de rotation de la Terre autour du Soleil, alors le référentiel géocentriquepeut être considéré comme galiléen. Si on néglige le mouvement de rotation de laTerre sur elle même, alors le référentiel terrestre peut-être considéré comme galiléen.Dans beaucoup d'expériences de mécanique à la surface de la Terre, nous constatonsque le référentiel terrestre peut-être considéré comme galiléen avec une très bonneprécision. Heureusement qu'il y a quand même un tas de phénomène où il faut tenircompte de la rotation de la Terre (déviation vers l'est, pendule de Foucault...etc.)

- Nous pouvons le considérer comme un système où les lois de Newton sont vérifiées(cf. chapitre de Mécanique Classique)

D2. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "barycentrique" (cf. le chapitre deGéométrie Euclidienne) s'il a pour origine le centre de masse (cf. chapitre deMécanique Classique) du corps étudié.

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Ainsi, le "repère de Copernic" est assimilé au centre de gravité (d'inertie) du systèmesolaire, le "repère héliocentrique" appelé aussi "repère de Kepler" au centre d'inertiedu Soleil.

D3. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "référentiel géocentrique" lorsque

nous prenons pour référence un système d'axes placés au centre d'inertie de la Terre.Les axes, parallèles à ceux du référentiel de Copernic, pointent vers trois étoiles fixes.Dans ce référentiel la Terre tourne sur elle même en 24 [h.].

D4. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "référentiel Terrestre" lorsque nousprenons pour référence un système d'axes placés au centre d'inertie de la Terre et qui àun mouvement de rotation uniforme correspondant à la vitesse de rotation de la Terre.Traditionnellement un des axes est dirigé vers l'étoile polaire. C'est le référentielauquel nous nous référons le plus dans la vie courante il n'est donc pas galiléen entoute rigueur! Ceci va induire des effets particuliers sur les mouvements dansl'atmosphère tels que nous les ressentons.

Remarque: Dire qu'un repère orthonormé est un "repère direct" signifie que

l'angle orienté a pour mesure principale (dans le sens horaire). Dire qu'un

repère orthonormé est un "repère indirect" signifie que l'angle orienté a pour

mesure principale . Dans tout ce qui suit, si nous ne spécifions pas l'orientation, cela

sous-entend que est direct.

Il est bien exact que les trois paramètres x, y, z suffisent parfaitement à repérer unpoint matériel dans l'espace usuel comme nous en avons déjà fait mention dans notreétude des espaces ponctuels (cf. chapitre sur les Principes), mais il n'en demeure pasmoins qu'il est parfois inévitable, ou même tout simplement plus avantageux, d'utiliserun nombre de paramètres supérieur à trois. Nous pouvons évidemment envisagertoutes sortes de paramétrages pour atteindre les coordonnées d'un point dans l'espace,de telle sorte que, d'une façon plus généralisée nous serons amenés à prendre enconsidération des relations du type (nous ne gardons plus la même écriture que celleque nous avions lors de notre étude des espace ponctuels par cohérence avec lesnombreuses références déjà existant sur le sujet):

(29.2) 

Les paramètres portent le nom de "coordonnées généralisées",paramètres auxquels un problème sera le plus souvent référé. Connaître leurexpression en fonction du temps est le problème fondamental de la dynamique. Celasignifie que nous serons parvenus à une solution quand nous disposerons des relationsindépendantes :

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  (29.3) 

Il est donc important de retenir que le nombre de paramètres définissant lerepérage d'un point dans l'espace est au moins égal à trois, sans être nécessairementdifférent de trois. C'est finalement la nature des situations envisagées qui suggèrent lechoix du nombre des paramètres à utiliser (coordonnées cartésiennes, cylindriques,sphériques,...).

Dans une vision plus générale, la configuration instantanée d'un système, quelle qu'ensoit la nature, sera déterminée par la connaissance, en fonction du temps, de n paramètres, n définissant le nombre de "degrés de liberté" du système (cf. chapitre deMécanique Classique).

Il est tout naturel, mathématiquement, d'associer la manipulation des n paramètres

au recours à un hyper-espace à n dimensions, dans lequel les apparaîtraientcomme les coordonnées d'un point P représentatif de la configuration d'un système

quelconque. Nous donnons à cet espace à n dimensions , le nom "d'espace deconfiguration".

Mais la rigueur de la mathématique-physique, nous amène à disposer d'une

description plus précise des phénomènes en ajoutant cette variable importante qu'estle temps, considérée souvent comme variable indépendante, aux . Nous en

arriverons donc fatalement à utiliser un autre hyper-espace auquel nous avonsdonné le nom "d'espace des événements".

Ce dernier espace de référence revêt un intérêt capital pour un grand nombre deproblèmes de la science moderne et se trouve particulièrement bien adapté auxraisonnements de nature relativiste. Les variables indépendantes constituant lescoordonnées spatiales et temporelle forment alors ce que nous appelons les "variablesd'Euler".

Dans la mesure où les paramètres sont simplement présentés comme des fonctions

explicites du temps, le point P décrit une courbe paramétrée, définie par ,

avec . Cela revient à exploiter simultanément les équations:

(29.4) 

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Il arrivera fréquemment que, pour des raisons d'opportunité, nous souhaitions changerde système de coordonnées généralisées, et utiliser un autre ensemble plus compatible

avec les spécificités du problème envisagé. Nous substituerons alors au jeu des un

nouveau jeu de coordonnées . Il est alors évident que nous devrons, avant toute

chose, nous doter des relations de dépendance existant entre les deux ensembles decoordonnées (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

(29.5) 

Les fonctions seront maintenant supposées définies, continues, de classe

(pour travailler avec l'accélération) par rapport aux et devrontconduire à un jacobien différent de zéro (cf. chapitre de Calcul Différentiel EtIntégral).

Dans ces conditions, à chaque point de l'espace des configurations des x, noté ,

correspondra un point de l'espace de configuration des q , noté . Nous avonsainsi effectué une transformation ponctuelle, autrement dit une application de l'espacesur lui-même.

Pour étudier des milieux continus (concept radicalement différent du point matériel),nous aurons cependant deux approches différentes:

1. Méthode de Lagrange: nous cherchons à caractériser le mouvement du milieu décritpar une formulation Lagrangienne consistant donc à le caractériser en se donnant unsystème d'équations au sens newtonien. Par dérivations, nous avons alors la vitesse etl'accélération du milieu.

2. Méthode d'Euler: Au lieu de suivre le parcours d'un point, nous portons notreattention sur l'évolution des caractéristiques physiques en un point donné comme lavitesse, l'accélération la température, la pression ou autre. Nous parlons alorsfréquemment de "système Eulérien".

PRINCIPE VARIATIONNEL

Le "principe variationnel" n'est donc que la forme mathématique contemporaine duprincipe de moindre action qui est, comme nous en avons déjà fait mention, à la basedu formalisme lagrangien.

Rappelons que selon l'énoncé du principe variationnel nous devons trouver dans toutphénomène physique, une certaine quantité qui est naturellement optimisée

(minimisée ou maximisée) et qui décrit toutes les variables du système étudié et ainsison issue.

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Voici la démarche que nous allons suivre, une fois cette démarche présentée, nousnous attaquerons à sa formalisation mathématique.

Les propositions sont les suivantes:

P1. Nous supposons donc le principe variationnel et le principe de conservation del'énergie comme justes.

P2. L'énergie totale d'un système fermé est constante et constituée de la sommation del'énergie cinétique et l'énergie potentielle.

Si nous ne considérons que l'énergie cinétique, alors le système est dit "systèmelibre", si les deux énergies sont considérées, nous disons alors que le système est un"système généralisé".

P3. Nous définissons une fonction mathématique (dont les variables sont lescoordonnées généralisées) appelée "Lagrangien" qui est donnée par la différence entreles deux énergies précitées.

P4. Sur l'évolution d'un système entre deux états, nous cherchons les propriétés de lafonction (du langrangien) qui donne la minimisation de la variation de la différencedes deux énergies sur l'évolution temporelle ou métrique du système.

Enfin, une fois cette propriété déterminée (mise sous la forme que nous appelons"équation d'Euler-Lagrange") nous chercherons toutes les autres propriétés possiblesafin d'avoir les outils nécessaires pour la physique théorique et vous allez voir cela

marche terriblement bien...Donc, pour mettre cela sous forme mathématique, nous commençons par poser qu'ilexiste une fonction réelle de 2n variables:

(29.6) 

que nous appellerons "Lagrangien généralisé" du système, dont l'intégrale satisfait àl'énoncé suivant :

Dans un mouvement naturel partant d'un point à l'instant , arrivant

au point à l'instant , l'intégrale suivante appelée "intégrale d'action"ou simplement "action":

(29.7) 

qui peut aussi être notée dans une écriture plus abrégée :

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  (29.8) 

doit être un extrémum (en fait, "un minimum" ou "un maximum", puisque nous

aurions pu tout aussi bien prendre - L au lieu de + L dans le choix de la définition duLagrangien généralisé).

L'action S est ce que nous appelons communément en physique une "fonctionnelle" eta les unités de l'énergie multiplié par le temps puisque L est une énergie.

ÉQUATION D'EULER-LAGRANGE

MÉCANIQUE ANALYTIQUE 

 

1. Formalisme Lagrangien 

 

1.1. Coordonnées généralisées et référentiels

1.2. Principe variationnel

1.3. Équation d'Euler-Lagrange 

 

1.3.1. Théorème du calcul variationnel

1.4. Formalisme canonique 

 

1.4.1. Transformation de Legendre

1.4.2. Hamiltonien

1.4.3. Crochets de Poisson

1.4.4. Transformations canoniques

Le principe de moindre action énonce donc que (l'intégrale) S est extrêmale si:

(29.9) 

est la trajectoire naturelle effectivement suivie par le système physique.

Considérons alors une trajectoire très voisine à la précédente, que nous noterons:

(29.10) 

Remarque: Nous avons omis maintenant l'écriture des arguments t des fonctions du tempsafin d'alléger les écritures.

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Si est bien l'évolution d'un système évoluant selon le principe de moindreaction, alors l'action donné par la variation :

(29.11) 

est nulle pour et tendant vers zéro (sous-entendu que tout système physiquerevient à son état initial sans intervention extérieure).

Ce qui nous amène à écrire :

(29.12) 

Ce qui nous permet de justifier la dénomination de "principe variationnel" (aussiappelée parfois le "principe de stationnarité de l'action"):

(29.13) 

Ce principe stipule donc que la trajectoire d'une particule (ou d'un système plusgénéral) s'obtient en demandant qu'une certaine fonctionnelle S appelée "action" soitstationnaire par rapport à une variation de la trajectoire. En d'autres termes, si nouseffectuons une variation infiniment petite de la trajectoire, la variation doit être nulle.

Pour un système mécanique simple l'action est alors évidemment de par le principe deconservation de l'énergie égale à l'intégrale sur la trajectoire de (par définition dulagrangien) la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.

Dès lors, dans une théorie pour laquelle les forces dérivent d'un potentiel V , noussommes naturellement amenés à définir le "Lagrangien" par la relation (il faudra s'ensouvenir !) :

(29.14) 

où T et V sont la notation traditionnelle dans le formalisme Lagrangien de l'énergiecinétique et de l'énergie potentiel données par :

et (29.15) 

Remarque: Pour l'étude de la relativité générale, nous ne chercherons pas à ce que la

variation de la différence des énergies soit minimale tel que c'est le cas pour les systèmes

mécaniques, mais la variation de la longueur d'un arc ds (non dépendant du temps

contrairement à l'exemple précédent) dans un espace quelconque lors d'une trajectoire d'un

système libre. Ce qui nous amènera à écrire simplement (rappelez-vous en aussi car ce sera

très important) l'action:

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  (29.16) 

pour un masse unitaire et en prenant les unités naturelles.

Pour revenir à notre application du principe variationnel dans le cas du lagrangiengénéralisé, nous pouvons alors écrire la différentielle totale exacte (cf. chapitre deCalcul Différentiel Et Intégral) de dL et nous obtenons alors la relation :

(29.17) 

Intégrons par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) le deuxièmeterme de la somme de l'intégrale précédente :

(29.18) 

Le premier terme de la dernière égalité est nul puisque

(29.19) 

Effectivement, par définition, les ont exactement le même ordre de grandeur.

L'expression de l'intégrale de moindre action peut finalement s'écrire :

(29.20) 

Mais les et tendent vers 0 d'une infinité de manières différentes et nous

devons cependant avoir néanmoins . Cela veut dire alors que chaque termesommé de l'intégrale peut être pris indépendamment et doit satisfaire :

(29.21) 

Mais comme les fonctions et peuvent toujours tendre vers zéro de multiple

façon, et que cette intégrale doit être quand même nulle, nous en déduisons que cesont les intégrandes qui sont nuls :

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  (29.22) 

Ces n équations, satisfaites par le lagrangien généralisé du système pour le

mouvement effectivement suivi, sont appelées "équations d'Euler-Lagrange", ou plusbrièvement (mais plus rarement) "équations de Lagrange". Ce sont, comme nousallons le voir, les équations du mouvement du système: résolues, elles donnentl'évolution effective du système dans le temps.

(29.23) 

Remarque: C'est en étudiant la physique (les chapitres suivants du site) que l'on comprend

mieux les applications de cette équation (obtenue quasiment que par des développements

purement mathématiques !!!) et qu'il devient alors possible de comprendre sa signification.A notre niveau du discours, il est inutile de dire quoi que ce soit. Il faut faire de la physique,

et encore de la physique pour la comprendre et la voir apparaître.

Donc dans l'approche lagrangienne, nous apprenons à raisonner à partir des conceptsd'énergie potentielle et cinétique, au lieu des concepts de force. Les deux approchessont évidemment équivalentes physiquement, mais les énergies n'étant pas desquantités vectorielles, elles sont conceptuellement plus faciles à utiliser dans une vastegamme de problèmes. En physique quantique par exemple, la notion de force n'aaucune signification mais les notions d'énergie demeurent valables. C'est une raisonde plus pour se familiariser avec leur utilisation. De plus, la force au sens de Newtonest une action instantanée à distance. En relativité, une telle chose est impossible. Lanotion de force est donc une création purement classique et macroscopiquecontrairement à notre intuition, son intérêt est limité.

Exemple d'application (les autres exemples seront vus pendant notre étude des lois deNewton, de l'électrodynamique, de la relativité restreinte, de la relativité générale, dela physique quantique des champs, etc..):

Dans un premier temps, posons sous une forme mathématique conventionnellel'équation d'Euler-Lagrange (la notation des coordonnées généralisées n'est pas

identique en mathématiques à celle de la physique...):

(29.24) 

Prenons un exemple mathématique pratique simple mondialement connu et trèsimportant (nous réutiliserons les développements effectués ici pour l'étude du pendulede Huygens).

L'énoncé du problème est le suivant : déterminer quel est le plus court chemin entre

deux points d'un plan (nous devinons que c'est la droite mais il faut le démontrer!).

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Ce problème consiste à trouver la courbe paramétrée la plus courte quirelie deux points (attention la variable t n'a rien à voir avec le temps!) :

(29.25) 

Ainsi la longueur infinitésimale par application de Pythagore est :

(29.26) 

Ainsi, la longueur de la courbe paramétrée est donnée par :

(29.27) 

Il s'agit d'une relation que nous retrouverons souvent en physique et enmathématiques!!

Ainsi, ce problème, dont la solution géométrique est très simple, se formule sousforme de problème de calcul variationnel de la manière suivante :

(29.28) 

Ecrivons l'équation d'Euler-Lagrange que la solution de ce problème, si elle existe,doit vérifier.

Nous avons :

(29.29) 

L'équation d'Euler-Lagrange dans ce cas particulier devient alors :

(29.30) 

Donc :

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  (29.31) 

où C est une constante d'intégration (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral).

Cette dernière égalité implique que :

(29.32) 

En revenant aux notations utilisées au début :

(29.33) 

donc nous avons par intégration :

(29.34) 

ce qui est bien l'équation d'une droite. Autrement écrite :

(29.35) 

THÉORÈME DU CALCUL VARIATIONNEL

Le théorème du calcul variationnel consiste à montrer qu'en considérant  f une fonction

continue sur à valeurs réelles et H l'ensemble des fonctions continues sur

indéfiniment dérivables sur et qui s'annulent en a et b alors pour toute fonction

:

(29.36) 

 f est nulle sur .

Pourquoi s'intéresser à ce théorème? Parce que nous le rencontrerons très souvent lorsde l'application du principe variationnel ayant une configuration de ce type.Effectivement, rappelons que le principe variationnel amène à avoir :

(29.37) 

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et l'expression intégrée est rarement une fonction simple comme le lecteur s'enapercevra au cours de sa lecture des différentes chapitres du site. Il est donc importantde connaître une propriété qui simplifie parfois l'analyse du problème.

Remarque: Certains penseront que le cas avec avec et

contredit l'énoncé du théorème! Au fait ce n'est pas vraiment ça... le théorème

se doit d'être valable pour et non juste pour l'exemple cité. D'où le fait que  f devra

bien être nul comme nous allons le démontrer.

Démonstration: 

Pour simplifier nous prendrons le cas , . A quelques détails techniquesprès la preuve par l'absurde ci-dessous peut être adaptée au cas a, b quelconques.

Supposons que f ne soit pas nulle sur . Alors il existe tel que

. Nous pouvons supposer (même raisonnement si ).

Par l'hypothèse initiale de continuité et de non nullité de f il existe alors un petit

intervalle autour de sur lequel f  est strictement positive. C'est-à-dire, qu'il existe

tel que et .

Considérons à présent la fonction définie par

(29.38) 

Nous vérifions assez facilement que est continue (positive) sur et

indéfiniment dérivable sur (cf. chapitres d'Analyse Fonctionnelle et de CalculDifférentiel Et Intégral).

De plus, . Et donc, . Voici une représentation graphique de

:

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(29.39) 

A partir de nous voulons obtenir une fonction continue sur , indéfiniment

dérivable sur positive sur et nulle en dehors deafin de montrer l'absurde de l'hypothèse de non nullité de f pour que le théorème soitvérifié (rappelons que nous sommes en train de faire un démonstration par l'absurde!).

Pour ceci, il suffit de centrer en et de la contracter.

La fonction définie par :

(29.40) 

répond aux critères exigés. De plus, et donc, .

Ainsi, la fonction sera continue sur positive sur et nulleailleurs.

Nous avons :

(29.41) 

Or, si une fonction est continue et positive et :

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  (29.42) 

cela entraîne forcément (nous supposerons cela comme trop intuitif pour avoir besoin

d'être démontré) sur .

Par conséquent sur or selon notrehypothèse absurde initiale, ce qui est contradictoire.

L'hypothèse de départ est donc bien fausse et f doit être nulle sur