Cours 5: Relativite restreinte 1
Cours 5 : Relativite restreinte
relativite restreinte 2
Plan
— Motivation pour la relativite restreinte RR (la relativite
dans l’espace-temps plat).
— Notation de la physique moderne.
— Theoreme de Zeeman et les transformations de Lorentz.
— L’intervalle ∆s et la structure casuale de l’espace-temps.
relativite restreinte 3
Relativite Restreinte : principe(s)
fondamental(s)
Einstein a fonde a la relativite restreinte sur deux postulats :
1. Le principe du relativite : Les equations fondamentales
de la physique reste forme invariante par un changement de
referentiel inertiel (RI).
2. Le postulat de la lumiere : La vitesse de la lumiere dans
le vide est independante du mouvement de la source ou de
l’observateur.
Remarques :
a. Pas precisement, mais c’est plus facile de presenter comme ceci.
relativite restreinte 4
— Le premier postulat est le plus general, en effet tres puissant.
Il s’agit d’un principe de symetrie dite « Lorentz
invariance », une generalisation du principe de relativite
conu par Galilee a tout la physique. Il est l’idee centrale de
la physique fondamentale moderne. Il implique les
contraintes sur la physique meme pas encore trouvees.
— On n’a que besoin d’un postulat. Nous allons voir tout de
suite que le second postulat mene aux transformations de
Lorentz, dont tous les resultats de la relativite restreinte
decoulent facilement. Par contre le premier postulat
implique le second.
Les equations de Maxwell (1)
∇× ~E = −1
c
∂ ~B
∂t, ∇ · ~E = 4πρ,
∇× ~B = +1
c
∂ ~E
∂t+
4π~j
c, ∇ · ~B = 0, (1)
relativite restreinte 5
appliquees au vide (ρ = 0 et ~j = 0) impliquent une equation
d’onde. Pour le champ electrique ~E dans le vide on a
∂2 ~E
∂t2− c2
(∂2 ~E
∂x2+∂2 ~E
∂y2+∂2 ~E
∂z2
)= 0, c =
1√ε0µ0
, (2)
et similairement pour le champ magnetique ~B. Les champs
electrique et magnetique se propagent comme une onde avec
vitesse c, tres proche de la vitesse de la lumiere dans le vide.
Mais le c est une constante de la nature (ε0 est la
permittivite du vide et µ0 est la permeabilite du vide), ce
qui suggere le second postulat.
relativite restreinte 6
Les transformations de Lorentz
— Nous montrerons que les transformations de Lorentz sont
coherents avec le second postulat de la relativite restreinte.
relativite restreinte : transformations de Lorentz 7
Changement de referentiel inertiel (RI)
— Rappelez les changements du RI galileen dans le physique
non-relativiste s’ecrivent :
t = t,
x = x− ε8t,
y = y − ε9t,
z = z − ε10t, (3)
ou (ε8, ε9, ε10) sont les trois composantes de la vitesse de
referentiel R par rapport au referentiel R.
— Il s’agit de la transformation des coordonnees pour deux RI
en configuration standarde : Considerons deux observateurs
utilisant des reperes inertiels dont les axes sont paralleles.
relativite restreinte : transformations de Lorentz 8
Les origines O et O coincident a l’instant t = t = 0.
relativite restreinte : transformations de Lorentz 9
yy
zzo
x xo
u
Figure 1 – Configuration standarde : Le referentiel inertiel R se
deplace le long de l’axe des x avec vitesse uniforme, u = ε8, ε9 =
ε10 = 0.
relativite restreinte : transformations de Lorentz 10
Changement du referentiel inertiel (RI)
— Dans la physique non-relativiste on a fait l’hypothese que le
temps ne change pas, t = t.
— En physique relativiste on ne fait plus cette hypothese.
— Par contre, nous cherchons la transformation de la
coordonnee temporelle tel que la quantite suivante demeure
identique lors d’un tel changement de RI :
(ct)2 − x2 − y2 − z2 = (ct)2 − x2 − y2 − z2. (4)
— La motivation est que dans ce cas une onde lumineuse se
propage identiquement dans les deux RI. Il s’agit d’une
implication du second postulat pour la configuration
standarde.
Considerons deux observateurs utilisant des reperes en
relativite restreinte : transformations de Lorentz 11
configuration standarde. A l’instant t = t = 0 une source
ponctuelle coincidant avec O et O produit une onde.
Supposons une source produit une onde electromagnetique
comme la lumiere.
Pour l’observateur O l’equation de la surface d’onde s’ecrit :
c2t2 − x2 − y2 − z2 = 0
C’est donc une sphere de rayon ct. Pour l’observateur O la
surface d’onde est egalement une sphere car la vitesse de
propagation est la meme dans toutes les directions.
L’equation de la surface d’onde s’ecrit :
c2t2 − x2 − y2 − z2 = 0
relativite restreinte : transformations de Lorentz 12
Notation
— Nous definissons les quatre variables suivantes :
x0 = c t x1 = x, x2 = y, x3 = z. (5)
— xµ designe l’une quelconque de ces quatre coordonnees. Par
la suite, les indices grecs prendront toujours des valeurs de 0
a 3. On peut utiliser une autre lettre grecque,
xα, xβ , . . . ou xν . Mais π n’est pas une bonne idee parce que
on pense toujours a la constant 3.14159 . . .. Et δ n’est pas
une bonne idee pour une autre raison.
— Si nous voulons designer seulement les coordonnees spatiales,
nous utilisons les indices latin i, j, k, . . . qui prendront
toujours des valeurs de 1 a 3. Donc, xi designe l’une
quelconque des coordonnees spatiales.
relativite restreinte : transformations de Lorentz 13
— Le second postulat implique pour cette experience
(x0)2 − (xi)2 = (x0)2 − (xi)2. (6)
relativite restreinte : transformations de Lorentz 14
Quadrivecteurs et notation de la
physique theorique moderne
relativite restreinte : transformations de Lorentz 15
Quadrivecteurs
— Un evenement dans notre espace-temps 4D est trouver a un
point xµ (c’est-a-dire (x0, x1, x2, x3)). Ce point peut etre
considerees comme les composantes d’un vecteur de quatre
dimensions~X = (x0, x1, x2, x3) ∈ R4,
appele rayon-vecteur ou vecteur position, qui generalise le
vecteur position de l’espace euclidien a l’espace de
Minkowski.
— Nous demandons que les composantes d’un rayon-vecteur se
transforment selon une transformation de Lorentz (definie
ci-dessous).
— Definition 5.1 Nous appellerons « un quadrivecteur »chaque ensemble de quatre quantites aα (c’est-a-dire
relativite restreinte : transformations de Lorentz 16
(a0, a1, a2, a3)) qui se transforment comme un rayon-vecteur
lors d’un changement de referentiel inertiel ou une rotation.
Autrement dit, les quadrivecteurs sont invariants de Lorentz
par construction.
— L’ensemble de quadrivecteurs constituent un espace vectoriel
R4 avec lois evidentes d’addition et de mulitplication par un
scalaire reel.
— On introduit la semi-norme
‖~x‖ :=
((x0)2 −
3∑i=1
(xi)2
) 12
,
= (gµνxµxν)
12 , (7)
Dans la deuxieme ligne nous avons utilise la convention
d’Einstein. Rappelez-vous : quand les memes deux indices
apparaissent dans le meme terme, nous devons faire la
sommation sur les quatre indices (il y a une somme implicite
relativite restreinte : transformations de Lorentz 17
∑). Normalement, un des deux indices est un exposant (en
haute) et l’autre est un vrais indice (en bas).
— gαβ = ηαβ est le tenseur metrique de l’espace-temps de
Poincare-Minkowski,
(ηαβ) =
η00 η01 η02 η03
η10 η11 η12 η13
η20 η21 η22 η23
η30 η31 η32 η33
=
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
(8)
— Alors nous avons un espace vectoriel (semi-)norme M.
— Donc nous definissons un produit scalaire entre deux
quadrivecteurs ~A = aµ and ~B = bν de notre espace-temps :
~A · ~B = a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 − a3 b3. (9)
— gαβ est le tenseur metrique, une propriete tres importante de
relativite restreinte : transformations de Lorentz 18
l’espace vectoriel, est la quantite d’interet principal de la
relativite generale.
— En ecrivant le produit scalaire comme ~A · ~B = g( ~A, ~B) on
voit que la metrique g est aussi une forme, symetrique,
bilineaire et non-degeneree. Elle est symetrique dans les
deux arguments
g( ~A, ~B) = gαβ AαBβ = gαβ B
αAβ = g( ~B, ~A). (10)
Elle est lineaire dans les deux arguments. Pour le premier
argument, on a
g(a ~A+ b ~B, ~C) = gαβ (aAα) + bBα)Cβ ,
= agαβ Aα Cβ + bgαβ B
α Cβ ,
= ag( ~A, ~C) + bg( ~B, ~C). (11)
Linearite du second argument decoule de la symetrie et
relativite restreinte : transformations de Lorentz 19
linearite du premier argument. Elle est non-degeneree car
g( ~A, ~B) = 0, pour tout ~B ∈M =⇒ ~A = ~0. (12)
— gαβ = ηαβ applique pour RR, ou il n’y a pas de masse (pas
de matiere ou energie) et l’espace-temps est plat.
— Nous verrons que quand il y aura des masse importante,
l’espace-temps deviendra courbe, et un autre gαβ
s’appliquera.
— Pour en revenir au second postulat, la condition necessaire
(x0)2 − (xi)2 = (x0)2 − (xi)2
pour les deux referentiels en configuration standarde
s’exprime
ηµν xµxν = ηµνx
µxν . (13)
relativite restreinte : transformations de Lorentz 20
Theoreme de Zeeman
Nous prennons le theoreme suivant sans demonstration (Naber ,
2012).
— Chaque transformation T : R4 → R4 qui obeit a l’eq(13) sont
la composition T1 ◦ T2 ◦ T3 de trois transformations, ou
— T1 est une translation
xα = T1(xα) = xα + εα, ε ∈ R4. (14)
— T2 est une transformation conforme
xα = T2(xα) = axα, a ∈ R. (15)
— Definition 5.2 : T3 est une transformation de Lorentz.
Il s’agit d’une transformation lineaire
xα = T3(xα) = Λαβxβ , (16)
relativite restreinte : transformations de Lorentz 21
ou Λαβ est la matrice qui s’accord avec les
deux conditions
ηαβΛαµΛβν = ηµν , (17)
et
Λ00 ≥ 1. transformation orthochrone (18)
— Exercice 5-1 : Demontrer que la transformation suivante,
ct = ct cosh(U)− x sinh(U) = ctγ − xγβ,x = x cosh(U)− ct sinh(U) = xγ − ctγβ,y = y,
z = z, (19)
obeit aux deux contraintes (i) seconde postulat, eq(13) et (ii)
une transformation de Lorentz, T3 : i.e. elle est lineaire
eq(16), la metrique demeure inchangee eq(17) et elle est
relativite restreinte : transformations de Lorentz 22
orthochrone eq(18) :
— Le parametre U ∈ R1 a l’interpretation physique,
u = c tanh(U), (20)
ou −c < u < c est la vitesse le long de l’axe des x de R par
rapport a R.
— On voit souvent aussi la transformation avec le facteur de
Lorentz γ, ou
γ :=1√
1− β2, β :=
u
c. (21)
— Clairement la transformation suivante obeit aussi aux deux
relativite restreinte : transformations de Lorentz 23
contraintes :
ct = ct cosh(V )− y sinh(V ),
x = x,
y = y cosh(V )− ct sinh(V ),
z = z, (22)
ou v = c tanh(V ) est la vitesse le long de l’axe des y de R
par rapport a R. Similarement on a
ct = ct cosh(W )− z sinh(W ),
x = x,
y = y,
z = z cosh(W )− ct sinh(W ), (23)
ou w = c tanh(W ) est la vitesse le long de l’axe des z de R
par rapport a R.
relativite restreinte : transformations de Lorentz 24
— Exercice 5-2 : Demontrer que les rotations autour de l’axe
des xi obeissent aux deux contraintes.
relativite restreinte : transformations de Lorentz 25
Les transformations de Lorentz
— Les trois transformations eqs(19, 22,23) s’appelent un
« boost » dans la direction x, y ou z respectivement.
— Definition 5.3 L’ensemble des trois boots et les rotations
constituent un groupe de six parametres reels et continus, il
s’agit du groupe de symetrie SO+(1, 3) qui s’appele le groupe
de transformations de Lorentz restreint (restreint = propre
+ orthochrone). « Propre » implique que le determinant
det(Λαβ) = 1 ; un nombre impair des renversements des axes
spatiaux comme x 7→ −x sont interdits.
— Si on compris les 4 translations on a le groupe de Poincare
qui a 10 parametres et la meme interpretation physique que
nous avons observe pour le premier groupe que nous avons
discute pendant cours 3. En effet, ce premier groupe est la
relativite restreinte : transformations de Lorentz 26
limite du groupe de Poincare lorsque les trois composantes
de vitesse s’approchent a zero
(u, v, w)→ (0, 0, 0). (24)
— On fait l’hypothese que les lois de la physique sont
invariantes par le groupe de Poincare. Mais normalement on
dit que les lois fondamentales de la physique sont invariantes
par les transformations de Lorentz. (Je devine que l’on
considere les translations comme symetries triviales.)
relativite restreinte 27
L’intervalle ∆s et la structure casuale de
l’espace-temps
relativite restreinte 28
L’invariance de l’intervalle ∆s
— Considerons le quadrivecteur ∆xµ, la difference entre
quadrivecteurs ∆xµ = (xµA − xµB).
— Revenons au postulat que les lois de la physique, et donc
l’espace-temps aussi, sont invariants par le groupe de
Poincare. Ca implique
4.1 Lemme L’invariance eq(4) se generalise a l’invariance
de
(∆s)2 = c2(∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2,
= gµν∆xµ∆xν . (25)
Demonstration On considere (∆s)2 entre deux
evenements quelconques xµA et xµB . Par une translation
relativite restreinte 29
(ε0, ε1, ε2, ε3) = xµB on a xµB = (0, 0, 0, 0) et donc
∆xµ = (xµA − xµB) = xµA. (26)
On obtient
(∆s)2 = gµν xµAx
νA. (27)
Il s’agit de la forme quadratique eq(4) qui est invariante par
les transformations de Lorentz. [Physiquement, il est
l’ensemble des evenements d’une pulse de lumiere emit en
l’origine dans tous les sens.]
On en deduit que (∆s)2 est invariant par les transformations
de Lorentz. �
— Remarque :
En passant a la limite xµA → xµB dans eq(25), l’invariance de
l’intervalle s’exprime ds2 = ds2, ou
gµν dxµ dxν = ds2. (28)
relativite restreinte 30
Autrement dit, pour des evenements tres proches l’intervalle
devient infinitesimal et on peut ecrire :
ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2.
(Pour etre tres precise, on devrait ecrire :
(ds)2 = c2(dt)2 − (dx)2 − (dy)2 − (dz)2,
mais personne ne le fait).
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 31
Les intervalles du genre temps, espace et
nul
— Definition 5.4(i) Si l’intervalle entre deux evenements est
reel (ds2 > 0) on dit qu’ils sont separes du genre temps. Le
temps ecoule est assez long pour que la separation spatiale
puisse etre franchie par un objet materiel. Il peut exister une
relation de cause a effet entre les deux evenements.
— La trajectoire d’un objet ponctuel dans l’espace-temps est
appelee ligne d’univers. Deux points appartenant a une ligne
d’univers d’un objet materiel definissent necessairement un
intervalle de genre temps. Il est interdit pour une particule
massive d’avoir une vitesse superieur a celle de la lumiere c
dans un referentiel inertiel.
— Definition 5.4(ii) Lorsque l’intervalle est nul les
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 32
evenements sont dits du genre lumiere ou egalement du
genre nul. Leur separation spatiale est telle qu’il faut se
deplacer a la vitesse de la lumiere pour aller d’un point a
l’autre dans l’intervalle de temps correspondant.
— Definition 5.4(iii) Lorsque l’intervalle est imaginaire
(ds2 < 0) la separation spatiale est trop grande pour qu’un
signal puisse la franchir durant l’intervalle de temps
correspondant. Il ne peut pas exister de relation causale
entre les deux evenements. Nous verrons que l’ordre des
evenements n’est pas necessairement le meme dans deux
referentiels differents. Cet intervalle est dit du genre espace.
— L’espace-temps utilise en relativite restreinte est appele
espace-temps de Minkowski du nom du mathematicien qui
l’a defini. On peut etudier les aspects essentiels de la
relativite restreinte en utilisant une seule coordonnee
spatiale. On trace des axes perpendiculaires correspondant a
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 33
x et a ct. La ligne d’univers d’une particule au repos est une
droite parallele a l’axe ct. Pour un photon la ligne d’univers
est une droite faisant un angle de 45◦ ou de 135◦ avec l’axe
des x. Pour une particule se deplacant a vitesse constante la
ligne d’univers est une droite plus proche de l’axe ct que de
l’axe des x.
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 34
O x
ct
particule au repos photon
photon
particule matérielle
Figure 2 – Lignes d’univers de quelque particules dans le plan ct–x
d’espace de Minkowski. Les photons ont forcement un angle de 45◦
ou de 135◦ avec l’axe des x. Les particules materielles ont une ligne
d’univers forcement plus proche de l’axe ct que de l’axe des x.
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 35
— Si on fait coincider l’origine avec l’instant present et la
position « ici », les valeurs positives de ct representent le
futur et les valeurs negatives representent le passe. Les
regions pour les quelles |x| < |ct| representent le lieu des
intervalles du genre temps. Les droites faisant un angle de
45◦ ou de 135◦ avec l’axe des x sont les lieux des intervalles
du genre lumiere. Les intervalles du genre espace
correspondent aux regions ailleurs pour lesquelles |x| > |ct|.
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 36
Figure 3 – Le cone de lumiere divise l’espace-temps en regions diffe-
rentes. Les evenement dans l’interieur du cone, ds2 > 0, ont un inter-
valle par rapport a l’origine du genre temps. Si la grandeur ds2 < 0,
l’intervalle par rapport a l’origine est du genre espace et cela signifie
que tous les evenements sont situes a l’exterieur du cone de lumiere.
Etant donne que les evenements ne peuvent plus etre relies entre eux
par une particule passant par l’origine, cette region est exclue de sa
ligne d’univers. Cette region est denommee l’ailleurs.
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 37
Considerons deux evenements A et B reperes par (ctA, xA)
et (ctB , xB) dans R et par (ct′A, x′A) et (ct′B , x
′B) dans R′. La
transformation de Lorentz eq(19) permet d’ecrire :
c(t′B − t′A) = γ[c(tB − tA)− β(xB − xA)]
Posons :xB − xAc(tB − tA)
= α
Si |α| > 1 les evenements sont du genre espace et si |α| < 1
ils sont du genre temps. On peut ecrire :
c(t′B−t′A) = γc(tB−tA)−βγαc(tB−tA) = γc(tB−tA)(1−αβ)
Si α < 1 la paranthese est positive car β < 1. Les quantites
(t′B − t′A) et (tB − tA) sont de meme signe. On en deduit que
l’ordre des evenements est le meme dans les deux reperes.
C’est une condition necessaire pour qu’une relation causale
puisse exister.
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 38
Pour des evenements du genre espace on a |α| > 1 et
l’expression (1− αβ) peut etre positive ou negative. Dans ce
dernier cas l’ordre des evenements peut etre different dans R
et dans R′. Il ne peut donc pas y avoir de relation causale
entre les deux evenements.
— Voir Exercice 1 de projet 1.
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 39
Temps propre
— Considerons une horloge qui est fixe dans R, a l’origine par
example.
— Pendant le temps dt par rapport a R, l’horloge se deplace
d’une distance dl telle que :
dl2 = dx2 + dy2 + dz2 = (vdt)2.
Et donc l’intervalle est
ds2 = c2 dt2 − dl2 = (c2 − v2) dt2
— Par rapport a R, l’intervalle est simplement
ds2 = c2 dt2
— Et, comme nous avons dit, le principe a la base de RR,
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 40
ds2 = ds2, implique donc
dt =dt
γ
ou γ est toujours le facteur de Lorentz dans l’eq(21).
— Parce que γ ≥ 1, nous remarquons que
dt ≤ dt
C’est-a-dire que les horloges en deplacement ont l’air de se
ralentissent. Il s’agit du phenomene de dilatation du temps.
— Le temps mesure par une horloge qui se deplace avec une
particule s’appelle temps propre. Nous le notons par τ , une
notation standard. La duree de temps propre, dτ , s’appelle
duree propre :
dτ =dt
γ. (29)
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 41
Quadrivitesse
— La vitesse habituelle
vk =dxk
dt, k = 1, 2, 3, (30)
ou les coordonnees cartesiennes xk sont les fonctions de
classe C2 du temps
xk = φk(t), (31)
n’est pas invariante par Lorentz.
— Nous souhaitons etendre cette vitesse a un quadrivecteur qui
s’approche a la vitesse habituelle a la limite des faibles
vitesses. Considerons le quadruplet
vµ =dxµ
dt, µ = 0, 1, 2, 3. (32)
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 42
Meme si dxµ est invariant de Lorentz (pourquoi ?), vµ n’est
pas invariant parce que dt ne l’est pas.
— Rappelez-vous que eq(29) dτ = dt/γ se generalise l’intervalle
de temps coordonnee au intervalle de temps propre qui est
bien invariant de Lorentz, ce qui suggere le quadrivecteur
vitesse ou la quadrivitesse definie par
uα :=dxα
dτ. HEL Eq. (5.10), ou (Schutz , 2009, §2.3) (33)
Utilisons (29), nous trouvons,
uα =dxα
dτ= γ
dxα
dt
= γ
(dx0
dt,dx1
dt,dx2
dt,dx3
dt
)= γ
(cdt
dt,dx
dt,dy
dt,dz
dt
)= (γc, γvx, γvy, γvz) = γ(c,v), (34)
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 43
ou v = (vx, vy, vz) est la vitesse habituelle.
— Exercice 5-3 : Verifier que les composantes spatiales uk de la
quadrivitesse eq(34) s’approche a vitesse habituelle eq(30) a
la limite des faibles vitesses.
— Remarque : Nous attendons que la quadrivitesse jouera un
role dans la relativite restreinte analogue au role de la
vitesse habituelle dans la mecanique classique
non-relativiste. Par exemple, elle aura la meme relation avec
la quantite du mouvement.
— Remarque : La quadrivitesse d’un rayon lumineux n’est pas
definie.
— Remarque : La semi-norme de la quadrivitesse est constante
uαuβηαβ = γ2(c2 − ~v · ~v) = c2, (35)
ou nous avons utilise la definition du facteur de Lorentz,
eq(21).
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 44
Quadri-impulsion
— Rappelez-vous l’impulsion d’une particule non-relativiste
(sans force magnetique) est la quantite du mouvement, le
vecteur
~p = m~v,
pk = m vk, k = 1, 2, 3, notation de actuelle (36)
ou m est la masse de la particule. Evidemment ~p n’est pas
invariante par Lorentz parce que ~v ne l’est pas.
— Nous souhaitons etendre ce vecteur impulsion a un
quadrivecteur pα qui s’approche a l’impulsion habituelle
pk → ~p a la limite des faibles vitesses.
— Nous definissons le quadrivecteur pα pour
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 45
l’impulsion-energie ou quadri-impulsion ainsi,
pα := muα, (37)
ou m est la masse de la particule au repos et uα est la
quadrivitesse eq(34). Bien evidemment il a la limite correcte
a faible vitesse.
— Une condition necessaire que eq(37) joue le role attendu
d’une impulsion relativiste est qu’elle est conservee pour un
systeme invariante par une translation de l’espace. (Il est un
des exercices du premier projet.)
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 46
Equation de mouvement
— Rappelez-vous la seconde loi du mouvement de Newton
s’exprime
~F =d~p
dt(38)
ou ~F est le vecteur force totale agissant sur la particule.
— Nous souhaitons etendre cette loi a un equation invariante
de Lorentz qui s’approche a eq(38) a la limite des faibles
vitesses.
— Il est naturel de poser
Fµ =dpµ
dτ(39)
ou Fµ est le quadri-vecteur de force totale agissant sur la
particule.
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 47
— Exercice 5-4 : Demontrer qu’il y a une restriction sur les
forces admissibles :
Fαuβgαβ = 0. (40)
Indice : utiliser l’eq(35). Un tel quadrivecteur force s’appele
force pure (Hobson et al., 2010, p.120).
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 48
Energie totale relativiste d’une particule
massive, E = γmc2
— Si les composantes spatiaux pj de la quadi-impulsion,
eq(36), sont la version relativiste de la quantite de
mouvement, quelle est l’interpretation physique de la
premiere composante, pt = mγc ?
— Nous allons motiver l’intepretation :
pt = mγc =E
c, (41)
ou E est l’energie totale relativiste d’une particule massive.
— En exercice 5-4 vous auriez du trouver
Fαuβgαβ =d
dτmc2 = 0. (42)
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 49
Or
0 = Fαuβgαβ = utdpt
dτ− δijui
dpj
dτ,
γcdpt
dτ= γ~v · d
dτγm~v,
cdpt
dτ= ~v · d
dτγm~v (43)
— L’equation ci-dessus est valable dans un referentiel inertial
arbitraire. En considerant un referentiel pour lequel
‖~v‖ → 0,
on passe a la limite non-relativiste pour laquelle
γ → 1, τ → t,d
dτγm~v → d
dtm~v = ~F
et donc le membre droit de l’eq(43) tend vers le taux de
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 50
travail mecanique
~v · ddτγm~v → ~v · ~F =
dE
dt
Nous avons vu en cours 2 que la puissance fournie a une
particule non-relativiste soumise a une force ~F est :
~v · ~F =dE
dt
ou E est l’energie de la particule. Alors la limite
non-relativiste de l’eq(43) nous fournis l’interpretation que
pt := γmc =E
c.
On en deduit la formule celebre d’Einstein (Einstein, 1905) :
E = γmc2,
ou E est l’energie totale relativiste d’une particule massive.
— Remarque : Cette energie ne comprit pas l’energie potentiel.
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 51
Elle compris la contribution de l’energie du au mouvement
(l’energie cinetique) mais aussi une contribution de l’energie
quand la particule est stationnaire
E = mc2.
Il s’agit de l’energie de la masse au repos (“rest mass
energy”).
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 52
Exercices
— Exercice 5-5 : Demontrer que la transformation d’un boost
eq(19) s’aproche a la transformation de changement de RI
galileen eq(3) dans la limite c→∞.
— Exercice 5-6 : Demontrer que l’energie totale relativiste, E
dans l’eq(48), tend vers
E ' mc2 +1
2mv2 + o(v3), (43)
lorsque |v|/c� 1.
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 53
L’action et le lagrangien de
l’electromagnetiques
— Le champ electromagnetique est physiquement inseparable
des particules chargees qui en sont les sources et sur
lesquelles il agit.
— L’action pour un systeme de partucles chargees dans un
champ electromagnetique, s’ecrit de facon generale
J = Jchp + Jpar + Jint (44)
ou Jchp est l’action pour le champ electromagnetique que
nous discuterons dans cours 6, Jpar est l’action des particules
libres en l’absence de champ, et Jint est l’action pour
l’interaction entre le champs et la particule.
— Dans le cas d’une particule avec vitesse v = ‖~r‖ tres
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 54
inferieur a celle de la lumiere
Jpar(φ) =
∫ t2
t1
m~r(t)2
2dt, (45)
ou φ : [a, b]→ R3 est la fonction vectorielle de classe C2 qui
decrit la position de la particule ~r = φ(t) dans un referentiel
inertiel en fonction du temps. Il s’agit de l’action que nous
avons trouve dans cours 1 pour une particule libre et
non-relativiste. Pour une particule libre et relativiste elle est
Jpar(φ) =
∫ t2
t1
−mc2√
1− ~r(t)2
c2dt. (46)
Pour un systeme de N particules relativistes l’action est la
somme des actions pour chaque particule k = 1, . . . , N :
Jpar(φ) =
∫ t2
t1
− kmc2
√1−
˙k~r(t)2
c2dt. (47)
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 55
ou φ : [a, b]→ R3N .
— Nous discuterons trois elements de la motivation pour cette
action.
— 1. On constate qu’elle est invariante par Lorentz parce
qu’elle est proportionnelle au temps propre pour la
trajectoire le long de ~r = φ(t) entre ~r1 = φ(t1) et ~r2 = φ(t2)
−mc2√
1− ~r(t)2
c2dt = −mc2 1
γ(v)dt = −mc2dτ. (48)
ou on a utilise l’eq(29) dτ = dt/γ. Il s’agit d’une condition
suffisante que les lois de la physique soient independantes du
choix de referentiel inertiel.
— 2. On constate qu’elle se ramene a l’action non-relativiste
l’eq(45) lorsque v � c.
— 3. On peut demontrer que les EEL correspondantes sont les
equations pour une droite.
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 56
L’action et le lagrangien de l’interaction
l’electromagnetiques, Jint
— Pour une particule non-relativiste subit un champs ou une
interaction entre les autre particules conservative, on a
inclus une energie potentielle dans le lagrangien. D’une facon
analogue on peut rendre compte des interactions
conservative pour une particule relativiste avec les potentiels
dans le lagrangien. Pour l’interaction gravitationnelle la
metrique des l’espace-temps devient une variable dynamique,
un cas nous abordons dans cours 7. Pour les interactions
nucleaires faibles et fortes, la mecanique quantique
intervients (que nous n’abordons pas). Pour les interactions
electromagnetiques, nous avons trouve le potentiel generalise
dans cours 4. Pour une particule chargee non-relativiste on a
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 57
pose le potentiel generalise
U = qA0 −q
c~A · ~v. (49)
— Afin de motiver qu’il est valable dans le cas relativiste, il
faut demontrer que l’action correspondante est invariant par
Lorentz. On constat que l’eq(49) a la forme du produit
scalaire entre quadrivecteurs uα = (c,~v) et Aβ := (A0, ~A) :
U =q
c
(A0γ(‖~v‖)c− γ(‖~v‖) ~A · ~v
) 1
γ(‖~v‖),
=q
cAαuβηαβ
1
γ(‖~v‖)(50)
Le lagrangien est donc la constante de Lorentz ( qcAαuβηαβ)
fois le facteur 1/γ. Parce que l’eq(29) dτ = dt/γ l’action
Jint(φ) =
∫ t2
t1
(qcAαuβηαβ
) 1
γ(‖~v‖)dt. (51)
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 58
est aussi (comme Jpar ) proportionnelle au intervalle de
temps propre et est alors invariant par Lorentz.
Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 59
References
Einstein, A. (1905), Does the inertia of a body depend upon its
energy-content ?, Annalen der Physik, 17, 639–641, translation by
W. Perrett and G. B. Jeffery, The Principle of Relativity (New
York : Dover, 1952).
Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativite
Generale, de boeck, Bruxelles.
Naber, G. (2012), The Geometry of Minkowski Spacetime, Applied
Mathematical Sciences, vol. 92, Springer New York,
doi :10.1007/978-1-4419-7838-7 0.
Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge
University Press, Cambridge UK.
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