OS, 13 décembre 2005 99
Copernic (1473 1543)
• De Revolutionibus Orbium Coelestium (1543)– Modèle héliocentrique (inspiré par Aristarque)– Remet en question la vision géocentrique et le
« modèle des deux sphères concentriques »(la sphère terrestre et la sphère des étoiles fixes)
Révolution de pensée:la Terre (et donc l’humain)n’est plus le centre del’Univers !
conflit avec l’Eglise
Qualitativement, explication plus simple dumouvement des planètes (mouvement rétrogradeexpliqué par le mouvement de la Terre)… mais toujours des cercles !« … le mouvement des corps célestes est circulaire. En effet, lamobilité propre de la sphère est de tourner en rond: par cet actemême [...] elle exprime sa forme, celle du corps le plus simple … »
polonais
OS, 13 décembre 2005 100
Tycho-Brahé (1546 1601) et Képler (1571–1630)
• Tente de réconcilier lespoints de vue de l’Egliseet de Copernic(Soleil tourne autour de laTerre immobile et planètestournent autour du Soleil)
• Réalise l’importance defaire des mesures précisesdu mouvement desplanètes (approche scientifique)
• Consacre de nombreusesannées à l’observation etla mesure des mouvementplanétaires.
• Remarque que si l’orbite de Mars est un cercle,le Soleil ne peut pas se trouver au centre de cecercle ... et finalement que l’orbite de Marsn’est pas un cercle
• Partisan dusystèmehéliocentriquede Copernic
• Poursuitl’analyse desmesures dumouvement deMars faite(s)par son maîtreet ami Tycho-Brahé
allemanddanois
OS, 13 décembre 2005 101
Lois de Képler• 2ème loi: (lois des aires, 1609)
Le rayon-vecteur du Soleil à une planètebalaie des aires égales en des temps égaux.
• 1ère loi: (1609)Les trajectoires des planètes sont des ellipsesdont le Soleil occupe l’un des foyers.
• 3ème loi: (1619)Les carrés des périodes de révolution sontproportionnels au cube des grands axes:
période( )2
grand axe( )3 = constante
Découverte pourla planète Terreen supposant uneorbite circulaire
Découverte en1604 pour laplanète Mars ensupposant la loides aires
Note:Rapport des axes de l’ellipse: 0.996 pour Mars 0.99986 pour la Terre
OS, 13 décembre 2005 102
Galilée (1564–1642), Newton (1642–1727)et le développement de la dynamique
• Qu’est-ce qui fait bouger les planètes ?– Avant Galilée/Newton:
• Le mouvement « naturel » d’un corps est l’immobilité• Une planète doit constamment être poussée ou tirée
(par un ange !) dans la direction de son mouvement,autrement elle s’arrête
– Après Galilée/Newton:• Le mouvement « naturel » d’un corps est rectiligne
uniforme; une planète dévie de sa ligne droite si uneforce non tangentielle agit sur elle
• Newton tire les conséquences des lois de Képler:La 2ème loi et la planéité de l’orbite implique que la force(et donc l’accélération) subie par une planète pointe toujoursvers le Soleil:
cette force centrale attractive est exercée par le Soleil (voilà notre ange !)En utilisant de plus la 3ème loi, Newton montre que la forceest proportionnelle à 1/r2 (r = distance Soleil-planète)A partir de là, il prédit une trajectoire elliptique ! (1ère loi)
anglaisitalien
F 1r2
loi de lagravitationuniverselle
OS, 13 décembre 2005 103
Mouvement central et loi des aires
Définition: un point P de masse m a un mouvement central sison accélération passe toujours par un même point O
r r (t) = OP reste toujours parallèle à
r a (t)
P(t’)
P(t’’)a(t’)
a(t’’)
O
dA
v(t) dt
r(t)
Mouvementcentral
Momentcinétiqueconstant
Loi des aires+ mouvementdans un plan
par rapport à un certain point O fixe
ddt(
r r m
r v ) =
r v m
r v +
r r m
r a = 0
Conséquences:
• Le vecteur moment cinétiquereste constant et le mouvement est plan:
r L =
r r m
r v
dA = 12 r v dt sin(
r r ,
r v ) dA
dt = 12 r r
r v = L
2m
• L’aire balayée par unité de temps par levecteur r(t) est constante (loi des aires):
OS, 13 décembre 2005 104
Mouvement central (démos)démos: projection dans un plan horizontal du mouvement
d’une bille soumise à son poids et astreinte à sedéplacer sur une surface de révolution d’axe vertical
r F
O
y
x
Projection sur plan horizontal
r F = mg cos sin
Support de r F passe toujours par O
Force totale r F = m
r g +
r N = F ˆ e + Fz ˆ e z
F = r F ˆ e = mg cos sin
Repère associé (coord. cylindr.)Pˆ e ˆ e ˆ e z
Composante horizontale:
axe
de r
évol
utio
n ve
rtic
al
surf
ace
de r
évol
utio
n
mr g
r N
r F
ˆ e
ˆ e z
zVue de coté
xO
OS, 13 décembre 2005 105
« Découverte » de la force en 1/r2
(dans le cas particulier d’une orbite circulaire de rayon r)
Au tableau
rO
a = ( r)
v = r
NB: le cercle est une ellipse de grand (petit) demi-axe ret son centre est l’un ou l’autre des foyers
r L =
r r m
r v = m
r r (
r
r r )
= m (r r
r r )
r m (
r r
r )
r r = mr2
r
r L = cste
r = cste v = r = cste
mouvement circulaire uniforme
• 2ème loi de Képler (loi des aires):
• 3ème loi de Képler:
(période)2 = T2 = C r3
où C est une constante
F = ma = mv 2
r = m
r 2 r
T( )2
= mr (2 r) 2
C r 3 = 4 2 m
C 1r 2
= S m 1
r 2
On pose S = 4 2
C
T = 2 r 3
S
OS, 13 décembre 2005 106
Les planètes, la lune et la pomme
• Newton postule que tous les corps exercent l’un sur l’autreune force similaire à celle du Soleil sur une planète:– Exemple: la Terre attire aussi bien la Lune
qu’une pomme, et donc la Lune« tombe » en chute libre de lamême manière que la pomme
• Vérification du postulat (1666):– A la surface de la Terre de rayon R, la pomme de masse m
subit une force donnée par mg = T m / R2, donc T = gR2
– Newton calcule alors la période de révolution T de la Luneconnaissant sa distance d à la Terre:
… mais le résultat diffère de 15% par rapport à la valeur observée !Il renonce à publier, jusqu’à ce que, plusieurs années plus tard, lalongueur du méridien terrestre soit mesurée correctement(et réduise l’écart de 15% à 1%)
T = 2 d 3
T
= 2 d 3
gR 2
Got
lib
OS, 13 décembre 2005 107
Action et réaction (3ème loi de Newton)
« A chaque action, il y a toujours une réaction égale et opposée; si uncorps exerce une force sur un autre, cet autre corps exerce une forceégale et opposée sur le premier »
Application aux forces gravifiques:cas du système Terre(T)-Lune(L)
r F T L +
r F L T = 0
FT L = FL T
T
mT
= L
mL
= constante universelle indépendante du corps (= G)
FT L = TmL1d
2
FL T = LmT1d
2
TmL = LmT
FT L
FL T
mT
mL
d
OS, 13 décembre 2005 108
Loi de la gravitation universelle (Newton)
L’interaction de gravitation entre deuxcorps s’exprime par une force centraleattractive proportionnelle aux massesdes deux corps et inversementproportionnelle au carré de leur distance
« Philosophiae Naturalis Principia Mathematica » (1687)
r F = G M m
r2 ˆ e r = G M mr3
r r
G = constante de gravitation universelle
Mm
F
r
ˆ e r Notes:• En pleine cohérence avec les lois de Képler,
cette loi a tout de suite été acceptée• G = (6.673 ± 0.010) 10 11
m3 kg 1 s 1
(valeur actuelle)
OS, 13 décembre 2005 109
Relativité générale d’Einstein (dès 1907)
Andromède
Notre galaxie
A grande échelle, lastructure de l’Universest complètementdominée par les forcesgravitationnelles.
Et plus loin ...
• Concept de base:– l’espace-temps est déformé par la présence des masses
(et les corps suivent des géodésiques dans l’espace courbe)
• La gravitation newtonienne n’est qu’une approximation– des effets de relativité générale ont été observés sur l’orbite de Mercure– la lumière, qui n’a pas de « masse », est également affectée par la gravitation
(observation d’étoiles dans la direction du Soleil lors d’une éclipse solaire)
• Description de « phénomènes extrêmes » (trous noirs, …)
OS, 13 décembre 2005 110
Champ de gravitation
• Une masse ponctuelle M produit unchamp gravitationnel g(r) à la position r:Force subie par une masse m à cette position:
• Quel est le champ gravitationnel produit par une masse Mnon ponctuelle, par exemple la Terre (supposée sphériqueet homogène) de rayon R ?
Terre M
m
gr = R + h
R
h
r g (
r r ) = GM
r2 r r r
r F = m
r g (
r r )
Réponse: si r R, le même champ queproduirait une masse M ponctuellesituée au centre le la Terre(conséquence de la forme en 1/r2)
OS, 13 décembre 2005 111
Flux du champ de gravitation
• Définition du flux d’un champ g à travers unesurface dA:
• Flux total à travers une surface ferméequelconque entourant une masse ponctuelle M:
d = r g d
r A = g dA cos
aire dA
normaleg dA
= dsurface
= g cossurface
dA = =0 =0
2GM
r2
g{
r2sin d d
cos dA1 2 4 3 4
= 4 GM
dA
M
dA cos
rg
x
Mr
r d
r sin d
y
z
indépendant de lasurface fermée !
(théorème de Gauss)
OS, 13 décembre 2005 112
Champ de gravitation d’une distribution de masse
• Flux total à travers une surface ferméequelconque entourant 3 masses ponctuelles:
• Boule de rayon R de masse M(distribution de masse uniforme):– Le champ g(r) doit être radial (symétrie sphérique):
– On applique le théorème de Gauss sur la sphèrede rayon r = R+h:
dA
M1
g1
M2
g2M3
g3
r g =
r g 1 +
r g 2 +
r g 3 = 1 + 2 + 3
= 4 G (M1+ M2 + M3)
r g (
r r ) = g(r) ˆ e r
= g 4 r2 = 4 G MTerre
M
m
g
R
h
r
g = GMr2
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