Contrôle frontière de systèmes paraboliques endimension N d’espace
Guillaume OLIVE
I2M, Aix-Marseille Université
Journée Jeunes ContrôleursJeudi 13 février 2014
Plan
1 Introduction
2 Une condition suffisante de contrôlabilité approchée en dimension N
3 Le tour du rectangleCaractérisations de la contrôlabilité approchéeUn résultat de contrôlabilité à zéro
4 Commentaires et perspectives
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 2 / 33
Plan
1 Introduction
2 Une condition suffisante de contrôlabilité approchée en dimension N
3 Le tour du rectangleCaractérisations de la contrôlabilité approchéeUn résultat de contrôlabilité à zéro
4 Commentaires et perspectives
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Position du problèmeSoit Ω ⊂ RN un ouvert borné. On note QT = (0,T )× Ω et ΣT = (0,T )× ∂Ω.On cherche à obtenir des résultats de contrôlabilité frontière en dimension N > 1 pour le systèmede n équations et à coefficients constants suivant :
∂ty −∆y = Ay dans QT ,
y = 1γBv sur ΣT ,
y(0) = y0 dans Ω.(S)
y = (y1, . . . , yn) est l’état et y0 la donnée initiale.A ∈Mn(R) couple les équations.v ∈ L2(ΣT ) est le contrôle.B ∈ Rn localise algébriquement le contrôle.γ ⊂ ∂Ω localise géométriquement le contrôle.
Definition (Notions de controlabilité)Le système (S) est contrôlable à zéro au temps T > 0 si, pour tout y0 ∈ H−1(Ω)n, il existev ∈ L2(ΣT ) tel que y(T ) = 0.Le système (S) est approximativement contrôlable si, pour tout ε > 0, y0, yf ∈ H−1(Ω)n, ilexiste v ∈ L2(ΣT ) tel que ‖y(T )− yf ‖H−1 ≤ ε.
Ici, la contrôlabilité à zéro implique la contrôlabilité approchée.G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 4 / 33
Dualité contrôlabilité - observabilité
On introduit le système adjoint au système (S) :−∂tz −∆z = A∗z dans QT ,
z = 0 sur ΣT ,
z(T ) = zf ∈ H10 (Ω)n dans Ω.
(S∗)
On rappelle alors que
Théorème (Dualité)
Le système (S) est contrôlable à zéro au temps T si, et seulement si, son système adjoint(S∗) vérifie l’inégalité d’observabilité
∃CT > 0, ∀zf ∈ H10 (Ω)n, ‖z(0)‖2H1
0 (Ω)n ≤ C2T
∫ T
0‖1γ∂nB∗z(t)‖2L2(∂Ω) dt.
Le système (S) est approximativement contrôlable au temps T si, et seulement si, sonsystème adjoint (S∗) vérifie la propriété de continuation unique
∀zf ∈ H10 (Ω)n,
(1γ∂nB∗z(t) = 0, p.p. t ∈ (0,T )
)=⇒ zf = 0.
La meilleure des constantes CT dans l’inégalité d’observabilité est le coût du contrôle.
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Rappels du cas scalaire et comparaison
Théorème (G. Lebeau et L. Robbiano (1995) ; A. Fursikov et O.Y. Imanuvilov(1996))L’équation de la chaleur
∂ty −∆y = 1ωv dans QT ,
y = 0 sur ΣT .
est contrôlable à zéro pour tout temps T > 0 et tout ouvert ω ⊂ Ω.
De plus, la contrôlabilité frontière s’en déduit :∂ty −∆y = 0 dans QT ,
y = 1γv sur ΣT .ωΩ γ
Cette astuce ne marche plus pour les systèmes avec moins de contrôles que d’équations.En général, pour les systèmes d’équations :
1 La contrôlabilité interne et la contrôlabilité frontière ne sont pas équivalentes.E. Fernández-Cara, M. González-Burgos et L. de Teresa (2010).
2 Il peut y avoir un temps minimal de contrôle.F. Ammar-Khodja, A. Benabdallah, M. González-Burgos et L. de Teresa (2013).
3 Il peut y avoir des conditions géométriques.F. Boyer et G. O. (2013).
Notons que ces situations complexes apparaissent déjà en dimension N = 1.
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Rappels du cas scalaire et comparaison
Théorème (G. Lebeau et L. Robbiano (1995) ; A. Fursikov et O.Y. Imanuvilov(1996))L’équation de la chaleur
∂ty −∆y = 1ωv dans QT ,
y = 0 sur ΣT .
est contrôlable à zéro pour tout temps T > 0 et tout ouvert ω ⊂ Ω.
De plus, la contrôlabilité frontière s’en déduit :∂ty −∆y = 0 dans QT ,
y = 1γv sur ΣT .ωΩ γ
Cette astuce ne marche plus pour les systèmes avec moins de contrôles que d’équations.En général, pour les systèmes d’équations :
1 La contrôlabilité interne et la contrôlabilité frontière ne sont pas équivalentes.E. Fernández-Cara, M. González-Burgos et L. de Teresa (2010).
2 Il peut y avoir un temps minimal de contrôle.F. Ammar-Khodja, A. Benabdallah, M. González-Burgos et L. de Teresa (2013).
3 Il peut y avoir des conditions géométriques.F. Boyer et G. O. (2013).
Notons que ces situations complexes apparaissent déjà en dimension N = 1.
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Rappels du cas scalaire et comparaison
Théorème (G. Lebeau et L. Robbiano (1995) ; A. Fursikov et O.Y. Imanuvilov(1996))L’équation de la chaleur
∂ty −∆y = 1ωv dans QT ,
y = 0 sur ΣT .
est contrôlable à zéro pour tout temps T > 0 et tout ouvert ω ⊂ Ω.
De plus, la contrôlabilité frontière s’en déduit :∂ty −∆y = 0 dans QT ,
y = 1γv sur ΣT .ωΩ γ
Cette astuce ne marche plus pour les systèmes avec moins de contrôles que d’équations.En général, pour les systèmes d’équations :
1 La contrôlabilité interne et la contrôlabilité frontière ne sont pas équivalentes.E. Fernández-Cara, M. González-Burgos et L. de Teresa (2010).
2 Il peut y avoir un temps minimal de contrôle.F. Ammar-Khodja, A. Benabdallah, M. González-Burgos et L. de Teresa (2013).
3 Il peut y avoir des conditions géométriques.F. Boyer et G. O. (2013).
Notons que ces situations complexes apparaissent déjà en dimension N = 1.G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 6 / 33
Le rôle de la géométrie de la zone de contrôle
Regardons la contrôlabilité interne en dimension 1 du système 2× 2 suivant :∂ty1 − ∂2x y1 = 1ωv dans QT ,
∂ty2 − ∂2x y2 = a21(x)y1 dans QT ,(1)
Si ω intersecte O2 = supp (a21) on a contrôlabilité à zéro. L. de Teresa (2000).
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Le rôle de la géométrie de la zone de contrôle
Regardons la contrôlabilité interne en dimension 1 du système 2× 2 suivant :∂ty1 − ∂2x y1 = 1ωv dans QT ,
∂ty2 − ∂2x y2 = a21(x)y1 dans QT ,(1)
Si ω intersecte O2 = supp (a21) on a contrôlabilité à zéro. L. de Teresa (2000).Prenons à présent
a21(x) =(x −
12
)1O2 (x), O2 =
(14,34
).
Considérons les deux configurations géométriques suivantes pour ω :
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Le rôle de la géométrie de la zone de contrôle
Regardons la contrôlabilité interne en dimension 1 du système 2× 2 suivant :∂ty1 − ∂2x y1 = 1ωv dans QT ,
∂ty2 − ∂2x y2 = a21(x)y1 dans QT ,(1)
Si ω intersecte O2 = supp (a21) on a contrôlabilité à zéro. L. de Teresa (2000).Prenons à présent
a21(x) =(x −
12
)1O2 (x), O2 =
(14,34
).
Considérons les deux configurations géométriques suivantes pour ω :
ω
O2
(a) ω est connexe
ω ω
O2
(b) ω n’est pas connexe
Des comportements très différents (F. Boyer et G. O. (2013)) :Le système (1) n’est PAS approximativement contrôlable si Figure (a).Le système (1) est approximativement contrôlable si Figure (b).
Résultats en cours pour la contrôlabilité à zéro.F. Ammar-Khodja, A. Benabdallah, M. González-Burgos et L. de Teresa.
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Problèmes des techniques actuelles
Techniques actuelles et leurs restrictions :
Inégalités de Carleman : contrôle frontière ou contrôle interne sur un domaine disjoint dusupport du couplage.Méthode des moments : contrôle en dimension N > 1.Technique de transmutation (des ondes à la chaleur) : condition géométrique de contrôle.
Par exemple, la contrôlabilité frontière de systèmes sur un rectangle n’entre pas dans ce cadre :
zone de contrôle Ω
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Problèmes des techniques actuelles
Techniques actuelles et leurs restrictions :
Inégalités de Carleman : contrôle frontière ou contrôle interne sur un domaine disjoint dusupport du couplage.Méthode des moments : contrôle en dimension N > 1.Technique de transmutation (des ondes à la chaleur) : condition géométrique de contrôle.
Par exemple, la contrôlabilité frontière de systèmes sur un rectangle n’entre pas dans ce cadre :
zone de contrôle Ω
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Plan
1 Introduction
2 Une condition suffisante de contrôlabilité approchée en dimension N
3 Le tour du rectangleCaractérisations de la contrôlabilité approchéeUn résultat de contrôlabilité à zéro
4 Commentaires et perspectives
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Notations et résultats existantRappelons tout d’abord que la condition de Kalman rang (B|AB|A2B| · · · |An−1B) = n estnécessaire à la contrôlabilité du système (S).
On note −λkk et θii les valeurs propres distinctes de ∆ avec condition de Dirichlethomogène et de A∗. Les valeurs propres de l’opérateur ∆ + A∗ sont donc −λk + θik,i .
Attention résonance : avec ces notations on peut avoir pour certains indices
−λk + θi = −λk′ + θi′
On rappelle que :En dimension N = 1 le système
∂ty − ∂2x1y = Ay dans (0,T )× (0,X1),
y(t, 0) = Bv(t), y(t,X1) = 0 sur (0,T ).
est contrôlable à zéro au temps T > 0 si, et seulement si, on a la condition de Kalman et
−λk + θi 6= −λk′ + θi′ , pour tout (k, i) 6= (k′, i ′).
E. Fernández-Cara, M. González-Burgos et L. de Teresa (2010) ; F. Ammar-Khodja,A. Benabdallah, M. González-Burgos et L. de Teresa (2011).En dimension N>1, il existe seulement des résultats partiels sous la condition géométriquede contrôle sur γ et avec une structure sur A (qui évite les résonances).F. Alabau-Boussouira et M. Léautaud (2012) ; F. Alabau-Boussouira (2013).
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Notations et résultats existantRappelons tout d’abord que la condition de Kalman rang (B|AB|A2B| · · · |An−1B) = n estnécessaire à la contrôlabilité du système (S).On note −λkk et θii les valeurs propres distinctes de ∆ avec condition de Dirichlethomogène et de A∗. Les valeurs propres de l’opérateur ∆ + A∗ sont donc −λk + θik,i .
Attention résonance : avec ces notations on peut avoir pour certains indices
−λk + θi = −λk′ + θi′
On rappelle que :En dimension N = 1 le système
∂ty − ∂2x1y = Ay dans (0,T )× (0,X1),
y(t, 0) = Bv(t), y(t,X1) = 0 sur (0,T ).
est contrôlable à zéro au temps T > 0 si, et seulement si, on a la condition de Kalman et
−λk + θi 6= −λk′ + θi′ , pour tout (k, i) 6= (k′, i ′).
E. Fernández-Cara, M. González-Burgos et L. de Teresa (2010) ; F. Ammar-Khodja,A. Benabdallah, M. González-Burgos et L. de Teresa (2011).En dimension N>1, il existe seulement des résultats partiels sous la condition géométriquede contrôle sur γ et avec une structure sur A (qui évite les résonances).F. Alabau-Boussouira et M. Léautaud (2012) ; F. Alabau-Boussouira (2013).
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Notations et résultats existantRappelons tout d’abord que la condition de Kalman rang (B|AB|A2B| · · · |An−1B) = n estnécessaire à la contrôlabilité du système (S).On note −λkk et θii les valeurs propres distinctes de ∆ avec condition de Dirichlethomogène et de A∗. Les valeurs propres de l’opérateur ∆ + A∗ sont donc −λk + θik,i .
Attention résonance : avec ces notations on peut avoir pour certains indices
−λk + θi = −λk′ + θi′
On rappelle que :En dimension N = 1 le système
∂ty − ∂2x1y = Ay dans (0,T )× (0,X1),
y(t, 0) = Bv(t), y(t,X1) = 0 sur (0,T ).
est contrôlable à zéro au temps T > 0 si, et seulement si, on a la condition de Kalman et
−λk + θi 6= −λk′ + θi′ , pour tout (k, i) 6= (k′, i ′).
E. Fernández-Cara, M. González-Burgos et L. de Teresa (2010) ; F. Ammar-Khodja,A. Benabdallah, M. González-Burgos et L. de Teresa (2011).
En dimension N>1, il existe seulement des résultats partiels sous la condition géométriquede contrôle sur γ et avec une structure sur A (qui évite les résonances).F. Alabau-Boussouira et M. Léautaud (2012) ; F. Alabau-Boussouira (2013).
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Notations et résultats existantRappelons tout d’abord que la condition de Kalman rang (B|AB|A2B| · · · |An−1B) = n estnécessaire à la contrôlabilité du système (S).On note −λkk et θii les valeurs propres distinctes de ∆ avec condition de Dirichlethomogène et de A∗. Les valeurs propres de l’opérateur ∆ + A∗ sont donc −λk + θik,i .
Attention résonance : avec ces notations on peut avoir pour certains indices
−λk + θi = −λk′ + θi′
On rappelle que :En dimension N = 1 le système
∂ty − ∂2x1y = Ay dans (0,T )× (0,X1),
y(t, 0) = Bv(t), y(t,X1) = 0 sur (0,T ).
est contrôlable à zéro au temps T > 0 si, et seulement si, on a la condition de Kalman et
−λk + θi 6= −λk′ + θi′ , pour tout (k, i) 6= (k′, i ′).
E. Fernández-Cara, M. González-Burgos et L. de Teresa (2010) ; F. Ammar-Khodja,A. Benabdallah, M. González-Burgos et L. de Teresa (2011).En dimension N>1, il existe seulement des résultats partiels sous la condition géométriquede contrôle sur γ et avec une structure sur A (qui évite les résonances).F. Alabau-Boussouira et M. Léautaud (2012) ; F. Alabau-Boussouira (2013).
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Une condition spectrale en dimension N
En fait, la condition de non-résonance
− λk + θi 6= −λk′ + θi′ , pour tout (k, i) 6= (k′, i ′), (2)
est une condition suffisante de contrôlabilité approchée en dimension quelconque :
Théorème (G. O. (2013))
Sous la condition de Kalman, si (2) est vérifiée, alors le système∂ty −∆y = Ay dans QT ,
y = 1γBv sur ΣT ,
est approximativement contrôlable.
C’est donc une condition en dimension N quelconque et valable sans hypothèse de géométriesur γ.Elle n’est pas nécessaire, sauf cas très particulier de la dimension N = 1 et card γ = 1.La preuve utilise le théorème de Fattorini :
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Théorème de Fattorini
On rappelle que la contrôlabilité approchée du système (S) est équivalente à une propriété decontinuation unique du système adjoint (S∗). On a en fait mieux :
Théorème (H.O. Fattorini (1966))Sous certaines hypothèses convenables sur les opérateurs A : D (A) ⊂ H −→ H etC : D (C) ⊂ H −→ U, la propriété de continuation unique
∀zf ∈ D (A∗) ,(C∗z(t) = 0 p.p. t ∈ (0,+∞)
)=⇒ zf = 0,
où z est la solution du système adjoint, est équivalente à :
ker(s −A∗) ∩ ker C∗ = 0 , ∀s ∈ C.
1 En dimension finie, cela donne une caractérisation équivalente à la condition de Kalman :
ker(s − A∗) ∩ kerB∗ = 0 , ∀s ∈ C. (Fatalg )
2 Pour la contrôlabilité approchée de l’équation de la chaleur par le bord, cela s’écrit
∀φ ∈ ker(s −∆), ∂nφ = 0 sur γ =⇒ φ = 0, ∀s ∈ C. (Fatdiff )
R. C. MacCamy, V. J. Mizel et T. I. Seidman (1968).
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Preuve du théorèmeOn va montrer que, pour toute valeur propre s qui s’écrit de façon unique s = −λl + θi , on a
∀Φ ∈ ker(s − (∆ + A∗)), ∂nB∗Φ = 0 sur γ =⇒ Φ = 0.
Cela prouvera le théorème puisqu’on suppose que toutes les valeurs propres sont ainsi.
Par hypothèse Φ s’écritΦ =
∑j,m
αj,mVjφm,
où V1, . . . ,VJ ∈ Rn (resp. φ1, . . . , φM ∈ H10 ) est une base de ker(θi − A∗) (resp. ker(−λl −∆)).
On a donc
B∗(∑
j
βjVj
)= 0 sur γ, en ayant noté βj = ∂n
(∑m
αj,mφm
).
Or, puisque∑
j βjVj ∈ ker(θi − A∗) on peut utiliser (Fatalg ) afin d’obtenir
βj = ∂n
(∑m
αj,mφm
)= 0 sur γ, ∀j.
Maintenant, sachant que∑
m αj,mφm ∈ ker(−λl −∆), avec (Fatdiff ) on obtient finalement
αj,m = 0, ∀m, j.
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Preuve du théorèmeOn va montrer que, pour toute valeur propre s qui s’écrit de façon unique s = −λl + θi , on a
∀Φ ∈ ker(s − (∆ + A∗)), ∂nB∗Φ = 0 sur γ =⇒ Φ = 0.
Cela prouvera le théorème puisqu’on suppose que toutes les valeurs propres sont ainsi.Par hypothèse Φ s’écrit
Φ =∑j,m
αj,mVjφm,
où V1, . . . ,VJ ∈ Rn (resp. φ1, . . . , φM ∈ H10 ) est une base de ker(θi − A∗) (resp. ker(−λl −∆)).
On a donc
B∗(∑
j
βjVj
)= 0 sur γ, en ayant noté βj = ∂n
(∑m
αj,mφm
).
Or, puisque∑
j βjVj ∈ ker(θi − A∗) on peut utiliser (Fatalg ) afin d’obtenir
βj = ∂n
(∑m
αj,mφm
)= 0 sur γ, ∀j.
Maintenant, sachant que∑
m αj,mφm ∈ ker(−λl −∆), avec (Fatdiff ) on obtient finalement
αj,m = 0, ∀m, j.
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Preuve du théorèmeOn va montrer que, pour toute valeur propre s qui s’écrit de façon unique s = −λl + θi , on a
∀Φ ∈ ker(s − (∆ + A∗)), ∂nB∗Φ = 0 sur γ =⇒ Φ = 0.
Cela prouvera le théorème puisqu’on suppose que toutes les valeurs propres sont ainsi.Par hypothèse Φ s’écrit
Φ =∑j,m
αj,mVjφm,
où V1, . . . ,VJ ∈ Rn (resp. φ1, . . . , φM ∈ H10 ) est une base de ker(θi − A∗) (resp. ker(−λl −∆)).
On a donc
B∗(∑
j
βjVj
)= 0 sur γ, en ayant noté βj = ∂n
(∑m
αj,mφm
).
Or, puisque∑
j βjVj ∈ ker(θi − A∗) on peut utiliser (Fatalg ) afin d’obtenir
βj = ∂n
(∑m
αj,mφm
)= 0 sur γ, ∀j.
Maintenant, sachant que∑
m αj,mφm ∈ ker(−λl −∆), avec (Fatdiff ) on obtient finalement
αj,m = 0, ∀m, j.
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Preuve du théorèmeOn va montrer que, pour toute valeur propre s qui s’écrit de façon unique s = −λl + θi , on a
∀Φ ∈ ker(s − (∆ + A∗)), ∂nB∗Φ = 0 sur γ =⇒ Φ = 0.
Cela prouvera le théorème puisqu’on suppose que toutes les valeurs propres sont ainsi.Par hypothèse Φ s’écrit
Φ =∑j,m
αj,mVjφm,
où V1, . . . ,VJ ∈ Rn (resp. φ1, . . . , φM ∈ H10 ) est une base de ker(θi − A∗) (resp. ker(−λl −∆)).
On a donc
B∗(∑
j
βjVj
)= 0 sur γ, en ayant noté βj = ∂n
(∑m
αj,mφm
).
Or, puisque∑
j βjVj ∈ ker(θi − A∗) on peut utiliser (Fatalg ) afin d’obtenir
βj = ∂n
(∑m
αj,mφm
)= 0 sur γ, ∀j.
Maintenant, sachant que∑
m αj,mφm ∈ ker(−λl −∆), avec (Fatdiff ) on obtient finalement
αj,m = 0, ∀m, j.
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Preuve du théorèmeOn va montrer que, pour toute valeur propre s qui s’écrit de façon unique s = −λl + θi , on a
∀Φ ∈ ker(s − (∆ + A∗)), ∂nB∗Φ = 0 sur γ =⇒ Φ = 0.
Cela prouvera le théorème puisqu’on suppose que toutes les valeurs propres sont ainsi.Par hypothèse Φ s’écrit
Φ =∑j,m
αj,mVjφm,
où V1, . . . ,VJ ∈ Rn (resp. φ1, . . . , φM ∈ H10 ) est une base de ker(θi − A∗) (resp. ker(−λl −∆)).
On a donc
B∗(∑
j
βjVj
)= 0 sur γ, en ayant noté βj = ∂n
(∑m
αj,mφm
).
Or, puisque∑
j βjVj ∈ ker(θi − A∗) on peut utiliser (Fatalg ) afin d’obtenir
βj = ∂n
(∑m
αj,mφm
)= 0 sur γ, ∀j.
Maintenant, sachant que∑
m αj,mφm ∈ ker(−λl −∆), avec (Fatdiff ) on obtient finalement
αj,m = 0, ∀m, j.
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Application aux systèmes en cascade
En guise d’application, considérons le système∂ty −∆y = Ay dans QT ,
y = 1γBv sur ΣT ,
avec la structure
A =
0 · · · · · · 0
a21. . .
......
. . .. . .
...
an,1 · · · an,n−1 0
, B =
1
0...
0
.
On aσ (A) = 0 =⇒ pas de résonance.
Ainsi, quelles que soient la dimension N et la zone de contrôle γ, ce système estapproximativement contrôlable si, et seulement si, on a (condition de Kalman) :
ai,i−1 6= 0, ∀i ∈ J2, nK.
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Plan
1 Introduction
2 Une condition suffisante de contrôlabilité approchée en dimension N
3 Le tour du rectangleCaractérisations de la contrôlabilité approchéeUn résultat de contrôlabilité à zéro
4 Commentaires et perspectives
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Cadre et motivation
Désormais, on autorise à se produire la situation
−λk + θi = −λk′ + θi′ , pour certains (k, i) 6= (k′, i ′).
Pour la contrôlabilité approchée, il faut alors vérifier une propriété de continuation unique sur lespaquets de fonctions propres correspondant à ces cas de résonance (non explicite en général).On va discuter selon la zone de contrôle γ les propriétés de contrôlabilité du système
∂ty −∆y = Ay dans QT ,
y = 1γBv sur ΣT ,
pour la géométrie suivante :
Ω1
Ω2
γ γ
Ω1
Ω2
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Cadre et motivation
Désormais, on autorise à se produire la situation
−λk + θi = −λk′ + θi′ , pour certains (k, i) 6= (k′, i ′).
Pour la contrôlabilité approchée, il faut alors vérifier une propriété de continuation unique sur lespaquets de fonctions propres correspondant à ces cas de résonance (non explicite en général).
On va discuter selon la zone de contrôle γ les propriétés de contrôlabilité du système∂ty −∆y = Ay dans QT ,
y = 1γBv sur ΣT ,
pour la géométrie suivante :
Ω1
Ω2
γ γ
Ω1
Ω2
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Cadre et motivation
Désormais, on autorise à se produire la situation
−λk + θi = −λk′ + θi′ , pour certains (k, i) 6= (k′, i ′).
Pour la contrôlabilité approchée, il faut alors vérifier une propriété de continuation unique sur lespaquets de fonctions propres correspondant à ces cas de résonance (non explicite en général).On va discuter selon la zone de contrôle γ les propriétés de contrôlabilité du système
∂ty −∆y = Ay dans QT ,
y = 1γBv sur ΣT ,
pour la géométrie suivante :
Ω1
Ω2
γ γ
Ω1
Ω2
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Plan
1 Introduction
2 Une condition suffisante de contrôlabilité approchée en dimension N
3 Le tour du rectangleCaractérisations de la contrôlabilité approchéeUn résultat de contrôlabilité à zéro
4 Commentaires et perspectives
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 17 / 33
Contrôlabilité approchée sur une face d’un rectangleOn suppose que γ est contenu dans une seule face du rectangle :
ΩγL γR
γT
γB(0, 0)
(0,X2)
(X1, 0)
γ
Théorème (G. O. (2013))Pour tout γ ⊂ γL, le système 2D
∂ty −∆y = Ay dans QT ,
y = 1γBv sur ΣT ,
est approximativement contrôlable si, et seulement si, le système 1D suivant l’est également∂ty − ∂2x1y = Ay dans (0,T )× (0,X1),
y(t, 0) = Bv(t), y(t,X1) = 0 sur (0,T ).(3)
On rappelle qu’on sait caractériser la contrôlabilité du système (3).Idée de projeter sur la dimension 1. H.O. Fattorini (1975).
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 18 / 33
Quelques conséquences
Suite à ce théorème, on voit que :1 La condition spectrale n’est donc pas nécéssaire. Par exemple,
−λ(0,π)k − λ(0,1)
4 + 0 = −λ(0,π)k − λ(0,1)
5 + 9π2.
2 Le système peut être contrôlable dans une direction mais pas dans l’autre :
ΩX1 OUI
X2⇔ NON
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 19 / 33
Quelques conséquences
Suite à ce théorème, on voit que :1 La condition spectrale n’est donc pas nécéssaire. Par exemple,
−λ(0,π)k − λ(0,1)
4 + 0 = −λ(0,π)k − λ(0,1)
5 + 9π2.
2 Le système peut être contrôlable dans une direction mais pas dans l’autre :
ΩX1 OUI
X2⇔ NON
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 19 / 33
Contrôlabilité approchée sur deux faces d’un rectangleOn suppose maintenant que γ est contenu dans deux faces du rectangle :
ΩγL γR
γT
γB(0, 0)
(0,X2)
(X1, 0)
• Cas γ ⊂ γL ∪ γR : situation analogue au cas précédent.
• Considérons maintenant le cas γ ⊂ γL ∪ γT :
Théorème (G. O. (2013))Sous la condition de Kalman, si
γ ∩ γL 6= ∅, γ ∩ γT 6= ∅,
alors le système de 2 équations ∂ty −∆y = Ay dans QT ,
y = 1γBv sur ΣT ,
est approximativement contrôlable.
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 20 / 33
Contrôlabilité approchée sur deux faces d’un rectangleOn suppose maintenant que γ est contenu dans deux faces du rectangle :
ΩγL γR
γT
γB(0, 0)
(0,X2)
(X1, 0)
• Cas γ ⊂ γL ∪ γR : situation analogue au cas précédent.• Considérons maintenant le cas γ ⊂ γL ∪ γT :
Théorème (G. O. (2013))Sous la condition de Kalman, si
γ ∩ γL 6= ∅, γ ∩ γT 6= ∅,
alors le système de 2 équations ∂ty −∆y = Ay dans QT ,
y = 1γBv sur ΣT ,
est approximativement contrôlable.
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 20 / 33
Contrôlabilité approchée sur p faces d’un rectangle
ΩγL γR
γT
γB(0, 0)
(0,X2)
(X1, 0)
Passons au cas général :
Théorème (M. González-Burgos et G. O. (2013))Le système 2D
∂ty −∆y = Ay dans QT ,
y = 1γBv sur ΣT ,
est approximativement contrôlable, si et seulement si,
rang [Ak : Ck(γ) ]nk2 = nk2, ∀k ≥ 1.
La matrice Ak dépend de A et des valeurs propres du Laplacien 2D.La matrice Ck(γ) dépend de B et de γ.[Ak : Ck(γ) ]nk2 désigne la matrice de Kalman entre Ak et Ck(γ).
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 21 / 33
Plan
1 Introduction
2 Une condition suffisante de contrôlabilité approchée en dimension N
3 Le tour du rectangleCaractérisations de la contrôlabilité approchéeUn résultat de contrôlabilité à zéro
4 Commentaires et perspectives
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 22 / 33
Contrôlabilité à zéro sur une face d’un rectangle
On suppose que γ est contenu dans une seule face du rectangle :
ΩγL γR
γT
γB(0, 0)
(0,X2)
(X1, 0)
γ
Théorème (A. Benabdallah, F. Boyer, M. González-Burgos et G. O. (2013))Pour tout γ ⊂ γL, le système 2D
∂ty −∆y = Ay dans QT ,
y = 1γBv sur ΣT ,
est contrôlable à zéro si, et seulement si, le système 1D suivant l’est également∂ty − ∂2x1y = Ay dans (0,T )× (0,X1),
y(t, 0) = Bv(t), y(t,X1) = 0 sur (0,T ).
La grande difficulté est le cas γ ( γL (analogie avec l’équation de la chaleur).G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 23 / 33
Idée de la preuve
La preuve repose sur 3 points essentiels :1 Idée de projeter sur la dimension 1.2 Méthode de Lebeau-Robbiano pour le cas γ ( γL.3 Estimation du coût du contrôle 1D :
Théorème (A. Benabdallah, F. Boyer, M. González-Burgos et G. O. (2013))Le coût du contrôle CX1
T du système 1D∂ty − ∂2x1y = Ay dans (0,T )× (0,X1),
y(t, 0) = Bv(t), y(t,X1) = 0 sur (0,T ),
est borné parCX1T ≤ CeC/T .
La preuve utilise la méthode des moments.
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 24 / 33
Sous-espaces de contrôlabilité partielle
On introduit des espaces à variables séparées tronqués à la J-ième fréquence dans la direction X2 :
EJ =
J∑
j=1
ujφX2j
∣∣∣∣∣ uj ∈ H10 (0,X1)n
⊂ H1
0 (Ω)n.
On va travailler dans les espaces "duaux"
E−1J = −∆EJ ⊂ H−1(Ω)n.
On note PE−1J
la projection orthogonale sur E−1J .
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 25 / 33
"Relèvement" de la dimension 1
Soit zf =∑J
j=1 ujφX2j ∈ EJ . La solution correspondante z du système adjoint s’écrit donc
z(t, x1, x2) =J∑
j=1
e−(T−t)λX2j Uj (t, x1)φX2j (x2),
où Uj est la solution du système adjoint 1D correspondant à uj .
Par hypothèse, on aOn applique alors l’inégalité spectrale de Lebeau-Robbiano dans la direction X2
J∑j=1
|aj |2 ≤ CeC√
λX2J
∫γ
∣∣∣∣∣J∑
j=1
ajφX2j (x2)
∣∣∣∣∣2
dx2
à la suite de scalaires aj = e−(T−t)λX2j B∗∂x1Uj (t, 0) pour obtenir
J∑j=1
e−2TλX2j ‖Uj (0)‖2H1
0 (0,X1)n ≤ C(CX1T )
2eC√
λX2J
∫ T
0
∫γ
|B∗∂x1z(t, 0, x2)|2 dx2 dt.
Enfin, la norme ‖z(0)‖2H10 (Ω)n peut être estimée en fonction des normes ‖Uj (0)‖2H1
0 (0,X1)n .
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 26 / 33
"Relèvement" de la dimension 1Soit zf =
∑Jj=1 ujφ
X2j ∈ EJ . La solution correspondante z du système adjoint s’écrit donc
z(t, x1, x2) =J∑
j=1
e−(T−t)λX2j Uj (t, x1)φX2j (x2),
où Uj est la solution du système adjoint 1D correspondant à uj . Par hypothèse, on a
‖Uj (0)‖2H10 (0,X1)n ≤ (CX1
T )2∫ T
0|B∗∂x1Uj (t, 0)|2 dt,
On applique alors l’inégalité spectrale de Lebeau-Robbiano dans la direction X2
J∑j=1
|aj |2 ≤ CeC√
λX2J
∫γ
∣∣∣∣∣J∑
j=1
ajφX2j (x2)
∣∣∣∣∣2
dx2
à la suite de scalaires aj = e−(T−t)λX2j B∗∂x1Uj (t, 0) pour obtenir
J∑j=1
e−2TλX2j ‖Uj (0)‖2H1
0 (0,X1)n ≤ C(CX1T )
2eC√
λX2J
∫ T
0
∫γ
|B∗∂x1z(t, 0, x2)|2 dx2 dt.
Enfin, la norme ‖z(0)‖2H10 (Ω)n peut être estimée en fonction des normes ‖Uj (0)‖2H1
0 (0,X1)n .
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 26 / 33
"Relèvement" de la dimension 1Soit zf =
∑Jj=1 ujφ
X2j ∈ EJ . La solution correspondante z du système adjoint s’écrit donc
z(t, x1, x2) =J∑
j=1
e−(T−t)λX2j Uj (t, x1)φX2j (x2),
où Uj est la solution du système adjoint 1D correspondant à uj . Par hypothèse, on a
e−2TλX2j ‖Uj (0)‖2H1
0 (0,X1)n ≤ (CX1T )
2∫ T
0e−2(T−t)λX2
j |B∗∂x1Uj (t, 0)|2 dt,
On applique alors l’inégalité spectrale de Lebeau-Robbiano dans la direction X2
J∑j=1
|aj |2 ≤ CeC√
λX2J
∫γ
∣∣∣∣∣J∑
j=1
ajφX2j (x2)
∣∣∣∣∣2
dx2
à la suite de scalaires aj = e−(T−t)λX2j B∗∂x1Uj (t, 0) pour obtenir
J∑j=1
e−2TλX2j ‖Uj (0)‖2H1
0 (0,X1)n ≤ C(CX1T )
2eC√
λX2J
∫ T
0
∫γ
|B∗∂x1z(t, 0, x2)|2 dx2 dt.
Enfin, la norme ‖z(0)‖2H10 (Ω)n peut être estimée en fonction des normes ‖Uj (0)‖2H1
0 (0,X1)n .
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 26 / 33
"Relèvement" de la dimension 1Soit zf =
∑Jj=1 ujφ
X2j ∈ EJ . La solution correspondante z du système adjoint s’écrit donc
z(t, x1, x2) =J∑
j=1
e−(T−t)λX2j Uj (t, x1)φX2j (x2),
où Uj est la solution du système adjoint 1D correspondant à uj . Par hypothèse, on a
J∑j=1
e−2TλX2j ‖Uj (0)‖2H1
0 (0,X1)n ≤ (CX1T )
2∫ T
0
J∑j=1
e−2(T−t)λX2j |B∗∂x1Uj (t, 0)|2 dt,
On applique alors l’inégalité spectrale de Lebeau-Robbiano dans la direction X2
J∑j=1
|aj |2 ≤ CeC√
λX2J
∫γ
∣∣∣∣∣J∑
j=1
ajφX2j (x2)
∣∣∣∣∣2
dx2
à la suite de scalaires aj = e−(T−t)λX2j B∗∂x1Uj (t, 0) pour obtenirJ∑
j=1
e−2TλX2j ‖Uj (0)‖2H1
0 (0,X1)n ≤ C(CX1T )
2eC√
λX2J
∫ T
0
∫γ
|B∗∂x1z(t, 0, x2)|2 dx2 dt.
Enfin, la norme ‖z(0)‖2H10 (Ω)n peut être estimée en fonction des normes ‖Uj (0)‖2H1
0 (0,X1)n .
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 26 / 33
"Relèvement" de la dimension 1Soit zf =
∑Jj=1 ujφ
X2j ∈ EJ . La solution correspondante z du système adjoint s’écrit donc
z(t, x1, x2) =J∑
j=1
e−(T−t)λX2j Uj (t, x1)φX2j (x2),
où Uj est la solution du système adjoint 1D correspondant à uj . Par hypothèse, on a
J∑j=1
e−2TλX2j ‖Uj (0)‖2H1
0 (0,X1)n ≤ (CX1T )
2∫ T
0
J∑j=1
e−2(T−t)λX2j |B∗∂x1Uj (t, 0)|2 dt,
On applique alors l’inégalité spectrale de Lebeau-Robbiano dans la direction X2
J∑j=1
|aj |2 ≤ CeC√
λX2J
∫γ
∣∣∣∣∣J∑
j=1
ajφX2j (x2)
∣∣∣∣∣2
dx2
à la suite de scalaires aj = e−(T−t)λX2j B∗∂x1Uj (t, 0) pour obtenirJ∑
j=1
e−2TλX2j ‖Uj (0)‖2H1
0 (0,X1)n ≤ C(CX1T )
2eC√
λX2J
∫ T
0
∫γ
|B∗∂x1z(t, 0, x2)|2 dx2 dt.
Enfin, la norme ‖z(0)‖2H10 (Ω)n peut être estimée en fonction des normes ‖Uj (0)‖2H1
0 (0,X1)n .
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 26 / 33
"Relèvement" de la dimension 1Soit zf =
∑Jj=1 ujφ
X2j ∈ EJ . La solution correspondante z du système adjoint s’écrit donc
z(t, x1, x2) =J∑
j=1
e−(T−t)λX2j Uj (t, x1)φX2j (x2),
où Uj est la solution du système adjoint 1D correspondant à uj . Par hypothèse, on a
J∑j=1
e−2TλX2j ‖Uj (0)‖2H1
0 (0,X1)n ≤ (CX1T )
2∫ T
0
J∑j=1
e−2(T−t)λX2j |B∗∂x1Uj (t, 0)|2 dt,
On applique alors l’inégalité spectrale de Lebeau-Robbiano dans la direction X2
J∑j=1
|aj |2 ≤ CeC√
λX2J
∫γ
∣∣∣∣∣J∑
j=1
ajφX2j (x2)
∣∣∣∣∣2
dx2
à la suite de scalaires aj = e−(T−t)λX2j B∗∂x1Uj (t, 0) pour obtenirJ∑
j=1
e−2TλX2j ‖Uj (0)‖2H1
0 (0,X1)n ≤ C(CX1T )
2eC√
λX2J
∫ T
0
∫γ
|B∗∂x1z(t, 0, x2)|2 dx2 dt.
Enfin, la norme ‖z(0)‖2H10 (Ω)n peut être estimée en fonction des normes ‖Uj (0)‖2H1
0 (0,X1)n .
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 26 / 33
Contrôle et dissipation
0|
T|
ak
contrôle dissipation
ak + Tk ak+1
où Tk = C(T )2−kρ avec 0 < ρ < 1 et C(T ) pour que 2∑+∞
k=1 Tk = T .1 Coût du contrôle partiel :
PE−12k
y(ak + Tk) = 0 et∥∥v|(ak ,ak+Tk )
∥∥L2≤ CCX1
TkeC√
λX22k∥∥∥PE−1
2ky(ak)
∥∥∥H−1
.
2 Dissipation dans la direction X2 :
v|(ak+Tk ,ak+1) = 0,
PE−12k
y(ak + Tk) = 0,
=⇒ ‖y(ak+1)‖H−1 ≤ Ce
−λX22k+1
Tk ‖y(ak + Tk)‖H−1 .
3 Estimation du coût du contrôle 1D :
CX1T ≤ CeC/T =⇒ CX1
TkeC√
λX22k ≤ Ce
C′√
λX22k .
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 27 / 33
Contrôle et dissipation
0|
T|
ak
contrôle dissipation
ak + Tk ak+1
où Tk = C(T )2−kρ avec 0 < ρ < 1 et C(T ) pour que 2∑+∞
k=1 Tk = T .1 Coût du contrôle partiel :
PE−12k
y(ak + Tk) = 0 et∥∥v|(ak ,ak+Tk )
∥∥L2≤ CCX1
TkeC√
λX22k∥∥∥PE−1
2ky(ak)
∥∥∥H−1
.
2 Dissipation dans la direction X2 :
v|(ak+Tk ,ak+1) = 0,
PE−12k
y(ak + Tk) = 0,
=⇒ ‖y(ak+1)‖H−1 ≤ Ce
−λX22k+1
Tk ‖y(ak + Tk)‖H−1 .
3 Estimation du coût du contrôle 1D :
CX1T ≤ CeC/T =⇒ CX1
TkeC√
λX22k ≤ Ce
C′√
λX22k .
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 27 / 33
Estimation du coût 1DLe système 1D est contrôlable à zéro si, et seulement si, pour tout y0 ∈ H−1(0,X1)n, il existev ∈ L2(0,T ) tel que
−∫ T
0v(t)B∗∂x1z(t, 0) dt = 〈y0, z(0)〉H−1,H1
0, ∀zf ∈ H1
0 (0,X1)n.
Sachant que ∆ + A∗ admet une base (de Riesz) de H10 (0,X1)n de fonctions propres généralisées,
on est ramené à résoudre le problème des moments suivant : trouver v ∈ L2(0,T ) tel que∫ T
0v(t)tνe−Λl t dt = αl,ν , ∀l ≥ 1, ∀ν ∈ J0, η − 1K,
où η est la taille de la plus longue chaîne de Jordan, Λl sont les valeurs propres de ∆ + A∗ etαl,ν vérifie ∣∣αl,ν
∣∣ ≤ Ce−Re (Λl )T ‖y0‖H−1 .
Pour le résoudre, on construit une familleϕk,jk≥1,j∈J0,η−1K
⊂ L2(0,T ) telle que∫ T
0ϕk,j (t)tνe−Λl t dt = δklδjν , ∀k, l ≥ 1, ∀j, ν ∈ J0, η − 1K,
avec l’estimation suivante ∥∥ϕk,j∥∥L2(0,T )
≤ CeC√
Re (Λk )+ CT .
Il suffit alors de prendre v(t) =∑+∞
k=1
∑η
j=1 αk,jϕk,j (t).
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 28 / 33
Estimation du coût 1DLe système 1D est contrôlable à zéro si, et seulement si, pour tout y0 ∈ H−1(0,X1)n, il existev ∈ L2(0,T ) tel que
−∫ T
0v(t)B∗∂x1z(t, 0) dt = 〈y0, z(0)〉H−1,H1
0, ∀zf ∈ H1
0 (0,X1)n.
Sachant que ∆ + A∗ admet une base (de Riesz) de H10 (0,X1)n de fonctions propres généralisées,
on est ramené à résoudre le problème des moments suivant : trouver v ∈ L2(0,T ) tel que∫ T
0v(t)tνe−Λl t dt = αl,ν , ∀l ≥ 1, ∀ν ∈ J0, η − 1K,
où η est la taille de la plus longue chaîne de Jordan, Λl sont les valeurs propres de ∆ + A∗ etαl,ν vérifie ∣∣αl,ν
∣∣ ≤ Ce−Re (Λl )T ‖y0‖H−1 .
Pour le résoudre, on construit une familleϕk,jk≥1,j∈J0,η−1K
⊂ L2(0,T ) telle que∫ T
0ϕk,j (t)tνe−Λl t dt = δklδjν , ∀k, l ≥ 1, ∀j, ν ∈ J0, η − 1K,
avec l’estimation suivante ∥∥ϕk,j∥∥L2(0,T )
≤ CeC√
Re (Λk )+ CT .
Il suffit alors de prendre v(t) =∑+∞
k=1
∑η
j=1 αk,jϕk,j (t).
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 28 / 33
Estimation du coût 1DLe système 1D est contrôlable à zéro si, et seulement si, pour tout y0 ∈ H−1(0,X1)n, il existev ∈ L2(0,T ) tel que
−∫ T
0v(t)B∗∂x1z(t, 0) dt = 〈y0, z(0)〉H−1,H1
0, ∀zf ∈ H1
0 (0,X1)n.
Sachant que ∆ + A∗ admet une base (de Riesz) de H10 (0,X1)n de fonctions propres généralisées,
on est ramené à résoudre le problème des moments suivant : trouver v ∈ L2(0,T ) tel que∫ T
0v(t)tνe−Λl t dt = αl,ν , ∀l ≥ 1, ∀ν ∈ J0, η − 1K,
où η est la taille de la plus longue chaîne de Jordan, Λl sont les valeurs propres de ∆ + A∗ etαl,ν vérifie ∣∣αl,ν
∣∣ ≤ Ce−Re (Λl )T ‖y0‖H−1 .
Pour le résoudre, on construit une familleϕk,jk≥1,j∈J0,η−1K
⊂ L2(0,T ) telle que∫ T
0ϕk,j (t)tνe−Λl t dt = δklδjν , ∀k, l ≥ 1, ∀j, ν ∈ J0, η − 1K,
avec l’estimation suivante ∥∥ϕk,j∥∥L2(0,T )
≤ CeC√
Re (Λk )+ CT .
Il suffit alors de prendre v(t) =∑+∞
k=1
∑η
j=1 αk,jϕk,j (t).G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 28 / 33
Plan
1 Introduction
2 Une condition suffisante de contrôlabilité approchée en dimension N
3 Le tour du rectangleCaractérisations de la contrôlabilité approchéeUn résultat de contrôlabilité à zéro
4 Commentaires et perspectives
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 29 / 33
Systèmes avec une diffusion différente
Reprenons le cas
ΩγL γ
Considérons le jeu de données
D =
(d 0
0 1
), A =
(0 0
1 0
), B =
(1
0
).
A-t-on :
ConjecturePour tout γ ⊂ γL, le système 2D
∂ty − D∆y = Ay dans QT ,
y = 1γBv sur ΣT ,
est contrôlable à zéro au temps T si, et seulement si, le système 1D correspondant l’est aussi.
Problème : pas de coût en dimension 1.G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 30 / 33
Systèmes avec une diffusion différenteOn prend comme zone de contrôle deux faces non-parallèles :
ΩγL
γT
Considérons le même jeu de données que précédemment :
D =
(d 0
0 1
), A =
(0 0
1 0
), B =
(1
0
).
Théorème (G. O. (2013))Si γ ∩ γL 6= ∅ et γ ∩ γT 6= ∅, alors le système de 2 équations
∂ty − D∆y = Ay dans QT ,
y = 1γBv sur ΣT ,(4)
est approximativement contrôlable.
Par contre, la contrôlabilité à zéro est un problème ouvert.G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 31 / 33
Résultat de contrôle à zéro pour deux faces non-parallèlesToujours dans la même configuration :
Ω
zone de contrôle
γL
γT
Théorème (G. O. (2014))Sous la condition de Kalman, le système de 2 équations
∂ty −∆y = Ay dans QT ,
y = 1γL∪γTBv sur ΣT ,
est contrôlable à zéro pour tout temps T > 0.
Idée de la preuve : résoudre le problème des moments (problème ouvert si on suppose seulementγ ∩ γL 6= ∅ et γ ∩ γT 6= ∅)
∀k, l ≥ 1,
∫ T
0Fl (t)e−t(λX1k −θ1) dt +
∫ T
0Gk(t)e−t(λX2l −θ1) dt = Mk,l (y0;T ),∫ T
0Fl (t)e−t(λX1k −θ2) dt +
∫ T
0Gk(t)e−t(λX2l −θ2) dt = Nk,l (y0;T ).
G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 32 / 33
Résultat de contrôle à zéro pour deux faces non-parallèlesToujours dans la même configuration :
Ω
zone de contrôle
γL
γT
Théorème (G. O. (2014))Sous la condition de Kalman, le système de 2 équations
∂ty −∆y = Ay dans QT ,
y = 1γL∪γTBv sur ΣT ,
est contrôlable à zéro pour tout temps T > 0.
Idée de la preuve : résoudre le problème des moments (problème ouvert si on suppose seulementγ ∩ γL 6= ∅ et γ ∩ γT 6= ∅)
∀k, l ≥ 1,
∫ T
0Fl (t)e−t(λX1k −θ1) dt +
∫ T
0Gk(t)e−t(λX2l −θ1) dt = Mk,l (y0;T ),∫ T
0Fl (t)e−t(λX1k −θ2) dt +
∫ T
0Gk(t)e−t(λX2l −θ2) dt = Nk,l (y0;T ).
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