8/16/2019 Concours Iscae 2015 Correction Ect2
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Mohiieddine Benayad
Concours de l’Iscae
Épreuve Commune de Mathématiques (2015)
Voici l’énoncé de l’épreuve commune de Mathématiques du concours d’entrée à l’ISCAE de l’année 2015,ainsi que l’intégralité du corrigé. Les corrigés des épreuves des années précédentes seront prochainementdisponibles dans un ouvrage édité par eDukaty.
Comme à l’accoutumée, cette épreuve est un QCM de 20 questions, d’une durée de 3 heures, quiaborde les quatre principaux thèmes du programme de Mathématiques des prépas ECT : Analyse(fonctions, suites, intégrales, etc.), Matrices Récurrentes, Probabilités Discrètes, et ProbabilitésContinues. Bien qu’étant un QCM, l’équipe pédagogique d’eDukaty considère les épreuves de l’ISCAEassez difficiles, compte tenu du fait qu’elles sont destinées à des élèves de la filière ECT et à des Bac
+2. Toutefois, comme nous ne cessons de le rappeler à nos élèves, lors d’un concours, l’objectif n’est pasd’avoir une excellente note dans l’absolu, mais uniquement de faire relativement mieux que les autrescandidats. Et nous pensons de plus qu’un étudiant qui a travaillé consciencieusement les derniers moisavant les concours est en mesure de traiter une grande partie des questions d’une telle épreuve.
Ce corrigé a été entièrement réalisé par Mohiieddine Benayad, responsable à eDukaty de l’enseigementdes Mathématiques aux élèves préparant le concours de l’Iscae.
Naturellement tout lecteur qui repérerait une erreur pourra nous contacter en nous envoyant unemail à l’adresse suivante : [email protected].
Bonne chance à vous tous !
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Ce qui nous donne :
T =+∞k=0
k
k!
= 0
0! +
+∞k=1
k
k!
=
+∞
k=1k
k!
=+∞k=1
k
(k − 1)!Maintenant on va faire un changement de l’indice k pour pouvoir se ramener à une expression qu’onconnait bien de la forme
+∞k=1
1
(k − 1)! =+∞k=0
1
k!
Ces deux écritures sont équivalentes et égales, on a juste décaler l’indice k de 1 :
+∞
k=11
(k − 1)! = 1
(1 − 1)! + 1
(2 − 1)! + · · ·
= 10!
+ 11!
+ · · ·
=+∞k=0
1
k! = e
Au final T =+∞k=1
1
(k − 1)! = e
En suivant le même raisonnement cette fois-ci pour calculer S on trouve
S =+∞
k=0k(k − 1)
k!
= 0(0 − 1)
0! +
1(1 − 1)1!
++∞k=2
k(k − 1)k!
= 0 + 0 +
+∞k=2
1
(k − 2)!
=
+∞k=2
1
(k − 2)!=
1
(2 − 2)! + 1
(3 − 2)! + 1
(4 − 2)! + · · ·
= 1
0! +
1
1! +
1
2! + · · ·
=
+∞
k=0
1
k! = e
donc S = eAu final
+∞k=0
p(X = k) = aS + aT + aR
= ae + ae + ae= 3ae
Donc la condition+∞k=0
p(X = k) = 1 ⇐⇒ 3ae = 1 ⇐⇒ a = 13e
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Question 2.
La durée de vie d’un certain type de composants électroniques, exprimée en centaines heures, estune variable aléatoire X dont la fonction de répartition F est définie sur R par
F (x) =
(1 − e−x)2 si x 00 sinon
La durée de vie moyenne en heures de ce type de composant est égale à :
a. 100 b. 200 c. 150 d. 120 e. Autre réponse
Correction
L’énoncé nous fournit la fonction de répartition F X(x) =
(1 − e−x)2 si x 00 sinon
Pour calculer l’espérance (la durée de vie moyenne) de ce composant, on a besoin de la densité deprobabilité de X
Car : E (X ) = +∞−∞
xf X(x) dx
Or f X(x) = F ′X(x) =(1 − e−x)2′ si x 0
0 sinonEt
(1 − e−x)2′ = 2(1 − e−x)′(1 − e−x)= 2e−x(1 − e−x)= 2e−x − 2e−2x
donc f X(x) =
2e−x − 2e−2x si x 00 sinon
Alors
E (X ) =
+∞−∞
xf X(x) dx
= 0−∞
xf X(x) dx + +∞0
xf X(x) dx
= 0 +
+∞0
x(2e−x − 2e−2x) dx
=
+∞0
2xe−x dx − +∞0
2xe−2x dx
= 2
+∞0
xe−x dx − 2 +∞0
xe−2x dx
= 2
[−xe−x]+∞0 +
+∞0
e−x dx
−
[−xe−2x]+∞0 + +∞0
e−2x dx
= 2
[0 − 0] + [−e−x]+∞0
−
[0 − 0] +−e
−2x
2
+∞0
= 2 ([0 + 1]) − 02
+ 12
= 2 − 12
= 3
2 = 1, 5
donc E (X ) = 1, 5 en centaines d’heures.
Soit E (X ) = 1, 5 × 100 =⇒ E (X ) = 150 h .
Question 3.
On considère le système linéaire suivant :
(S ) ax + y + z = 0
x + ay + z = 0
x + y + az = 0
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où a ∈R .Pour quelle(s) valeur(s) de a le système (S ) admet une infinité de solutions ?
a. a ∈ {−2, 1}
b. a = 3
2
c. a ∈ −1, 1
2d. a ∈
−1
2, 0, 2
e. Autre réponse
Correction
Soit le système (S ) :
ax + y + z = 0 (L1)
x + ay + z = 0 (L2)
x + y + az = 0 (L3)
Appliquons la méthode du pivot pour échelonner le système (S ).
• On effectue les opérations élémentaires suivantes pour faire disparaître les x des lignes 2 et 3 :
ax + y + z = 0 L1
(a2 − 1)y + (a − 1)z = 0 L2 ← aL2 − L1(a − 1)y + (a2 − 1)z = 0 L3 ← aL3 − L1
• On effectue les opérations élémentaires suivantes pour faire disparaître y de la ligne 3.
ax + y + z = 0 L1
(a2 − 1)y + (a − 1)z = 0 L2[(a − 1)(a2 − 1) − (a − 1)]z = 0 L3 ← (a + 1)L3 − L2
Dans le cas a = 1 , le système devient :
x + y + z = 0
0 = 0
0 = 0
donc dans ce cas le système admet bien une infinité de solution.Dans le cas a = 1, on peut donc simplifier le système en divisant par (a − 1)(Dans ce cas on a le droit de diviser par a − 1 car a − 1 = 0)Alors le système devient
ax + y + z = 0 L1
(a + 1)y + z = 0 L2 ← L2a − 1
[(a + 1)(a + 1) − 1]z = 0 L3 ← L3a − 1
Soit encore
ax + y + z = 0
(a + 1)y + z = 0
a(a + 2)z = 0
Dans le cas a = 0 le système devient
y + z = 0
y + z = 0
0 = 0
Ce système admet lui aussi une infinité de solutions.
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Et n√ n2 + 1
= n n2
1 + 1n
= nn
1 + 1n2
= 1
1 + 1n2
Alors 1
1 + 1n
un 1
1 + 1n2
Et puisque limn→+∞
1 1 + 1
n
= limn→+∞
1 1 + 1
n2
= 1
Alors d’après le théorème des gendarmes
limn→+∞
un = 1
Question 5. 10
t ln(1 + t2)
1 + t2 dt =
a. (ln 2)2
4b. e2 − 1 c. 1
2(ln2 − 1) d. 1
2e. Autre réponse
Correction
Calculons I = 10
t ln(1 + t2)
1 + t2 dt
Remarquons que
ln(1 + t2)′
= 2t
1 + t2 donc notre intégrale peut se réécrire comme
I =
10
1
2 × 2t
1 + t2 × ln(1 + t2) dt
=
10
1
2
ln(1 + t2)
′ln(1 + t2) dt
Cette écriture nous rappelle la dérivée du carré d’une fonction.Rappelons que (f (x))2
′= 2f ′(x)f (x)
Appliquons cette propriété à notre cas, on obtient(ln(1 + t2))2
′= 2
ln(1 + t2)
′ln(1 + t2)
Ainsi notre intégrale se réécrit
I =
10
1
2 × 2
2
ln(1 + t2)
′ln(1 + t2) dt
= 1
4
10
2
ln(1 + t2)′
ln(1 + t2) dt
= 1
4
ln(1 + t2)
210
= (ln 2)2
4
Question 6.
Soient a un nombre réel supérieur ou égal à −2, et U a = (un)n∈N la suite réelle définie paru0 = a et (∀ n ∈N), un+1 =
√ un + 2.
On désigne par E l’ensemble {a ∈ [−2 ; + ∞[ ; U a strictement décroissante}.E =
a. ∅ b. [−2 ; + ∞[ c. [−1 ; + ∞[ d. ]2 ; + ∞[ e. Autre réponse
Indication : On pourra remarquer que :
f : [−2 ; + ∞[ −→ Rx
−→√
x + 2
est strictement croissante et commencer par résoudre l’inéquation √
x + 2 < x.
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Correction.
On a
u0 = a où a ∈ [−2 ; + ∞[un+1 =
√ un + 2, ∀ n ∈N
On considère f : [−2 ; + ∞[ −→ R
x −→ √ x + 2Du coup notre suite (un)n s’exprime en fonction de f comme suit
u0 = aun+1 = f (un)
L’exercice demande à chercher l’ensemble des valeurs a pour lesquelles la suite U a est strictementdécroissante.Prenons ces trois exemple pour se fixer les idées :• Pour a = 0
u0 = a = 0
u1 =√
u0 + 2 =√
2
u2 =√
u1 + 2 =
√ 2 + 2
On voit bien ici que la suite (un)n est strictement croissante.
• Pour a = 2
u0 = a = 2u1 =
√ 2 + 2 = 2
u2 =√
2 + 2 = 2
Dans ce cas (un) est constante.• Pour a = 4
u0 = a = 4
u1 =√
4 + 2 =√
6 ≈ 2, 45u2 =
√ 6 + 2 ≈ 2, 11
u3 =
√ 6 + 2 + 2 ≈ 2, 07
On voit ici que (un)n sera strictement décroissante.Donc pour quelles valeurs de a est ce que la suite un est strictement décroissante ?
Alors comme le fait remarquer l’énoncé, la fonction f : [−2 ; + ∞[ −→ R
x −→ √ x + 2 est strictementcroissante.
(On s’en rend compte rapidement en dérivant f ′(x) = (√
x + 2)′ = 1
2√
x + 2> 0 donc f est strictement
croissante)Et puisque les fonctions strictement croissantes conservant l’ordre, alorssi u0 > u1on aura f (u0) > f (u1)Soit u1 > u0et pareil f (u1) > f (u0)
soit u2 > u1...ainsi de suite un+1 > unOn voit donc très bien que pour que la suite soit strictement décroissante il faut et il suffit que u0 > u1Soit a >
√ a + 2
Du coup la question devient ”pour quelles valeurs de a est ce que qu’on a a >√
a + 2” ?Résolvons donc l’inéquation
√ x + 2 < x équivalente à l’inéquation x − √ x + 2 > 0.
On dérive
x − √ x + 2′ = 1 − 12√
x + 2Et on dresse le tableau de variation pour en conclure la monotonie et aussi le signe de la fonction x−√ x + 2qu’on va noter g (x).
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x
g′(x) = 1 − 12√
x + 2
g(x) = x − √ x + 2
−2 −74
+∞
− 0 +
−2−2
−94
−94
+∞+∞
2
0
Alors g (x) > 0 ⇐⇒ x − √ x + 2 > 0 ⇐⇒ x > 2.Donc les valeurs souhaitées pour a sont E = ]2 ; + ∞[.
Question 7.
Soit f une fonction réelle de la variable réelle définie sur un intervalle ouvert contenant un nombre réelx. On suppose que f est dérivable en x, de dérivée f ′(x).
limh→0
f (x + h) − f (x − h)h
=
a. f ′(x) b. 2f ′(x) c. 12
f ′(x) d. 0 e. Autre réponse
Correction
Par définition on sait que
f ′(x) = limh→0
f (x + h) − f (x)h
= limh→0
f (x) − f (x − h)h
Alors
limh→0
f (x + h) − f (x − h)h
= limh→0
f (x + h) − f (x) + f (x) − f (x − h)h
= limh→
0
f (x + h) − f (x)
h
+ limh→
0
f (x) − f (x − h)
h= f ′(x) + f ′(x) = 2f ′(x)
Question 8.
Soit P la fonction polynomiale réelle à une seule variable réelle, de degré 3, dont la courbereprésentative (C) dans un repère (O; −→i , −→ j ) passe par les points A,B,C, et D de coordonnéesrespectives (−1; −60), (2; 6), (3; −4), et (4; 10).L’ordonnée du point E de (C) d’abscisse 1 est :
a. −10 b. 15 c. 16 d. −30 e. Autre réponse
Correction
p est une fonction polynomiale réelle à une seule variable x, de degré 3 donc p(x) s’écrit sous laforme p(x) = ax3 + bx2 + cx + d avec (a,b,c,d) ∈ R.On nous dit que la courbe représentative (C), de p(x) dans un repère (O; −→i , −→ j ) passe par les points(−1;60);(2;6);(3;−4) et (4; 10).Cela se traduit analytiquement par
p(−1) = −60 p(2) = 6
p(3) = −4 p(4) = 10
soit
−a + b − c + d = −60 (L1)8a + 4b + 2c + d = 6 (L2)
27a + 9b + 3c + d = −4 (L3)64a + 16b + 4c + d = 10 (L4)
On se retrouve ainsi avec un système de 4 inconnues et 4 équations qu’on résout par substitution :
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−a + b − c + d = −60 L112b − 6c + 9d = −474 L2 ←− L2 + 8L127a + 9b + 3c + d = −4 L364a + 16b + 4c + d = 10 L4
−a + b − c + d = −60 L112b − 6c + 9d = −474 L2−6c + d = −202 L3 ←− L3 + 27L1 − 3L264a + 16b + 4c + d = 10 L4
Et enfin
−a + b − c + d = −60 L112b − 6c + 9d = −474 L2−6c + d = −202 L35
3d =
10
3 L4 ←− L4 + 64L1 − 20
3 L2 − 20
6 L3
On obtient donc
a = 4
b = −24c = 34
d = 2
Donc p(x) = 4x3 − 24x2 + 34x + 2Et donc l’ordonnée du point d’abscisse 1 est l’image de 1 par p(x)Soit p(1) = 4 − 24 + 34 + 2 =⇒ p(1) = 16 .
Question 9.
La somme de 100 DH est obtenue à l’aide de pièces de 1 DH, 2 DH, 5 DH, et de 10 DH. Il y’aen tout 32 pièces. Il y a autant de pièces de 1 DH que de pièces de 10 DH et de 2 DH réunies. Et il y aune pièce de 1 DH de plus que de pièces de 5 DH et de 10 DH réunies.On désigne par n1 (respectivement n2, n3, n4) le nombre de pièces de 1 DH (respectivement 2 DH, 5 DH,10 DH)5n1 + 8n2 + 5n3 + 2n4 =
a. 177 b. 178 c. 179 d. 180 e. Autre réponse
Correction
Écrivons chaque phrase en termes de n1, n2, n3 et n4.• L’énoncé nous dit qu’il y a 32 pièces en tout donc n1 + n2 + n3 + n4 = 32• On nous dit aussi que il y a autant de pièces de 1 DH que de pièces de 10 DH et 2 DH réunies doncn1 = n2 + n4.• Et il y a une pièce de 1 DH de plus que de pièces de 5 DH et 10 DH réunies donc n1 = n3 + n4 + 1.• La somme des pièces est 100 DH =⇒ n1 + 2n2 + 5n3 + 10n4 = 100.=⇒ On se retrouve avec le système suivant
n1 + 2n2 + 5n3 + 10n4 = 100 L1
n1 + n2 + n3 + n4 = 32 L2
n1 = n2 + n4 L3
n1 = n3 + n4 + 1 L4
Soit
n1 + 2n2 + 5n3 + 10n4 = 100 L1
n1 + n2 + n3 + n4 = 32 L2
n1 − n2 − n4 = 0 L3n1 − n3 − n4 = 1 L4
Et on nous demande de calculer 5n1 + 8n2 + 5n3 + 2n4 = ?
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Résolvons donc ce système par substitution et exprimons tout le monde en fonction de n2.
n1 + 2n2 + 5n3 + 10n4 = 100 L1
n1 + n2 + n3 + n4 = 32 L2
−n2 + n3 = −1 L3 ←− L3 − L4n1 − n3 − n4 = 1 L4
L3 nous donne n3 = n2
−1 (⋆)
On injecte cette valeur de n3 dans L2 ce qui donne n1 + n2 + (n2 − 1) + n4 = 32Soit n1 + 2n2 + n4 = 33Or n1 − n2 − n4 = 0donc ça donne n1 =
33
2 − n2
2 (⋆⋆)
On injecte cette valeur de n1 dans l’équation L4 : n1 − n3 − n4 = 1Ce qui donne (⋆) et (⋆⋆) =⇒
33
2 − n2
2
− (n2 − 1) − n4 = 1
Soit n4 = −32
n2 + 33
2 (⋆ ⋆ ⋆)
On injecte enfin ces 3 relations dans L1 ce qui donne
332 − n2
2 + 2n1 + 5(n2 − 1) + 10−3
2n2 +
33
2 = 100Soit n2 = 9 =⇒ n3 = 8 =⇒ n1 = 12 =⇒ n4 = 3Finalement : 5n1 + 8n2 + 5n3 + 2n4 = 178.
Question 10.
Soient x et y deux nombres réels quelconques et (un)n∈N, (vn)n∈N et (wn)n∈N respectivement définiespar (u0, v0, w0) = (x,y, −x) et
(∀ n ∈N)
4un = vn − 3wn4vn+1 = 4un + 3vn + 3wn
4wn+1 =
−4un
−vn
−wn
; limn→+∞
(un + vn − 2wn) =
a. 1
4(x + y) b. x + y c. 2(x + y) d. 4(x + y) e. Autre réponse
Indication : On pourra considérer les matrices A =
0 1 −34 3 3
−4 −1 −1
et P =
1 −1 1−1 1 1
1 1 −1
, puis
calculer P 3 − P 2 − 4P et P −1AP .
Correction
Le système
∀ n ∈N, 4un+1 = vn − 3wn4vn+1 = 4un + 3vn + 3wn
4wn+1 = −4un − vn − wns’écrit sous forme matricielle de sorte
4
un+1vn+1
wn+1
=
0 1 −34 3 3
−4 −1 −1
unvn
wn
Soit
4
un+1vn+1wn+1
= A
unvnwn
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De la même façon on peut donc l’étendre pour tous les rangs de (un), (vn) et (wn) comme ceci
4
unvn
wn
= A
un−1vn−1
wn−1
4
un−1vn−1
wn−1
= A
un−2vn−2
wn−2
..
. =
..
.
4
u1v1
w1
= A
u0v0
w0
Alors au final 4n
unvn
wn
= An
u0v0
w0
(⋆)
Qu’on peut aussi écrire unvn
wn
= 1
4nAn
u0v0
w0
= 1
4nAn
xy
−x
(⋆⋆)
Gardons ceci de côté pour le moment, et allons exploiter l’indication de l’énoncé :
P =
1 −1 1−1 1 1
1 1 −1
Le calcul donne
P 2 =
3 −1 −1−1 3 −1
−1 −1 3
et P 3 =
3 −5 3−5 3 3
3 3 −5
Il vient que
P 3 − P 2 − 4P =
−4 0 00 −4 00 0
−4
= −4I
En factorisant à gauche par P on obtientP 3 − P 2 − 4P = −4I =⇒ P (P 2 − P − 4I ) = −4I Soit encore P ×
−1
4(P 2 − P − 4I )
= I
Or on sait que P P −1 = I donc P −1 = −14
(P 2 − P − 4I )
Le calcul donne P −1 = 1
2
1 0 10 1 1
1 1 0
et P −1AP =
−4 0 00 2 0
0 0 4
Notons donc D cette matrice diagonale alors P −1AP = DEn multipliant à gauche par P on trouve P P −1AP = P DSoit AP = P D
Et en multipliant à droite par P −1 on trouve AP P −1 = P DP −1Soit A = P DP −1
Et donc pour calculer les puissances n ième de A on trouve :An = (P DP −1)n
An = (P DP −1)(P DP −1) · · · (P DP −1) n fois
An = P D P −1P I
D P −1P I
DP −1 . . . P −1P I
DP −1
An = P DnP −1
Et on sait que la puissance n ième d’une matrice diagonale s’obtient en élevant ses éléments diagonaux àla puissance n donc
Dn
= −4 0 00 2 00 0 4
n
= (−4)n 0 0
0 2n
00 0 4n
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Ainsi An =
1 −1 1−1 1 1
1 1 −1
(−4)n 0 00 2n 0
0 0 4n
1
2 0
1
2
0 1
2
1
21
2
1
2 0
Le calcul donne An = 1
2
(−4)n + 4n 4n − 2n (−4)n − 2n−(−4)n + 4n 4n + 2n −(−4)n + 2n
(−4)n − 4n −4n + 2n (−4)n + 2n
Revenons maintenant injecter ça dans la relation (⋆⋆) qu’on a ”abandonnée” tout à l’heure.
Alors
unvnwn
= 14n
× 12
(−4)n + 4n 4n − 2n (−4)n − 2n−(−4)n + 4n 4n + 2n −(−4)n + 2n(−4)n − 4n −4n + 2n (−4)n + 2n
xy−x
Le calcul donne
un = 1
2
x(1 + (−1)n) + y
1 −
1
2
n− x
(−1)n −
1
2
nvn =
1
2
x(−(−1)n + 1) + y
1 +
1
2
n− x
−(−1)n +
1
2
nwn =
1
2
x((−1)n − 1) + y
−1 +
1
2
n− x
(−1)n +
1
2
nSoit après simplification
un = 1
2 x1 + 1
2n
+ y1 − 1
2n
vn =
1
2
x
1 −
1
2
n+ y
1 +
1
2
nwn =
1
2
x
−1 −
1
2
n+ y
−1 +
1
2
nOr lim
n→+∞
1
2
n= 0. Alors le calcul donne
limn→+∞
un = x + y
2
limn→+∞
vn = x + y
2
limn→+∞
wn = −x − y
2
Au final la limite recherchée est limn→+∞(un + vn − 2wn) = limn→+∞ un + limn→+∞ vn − 2 limn→+∞wn =x + y
2 +
x + y
2 − 2
−x − y2
= 2(x + y).
Question 11.
Une sauterelle se déplace toutes les minutes d’un sommet à l’autre de sa cage qui a la formed’un tétraèdre dont les quatre sommets sont notés A,B, C et D. Elle reste exactement une minute aumême endroit.Quand elle est au sommet A, elle a autant de chance d’aller sur les trois autres sommets.Quand elle est au sommet B , elle ne se rend que sur les sommets A et D, de façon équiprobable.Quand elle est au sommet C , elle ne se rend que sur les sommets A et B, et elle choisit A avec une
probabilité égale à
1
3 .Quand elle est au sommet D , elle choisit A, B ou C avec les probabilités respectives
1
2, 1
4 et
1
4. À
l’instant 0 où on met la sauterelle dans sa cage, celle-ci se trouve en A.On note An (respectivement Bn, C n et Dn) l’événement ”la sauterelle est au sommet A (respectivementB, C et D) au bout de n minutes”On note an (respectivement bn, cn et dn) la probabilité de l’événement An (respectivement Bn, C n etDn).On considère le vecteur-ligne de R4 : X n = (an; bn; cn; dn).On a alors : X n+1 = X n × M où M est la matrice carrée d’ordre 4 suivante :
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a.
0 1
3
1
3
1
3
0 1
2
1
2 0
2
3
1
3 0 0
1
2
1
2 0 0
b.
0
1
3
1
3
1
30 0
1
2
1
22
3
1
3 0 0
1
2
1
2 0 0
c.
0 1
3
1
3
1
31
2 0 0
1
21
3
2
3 0 0
1
2
1
4
1
4 0
d.
0 1
3
1
3
1
3
0 0 1
2
1
22
3 0
1
3 0
1
2
1
2 0 0
e. Autre réponse
Correction
On dessine l’arbre de probabilité suivant les consignes de l’énoncé
An
An+11
3
C n+1
1
3
Dn+11
3
Bn
An+1
1
2
Dn+112
C n
An+1
1
3
Bn+123
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Dn
An+11
2
Bn+1
1
4
C n+11
4
Alors en somme on obtient grâce à la formule des probabilités totalesan+1 = p(An+1) =
1
2 p(Bn) +
1
3 p(C n) +
1
2 p(Dn)
bn+1 = p(Bn+1) = 1
3 p(An) +
2
3 p(C n) +
1
4 p(Dn)
cn+1 = p(C n+1) = 1
3 p(An) +
1
4 p(Dn)
dn+1 = p(Dn+1) = 1
3 p(An) +
1
2 p(Bn)
Au final il s’en suit
an+1 = 0an + 1
2bn +
1
3cn +
1
2dn
bn+1 = 1
3an + 0bn +
2
3cn +
1
4dn
cn+1 = 1
3 an + 0bn + 0cn +
1
4 dn
dn+1 = 1
3an +
1
2bn + 0cn + 0dn
Qui s’écrit sous forme matricielle comme
X n+1 = X n
0 1
3
1
3
1
31
2 0 0
1
21
3
2
3 0 0
1
2
1
4
1
4 0
Question 12.
Soit p ∈ ]0 ; 1[. On note q = 1 − p.Soit n un entier naturel non nul. On considère n joueurs qui visent une cible. Chaque joueur effectuedeux tirs.À chaque tir, chaque joueur a la probabilité p d’atteindre la cible. Les tirs sont indépendants les uns desautres.Soit W la variable aléatoire égale au nombre de joueurs ayant atteint la cible au moins une fois à l’issuedes deux tirs.L’écart-type de W est alors égal à :
a. √
npq
b. q n(1 − q 2)c.
npq (1 − pq )d.
n(1 − p2)(1 − q )
e. Autre réponse
Correction
W est le nombre de joueurs, parmi n, atteignant la cible au moins une fois.Comme les tirs sont indépendants les uns des autres et que chaque joueur a la même probabilité
d’atteindre la cible, alors il s’agit d’une v.a.r de loi Binomiale.Quels sont les paramètres de notre W B (?; ?)
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Comme il y a n joueurs qui tirent donc c’est n le nombre de répétition =⇒ c’est le premier paramètrede W B (n; ?).Il reste à déterminer la probabilité du succès, dans notre cas le succès est S : ”Atteindre la cible aumoins une fois ”Les événements avec la formulation ”au moins” se calculent souvent plus facilement en passant parl’événement contraire.S : ”Atteindre la cible, au moins une fois”S : ”Ne pas atteindre la cible ni au premier essai ni au 2ème essai”donc p(S ) = (1
− p)2 = q 2
d’où p(S ) = 1 − q 2 la probabilité de succès de notre loi binomiale.Donc W B (n; 1 − q 2) =⇒ Var(W ) = nq 2(1 − q 2).Alors l’écart-type =⇒ σ(W ) = q
n(1 − q 2)
Question 13.
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x − ln(1 + x2)La courbe représentative (C) de f admet deux points d’inflexion d’abscisses respectives :a. 2 et −2b. 1 et −1
c. ln 2 et − ln 2d. 1 − ln 2 et 1 + ln 2e. Autre réponse
Correction
Les points d’inflexions sont les points dont les abscisses annulent la dérivée seconde de la fonction enquestion.Il s’agit donc dans cet exercice de résoudre l’équation f ′′(x) = 0.Soit (x − ln(x))′′ = 0
Soit 1 − 2x1 + x2′
= 0
Le calcul de dérivée donne donc −2(1 + x2) − 2x(2x)
(1 + x2)2 = 0
Soit −2 + 2x2 − 4x2
(1 + x2)2 = 0
Or (1 + x2)2 > 0Alors cela équivaut à −(2 + 2x2 − 4x2) = 0don 2x2 − 2 = 0i.e 2(x2 − 1) = 0d’où 2(x − 1)(x + 1) = 0donc les abscisses recherchées sont −1 et 1.
Question 14.
On considère pour tout entier naturel n la suite de terme général un =
n
n + 1
n2.
Alors :
a. (un) est une suite géométrique de raison e
b. (un) est une suite géométrique de raison 1
e
c. (un) est une suite arithmétique de raison e
d. (un) est une suite arithmétique de raison
1
e
e. Autre réponse
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Correction
Soit la suite un =
n
n + 1
n2Dans ce type d’exercice, il est souvent intéressant de calculer les premiers termes de la suite pour se faireune idée.On a
u0 = 0
0 + 102
= 00 = 1 (par convention)
u1 =
1
1 + 1
12=
1
2
1=
1
2
u2 =
2
2 + 1
22=
2
3
4=
16
81
u3 =
3
3 + 1
32=
3
4
9=
19 683
262 144On peut donc déjà en conclure que la suite (un) n’est ni arithmétique, ni géométriquecar u3 − u2 = u2 − u1et
u3u2
= u2u1
donc c’est autre réponse.
Question 15.
Soit X la variable aléatoire réelle dont la fonction de répartition F est définie sur R par :∀ x 0, F (x) = 0∀ x > 0, F (x) = 1 − e−x2
L’espérance de X est égale à :
a.
√ π
2 b.
√ π
4c.
√ π d.
√ 2π e. Autre réponse
Correction
On a F X(x) =
0 si x 0
1 − e−x2 si x > 0Pour calculer l’espérance E (X ) =
+∞−∞
xf X(x) dx il nous faut donc au préalable calculer la densité de
probabilité de X .
Or f X(x) = (F X(x))′ donc f X(x) =
0 si x 0
2xe−x2
si x > 0d’où
E (X ) = +∞
−∞
xf X(x) dx
=
0−∞
xf X(x) dx +
+∞0
xf X(x) dx
= 0 +
+∞0
x(2xe−x2
) dx
=
+∞0
2x2e−x2
dx
On procède à l’intégration par parties suivante
u′(x) = 2xe−x2
u(x) = −e−x2v(x) = x v′(x) = 1
Ce qui donne
E (X ) =−xe−x2
+∞0
+ +∞0
e−x2
dx
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i.e E (X ) = 0 +
√ π
2 =
√ π
2
Question 16.
On considère un type de composants électroniques dont la durée de vie X , exprimée en heures,est une variable aléatoire de densité f telle que :
f (t) = C
t2
si t 10
0 sinon
La valeur du réel C est :
a. 10 b. 6 c. 12 d. 20 e. Autre réponse
Correction
On a f X(t) =
C
t2 si t 10
0 sinon
La condition que doit vérifier la densité de probabilité est : +∞−∞
f X(t) dt = 1
Soit 0−∞
f X(t) dt +
+∞0
f X(t) dt = 1
Donc 0 + +∞10
C
t2 dt = 1
Alors C
−1
t
+∞10
= 1
Ce qui donne C
0 +
1
10
= 1 donc
C
10 = 1
Il vient C = 10.
Question 17.
Soit (un)n∈N∗ la suite numérique définie par : un =n
k=1
n
n2 + k.
On a alors limn→+∞
un =
a. 0 b. 1
2c. +∞ d. 1 e. Autre réponse
Correction
Soit (un) la suite définie par un =
nk=1
n
n2 + k l’exercice demande à calculer la limite de la suite
(un) en +∞.Dans ce type d’exercice où la suite s’exprime comme une somme, il est souvent imminent de faire appelau théorème des gendarmes (appelé aussi théorème de l’encadrement).On encadre donc l’indice k qui va de 1 à n.On a 1 k nEt on se ramènera à l’expression de la suiteÇa donne n2 + 1 n2 + k n2 + n
Soit 1
n2 + n
1
n2 + k
1
n2 + 1
Soit n
n2 + n
n
n2 + k
n
n2 + 1
donc
nk=1
nn2 + n
nk=1
nn2 + k
nk=1
nn2 + 1
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Et comme n
n2 + n et
n
n2 + 1 ne dépendent pas de l’indice k, donc
nk=1
n
n2 + n = n × n
n2 + n et
nk=1
n
n2 + 1 = n × n
n2 + 1
Alors on obtient n × nn2 + n
un n × nn2 + 1
Soit n2
n2 + n un
n2
n2 + 1Factorisons maintenant par n2 pour pouvoir calculer la limite en +
∞On a limn→+∞
n2
n2 + n = lim
n→+∞n2
n2
1 + 1n
= limn→+∞
11 + 1
n
= 1
Pareillement on a limn→+∞
n2
n2 + 1 = lim
n→+∞
n2
n2
1 + 1n2
= limn→+∞
1
1 + 1n2
= 1
Au final grâce au théorème des gendarmes on conclut que limn→+∞
un = 1.
Question 18.
On note ln le logarithme népérien.Soit f la fonction définie sur R par :
f (x) = e−|x| si − ln 2 x ln 2
0 sinonSoit X une variable aléatoire réelle admettant f comme densité.L’espérance mathématique de X est égale à :
a. ln 2
2 b.
1
4c. 2 l n 2 d.
3 l n 2
2e. Autre réponse
Correction
On sait que E (X ) =
+∞
−∞
xf X(x) dx où f X(x) =
e−|x| si − ln 2 x ln 20 sinon
Réécrivons f X(x) de façon à enlever la valeur absolue.
Ça donne f X(x) =
e−x si 0 x ln 2
ex si − ln 2 x 00 sinon
Ainsi l’espérance s’exprime grâce à la relation de Chasles de la sorte.
E (X ) =
+∞−∞
xf X(x) dx
=
− ln 2−∞
xf X(x) dx +
0− ln 2
xf X(x) dx +
ln 20
xf X(x) dx +
+∞ln 2
xf X(x) dx
= 0 + 0
− ln 2
xex dx + ln 2
0
xe−x dx + 0
Pour chacune de ces deux intégrales, on va procéder à une simple intégration par parties pour obtenir àla fin.
E (X ) =
0− ln 2
xex dx +
ln 20
xe−x dx
=
[xex]0− ln 2 −
0− ln 2
ex dx
+
[−xe−x]ln 20 +
ln 20
e−x dx
=
0 + ln 2e− ln 2
− [ex]0− ln 2 + − ln 2e− ln 2 − 0 + −e−xln 20 =
ln 2
eln 2
− 1 − e− ln 2 + − ln 2
eln 2
+−e− ln 2 + 1
= ln 2
eln 2 − 1 + 1
eln 2 +−ln 2
2 − 1
eln 2 + 1
= ln 22
− 1 + 12 − ln 2
2 − 1
2 + 1
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Finalement E (X ) = 0
Remarquons : E (X ) = ln 2− ln 2
xe−|x| dx
On aurait pu s’en passer des calculs en remarquant que la fonction x −→ xe−|x| est impaire, donc sonintégrale de − ln 2 à ln 2 (bornes symétriques) est nulle.
Question 19.
Soucieux de mieux connaître sa clientèle, le gérant d’un magasin situé dans un centre commercialà Casablanca a réalisé une étude portant sur le mode de paiement en fonction du montant des achats.Elle a permis d’établir les probabilités suivantes :P ((X = 0) ∩ (Y = 0)) = 0, 4P ((X = 0) ∩ (Y = 1)) = 0, 3P ((X = 1) ∩ (Y = 0)) = 0, 2P ((X = 1) ∩ (Y = 1)) = 0, 1où X représente la variable aléatoire prenant la valeur 0 si le montant des achats est inférieur ou égal à500 dirhams, prenant la valeur 1 sinon, et Y la variable prenant la valeur 0 si la somme est réglée parcarte bancaire, prenant la valeur 1 sinon.La covariance du couple (X, Y ) est égale à :
a. 0, 1 b.
−0, 5 c.
−0, 02 d.
−0, 1 e. Autre réponse
Correction
On a la loi du couple (X ; Y ) ❍ ❍ ❍ ❍ ❍
X Y
0 1
0 0, 4 0, 31 0, 2 0, 1
Alors E (XY ) = 0, 1Déterminer les lois respectives de X et de Y On sait d’après la formule des probabilités totales queP (X = 0) = P (X = 0 ∩ Y = 0) + P (X = 0 ∩ Y = 1) = 0, 7P (X = 1) = P (X = 1 ∩ Y = 0) + P (X = 1 ∩ Y = 1) = 0, 3De mêmeP (Y = 0) = P (Y = 0 ∩ X = 0) + P (Y = 0 ∩ X = 1) = 0, 4 + 0, 2 = 0, 6P (Y = 1) = P (Y = 1 ∩ X = 0) + P (Y = 1 ∩ X = 1) = 0, 3 + 0, 1 = 0, 4DoncLoi de X
X 0 1P (X ) 0, 7 0, 3
Loi de Y Y 0 1
P (Y ) 0, 6 0, 4
Alors E (X ) = 0, 3 et E (Y ) = 0, 4Finalement Cov(X ; Y ) = E (XY ) − E (X )E (Y ) = −0, 02.
Question 20.
Une personne envoie chaque jour un courrier électronique par l’intermédiaire de deux serveurs :le serveur S 1 ou le serveur S 2.On constate que le serveur S 1 est choisi dans 70% des cas et donc que le serveur S 2 est choisi dans 30%des cas. Les choix des serveurs sont supposés indépendants les uns des autres.La probabilité d’une erreur de transmission avec le serveur S 1 est de 0, 1; alors que la probabilité d’erreurde transmission avec le serveur S 2 est de 0, 05.Si le courrier a subi une erreur de transmission, la probabilité pour que le serveur utilisé soit le serveurS 1 est égale à :
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a. 1
13 b.
1
2 c.
9
11 d.
23
29e. Autre réponse
Correction
Commençons par traduire les informations dans l’énoncé en termes de probabilités.On a donc
P (S 1) = 70% = 7
10
P (S 2) = 30% = 3
10
P (E/S 1) = 0, 1 = 1
10
P (E/S 2) = 0, 05 = 5
100
Ensuite il faut bien comprendre ce que l’exercice nous demande.En l’occurrence ici on nous dit : sachant que le courrier a subit une erreur, quelle est la probabilité qu’onait utilisé S 1 ?Donc on nous demande P (S 1/E ).Grâce à la formule de Bayes on a
P (S 1/E ) = P (E/S 1)P (S 1)
P (E )
Et avec la formule des probabilités totales on a
P (E ) = P (E/S 1)P (S 1) + P (E/S 2)P (S 2)
= 1
10 × 7
10 +
5
100 × 3
10 =
85
1000
d’où P (S 1/E ) = P (E/S 1)P (S 1)
P (E ) =
1
10 × 7
10
85
1 000
= 70
85 =
14
17
=⇒ Autre réponse.
d k t 21/21
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