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Concepts fondamentauxConcepts fondamentauxpour l’aide à la décision pour l’aide à la décision
Groupe MAGroupe MA22D D -- LASSLASS
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Plan Plan
1 1 –– Décision et processus de décisionDécision et processus de décision2 2 –– Deux concepts fondamentauxDeux concepts fondamentaux
concept de préférenceconcept de préférenceconcept d’utilitéconcept d’utilité
3 3 –– Modélisations Modélisations 4 4 –– Intégration de rationalités des décideursIntégration de rationalités des décideurs
problème de la révélation des préférencesproblème de la révélation des préférencesle dialogue décideur le dialogue décideur –– expertexpertapproche par la négociationapproche par la négociation
5 5 –– Questions ouvertes Questions ouvertes
1 1 –– Décision et processus de décisionDécision et processus de décision2 2 –– Deux concepts fondamentauxDeux concepts fondamentaux
concept de préférenceconcept de préférenceconcept d’utilitéconcept d’utilité
3 3 –– Modélisations Modélisations 4 4 –– Intégration de rationalités des décideursIntégration de rationalités des décideurs
problème de la révélation des préférencesproblème de la révélation des préférencesle dialogue décideur le dialogue décideur –– expertexpertapproche par la négociationapproche par la négociation
5 5 –– Questions ouvertes Questions ouvertes
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La prise de décision : un phénomène extrêmement complexeLa prise de décision : un phénomène extrêmement complexe-- processus chaotiqueprocessus chaotique-- fruit de confrontationfruit de confrontation-- se construisant lentementse construisant lentement
(R. (R. PrélazPrélaz--DrouxDroux))
Le déroulement du processus de décision passe par :Le déroulement du processus de décision passe par :-- l’exposé informel, la définition du problèmel’exposé informel, la définition du problème-- la conception du cadre d’analyse, la liste des solutions,la conception du cadre d’analyse, la liste des solutions,la performance des solutionsla performance des solutions-- un choixun choix-- l’analyse rétrospectivel’analyse rétrospective
(H. Simon)(H. Simon)
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Sur un plan davantage fonctionnel, le processus deSur un plan davantage fonctionnel, le processus dedécision peut être vu comme un continuum :décision peut être vu comme un continuum :
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1 1 –– Décision et processus de décisionDécision et processus de décision2 2 –– Deux concepts fondamentauxDeux concepts fondamentaux
concept de préférenceconcept de préférenceconcept d’utilitéconcept d’utilité
3 3 –– Modélisations Modélisations 4 4 –– Intégration de rationalités des décideursIntégration de rationalités des décideurs
problème de la révélation des préférencesproblème de la révélation des préférencesle dialogue décideur le dialogue décideur –– expertexpertapproche par la négociationapproche par la négociation
5 5 –– Questions ouvertesQuestions ouvertes
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Définition d’une relation de préférenceDéfinition d’une relation de préférence
E : ensemble d’objetsE : ensemble d’objets
eeii eejj
Décideur Décideur
Relation binaire dRelation binaire dééfinie sur Efinie sur E
eeii ≥≥ eejj si et seulement si si et seulement si «« eeii est prest prééfféérréé ou indiffou indifféérent rent àà eejj »» est vraiest vrai
≥≥ est un prest un prééordre total sur Eordre total sur E
Relation qui traduit les préférences du décideur sur l’ensemble Relation qui traduit les préférences du décideur sur l’ensemble des objetsdes objets
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Modélisation d’une relation de préférenceModélisation d’une relation de préférence
-- Par une relation binaire, selon la définition précédentePar une relation binaire, selon la définition précédente
-- Par une généralisation :Par une généralisation :fonction de préférence P : fonction de préférence P : ExEExE →→ II
P(x,y) = P(x,y) = αα, , αα ∈∈ I
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I
Exemple Exemple
I = I = {{1, 2, e, a1, 2, e, a}}
P(x,y) = 1 P(x,y) = 1 ⇔⇔ x prx prééfféérréé àà yy
P(x,y) = 2 P(x,y) = 2 ⇔⇔ y pry prééfféérréé àà xx
P(x,y) = e P(x,y) = e ⇔⇔ x et y x et y «« indiffindifféérentsrents »»
P(x,y) = a P(x,y) = a ⇔⇔ x et y rejetx et y rejetééss
Approche Approche à la « Arrow »à la « Arrow »
Prix NobelPrix Nobeld’économied’économie
19721972avec J. R. HicksPréordre partielPréordre partiel avec J. R. Hicks
1 1 –– Décision et processus de décisionDécision et processus de décision2 2 –– Deux concepts fondamentauxDeux concepts fondamentaux
concept de préférenceconcept de préférenceconcept d’utilitéconcept d’utilité
3 3 –– Modélisations Modélisations 4 4 –– Intégration de rationalités des décideursIntégration de rationalités des décideurs
problème de la révélation des préférencesproblème de la révélation des préférencesle dialogue décideur le dialogue décideur –– expertexpertapproche par la négociationapproche par la négociation
5 5 –– Questions ouvertes Questions ouvertes
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Fonction d’Utilité Ordinale associée à une Relation de Préférence
Soit u(.) une application de E dans ℝ
u(.) est une fonction d’utilité ordinale associée à ≽ si et seulement si :
ei ej≽ u(ei) ≥ u(ej)
e i
u(e i)
u(.)
E objets
NombresRéels
Structure existante :ordre
(classement sans ex-aequo)
Structure induite :préordre
(classement avec ex-aequo)
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Fonction d’Utilité Ordinale associée à une Relation de Préférence
E = { }
u(.)u(.)
33
22
11
44
v(.)v(.)
6464
2727
88
11
EE IRIRu(.)u(.)
v(e) = u(e)v(e) = u(e)33
v(.) = fv(.) = f°°u(.)u(.)
IRIRf(x) = xf(x) = x33
f(.)f(.)
Si u(.) est une fonction d’utilité ordinale associée à ≽ alorsSi u(.) est une fonction d’utilité ordinale associée à ≽ alors quelle que quelle que soit l’application réelle f strictement croissante, v(.) = fsoit l’application réelle f strictement croissante, v(.) = f°°u(.) est une fonction u(.) est une fonction d’utilité ordinale associée à ≽d’utilité ordinale associée à ≽
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Fonction d’Utilité Cardinale associée à une Relation de PréférenFonction d’Utilité Cardinale associée à une Relation de Préférencece
et u(.) une application de E dans IR et u(.) une application de E dans IR Soit [E,Soit [E, , , ] un espace vectoriel r] un espace vectoriel rééelel
u(.) est une fonction du(.) est une fonction d’’utilitutilitéé cardinale associcardinale associéée e àà ≽≽ si et seulement si :si et seulement si :
eeii eejj≽≽ u(u(eeii) ) ≥≥ u(u(eejj))
u(u(eeii eejj) = u() = u(eeii) + u() + u(eejj))
u(l u(l eeii) = l ) = l u(u(eeii) )
Remarques :Remarques :u(.) est une forme linéaire sur Eu(.) est une forme linéaire sur E
u(u(eeii) est interprété comme le niveau de satisfaction procurée par ) est interprété comme le niveau de satisfaction procurée par eeii
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Fonction d’Utilité Cardinale associée à une Relation de PréférenFonction d’Utilité Cardinale associée à une Relation de Préférencece
1 1 -- Si Si θθ est l’élément neutre de la somme dans E, alors : u(est l’élément neutre de la somme dans E, alors : u(θθ) = 0) = 0
2 2 -- Si u(.) est une fonction d’utilité cardinale associée à ≽ aloSi u(.) est une fonction d’utilité cardinale associée à ≽ alors, quelle que soit rs, quelle que soit l’application linéaire réelle f, strictement croissante, v(.) = l’application linéaire réelle f, strictement croissante, v(.) = ff°°u(.) est une fonction u(.) est une fonction d’utilité cardinale associée à ≽d’utilité cardinale associée à ≽
33-- si u(.) est une fonction d’utilité cardinale associée à ≽ alosi u(.) est une fonction d’utilité cardinale associée à ≽ alors, quelle que rs, quelle que soit k > 0, v(.) = k u(.) est une fonction d’utilité cardinale asoit k > 0, v(.) = k u(.) est une fonction d’utilité cardinale associée à ≽ ssociée à ≽
RemarqueRemarqueL’utilité cardinale est interprétée comme une mesure de la satisL’utilité cardinale est interprétée comme une mesure de la satisfaction.faction.comme pour toute mesure il faut alors définir un référentiel, c’comme pour toute mesure il faut alors définir un référentiel, c’estest--àà--diredireune origine et une unité.une origine et une unité.
Plus précisémentPlus précisément
Il faut définir dans E un objet « origine » (satisfaction nulleIl faut définir dans E un objet « origine » (satisfaction nulle))
Il faut définir dans E un objet « unité » (satisfaction égale àIl faut définir dans E un objet « unité » (satisfaction égale à 1)1)
L’objet « origine » est fixé c’est l’élément neutre L’objet « origine » est fixé c’est l’élément neutre θθ de la somme dans Ede la somme dans E
L’objet « unité » est laissé au libre choixL’objet « unité » est laissé au libre choix
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Fonction d’Utilité Cardinale associée à une Relation de PréférenFonction d’Utilité Cardinale associée à une Relation de Préférencece
Structure existante :Structure existante :ordre ordre espace vectorielespace vectoriel
en particulier :en particulier :••additionaddition••multiplication par un réelmultiplication par un réel••zérozéro
Structure InduiteStructure Induitepréordrepréordre
espace vectorielespace vectorielen particulier :en particulier :
••addition des modalitésaddition des modalités••multiplication d'une modalité par un réelmultiplication d'une modalité par un réel
••modalité nulle"modalité nulle"une propriété : une propriété :
si u(.) et v(.) sont deux utilités cardinales traduisantsi u(.) et v(.) sont deux utilités cardinales traduisantle même préordre, alors il existe un réel k>0 tel quele même préordre, alors il existe un réel k>0 tel que
v(.) = k u(.)v(.) = k u(.)
Utilité CardinaleCardinale
NombresNombresRéelsRéels
u(.)u(.)
Objets EObjets E
θ
0 = u(0 = u(θθ))
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Structure NeumannienneStructure Neumannienne
(Von Neumann, Morgenstern, (Von Neumann, Morgenstern, TheoryTheory of of gamesgames and and economiceconomic behaviorbehavior, Princeton , Princeton University Press 1953, (pages 24 University Press 1953, (pages 24 --29))29))
E un ensemble dE un ensemble d’’objets, objets, n > 0 un entier n > 0 un entier ∆∆(n) = {(n) = {αα / / αα = (= (αα11, . . . , , . . . , ααnn), ), ααii supsupéérieur ou rieur ou éégal gal àà 0, 0, ΣαΣαii = 1}= 1}
barbarnn : E: Enn x x ∆∆(n)(n) E E (bar(barnn))n>1n>1 famille dfamille d’’applicationsapplications
telles que, quel que soit n > 2 , barn[e1, . . ., en, α] est égal à :barn-1{e1, ..., en-2, bar2[en-1,en, (αn-1 /(αn-1+ αn) , αn/(αn-1+ αn))],(α1, . . . , αn-1+ αn)}
et baret bar22 vvéérifierifie
barbar22{e{e11, bar, bar22[e[e11, e, e22, (, (αα11, , αα22)], ()], (ββ11, , ββ22)} = bar)} = bar22[e[e11, e, e22, (, (ββ11+ + ββ2 2 αα1 1 , , ββ2 2 αα22)] )]
barbar22{bar{bar22[e[e11, e, e22, (, (αα11, , αα22)], e)], e22, (, (ββ11, , ββ22)} = bar)} = bar22[e[e11, e, e22, (, (ββ1 1 αα1 1 , , ββ22+ + ββ1 1 αα22)] )]
[E, [E, (bar(barnn))n>1n>1] est appel] est appeléé structure neumaniennestructure neumanienne
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Structure NeumannienneStructure Neumannienne
Un exemple : les loteries Un exemple : les loteries –– la roulette russela roulette russe
5/6
1/6
3/6
3/6
1/2
1/2
4/6
2/6
=
7 €7 €
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Utilité neumannienneUtilité neumannienne
NombresNombresRéelsRéels
Structure existante :Structure existante :ordre ordre convexité convexité (intervalle)(intervalle)
Structure Induite :Structure Induite :préordrepréordrestructure neumanniennestructure neumannienneune propriété :une propriété :
si u(.) et v(.) sont deux utilités neumanniennes traduisantsi u(.) et v(.) sont deux utilités neumanniennes traduisantle même préférence, alors il existe deux réel a>0 et b tels quele même préférence, alors il existe deux réel a>0 et b tels quev(.) = a u(.) + bv(.) = a u(.) + b
u(.)u(.)
u(e)u(e)e
EE
ee
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Utilité neumannienneUtilité neumannienne
u(.) neumanienne implique la neutralité au risque en probabilitéu(.) neumanienne implique la neutralité au risque en probabilité
NeutralitNeutralitéé au risque en probabilitau risque en probabilitéé ((WakkerWakker) :) :
Un individu est neutre au risque en probabilitUn individu est neutre au risque en probabilitéé si quels que soientsi quels que soient aa11, a, a22 deuxdeux
nombres rnombres rééels els tels que tels que αα11 ≥≥ 0, 0, αα22 ≥≥ 0 0 αα11 + + αα22 = 1 et quels que soient e= 1 et quels que soient e11, e, e22, ,
deux loteries telles que edeux loteries telles que e11 ≽≽ ee22, alors :, alors :
ee11 ≽≽ barbar22(e(e11, e, e22, , αα11, , αα22) et bar) et bar22(e(e11, e, e22, , αα11, , αα22) ) ≽≽ ee22
Hypothèse raisonnable ??Hypothèse raisonnable ??
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Utilité neumannienneUtilité neumannienne
Propriété Propriété
Soit u(.) est neumannienne sur (E,h)Soit u(.) est neumannienne sur (E,h)
Soit la préférence induite sur E par u(.)Soit la préférence induite sur E par u(.)
Soit v(.) = a u(.) + b avec a >0 et la préférence induite Soit v(.) = a u(.) + b avec a >0 et la préférence induite sur E par v(.)sur E par v(.)
AlorsAlors
et sont identiques et sont identiques
u<
u<
u<
v<<<
u<
u<
u<
v<<<
Propriété Propriété Soit u(.) est neumannienne sur (E,h)Soit u(.) est neumannienne sur (E,h)Soit < Soit < uu la préférence induite sur E par u(.), et la préférence induite sur E par u(.), et ≈≈uu ll’’indiffindifféérence associrence associééeeSoient x, y et z trois éléments de E tels que :Soient x, y et z trois éléments de E tels que :
x < x < u u z < z < uu yy (1)(1)Alors :Alors :
Il existe l Il existe l ∈∈ [0, 1] tel que z [0, 1] tel que z ≈≈uu h(x, y, l)h(x, y, l)
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Utilité neumannienneUtilité neumannienne
Propriété Propriété
Soit u(.) est neumannienne sur (E,h)Soit u(.) est neumannienne sur (E,h)
Soit la préférence induite sur E par u(.)Soit la préférence induite sur E par u(.)
Soit v(.) = a u(.) + b avec a >0 et la préférence induite Soit v(.) = a u(.) + b avec a >0 et la préférence induite sur E par v(.)sur E par v(.)
AlorsAlors
et sont identiques et sont identiques
u<
u<
u<
v<<<
u<
u<
u<
v<<<
Propriété Propriété Soit u(.) est neumannienne sur (E,h)Soit u(.) est neumannienne sur (E,h)Soit < Soit < uu la préférence induite sur E par u(.), et la préférence induite sur E par u(.), et ≈≈uu ll’’indiffindifféérence associrence associééeeSoient x, y et z trois éléments de E tels que :Soient x, y et z trois éléments de E tels que :
x < x < u u z < z < uu yy (1)(1)Alors :Alors :
Il existe l Il existe l ∈∈ [0, 1] tel que z [0, 1] tel que z ≈≈uu h(x, y, l)h(x, y, l)
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Utilité neumannienneUtilité neumannienne
PropriétéPropriétéSoit u(.) est neumannienne sur (E,h)Soit u(.) est neumannienne sur (E,h)Soit < Soit < uu la préférence induite sur E par u(.), la préférence induite sur E par u(.),
et et ≈≈uu ll’’indiffindifféérence associrence associééeeSoient x, y et z trois éléments de E tels que :Soient x, y et z trois éléments de E tels que :
x < x < u u z < z < uu yy (1)(1)Alors :Alors :Quelle que soit l’utilité neumannienne v(.) telle que < Quelle que soit l’utilité neumannienne v(.) telle que < vv = < = < uu
Il existe l indépendant de v(.) tel queIl existe l indépendant de v(.) tel quev(z) v(z) –– v(y) = l (v(x) v(y) = l (v(x) –– v(y))v(y)) (2)(2)
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1 1 –– Décision et processus de décisionDécision et processus de décision2 2 –– Deux concepts fondamentauxDeux concepts fondamentaux
concept de préférenceconcept de préférenceconcept d’utilitéconcept d’utilité
3 3 –– Modélisations Modélisations 4 4 –– Intégration de rationalités des décideursIntégration de rationalités des décideurs
problème de la révélation des préférencesproblème de la révélation des préférencesle dialogue décideur le dialogue décideur –– expertexpertapproche par la négociationapproche par la négociation
5 5 –– Questions ouvertes Questions ouvertes
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Modélisation en incertitudeModélisation en incertitude
Utilité multi attributUtilité multi attribut
Dans ce qui suit, on dDans ce qui suit, on déésigne par :signe par :
11t dt déésigne la loterie : tsigne la loterie : t 11z dz déésigne la loterie : zsigne la loterie : z
11(t, z) d(t, z) déésigne la loterie : tsigne la loterie : t
On cherche la fonction f de IR dans IROn cherche la fonction f de IR dans IR22 telle que :telle que :
u(., .) = f[w(.), v(.)]u(., .) = f[w(.), v(.)]
Modélisation en incertitudeModélisation en incertitude
Utilité multi attributUtilité multi attribut
Les modLes modèèles classiquesles classiques
Additif :Additif :u(t, z) = av(z) + u(t, z) = av(z) + bwbw(t)(t)
MultilinMultilinééaire (multiplicatif) :aire (multiplicatif) :u(t, z) = av(z) + u(t, z) = av(z) + bwbw(t) + (t) + cvcv(z)w(t)(z)w(t)
A Quelles Conditions ces spA Quelles Conditions ces spéécifications sont elles cifications sont elles possibles ?possibles ?
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Modélisation en incertitudeModélisation en incertitude
Utilité multi attributUtilité multi attribut
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Modèle additifModèle additif
On dit que les ensembles de loteries dOn dit que les ensembles de loteries dééfinies respectivement sur les lots T et Zfinies respectivement sur les lots T et Z
sont indsont indéépendants en utilitpendants en utilitéé additive si et seulement si les pradditive si et seulement si les prééfféérences drences d’’unun
Individu sur les loteries dont les lots sont les Individu sur les loteries dont les lots sont les ééllééments de ments de TxZTxZ ne dne déépendentpendent
que des marges des loteries que des marges des loteries zz11 zz22
tt11 pp11 pp22 pp11 + p+ p22
tt22 pp33 00 pp33
tt33 00 pp44 pp44
pp11 + p+ p33 pp22 + p+ p44
(t(t11, z, z11))pp11
pp22
pp33
pp44
Les marges dLes marges d’’une loterieune loterie
(t(t11, z, z22)) ==
(t(t22, z, z11))
(t(t33, z, z22))
Modélisation en incertitudeModélisation en incertitude
Utilité multi attributUtilité multi attribut
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Modèle additifModèle additif
Soit :Soit :T, Z deux ensembles d’objetsT, Z deux ensembles d’objetsw(.) fonction d’utilité neumannienne sur les loteries de lots aw(.) fonction d’utilité neumannienne sur les loteries de lots appartenant à Tppartenant à Tv(.) fonction d’utilité neumannienne sur les loteries de lots av(.) fonction d’utilité neumannienne sur les loteries de lots appartenant à Zppartenant à Zu(.,.) fonction d’utilité neumannienne sur les loteries de lotsu(.,.) fonction d’utilité neumannienne sur les loteries de lots appartenant à appartenant à TxZTxZtt00, t, t11 appartenant à T, zappartenant à T, z00, z, z11 appartenant à Z, tels que :appartenant à Z, tels que :
(t(t11 , z, z00) préféré à (t) préféré à (t00, z, z00) et (t) et (t00 , z, z11) préféré à (t) préféré à (t00, z, z00))Si on pose :Si on pose :u(tu(t00 , z, z00) = 0, ) = 0, u(tu(t11 , z, z11) = 1) = 1w(tw(t00) = 0,) = 0, w(tw(t11) = 1) = 1v(zv(z00) = 0,) = 0, v(zv(z11) = 1) = 1
alors : alors : si les ensembles de loteries dont les lots sont respectivement si les ensembles de loteries dont les lots sont respectivement T et Z sont T et Z sont
indépendantes additivement en utilité on a : indépendantes additivement en utilité on a : u(t, z) = u(t, z) = av(z) + av(z) + bwbw(t)(t)
avec a = u(tavec a = u(t00 , z, z11)) b = u(tb = u(t1 1 , z, z00))
Modélisation en incertitudeModélisation en incertitude
Utilité multi attributUtilité multi attribut
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Modèle multiplicatifModèle multiplicatif
IndIndéépendance en utilitpendance en utilitéé (Fishburn)(Fishburn)
Soit T et Z deux ensembles dSoit T et Z deux ensembles d’’objetsobjets
On travaille sur les loteries dont les lots appartiennent On travaille sur les loteries dont les lots appartiennent àà T x ZT x Z
On note On note XXzz la loterie de support {tla loterie de support {t11, ..., , ..., ttnn} x {z} } x {z} de distribution pde distribution p11, ..., , ..., ppnn
etetXXzz ‘‘ la loterie de support {tla loterie de support {t11, ..., , ..., ttnn} x {z} x {z’’} }
de distribution pde distribution p11, ..., , ..., ppnn
T indT indéépendant de Z en utilitpendant de Z en utilitéé, si et seulement si :, si et seulement si :XXzz prprééfféérréée ou Ind. e ou Ind. àà YYzz
impliqueimpliqueXXzz ‘‘ prprééfféérréée ou Ind. e ou Ind. àà YYzz ‘‘
Modélisation en incertitudeModélisation en incertitude
Utilité multi attributUtilité multi attribut
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Modèle multiplicatifModèle multiplicatif
Le RLe Réésultat principal (Fishburn)sultat principal (Fishburn)KeeneyKeeney et et RaiffaRaiffa, , DecisionsDecisions withwith multiple objectives,Cambridge University Press, 1993, multiple objectives,Cambridge University Press, 1993,
pages 234pages 234--235235Soit :Soit :T, Z deux ensembles dT, Z deux ensembles d’’objetsobjetsw(.) fonction dw(.) fonction d’’utilitutilitéé neumannienne sur les loteries de lots appartenant neumannienne sur les loteries de lots appartenant àà TTv(.) fonction dv(.) fonction d’’utilitutilitéé neumannienne sur les loteries de lots appartenant neumannienne sur les loteries de lots appartenant àà ZZu(.,.) fonction du(.,.) fonction d’’utilitutilitéé neumannienne sur les loteries de lots appartenant neumannienne sur les loteries de lots appartenant àà TxZTxZtt00, t, t11 appartenant appartenant àà T, zT, z00, z, z11 appartenant appartenant àà Z, tels que :Z, tels que :
(t(t11 , z, z00) pr) prééfféérréé àà (t(t00, z, z00) et (t) et (t00 , z, z11) pr) prééfféérréé àà (t(t00, z, z00))Si on pose :Si on pose :u(tu(t00 , z, z00) = 0, ) = 0, u(tu(t11 , z, z11) = 1) = 1w(tw(t00) = 0,) = 0,w(tw(t11) = 1) = 1v(zv(z00) = 0,) = 0, v(zv(z11) = 1) = 1
Alors : si T et Z sont mutuellement indAlors : si T et Z sont mutuellement indéépendants en utilitpendants en utilitéé on a : on a : u(t, z) = av(z) + u(t, z) = av(z) + bwbw(t) + (t) + cvcv(z)w(t)(z)w(t)
avec : a = u(tavec : a = u(t00 , z, z11)) b = u(tb = u(t1 1 , z, z00) c = 1 ) c = 1 -- a a -- b b
Modélisation en incertitudeModélisation en incertitude
Le Paradoxe de Saint PétersbourgLe Paradoxe de Saint Pétersbourg
Une somme de monnaie Une somme de monnaie éégale gale àà 1 milliard d1 milliard d’’euro avec certitudeeuro avec certitude
Jouer au jeu de Pile ou Face suivant : Jouer au jeu de Pile ou Face suivant :
Tirage 1 :Tirage 1 :Pile sort : vous avez gagnPile sort : vous avez gagnéé 2 euros et le jeu s2 euros et le jeu s’’arrête arrête
Face sort : vous devez relancer la piFace sort : vous devez relancer la pièèceceTirage 2 :Tirage 2 :
Pile sort : vous avez gagnPile sort : vous avez gagnéé 2x2 euros et le jeu s2x2 euros et le jeu s’’arrête arrête
Face sort : vous devez relancer la piFace sort : vous devez relancer la pièècece
Tirage n :Tirage n :
Pile sort : vous avez gagnPile sort : vous avez gagnéé 22nn euros et le jeu seuros et le jeu s’’arrête arrête
Face sort : vous devez relancer la piFace sort : vous devez relancer la pièècece
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Modélisation en incertitudeModélisation en incertitude
Le Paradoxe de Saint PétersbourgLe Paradoxe de Saint Pétersbourg
11 1 milliard d1 milliard d’’euroeuro
2 2 €€
2x2 2x2 €€
2x2x2 2x2x2 €€
22nn €€
……
……
1/21/2
1/41/41/81/8
1/21/2nn
Gain moyen : 1 milliard dGain moyen : 1 milliard d’’euroeuro ∑∞
=1i
ii 221
Gain moyen :Gain moyen : dd’’euroeuro
Or :Or : ∑∞
=1i
ii 221
>> 1 milliard1 milliard
On dOn déécide de jouer cide de jouer àà Pile ou Face !Pile ou Face !
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Modélisation en incertitudeModélisation en incertitude
Le Paradoxe de Saint PétersbourgLe Paradoxe de Saint Pétersbourgune solutionune solution
La satisfaction procurLa satisfaction procuréée par une somme de monnaie xe par une somme de monnaie xddéécrocroîît lorsque x augmente t lorsque x augmente
Soit v(x) lSoit v(x) l’’utilitutilitéé cardinale de la somme x de monnaiecardinale de la somme x de monnaie
Si v(x) = Si v(x) = lnxlnx
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xx
v(x)v(x) v(1 milliard) = ln(1 milliard) = 20,72v(1 milliard) = ln(1 milliard) = 20,72
∑∞
=
==1i
ii 39,12ln22ln21
Gain moyen :Gain moyen :
On prend le milliard dOn prend le milliard d’’euroeuro
UtilitUtilitéé EspEspéérréée et Coefficient de et Coefficient d ’’Arrow PrattArrow Pratt
Une condition :Une condition :Les lots sont des nombres (monnaie, durées, …)Les lots sont des nombres (monnaie, durées, …)
Deux hypothèses :Deux hypothèses :H1 H1 -- La fonction d’utilité v sur les lots est connueLa fonction d’utilité v sur les lots est connueH2 H2 -- La fonction d’utilité u sur les loteries est de la forme :La fonction d’utilité u sur les loteries est de la forme :
xx11
u( u( xxi i ) = p) = p11v(xv(x11) + … + ) + … + ppiivv(x(xii) + … + ) + … + ppnnvv((xxnn) )
xxnn
Un premier résultat : les préférences sont neumanniennesUn premier résultat : les préférences sont neumanniennes
pp11
ppii
ppnn
Modélisation en incertitudeModélisation en incertitude
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Modélisation en incertitudeModélisation en incertitude
UtilitUtilitéé EspEspéérréée et Coefficient de et Coefficient d ’’Arrow PrattArrow Pratt
v(.) : Lv(.) : L RéelsRéelslotlot v(lot)v(lot) RR(lot) = (lot) = --[v”(lot)/v’(lot)][v”(lot)/v’(lot)]
v(x)= xv(x)= x Neutre au risque faibleNeutre au risque faible v(.) affinev(.) affine RR(x) = 0(x) = 0
v(x)= xv(x)= x22 Risque Prône faibleRisque Prône faible v(.) convexev(.) convexe RR(x) = (x) = -- 1/ x < 01/ x < 0
v(x)= x v(x)= x 1/21/2Risque averse faible Risque averse faible v(.) concavev(.) concave RR(x) = 1/ 2x(x) = 1/ 2x22 > 0> 0
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Modélisation d’une relation de préférenceModélisation d’une relation de préférence
L’intégrale de SugenoL’intégrale de Sugeno
C = {cC = {c11, c, c22,..,,..,ccnn} : ensemble de critères} : ensemble de critères
X un objet évalué selon les n critèresX un objet évalué selon les n critères
Les évaluations sont toutes données sur une même échelle E, enseLes évaluations sont toutes données sur une même échelle E, ensemblembleordonné, dont 0 désigne le plus petit élément et 1 le plus grandordonné, dont 0 désigne le plus petit élément et 1 le plus grand élémentélément
X X →→ (x(x11, x, x22,,……,,xxnn))
∠∠ : une relation de pr: une relation de prééfféérence sur les objetsrence sur les objets
Capacité de ChoquetCapacité de Choquet
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Modélisation d’une relation de préférenceModélisation d’une relation de préférence
L’intégrale de SugenoL’intégrale de Sugeno
S : ensembleS : ensembleAA : : σσ--algèbre sur S (S fini, A= algèbre sur S (S fini, A= PP(S))(S))
v : capacité de Choquet :v : capacité de Choquet :
v(v( ) = 0) = 0v(S) = 1v(S) = 1A A B B ⇒⇒ v(A) v(A) v(B)v(B)
Si Si A, B A, B ∈∈ AA, , v(A v(A B) = v(A) B) = v(A) v(B), v est une mesure de possibilitv(B), v est une mesure de possibilitéé
Si Si A, B A, B ∈∈ AA, , v(A v(A B) = v(A) B) = v(A) v(B), v est une mesure de nv(B), v est une mesure de néécessitcessitéé
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Modélisation d’une relation de préférenceModélisation d’une relation de préférence
L’intégrale de SugenoL’intégrale de Sugeno
X : S X : S →→ EEv une capacitv une capacitéé sur sur AA une une σσ--algalgèèbre dbre dééfinie sur Sfinie sur S
L’intégrale de Sugeno de X par rapport à v :L’intégrale de Sugeno de X par rapport à v :
Xdv = Xdv = ((αα v(X v(X ≥≥ αα))))αα ∈∈ EE
En décision :En décision :S devient C l’ensemble des critèresS devient C l’ensemble des critèresX de S dans E est une fonction d’évaluationX de S dans E est une fonction d’évaluationOn définit une capacité de Choquet v sur les parties de COn définit une capacité de Choquet v sur les parties de C
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Modélisation d’une relation de préférenceModélisation d’une relation de préférence
L’intégrale de SugenoL’intégrale de Sugeno
Intégrale de Sugeno de X par rapport à v :Intégrale de Sugeno de X par rapport à v :
SSvv(X) = (X) = (X (X σσ(i)(i) v(Av(Aσσ(i)(i)))))i=1i=1
nn
où où σσ est la permutation sur l’ensemble des critères telle queest la permutation sur l’ensemble des critères telle queXXσσ(1)(1) XXσσ(2)(2) …… XXσσ(n)(n) et Aet Aσσ(i)(i) = {= {σσ(i), ..., (i), ..., σσ(n)}(n)}
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Modélisation d’une relation de préférenceModélisation d’une relation de préférence
L’intégrale de SugenoL’intégrale de Sugeno
11
y = xy = x X : S X : S →→ [0 1][0 1]
11 ααSSvv(X)(X)
SSvv(X)(X)
V(X V(X ≥≥ αα))
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Modélisation d’une relation de préférenceModélisation d’une relation de préférence
L’intégrale de SugenoL’intégrale de Sugeno
Toute relation de préférence estToute relation de préférence est--elle représentable par l’intégrale de Sugeno ??elle représentable par l’intégrale de Sugeno ??
Deux niveaux de représentation :Deux niveaux de représentation :-- représentation fortereprésentation forte-- représentation faiblereprésentation faible
Chercher v telle que :Chercher v telle que : ReprRepréésentation forte :sentation forte :
X,Y X Y X,Y X Y ⇔⇔ SSvv(X) (X) ≥≥ SSvv(Y)(Y)
ReprRepréésentation faible :sentation faible :
X,Y X Y X,Y X Y ⇔⇔ ¬¬((SSvv(Y) (Y) > > SSvv(X))(X))
préordre totalpréordre total
préférence stricte associéepréférence stricte associée
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Modélisation d’une relation de préférenceModélisation d’une relation de préférence
L’intégrale de SugenoL’intégrale de Sugeno
3 objets à comparer : X, Y et Z3 objets à comparer : X, Y et Z
4 critères à valeurs dans E= {0,1,2,3}4 critères à valeurs dans E= {0,1,2,3}
Tableau de performancesTableau de performances
1 2 3 41 2 3 4
X 0 1 1 0X 0 1 1 0Y 1 1 0 0Y 1 1 0 0Z 0 0 2 0Z 0 0 2 0
X, YX, YPréférence du décideur : X Préférence du décideur : X ∼∼ Y < ZY < Z
ZZ
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Modélisation d’une relation de préférenceModélisation d’une relation de préférence
L’intégrale de SugenoL’intégrale de Sugeno
1 2 3 41 2 3 4
X 0 1 1 0X 0 1 1 0Y 1 1 0 0Y 1 1 0 0Z 0 0 2 0Z 0 0 2 0
Préférence du décideur : X Préférence du décideur : X ∼∼ Y < ZY < ZX, YX, Y
ZZ
Chercher Chercher αα11 et et αα22 dans {0,1,2,3} tels quedans {0,1,2,3} tels que
αα11 < < αα22
représentereprésente X, YX, Y représentereprésente ZZ
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Modélisation d’une relation de préférenceModélisation d’une relation de préférence
L’intégrale de SugenoL’intégrale de Sugeno
1 2 3 41 2 3 4
X 0 1 1 0X 0 1 1 0Y 1 1 0 0Y 1 1 0 0Z 0 0 2 0Z 0 0 2 0
Chercher Chercher αα11 et et αα22 dans {0,1,2,3} tels quedans {0,1,2,3} tels que
αα11 < < αα22
représentereprésente X, YX, Y représentereprésente ZZ
Couple possibleCouple possible résultatrésultat(0, 1)(0, 1) pas de vpas de v(0, 2)(0, 2) pas de vpas de v(1, 2)(1, 2) vvss, , vvii
échelle trop petiteéchelle trop petitecontradictions du décideurcontradictions du décideur
Modélisation d’une relation de préférenceModélisation d’une relation de préférence
00 001 1 00 332 2 11 331,2 1,2 22 3 3 3 3 22 331,3 1,3 22 3 3 2,3 2,3 22 3 3 1,2,3 1,2,3 22 3 3 4 4 00 3 3 1,4 1,4 00 3 3 2,4 2,4 00 3 3 1,2,4 1,2,4 11 3 3 3,4 3,4 22 331,3,4 1,3,4 22 3 3 2,3,4 2,3,4 22 3 3 EE 33 33
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L’intégrale de SugenoL’intégrale de Sugeno
vvii
vvss
1 2 3 41 2 3 4
X 0 1 1 0X 0 1 1 0Y 1 1 0 0Y 1 1 0 0Z 0 0 2 0Z 0 0 2 0
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La neutralité au risque, la neutralité en probabilitéLa neutralité au risque, la neutralité en probabilité
Le paradoxe d’EllsbergLe paradoxe d’Ellsberg
Urne à 90 boules : 30 rouges, les autres jaunes ou noires en proUrne à 90 boules : 30 rouges, les autres jaunes ou noires en proportionportioninconnue. Tirage d’une boule.inconnue. Tirage d’une boule.
R N JR N J
X XX XRR XXNN XXJJ
XX11 100 0 0100 0 0XX22 0 100 00 100 0
XX33 100 0 100100 0 100XX44 0 100 1000 100 100
XX11 > X> X2 XX11 > X> X2 2 ⇔⇔ P(R) > P(N)P(R) > P(N)2
XX44 > X> X3
?
3
?
XX44 > X> X3 3 ⇔⇔ P(R)+P(J) > P(N)+P(J)P(R)+P(J) > P(N)+P(J)
Principe de la chose sûrePrincipe de la chose sûreLes décideurs ne sont pas Les décideurs ne sont pas
probabilistiquement sophistiquésprobabilistiquement sophistiqués
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La neutralité au risque, la neutralité en probabilitéLa neutralité au risque, la neutralité en probabilité
Le paradoxe d’EllsbergLe paradoxe d’Ellsberg
Les limites de la théorie de l’utilité espéréeLes limites de la théorie de l’utilité espérée
ModélisationModélisation : remplacer le concept de probabilité par celui d’intégrale : remplacer le concept de probabilité par celui d’intégrale de Choquetde Choquet
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La neutralité au risque, la neutralité en probabilitéLa neutralité au risque, la neutralité en probabilité
Intégrale de ChoquetIntégrale de Choquet
(S, (S, AA) espace mesurable) espace mesurablev : S v : S →→ IR : capacitIR : capacitéé de Choquetde ChoquetX : S X : S →→ IR, IR, AA mesurable et bornmesurable et bornééee
Intégrale de Choquet définie par : Intégrale de Choquet définie par : ∫∫ Xdv = Xdv = ∫∫ (v(X (v(X ≥≥ t)t)--1)1)dtdt + + ∫∫ v(Xv(X ≥≥ t)t)dtdt--∞∞
00
00
∞∞
Dans le cas discret avec xDans le cas discret avec x11 < x< x22 < … < < … < xxnn
∫∫ Xdv = xXdv = x11(1(1--v(X v(X ≥≥ xx22) + x) + x22(v(X (v(X ≥≥ xx22))--v(X v(X ≥≥xx33) +) +……+ + xxnnvv(X (X ≥≥xxnn))
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La neutralité au risque, la neutralité en probabilitéLa neutralité au risque, la neutralité en probabilité
Intégrale de ChoquetIntégrale de Choquet
Axiome d’aversion pour l’incertitudeAxiome d’aversion pour l’incertitude
XX
44
11
AA
AA
YY
22
55
AA
AA
∼∼
on rajoute Zon rajoute Z
ZZ
11
44
AA
AA
X+ZX+Z
55
55
AA
AA
Y+ZY+Z
33
99
AA
AA
>>
aversion pour l’incertitudeaversion pour l’incertitude
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La neutralité au risque, la neutralité en probabilitéLa neutralité au risque, la neutralité en probabilité
Intégrale de ChoquetIntégrale de Choquet
est une relation d’ordreest une relation d’ordre
vérifie les propriétés de continuité et de convergence monotone vérifie les propriétés de continuité et de convergence monotone ::
[[XXnn, X, Y, , X, Y, XXnn Y, Y, XXnn ↓↓ X ] X ] ⇒⇒ X YX Y
[[XXnn, X, Y, , X, Y, XXnn Y, Y, XXnn ↑↑ X ] X ] ⇒⇒ X YX Y
vérifie la condition de monotonievérifie la condition de monotonie
X X ≥≥ YY++εε ((εε > 0) > 0) ⇒⇒ X YX Y
Pour tous X, Y et Z tels que X et Z sont comonotones, Y et Z sonPour tous X, Y et Z tels que X et Z sont comonotones, Y et Z sont comonotonest comonotonesalors X alors X ∼∼ Y Y ⇒⇒ X+Z X+Z ∼∼ Y+ZY+Z
Les 4 axiomes de baseLes 4 axiomes de base
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La neutralité au risque, la neutralité en probabilitéLa neutralité au risque, la neutralité en probabilité
Intégrale de ChoquetIntégrale de Choquet
La comonotonieLa comonotonie
X et Y sont comonotones siX et Y sont comonotones sis, t dans S, (X(t)s, t dans S, (X(t)--X(s))(Y(s)X(s))(Y(s)--Y(t)) Y(t)) ≥≥ 00
La continuité séquentielle monotoneLa continuité séquentielle monotone
Soit v une capacité sur (S,Soit v une capacité sur (S,AA). On dit que v est monotement séquentiellement). On dit que v est monotement séquentiellementcontinue sicontinue si
FFnn, F , F ∈∈ AA, , FFnn ↑↑ F F ⇒⇒ v(Fv(Fnn) ) ↑↑ v(F) et Fv(F) et Fnn ↓↓ F F ⇒⇒ v(Fv(Fnn) ) ↓↓ v(F) v(F)
Pour une relation de préférence sur les fonctions mesurablesPour une relation de préférence sur les fonctions mesurables bornéesbornéessur S, les assertions suivantes sont équivalentes :sur S, les assertions suivantes sont équivalentes :(i)(i) satisfait les 4 axiomessatisfait les 4 axiomes(ii)(ii) Tout X possède un équivalent certain I(X) et il existe une uniquTout X possède un équivalent certain I(X) et il existe une unique capacité ve capacité v
séquentiellement monotonement continue sur A telle que I(séquentiellement monotonement continue sur A telle que I(X) = X) = ∫∫XdvXdv
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La neutralité au risque, la neutralité en probabilitéLa neutralité au risque, la neutralité en probabilité
Intégrale de ChoquetIntégrale de Choquet
Axiome d’incertitudeAxiome d’incertitudeX X ∼∼ Y, Z comonotone avec X et Y, alors X+Z Y, Z comonotone avec X et Y, alors X+Z ∼∼ Y+ZY+Z
Capacité de Choquet convexeCapacité de Choquet convexev(A v(A ∪∪ B) + v(A B) + v(A ∩∩ B) B) ≥≥ v(A) + v(B)v(A) + v(B)
Soit v une capacité sur (S,A) alors les assertions suivantes sonSoit v une capacité sur (S,A) alors les assertions suivantes sont équivalentest équivalentes(i)(i) v est convexev est convexe(ii)(ii) C(v) = {P, probabilités / P C(v) = {P, probabilités / P ≥≥ vv (P(A)(P(A) ≥ v(A))} n’est pas vide et ≥ v(A))} n’est pas vide et
Min{EMin{EPP(X) / P (X) / P ∈∈ C(v)} = C(v)} = ∫∫XdvXdv
Théorème de SchmeiderThéorème de Schmeider
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La neutralité au risque, la neutralité en probabilitéLa neutralité au risque, la neutralité en probabilité
Intégrale de ChoquetIntégrale de Choquet
Le modèle de Yaari : une approche de la décision dans le risqueLe modèle de Yaari : une approche de la décision dans le risque
X, Y mesurables et bornées sur (S,X, Y mesurables et bornées sur (S,AA).).
X domine Y pour la dominance stochastique du premier ordre , X >X domine Y pour la dominance stochastique du premier ordre , X >FSDFSD Y, siY, siFFXX(t) (t) FFYY(t) ((t) (⇔⇔ t t PrPr(X > t) (X > t) ≥≥ PrPr(Y > t)(Y > t)
Une relation de préférence satisfait la dominance stochastiUne relation de préférence satisfait la dominance stochastique d’ordreque d’ordrepremier si premier si X, Y, X >X, Y, X >FSDFSD Y Y ⇒⇒ X YX Y
Axiome supplémentaire : Axiome supplémentaire : A, B A, B ∈∈ A, A, PrPr(A) (A) ≥≥ PrPr(B) (B) ⇒⇒ A BA B
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La neutralité au risque, la neutralité en probabilitéLa neutralité au risque, la neutralité en probabilité
Intégrale de ChoquetIntégrale de Choquet
Le modèle de Yaari : une approche de la décision dans le risqueLe modèle de Yaari : une approche de la décision dans le risque
Pour une relation de préférence , les assertions suivantesPour une relation de préférence , les assertions suivantes sontsontÉquivalentesÉquivalentes(i)(i) satisfait les 5 axiomessatisfait les 5 axiomes(ii)(ii) tout X possède un équivalent certain I(X) tel que tout X possède un équivalent certain I(X) tel que
X, Y , X Y X, Y , X Y ⇔⇔ I(X) I(X) ≥≥ I(Y) et il existeI(Y) et il existe une unique fonctionune unique fonctioncontinue et croissante f de [0 1] dans [0 1] vcontinue et croissante f de [0 1] dans [0 1] véérifiant f(0) = 0 etrifiant f(0) = 0 etf(1) = 1 telle que f(1) = 1 telle que X, I(X)=X, I(X)=∫∫XX dfoPdfoP
v = v = foPfoP : f est une fonction de distorsion de probabilité: f est une fonction de distorsion de probabilité
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La neutralité au risque, la neutralité en probabilitéLa neutralité au risque, la neutralité en probabilité
Intégrale de ChoquetIntégrale de Choquet
Le modèle de Yaari : une approche de la décision dans le risqueLe modèle de Yaari : une approche de la décision dans le risque
Relation de préférence. Un décideur est un Relation de préférence. Un décideur est un adversaire faible du risque si E(X) X.adversaire faible du risque si E(X) X.
Pour toute relation de préférence d’un décideur à la Pour toute relation de préférence d’un décideur à la YaariYaari, les, lesassertions suivantes sont équivalentesassertions suivantes sont équivalentes(i)(i) Les décideur est faiblement adversaire du risqueLes décideur est faiblement adversaire du risque(ii)(ii) la fonction de distorsion f est telle que f(p) la fonction de distorsion f est telle que f(p) ≤≤ p, p, ∀∀pp
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La neutralité au risque, la neutralité en probabilitéLa neutralité au risque, la neutralité en probabilité
Intégrale de ChoquetIntégrale de Choquet
Le modèle de Yaari : une approche de la décision dans le risqueLe modèle de Yaari : une approche de la décision dans le risque
Et de la même manière…..Et de la même manière…..
une notion de dominance stochastique forteune notion de dominance stochastique forteune notion d’aversion forte au risqueune notion d’aversion forte au risqueet un théorème sur la fonction de distorsion fet un théorème sur la fonction de distorsion f
1 1 –– Décision et processus de décisionDécision et processus de décision2 2 –– Deux concepts fondamentauxDeux concepts fondamentaux
concept de préférenceconcept de préférenceconcept d’utilitéconcept d’utilité
3 3 –– ModélisationsModélisations4 4 –– Intégration de rationalités des décideursIntégration de rationalités des décideurs
problème de la révélation des préférencesproblème de la révélation des préférencesle dialogue décideur le dialogue décideur –– expertexpertapproche par la négociationapproche par la négociation
5 5 –– Questions ouvertesQuestions ouvertes
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Processus d’élicitation des préférencesProcessus d’élicitation des préférences
Étant donné une procédure d’agrégation multicritère, on appelleÉtant donné une procédure d’agrégation multicritère, on appelleprocessus d’élicitation des préférences tout processus qui procèprocessus d’élicitation des préférences tout processus qui procèdedepar une interaction entre le décideur et l’homme d’étude (ou un par une interaction entre le décideur et l’homme d’étude (ou un logiciel) et conduit ce décideur à exprimer une information surlogiciel) et conduit ce décideur à exprimer une information surses préférences dans le cadre de la procédure d’agrégation choisses préférences dans le cadre de la procédure d’agrégation choisie.ie.Cette information se concrétise par un ensemble de valeurs plausCette information se concrétise par un ensemble de valeurs plausiblesiblespour les paramètres préférentiels de la procédure. A l’issue de pour les paramètres préférentiels de la procédure. A l’issue de lalaprocédure, on doit arriver à un résultat compatible avec le poinprocédure, on doit arriver à un résultat compatible avec le point de vue t de vue du décideur.du décideur.
(Vincent Mousseau)(Vincent Mousseau)
1 1 –– Décision et processus de décisionDécision et processus de décision2 2 –– Deux concepts fondamentauxDeux concepts fondamentaux
concept de préférenceconcept de préférenceconcept d’utilitéconcept d’utilité
3 3 –– ModélisationsModélisations4 4 –– Intégration de rationalités des décideursIntégration de rationalités des décideurs
problème de la révélation des préférencesproblème de la révélation des préférencesle dialogue décideur le dialogue décideur –– expertexpertapproche par la négociationapproche par la négociation
5 5 –– Questions ouvertesQuestions ouvertes
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Modèles d’interaction avec le décideurModèles d’interaction avec le décideur
Interaction reposant sur :Interaction reposant sur :-- le résultat de la procédure d’agrégation multicritèrele résultat de la procédure d’agrégation multicritère-- la valeur de certains paramètres préférentielsla valeur de certains paramètres préférentiels
Dans l’interaction , distinguer :Dans l’interaction , distinguer :-- les modalités selon lesquelles le décideur exprimera uneles modalités selon lesquelles le décideur exprimera uneinformation préférentielleinformation préférentielle-- le type d’information présentée au décideur pour susciterle type d’information présentée au décideur pour susciterl’interaction.l’interaction.
1 1 –– Décision et processus de décisionDécision et processus de décision2 2 –– Deux concepts fondamentauxDeux concepts fondamentaux
concept de préférenceconcept de préférenceconcept d’utilitéconcept d’utilité
3 3 –– ModélisationsModélisations4 4 –– Intégration de rationalités des décideursIntégration de rationalités des décideurs
problème de la révélation des préférencesproblème de la révélation des préférencesle dialogue décideur le dialogue décideur –– expertexpertapproche par la négociationapproche par la négociation
5 5 –– Questions ouvertesQuestions ouvertes
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GDR MACS GDR MACS –– Journées de Nantes Journées de Nantes –– Mars 2004Mars 2004
Approche par la négociationApproche par la négociation
Hypothèses sur les décideurs Hypothèses sur les décideurs ⇒⇒ construction de solutions, mais construction de solutions, mais ……..
Prise en compte de rationalités plus complexes des décideurs ???Prise en compte de rationalités plus complexes des décideurs ???
Prise en compte de comportements individuels ???Prise en compte de comportements individuels ???
Modèles de la théorie des jeux ….Modèles de la théorie des jeux ….
coopératifs !coopératifs !
1 1 –– Décision et processus de décisionDécision et processus de décision2 2 –– Deux concepts fondamentauxDeux concepts fondamentaux
concept de préférenceconcept de préférenceconcept d’utilitéconcept d’utilité
3 3 –– ModélisationsModélisations4 4 –– Intégration de rationalités des décideursIntégration de rationalités des décideurs
problème de la révélation des préférencesproblème de la révélation des préférencesle dialogue décideur le dialogue décideur –– expertexpertapproche par la négociationapproche par la négociation
5 5 –– Questions ouvertesQuestions ouvertes
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Modélisations des préférences basées sur des approches « topologModélisations des préférences basées sur des approches « topologiques »iques »
Intégration de la théorie des jeux dans les méthodes d’agrégatioIntégration de la théorie des jeux dans les méthodes d’agrégationndes préférences.des préférences.
Prise en compte de rationalités plus complexes des décideursPrise en compte de rationalités plus complexes des décideurs
Possibilité de prendre en compte des comportements de négociatioPossibilité de prendre en compte des comportements de négociationn
Systèmes multi agentsSystèmes multi agents
MétaheuristiquesMétaheuristiques
Simulation Simulation
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Annexe Annexe Les outils classiques Les outils classiques
de la de la décision multicritèredécision multicritère
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Procédures d’agrégationProcédures d’agrégation
règle de Paretorègle de Paretorègle dictatorialerègle dictatorialerègle lexicographiquerègle lexicographiqueprocédures de vote :procédures de vote :
à la majorité simple, absolueà la majorité simple, absolueà la Borda, à la Borda, procédure majoritaire de Condorcetprocédure majoritaire de Condorcetprocédure algébriqueprocédure algébrique
valeur de Shapleyvaleur de Shapleyprocédure « ELECTRE »procédure « ELECTRE »procédure PROMETHEEprocédure PROMETHEE
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
E ensemble des objetsE ensemble des objets
m préférences (préordres) : < m préférences (préordres) : < 1 1 , < , < 22, … , < , … , < mm
Procédure de Pareto (règle d’unanimité) :Procédure de Pareto (règle d’unanimité) :aa (< (< 1 1 , < , < 22, … , < , … , < mm) = < ) = < PP
telle que telle que ∀∀xx∈∈E, E, ∀∀yy∈∈E , E ,
x < x < PP y y ⇔⇔ ∀∀ i i ∈∈ {1, {1, …… , m} , x < , m} , x < ii y y
Avantage : Avantage : très « démocratique »très « démocratique »préordrepréordre
Inconvénient : Inconvénient :
généralement pas totalegénéralement pas totale
mais permet de « faire le ménage »mais permet de « faire le ménage »
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
E ensemble des objetsE ensemble des objets
m préférences (préordres) : < m préférences (préordres) : < 1 1 , < , < 22, … , < , … , < mm
Procédure dictatoriale :Procédure dictatoriale :aa (< (< 1 1 , < , < 22, … , < , … , < mm) = < ) = < DD
telle que telle que ∃∃ i i ∈∈ {1, {1, …… , m} = J(m) avec < , m} = J(m) avec < DD = < = < ii
i est appeli est appeléé le le «« dictateur dictateur »»
Avantage : Avantage : même propriétés que même propriétés que < < ii
InconvéniantInconvéniant : :
pas franchement « démocratique »pas franchement « démocratique »
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
E ensemble des objetsE ensemble des objets
Vote à majorité simpleVote à majorité simple
m prm prééfféérences (prrences (prééordres totaux) : ordres totaux) : < < 1 1 , < , < 22, , …… , < , < mm
àà la prla prééfféérence < rence < ii , est associ, est associéée le poids pe le poids pi i ≥≥ 00ll’’un des pun des pii aauu moins moins éétant non nultant non nul..
Rem : on pourra toujours supposer que pRem : on pourra toujours supposer que p11+ p+ p22 + + …… + p+ pmm =1=1
DDééfinitionfinitionProcProcéédure dure «« ddéégradgradéée e »» qui cherche un qui cherche un «« plus grand plus grand »»si si aa (< (< 1 1 , < , < 22, , …… , < , < mm) = < ) = < MSMS
si x si x ∈∈ E, p(x) = E, p(x) = ΣΣ p p ii
ooùù J(m , x) = {J(m , x) = {ii∈∈{1, {1, …… , m} ; x plus grand , m} ; x plus grand éélléément de E pour ment de E pour < < ii }}
Alors x plus grand Alors x plus grand éélléément de E pour ment de E pour < < MSMS
ssissi∀∀y y ∈∈ E, p(x) E, p(x) ≥≥ p(y)p(y)
ii∈∈J(m,x)J(m,x)
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Vote à majorité absolueVote à majorité absolue
Variante de la prVariante de la prééccéédentedente
i i ∈∈J(m,x)J(m,x)
DDééfinitionfinitionCondition : Condition : ∀∀ii∈∈{1, {1, …… , m} = J(m), , m} = J(m), < < i i est totalest totalProcProcéédure dure «« ddéégradgradéée e »» qui cherche un qui cherche un «« plus grand plus grand »»si si aa (< (< 1 1 , < , < 22, , …… , < , < mm) = < ) = < MAMA
si x si x ∈∈ E, p(x) = E, p(x) = ΣΣ p p ii
ooùù J(m , x) = {J(m , x) = {ii∈∈{1, {1, …… , m} ; x plus grand , m} ; x plus grand éélléément de E pour ment de E pour < < ii }}
Alors x plus grand Alors x plus grand éélléément de E pour ment de E pour SsiSsi
∀∀y E, p(x) y E, p(x) ≥≥ p(y)p(y)(p(x) / (p(x) / ΣΣ p p i i ) > a , (a fix) > a , (a fixéé dans [0, 1] ; en gdans [0, 1] ; en géénnééral a = 0,5)ral a = 0,5)
i i ∈∈J(m)J(m)
< < MAMA
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Ensemble des actions, critèresEnsemble des actions, critères
Crit. 1 Crit.2 Crit.3 Crit.4 …Crit. 1 Crit.2 Crit.3 Crit.4 …(/20) (cote) (appréc.) (O/N) …(/20) (cote) (appréc.) (O/N) …
Action 1 18 135 AB OUI Action 1 18 135 AB OUI ……
Action 2 5 152 TB OUI Action 2 5 152 TB OUI ……
Action 3 15 129 M NON Action 3 15 129 M NON ……
Action 4 12 146 TM ? Action 4 12 146 TM ? ……
Action 5 7 121 B OUIAction 5 7 121 B OUI ……
… … … … … … … … … … ……
Matrice de performancesMatrice de performances
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Méthode de BordaMéthode de Borda
gg11 gg22 gg33 ……
a ra r11(a) r(a) r22(a) r(a) r33(a) (a) ……b rb r11(b) r(b) r22(b) r(b) r33(b) (b) ……c rc r11(c) r(c) r22(c) r(c) r33(c) (c) ………… …… …… …… ……
rrii(a) : rang attribu(a) : rang attribuéé àà ll’’action a par le critaction a par le critèère ire i(action class(action classéée premie premièère : celle qui a le plus de re : celle qui a le plus de points pour le critpoints pour le critèère ire i
CritCritèère i re i →→ {r{rii(a), a (a), a ∈∈ A} induit un classement des actions a.A} induit un classement des actions a.Choix de coefficients (dits coefficients de Borda)Choix de coefficients (dits coefficients de Borda)kk11 > k> k22 > .. > k> .. > kmm, o, oùù m=card(A)m=card(A)
LL’’action classaction classéée premie premièère rere reççoit la valeur koit la valeur kmm, la suivante k, la suivante kmm--11,,……
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Méthode de BordaMéthode de Borda
gg11 gg22 gg33 ……
a ra r11(a) r(a) r22(a) r(a) r33(a) (a) ……b rb r11(b) r(b) r22(b) r(b) r33(b) (b) ……c rc r11(c) r(c) r22(c) r(c) r33(c) (c) ………… …… …… …… ……
rrii(a) : rang attribu(a) : rang attribuéé àà ll’’action a par le critaction a par le critèère ire i(action class(action classéée premie premièère : celle qui a le plus de re : celle qui a le plus de points pour le critpoints pour le critèère ire i
gg11 gg22 gg33 ……
a ka k11(a) k(a) k22(a) k(a) k33(a) (a) ……b kb k11(b) k(b) k22(b) k(b) k33(b) (b) ……c kc k11(c) k(c) k22(c) k(c) k33(c) (c) ………… …… …… …… ……
SS
B(a)B(a)B(b)B(b)B(c)B(c)……
11
2233
bb
aacc
dd
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Méthode de CondorcetMéthode de Condorcet
C1 C2 C3C1 C2 C3
A 15 16 3A 15 16 3B 11 13 17B 11 13 17C 8 4 12C 8 4 12D 2 10 9D 2 10 9
C1, C2, C3 : votantsC1, C2, C3 : votantsA, B, C et D : candidatsA, B, C et D : candidats
a > b a > b ⇔⇔ le nombre de critle nombre de critèèresrespour lequel a domine b estpour lequel a domine b est
strictement supstrictement supéérieur au nombrerieur au nombrede critde critèères pour lequel b domine ares pour lequel b domine a
A contre B : 2 pour A, 1 pour BA contre B : 2 pour A, 1 pour BA contre C : 2 pour A, 1 pour CA contre C : 2 pour A, 1 pour CA contre D : 2 pour A, 1 pour DA contre D : 2 pour A, 1 pour DB contre C : 2 pour B, 1 pour CB contre C : 2 pour B, 1 pour CB contre D : 3 pour B, 0 pour BB contre D : 3 pour B, 0 pour BC contre D : 2 pour C, 1 pour D
A > B > C > DA > B > C > D
C contre D : 2 pour C, 1 pour D
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Méthode de CondorcetMéthode de Condorcet
Le paradoxe de CondorcetLe paradoxe de Condorcet
3candidats3candidats
60 votants60 votants
10 votants pour C >10 votants pour C >11 A >A >11 BB8 votants pour C >8 votants pour C >22 B>B>22 AA23 votants pour A >23 votants pour A >33 B >B >33 CC17 votants pour B >17 votants pour B >44 C >C >44 AA2 votants pour B >2 votants pour B >55 A >A >55 CC
A > B (33 voix pour A sur 60)A > B (33 voix pour A sur 60)B > C (42 voix pour B sur 60)B > C (42 voix pour B sur 60)C > A (35 voix pour C sur 60)C > A (35 voix pour C sur 60)
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Agrégation algébriqueAgrégation algébrique
gg11 gg22 gg33 ……
a ga g11(a) g(a) g22(a) g(a) g33(a) …(a) …b gb g11(b) g(b) g22(b) g(b) g33(b) …(b) …c gc g11(c) g(c) g22(c) g(c) g33(c) …(c) …… … … … …… … … … …
WW11 WW22 WW33 … …
Poids des critèresPoids des critères
Valeur de a :Valeur de a :
V(a) = WV(a) = W11 gg11(a) + W(a) + W22 gg22(a) + W(a) + W33 gg33(a) + …(a) + …
a est meilleure que b si :a est meilleure que b si :V(a) > V(b)V(a) > V(b)
ΣΣWWii = 1= 1ii
SIGNIFICATION DES POIDS ??SIGNIFICATION DES POIDS ??
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Agrégation algébriqueAgrégation algébriqueInterprétation géométriqueInterprétation géométrique
ZôneZône y y <<AA x x ZôneZône x x <<AA y y
IRIR
IRIR
u(y)u(y)
u(x)u(x)
p.u(y)p.u(y)
p.u(x)p.u(x)
pp11
11
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
SIGNIFICATION DES POIDS ??SIGNIFICATION DES POIDS ??
Solution : Solution : «« valeur de Shapley valeur de Shapley »»
Lloyd Lloyd StowellStowell ShapleyShapleyBorn: Cambridge, Massachusetts, Born: Cambridge, Massachusetts, JuneJune 2, 19232, 1923EducatedEducated: Harvard University, A.B., 1948: Harvard University, A.B., 1948Princeton University, Ph.D. (math.), 1953Princeton University, Ph.D. (math.), 1953Additive and Additive and NonadditiveNonadditive Set FunctionsSet Functions (A. W. Tucker), 1953(A. W. Tucker), 1953
Rand Corporation, Rand Corporation, researchresearch mathematicianmathematician, 1948, 1948--49, 195449, 1954--8181Princeton University, Fine Princeton University, Fine InstructorInstructor, 1952, 1952--5454University of California, Los Angeles, 1981University of California, Los Angeles, 1981--
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Solution : Solution : «« valeur de Shapley valeur de Shapley »»
Notations : Notations : J(m) = ensemble des J(m) = ensemble des «« juges juges »»P P (J(m)) = {S (J(m)) = {S ⊂⊂ J(m) ; J(m) ; «« coalition coalition »» de juges}de juges}v(.) : v(.) : P P (J(m)) (J(m)) __________> {0, 1}> {0, 1}
S v(S) = 1 si S « emporS v(S) = 1 si S « emporte la décision » [S gagnante]te la décision » [S gagnante]0 sinon 0 sinon [S perdante][S perdante]
DéfinitionDéfinitionii∈∈J(m)J(m)
i est « pivot » ou « décisif » de la « coalition S »i est « pivot » ou « décisif » de la « coalition S »ssissi
v(S) = 1 et v(S v(S) = 1 et v(S -- {i}) = 0{i}) = 0Remarque : i « pivot » de S Remarque : i « pivot » de S ⇒⇒ i i ∈∈ SSRemarque 2 : v(S) Remarque 2 : v(S) –– v(S v(S –– {i}) = 1 {i}) = 1 ⇔⇔ i « pivot » de S i « pivot » de S
v(S) v(S) –– v(S v(S –– {i}) = 0 {i}) = 0 ⇔⇔ i n’est pas « pivot » de S i n’est pas « pivot » de S
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Solution : Solution : «« valeur de Shapley valeur de Shapley »»
Calcul de la Calcul de la «« valeur de Shapley valeur de Shapley »» du juge i : du juge i : considconsidéérer S telle que i rer S telle que i ∈∈ SS
SS
((CardCard(S) (S) --1)!1)!
S S –– {i}{i}
J(m) J(m) -- SS
(m (m -- CardCard(S))!(S))!
ii
ΦΦ(i) = [(i) = [ ΣΣS S ⊂⊂ J(m)J(m)
((CardCard(S) (S) --1)! (m 1)! (m -- CardCard(S))! (v(S) (S))! (v(S) –– v(Sv(S--{i})]{i})] / m!/ m!
ΦΦ(i) = [(i) = [ ΣΣS S ⊂⊂ J(m)J(m)i i ∈∈SS
((CardCard(S) (S) --1)! (m 1)! (m -- CardCard(S))! (v(S) (S))! (v(S) –– v(Sv(S--{i})]{i})]/ m!/ m!
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Méthodes de surclassementMéthodes de surclassement
Méthodes ELECTREMéthodes ELECTREMéthodes PROMETHEEMéthodes PROMETHEEMéthode GAIAMéthode GAIA……
Mécanisme de baseMécanisme de base
Comparaison deux à deux des actions par critèreComparaison deux à deux des actions par critère
Construction d’un coefficient de concordanceConstruction d’un coefficient de concordance
Relation de surclassementRelation de surclassement
Concept de discordanceConcept de discordance
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Méthodes de surclassementMéthodes de surclassement
Critère jCritère jseuil d’indifférence seuil d’indifférence qqjj
seuil de préférence seuil de préférence ppjj
ppjj > > qqjj
UUjj(a)(a)UUjj(b)(b)
évaluations selon le critère j des actions a et bévaluations selon le critère j des actions a et b
Relation de préférence >Relation de préférence >jj ::a >a >jj b b ⇔⇔ UUjj(a) > (a) > UUjj(b) + (b) + ppjj
Relation d’indifférence Relation d’indifférence ∼∼jj ::a a ∼∼jj b b ⇔⇔ UUjj(b) (b) –– qqjj ≤≤ UUjj(a) (a) ≤≤ UUjj(b) + (b) + qqjj
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Méthodes de surclassementMéthodes de surclassement
Critère jCritère jseuil d’indifférence seuil d’indifférence qqjj
seuil de préférence seuil de préférence ppjj
ppjj > > qqjj
UUjj(a)(a)UUjj(b)(b)
évaluations selon le critère j des actions a et bévaluations selon le critère j des actions a et b
Relation deRelation desurclassementsurclassement
associée à jassociée à j
a a SSjj b b ⇔⇔ UUjj(a) (a) ≥≥ UUjj(b) (b) -- qqjj
Couple d’actions (a,b)Couple d’actions (a,b)
C(a,b) = {j / a C(a,b) = {j / a SSjj b} : ensemble de concordanceb} : ensemble de concordance
D(b,a) = {j / D(b,a) = {j / UUjj(b) > (b) > UUjj(a) + (a) + ppjj} : ensemble} : ensemblede discordance entre a et b = sousde discordance entre a et b = sous--ensemble ensemble de critères pour lesquels b est indiscutablementde critères pour lesquels b est indiscutablementpréféré à a.préféré à a.CCff(a,b) = {j / (a,b) = {j / UUjj(b) (b) –– ppjj ≤≤ UUjj(a) < (a) < UUjj(b) (b) –– qqjj} }
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Méthodes de surclassementMéthodes de surclassement
Les différents types de préférenceLes différents types de préférence
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Méthodes de surclassementMéthodes de surclassement
PropositionPropositionLes trois ensembles C(a,b), Les trois ensembles C(a,b), CCff(a,b) et D(a,b) (a,b) et D(a,b) forment une partition de l’ensemble des critères.forment une partition de l’ensemble des critères.
DémarcheDémarcheMesurer « l’importance » Mesurer « l’importance »
des ensembles (des ensembles (ffcc(a,b), (a,b), ffcfcf(a,b) (a,b) et et ffdd(a,b))(a,b))
Coefficient de concordance :Coefficient de concordance :CCa,ba,b = = ffcc(a,b) + (a,b) + ffcfcf(a,b)(a,b)
Coefficient de discordanceCoefficient de discordanceDDa,ba,b = = ffdd(a,b)(a,b)
Relation de surclassementRelation de surclassement
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Méthodes ELECTREMéthodes ELECTREMéthodes de surclassementMéthodes de surclassement
ELECTRE = Elimination Et Choix Traduisant la REalitéELECTRE = Elimination Et Choix Traduisant la REalité
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Méthodes ELECTREMéthodes ELECTREMéthodes de surclassementMéthodes de surclassement
CC11 CC22 CC33 ……
aa11 … … … …… … … …aa22 … … … …… … … …aa33 … … … …… … … …… … … … …… … … … …
Fixation de : Fixation de :
sscc, 0 < , 0 < sscc < 1 : seuil de concordance< 1 : seuil de concordance
ssdd, 0 < , 0 < ssdd < 1 : seuil de discordance< 1 : seuil de discordance
aaii aakk
aaii surclasse surclasse aakk : : aaii S S aakk ⇔⇔ ccikik ≥≥ sscc et et ddikik ≤≤ ssdd
ww11 ww22 ww33 ……
aaii
aakkGraphe deGraphe de
surclassementsurclassement
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Méthodes ELECTREMéthodes ELECTREMéthodes de surclassementMéthodes de surclassement
AA
BBDD
EE
GG
HH Noyau associé à une relation de surclassement :Noyau associé à une relation de surclassement :Tout sousTout sous--ensemble N d’actions tel que :ensemble N d’actions tel que :--Pour toute action Pour toute action aakk hors de N, il existe une actionhors de N, il existe une actionaaii de N telle que ade N telle que aii S S aakk
--Quelles que soient aQuelles que soient all et et aakk appartenant à N, on n’aappartenant à N, on n’ani ani all S S aakk ni ni aakk S aS all..
Graphe de relation de surclassementGraphe de relation de surclassement
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Méthodes ELECTREMéthodes ELECTREMéthodes de surclassementMéthodes de surclassement
Trois types de variantes selon que Trois types de variantes selon que
on cherche un préordreon cherche un préordreon cherche à tireron cherche à tireron cherche à catégoriseron cherche à catégoriser
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Méthodes PROMETHEEMéthodes PROMETHEEMéthodes de surclassementMéthodes de surclassement
PreferencePreference RankingRanking Organisation METHod for Organisation METHod for EnrichmentEnrichment EvaluationEvaluation
Critère j à maximiserCritère j à maximiser
Action aAction aii aaii = (a= (ai1i1,a,ai2i2,..,,..,aainin))
Action Action aakk aakk = (a= (ak1k1,a,ak2k2,..,,..,aaknkn))
q : seuil d’indifférenceq : seuil d’indifférencep : seuil de préférence stricte p : seuil de préférence stricte
ddikik = = aaijij -- aakjkj SSjj(a(aii,,aakk) = ) = SSjj((ddikik) = ) =
0 si 0 si ddikik ≤≤ q q indifférenceindifférence
1 si 1 si ddikik > p préférence stricte> p préférence stricte
((ddikik –– q)/(p q)/(p –– q) si q < q) si q < ddikik ≤≤ p p
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Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Méthodes PROMETHEEMéthodes PROMETHEEMéthodes de surclassementMéthodes de surclassement
Construction de l’indice de préférence Construction de l’indice de préférence ccikik
ΣΣ wwii = 1= 1
∀∀i, i, wiwi > 0> 0ccikik = = ΣΣ
jjwwjjSSjj((ddikik))
aaii
Flux sortant en i : Flux sortant en i : ΦΦii++ = = ΣΣkk ccikik
Flux entrant en i : Flux entrant en i : ΦΦii-- = = ΣΣkk cckiki
Flux net en i : Flux net en i : ΦΦii = = ΦΦii++ -- ΦΦii
--
GDR MACS GDR MACS –– Journées de Nantes Journées de Nantes –– Mars 2004Mars 2004
Méthodes et outils de la décision multicritèreMéthodes et outils de la décision multicritère
Méthodes PROMETHEEMéthodes PROMETHEEMéthodes de surclassementMéthodes de surclassement
Construction de la relation de surclassementConstruction de la relation de surclassement
aaii surclasse surclasse aakk
⇔⇔ΦΦii
++ > > ΦΦkk++ et et ΦΦii
-- < < ΦΦkk--
ououΦΦii
++ > > ΦΦkk++ et et ΦΦii
-- = = ΦΦkk--
ououΦΦii
++ = = ΦΦkk++ et et ΦΦii
-- < < ΦΦkk--
PROMETHEE IPROMETHEE I
aaii surclasse surclasse aakk
⇔⇔ΦΦii ≥≥ ΦΦkk
PROMETHEE IIPROMETHEE II
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