Complément Calibrage et Homographie
zT
zyTT
zxTT
z
zy
zx
z
y
x
zT
yT
xT
tr
tvtrvr
tutrur
trrr
tvtrvrrvrrvr
tutrurrurrur
trrr
trrr
trrr
v
u
tr
tr
tr
v
u
tRK
3
0302
0301
333231
0330233202231021
0330133201231011
333231
232221
131211
0
0
3
2
1
0
0
100
0
0
100
0
0
Tr1Tr2Tr3
Complément Calibrage
1
11
λ
34333231
24232221
14131211
Z
Y
X
mmmm
mmmm
mmmm
Z
Y
X
Mv
u
34333231
24232221
14131211
'
mmmm
mmmm
mmmm
M
Complément Calibrage
)(
)(
)(
)(
024
014
3022
3011
2022
2011
320
310
zy
zx
iii
iii
T
T
T
T
TvmT
TumT
mvmr
mumr
vqq
uqq
qqv
qqu
33323134
34333231
24232221
14131211
)('
mmmmsignmmmm
mmmm
mmmm
M
Tq1
Tq2
4q
Tq3
Tz rtsign 3)(
Complément Calibrage
• R n’est pas nécessairement une matrice de rotation (projection sur l’espace SO(3) avec SVD)
• SO(3): special orthogonal
1)det(,|)3()3( RIRRSORSO T
Homographie
L'homographie décrit un mapping un pour un !
Homographie
près) échelled'facteur un à égalité indique (
image points ,
13x32
13x3122
222111
~xH~x
xHx
XxXx
1xh
xh
xh
''
''
''
1
λ
333231
232221
131211
3
2
1
y
x
hhh
hhh
hhh
w
v
u
y
x
i
i
i
Ces schémas suggère la relation suivante:
Homographie induite par un plan
• Soit une transformation entre :
• Soit un plan tel que
• On peut combiner pour obtenir
TRXX 12
11
11 XNd
dXN TT
13x3
1112
11XXXXX
TT N
dTRN
dTRTR
Homographie
Homographie
Homographie
11
λ
333231
232221
131211
y
x
hhh
hhh
hhh
y
x
Homographie
HomographieRedresser l’image, nouveau point de vue
HomographieEt si la scène n’était pas plane (toujours mapping 1pour1)
(seulement une rotation entre les vues)
• Dans le plan normalisé (en mm et non en pixel)
• Dans l’image
12
1221
12
12
~ Rxx
Rxx
RXX
TRXX
12
11
2
11
21
11
221
1
~
~
~
Hxx
xKRKx
xRKxK
xRKxK
Homographie Le panorama: caméra en rotation
http://www.youtube.com/watch?v=Xfyrwh9tbV4
Homographie Le panorama: caméra en rotation
http://www.youtube.com/watch?v=8P469-I_8F8
Homographie: Estimation
• 2 équations indépendantes par point• 8 degrés de liberté (nbpoints>=4x2)
11
λ
333231
232221
131211
y
x
hhh
hhh
hhh
y
x
i
i
i
y
x
xh
xh
xh
1
'
'
T3
T2
T1
i
ixxh
xh' T3
T1
i
iyxh
xh' T3
T2
Homographie: Estimation
0
h
h
h
xx0
x0x
xx0
x0x
xx0
x0x
3
2
1
222
222
111
111
TTT
TTT
TTT
TTT
TTT
TTT
nnn
nnn
y
x
y
x
y
x
0Ah
0x'hxh-
0x'hxh-T3T2
T3T1
ii
ii
y
x
SVD
Homographie: comment l’appliquer
1. Sélectionner 4+ points correspondant entre les images2. Construire et résoudre le système d’équations
H
Homographie: comment l’appliquerRedimensionner le fond de l’image 1 pour contenir le cadre de l’image 2
H-1
Homographie: comment l’appliquerPour chaque point x de l’image 1:• Regarder si il y a une valeur à Hx dans l’image 2• Inscrire ou fusionner les valeurs
H
?
Homographie: comment l’appliquer
• À vous de jouer, c’est la question #8 du devoir.
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