Download - CHAPITRE IV BASE DE LA MECANIQUE ... - epfl…epfl.wikispaces.com/file/view/04-Mec-Newton-Bases.pdf · reviendrons, après ce chapitre, à la cinématique et à la mécanique du corps

Base de la mécanique newtonienne 1

Semestre d'hiver 2002/2003

CHAPITRE IV

BASE DE LA MECANIQUE NEWTONIENNE

I) INTRODUCTION

Nous avons vu la cinématique du point avec, comme exemple, plusieurs cas

où nous avons spécifié la forme fonctionnelle de l'accélération. Il est donc

intéressant maintenant de parler de la mécanique newtonienne d’un point

matériel, afin de pouvoir avoir une vue physique des phénomènes. Nous

reviendrons, après ce chapitre, à la cinématique et à la mécanique du corps

solide.

Pour cette introduction à la mécanique newtonienne, je ferai appel à vos

connaissances acquises au niveau du gymnase. Nous énoncerons d'abord

les lois de Newton puis nous les commenterons. Enfin quelques

applications seront présentées. Nous terminerons en présentant la loi de la

gravitation universelle.

II. LA MECANIQUE SELON NEWTON

II.1 Définition de la masse

Je cite Newton :

"La quantité de matière se mesure par la densité et le volume pris ensemble". "Je

désigne la quantité de matière par les mots de corps ou de masse". Newton

indique que la masse "se connaît par le poids du corps, car j'ai trouvé par

des expériences très exactes sur les pendules que les poids des corps sont

proportionnels à leur masse". Notez que Newton utilise le terme « se connaît ».

L'unité de masse est le kilogramme, dont la définition est la masse d'un

cylindre en platine iridié déposé au Bureau International des Poids et

Mesures.

I1.2) Définition de la quantité de mouvement



La quantité de mouvement P est le produit de la masse m par la vitesse v

P = mv

I1.3) Définition de la force

Newton distingue plusieurs types de force. L'une d'elle, la force exercée ("vis

impressa" en latin) est l'action par laquelle "l'état du corps est changé, que cet

état soit le repos ou le mouvement uniforme". Elle détermine donc l'accélération

(Première loi de Newton).

Newton considère la masse et la force comme deux quantités premières: I l

définit la quantité motrice de la force comme étant proportionnelle à la

[quantité] de mouvement qu'elle produit dans un temps donné.

I1.4) Lois de Newton

Les lois newtoniennes du mouvement sont énoncées dans les "Philosophiae

naturales principia mathematica" déposés à la Royal Society le 28 avril 1686

et publié en 1687.

- Première Loi

"Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement uniforme

dans lequel il se trouve à moins que quelque force n'agisse sur lui et ne

le contraigne à changer d'état."

- Deuxième Loi

"Les changements qui arrivent dans la quantité de mouvement sont

proportionnels à la force motrice et se font dans la ligne droite où cette

force a été imprimée."

- Troisième Loi (principe d'action et de réaction)



"L'action est toujours égale et opposée à la réaction, c'est-à-dire que les

actions de deux corps l'un sur l'autre sont toujours égales et de

directions contraires."

Newton ajoute deux corollaires extrêmement importants sur la composition

des forces.

- Corollaire I de la Deuxième Loi

"Un corps poussé par deux forces parcourt, par leurs actions réunies, la

diagonale d'un parallélogramme dans le même temps dans lequel i l

aurait parcouru ses côtés séparément."

- Corollaire II

"D'où l'on voit qu'une force directe AD est composée des forces obliques

quelques AB et BD et réciproquement qu'elle peut toujours se résoudre

dans des forces obliques quelconques AB et BD. Cette résolution et cette

composition des forces se trouvent confirmées à tout moment dans la

mécanique."

A B

C D

II.5) Commentaires

Discutons de ces lois.



• La définition de la masse par Newton est une tautologie, puisque la

densité est la quantité de matière par unité de volume. Comme le dit Ernst

Mach dans "La Mécanique, exposé historique et critique de son

développement".

"Le concept de masse n'est pas plus clair parce qu'on le définit comme produit du

volume par la densité puisque la densité elle-même ne représente autre chose que

la masse de l'unité de volume. La véritable définition de la masse ne peut être

déduite que des relations dynamiques des corps."

- La définition de la force motrice contient déjà la Deuxième Loi.

On l'appelle aussi "Principe d'inertie". Remarquez tout d'abord que la

Première loi fait intervenir la notion "d'état de repos" ou "de mouvement de

repos". Mais nous avons déjà vu dans le cadre de la cinématique que la

notion de mouvement était intimement liée à celle de référentiel. Aussi la

Première Loi revient à définir la notion de référentiel d'inertie (ou

référentiel inertiel):

Il existe des référentiels dans lesquels le mouvement d'un objet en

absence de forces extérieures est un mouvement rectiligne uniforme

ou est au repos. Un tel référentiel est appelé référentiel d'inertie. La

question de trouver les référentiels d'inertie sera abordée dans un chapitre

ultérieur. Nous admettons pour le moment qu'il en existe.

- L’égalité de l’action et de la réaction

Explication de Newton :

« Si l’on presse une pierre avec le doigt, le doigt est pressé en même temps par la

pierre. Si un cheval tire une pierre par le moyen d’une corde, il est également tiré

par la pierre, car la corde qui les joint et qui est tendue des deux côtés fait un

effort égal pour tirer la pierre vers le cheval, et le cheval vers la pierre, et cet effort

s’oppose autant au mouvement de l’un qu’il excite le mouvement de l’autre.

Si un corps en frappe un autre et qu’il change son mouvement de quelque façon que

ce soit, le mouvement du corps choquant sera aussi changé de la même quantité, et

dans une direction contraire, par la force du corps choqué, à cause de l’égalité de

leur pression mutuelle.

Par ces actions mutuelles, il se fait des changements égaux, non pas de

vitesse, mais de quantité de mouvement, pourvu qu’il ne s’y mêle aucune



cause étrangère, car les changements de vitesse qui se font de la même manière

dans des directions contraires doivent être réciproquement proportionnels aux

masses, à cause que les changements de quantité de mouvement égaux. »

La partie sur la collision des corps est très importante pour l’étude des

collisions entre deux corps. Dans notre langage moderne, ceci s’appelle la

conservation de la quantité de mouvement totale dans un système qui n’est

soumis à aucune force.

I1.6) Petit intermède historique

Galilée avait, avant Newton, énoncé le principe d'inertie en étudiant la chute

des corps. Il introduit la notion d'"impeto" ou de "momento del discendere"

et note que l’"impeto" est nul sur un plan horizontal et que le mobile se

trouve indifférent au mouvement et au repos et ne présente de lui-même

aucune tendance à se mouvoir d'aucun côté ni aucune résistance à être mis

en mouvement [dans "Mécaniques", 1634]. Ce principe est repris par

Huygens dans son traité posthume (1700). "Un corps quelconque en

mouvement, s'il ne rencontre aucun obstacle, tend à se mouvoir indéfiniment avec la

même vitesse et en ligne droite."

II.7) Retour sur la Deuxième loi de Newton et Validité de la mécanique

classique

Notons tout de suite que Newton donne cette loi sous la forme (en mettant

le facteur de proportionnalité égal à l’unité)

Δ(mv) = F Δ t

ou en utilisant les variations infinitésimales :

d mv( )

dt= F

et non pas :

m dv

dt= F



Ceci est une remarque historique intéressante. Nous utiliserons la formule

"classique"

F = ma

(que nous appellerons équation de Newton).

La masse m qui intervient dans l'équation de Newton est appelée masse

d'inertie.

Nous réservons l'équation

F = dpdt

dans les cas où la théorie relativiste doit être utilisée. En effet, dans ces cas

m =mo

1 - v2/c2

où c est la vitesse de la lumière (c = 2.99752458 × 108 m/s –~

3 × 108 m/s) et mo est la masse au repos (v = 0). Nous voyons que pour les

vitesses que nous rencontrons généralement v/c « 1 et m ≈ mo . C’est cette

quantité m ≈ mo que nous appelons masse d'inertie dans le cadre de la

mécanique non-relativiste.

Vérifions sur quelques exemples que v/c est beaucoup plus petit que 1. Soit

un satellite de 1000 kg que l'on veut satelliser. Sa vitesse v est donc

supérieure à 11.2 km/s, vitesse de satellisation. Prenons pour simplifier lescalculs v = 15 km/s. Donc v/c –~ 15/30 × 107) = 5 × 10-8 et [1 - (v/c)2]-

1/2 vaut [1 - 2.5 × 10-15]-1/2 ≈ 1 + 1.25 × 10-15. A la 15ème décimale près, le

satellite a une masse de 1000 kg! (La précision sur la reproduction de

l'étalon de masse est 10-8 - 10-9).

Qu'en est-il de la vitesse de la Terre autour du Soleil? Elle vaut2π × 1.495 × 1011/3.16 × 107 ≅2.97 × 104 m/s soit environ 30 km/s. Le



rapport v/c est donc 30/3 × 105 =10-4. Donc la masse de la Terre est égale à

sa masse au repos à la 8ème décimale!

Les avions supersoniques peuvent voler à Mach 2 soit 2400 km/h ce qui

n'est que 40 km/s et l'on retombe au cas précédent!

Essayons la physique atomique dans sa version classique et non quantique.Le "rayon" r d'un atome est 5 × 10-11m. La force d'attraction d'un proton sur

un électron est

e2

4πεor2 = 9.26 10-8 N

L'accélération de l'électron est 1023 m/s2. La vitesse v qui correspond à uneorbite circulaire est 2.26 × 106 m/s. Comme ordre de grandeur par rapport à

c, nous avons donc 3 × 103/3 × 108 = 10-5. Donc là encore, les effets

relativistes n'entrent pas en jeu.

C'est en physique des hautes énergies que v/c atteint des valeurs proches

de 1 (~ 0.99……) et que la masse diffère substantiellement de sa valeur au

repos.

Les exemples que nous avons présentés montrent que la mécanique

classique non-relativiste a un champ d'application très large.

III) APPLICATION DE LA LOI DE NEWTON

Rappelons que pour le moment nous ne considérons que la mécanique d'un

point. Nous admettons de plus que la masse est constante de sorte que

m dvdt

= F

La force F est, a priori, une fonction de la position x, mais également de la

vitesse v et du temps.*** [Si nous avions considéré l'impulsion p à la place de

v, F serait alors fonction de p à la place de v]. Donc

*** Le fait que F soit une fonction de x et de v se trouve, par exemple,

dans la force de Lorentz subie par une charge électrique q. F = q



m dvdt

dxdt

=

=

F(x, v,t)v

Nous avons donc un système de deux équations différentielles du premier

ordre. Il existe donc une solution unique x(t), v(t) qui satisfait les conditionsinitiales x(t = 0) = xo, v(t = 0) = vo, si F est régulière. Notez qu'il faut avoir

les conditions initiales pour résoudre d'une manière univoque leproblème: si vous connaissez x(t = 0) = xo, v(t = 0) = vo. et F(x,v,t) alors

la trajectoire est complètement déterminée.

III.1) Comment appliquer la Deuxième Loi de Newton?

Donnons ici quelques règles que nous devons suivre quand nous appliquons

la Deuxième Loi de Newton:

Nous admettons au point de départ que tout le problème sera résolu dans

un référentiel d’inertie que nous aurons défini au préalable.

1) Choisissons la masse sur laquelle nous appliquerons cette loi.

2) Considérons toutes les forces qui agissent sur cette masse.

3) Ecrivons la Deuxième Loi de Newton. Elle nous permet alors de

calculer l’accélération, puis par intégration nous pouvons alors

connaître la trajectoire.

Illustrons cette procédure sur l'exemple suivant. Considérons deux masses

liées par une corde supposée de masse nulle. Ces masses reposent sur un

plan horizontal et peuvent se mouvoir sans frottement. On tire l'ensemble

avec une force F.

v × B(x,t)[ ]. Le champ magnétique B est en général fonction du point xoù se trouve la particule et peut varier dans le temps.



m m1 2 FT T1 2

Considérons tout d'abord l'ensemble m1 et m2 . La seule force qui agit sur ce

système est F. Le problème étant unidimensionnel, nous omettrons le signe

de vecteur avec la convention de l’axe positif selon F. Donc :

(m1 + m2)a = F.

a est l'accélération des 2 masses. a est dirigé selon F car les masses sont

positives.

Si nous considérons la masse m1, la seule force qui agit sur elle est la

tension T1 de la corde. L'accélération qu'elle subit est bien entendu a. Le

problème étant uni dimensionnel nous utiliserons des notations scalaires etnon vectorielles. Nous avons donc pour la masse m1:

m1 a = T1

Pour la masse m2, on a :

m2 a = -T2 + F

(T2 est un nombre positif).

Comme la masse mc de la corde est nulle, nous avons :

mc a = 0 = -T1 + T2.

Donc T1 = T2 = T = Tension de la corde.

Nous avons donc :

m1 a = Tm2 a = F - T



D'où de nouveau :

(m1 + m2) a = F

a =F

m1 + m2 , T =

m1m1 + m2

F

III.2) Quelques illustrations de l'application de la Deuxième Loi de Newton

Nous illustrons par des exemples la manière d'appliquer la Deuxième Loi de

Newton.

• a) Objet sur un plateau ayant un mouvement accéléré

Soit un objet de masse m sur un plateau qui a un mouvement harmonique

selon z

z

g

R

Masse m

mg

Le mouvement du plateau est :

z = A cosωt



Calculons la force de réaction du plateau sur la masse. Pour cela reprenons

point par point les règles que nous avons données :

- Sur quelle masse appliquerons-nous la loi de Newton ?

Réponse : la masse m.

- Notons toutes les forces agissant sur m.

Il y a le poids mg et la réaction R du plateau sur la masse. Si le plateau était

au repos, le poids mg serait équilibré par la réaction R = -mg (Pourquoi ?).

Comme la masse m "suit" le plateau, cette réaction est différente.

- Ecrivons la Deuxième Loi de Newton.

L'accélération est :

d2zdt2

= - A ω2 cosωt.

En notant R la valeur algébrique de la réaction R, nous avons

- mg + R = - A ω2 cosωt

g est un nombre positif, c'est pourquoi le poids est -mg. La réaction R est

donc donnée par :

R = mg - Aω2cosωt



• b) Mouvement d'un électron dans un champ magnétique

Nous avons signalé qu'en général la force F dépend de la vitesse. C'est le

cas de la force de Lorentz qui agit sur une particule chargée dans un champ

magnétique B.

F = q (v × B)*

où q est la charge de la particule, v sa vitesse.

Discutons du cas simple où la charge est un électron de charge -e, de masseme placée dans un champ magnétique B = (0, 0, Bz) parallèle à l'axe Oz avec

Bz = constant.

Nous avons donc (Cf. Note en bas de la page avec B = (0, 0, Bz))

F = -e(vyBz,- vxBz, 0)

L’équation de Newton est alors :

* La notation (v × B ) désigne le produit vectoriel de v et B. Dans un systèmede coordonnées cartésiennes (ex ,ey ,ez) où v= (vx , vy ,vz) et B = (Bx ,By,Bz), levecteur F est donné par :

F = −eex ey ezvx vy vzBx By B z

= −e(vyBz − vzB y, vzB x − vxB z, vxBy − vyBx )

Le symbole dénote le calcul du déterminant.



me

dvxdt = - e vy Bz

me dvydt = + e vx Bz

me dvzdt = 0

Le mouvement selon z est un mouvement uniforme. Pour résoudre leséquations pour vx et vy

dvx

dt = -

e Bzme

vy = - Ωe vy

dvy dt =

e Bzme

vx = Ωe vx

Essayons l'ansatz

vx = v⊥ cosΩet

vy = v⊥ sinΩet

où Ωe = eBz/me est la fréquence cyclotron électronique.

En remplaçant vx et vy par les expressions données par l'ansatz, nous

vérifions immédiatement les équations pour dvx/dt et dvy/dt.

Nous avons donc par intégration de vx et vy

x = v⊥ / Ωe sinΩety = - v⊥ / Ωe cosΩet

Le mouvement de l'électron dans le plan O x y est un mouvement circulaireuniforne de fréquence Ωe. Le rayon du cercle est v⊥/Ωe et est appelé l e

rayon de Larmor.

La trajectoire de l'électron est:



x = v⊥ / Ωe sinΩety = v⊥ / Ωe cosΩetz = vot

C'est donc une hélice.

• c) Mouvement avec frottement

Les Anciens avaient eu beaucoup de difficulté dans leur compréhension de la

mécanique à travers leurs expériences de tous les jours. En effet, quoi de

plus contradictoire que la Première Loi de Newton avec notre expérience

quotidienne qui nous indique qu'un corps soumis à "aucune force" (p. ex.

une boule qui roule) s'arrête. Ceci est bien entendu causé par le frottement.

Les forces de frottement peuvent être de plusieurs types et avoir diverses

dépendances fonctionnelles. Pour les corps se mouvant dans un fluide (l'air

du point de vue de la physique est considéré comme un fluide), la force defrottement Ff a la dépendance suivante:

Ff = Av + Bv2

Pour de faible vitesse c'est le terme linéaire en v qui domine. Ce terme estlié à la viscosité du fluide et dans ces conditions Ff = Av est appelée force de

viscosité. A grande vitesse elle est proportionnelle à v2. Dans ce cas Ff est

souvent exprimée comme:

Ff = Cx S ρ

2 v2

ρ est la masse volumique du fluide, S la surface de l'objet en mouvement

mesurée dans le plan perpendiculaire à v. Le coefficient Cx n'a pas de

dimension comme le montre l'analyse dimensionnelle suivante:

kg m

s2 =

m2 kg

m3 m2 s-2



Cx décrit la qualité de l'objet en ce qui concerne la force de frottement: plus

le Cx est bas, moins il y a de frottement. C’est un argument de vente pour

les voitures !

Etudions le mouvement d'une particule de vitesse initiale v(t = 0) = vo

soumis à une force de viscosité (donc proportionnelle à v) dans la directionde vo.

L'équation de Newton est alors

dvdt

= - Avm

Le signe - indique que c'est une force qui s'oppose au mouvement.

L'intégration nous donne immédiatement

v = vo exp

- Am t

Nous voyons que la particule ralentit exponentiellement.

• d) Pendule*

Considérons le problème du pendule que vous avez sûrement déjà étudié au

gymnase. Utilisons les coordonnées polaires pour décrire le mouvement de

la masse m. Dans ces coordonnées a est donnée par

ar = - L

dΘdt

2

aθ = L d2Θ

dt2 * Nous reprendrons cet exemple pour discuter de la notion de massed’inertie et de masse gravitationnelle. Pour le moment nous considérons quele poids est égal au produit de la masse d’inertie par g.



g

0

Θ

mg

T

FN

FT

L

eΘ

en supposant le fil de longueur constante égale à L.

La masse est soumise à la force mg et à la tension T = Ter du fil (T<0).

Donc

- mL

dΘ

dt2 = mg cosΘ + T

mL

d2Θ

dt2 = - mg sinΘ

Considérons la deuxième équation :

L d2Θ

dt2 = −gsin Θ

Pour de faible valeur de Θ, sinΘ peut être approximé par Θ. Donc :

d2Θ

dt2= −

gLΘ



dont la solution décrit une oscillation harmonique de fréquence ω égale à :

ω =

gL

.

La première équation permet de définir la tension T du fil :

IV) CONSIDERATION SUR LA FORCE DE GRAVITE

IV.1) Champ gravitationnel

Soit un corps de masse M. Il exerce une force centrale attractive Fg sur un

autre corps de masse m selon la loi *:

Fg = - G Mmr3 r

où G = 6.668 × 10-11 Nm2kg-2. r est le vecteur d’origine M et d’extrémité m.

C’est la loi de la gravitation universelle, une autre découverte de

Newton**. La force de gravitation est proportionnelle à 1/r2.

M r Fg m

Selon la loi de l'action et de la réaction, la masse m exerce sur la masse Mune force F g

' égale à - Fg. Notons que ceci peut également être déduite de

l'expression même de la force de gravitation :

* Notez que pour le moment j’emploie le terme masse sans faire trop dedistinction entre la masse que nous utilisons ici et celle que nous avonsutilisée dans le cas de la loi de Newton (masse d’inertie). Nous appelleronsla masse qui intervient dans la loi de la gravitation universelle sous le nomde masse gravitationnelle.** « Elle (la force de gravitation) n’agit point selon la grandeur des superficies(comme les causes mécaniques) mais selon la quantité de la matière ; et son actions’étend de toutes parts à des distances immenses, en décroissant toujoursdans la raison doublée des distances » Newton, cité dans « L’héritageoccidental » de G. Chaliand et S. Mousset (Ed. Odile Jacob, 2002)



M r' m

F'g

Fg' = - G Mm r'

r' 3 = +

G Mm rr3 = - Fg

Quelle est la force exercée sur la masse m due à plusieurs masse Mi? Pour

cela, écrivons

r = rm - rM

Mm

r

rM

rm

0

où rm et rM sont définis par rapport à une origine O quelconque.

Donc Fg = - G Mm

|rm - rM|3 (rm - rM)

Si nous avons plusieurs masses Mi, repérées par rMi , chacune d'elle

exercera une force



Fig = - G Mi m

|rm - rMi|3 (rm - rMi)

sur m.

La force totale est donc

Fg = - G ∑

i

Mi m

|rm - rMi|3 (rm - rMi)

Pour simplifier la notation, laissons tomber l'indice m pour la position de lamasse m et l'indice M pour celle des masses Mi.

Donc

Fg = - G m ∑

i

Mi

|r - ri|3 (r - ri)

La quantité

g(r) = - G ∑

i

Mi

|r - ri|3 (r - ri)

est le champ de gravitation produit par les masses Mi.

Notons tout de suite l'analogie entre g et le champ électrique E produit en rpar des charges qi localisées en ri

E =∑

i

qi

4π εo |r - ri|3 (r - ri)

Si au lieu d'avoir des masses discrètes localisées en ri, nous avons une

distribution de densité ρ(r') dans le volume V, alors

g = - G ⌡⌠ ⌡⌠ ⌡⌠V

dx'dy'dz' ρ(r')

|r - r'|3 (r -r')



IV.2) Masse d'inertie et masse gravitationnelle

Pour terminer faisons une remarque sur la définition que donne Newton de

la masse:

"Cette quantité se connaît par le poids des corps: car j'ai trouvé par des

expériences très exactes sur des pendules que le poids des corps est

proportionnel à leur masse."

Donc Newton distinguait le poids de la masse, distinction que n'avaient

pas faite avant lui Galilée et Huygens.

Qu'est ce qu'alors le poids?

Nous savons que les corps sur la Terre tombent sous l'action de la gravité

que nous écrivons :

Fgravité =G MT mg

rT2 = mg g

où G est la constante de gravitation (G = 6.668 × 10-11 Nm2 kg-2), MT la

masse de la Terre (MT = 5.98 × 1024 kg), rT le rayon terrestre ( rT = 6.37

× 106m) et mg la masse gravitationnelle du corps en question. Cette loi

est la loi de la gravitation universelle, une autre découverte de Newton.

La masse gravitationnelle est la quantité qui intervient dans la loi de la

gravitation universelle.

Notez que la valeur de g (attraction terrestre) est égale à

g =G MT

rT2

g varie donc avec la hauteur h. Mais dans beaucoup de cas h est beaucoupplus faible que rT (p. ex. h ~ 10 km comparé à rT –~ 6.37 × 103 km) et

l'on prendra g = constant –~ 9.8 m/s2.



Selon la deuxième Loi, la force Fgravité = -mg g ez est égale à mi a où mi est la

masse inertielle

mi d2zdt2

= - mg g

d2zdt2

=

mg

mi g = a

Comme tous les corps tombent avec la même accélération g, nous

interprétons ce fait comme:

mg = mi

Expérimentalement, la précision a été améliorée de 10-3 (Newton) à 10-11 à

10-12 avec des mesures récentes. Pour cette raison, nous ne distinguerons

pas la masse d’inertie et la masse gravitationnelle et nous ne parlerons que

de la masse sans autre qualificatif.

Comment Newton a-t-il mesuré l'égalité entre mi et mg? L'expérience de

Newton nous permettra en même temps de voir une première application de

la Deuxième Loi.

Soit une pendule de longueur L et de masse gravitationnelle de mg

L

T

F

Θg

FN

FT

0

m g = Fg g



Le pendule a un mouvement oscillant autour du point 0. On néglige touterésistance, en particulier la résistance de l'air. La force de gravité Fg peut

être décomposée (Corollaire II) en FN selon la direction du pendule et FT

perpendiculaire à FN. FN est annulée par la tension T du fil. En effet, le

pendule est immobile dans la direction de FN.

|FT | = mg g sinΘ

FT est une force de rappel. Nous écrirons donc

FT = - mg g sinΘ

Pour de petits angles Θ (exprimés en radian), nous avons

sinΘ = Θ

et donc

FT = - mg g Θ

A partir de l'expression de l'accélération transverse at en coordonnées

polaires

at = r d2Θ

dt2

La Deuxième Loi s'écrit

mi Ld2Θ

dt2 = - mg gΘ

mi est la masse inertielle du pendule. Le mouvement est donc



Θ = Θmax cos

mg

mi gL

1/2 t

en supposant qu'à t = 0, Θ = Θmax et dΘ/dt = 0. La période est donc

T = 2 π Lg

mimg

Quelle expérience a fait Newton? Voici ce qu'il écrit dans ses "Principia".

"J'essayai avec de l'or, de l'argent, du plomb, du verre, du sable, du sel de

cuisine, du bois, de l'eau et du blé. Je pris deux boîtes de bois. Je remplis l'une

d'elle avec du bois et suspendit une quantité égale d'or (aussi exactement que je le

pus) dans le centre d'oscillation de l'autre. Les boîtes, suspendues par des fils de

11 pieds, formaient une paire de pendule parfaitement égales en poids et

dimension, et également exposés à la résistance de l'air: et, les plaçant côte-à-côte,

je les observais osciller durant un long moment, avec des vibrations égales. Et par

conséquence, la quantité de matière (c.-à-d., la masse inertielle) dans l'or était à la

quantité de matière dans le bois comme l'action de la force motrice sur l'or à l'action

de la force motrice sur le bois; c.-à-d., comme le poids de l'un à l'autre. Et par ces

expériences, dans des corps de même poids, j'aurais pu découvrir une différence

de masse inférieure à un millième du tout."

L'équivalence masse inertielle -masse gravitationnelle a été vérifiée

expérimentalement dans les temps moderne par R. von Eötvös en 1889 et

par R. H. Dicke. dans l'expérience d'Eötvös cette égalité a été vérifiée à une

précision de 10-9. La précision des expériences plus modernes, celles de

Dicke, est de 10-11 : " l'aluminium et l'or tombent vers le soleil avec la même

accélération, la différence entre elles étant inférieure à 10-11" [ Dobbs et al. Phys.

Rev. 139, B756 (1965)]

IV.3) Et la pomme de Newton?

Cette histoire était déjà connue de Voltaire aux environs de 1726 - 1729. Elle

a été rapportée par un des amis de Newton, William Stukeley. Je vous cite

en traduction son texte:



"Après dîner, …………, nous sommes allés au jardin pour boire le thé, à l'ombre des

pommiers, Newton et moi. Dans la conversation, il me fit part qu'il était dans la

même situation quand la notion de gravitation lui vint à l'esprit. Cela lui fut suggéré

par la chute d'une pomme alors qu'il était assis, pensif. Pourquoi une pomme tombe-

t-elle toujours perpendiculairement au sol, se dit-il. Pourquoi pas de côté ou vers le

haut, mais toujours vers le centre de la Terre? La raison est certainement que

la Terre l'attire. Il doit avoir une force d'attraction dans la matière ("a drawing

power in matter"). Si la matière attire la matière, cela doit être proportionnelle à la

quantité de matière. Par conséquence, la pomme attire la Terre comme la

Terre attire la pomme. Il y a une force ("power") comme celle que nous

appelons gravité, qui s'étend dans tout l'univers."

Les experts en pomologie pensent que l'espèce de pommier qui inspire

Newton est appelé "Fleur de Kent" qui donne un fruit vert et acide……… .

Et comme le note P. Ruppert Hall dans sa biographie "Isaac Newton,

Adventure in thought"* (d'où j'ai tiré l'histoire précédente), "en vérité, la chose

la plus bizarre dans la vie de Newton est le fait que l'histoire de la pomme, connue

de tout le monde, est vraie".

Le fait le plus marquant est quand même que Newton ait fait le lien entre la

pomme qui tombe et la lune qui "tombe"** également sous l'action de la

gravitation terrestre.

IV.4) En guise de conclusion

Pour conclure, je citerai Newton :

« Dans cette philosophie, on tire les propositions des phénomènes, et on les

rend ensuite générales par induction. C’est ainsi que l’impénétrabilité, la

mobilité, la force des corps, les lois du mouvement et de la gravité ont été connues.

Et il suffit que la gravité existe, qu’elle agisse, selon les lois que nous

avons exposées et qu’elle puisse expliquer tous les mouvements des

corps célestes et ceux de la mer » Newton cité dans « L’héritage occidental »

de G. Chaliand et S. Mousset (Ed. Odile Jacob , 2002)

* Edité par Cambridge University Press, 1996.

** Pourquoi écris-je que la lune tombe sur la terre ?