CHAPITRE 10
Fonctions affines – Fonctions linéaires
Objectifs:- Savoir déterminer la forme algébrique d’une fonction linéaire ou d’une fonction affine.
- Déterminer l’image et l’antécédent d’un nombre par une fonction donnée.
- Représenter graphiquement des fonctions et exploiter les graphiques.
I. Exemples de fonctions affine et linéaire
Voici les tarifs d’entrée pour un stade de football : Tarif 1 : 8€ l’entrée
Tarif 2 : 4€ l’entrée avec la carte demi-tarif qui coûte 40€1) Calculer pour chaque tarif, la dépense pour 6 entrées, 11
entrées puis 15 entrées.Dans chaque cas, quel est le tarif le plus intéressant ?
Nombre d’entrées
x Dépense avec
Tarif 1
Dépense avec Tarif 2
x = 6
48 €
64 €
88 €
x = 11 x = 15
120 €
84 € 100 €
2) Soit x le nombre d’entrées. Exprimer en fonction de x la
dépense pour la saison pour chaque tarif.
Tarif 1 : 8x
A chaque nombre x, on associe le nombre 8x.
On a définit une FONCTION LINEAIRE qu’on appelle f et on note:
f: x 8x ou f(x)= 8x
Remarques : f(x) se lit « f de x »
Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité.
Tarif 2 : 4x + 40
A chaque nombre x, on associe le nombre 4x + 40.
On a définit une FONCTION AFFINE qu’on appelle g et on note:
g: x 4x + 40 ou g(x)= 4x + 40
DéfinitionsSoient a et b deux nombres fixés
x a x + b est appelée fonction affinex a x est appelée fonction linéaire
Remarque: Une fonction linéaire est une fonction affine où b = 0.
3) a) Avec le tarif 2, calculer le prix dépensé pour 18 entrées.
Avec x = 18 on a g(18) = 4x18 + 40 = 112
Avec le tarif 2, 18 entrées coûtent 112€.
On dit que : L’ IMAGE de 18 par la fonction g est 112
b) Calculer de même : f(2), g(4), g(7) et f(10).
f(2) = 8x2 = 16 g(4) = 4x4 + 40 = 56
g(7) = 4x7 + 40 = 68 f(10) = 8x10 = 80
c) Trouver x tel que g(x) = 84. Interpréter le résultat.
g(x) = 844x + 40 = 84
4x = 44 x = 11
Avec le tarif 2, une somme de 84€ permet 11 entrées.
On dit que :
L’ ANTECEDENT de 84 par la fonction g est 11
Définition
Soit f une fonction affine ou linéaire, on a:
f: antécédent image
ou encore f(antécédent) = image
car g(x)= 4x + 40
4) a) Pour chaque tarif, représenter sur un même graphique la
dépense en fonction du nombre d’entrées.
Pour construire les représentations graphiques, on utilise le tableau de la question 1).
x entrées x = 6 x = 11 x = 15
Tarif 1 48 € 88 € 120 €
Tarif 2 64 € 84 € 100 €
Remarque : Si on ne dispose pas d’un tel tableau, il faut en construire un.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10Nombre
d’entrées
Prix en €
x entrées
x = 6 x = 11 x = 15
Tarif 1 48 € 88 € 120 €Tarif 2 64 € 84 € 100 €
Représentation de la
fonction f
Représentation de la
fonction g
Remarque : Les représentations graphiques sont des droites.
Propriétés-Toute fonction affine est représentée par une droite d’équation y = a x + b-Toute fonction linéaire est représentée par une droite passant par l’origine d’équation y = a x
Ici, f est représentée par la droite d’équation y = 8x et g par la droite d’équation y = 4x + 40.
b) Répondre en utilisant le graphique :
Dans quels cas vaut-il mieux choisir un tarif plutôt qu’un autre ?
Entre 0 et 10 entrées : le tarif 1 est plus avantageux.
Pour plus de 10 entrées : c’est le tarif 2.
x
y
O I
J
II. Lecture graphique d’images et d’antécédents
Voici la représentation graphique de la fonction f tel que f(x) = 3x – 5 dans le repère (O,I,J).
y = 3x - 5 L’image de 4 par f est
4
7
7
on a f(4) = 7
L’image de -1 par f est
-1
- 8
-8
on a f(-1) = -8
L’antécédent de 4 par f est
4
33
on a f(3) = 4
III. Détermination de la formealgébrique d’une fonction
1) Fonction linéaire
Déterminer la forme algébrique de la fonction linéaire f vérifiant : f(5) = 6
Déterminer la forme algébrique de f revient à trouver la valeur de a dans f(x) = a x .
or f(5) = 6
donc a x 5 = 6 car f(5) = a x 5
soit a = 6/5 = 1,2
Donc la forme algébrique de f est f(x) = 1,2 x
2) Fonction affine
Déterminer la forme algébrique de la fonction affine g vérifiant : f(2) = 4 et f(5) = 1
Déterminer la forme algébrique de f revient à trouver la valeur de a et la valeur de b dans f(x) = a x + b
Pour déterminer la valeur de a nous disposons de la formule suivante:
f (m) f(n)a
m n
f (2) f(5)ici a
2 5
4 12 5
3
13
Donc la forme algébrique partielle de f est f(x) = -1 x + b
Il reste à trouver la valeur de b dans f(x) = -1 x + b
or f(2) = 4
donc -1 x 2 + b = 4 car f(2) = -1 x 2 + b
soit -2 + b = 4
soit b = 4 + 2 = 6
Donc la forme algébrique de f est f(x) = -1 x + 6
ou encore f(x) = -x + 6
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