J. 6446

Y9 MATH. 1 - MI' f-('Ol,l- N 4 I IONAIE DES PONTS ET CHAUSSfhS.

! ('01,ES NA1 IONAIES SIJPG,RIHJKI-,S DE L'ARONAUTIQIJh h1 DE, I,'ESI'ACI-,, Dt: TE('HN1QUES AVANCES. DES TLCOMMI JNIC'ATIONS,

Dk,S MINhS Dh PARIS, D t S MINE,S DE, SAINI-ETIENNE, DES MINbS III= NANCY, DE,S 16I.h('OMMUNICAIlONS DE BRETAGNE

t('OLE. POLYI WHNIQIJE (FILIRE TSI)

MATHfiMAI'IQLJhS

P K 1 M 1 i-: K E fi PREUVE FILIBRE MP

(Dure de l'preuve : 3 heures)

L'emploi de la calculette est interdit.

Sujet mis la disposition du concours E.N.T.P.E. . l.es candidats sont pris de mentionner de faon apparente sur la premire page de la copie :

L'6nnonc. de cette preuve, particulire aux candidats de la.filire MP, comporte 4 pages. Si un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d'nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa corn- position en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amen prendre.

MATh'kh4ATlQUE.S I - MP.

Soit 1 le segment [O, 1 ] : une fonction relle f, dfinie sur l'intervalle 1, est continue par morceaux s'il existe une subdivision finie de 1 : O = xg < X I < x2

Ir,)] zst la partie entikre du rel rn (Irn] est un entier tel que [rn] O), dterminer, deux fonctions continues fi et f2 vrifiant les relations :

*fi(()) = fl(1) , f2(O) = f2(1) , pour tout rel x de 1, fl(x) ( hJ(X) < f2(x),

La construction claire des graphes des deux fonctions fi et f2 tient lieu de rponse.

II est admis que la conclusion prcdente est valable pour tout intervalle J, contenu dans l'intervalle 1, sans que la condition O < c < d < 1 sur ses extrmits soit ralise. En dduire : pour que la suite A = soit qui-rpartie dans 1, i l suffit que toutes les fonctions continues prenant mmes valeurs aux extrmits O et 1 de I'in- tervalie 1 appartiennent au sous-espace vectoriel FA de E.

c. G.tarn donne un entier N (N > O), soit N(J) le nombre de termes a, de la suite A qui appartiennent 2 l'intervalle J et dont les indices n sont infrieurs o u gaux N ; d- montrer que, pour que la suite A soit qui-rpartie dans 1, i l faut et il suffit que,

, NEW*, soit convergente et de limite pour tout intervalle J, la suite des rels - N( J) N

= d - c . lim - N(J) ci+. lorsque l'entier N crot vers l'infini : N+= N

3") Un critre d'aui-rpartition modulo 1 ; thorme de Bohl : tant donns une suite de rels R = (rn)nEW* et deux entier naturels k et N strictement positifs, soit C(K, k. N) le nombre complexe dfini par la relation suivante :

N C(K, k, N) = - 2 exp(2 i n k rn)

N n=l

a . Dmontrer que, si la suite R = (rn),N* est qui-rpartie modulo 1, pour tout entier k strictement positif, la limite de l'expression C(K, k, N), lorsque l'entier N croit in-

- N

dfiniment, est nulle : lim - I N - 2 N

exp(2 i x k r,) = O

b . Dmontrer rciproquement, qu'une suite de rels (rn)nEN+ est qui-rpartie modulo 1, si, pour tout entier k strictement positif, la limite, lorsque l'entier N crot vers l'infini, de i'expression C(K, k, N) est nulle.

c. Exemple : soit 8 un rel donn. Dmontrer que la suite des rels ne, nEN*, est qui-rpartie mudulo I si et seulement si le rel fl est irrationnel.

Dans les questions suivantes le rsultat classique de Cesaro est admis et peut tre utilis : si une suite relle ( Y ~ ) ~ ~ E W . + est convergente et de limite 1, la suite de terme gn-

ral - 2 x , ~ . NEN*, est conve:gznte et de limite 1. \ 1 N

I l = )

Tournez la page S.V.P.

4OO) Exemples de suite:; mi-rparties modulo 1 : Dans cette question la suite R = (rn)nEH* considre est dfinie partir d'une fonction qi relle dfinie sur la demi-droite ferme [ l , a[ : pour tout entier n (n 21) rn=cr/(n).

Soient rn, An les nombres complexes dfinis par les relations suivantes :

La fonction rp, dfinie sur la demi-droite [ l , m[, est suppose ri valeurs positives, de classe C2, concave (4" 4 O). En outre, dans un voisinage de l'infini, sa drive qi' est ngligeable devant 1 et la fonction l/t devant rp'(t) (cp'(t) = o(l), l / t = o(cp'(t))).

dn = r,+l - rn , An = exp(2inrn) ,

a. hblir que les rels dn, nEN*, sont strictement positifs et que les deux suites de

, nEM*, tendent vers O lorsque l'entier n crot vers l'infini. rels d, et - 1 d"

1 An+1 A

2in dn+l dn Soient BI, les nombres complexes dfinis par la relation : B n = - ( - - 2). II

est admis que, pour tout entier n strictement positif, l'ingalit ci-dessous a lieu : 1 1 -I +TC IdnI . I A ~ - B ~ I & I--

2~ dn+l drl b. Dmontrer, lorsque l'entier N crot vers l'infini, la convergence vers O de la suite des

N . N A n = O.

1 N N + m N rels - 2 A,, NEW* : ~ i m -

n=l n=l

c . Est-ce que la suite des rels rn = cp(n), nEM*, est qui-rpartie modulo 1 ?

5") Suites (lnU(n)),EH* : tant donn un rel cc suprieur ou gal 1 (a 2 l), soient A, la suite des rels (InQ(n)), nEM* et qcx la fonction, dfinie sur la demi-droite [ 1, "[ : xHIn"(x).

a. Pour quelles valeurs du rel a , les rsultats de la question 4 permettent d'affirmer

que la suite A,, est qui-rpartie ?

b. Soit f la fonction dfinie sur la demi-droite ]O, a[ : xHexp(2in In(x)). Dterminer une primitive de cette fonction.

c. tant donn un entier N, strictement positif, soient LN et IN les deux nombres complexes dfinis par les relations suivantes :

LN = - ' exp(2 i~~ ln (n ) ) ; IN = n=l

N

Dterminer les limites, lorsque l'entier N crot vers l'infini, du module l I ~ l de IN et de la diffrence LN - IN . Est-ce que la suite Al , dfinie ci-dessus, est qui-rpartie modulo 1 '?

FIN DU PROBLME FIN DE L'PREUVE