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NOM PRENOM
CAHIER DE COURS
DE
MATHEMATIQUES
CLASSE ...........................
PROFESSEUR.........................................
ANNEE SCOLAIRE 2010 - 2011
1
A QUOI SERVENT LES MATHEMATIQUES?
• à choisir une stratégie de calcul efficace
• à savoir remettre en cause son raisonnement
• à ne pas croire une affirmation sans l'avoir vérifiée
• à se méfier des apparences
• à contrôler chacun de ses résultats
• à réinvestir le travail des autres mathématiciens pour résoudre rapidement les problèmes
• à rechercher toujours à améliorer son travail
• à savoir trier des informations et reclasser judicieusement celles qui sont utiles
• à expliquer aux autres sa démarche de façon claire et structurée
CONSIGNES DE TRAVAIL POUR L’ANNEE SCOLAIRE
METHODES DE TRAVAIL
1. Bien apprendre les cours La régularité est la base de l'apprentissage. Inutile de vouloir résoudre un problème sans avoir appris la leçon.Vous pouvez aussi faire un carnet ou des fiches récapitulatives.
2. Refaire les exercices Cela permet d'acquérir certains automatismes face à différents types d'exercices.Cela permet d'approfondir ce qui n'a pas été compris.
3. Reprendre les devoirs corrigés Cela permet de ne pas refaire les mêmes erreurs.
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4. Rédiger une copie avec soin et clarté Séparer chaque exercice par deux lignes.Séparer chaque question d'un exercice par une ligne.Aller à la ligne à chaque étape d'une démonstration.
5. Avoir son matériel Le cahier de leçons et le cahier d’exercices sont obligatoires à chaque cours ainsi que le matériel de mathématiques (règle, compas, équerre, rapporteur, calculatrice).
6. Etre attentif durant la leçon, participer, et poser des questions si quelque chose n’est pas compris.
Il est impératif d’apprendre sa leçon avant chaque cours de mathématiques.
ATTENTION :3 oublis de cahiers ou de matériels = 1 observation3 exercices non faits ou un devoir non rendu = 1 observation3 observations = 1 retenue
EVALUATION : ●Interrogations de leçon ( l’élève n’est pas prévenu ) pour contrôler l’apprentissage du cours.●Contrôles (l’élève dispose d’une semaine pour s’organiser). ●Note d’oral, qui tient compte de la participation et de la tenue du cahier.●Devoirs faits à la maison. La qualité du travail est notée en priorité sur les résultats.
Signature des parents Signature de l’élève
3
SOMMAIRE
1) Des chiffres et des nombres
2) Droites
3) Proportionnalité avec nombres entiers
4) Comparaison de nombres décimaux
5) Symétrie axiale
6) Opérations
7) Angles
8) Division
9) Longueur – masse – durée
10) Cercle et triangles
11) Fractions
12) Quadrilatères
13) Aire
14) Volume
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OBJECTIFS
- connaître la différence entre chiffre et nombre - connaître la valeur de chaque chiffre d’un nombre décimal en fonction de son rang- connaître les différentes écritures d’un nombre:
- en toutes lettres- écriture décimale- écriture fractionnaire- écriture décomposée
- savoir passer d’une écriture à une autre
COURS
1) Lecture et écriture décimale (ou à virgule) des nombres décimaux
Pour écrire des nombres, nous utilisons les ………… chiffres arabes:
……………………………………………………………………………………………………
La position d’un chiffre indique ce qu’il représente:
Partie entièreTranche des
millionsTranche des
milliersTranche des
unités
cent
aine
s
diza
ines
unit
és
cent
aine
s
diza
ines
unit
és
cent
aine
s
diza
ines
unit
és ,
Partie décimale
dixi
èmes
cent
ièm
es
mill
ièm
es
Dans 32,68: le chiffre des dizaines est ……
le chiffre des dixièmes est ……
5
Chap 1 DES CHIFFRES ET DES NOMBRES
32,68 peut se lire de plusieurs façons différentes:
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………......................................................................................................
Zéros inutiles: On peut ajouter ou supprimer des zéros à gauche de la partie entière et à droite de la partie décimale d’un nombre sans changer ce nombre.
Exemples: ……………………………………
……………………………………
……………………………………
Un nombre entier est un nombre …………………dont la partie décimale est ………….
Exemple: …………………..
2) Ecriture fractionnaire d’un nombre décimalChaque nombre décimal peut s‘écrire sous forme fractionnaire
101
un dixième ……
............
vingt-cinq millièmes 0,025
......
......deux cent trente-cinq dixièmes …………
Exemple: une écriture fractionnaire de 45,238 est ................................
3) Décomposer un nombre décimal
On peut écrire un nombre décimal de plusieurs autres façons :
45,238 = 45210
+ + +............
............
45,238 = 45 + ……… + ……… + 0,008
45,238 = 45 +................
45,238 = 45 + 0,………
6
Ecriture
…………………
Ecriture
…………………
OBJECTIFS
• Connaître les notions de base de géométrie: point, segment, demi-droite, droite, droites sécantes, droites perpendiculaires, droites parallèles• Savoir tracer, par un point donné, la perpendiculaire à une droite donnée• Savoir tracer, par un point donné, la parallèle à une droite donnée• Reconnaître des droites parallèles, des droites perpendiculaires.• Savoir justifier que deux droites sont parallèles.• Savoir justifier que deux droites sont perpendiculaires.
COURS
I – VOCABULAIRE ET NOTATION
1) Segment
Un segment a une ...................... et est …....................des deux côtés par ses ..................Le nom d’un segment est toujours entouré …..........................., celui de sa longueur s’écrit .............................
Exemple : On note …........ le segment dont les extrémités sont les points A et B.Sa longueur est notée..........
1) Demi-droite
On note [AB) la demi-droite d'.............…............... A qui passe par B.
Le point B appartient à la demi-droite [AB) se note : …..............Le point C n'appartient pas à la demi-droite [AB) se note:............
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A
B
Chap 2 DROITES
3) Droite
Représentation et notation:Le nom d’une droite est toujours entouré ............................................
On note (AB) la ….................. qui passe par les points A et B.
Une droite est ….........................
Une droite peut être notée par une seule lettre ( la droite (d)), ou par deux points de cette droite ( la droite (AB)).
4) Points alignés
Trois points (ou plus) sont .....................lorsqu'ils appartiennent à une même droite.
Exemple:Les points A, B et C sont .............................
II - POSITION RELATIVE DE DEUX DROITES
1) Droites sécantes
a) point d’intersection
Deux droites sécantes sont deux droites qui se …..................... (c'est-à-dire qui ont un point commun).
Exemple:(d1) et (d2) sont sécantes en …......…...... est le point d'intersection de (d1) et (d2).
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(d1)
E(d2)
b) droites perpendiculaires
Deux droites perpendiculaires sont deux droites ...................................qui forment un angle...................................
on note: d ⊥d '
2) Droites parallèles
définition
Deux droites parallèles sont deux droites qui ne sont pas .....................…… Les droites (d1) et (d2) sont parallèles se note :…………………………………….
Trace la parallèle à la droite (d) qui passe par A:
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III- AVEC DES DROITES PERPENDICULAIRES : TRIANGLE RECTANGLE
Un triangle rectangle est un triangle qui a deux côtés……………………………………….. Le troisième côté s’appelle……………………………………………………………………
ABC est un triangle rectangle en A signifie que :
• les côtés ………………….. sont les deux côtés de l’angle droit
• ……… est l’hypoténuse de ce triangle
IV- PROPRIETES DES DROITES PARALLELES ET PERPENDICULAIRES
Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors ces deux droites sont parallèles entre elles.
Si on sait que : Alors on obtient que :
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.
Si on sait que : Alors on obtient que :
10
Si deux droites sont parallèles et si une droite est perpendiculaire à l'une alors elle est perpendiculaire à l'autre.
Si on sait que : Alors on obtient que :
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OBJECTIFS
- connaître la définition de deux quantités proportionnelles- reconnaître les situations qui relèvent de la proportionnalité et celles qui n’en relèvent pas - savoir compléter et construire un tableau de proportionnalité
- savoir calculer et utiliser le coefficient de proportionnalité- savoir résoudre des problèmes présentant une situation de proportionnalité en
utilisant la méthode appropriée
COURS
1) Reconnaître une situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on peut passer de l’une à l’autre en
multipliant toujours par le.................................................................... appelé coefficient de
................................................
2) Calculer le coefficient de proportionnalité
Deux quantités proportionnelles peuvent être présentées dans un tableau de proportionnalité
Quantité de nectarines (en kg) 2 3 5
Prix(en €) 6 9 15
Calcul du coefficient de proportionnalité : 6 : 2 = ....... 9 : 3 = .......... 15 : 5 =..............
Ici, le coefficient de proportionnalité correspond au …....................................................... …...............................................................................................
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Chap 3 PROPORTIONNALITE AVEC DES NOMBRES ENTIERS
3) Compléter un tableau – propriétés additive et multiplicative
ExempleUn morceau de tissu de 4 m de long est vendu 24€. Comment calculer le prix de 6 m de ce même tissu ? Avant tout, je m’assure qu’il s’agit bien d’une situation de proportionnalité
• Méthode 1 : passer par l’unité
1 m de tissu coûte ……….……………………………
…………………………………………………………..
Longueur(en m) 4 1 6
6 m de tissu coûte ………….…………………………
……….………………………………………………….
Prix(en €) 24
Méthode 2: propriété multiplicative
12 m ………………………………………………………………
……………………………………………………………………
Longueur(en m) 4 12
Prix(en €) 24
• Méthode 3: propriété additive
Si maintenant on souhaite calculer la prix de 10 m
de ce même tissu, on constate que …………………….. Longueur(en m) 4 6 10
……………………………………….……………………… ……………………………
…………………………………..
Prix(en €) 24
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Pour résoudre un problème je dois:
1) Lire l’énoncéDans l’énoncé du problème, on trouve:- la question : ce que je cherche- les données : ce que je sais
Je dois déterminer les données utiles: ce dont j’ai besoin
2) Concevoir un plan d’action
- Je cherche dans mon souvenir un problème semblable. - Je peux faire un schéma pour m’aider à visualiser la situation.- Je choisis la méthode, l’opération (ou les opérations) qui convient (conviennent).
3) Calculer
J’écris l’expression que je calcule.
4) Rédiger
Il faut répondre à la question par une phrase (sans oublier l’unité).
5) Contrôler
- Je vérifie que la réponse est vraisemblable.- Je reviens aux données initiales et je vérifie que j’ai bien répondu à la question
posée.
Exemple:
Pierre achète 3 paquets de gâteaux pour 2 euros, qu’il compte manger pour son goûter avec une boîte de limonade à 1 euro. Il achète aussi une revue à 3.20 euros que sa mère lui avait demandée.Combien a-t-il dépensé pour son goûter?
Ce que je cherche Ce que je sais Opération Réponse Vérif.
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OBJECTIFS
– Lire et compléter une graduation sur une demi-droite graduée– Placer un nombre sur une demi-droite graduée– Lire l’abscisse d’un point ou en donner un encadrement– Comparer deux nombres décimaux, ranger une liste de nombres– Encadrer un nombre, intercaler un nombre entre deux autres– Donner la valeur approchée décimale (par excès ou par défaut) d’un décimal à
l’unité, au dixième, au centième près– Donner l’arrondi d’un nombre.
COURS
1) Droite graduée
Sur une droite graduée, on repère chaque point par un nombre qui s’appelle l’…………….. de ce point.
C A B
0 1 2 3 4 5
A a pour abscisse 3 on écrit A( 3 )
B a pour abscisse …… on écrit B(……)
C a pour abscisse …… on écrit C(……)
Le point C s’appelle l’……………… … de la droite graduée.
2) Comparer des nombres
Comparer deux nombres, c’est dire lequel est le ………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
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Chap 4 COMPARAISON DE NOMBRES DECIMAUX
< signifie « est plus …………... que » > signifie « est plus ………...… que »
Exemples : ………………………………………… …………………………………………
Classer les nombres par ordre croissant, c’est les ranger …...........................................…
…………………………………........................................................................................................................
Exemple : ……………………………………………………………
Classer des nombres par ordre décroissant, c’est les ranger ………………………………...
…………………………………………………………………………………………………………
Exemple: ……………………………………………………………
3) Valeurs approchées et encadrement
Une valeur approchée d’un nombre est une valeur qui est « proche » de ce nombre. Plus on donne de décimales et plus la précision est grande.
Exemples :Les valeurs approchées à l’unité près de 62,378 sont 62 et ………
Les valeurs approchées au dixième près de 62,378 sont ……… et ………
Les valeurs approchées au centième près de 62,378 sont ……… et ………
Encadrer un nombre, c’est trouver un nombre plus ………… ................que lui et un
nombre plus ………… ........................... que lui.
Exemple : ………… < 62,378 <…………
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Valeurs approchées par ……………
Valeurs approchées par ……………
Donner un encadrement au dixième près signifie que les nombres qui encadrent sont
éloignés de …………………………...
Exemple :L’encadrement au dixième de 62,378 est ……… <62,378 < ……… car ……... - ……... = ……
L’arrondi à l’unité près d’un nombre décimal est le nombre entier le plus proche de ce nombre.Par convention, si la partie décimale d’un nombre est.,5; l’arrondi à l’unité de ce nombre est l’entier qui le suit.
Exemples: L’arrondi à l’unité de 11,2 est ……… et de 11,86 est..........…
L’arrondi à l’unité de 11,5 est………
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OBJECTFS
• Connaître la définition du milieu d'un segment • Connaître la définition de deux figures symétriques par rapport à une droite• Savoir tracer le symétrique d’un point par rapport à une droite de deux façons différentes: - à l’équerre et à la règle graduée (ou à l’équerre et au compas) - avec le compas seul• Savoir tracer le symétrique d’une figure par rapport à une droite• Connaître les propriétés de la symétrie axiale concernant les droites et les longueurs, savoir les utiliser• Connaître la définition et la propriété de la médiatrice d’un segment, savoir la tracer en utilisant différentes méthodes• Savoir reconnaître et tracer un axe de symétrie d’une figure
COURS
I- VOCABULAIRE ET NOTATION
1) Milieu d’un segment
Le milieu d’un segment est un ….........………… qui partage ce segment en …….... segments de même ............................................................
Si M est le milieu du segment [AB] alors ………………… = ........................
Si AM = MB et si les points A, B, M sont alignés alors M est ……………………….
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A
B
M
Chap 5 SYMETRIE PAR RAPPORT A UNE DROITE
2) Médiatrice
Définition: La médiatrice d’un segment est la droite:•qui est ….......................... à ce segment•et qui passe par le …...................... de ce segment.
Propriété : Pour tout point M de la médiatrice de [AB] on a : ….... = …........
On dit que les points de la médiatrice d'un segment sont équidistants des extrémités de ce segment.
Construction de la médiatrice d'un segment
Avec une règle graduée et une équerre: on place le …................. du segment, puis on trace la ….............................. passant par ce milieu.
Avec le compas:on trace deux arcs de cercle de même …................, l'un de centre A, l'autre de centre ….....
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II – SYMETRIE AXIALE
1) Symétrique d’une figure par rapport à une droite.
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si les deux figures se ......................... par pliage le long de cette droite.
En utilisant du papier calque ou une feuille blanche, tracer une figure, plier la feuille et, par transparence, décalquer son symétrique. Coller la feuille ci-dessous.Réaliser trois figures avec des axes différents.
2) Définition
Le point A’ est le symétrique du point A par rapport à la droite (d) signifie que la droite (d ) est........................... ……………........... du segment[AA'].
La droite (d) est l’axe de symétrie de la figure.
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3) Construction
Avec l'équerre et le compas:par A, on trace la perpendiculaire à (d); elle coupe (d) en I; on trace un arc de cercle de centre I et de rayon IA; il coupe (AI) en A'.
Avec le compas:on choisit deux points M et N sur (d); on trace un arc de cercle de centre M et de rayon MA, puis un arc de cercle de centre N et de rayon NA; ils se coupent en A'.
4) Propriétés
a. Cas particulier :
Tous les points situés sur la droite (d) sont leurs propres ………………… …..par rapport à la droite (d). On dit qu’ils sont ………………...
Exemple: Le symétrique du point A par rapport à la droite (d) est …...... lui-même. b. Droites
Le symétrique d’une droite par rapport à une droite est une droite
Si (d1) et (d) sont …………… … alors (d2) passe par le ……………………………................. …....................... de ces deux droites
Si (d1) et (d) sont ……………………. alors (d1) est ………………………………………………
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Remarque :●Si deux droites sont perpendiculaires alors leurs ………………………………… par rapport à une droite sont aussi ………………………………●Si deux droites sont parallèles alors leurs ………………………………… par rapport à une droite sont aussi ………………………………
c. Segment
Le symétrique d’un segment par rapport à une droite est un segment de même ……………………………………… Exemple :AB = A'B'
La symétrie conserve le milieu Exemple : Si M est le milieu de [AB] alors son symétrique M' est le ….............. de [A'B']
5) Axe de symétrie
Une droite est un axe de symétrie pour une figure si cette figure est ……………………………………………………………………par rapport à cette ……………………..
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OBJECTIFS
Connaître les tables d’addition et de multiplication. Savoir effectuer les opérations de différentes manières: - calcul mental, en ligne - calcul posé
- utilisation d’une calculatrice.• Connaître le vocabulaire: somme, différence, produit, terme, facteur.• Choisir les opérations qui conviennent pour résoudre un problème.• Multiplier un nombre par 10 ;100 ;1000 et par 0,1 ; 0,01 ; 0,001.• Savoir donner un ordre de grandeur d’une somme, d'une différence ou d' un
produit.
COURS
I. ADDITION – SOUSTRACTION.
Addition
¤ Effectuer l’addition de deux nombres, c’est calculer la ….............. de ces deux nombres.¤ Chacun des nombres que l’on additionne est appelé un …........... de la somme.
Exemple : Calcul de la somme 51,6 + 89,75 = ?
Les termes sont …..........................
Soustraction
¤ Effectuer la soustraction de deux nombres, c’est calculer la …............ de ces deux nombres.¤ Chacun des nombres que l’on soustrait est appelé un ….................. de la différence.
Exemple : Calcul de la différence 141,35 – 51,6 = ?
Les termes sont …............................
¤ On peut calculer une addition:
- on calcule d'abord un ordre de grandeur
50 + 90 = …........
¤ On peut calculer une soustraction:
- on calcule d'abord un ordre de grandeur
140 – 50 = …..............
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Chap 6 OPERATIONS AVEC LES NOMBRES DECIMAUX
- en ligne : on additionne les chiffres de même rang sans oublier les retenues
51,6 + 89,75 = ….................
- à la main : on pose l’addition en alignant bien les virgules
5 1 , 6 + 8 9 , 7 5 …...........
on contrôle en comparant avec l’ordre de grandeur.
¤ pour le calcul de la somme de plusieurs nombres, on peut changer l’ordre des termes pour obtenir un calcul plus simple
A = 18,4 + 13 + 1,6 + 47 A = 18,4 + ….... + 13 + …...... A = …...... + …....... A = ….........
- en ligne: on soustrait les chiffres de même rang sans oublier les retenues
141,35 – 51,6 = …............
- à la main : on pose la soustraction en alignant bien les virgules
1 4 1 , 3 5 - 5 11, 6 …..........
on contrôle en comparant avec l’ordre de grandeur
¤ pour le calcul d’une différence, on ne peut pas changer l’ordre des termes
100−48≠48−100
Exemple: Kevin a 27,45 € dans sa tirelire. Il dit: « J’ai 5,80 € de moins que Julie et 75 centimes de plus que Théo.» De quelle somme Julie et Théo disposent-ils?
II. MULTIPLICATION.
1) Définitions
Effectuer la multiplication de deux nombres, c’est calculer le ........................ de ces deux nombres.Chacun des nombres que l’on multiplie est appelé un ........................................ du produit.
Exemple : 5,64 x 2,7 est un ...............................
5,64 et 2,7 sont les ................................... du produit.
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2) Ordre de grandeur Un ordre de grandeur de 5,64 x 2,7 est : 5 x 3 = …..........
3)Calcul : 5, 6 4
x 2,7 3 chiffres après la virgule
…........... …............ on décale
…............. on place la virgule en gardant trois chiffres après
4) Propriétés Lors du calcul d’un produit de plusieurs facteurs, on peut :
a) changer l’ordre des facteurs 2×6,3 = …........ 6,3×2 = ….........
b) regrouper différemment les facteurs 6×2×5 = 6×2×5 6×2×5 = 6×2×5 = …............... = …................... = …............ = …...................
5) Multiplier par 10; 100; 1 000 et par 0,1; 0,01; 0,001
Quand on multiplie un nombre décimal :
● par 10, 100, 1000,…. on décale la virgule de 1 rang, 2 rangs, 3 rangs, …. vers la droite.
14,52×10 = .............. 3,7×100 = ................
● par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; …. on décale la virgule de 1 rang, 2 rangs, 3 rangs, ….. vers la gauche.
243,1×0,1 = ................ 15,8×0,001 = ................
Exemple : Dans la classe, quatorze élèves se sont inscrits au concours de maths « Bombyx ». La participation demandée à chacun est de 1,20 €. Quelle est la somme récoltée par le professeur pour l'inscription des quatorze élèves ?
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OBJECTIFS
– Savoir nommer et reconnaître un angle– Connaître les angles particuliers– Savoir mesurer un angle– Savoir reproduire un angle avec le rapporteur ou le compas– Savoir construire la bissectrice d'un angle– Savoir utiliser la propriété de la bissectrice d'un angle pour calculer la mesure
d'un angle– Savoir trouver la bissectrice d'un angle à l'aide de mesures
COURS
I- DÉFINITION ET NOTATION
Un angle est défini par deux ..................................................... . Le point d’intersection de ces deux demi-droites est le ......................................... de l’angle.
Cet angle a : deux côtés les deux demi-droites .....................un ....................... O : le point d’intersection des demi-droites
Il se nomme : ...........
II – MESURER- REPRODUIRE
1) MesurerLe degré est l’unité habituellement utilisée pour mesurer un angle. On la note °
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1)On place le centre du rapporteur sur le sommet de l'angle.2)On fait coïncider le côté du rapporteur avec un côté de l'angle.3)On lit la mesure qui coïncide avec le deuxième côté de l'angle.
Chap 7 ANGLES
2) Reproduire
a) Avec le rapporteur
On veut tracer un angle xOy qui mesure 60°.
On commence par tracer une demi-droite [Ox), puison place son rapporteur comme indiqué ci-contre.
b) Avec le compas.
On veut reproduire un angle zAt de même mesure que l'angle xOy .On trace une demi-droite [Az)
On trace un arc de cercle de centre O qui coupe les côtés de l'angle en E et F
On trace un arc de cercle de centre A et de même rayon que le précédent qui coupe la demi-droite en G
On mesure avec le compas la longueur EF On trace un arc de cercle de centre G et de rayon [EF]. Ces deux arcs de cercle se coupent en H.
On trace la demi-droite [AH)
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III- ANGLES PARTICULIERS
Angle nulSa mesure est de .................
Angle ......................Sa mesure est comprise entre ...... et .........
Angle .......Sa mesure est égale à .............
Angle .................Sa mesure est comprise entre ........ et ..........
Angle .........Sa mesure est égale à ............
IV – ANGLES ET SYMETRIE
Le symétrique d’un angle par rapport à une droite est un angle de .....................................................................
V – BISSECTRICE D'UN ANGLE
La bissectrice d’un angle est l’........................................................................... de cet angle.
Propriété : La bissectrice d'un angle est une demi-droite qui partage un angle en deux angles de même mesure.
Construction
On trace un arc de cercle de centre O qui coupe les côtés de l'angle en A et B.
Par les points A et B on trace deux arcs de cercle de même rayon qui se coupent en H. La bissectrice de l'angle est la demi-droite [OH).
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OBJECTIFS
• division de nombres entiers (ou division euclidienne) : calculer le quotient et le reste
• vocabulaire : quotient, diviseur, dividende, reste• connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 4, 5, 3 et 9• division décimale : calculer une valeur approchée décimale du quotient de deux
entiers ou d’un décimal par un entier• diviser par 10, 100 , 1000• reconnaître les problèmes pouvant être traités par une division euclidienne ou
par une division décimale et interpréter les résultats
COURS
1) Division euclidienneEffectuer une division euclidienne, c’est trouver deux nombres entiers : le ............................................. et le .....................................
1 237 = 51 x …….+……… et ……. < 51
dividende = diviseur x quotient + reste
et le reste est toujours ...................................... au diviseur
Remarque: on ne peut pas diviser par ......................
Exemple : On veut ranger 278 livres dans des cartons qui peuvent contenir 7 livres chacun. Combien de cartons peut-on remplir ? Combien reste-t-il de livres ?
29
1 2 3 7 5 1
Chap 8 DIVISION
2) Critères de divisibilité
Définition:Si le reste de la division euclidienne d’un entier a par un entier b non nul est zéro, alors on dit que: a est un .......................................... de b, ou a est ......................................... par b, ou b est un ........................................... de a
Exemple : 9 0 5 90 est un multiple de …....... - 5 1 8 90 est ….......................... par 5 4 0 5 est un diviseur de …......... - 4 0 0
Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est: ............................
Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est : .........................
Un nombre entier est divisible par 3 si ..............................................................................
est un multiple de 3 .
Un nombre entier est divisible par 9 si ..............................................................................
est un multiple de 9 .
Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses …..........................
.................................................................................................................... est un multiple de 4 .
Exemples : …...... est divisible par 2 …...... est divisible par 5 …...... est divisible par 3 …...... est divisible par 9 …...... est divisible par 4 …...... est divisible par 1
3) Quotient de deux nombres
Le nombre qui vérifie l’égalité 42 x = 105 est appelé le quotient de 105 par 42Dans notre exemple: 42 x .............. = 105
Notation: On écrit ................. = 105: 42 ou ................. = 10542
30
2 9 4 3 5
La division s’arrête (le reste est nul)
…… est la valeur … ...................... …. du
quotient de 294 par 35
On écrit : = ……….
2 5
On a arrêté la division (le reste est non nul)
……… est une valeur ........................... ….
du quotient .............................. avec …….
chiffres après la virgule, mais en continuant,
on pourrait avoir une précision plus grande.
Dans ce cas, le quotient exact s’écrit: -------
Calcul du quotient :
1 2 , 5 5 Le dividende est un nombre à virgule. Quand j'arrive à la virgule du dividende, j'écris une virgule au quotient !
Exemple : 8 sacs pèsent 276,5 kg. Quel est le poids d'un sac ?
4) Division par 10 ; 100 ; 1000
Pour diviser par 10 ; 100 ou 1000, on ………………………………………….…………………
…………………………………………………………………………………………………………
Ex: 125,3 : 100 = ………
Remarque: Cela revient à ……………………………………………………………………….
31
6
OBJECTIFS
– Savoir exprimer la mesure d'une grandeur à l'aide de différentes unités– Savoir effectuer des opérations de durée– Savoir calculer le périmètre d'un polygone
COURS
1.Grandeurs et mesures.
Ce qui peut être mesuré s’appelle une …............... Quand on effectue une mesure, on n’obtient pas une valeur …................... mais une valeur …....................
Exemples : a) La mesure d’un segment s’appelle sa …......................L’unité de longueur est le …..............
Autres unités :
km hm dam m dm cm mm 1 000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
Exemple de conversion d’unité : 4,8 hm = 4,8 x ..................m = ................ m
15 cm = 15 x .................. m = ................ m
b) La mesure d’une quantité de matière est la ….............L’unité de masse est le …..................
Autres unités : kg hg dag g dg cg mg 1 000 g 100 g 10 g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g
Il existe aussi la tonne : 1 t = 1 000 kg ; le quintal : 1 q = 100 kg
32
Chap 9 LONGUEUR , MASSE , DUREE
c) La durée est la mesure du temps entre deux instants.L’ unité de durée est la …................
Autres unités : la minute l’heure le jour 1 min = 60 s 1 h = 60 min = 3 600 s 1 jour = 24 h
Pour calculer avec des grandeurs, il faut qu’elles soient exprimées dans la même unité.
Exemples : 2 cm + 5 mm = ................ mm + 5 mm = ............... mm 1 h – 40 min = ................. min – 40 min = ............ min
2. Périmètre
Le périmètre d’une figure est la ....................................................................de cette figure.
Le périmètre d’un polygone est ..............................................de ses côtés.
Exemple : calcule le périmètre de la figure ci-dessous
P = ......................................................................................................................... P = ..........................
Vocabulaire :
k kilo d déci
h hecto c centi
da déca m milli
33
4 cm
1 cm2 cm
3 cm
5,5 cm
6 cm
4,5 cm2,5 cm
OBJECTIFS
– connaître le vocabulaire du cercle et savoir l'utiliser– calculer le périmètre d'un cercle– construire le symétrique d'un cercle– connaître le vocabulaire relatif au triangle– construire un triangle connaissant:
- trois côtés - deux côtés et un angle - deux angles et un côté
– reconnaître la nature d'un triangle– connaître et savoir utiliser les propriétés des triangles particuliers
COURS
I – CERCLE
1) Définition et vocabulaire
Un cercle est un ensemble de points situés à ........................................... d’un point donné.Ce point s‘appelle le ..................... du cercle.La distance s’appelle le ..............................Une ............................. est un segment qui a pour extrémités deux points du cercle . Un diamètre est une .............................. qui passe par le .......................................... du cercle.Deux points sont .................................................... si le segment formé par ces deux points est un diamètre du cercle.
O est le ........................... du cercle
[OC] est un .......................... du cercle
[HI] est un ................................ du cercle
[AL] est une .............................
Les points H et I sont.............................................. opposés
34
O
L
C
H
I
A
Chap 10 CERCLES ET TRIANGLES
2) Propriétés
●Si OA = OB = OC alors les points A, B et C sont situés sur ............................................. de centre O et de rayon OA
●Si [AB] est un diamètre du cercle centre O alors AB = ...............................
●Deux cercles symétriques par rapport à une droite ont le ........................................ et leur centre sont .................................................. par rapport à cette droite.
●Un cercle a une ...................................................... d’axes de symétrie
3) Périmètre d’un cercle
Le périmètre d’un cercle est égal à ….............................
r est le rayon du cercle, d le diamètre du cercle π se lit « pi » c'est un nombre dont on ne peut pas donner une valeur exacte à l'aide d'un nombre décimal
Exemples: 1. calculer le périmètre d'un cercle de rayon 3 cm
2. calculer le périmètre d'un cercle de diamètre 5 cm
II – TRIANGLES
1) Vocabulaire, notationUn triangle a trois sommets Dans le triangle ABC le côté [BC] est le côté opposé au ..........................................et le côté ................................. à l’angle BAC .
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2) ConstruireComment construire un triangle connaissant la longueur de ses 3 côtés ? On utilise le compas
Construire le triangle PAS tel que PA = 5cm, PS = 7 cm et AS = 4 cm
III – TRIANGLES PARTICULIERS
1 – Triangle isocèle
DéfinitionUn triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même .......................................
ABC est un triangle de sommet principal A ou isocèle en A cela signifie que: .............. = ....................la base est ......................
Axe de symétrieUn triangle isocèle admet un axe de symétrie qui est à la fois , la .................................. de la base, et la .......................................... de l’angle au sommet principal.
AnglesDans un triangle isocèle les deux angles à la base ont la même ...........................................
36
2 - Triangle équilatéral
Définition
Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses côtés de même........................................
Axes de symétrie
Un triangle équilatéral a …........ axes de symétrie qui sont les …....................... des côtés et les …............................... des angles.
AnglesDans un triangle équilatéral les trois angles ont la même mesure 60°
37
OBJECTIFS
- connaître le vocabulaire relatif aux fractions - placer une fraction sur une demi-droite graduée - savoir déterminer une fraction égale à une fraction donnée - savoir calculer une fraction d'un nombre - savoir calculer un pourcentage
COURS
1.Partage.
Représenter la fraction 83 sur la figure ci-dessous :
2.Demi-droite graduée
L'abscisse d'un point peut-être donné sous forme fractionnaire :
3.Définition
La solution de l’opération à trou : 4 x ….. = 12 est 412 = 12÷4 = 3.
En effet : 4 x 3 = 12.
Le quotient de a par b est le nombre qui, .............................................. par b, donne a.
Ce quotient se note a÷b , ou ba .
38
Chap 11 FRACTIONS
0 1 2
C D
Exemples : 318 = 18÷3 = 6 un quotient peut être un nombre .............................
27 = 7÷2 = 3,5 un quotient peut être un nombre ............................. .
310 = 10÷3 10÷3≃3,3333333...
3,33 est une valeur ...........................................; 310 est la valeur..............................................
Dans le quotient ba , le nombre a est appelé le ................................................................
et le nombre b le ..........................................................
Exemple: Pour le quotient 45,2 , le numérateur est …...... et le dénominateur est …......
Une fraction est un quotient de deux nombres ..............................................
Exemple: 53 est une fraction, mais 8
7,2 n’est pas une fraction.
On lit: 25 « cinq demis» ; 3
2 « deux tiers »; 85 « cinq huitièmes »
4.Fractions égales
Exemples : 65= .......×...............×........
= .........10
on a simplifié la fraction par ….........
5. Multiplier par une fraction.
Pour multiplier un nombre par une fraction, on peut :a) calculer le quotient d'abord :
exemple 200× 45 =200 x ..................... = ......................................
b) diviser le nombre en premier
exemple 200× 45 = 5
200 x ............... = ................ x 4 = ....................
c) multiplier d'abord
39
Une fraction ne change pas si on multiplie, ou si on divise, son numérateur et son dénominateur par un................................................... non nul.
3514
= .......÷...............÷........
= 5.........
exemple 200× 45 =
........×..........................
= .........................
=...............
Prendre une fraction d’un nombre revient à multiplier ce nombre par cette fraction.
Exemple : Dans un collège, 53 des 435 élèves sont des filles.
Le nombre de filles est :
6.Pourcentage
Calculer a% d'un nombre c'est multiplier ce nombre par a100 ou multiplier ce
nombre par a÷100
Exemple : calculer 15% de 325
325 x ...................... =
7. Fractions et proportionnalité
4 avocats coûtent 3 €, combien coûtent 5 avocats ?
Nombre d'avocats 4 5
Prix en € 3
40
OBJECTIFS
- connaître la définition et le vocabulaire du rectangle, du losange et du carré- connaître et savoir utiliser les propriétés de ces quadrilatères- savoir tracer ces figures en respectant les consignes
COURS
I – QUADRILATERES
Un quadrilatère est une figure à .......................... côtés.Pour le nommer on tourne dans le même .........................., on ne croise jamais les ........................
ABCD est un quadrilatère
A, B, C et D sont ses ........................
A et C sont des sommets................................ ainsi que B et D
[AB] et [CD] sont des côtés.......................... ainsi que [AD] et [BC]
[DB] et [AC] sont les ..................................
A et B sont des sommets................................ ainsi que B et C ; C et D ; D et A.
[AB] et [BC] sont des côtés ......................... ..................................................... ainsi que [BC] et [CD] ; [CD] et [AD] ; [AD] et [AB].
41
C
D
A
B
Chap 12 QUADRILATERES
II – RECTANGLE
Définition
Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles ......................................
Exemple :DABC est un ...............................................
Propriétés
Un rectangle a ........................ axes de symétrie, les ...................................... des côtés.
Un rectangle a ses côtés .............................. parallèles et de même ....................................
Exemple:............... // ................ et ............. // ...............AB = ................. et ...................... = BC
Un rectangle a ses diagonales qui se coupent en leur ............................................... et qui ont la même ...........................................
Exemple:AC = BD et OA = OB = OC = OD
42
A B
D C
A B
D C
O
III - LOSANGE
DéfinitionUn losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même .................................
Exemple :CDAB est un losange:AD = ................... = ..................... = ..................
Propriétés
Un losange a ......................... axes de symétries, ses diagonalesExemple : .................... et ........................
Un losange a ses côtés opposés.....................Exemple :(AD) // ................... et (AB) // .......................
Un losange a ses diagonales qui se coupent en leur ................................................ et qui sont ...........................................................Exemple : OA = OC et OB = OD
Un losange a ses angles................................... de même mesure
43
D B
C
A
D B
C
A
IV – CARRE
DéfinitionUn carré est à la fois un................................ et un ......................................: il a quatre angles .................................... ( rectangle) et il a quatre côté de....................................... .............................................( losange)
PropriétésIl a toutes les propriétés du .................................. et toutes les propriétés du ...................................
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C
B
D
A
OBJECTIFS
- savoir calculer une aire par comptage d'une unité- connaître les unités d'aire et être capable de les convertir- connaître les formules donnant l'aire d'un rectangle, d'un carré et d'un triangle rectangle .- connaître et utiliser la formule donnant l'aire d'un disque.
COURS
I – NOTION D’AIRE
Définition
Une unité étant choisie, l’aire d’une figure est le nombre qui mesure la surface de cette figure.
II – UNITES D’AIRE
Tableau
km² hm² ou ha dam² ou a m² ou ca dm² cm² mm²
1 m² = 100 dm² 30,5 dam² = ............. dm²8,2 dm² = 820 .................... 5 cm² = ....................... m²
45
Chap13 AIRE
III – FORMULES D’AIRES USUELLES
Aire d'un disque :
On multiplie le rayon par lui-même et on multiplie par le nombre π:
A = π × r × r
Exemple : Calculer l'aire d'un disque de rayon 5 cm :
A = …..................
46
OBJECTIFS:
– reconnaître un parallélépipède rectangle et un cube – connaître le vocabulaire approprié- dessiner et fabriquer un patron de ces figures- lire et dessiner des figures en perspective- calculer un volume en dénombrant des unités et en utilisant une formule- convertir les unités de volume – connaître l’équivalence en unité de capacité.
COURS
1) Description
Un parallélépipède rectangle, ou pavé droit, est un solide dont les six faces sont des ………………...
Un parallélépipède rectangle possède … sommets et …. arêtes.
Un parallélépipède rectangle a trois dimensions: sa longueur L, sa …………….. l et sa hauteur h
Un cube est un solide dont les six faces sont des ……………………..
Un cube est un parallélépipède rectangle particulier.
Les 12 arêtes d’un cube ont la même ………………..
47
chap 14 PARALLELEPIPEDE RECTANGLE
2) Patron
Un patron est un dessin qui permet après découpage et pliage de fabriquer un solide.
3) Représentation en perspective
Pour représenter un parallélépipède rectangle en perspective cavalière:
- on représente les arêtes parallèles dans la réalité par des segments parallèles
- on représente les faces avant et arrière par des rectangles en vraie grandeur
- on réduit les dimensions des arêtes fuyantes
- on représente les arêtes cachées en pointillés.
Attention: Sur le parallélépipède rectangle page précédente, les arêtes [EF] et [EH] sont perpendiculaires!
Et sur le cube, les arêtes [AB] et [BC] ont la même longueur
4) Volume
On appelle «volume d’un solide » le nombre de cubes (dont les arêtes mesurent 1 unité de longueur) nécessaire pour le remplir complètement:
- Chaque petit cube mesure 1 cm de côté, on dit que son volume est un centimètre cube ( 1 cm3 )
- Pour remplir ce pavé droit, il faudrait ……. cubes de ce type. On dit que son volume est …….. cm3.
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Unités de volume:
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
1 0 0 0
1 dm3 = ………… cm3
Lien avec les unités de contenance : un litre = un décimètre cube (1 L = 1 dm3)
hL daL L dL cL mL
Exemple : Convertis 40 m3 en litres
40 m3= ............ dm3= . ................... L
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Volume du pavé droit : V = L x l x h
avec L : longueur; l : largeur et h : hauteur
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