BCM20329: Introduction au génie biochimique
Croissance cellulaire #1
A. Garnier, Génie chimique
Croissance cellulaire – courbe typique en cuvée
Temps
Con
cent
rati
on
Substrat (S)
Biomasse (X)
Produit (P)late
nce exponentielle plateau déclin
tL
Croissance cellulaire - variables
X S P
Taux de variation
(kg/(m3.s)
dX/dt dS/dt dP/dt
Taux de production /consommation
rx rs rp
Taux spécifique
(kg/(kg.s)
= rx/X qs= -rs/X qp= rP/X
Rendement (kg/kg) Yx/s = rx/rs = /qs
Yp/x, Yp/s
Mode d’opération
Système fermé: cuvée (batch)
•Aucune entrée ou sortie
•Régime transitoire
•dX/dt = rX, dS/dt = rS
•À t = 0, X = X0, S = S0
•Yx/s= cst
Croissance cellulaire –type de modèles
STRUCTURÉ/
SÉGRÉGÉ
NON-STRUCTURÉ
STRUCTURÉ
NON-SÉGRÉGÉ
+ simple
SÉGRÉGÉ
Structuré: Tient compte de métabolites intra-cellulairesSégrégé: Tient compte d’une distribution de population
Modèles de croissance
Du plus simple au plus compliqué– Exponentiel (ordre 0!!)– Linéaire (logistique)– Monod– Autres
Phénomènes connexes– Maintenance– Mortalité
Production– Luedeking-Piret combiné aux différents modèles
Ordre 0: Croissance exponentielle
XVrVdt
dXV X Où = cste
Solution:teXX
0
Jusqu’à XMAX = X0 + YX/S*S0!!
X XX
)(0
0
LtteXX
XX
Avec latence:
Pour t < tL
Pour t ≥ tL
Croissance exponentielle
Croissance exponentielle
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
temps (-)
X (
-)
Croissance exponentielle
Croissance exponentielle
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5 6
temps (-)
ln(X
) (-
)
Croissance exponentielle avec latence
Croissance exponentielle avec latence
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
temps (-)
X (
-)
Croissance exponentielle avec latence
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5 6
temps (-)
ln(X
) (-
)
Modèle linéaire – courbe logistique
Si Yx/s est constant:
(X-Xo) = Yx/s (So-S)
(XMAX-Xo) = Yx/s * So
On propose alors:
S 1/(Yx/s) * (Xmax – X) (1-X/Xmax)
} Xmax-X = Yx/s * S
Modèle logistique (courbe en S)
= k*(1-X/Xmax) dX/dt = k*(1-X/Xmax)*X Solution:
– Sachant que:
– On obtient:
dtkdXXXX
X
)( max
max
a
xax
xax
)ln(ln
)(
1
ktX
XXXX
X
XMAX
MAXMAX
0
)ln(ln*
Modèle logistique (suite)
kt
XX
XX
MAX
o
MAX
1
1ln
kt
XX
X
X
MAX
0
1
1ln
ktXX
XX
XMAX
0)(
ln
0
ln ln( )X
MAX XX X X kt
Modèle logistique (suite)
kt
XX
XX
MAX
o
MAX
1
1ln
kt
o
MAX
MAX
e
XX
XX
11
)1(11 0
0
kt
MAX
kt
kt
o
MAX
ktMAX
eXX
eX
eXX
eXX Croissance exponentielle
Pondérée
Finalement:
Modèle logistique (suite)
dX/dt = 0 à X = 0 etX= Xmax
Point d’inflexion (d2X/dt2 = 0) à Xmax/2
Ne nécessite pas de connaissance de S, Yx/s, etc
)1(11 0
0
kt
MAX
kt
kt
o
MAX
ktMAX
eXX
eX
eXX
eXX
Fonction logistique
00,20,40,60,8
1
0 1 2 3 4 5 6
temps (-)
X (-)
Modèle logistique (suite)
Estimation des paramètres:
)(
ln)(
ln0
0
XX
Xkt
XX
X
MAXMAX
Fonction logistique
-3
-1
1
3
0 1 2 3 4 5 6
temps (-)
ln(X
/(X
max
-X))
(-)
k
Y = mx + b
Modèle logistique (suite)
Calcul de dX/dt: dX/dt = k*(1-X/Xmax)*X
où:
)1(11 0
0
kt
MAX
kt
kt
o
MAX
ktMAX
eXX
eX
eXX
eXX
Fonction logistique
0
0,1
0,2
0,3
0 1 2 3 4 5 6
temps (-)
dX/d
t (-)
Modèle enzymatique - Monod
SK
S
S
MAX
Xdt
dX
/s
X S
dSq X XYdt
-Une variable indépendante, 3 variables dépendantes, trois équations = Une solution!
(1)
(2)
(3)
Modèle de Monod
Équation 3 n’est peut-être pas nécessaire:
/ / /
1 1
x s x s x s
dS dX dXX
dt Y Y dt Y dt
Xmax-X = Yx/s * S
Alors:
X
XXY
K
XXY
dt
dX
MAXSX
S
MAXSX
MAX
)(
1
)(1
/
/
X
XXYK
XX
MAXSXS
MAXMAX
)(
)(
/
Modèle de Monod
XXXYK
XX
dt
dX
MAXSXS
MAXMAX
)(
)(
/
t
MAX
X
XMAX
MAXSXS dtdXXXX
XXYK0
/
0 )(
)(
t
MAX
X
XMAX
MAX
MAX
SXS dtdXXXX
XX
XXX
YK0
/
0 )(
)(
)(
Modèle de Monod
t
MAX
X
XMAX
SXS dtdXXXXX
YK0
/
0
1
)(
a
xax
xax
)ln(ln
)(
1
Sachant que:
tXX
XXXYK MAX
X
XMAX
MAXSXS
0
)ln()ln(ln
/
tXX
XX
X
YK
X
X
X
XYKMAX
MAX
MAX
MAX
SXS
MAX
MAXSXS
)(
)(lnln
0
/
0
/
Modèle de Monod
tXX
XX
X
YK
X
X
X
XYKMAX
MAX
MAX
MAX
SXS
MAX
MAXSXS
)(
)(lnln
0
/
0
/
Modèle de Monod
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8
temps (-)
X (
-)
0
4
8
12
16
20
24
S (
-)S = (Xmax-X)/Yx/s
Données
max= 1
Ks= 5
Yx/s= 0,5
So= 20
Xo= 0,1
Monod – estimation des paramètres
Avec des données de S et , on peut calculer max et Ks par la méthode de double réciproque (Lineweaver-Burke)
Modèle de Monod -X vs S
0
2
4
6
8
10
12
0 5 10 15 20
S (-)
X (
-)ouAvec des données de t, X, S, on peut calculer, Yx/s par un graphe de X vs S:
Ici, Yx/s = 0,5
Monod – estimation des paramètres
Puis on peut reformuler l’équation de X pour isoler des termes reliés linéairement:
tXX
XX
X
YK
X
X
X
XYKMAX
MAX
MAX
MAX
SXS
MAX
MAXSXS
)(
)(lnln
0
/
0
/
÷t÷t
t
XX
XXXX
X
YK
t
XX
MAX
MAX
MAX
SXSMAX
00/0
ln)()(
lnln
Y = b + m X
Monod – estimation des paramètres
t
XX
0
ln
t
XX
XXXX
MAX
MAX
00
ln)()(
ln
Modèle de Monod - Estimation des paramètres
y = 0,2475x + 1
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
-1,9 -1,7 -1,5 -1,3 -1,1 -0,9 -0,7 -0,5
max = 1
m = 0,2475 = Ks*Yx/s/Xmax
Ks= 0,2475*10,1/0,5
Ks= 5
Autres modèles (Shuler-Kargi)
Inhibition par sous-produit toxique:
Tessier:
Moser:
Contois:
SSK
S
S
m
00
ouSSKK
S
SS
m
001
)1( SKm e
nS
nm
SK
S
SXK
S
SX
m
•Haldane:
iS
m
KSSK
S2
Etc...
Inhibition par le substrat: Haldane
i
S
MAX
iS
MAX
KS
SK
KSSK
S
12
Xdt
dX
(1)
(2)
Xmax-X = Yx/s * S (3)
X
KYXX
XXYKdt
dX
isx
sxs
/
max
max
/
max
1
En Cuvée:
Haldane en cuvée
X
KYXX
XXYKdt
dX
isx
sxs
/
max
max
/
max
1
tX
Xisx
sxs dtdXXKY
XX
XX
YK0 max
/
max
max
/
0
11
tdXXKY
XX
XXXX
YKX
Xisx
sxs
max/
max
max
/
0
1
tKY
XX
KY
XX
X
XXXYK
X
Xisxisxsxs
max//
max
max
max/
0
)ln()ln()ln()ln(
Haldane en cuvée
tKY
XX
KY
XX
X
XXXYK
X
Xisxisxsxs
max//
max
max
max/
0
)ln()ln()ln()ln(
tKY
XXX
X
YKX
KY
X
X
YKX
Xisx
sxs
isx
sxs
max/
maxmax
/
/
max
max
/
0
)ln()ln(1
t
KY
XX
XX
XX
X
YK
X
X
KY
X
X
YK
isx
sxs
isx
sxs
max/
0
0max
max
max
/
0/
max
max
/ lnln1
Comportement d’une cinétique de Haldane en cuvée
Modèle de Haldane
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8
temps (-)
X (
-)
Monod
Ki=10
Ki=100
Ki=1000
Données
max= 1
Ks= 5
Yx/s= 0,5
So= 20
Xo= 0,1
Effet de maintenance
S = S(croissance) + S(maintenance)
rS = 1/YG* rX + m * X
qs = 1/YG* + m
1/Yx/s = qs/1/YG + m/
Effet de maintenance
1/Yx/s = qs/1/YG + m/
1/Yx/s vs 1/mu
2
2,05
2,1
2,15
2,2
2,25
0 0,5 1 1,5 2 2,5
1/mu
1/(
Yx
/s)
Effet de mortalité
Le taux de mortalité cellulaire:
rd = - kd*X où kd=cste
Donc en cuvée:
dX/dt = *X – kd*X = (– kd)*X
En général, on néglige la maintenance et la mortalité en cuvée
Cinétique de production
Le modèle le plus connu est celui de Luedeking-Piret:
rP = *rX + * X} }associé non-associé à la croissance
qP = * +
Combinaison L-P/Croissance cellulaire
rP = *rX + * X
En cuvée:
dP/dt = * dX/dt + * X
t
000 dt X * )X-(X * P- P
Or nous avons déjà des relations pour X
Luedeking-Piret: Courbe typique
Luedeking-Piret
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10
t (-)
X (
-) X
P
Luedeking-Piret
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10
t (-)
X (
-) X
P
Luedeking-Piret
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10
t (-)
X (
-) X
P
=0,5, =0 =0, =0,5
=0,3, =0,2On peut déterminer à partir du plateau!!
Combinaison L-P/Logistique
t
000 dt X * b )X-(X * P- P
)1(11 0
0
kt
MAX
kt
kt
o
MAX
ktMAX
eXX
eX
eXX
eXX
00
0 11ln XXeX
X
k
XPP tk
MAX
MAX
Combinaison L-P/Logistiquedétermination des paramètres
00
0 11ln XXeX
X
k
XPP tk
MAX
MAX
•Si on connaît
Y = m * X
•On trouve !Suggestions?
Combinaison L-P/Monod
t
000 dt X * b )X-(X * P- P
tXX
XX
X
YK
X
X
X
XYKMAX
MAX
MAX
MAX
SXS
MAX
MAXSXS
)(
)(lnln
0
/
0
/
00
/00 ln XXXX
XXYKXXPP
MAX
MAXsxS
MAX
Détermination des paramètres
Suggestions?
0
0/0
0
0
ln
XX
XXXX
YKXX
XX
PP MAX
MAXsxS
MAX
00
/00 ln XXXX
XXYKXXPP
MAX
MAXsxS
MAX
0
0/0
0
0
ln
XX
XXXX
YKXX
XX
PP MAX
MAXsxS
MAX
Autres cinétiques de production
Suggestions?
Autres modes d’opération
Cuvée alimentée Continu Continu avec recirculation Piston (plug flow)
Cuvée alimentée (Fed-batch)
•Alimentation seulement
•Régime transitoire
•À t = 0, V= V0, X= X0, S= S0
•F sera contrôlé de manière à maintenir S constant, S=S0=Sc
•Si S est constant, le sera aussi, = c
F(t), Sin
V, X, S
Cuvée alimentée (Fed-batch)
3 bilans seront nécessaires pour obtenir un modèle de ce système:
F
dt
dV dtFVV
t
00
tV
VdtFdV
00
VX
dt
XVd
VXdt
XdV
dt
VdX
F
…. )()(
)()()()( tVtX
dt
tXdtVtFtX
Cuvée alimentée (Fed-batch)
VXdt
VXd
dt
VX
VXdc
t
c
XV
VXdtVXd
VX 000
1
tVX
VXc
00
ln tceVXVX 00
Cuvée alimentée (Fed-batch)
VX
YSF
dt
VSd
sx
cin
/
VX
YSF
dt
VdS
dt
SdV
sx
cin
/
F0
VXY
SSFsx
ccin
/
cinsx
c
SSY
VXF
/
t
cinsx
c ceSSY
VXF
/
00
Cuvée alimentée (Fed-batch)
tceVXVX 00
t
cinsx
c ceSSY
VXF
/
00
dtFVVt
00 dte
SSY
VXVV
t t
cinsx
c c
0
/
000
11
/
00
t
cinsx
ceSSY
XVV
11/
0
0
t
cinsx
t
c
c
eSSY
X
eXX
Chemostat (continu, CSTR)
F, Sin
V, X, S, P
F, S, X, P
•Une entrée, une sortie
•Mélange idéal: Xout = X, Sout = S, Pout = P
•Après une période initiale d’adaptation, ce système atteindra un régime permanent:
V= cst, X= cst, S= cst, P= cst
Chemostat (continu, CSTR)
Bilan sur la biomasse:
Bilan sur le substrat:
XFVXdt
dXV 0 D
V
F
Où D: taux de dilution
VXY
SFSinFdt
dSV
sx
/
0
VXY
SSinFsx
/
SSinYX sx /
Chemostat (continu, CSTR)
Relation cinétique, par exemple Monod:
DSK
S
S
MAX
1D
K
D
KDS
MAX
S
MAX
S
Modèle de Monod -=D vs S
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20 25
S (-)
=
D(-
)
Modèle de Monod - S vs D
0
5
10
15
20
25
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
D (-)
S
Chemostat (continu, CSTR)
Le produit:
Xrr Xp
VrPFdt
dPVp 0 prPD
XDXXD
XD
P
Chemostat (continu, CSTR)
En résumé:
SSinYX sx /
D
KDS
MAX
S
XD
P
Où D*X = productivité cellulaire!
Chemostat idéal: synthèse de P
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
D
X, S
, P
0
0,5
1
1,5
2
2,5
D*P
S
X
P
D*X
max=1
Ks=1
Yx/s=1
Sin=5=0,3=0,1
Dlavage=max*Sin/(Ks+Sin)
Sin
Chemostat (continu, CSTR)
Productivité cellulaire:– D ((L/min) / L de culture) * X (g de cellule/L)=
Productivité (g de cellules/(min*L de culture)–
Productivité en produit:–
Sin
Smaxoptmax KS
K1μD àX*D
XXDXDPD *
Chemostat –effet de la maintenance
Bilan X: = D inchangé Cinétique: inchangée Bilan S:
VXmY
SFSinFdt
dSV
G
0
mYD
SSDX
G
in )(
Chemostat –effet de la maintenance
Chemostat avec effet de maintenance
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
D
X, S
S
X
X+maint
max=1
Ks=1
Yg=1
Sin=5
m=0,1
Chemostat –effet de la mortalité
Bilan X:
Cinétique:
Bilan S:
XkXDXdt
dXd 0 dkD
MAX
SKS
dMAX
Sd
kD
KkDS
XY
SSinDsx
/
X
Y
kD
sx
d
/
SSinYkD
DX sx
d
/
Chemostat –effet de la mortalité
Chemostat avec effet de mortalité
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000
D
X, S
S
S+mort
X
X+mort
max=1
Ks=1
Yx/s=1
Sin=5
kd=0,1
mYD
SSDX
G
in )( SSinY
kD
DX sx
d
/+ = dkYm
Chemostat avec recirculation
F F(1+w)
V, X
Bioréacteur Décanteur
F(1+w)
wF, Xx
Fc, Xc
Fex, Xx
•Permet de concentrer les cellules dans le bioréacteur•Permet de repousser le lavage•Développement pour X seulement
Chemostat avec recirculation
Bilan sur les cellules du bioréacteur:
XFwXVFwX X 10
DwX
XDw X 1
X
XwD X11
Chemostat avec recirculation
Bilan sur les cellules dans le séparateur:
XexCC XFwFXFXFw 1
X
XFwF
X
XFFw X
exCC
1
FwF
XXF
Fw
X
X
ex
CC
X
1
wFF
w
X
X
ex
X 10
Chemostat avec recirculation
CSTR avec recirculationD/ vs w pour différents Fex/(Fex+wF)
-
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
0 0,5 1 1,5 2
w
D/
Fex/(wF+Fex)=0,1
Fex/(wF+Fex)=0,25
Fex/(wF+Fex)=0,5
Modèles non-structurés
Beaucoup de diversité
Encore plus de possibilités (suggestions?)
Mais ne répond pas à tous les besoins…
Une vue très simplifiée du métabolisme cellulaire
[C6H12O6]n C6H12O6 G3P
glycerol
purines
pyruvate Acétyl-CoA
lactate
Acides gras
éthanol
Lipides
Ac.aminéspyrimidinesCycle de
Krebs
Acides nucléiques
protéinesNAD+ATPH2O
NADHADPO2
Chaîne respiratoireLe catabolisme génère de l’ATP et du NADH
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