R É S O L U T I O N D E P R O B L È M E S E T S T R A T E G I E S D E C A L C U L A U X C 2 E T C 3
APPRENDRE À CHERCHER CHERCHER POUR APPRENDRE
Décembre 2018 Roland Charnay
1
Roland Charnay
• Au cycle 2, la résolution de problèmes est au centre de l’activité mathématique des élèves, développant leurs capacités à chercher, raisonner et communiquer.
• Les problèmes permettent d’aborder de nouvelles notions, de consolider des acquisitions, de provoquer des questionnements.
• On veillera aussi à proposer aux élèves dès le CP des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas de simples problèmes d’application à une ou plusieurs opérations mais nécessitent des recherches avec tâtonnements.
(Programmes 2015 & 2018)
2 Décembre 2018
PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES CYCLE 3
Roland Charnay 3
• La résolution de problèmes constitue le critère principal de la maitrise des connaissances dans tous les domaines des mathématiques, mais elle est également le moyen d’en assurer une appropriation qui en garantit le sens.
• On veille aussi a proposer aux élèves des problèmes pour apprendre a chercher qui ne soient pas directement reliés a la notion en cours d’étude, qui ne comportent pas forcément une seule solution, qui ne se résolvent pas uniquement avec une ou plusieurs opérations mais par un raisonnement et des recherches par tâtonnements.
(Programmes 2015 & 2018)
Décembre 2018
QUELS OBJECTIFS POUR LES PROBLÈMES À L’ÉCOLE ?
Roland Charnay
• Etre capable d’utiliser ses connaissances pour résoudre rapidement (voire immédiatement) certains problèmes : utiliser directement le sens des concepts mathématiques.
• Pouvoir mettre en place des stratégies pour venir à bout de problèmes à étapes ou inédits, qu’on ne peut pas ou qu’on ne sait pas résoudre rapidement.
• S’approprier de nouvelles connaissances, en partant de problèmes qui résistent aux connaissances déjà apprises.
4 Décembre 2018
Décembre 2018 Roland Charnay 5
DIFFICULTÉS DES ÉLÈVES…
LA RÉSOLUTION DE PROBLEMES Des faiblesses reconnues (enquête PISA)
v "Les élèves ont des connaissances, mais elles sont peu disponibles. Pour la plupart d'entre eux, si on ne leur dit pas explicitement quelles connaissances mathématiques il convient d'utiliser dans une situation donnée, ils ne la trouveront pas d'eux-mêmes, même s'ils possèdent le ou les éléments de connaissance correspondants".
v Manque d'autonomie : "Ils ne s'attaquent qu'aux questions qu'ils pensent pouvoir résoudre, ils ne disposent pas de stratégies pour aborder un problème qui ne leur est pas familier : essayer, expérimenter, bricoler… ne font pas partie des modes d'approche possibles".
Antoine Bodin, Les mathématiques face aux évaluations, revue Repères (IREM)
Décembre 2018 Roland Charnay 6
Roland Charnay
Les enquêtes PISA classent les pays suivant trois pratiques. Mathématiques lexicales (questions de cours)
à 6e position pour la France
Mathématiques appliquées (problèmes de la vie courante) à 18e position pour la France
Mathématiques formelles (problèmes mathématiques) à 27e position pour la France
Celasignifieque,étantplusexposésquelaplupartdesautresélèvesàdesquestionsdecours,lesjeunesfrançaissontplusparticulièrementpréparésàrépondreàcesquestionsetnettementmoinsàdesquestionsd’application(mathématiquesappliquéesetformelles).
BernardHugonnier(directeuradjointdel’éducationàl’OCDE)7
Des connaissances, mais peu disponibles..
Décembre 2018
UN PROBLÈME CLASSIQUE Entrée Sixième
Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.
Chaque page contient 6 photos. a) Combien y a-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ?
Il y a ……… pages complètes. Il y a ……… photos sur la page incomplète.
Décembre 2018 Roland Charnay 8
54 % 57 %
CHOIX D’UNE PROCEDURE / DIFFERENTS CALCULS
• Diviser 50 par 6 • Division à sens « nombre de parts », calcul
mental : tables de multiplication
• Encadrer 50 par deux multiples de 6 • Multiplication à sens « groupements égaux »,
calcul mental : tables de multiplication
• Additionner ou soustraire des 6 • Addition ou soustraction à sens : ajout ou
retrait, calcul mental élémentaire
• Schématiser des pages et les photos • Dénombrement
Décembre 2018 Roland Charnay 9
50 photos 6 photos par page
CONSTAT ET INTERROGATION
v Réussite : souvent par division ou multiplication rarement par d’autres résolutions
v 1ère cause d’échec : erreurs de calcul v 2e cause d’échec : interprétation des calculs v 3e cause d’échec : calculs sans signification
v Certains élèves ne pensent pas, n’osent pas ou ne se croient pas autorisés à mobiliser des résolutions autre que les résolutions expertes.
Décembre 2018 Roland Charnay 10
Roland Charnay
Connaissances et compétences
lecture
concepts (sens, expertise pour certains problèmes)
raisonnement
calcul
Connaissances
sur ce qui est
attendu
sur ce qui est permis sur ce qui
marche souvent
sur "l'accueil" des erreurs
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A LA BONNE PLACE
Décembre 2018 Roland Charnay 12
Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient.
367 582 309
300 400 500 600
300 309 400 367 500 582 600
Décembre 2018 Roland Charnay 13
APPRENDRE À CHERCHER CHERCHER POUR APPRENDRE
P ISTES DE TRAVAIL
Décembre 2018 Roland Charnay 14
APPRENDRE A CHERCHER U N E AT T I T U D E E S S E N T I E L L E
D E S S T R AT É G I E S N É C E S S A I R E S
LES DEUX SENS DU MOT CHERCHER
Deux exemples
v 150 personnes se répartissent en équipes de 6 personnes. Combien y a-t-il d’équipes ?
v 150 personnes se serrent la main. Combien de poignées de mains sont échangées ?
Décembre 2018 Roland Charnay 15
LES DEUX SENS DU MOT CHERCHER
v Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées
v Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur
Décembre 2018 Roland Charnay 16
UN EXEMPLE AU CE1 (D’APRÈS CAP MATHS)
Décembre 2018 Roland Charnay 17
Problème complexe - Prise d’informations - Stratégie de résolution
avec gestion de 2 contraintes
- Résolu au CE1 par essais raisonnés
Décembre 2018 Roland Charnay 18
Connaissances mathématiques nécessaires : calculs simples (addition, soustraction) Compétences travaillées - CHERCHER : s’engager dans une démarche, tester, essayer - MODÉLISER : traduire les contraintes par des calculs - RAISONNER : déduire un essai des essais précédents, vérifier les 2
contraintes - CALCULER - COMMUNIQUER : pour exprimer les étapes de la résolution, pour
argumenter sur la validité d’une réponse
UN EXEMPLE AU CM1 (D’APRÈS CAP MATHS)
Décembre 2018 Roland Charnay 19
Problème complexe - Prise d’informations (texte,
illustration) - Stratégie de résolution à
déterminer
- Résolu au CM1 par déductions successives
Décembre 2018 Roland Charnay 20
Connaissances mathématiques nécessaires : calculs simples (addition, soustraction, multiplication, division) Compétences travaillées - CHERCHER : s’engager dans une démarche, tester, essayer des pistes
de résolution - RAISONNER : démarche raisonnée par étapes - CALCULER - COMMUNIQUER : pour exprimer les étapes de la résolution, pour
argumenter sur la validité d’une réponse
UN EXEMPLE AU CM2 (D’APRÈS CAP MATHS)
Décembre 2018 Roland Charnay 21
Problème complexe - Prise d’informations (texte,
tableau) - Stratégie de résolution à
déterminer
- Résolu au CM2 en déterminant les étapes et en partant :
- soit de la longueur totale de plastique nécessaire (1 500 cm = 15 m) - soit du nombre de livres couverts avec un rouleau
(10 livres)
Décembre 2018 Roland Charnay 22
Connaissances mathématiques nécessaires : calculs simples (multiplication, division) Compétences travaillées - CHERCHER : organiser des informations, s’engager dans une
démarche - MODÉLISER : recours au sens des opérations - REPRÉSENTER : schématiser des éléments de la situation - RAISONNER : démarche raisonnée par étapes - CALCULER - COMMUNIQUER : pour exprimer les étapes de la résolution
A PROPOS DES COMPÉTENCES GÉNÉRALES
• Elles ne peuvent s’exercer que si l’élève dispose de connaissances pour comprendre la situation et la traiter.
• Certaines stratégies de résolution doivent faire l’objet d’un apprentissage, par exemple :
• Procéder par ESSAIS RAISONNÉS
• Procéder par UNE SUITE DE DÉDUCTIONS
• Procéder en DÉTERMINANT DES ÉTAPES
• Procéder en INVENTORIANT TOUTES LES POSSIBILITÉS
• Leur évaluation peut se faire essentiellement par l’observation de travaux d’élèves et plus difficilement par des épreuves spécifiques.
Décembre 2018 Roland Charnay 23
Décembre 2018 Roland Charnay 24
CHERCHER POUR APPRENDRE S I TUAT IONS DE REFERENCE
Décembre 2018 Roland Charnay 25
L’INFLUENCE DES COMPETENCES EN CALCUL
UN EXEMPLE AU CP…
Roland Charnay
CHOIX DES PROCEDURES (CAP MATHS CP, À PARAÎTRE)
En mettant 1 image par enveloppe, y a-t-il assez d‘images ?
S’il en reste ou s’il en manque, combien ? 26
Problème
Décembre 2018
Matériel Enveloppes affichées au tableau dans cette disposition
3 lots d’images remis à 3 élèves éloignés dans la classe, donc pas visibles des autres élèves
Information au tableau Alex : 5 Zoé : 3 Lisa : 2
LIEN PROCÉDURES - CALCULS
PROCEDURES
• Schématiser les enveloppes, entourer des lots de 5, 3 et 2
CALCULS
• Pas de calcul
Décembre 2018 Roland Charnay 27
LIEN PROCÉDURES - CALCULS
PROCEDURES CALCULS
Décembre 2018 Roland Charnay 28
• Dénombrer les enveloppes (12), schématiser les images, les dénombrer
• Calcul du complément de 10 à 12
10
• Compléter 10 à 12
LIEN PROCÉDURES - CALCULS
PROCEDURES CALCULS
Décembre 2018 Roland Charnay 29
• Dénombrer les enveloppes (12), calculer le nombre d’images
• Calcul pour les images et pour le complément à 10
5 + 3 + 2 = 10
• Compléter 10 à 12
LIEN PROCÉDURES - CALCULS
PROCEDURES CALCULS
Décembre 2018 Roland Charnay 30
• Calculer le nombre d’enveloppes et le nombre d’images
• Calcul pour les enveloppes, les images et le complément à 10
4 + 4 + 4 = 12 5 + 3 + 2 = 10
• Compléter 10 à 12
ANTICIPER / VALIDER : UN ASPECT ESSENTIEL DE CE TYPE DE SITUATION
Décembre 2018 Roland Charnay 31
Réel Il favorise
l’appropriation de la situation et du
problème
Anticipation
Incite à l'expérience mentale
Il permet la validation de la réponse ou d'une
procédure
Oblige à élaborer des procédures
FAIRE ÉVOLUER LES COMPÉTENCES EN CALCUL POUR FAIRE ÉVOLUER LES PROCÉDURES DE
RÉSOLUTION DE PROBLÈMES
• Compétences en calcul mental au CP • Le répertoire additif • Le calcul réfléchi et le calcul en ligne (arbre de calcul)
Décembre 2018 Roland Charnay 32
5 + 3 + 2
5 + 5
10
Organiser le calcul Effectuer
• Un aspect de la différenciation • Possibilité de choisir des procédures personnelles • Favoriser l’évolution des procédures
Décembre 2018 Roland Charnay 33
SENS DE LA SOUSTRACTION UN EXEMPLE AU CE1-CE2
DES PROBLÈMES DE DIFFICULTÉS DIFFÉRENTES
Un problème réussi précocement
Pierre a 23 images. Il en donne 14 à Jacques. Combien en a-t-il maintenant ?
Décembre 2018 Roland Charnay 34
Deux problèmes réussis plus tardivement
Pierre a 23 images. 14 sont des images de foot, les autres sont des images de tennis.
Combien a-t-il d’images de tennis ?
Pierre a reçu 14 images de Jacques. Il en en a maintenant 23. Combien en avait-il avant ?
Décembre 2018 Roland Charnay 35
Un problème mal réussi, même tardivement
Pierre a joué deux fois aux billes, aujourd’hui. Ce matin, il a gagné 14 billes. Il a joué à nouveau cet après-midi. Maintenant, il a 23 billes de plus qu’en arrivant à l’école ? Que s’est-il passé cet après-midi ?
LA DÉLICATE QUESTION DU « SENS » DES OPÉRATIONS (exemple de la soustraction)
Décembre 2018 Roland Charnay 36
Schématiquement, 3 niveaux de sens
Sens « primitif » Résultat d’une
diminution
Pierre a 23 images. Il en donne 14 à Jacques. Combien en a-t-il maintenant ?
Sens « appris » Complément,
état avant augmentation,
valeur d’une comparaison…
Pierre a 23 images. 14 sont des images de foot, les autres sont des images de tennis. Combien a-t-il d’images de tennis ?
Raisonnement Autres problèmes
Pierre a joué deux fois aux billes, aujourd’hui. Ce matin, il a gagné 14 billes. Il a joué à nouveau cet après-midi. Maintenant, il a 23 billes de plus qu’en arrivant à l’école ? Que s’est-il passé cet après-midi ?
LE PASSAGE DE LA 3e À LA 2e CATÉGORIE DE SENS SE HEURTE À UN OBSTACLE
• La soustraction est d’abord pensée comme donnant la valeur d’un reste après une diminution.
• Une situation de type « complément » est d’abord reliée à une « addition à trou ».
• Comment aider les élèves à accepter et comprendre qu’un problème de type « recherche d’un complément » peut aussi se résoudre à l’aide d’une soustraction ?
Décembre 2018 Roland Charnay 37
LE PROBLÈME CHOISI Combien de points cachés ?
Décembre 2018 Roland Charnay 38
MATERIEL DE L'ENSEIGNANT
ç une feuille de points (nombre de points connu des
élèves : 34)
ç une feuille cache
LA QUESTION
Décembre 2018 Roland Charnay 39
34 points sur la feuille Combien de points sont cachés ?
DÉBAT ET CONFLIT ÉVENTUEL ENTRE ÉLÈVES
v Sur les réponses et les procédures différentes, par exemple : v 40, obtenu par addition (34 + 6) v 28, obtenu par complément (dessin,
surcomptage, addition à trou) v 28, obtenu par soustraction (34 – 6) v Autres réponses, à cause d’erreurs de
calcul
v Sur les arguments v 40 c’est impossible : il ne peut pas y en avoir plus
de 34 !v Pourquoi tu soustrais, on en a pas enlevé 6…
Décembre 2018 Roland Charnay 40
CONTRADICTION ET CONFLIT AVEC LA RÉALITÉ
v Si on compte les jetons cachés après avoir enlevé le cache, on trouve 28 jetons, pas 40 !
v La réponse par addition ne convient donc pas.
v Mais pourquoi, la soustraction fournit-elle la bonne réponse ?
Décembre 2018 Roland Charnay 41
POURQUOI LA SOUSTRACTION ?
Nouveau problème : Feuille avec 34 points.
11 points visibles. v Résolution, puis question avant
vérification : Comment faire pour n’avoir sur la feuille blanche que les points cachés ?
Décembre 2018 Roland Charnay 42
D’UNE QUESTION A UNE AUTRE
v Suggestions : v Il faut cacher ceux qu’on voitv Il faut couper la partie visible…
Décembre 2018 Roland Charnay 43
v Question : v Il y avait 34 points sur la feuille. Pour savoir combien sont cachés, on supprime ceux les 11 qui sont visibles. Quel calcul permet de connaître ce nombre de points ?
v Réponse : v On a enlevé 11 points.v Il faut calculé 34 -11….
UNE SYNTHÈSE NÉCESSAIRE
Décembre 2018 Roland Charnay 44
v On cherche v ce qui manque à 11 pour avoir 34.
v ce qu’il faut ajouter à 11 pour avoir 34
v ce qui conduit à calculer 11 + … = 34
v On peut remplacer la question initiale par une autre question
v Pour savoir combien il y a de points cachés, on peut imaginer qu’on enlève ceux qui sont visibles
v ce qui conduit à calculer 34 – 11 =
v La situation des points cachés pourra être utilisée comme situation de référence pour d’autres problèmes de recherche de complément.
EXEMPLES D’ENTRAÎNEMENT ET DE CONSOLIDATION
Roland Charnay 45 Décembre 2018
RENFORCEMENT PAR LE CALCUL MENTAL Equivalence complément-soustraction
Roland Charnay 46
v 2 pour aller à 47 F plutôt soustraction v 36 pour aller à 40 F plutôt complément v 20 pour aller à 50 F plutôt ? v 52 – 4 F plutôt soustraction v 61 – 58 F plutôt complément v 60 – 35 F plutôt ?
Décembre 2018
EXTENSION AU CAS DES ÉCARTS
• De combien de cm la bande rouge est-elle plus longue que la bande bleue ?
Décembre 2018 Roland Charnay 47
Si les bandes sont disponibles et déplaçables
• Réponse possible par mesurage direct…
Décembre 2018 Roland Charnay 48
Si les bandes ne sont pas disponibles
• Calcul nécessaire
Décembre 2018 Roland Charnay 49
41 cm
28 cm
2 raisonnements :
- Ce qui reste quand on a enlevé B à R à soustraction
- Ce qu’il faut ajouter à B pour avoir R à complément
28 + … = 41
41 - 28 = …
ENRICHIR LE SENS D’UNE OPÉRATION
Décembre 2018 Roland Charnay 50
NIVEAU 3 (procédures
personnelles, pas de soustraction)
Complément
Ecart
Distance entre 2
bornes
Etat initial avant ajout …
NIVEAU 2 (expertise : plusieurs
procédures disponibles très
rapidement dont la soustraction)
Situation-problème
Raisonnement à sens connu
Appuyé par
expérimentation manipulation
RELATION AVEC LE CALCUL
• L’apprentissage du sens évolue aussi en fonction des capacités de calcul • Calcul mental très simple : toutes les procédures
sont envisageables • Calcul mental plus complexe : il peut orienter vers
soustraction ou vers complément selon les cas • Calcul posé : si la soustraction posée n’est pas
suffisamment maitrisée, des élèves peuvent préférer d’autres procédures
• Calculatrice : sa mise à disposition peut orienter vers la soustraction plus facile que l’addition à trou.
Décembre 2018 Roland Charnay 51
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