Download - 1.5 serie de taylor

MÉTODOS NUMÉRICOSMÉTODOS NUMÉRICOS1.5 Serie de Taylor1.5 Serie de Taylor

Gustavo RochaGustavo Rocha

2005-22005-2

1.5 Serie de Taylor1.5 Serie de Taylor


La serie de Taylor es, sin duda, el fundamento La serie de Taylor es, sin duda, el fundamento

matemático más importante para comprender, manejar y matemático más importante para comprender, manejar y

formular métodos numéricos que se basan en la formular métodos numéricos que se basan en la

aproximación de funciones por medio de polinomios. aproximación de funciones por medio de polinomios.

Aunque a veces no sea muy evidente, la mayoría de los Aunque a veces no sea muy evidente, la mayoría de los

métodos numéricos se basan en la aproximación de métodos numéricos se basan en la aproximación de

funciones por medio de polinomios.funciones por medio de polinomios.


La expansión de Taylor de una función, es una serie infinita de potencias La expansión de Taylor de una función, es una serie infinita de potencias

que representa, de manera exacta, el comportamiento de la función en la que representa, de manera exacta, el comportamiento de la función en la

vecindad de un punto dado.vecindad de un punto dado.

Si se ignoran todos los términos de la serie de Taylor, excepto unos Si se ignoran todos los términos de la serie de Taylor, excepto unos

cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima a la función verdadera.cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima a la función verdadera.

El error del método numérico depende de la precisión con la que el El error del método numérico depende de la precisión con la que el

polinomio aproxima a a la función verdadera.polinomio aproxima a a la función verdadera.

Los errores por truncamiento se evalúan a través de la comparación del Los errores por truncamiento se evalúan a través de la comparación del

desarrollo polinomial de la solución numérica, con la serie de Taylor, de la desarrollo polinomial de la solución numérica, con la serie de Taylor, de la

solución exacta.solución exacta.

1.5.1 Expansión en serie de Taylor1.5.1 Expansión en serie de Taylor

Sea una función f(X) que tiene derivadas continuas hasta de orden Sea una función f(X) que tiene derivadas continuas hasta de orden nn en el punto X en el punto Xii, para el cual se conoce el valor de la función a, para el cual se conoce el valor de la función a00 y el y el de sus derivadas: ade sus derivadas: a11, a, a22, a, a33, a, a44, … a, … ann, …, …

f(x)

x

xi Xi+1

a0

f(Xi+1)


Se trata de encontrar un polinomio de la forma:Se trata de encontrar un polinomio de la forma:

_____ (1.13)_____ (1.13)

que permita predecir el valor de la función en un punto cualquiera X, en que permita predecir el valor de la función en un punto cualquiera X, en términos de la propia función y de sus derivadas en el punto Xtérminos de la propia función y de sus derivadas en el punto X ii..

El polinomio P(X) se hace coincidir con la función f(X), y las El polinomio P(X) se hace coincidir con la función f(X), y las primeras primeras nn derivadas del polinomio se hacen coincidir con las derivadas del polinomio se hacen coincidir con las nn primeras derivadas de la función en el punto Xprimeras derivadas de la función en el punto X ii..

_____ (1.14)_____ (1.14)

i i

i

i i

(n) (n)i i

P(X ) = f(X )

P'(Xi) = f'(X )

P''(X ) = f''(X )

...

P (X ) = f (X )

32 n0 1 2 3 nP(X) = a + a X + a X + a X + ... + a X + ...


El valor de la función en un punto cualquiera X se puede evaluar a El valor de la función en un punto cualquiera X se puede evaluar a través de un polinomio equivalente al de la expresión (1.13):través de un polinomio equivalente al de la expresión (1.13):

____ ____ (1.15)(1.15)

Desarrollando la expresión (1.15) y comparándola con la expresión Desarrollando la expresión (1.15) y comparándola con la expresión (1.13), se obtiene:(1.13), se obtiene:

_____(1.16)_____(1.16)

2 3 n0 1 i 2 i 3 i n if(X) = P(X) = b + b (X - X ) + b (X - X ) + b (X - X ) + ... + b (X - X ) + ...

2 3 40 0 1 i 2 i 3 i 4 i

2 31 1 2 i 3 i 4 i

22 2 3 4 i

n n

a = b - b X + b X - b X + b X - ...

a = b - 2b X + 3b X - 4b X + ...

a = b - 3b Xi + 6b X - ...

...

a = b - ...


Las Las nn primeras derivadas del polinomio son: primeras derivadas del polinomio son:

_____ _____ (1.17)(1.17)

Evaluando el polinomio y sus derivadas en el punto XEvaluando el polinomio y sus derivadas en el punto X ii::

_____ _____ (1.18)(1.18)

2 n-11 2 i 3 i n i

n-22 3 i n i

n-33 n i

(n)

P'(X) = b + 2b (X - X ) + 3b (X - X ) + ... + nb (X - X ) + ...

P''(X) = 2b + 3 2b (X - X ) + ... + n(n-1)b (X - X ) + ...

P'''(X) = 3 2b + ... + n(n-1)(n-2)b (X-X ) + ...

...

P (X) = n(n-

n n1)(n-2) ... 3 2 1b + ... = n!b + ...

i 0 0

i 1 1

i 2 2

(n)i n

P(X ) = b 0!b

P'(X ) = b 1!b

P''(X ) = 2b = 2!b

...

P (X ) = n!b


Considerando simultáneamente las expresiones (1.14) y (1.18):Considerando simultáneamente las expresiones (1.14) y (1.18):

______________(1.19)(1.19)

Sustituyendo los valores de los coeficientes dados en (1.19) en la expresión (1.15):Sustituyendo los valores de los coeficientes dados en (1.19) en la expresión (1.15):

_____ (1.20)_____ (1.20)

que en forma sintética se expresa:que en forma sintética se expresa:

_____ (1.20')_____ (1.20')

0 i

1 i

2 i

n i

b = f(X )

b = f'(X )/1!

b = f''(X )/2!

...

b = f(n)(X )/n!

2i i i i i

3 (n) ni i i i

f(X) = f(X ) + f'(X )(X - X ) + f''(X )(X - X ) /2!

+ f'''(X )(X - X ) /3! + ... + f (X )(X - X ) /n! + ...

ji i

j=0

f(X) = f(j)(X )(X - X ) /j!


Las expresiones (1.20) y (1.20') son equivalentes y representan la Las expresiones (1.20) y (1.20') son equivalentes y representan la expansión en serie de Taylor que permite evaluar el valor de la función en expansión en serie de Taylor que permite evaluar el valor de la función en cualquier punto X, en términos de la propia función y de sus derivadas en el cualquier punto X, en términos de la propia función y de sus derivadas en el punto Xpunto Xii. Se pueden presentar dos casos:. Se pueden presentar dos casos:

A)A) Cuando el valor de X se encuentra a la derecha de XCuando el valor de X se encuentra a la derecha de X ii, se usa la , se usa la nomenclatura Xnomenclatura Xi+1i+1, con lo que se indica que es mayor que X, con lo que se indica que es mayor que X ii..

_____ (1.21)_____ (1.21)

donde h se denomina tamaño del paso, tratándose en este caso de un paso donde h se denomina tamaño del paso, tratándose en este caso de un paso hacia adelante.hacia adelante.

i+1 i i+1 i

(j) (j)j j

i+1 i i+1 i ij=0 j=0

X = X > X ; X - X = h > 0

f(X ) = f (X )(X - X ) /j! = f (X )h /j!


B)B) Cuando el valor de X se encuentra a la izquierda de XCuando el valor de X se encuentra a la izquierda de X ii, se usa , se usa la nomenclatura Xla nomenclatura Xi-1i-1, con lo que se indica que es menor que X, con lo que se indica que es menor que X ii..

_____ (1.22)_____ (1.22)

_____ (1.22')_____ (1.22')

donde h es el tamaño del paso, tratándose en este caso de un paso donde h es el tamaño del paso, tratándose en este caso de un paso hacia atrás.hacia atrás.

Para cada combinación de puntos XPara cada combinación de puntos X ii, X, Xi+1i+1 en una función f(x), la serie en una función f(x), la serie de Taylor es única, es decir, no hay otra serie de potencias en h = Xde Taylor es única, es decir, no hay otra serie de potencias en h = X i+1i+1 – X– Xii , para representar a f(X) , para representar a f(X)

i-1 i i i-1

(j) (j)j ji-1 i i i-1 i i i-1

j par j impar

(j) (j)j ji-1 i i

j par j impar

X = X < X ; X - X = h > 0

f(X ) = f (X )(X - X ) /j! - f (X )(X - X ) /j!

ó f(X ) = f (X )h /j! - f (X )h /j!


Ejemplo. En el punto XEjemplo. En el punto Xi i = 1, la función f(X) y sus derivadas toman = 1, la función f(X) y sus derivadas toman

los siguientes valores:los siguientes valores:

f(1) = 1;f(1) = 1; f'(1) = 6;f'(1) = 6; f''(1) = 2;f''(1) = 2; f'''(1) = 6.f'''(1) = 6.

A partir de estos datos y utilizando la expansión en serie de Taylor A partir de estos datos y utilizando la expansión en serie de Taylor dada en (1.21), encontrar el polinomio que permita predecir valor de dada en (1.21), encontrar el polinomio que permita predecir valor de la función para cualquier valor de X, y, en particular, el valor de la la función para cualquier valor de X, y, en particular, el valor de la función para Xfunción para Xi+1i+1 = 3. = 3.

f(X) = 1 + 6(X - 1) + 2(X - 1)f(X) = 1 + 6(X - 1) + 2(X - 1)22/2! + 6(X - 1)/2! + 6(X - 1)33/3!/3!

= 1 + 6X - 6 + X= 1 + 6X - 6 + X22 - 2X + 1 + X - 2X + 1 + X33 - 3X - 3X22 + 3X - 1 + 3X - 1

= - 5 + 7X - 2X= - 5 + 7X - 2X22 + X + X33

h = Xh = Xi+1i+1 - X - Xii = 3 - 1 = 2 = 3 - 1 = 2

f(Xf(Xi+1i+1) = f(3) = 1 + 6(2) + 2(2)) = f(3) = 1 + 6(2) + 2(2)22/2! + 6(2)/2! + 6(2)33/3!/3!

= 1 + 12 + 4 + 8 = 25= 1 + 12 + 4 + 8 = 25


Vamos a repetir el ejercicio, pero ahora considerando la expansión Vamos a repetir el ejercicio, pero ahora considerando la expansión

en serie de Taylor dada en (1.22) y obteniendo el valor de la función en serie de Taylor dada en (1.22) y obteniendo el valor de la función

para Xpara Xi-1i-1 = 0. = 0.

f(X) = 1 - 6(1 - X) + 2(1 - X)f(X) = 1 - 6(1 - X) + 2(1 - X)22/2! - 6(1 - X)/2! - 6(1 - X)33/3!/3!

= 1 - 6 + 6X + X= 1 - 6 + 6X + X22 - 2X + 1 - 1 + 3X - 3X - 2X + 1 - 1 + 3X - 3X22 + X + X33

= - 5 + 7X - 2X= - 5 + 7X - 2X22 + X + X33

h = Xh = Xii - X - Xi-1i-1 = 1 - 0 = 1 = 1 - 0 = 1

f(Xf(Xi-1i-1) = f(0) = 1 - 6(1) + 2(1)) = f(0) = 1 - 6(1) + 2(1)22/2! - 6(1)/2! - 6(1)33/3!/3!

= 1 - 6 + 1 - 1 = - 5= 1 - 6 + 1 - 1 = - 5


En el ejercicio anterior, el polinomio obtenido se ajusta En el ejercicio anterior, el polinomio obtenido se ajusta perfectamente a la función, porque ésta es algebraica, polinomial perfectamente a la función, porque ésta es algebraica, polinomial de tercer grado; en este caso, las derivadas de orden superior al de tercer grado; en este caso, las derivadas de orden superior al tercero se anulan, por lo que los primeros cuatro términos de la tercero se anulan, por lo que los primeros cuatro términos de la expansión en serie de Taylor son suficientes para determinar, sin expansión en serie de Taylor son suficientes para determinar, sin error alguno, el comportamiento de la función, para cualquier valor error alguno, el comportamiento de la función, para cualquier valor de X.de X.

Pero no siempre es así; cuando se trata de funciones trascendentes Pero no siempre es así; cuando se trata de funciones trascendentes o mixtas, la expansión en serie de Taylor sólo puede proporcionar o mixtas, la expansión en serie de Taylor sólo puede proporcionar una aproximación a la función de interés, porque, en ese caso, una aproximación a la función de interés, porque, en ese caso, cada uno de los términos de la serie infinita tiene un valor absoluto cada uno de los términos de la serie infinita tiene un valor absoluto diferente de cero, con el que participa, así sea de manera mínima, diferente de cero, con el que participa, así sea de manera mínima, en el valor de la función. En virtud de que no es posible considerar en el valor de la función. En virtud de que no es posible considerar un número infinito de términos, no hay más remedio que truncar la un número infinito de términos, no hay más remedio que truncar la serie y considerar únicamente los n primeros.serie y considerar únicamente los n primeros.


Una función f(x) es analítica en xUna función f(x) es analítica en x ii, si se puede representar por , si se puede representar por

medio de una serie de potencias en términos de h = xmedio de una serie de potencias en términos de h = x i+ii+i – x – xii, dentro , dentro

de un radio de convergencia 0 < de un radio de convergencia 0 < xxi+ii+i - x - xii, y si todas sus derivadas , y si todas sus derivadas

son continuas en la vecindad de xson continuas en la vecindad de x ii. Los polinomios son funciones . Los polinomios son funciones

analíticas en todas partes.analíticas en todas partes.

Si la función f(x) es diferenciable en todas partes de la vecindad de Si la función f(x) es diferenciable en todas partes de la vecindad de

un punto xun punto x00, excepto en el mismo, el punto se denomina singular y , excepto en el mismo, el punto se denomina singular y

entonces la función no es analítica en xentonces la función no es analítica en x00. Algunas funciones . Algunas funciones

trascendentes tienen puntos singulares; por ejemplo, tan(x) es trascendentes tienen puntos singulares; por ejemplo, tan(x) es

analítica excepto en analítica excepto en (n + ½)(n + ½)..


Ejemplo. Aproximar la función f(X) = cos X en 30Ejemplo. Aproximar la función f(X) = cos X en 30, conociendo los , conociendo los valores de la función y el de sus derivadas para 0 y considerando los valores de la función y el de sus derivadas para 0 y considerando los primeros siete términos de la expansión en serie de Taylor. No primeros siete términos de la expansión en serie de Taylor. No olvidemos trabajar en radianes:olvidemos trabajar en radianes:

XXii = 0 = 0 = 0 ; = 0 ; XXi+1i+1 = 30 = 30 = = /6 ;/6 ; h = Xh = Xi+1i+1 - X - Xii = = /6 - 0 = /6 - 0 = /6/6

f(X) = f(Xf(X) = f(Xii) + f'(X) + f'(Xii)h + f''(X)h + f''(Xii)h)h22/2! + f'''(X/2! + f'''(Xii)h)h33/3! + f/3! + fiviv(X(Xii)h)h44/4! + f/4! + fvv(X(Xii)h)h55/5! + f/5! + fvivi(X(Xii)h)h66/6!/6!

f(X) = cos Xf(X) = cos X f(0) = cos 0 = 1f(0) = cos 0 = 1

f'(X) = f'(X) = -- sen X sen X f'(0) = f'(0) = - - sen 0 = 0sen 0 = 0

f''(X) = f''(X) = - - cos Xcos X f''(0) = f''(0) = -- cos 0 = cos 0 = -- 1 1

f'''(X) = sen Xf'''(X) = sen X f'''(0) = sen 0 = 0f'''(0) = sen 0 = 0

ffiviv(X) = cos X(X) = cos X ffiviv(0) = cos 0 = 1(0) = cos 0 = 1

ffvv(X) = (X) = -- sen X sen X ffvv(0) = (0) = -- sen 0 = 0 sen 0 = 0

ffvivi(X) = - cos X(X) = - cos X ffvivi(0) = - cos 0 = - 1(0) = - cos 0 = - 1


Ejemplos: Los desarrollos en serie de Taylor de eEjemplos: Los desarrollos en serie de Taylor de e-x-x y de sen x, en la y de sen x, en la

vecindad de x = 1, son respectivamente:vecindad de x = 1, son respectivamente:

El desarrollo en serie de Taylor de una función alrededor de x = 0 recibe el El desarrollo en serie de Taylor de una función alrededor de x = 0 recibe el

nombre de serie de Maclaurin; por ejemplo: enombre de serie de Maclaurin; por ejemplo: exx, cos x, y ln(x+1), cos x, y ln(x+1)

2 3 4-x -1 -1 -1 -1 -1

2 3 4

h h he = e - he + e - e + e - ...

2! 3! 4!

h h hsen(x) = sen(1) + h cos(1) sen(1) cos(1) sen(1) ...

2! 3! 4!

2 3 4x

2 4 6 8

2 3 4

x x xe = 1 + x + + + + ...

2! 3! 4!

x x x xcos(x) = 1 ...

2! 4! 6! 8!

x x xln(x 1) x + + + + ...

2 3 4


f(f(/6) = 1 - 1(/6) = 1 - 1(/6)/6)22/2! + 1(/2! + 1(/6)/6)44/4! - 1(/4! - 1(/6)/6)66/6!/6!

= 1 - 0.1370778 + 0.0031317 - 0.0000286 = 0.8660252= 1 - 0.1370778 + 0.0031317 - 0.0000286 = 0.8660252

Considerando como "verdadero" el valor que ofrece una Considerando como "verdadero" el valor que ofrece una

calculadora científica de 8 dígitos, que es: cos 30calculadora científica de 8 dígitos, que es: cos 30 = 0.8660254, se = 0.8660254, se

aprecia que el truncamiento a siete términos de la serie, conduce a aprecia que el truncamiento a siete términos de la serie, conduce a

un pequeño error de 0.0000002un pequeño error de 0.0000002

1.5.21.5.2 El residuo de la serie de TaylorEl residuo de la serie de Taylor

En la sección 1.4 se esbozó lo que era un error por truncamiento, En la sección 1.4 se esbozó lo que era un error por truncamiento, pero no quedó lo suficientemente claro, porque para comprender pero no quedó lo suficientemente claro, porque para comprender este concepto, faltaba conocer a detalle el comportamiento de la este concepto, faltaba conocer a detalle el comportamiento de la expansión en serie de Taylor.expansión en serie de Taylor.

Ahora podemos entender con claridad qué es un truncamiento y Ahora podemos entender con claridad qué es un truncamiento y cómo repercute éste en un error, al aproximar el valor de una cómo repercute éste en un error, al aproximar el valor de una función para un determinado valor de la variable, considerando función para un determinado valor de la variable, considerando solamente los primeros solamente los primeros nn términos de la serie infinita. términos de la serie infinita.

Los términos de la serie que se desprecian constituyen un residuo Los términos de la serie que se desprecian constituyen un residuo cuyo valor puede tener signo positivo, en detrimento del valor de la cuyo valor puede tener signo positivo, en detrimento del valor de la función, o negativo, en profusión del valor de la función; en términos función, o negativo, en profusión del valor de la función; en términos absolutos, este residuo puede ser significativo o insignificante absolutos, este residuo puede ser significativo o insignificante (como sucedió en el ejemplo anterior), lo cual depende de dos (como sucedió en el ejemplo anterior), lo cual depende de dos factores:factores:


1) El valor de 1) El valor de nn, es decir, el número de términos de la serie, , es decir, el número de términos de la serie,

considerados al aproximar el valor de la función; mientras mayor considerados al aproximar el valor de la función; mientras mayor

sea el valor de sea el valor de nn, menor será el residuo y mejor será la , menor será el residuo y mejor será la

aproximación al valor de la función.aproximación al valor de la función.

2) El valor de 2) El valor de hh, es decir, el tamaño del paso o distancia entre el , es decir, el tamaño del paso o distancia entre el

valor de la variable para el cual se evalúa la función y el valor de la valor de la variable para el cual se evalúa la función y el valor de la

variable para el que se conoce el valor de la función y el de sus variable para el que se conoce el valor de la función y el de sus

derivadas; mientras menor sea el valor de derivadas; mientras menor sea el valor de hh, mayor será la cercanía , mayor será la cercanía

entre Xentre Xii y X y Xi+1i+1 y, por ende, mejor será la aproximación al valor de la y, por ende, mejor será la aproximación al valor de la

función.función.


En adelante, y en tanto no se indique lo contrario, usaremos únicamente la En adelante, y en tanto no se indique lo contrario, usaremos únicamente la

expansión en serie de Taylor que considera el paso hacia adelante para expansión en serie de Taylor que considera el paso hacia adelante para

aproximar f(Xaproximar f(Xi+1i+1) a partir de f(X) a partir de f(Xii) y sus derivadas, conforme a la expresión ) y sus derivadas, conforme a la expresión

(1.21), la que en forma explícita se escribe:(1.21), la que en forma explícita se escribe:

f(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)hf(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)h22/2! + f'''(Xi)h/2! + f'''(Xi)h33/3! + ... + f(n)(Xi)h/3! + ... + f(n)(Xi)hnn/n! /n! + ...__ (1.21')+ ...__ (1.21')

y en forma alternativa:y en forma alternativa:

f(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)hf(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)h22/2! /2! + f'''(Xi)h+ f'''(Xi)h33/3! + ... + f(n)(Xi)h/3! + ... + f(n)(Xi)hnn/n! /n! + Rn (1.23)+ Rn (1.23)

Esta última expresión se conoce como expansión en serie de Taylor con Esta última expresión se conoce como expansión en serie de Taylor con

residuo, y es idéntica a la expresión (1.21'), excepto porque los puntos residuo, y es idéntica a la expresión (1.21'), excepto porque los puntos

suspensivos se han sustituido por el término Rsuspensivos se han sustituido por el término Rnn, que sintetiza los términos , que sintetiza los términos

de la serie que se han despreciado y se conoce con el nombre de residuo de la serie que se han despreciado y se conoce con el nombre de residuo

de la aproximación al n-ésimo orden.de la aproximación al n-ésimo orden.

La serie se puede truncar en cualquier punto, de manera que el subíndice La serie se puede truncar en cualquier punto, de manera que el subíndice n n

indica que sólo se han incluido en la aproximación los primeros (n+1) indica que sólo se han incluido en la aproximación los primeros (n+1)

términos de la serie.términos de la serie.


Por ejemplo, podemos truncar la serie a un solo término (n = 0):Por ejemplo, podemos truncar la serie a un solo término (n = 0):

f(Xf(Xi+1i+1) ) f(X f(Xii))

lo que implica suponer que la función que se va a aproximar es una lo que implica suponer que la función que se va a aproximar es una

constante: P(X) = aconstante: P(X) = a00 ; si tal suposición es cierta, la aproximación resulta ; si tal suposición es cierta, la aproximación resulta

perfecta y no hay error alguno, pero si no es así, existe un residuo Rperfecta y no hay error alguno, pero si no es así, existe un residuo R00 tal tal

que se cumple:que se cumple:

f(Xf(Xi+1i+1) = f(X) = f(Xii) + R) + R00

RR00 = f'(X = f'(Xii)h + f''(X)h + f''(Xii)h)h22/2! + f'''(X/2! + f'''(Xii)h)h33/3! +...+ f/3! +...+ f(n)(n)(X(Xii)h)hnn/n! /n! +...+... _____ (1.24)_____ (1.24)

RR00 es el residuo de orden cero y representa una serie infinita idéntica a la es el residuo de orden cero y representa una serie infinita idéntica a la

de la expresión (1.21'), excepto por la exclusión del primer término.de la expresión (1.21'), excepto por la exclusión del primer término.

Para simplificar, podríamos truncar el residuo a solo un término: RPara simplificar, podríamos truncar el residuo a solo un término: R00 f'(X f'(Xii)h, )h,

despreciando todos los demás, pero esto obviamente no es exacto. despreciando todos los demás, pero esto obviamente no es exacto.

Conviene entonces encontrar una manera más adecuada de valorar RConviene entonces encontrar una manera más adecuada de valorar R00..


Auxiliándonos en la siguiente figura, podemos ver fácilmente que la Auxiliándonos en la siguiente figura, podemos ver fácilmente que la recta que une los puntos [Xrecta que une los puntos [X ii, f(X, f(Xii)], [X)], [Xi+1i+1,f(X,f(Xi+1i+1)], tiene pendiente R)], tiene pendiente R00/h./h.

f(x)

xxi Xi+1

f(xi)

f(Xi+1)

f’()

h

R0 = f(Xi+1) - f(xi)

P(X) = ao

1.5.2 El residuo de la serie de Taylor1.5.2 El residuo de la serie de Taylor

Invocando el teorema del valor medio, podemos asegurar que existe un Invocando el teorema del valor medio, podemos asegurar que existe un punto , entre Xpunto , entre Xii y X y Xi+1i+1, para el cual el valor de la primera derivada f'(, para el cual el valor de la primera derivada f'(), es ), es decir, la pendiente de la tangente de la función en ese punto, es paralela a decir, la pendiente de la tangente de la función en ese punto, es paralela a la recta mencionada previamente: Rla recta mencionada previamente: R00/h = f'(/h = f'(); y entonces:); y entonces:

RR00 = f'( = f'()h)h _____ (1.25)_____ (1.25)

De manera similar, si truncamos la serie a dos términos (n=2):De manera similar, si truncamos la serie a dos términos (n=2):

f(Xi+1) f(Xf(Xi+1) f(Xii) + f'(X) + f'(Xii)h)h

estaremos suponiendo que la función que se va a aproximar es una recta: estaremos suponiendo que la función que se va a aproximar es una recta: P(X) = aP(X) = a00 + a + a11X; si la suposición es correcta, la aproximación es perfecta y X; si la suposición es correcta, la aproximación es perfecta y sin error, pero si no es así, existe un residuo Rsin error, pero si no es así, existe un residuo R11 tal que: tal que:

f(Xf(Xi+1i+1) = f(X) = f(Xii) + f'(X) + f'(Xii)h + R)h + R11

RR11 = f''(X = f''(Xii)h)h22/2! + f'''(X/2! + f'''(Xii)h)h33/3! /3! + ... + f+ ... + f(n)(n)(X(Xii)h)hnn/n! + .../n! + ...

RR11 es un residuo de primer orden que, al igual que se hizo con R es un residuo de primer orden que, al igual que se hizo con R00, pero , pero ahora considerando el teorema extendido del valor medio, también se ahora considerando el teorema extendido del valor medio, también se puede evaluar de manera exacta mediante:puede evaluar de manera exacta mediante:

R1 = f''(R1 = f''()h)h22/2!/2!Y así, sucesivamente:Y así, sucesivamente:


f(x)

xxi Xi+1

f(Xi+1)

h

P(X) = ao

P(X) = ao + a1x

P(X) = ao + a1x + a2x2

f(x)

ao


Un truncamiento a tres términos (n = 2), supone que la función a aproximar Un truncamiento a tres términos (n = 2), supone que la función a aproximar

es una parábola P(X) = aes una parábola P(X) = a00 + a + a11X + aX + a22XX22 y un posible error dado por el y un posible error dado por el

residuo de segundo orden Rresiduo de segundo orden R22..

Un truncamiento a cuatro términos (n = 3), supone que la función a Un truncamiento a cuatro términos (n = 3), supone que la función a

aproximar es una parábola cúbica P(X) = aaproximar es una parábola cúbica P(X) = a00 + a + a11X + aX + a22XX22 + a + a33XX33 y un y un

posible error dado por el residuo de segundo orden Rposible error dado por el residuo de segundo orden R33..

En general, un truncamiento a (n+1) términos de la serie, supone un En general, un truncamiento a (n+1) términos de la serie, supone un

polinomio P(X) = apolinomio P(X) = a00 + a + a11X + aX + a22XX2 2 + a+ a33XX33 + ... + a + ... + annXXnn y un posible error dado y un posible error dado

por el residuo de n-ésimo orden, que se expresa:por el residuo de n-ésimo orden, que se expresa:

RRnn = f = f(n+1)(n+1)(()h)hn+1n+1/(n+1)!/(n+1)! _____ (1.26)_____ (1.26)

RRnn es el error por truncamiento al aproximar el valor de una función f(X es el error por truncamiento al aproximar el valor de una función f(X i+1i+1), ),

considerando solamente los (n+1) primeros términos de la expansión en considerando solamente los (n+1) primeros términos de la expansión en

serie de Taylor correspondiente a la función.serie de Taylor correspondiente a la función.


Ejemplo. Obtener una aproximación al valor del número Ejemplo. Obtener una aproximación al valor del número ee, con mantisa de , con mantisa de ocho dígitos y considerando los primeros ocho términos de la expansión en ocho dígitos y considerando los primeros ocho términos de la expansión en serie de Taylor para la función f(X) = serie de Taylor para la función f(X) = eexx..Sabemos que:Sabemos que: ee00 = 1, = 1,

entonces:entonces: XXii = 0 = 0 ;; XXi+1i+1 = 1 = 1 ;; h = 1 - 0 = 1h = 1 - 0 = 1

f(0) = f(0) = ee00 = 1 = 1 f(1) = f(1) = eef(1) = f(0) + f'(0)(1) + f''(0)(1)2/2! + f'''(0)(1)3/3! + fiv(0)(1)4/4! + ...f(1) = f(0) + f'(0)(1) + f''(0)(1)2/2! + f'''(0)(1)3/3! + fiv(0)(1)4/4! + ...f'(X) = f'(X) = eexx f'(0) = 1f'(0) = 1f''(X) = f''(X) = eexx f''(0) = 1f''(0) = 1f'''(X) = f'''(X) = eexx f'''(0) = 1f'''(0) = 1

......ff'(n)'(n)(X) = (X) = eexx ff'(n)'(n)(0) = 1(0) = 1f(1) f(1) 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7!e e 1 + 1 + 0.5 + 0.16666667 + 0.04166667 + 0.00833333 + 1 + 1 + 0.5 + 0.16666667 + 0.04166667 + 0.00833333 +

+ 0.00138889 + 0.00019841 = + 0.00138889 + 0.00019841 = 2.718253972.71825397El valor que arroja una calculadora de 9 dígitos es: El valor que arroja una calculadora de 9 dígitos es: ee = 2.71828183 = 2.71828183


El error por truncamiento es: El error por truncamiento es:

RR77 = f = fviiiviii(()(1)8/8! = f)(1)8/8! = fviiiviii(()/40320 = 0.00002786)/40320 = 0.00002786

ffviiiviii(() = ) = ee = 1.1233152 ; = 1.1233152 ; = 0.11628431 = 0.11628431

Observamos que Observamos que efectivamente se localiza entre X efectivamente se localiza entre Xii y X y Xi+1i+1: 0 < : 0 < < 1, < 1,

aunque bastante más cerca de Xaunque bastante más cerca de Xii que de X que de Xi+1i+1

Si hubiésemos truncado a solo tres términos: e Si hubiésemos truncado a solo tres términos: e 2.5, 2.5,

RR22 = f'''( = f'''()(1))(1)33/3! = f'''(/3! = f'''()/6 = 0.21828183)/6 = 0.21828183

f'''(f'''() = ) = ee = 1.30969098 ; = 1.30969098 ; = 0.26979122 = 0.26979122

Vemos también que el valor de Vemos también que el valor de es distinto para residuos de diferente es distinto para residuos de diferente

orden, pero siempre cumple con localizarse entre Xorden, pero siempre cumple con localizarse entre X ii y X y Xi+1i+1. .


Los valores dados en la siguiente tabla, referidos a este ejemplo, Los valores dados en la siguiente tabla, referidos a este ejemplo, pueden verificarse fácilmente:pueden verificarse fácilmente:

nn e e Rn Rn f(n+1)( f(n+1)())

00 1 1 1.71828183 1.71828183 1.718281831.71828183 0.54132486 0.54132486

11 2 2 0.71828183 0.71828183 1.436563661.43656366 0.36225391 0.36225391

22 2.5 2.5 0.21828183 0.21828183 1.309690981.30969098 0.26979172 0.26979172

33 2.666666672.66666667 0.05161516 0.05161516 1.238763841.23876384 0.21411398 0.21411398

44 2.708333342.70833334 0.00994849 0.00994849 1.193818801.19381880 0.17715724 0.17715724

55 2.716666672.71666667 0.00161516 0.00161516 1.162915201.16291520 0.15092996 0.15092996

66 2.718055562.71805556 0.00022627 0.00022627 1.140400801.14040080 0.13137978 0.13137978

77 2.718253972.71825397 0.00002786 0.00002786 1.123315201.12331520 0.11628431 0.11628431


En este ejemplo, tuvimos manera de consultar el valor "exacto" de En este ejemplo, tuvimos manera de consultar el valor "exacto" de ee, echando mano , echando mano de una calculadora, igual que lo pudimos haber consultado en un libro; el número de una calculadora, igual que lo pudimos haber consultado en un libro; el número ee es conocido por toda la comunidad científica, por eso su valor es accesible a es conocido por toda la comunidad científica, por eso su valor es accesible a cualquiera.cualquiera.

Pero no ocurre lo mismo cuando estamos estimando el valor de una función Pero no ocurre lo mismo cuando estamos estimando el valor de una función complicada, ligada a un experimento en el que apenas tenemos idea de su complicada, ligada a un experimento en el que apenas tenemos idea de su comportamiento y del orden de magnitud que puede tomar la función, para cada comportamiento y del orden de magnitud que puede tomar la función, para cada determinado valor de la variable. En tal caso, no hay manera de calcular con determinado valor de la variable. En tal caso, no hay manera de calcular con exactitud los residuos y solo habrá que conformarse con una estimación burda de exactitud los residuos y solo habrá que conformarse con una estimación burda de ellos.ellos.

Para el efecto, y siempre que sea factible derivar analíticamente la función de Para el efecto, y siempre que sea factible derivar analíticamente la función de interés, se sugiere considerar como valor estimado de el punto medio entre Xinterés, se sugiere considerar como valor estimado de el punto medio entre X ii y X y Xi+1i+1, ,

es decir:es decir:

* = (X* = (Xii + X + Xi+1i+1)/2)/2 _____ (1.27)_____ (1.27)

con la seguridad de que los residuos estimados a partir de este valor y, por ende, los con la seguridad de que los residuos estimados a partir de este valor y, por ende, los errores asociados a ellos, siempre serán superiores a los verdaderos.errores asociados a ellos, siempre serán superiores a los verdaderos.

RRnn = f = f(n+1)(n+1)((*)h*)hn+1n+1/(n+1)!/(n+1)! _____ (1.26')_____ (1.26')