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Théorie des Graphes

Cycle Eulérien

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Rappels de définitions

• On dit qu'une chaîne est un chemin passant par toutes les arêtes du graphe.

• On dit qu'un cycle est une chaîne ayant le même point de départ et d’arrivée. C’est donc un chemin passant par toutes les arêtes du graphe, et ayant le même point de départ et d’arrivée. C’est donc une chaîne « qui se referme ».

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Exemple 1

• On dit qu'une chaîne est un chemin passant par toutes les arêtes du graphe.

• On dit qu'un cycle est un chemin passant par toutes les arêtes du graphe, et ayant le même point de départ et d’arrivée. C’est donc une chaîne « qui se referme ».

Le chemin a-b-c-d-a n’est ni une chaîne ni un cycle car il ignore l’arête a-e

ab

c

d

e

1

2

3

4

4

Exemple 2

• On dit qu'une chaîne est un chemin passant par toutes les arêtes du graphe.

• On dit qu'un cycle est un chemin passant par toutes les arêtes du graphe, et ayant le même point de départ et d’arrivée. C’est donc une chaîne « qui se referme ».

Le chemin a-b-c-d-a-e est une chaîne mais pas un cycle.

ab

c

d

e

1

2

3

4

5

5

Exemple 3

• On dit qu'une chaîne est un chemin passant par toutes les arêtes du graphe.

• On dit qu'un cycle est un chemin passant par toutes les arêtes du graphe, et ayant le même point de départ et d’arrivée. C’est donc une chaîne « qui se referme ».

Le chemin a-b-c-d-a-e-b-a est un cycle (donc une chaîne).

ab

c

d

e

1

2

3

4

5 6

7

6

Nouvelles définitions

On dit qu'un graphe est eulérien s'il est possible de trouver un cycle passant une et une seule fois par toutes les arêtes. On dit qu'un graphe est semi-eulérien s'il est possible de trouver une chaîne passant une et une seule fois par toutes les arêtes. Plus simplement, on peut dire qu'un graphe est eulérien (ou semi-eulérien) s'il est possible de dessiner le graphe sans lever le crayon et sans passer deux fois sur le même trait !

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Cycle eulérien : Exemple 1 Définition : On dit qu'un graphe est

eulérien s'il est possible de trouver un cycle passant une et une seule fois par toutes les arêtes.

Plus simplement, on peut dire qu'un graphe est eulérien s'il est possible de dessiner le graphe sans lever le crayon et sans passer deux fois sur le même trait, tout en revenant au point de départ !

Le chemin a-b-c-d-a est un cycle eulérien

ab

c

d

1

2

3

4

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Cycle eulérien : Exemple 2Définition : On dit qu'un graphe est eulérien

s'il est possible de trouver un cycle passant une et une seule fois par toutes les arêtes.

Plus simplement, on peut dire qu'un graphe est eulérien s'il est possible de dessiner le graphe sans lever le crayon et sans passer deux fois sur le même trait, tout en revenant au point de départ !

Le chemin a-b-c-d-a-e-b-a est un cycle mais n’est pas un cycle eulérien car on utilise deux fois l’arête reliant les sommets a et b.

ab

c

d

e

1

2

3

4

5 6

7

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Graphe semi-eulérien : Exemple 1

Définition : On dit qu'un graphe est semi-

eulérien s'il est possible de trouver une chaîne passant une et une seule fois par toutes les arêtes.

Plus simplement, on peut dire qu'un graphe est semi-eulérien s'il est possible de dessiner le graphe sans lever le crayon et sans passer deux fois sur le même trait, sans revenir forcément au point de départ !

Le chemin a-b-c-d-a-e est une chaîne mais pas un cycle, comme elle comporte une seule fois chacune des arrêtes, le graphe est par définiton semi-eulérien

ab

c

d

e

1

2

3

4

5

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Graphe semi-eulérien : Exemple 2

Définition : On dit qu'un graphe est semi-

eulérien s'il est possible de trouver une chaîne passant une et une seule fois par toutes les arêtes.

Plus simplement, on peut dire qu'un graphe est semi-eulérien s'il est possible de dessiner le graphe sans lever le crayon et sans passer deux fois sur le même trait, sans revenir forcément au point de départ !

Le chemin a-b-c-d-a-e est une chaîne mais pas un cycle, comme elle comporte une seule fois chacune des arrêtes, le graphe est par définiton semi-eulérien

ab

c

d

e

1

2

3

4

5

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À vous de jouer…

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Un jeu bien connu…

• Pouvez-vous relier tous les sommets en ne passant qu’une seule fois par chaque arête ?

• Même question si on impose en plus le même point de départ et d’arrivée ?

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Méthode : on nomme les sommets

• Pouvez-vous relier tous les sommets en ne passant qu’une seule fois par chaque arête ? i.e ce graphe est-il un graphe semi-eulérien ?

• Même question si on impose en plus le même point de départ et d’arrivée ? i.e ce graphe est-il un graphe eulérien ?

a b

cd

e

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Ce graphe est semi-eulérien

• Pouvez-vous relier tous les sommets en ne passant qu’une seule fois par chaque arête ? i.e ce graphe est-il un graphe semi-eulérien ?

EXEMPLE de chemin :

a b

cd

e

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Ce graphe n’est pas eulérien

• Pouvez-vous relier tous les sommets en ne passant qu’une seule fois par chaque arête, et en ayant le même point de départ et d’arrivée ? i.e ce graphe est-il un graphe eulérien ?

Réponse : Non !Pourquoi ? C’est l’objet de ce chapitre…

a b

cd

e

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Que manquait-il ?

pour le savoir

on va étudier un second exemple…

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À vous de jouer (2)…

• Pouvez-vous relier tous les sommets en ne passant qu’une seule fois par chaque arête ? i.e ce graphe est-il un graphe semi-eulérien ?

• Même question si on impose en plus le même point de départ et d’arrivée ? i.e ce graphe est-il un graphe eulérien ?

e

a b

cd

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Ce graphe est semi-eulérien

• Pouvez-vous relier tous les sommets en ne passant qu’une seule fois par chaque arête ? i.e ce graphe est-il un graphe semi-eulérien ?

EXEMPLE de chemin :

e

a b

cd

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Ce graphe n’est pas eulérien

• Pouvez-vous relier tous les sommets en ne passant qu’une seule fois par chaque arête, et en ayant le même point de départ et d’arrivée ? i.e ce graphe est-il un graphe eulérien ?

Réponse : Non !Pourquoi ? ….

e

a b

cd

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La question est en lien avec le point de départ et le point d’arrivée….

• Le sommet d peut-il être le point de départ et d’arrivée d’un cycle eulérien ?Même question pour le sommet e ? Et pour a ?

• Pourquoi ? Quelle règle est-il nécessaire d’avoir quant au nombre d’arêtes partant du point de départ ?

Mais ce n’est pas fini…

e

a b

cd

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La question est aussi en lien avec tous les sommets du graphe...

• La règle nécessaire quant au nombre d’arêtes partant de chaque point est la même que précédemment.Pourquoi ?

e

a b

cd

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CONCLUSION :Condition nécessaire pour avoir un cycle eulérien

• La condition nécessaire pour avoir un cycle eulérien est :le nombre de chemins ayant un degré ______ est _____

• On admet que cette condition est suffisante,c’est-à-dire que si elle a lieu, alors on peut trouver un cycle eulérien !

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Exemple

• Expliquez pourquoi ce graphe n’admet pas de cycle eulérien :

ab

c

d

e fg

hi

j k

lm

no p

q

r

st

u

vw

x

yz

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Exemple

• Expliquez pourquoi ce graphe admet un cycle eulérien :

ab

c

d

e fg

hi

j k

lm

no p

q

r

st

u

vw

x

yz

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• Comment passer d’un graphe semi-eulérien à un graphe eulérien ? Étudiez cet exemple : comment en rajoutant un arête peut-on passer de l’un à l’autre ?

• En déduire à quelle condition nécessaire on peut trouver un graphe semi-eulérien.

Condition nécessaire pour avoir un graphe semi-eulérienCondition nécessaire pour avoir un graphe semi-eulérien

a b

cd

e

a b

cd

e

Une arête à rajouter ?

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• Comment passer d’un graphe semi-eulérien à un graphe eulérien ? Étudiez cet exemple : comment en rajoutant un arête peut-on passer de l’un à l’autre ?

• En déduire à quelle condition nécessaire on peut trouver un graphe semi-eulérien.

Condition nécessaire pour avoir un graphe semi-eulérienCondition nécessaire pour avoir un graphe semi-eulérien

a b

cd

e

a b

cd

e

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Condition nécessaire pour avoir un graphe semi-eulérien

• La condition nécessaire pour avoir un graphe semi-eulérien est :le nombre de chemins ayant un degré ______ est _____

• On admet que cette condition est suffisante, c’est-à-dire que si elle a lieu, alors on peut trouver un graphe semi-eulérien !Dans ce cas, le point de départ et d’arrivée sont ceux qui ont un degré _______

CONCLUSION : Condition nécessaire pour avoir un graphe semi-eulérien

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Conclusion de l’étude…

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CONCLUSIONS :Condition nécessaire pour avoir un cycle eulérien

• La condition nécessaire pour avoir un cycle eulérien est : le nombre de chemins ayant un degré ______ est _____.On admet que cette condition est suffisante, c’est-à-dire que si elle a lieu, alors on peut trouver un cycle eulérien !

• La condition nécessaire pour avoir un graphe semi-eulérien est : le nombre de chemins ayant un degré ______ est _____.On admet que cette condition est suffisante, c’est-à-dire que si elle a lieu, alors on peut trouver un graphe semi-eulérien !Dans ce cas, le point de départ et d’arrivée sont ceux qui ont un degré _______.