1
Gestion de portefeuilleGestion de portefeuille3-203-993-203-99
Albert Lee ChunAlbert Lee Chun
Construction de Portefeuilles: Introduction à la théorie Introduction à la théorie moderne de portefeuillemoderne de portefeuille
Séance 3Séance 3
18 Sept 2008
2
Plan du cours Plan du cours
Séances 1 et 2 : L’environnement institutionnelSéances 1 et 2 : L’environnement institutionnel Séances Séances 33, 4 et 5 , 4 et 5 Construction de portefeuillesConstruction de portefeuilles SéancesSéances 6 et 7: 6 et 7: Modèles d'évaluation des actifs Modèles d'évaluation des actifs financiers financiers SéanceSéance 8: 8: Efficience de marchéEfficience de marché SéanceSéance 9: 9: Gestion active d'un portefeuille d'actionsGestion active d'un portefeuille d'actions SéanceSéance 10: 10: Gestion de portefeuilles obligatairesGestion de portefeuilles obligataires Séance Séance 11: 11: Mesures de performances des portefeuillesMesures de performances des portefeuilles
Albert Lee Chun Portfolio Management 3
Le risque en fonction du nombre d’actionsLe risque en fonction du nombre d’actions
7-37-3
Albert Lee Chun Portfolio Management 4
Diversification du Diversification du portefeuilleportefeuille
7-47-4
Albert Lee Chun Portfolio Management 5
w1 = proportion des fonds dans le titre 1w2 = proportion des fonds dans le titre 2E(r1) = rendement espéré du titre 1E(r2) = rendement espéré du titre 2
1wn
1ii
Rendement d’un portefeuille de deux actifsRendement d’un portefeuille de deux actifs
)()()( 2211 rEwrEwrE p
7-57-5
Albert Lee Chun Portfolio Management 6
12 = variance du titre 1
22 = variance du titre 2
Cov(r1,r2) = covariance entre le titre 1 et le titre 2
Risque d’un portefeuille de deux actifsRisque d’un portefeuille de deux actifs
)r,r(Covww2ww 21212
22
22
12
12
p
7-67-6
Albert Lee Chun Portfolio Management 7
1,2 = Coefficient de corrélation
1 = Écart type des rendements du titre 1
2 = Écart type des rendements du titre 2
CovarianceCovariance
212,121 )r,r(Cov
7-77-7
Albert Lee Chun Portfolio Management 8
Ordre des valeurs pour 1,2
+ 1.0 > > -1.0
Si = 1.0, les titres seraient parfaitement corrélés positivement
Si = - 1.0, les titres seraient parfaitement corrélés négativement
Coefficients de corrélationCoefficients de corrélation
7-87-8
Albert Lee Chun Portfolio Management 9
Un portefeuille de 3 actifsUn portefeuille de 3 actifs
)()()()( 332211 rEwrEwrEwrE p
),(2
),(2
),(2
3232
3131
2121
23
23
22
22
21
21
2
rrCovww
rrCovww
rrCovww
wwwp
7-97-9
Albert Lee Chun Portfolio Management 10
Généralement, pour un portefeuille de n titres:Généralement, pour un portefeuille de n titres:
)()(1
i
n
iip rEwrE
n
kjkjkj
n
k
n
iii
n
kjj
kjkj
n
k
n
iiip
rrCovwww
rrCovwww
),(2
),(
11
22
111
222
7-10
7-10
Albert Lee Chun Portfolio Management 11
N
iiip rEwrE
1
)()(
ji )r ,r( Cov ww + w = jiji
n
j=1
n
=1i
2i
2i
n
=1i
2p
jijiji rrCov ,),( ji
jij,i
)r,r(Cov
Statistiques de portefeuilleStatistiques de portefeuille
Albert Lee Chun Portfolio Management 12
Aujourd’huiAujourd’hui
Fonctions d’utilité et la courbe d’indifférenceFonctions d’utilité et la courbe d’indifférence Portefeuille de variance minimale (PVM)Portefeuille de variance minimale (PVM) La droite de répartition de capital (CAL)La droite de répartition de capital (CAL) Portefeuille optimal Portefeuille optimal On va illustrer ces concepts dans un univers avecOn va illustrer ces concepts dans un univers avec
1 titre risqué et 1 titre sans risque1 titre risqué et 1 titre sans risque 2 titres risqués2 titres risqués 2 titres risqués et 1 titre sans risque2 titres risqués et 1 titre sans risque N titres risquésN titres risqués N titres risqués et 1 titre sans risqueN titres risqués et 1 titre sans risque
Albert Lee Chun Portfolio Management 13
Fonctions d’utilitéFonctions d’utilité
Albert Lee Chun Portfolio Management 14
Aversion au risqueAversion au risque
Si on a deux choix d’actifs avec le même taux de Si on a deux choix d’actifs avec le même taux de rendement, les investisseurs qui ont une aversion rendement, les investisseurs qui ont une aversion au risque vont sélectionner l’actif avec le niveau au risque vont sélectionner l’actif avec le niveau de risque le plus bas.de risque le plus bas.
Les investisseurs qui ont une aversion au risque Les investisseurs qui ont une aversion au risque veulent une compensation pour le risque.veulent une compensation pour le risque.
Le Le rendement excédentaire rendement excédentaire d’un actif risqué (d’un actif risqué (i)i) est est déterminé par déterminé par
la prime de risquela prime de risque = = E(ri) – RfE(ri) – Rf..
Albert Lee Chun Portfolio Management 15
La prime de risqueLa prime de risque
Exemple:Exemple:
W2 = 80$
Profit = -20$
W1 = 150$ Profit = 50$
p = .6
100$
Investissement risqué
Bons du Trésor Profit = 5$
Rendement espéré: (50%)(.6) + (-20%)(.4) = 22%
Prime de risque = E(Ri) – RfE(Ri) – Rf = 22%-5% = 17%
1-p = .4
Albert Lee Chun Portfolio Management 16
Mesure des préférences de l’investisseurMesure des préférences de l’investisseur
Une Une fonction d’utilité fonction d’utilité représente le niveau de satisfaction représente le niveau de satisfaction de l’investisseur.de l’investisseur.
Plus l’utilité est élevée, plus les investisseurs seront Plus l’utilité est élevée, plus les investisseurs seront contents.contents.
Par exemple, si l’utilité de l’investisseur dépend Par exemple, si l’utilité de l’investisseur dépend seulement de la moyenne (soit seulement de la moyenne (soit µ= E(r)= E(r)) et de la variance ) et de la variance ((2) des rendements, alors nous avons la fonction ) des rendements, alors nous avons la fonction suivante:suivante:
L’ensemble des portefeuilles qui procure le même niveau L’ensemble des portefeuilles qui procure le même niveau d’utilité pour un investisseur est défini par une d’utilité pour un investisseur est défini par une courbe courbe d’indifférenced’indifférence..
U = f ( µ, )
Albert Lee Chun Portfolio Management 17
Exemple: la courbe d’indifférenceExemple: la courbe d’indifférence
U = 5
U = 5
L’investisseur est indifférent entre X et Y, aussi bien qu’à tous les points de la courbe. Tous les points de la courbe
ont le même niveau d’utilité (U=5).
(Rp)
Albert Lee Chun Portfolio Management 18
Direction de l’utilité croissanteDirection de l’utilité croissante
Rendement espéré
Écart-type
Direction de l’utilité croissante
U1
U2
U3 U3 > U2 > U1
Albert Lee Chun Portfolio Management 19
Deux investisseurs différents Deux investisseurs différents
U3
U2
U1
U3’
U2’ U1’
Rendement espéré
Écart type
Quel investisseur a la plus grande aversion
au risque?
U3 > U2 > U1
Albert Lee Chun Portfolio Management 20
Utilité quadratiqueUtilité quadratique
L’utilité d’un investisseur est une fonction quadratique seulement L’utilité d’un investisseur est une fonction quadratique seulement si la moyenne et la variance des rendements sont importantes pour si la moyenne et la variance des rendements sont importantes pour l’investisseur.l’investisseur.
A A est constant, ce qui détermine le degré d’aversion au risque: il est constant, ce qui détermine le degré d’aversion au risque: il augmente avec l’aversion au risque de l’investisseur. (Remarquez augmente avec l’aversion au risque de l’investisseur. (Remarquez que 1/2 est juste une constance normalisée)que 1/2 est juste une constance normalisée)
Remarquez que A > 0, cela implique que les investisseurs n’aiment Remarquez que A > 0, cela implique que les investisseurs n’aiment pas le risque. Plus la variance est élevée, plus l’utilité est basse.pas le risque. Plus la variance est élevée, plus l’utilité est basse.
2
2
1 AU
Albert Lee Chun Portfolio Management 21
Les Les courbescourbes d’indiffd’indifféérencerence
E(Rp) (Rp) Utility = E(Rp) – ½ A*VAR(Rp) 0.10 0.200 0.10 – ½ 4 0.2002 = 0.02 0.15 0.255 0.15 – ½ 4 0.2552 = 0.02 0.20 0.300 0.20 – ½ 4 0.3002 = 0.02 0.25 0.339 0.25 – ½ 4 0.3992 = 0.02
Fonction d’utilité quadratique de A = 4.
Voici un exemple des points de l’indifférence pour un investisseur avec une fonction d’utilité quadratique. Remarquez qu’une plus haute variance est accompagnée d’un plus haut taux de rendement pour compenser la nature de l’aversion au risque
de l’investisseur.
Albert Lee Chun Portfolio Management 22
L’équivalent certain L’équivalent certain
Certains taux de rendement sans risque offrent aux investisseurs Certains taux de rendement sans risque offrent aux investisseurs le même niveau d’utilité qu’un taux de rendement risqué. le même niveau d’utilité qu’un taux de rendement risqué.
L’investisseur est indifférent entre un rendement risqué et ses L’investisseur est indifférent entre un rendement risqué et ses équivalents.équivalents.
Exemple: Supposons qu’un investisseur a une utilité Exemple: Supposons qu’un investisseur a une utilité quadratique de quadratique de A = 2A = 2. Un portefeuille risqué offre un . Un portefeuille risqué offre un E(R) égal E(R) égal à 22% et un écart type de 34%. L’utilité de cette fonction à 22% et un écart type de 34%. L’utilité de cette fonction est:est:
U = 22% - ½U = 22% - ½××22××(34%)(34%)² = 10.44%² = 10.44% L’équivalent certainL’équivalent certain est égal à est égal à 10.44%10.44% parce que l’utilité parce que l’utilité
d’obtenir un certain taux de rendement de 10.44% est:d’obtenir un certain taux de rendement de 10.44% est:
U = 10.44% - U = 10.44% - ½ ½ ×× 2 2××(0%)(0%)² ² = 10.44%= 10.44%
risqué
sans risque
Albert Lee Chun Portfolio Management 23
Les courbes d’indifférence de risque neutreLes courbes d’indifférence de risque neutreE(RP)E(RP)
PP
U4U4
U3U3
U2U2
U1U1
Ça représente une attitude neutre envers le risque. L’investisseur estÇa représente une attitude neutre envers le risque. L’investisseur est indifférent entre les différents niveaux d’écart type.indifférent entre les différents niveaux d’écart type.Ça représente une attitude neutre envers le risque. L’investisseur estÇa représente une attitude neutre envers le risque. L’investisseur est indifférent entre les différents niveaux d’écart type.indifférent entre les différents niveaux d’écart type.
U3 > U2 > U1Direction de l’utilité croissante
Albert Lee Chun Portfolio Management 24
La pente de la courbe d’indifférence La pente de la courbe d’indifférence
Une courbe d’indifférence abrupte coïncide avec une Une courbe d’indifférence abrupte coïncide avec une forte aversion au risque.forte aversion au risque.
La pente de la courbe d’indifférence correspond à la La pente de la courbe d’indifférence correspond à la compensation nécessaire pour chaque unité de risque compensation nécessaire pour chaque unité de risque additionnel.additionnel.
Cette compensation est mesurée en unités de Cette compensation est mesurée en unités de rendement espéré pour chaque unité d’écart type. rendement espéré pour chaque unité d’écart type.
Une haute aversion au risque implique un haut degré Une haute aversion au risque implique un haut degré de compensation pour prendre une unité de risque de compensation pour prendre une unité de risque additionnelle et est représentée par une pente abrupte. additionnelle et est représentée par une pente abrupte.
Albert Lee Chun Portfolio Management 25
Les courbes d’indifférence Les courbes d’indifférence
E(RP)E(RP)
PP
U4U4
U3U3
U2U2
U1U1
U3 > U2 > U1Direction de l’utilité croissante
Plus un investisseur est averse au risque, plus fortes sont les pentes de ses courbes d’indifférence.
Albert Lee Chun Portfolio Management 26
Deux différents investisseursDeux différents investisseurs
U3
U2
U1
U3’
U2’ U1’
Rendement espéré
Écart type
Quel investisseur a une aversion au
risque plus élevé?
Plus averse au risque
Moins averse au risque
Albert Lee Chun Portfolio Management 27
Dominance stochastiqueDominance stochastiquePréfère n’importe quel portefeuille de Z1 à X.
Préfère X à n’importe quel portefeuille dans Z4.
Les ordres entre les portefeuilles Z2 ou Z3 et
X dépendent des préférences de l’investisseur
σσXX < < σσpp
Albert Lee Chun Portfolio Management 28
Imaginez un univers avec Imaginez un univers avec 1 titre sans risque et 1 titre risqué1 titre sans risque et 1 titre risqué
Albert Lee Chun Portfolio Management 29
1 titre sans risque et 1 titre risqué1 titre sans risque et 1 titre risqué
)()1()( AAfAp rEwrwrE
00 w = 2A
2A
2p
La variance d’action sans risque est 0, et la covariance entre un actif sans risque et un actif risqué est naturellement égale à 0.
Supposons que nous construisons un portefeuille P ayant un actif sans risque f et un actif risqué A
w = AAp
Albert Lee Chun Portfolio Management 30
Un actif sans risque et un actif risquéUn actif sans risque et un actif risqué
Supposons WR = .75
E(rA) = 15%
rf = 7%
A
f
E(rP) = 13%P
0 P =16.5% A =22%
E(rP) = .25*.07+.75*15=13% p = .75*.22 = 16.5%
Albert Lee Chun Portfolio Management 31
P
fP
A
fA r - )rE(r - )rE(
fpA
fAp r
rrErE
*
)()(
E(rA)
rf
0
A
f
P
E(rP) P
A
La droite de répartition de capitalLa droite de répartition de capital
Pente de CAL
Équation
Intersection
Capital Allocation Line (CAL)
Albert Lee Chun Portfolio Management 32
Choix d’une répartition optimaleChoix d’une répartition optimale
Si l’investisseur a une utilité quadratique, quelle est la Si l’investisseur a une utilité quadratique, quelle est la répartition optimale de portefeuille?répartition optimale de portefeuille?
22
1)( PP ArEU Utilité:
Rendement espéré et variance:
L’objectif de chaque investisseur est de maximiser son utilité. Comment fait-on?
,)1()()(222
AP
fAP
w
rwrwErE
Albert Lee Chun Portfolio Management 33
Normally a Bear Lives in a Cave, that is Normally a Bear Lives in a Cave, that is Concave,Concave,
then to find the top of the cave
(i.e. or to maximize a concave function),
prenez les dérivées et mettez le tout égal à 0.
A concave A concave function has a function has a
negative negative second second
derivative.derivative.
Albert Lee Chun Portfolio Management 34
However, if the Bear is Swimming in a Bowl, However, if the Bear is Swimming in a Bowl, that is Convex,that is Convex,
then to find the bottom of the bowl
(i.e. or to minimize a convex function),
prenez les dérivées et mettez le tout égal à 0.
A convex A convex function has a function has a
positive positive second second
derivative.derivative.
Albert Lee Chun Portfolio Management 35
Maximiser l’utilité de l’investisseurMaximiser l’utilité de l’investisseur
2A
fA*
A
r - )rE( = w
- )1()(
)(22
21
22
1
AfA
PP
AwrwrwE
ArEU
0)()( 2 AfA AwrrE
dw
wdU
w* est l’allocation optimale.
Prenez les dérivées de U par rapport à w et mettez le tout égal à 0.
Albert Lee Chun Portfolio Management 36
Exemple 1Exemple 1
Supposons E(rSupposons E(rAA) = 15%; ) = 15%; (r(rAA) = 22% et r) = 22% et rff = 7%. = 7%.
Pour un investisseur avec A = 4:Pour un investisseur avec A = 4: w* = (0.15-0.07)/[4*(0.22)^2] w* = (0.15-0.07)/[4*(0.22)^2]
= 0.41 < 1
L’allocation optimale est 41% de son capital dans le portefeuille risqué A et 59% dans l’actif sans risque. Par conséquent:
E(Rp) = 0.59*7%+0.41*15%=10.28%
et
(rp) = 0.41*0.22=9.02%
2A
fA*
A
r - )rE( = w
w = Ap *
)(**)1()( Afp rEwrwrE
Albert Lee Chun Portfolio Management 37
Exemple 2Exemple 2
Supposons E(rSupposons E(rAA) = 15%; ) = 15%; (r(rAA) = 22% et r) = 22% et rff = 7%. = 7%. Pour un investisseur avec Pour un investisseur avec A = 1A = 1,,
w* = (0.15-0.07)/[1*(0.22)w* = (0.15-0.07)/[1*(0.22)22] ] == 1.65 1.65 > 1 > 1 Cet investisseur voudra placer Cet investisseur voudra placer 165%165% de son capital dans de son capital dans AA et il et il
va emprunterva emprunter 65%65% de son capital au taux sans risque de 7%, de son capital au taux sans risque de 7%, alors:alors:
E(RE(Rpp) = 1.65(0.15) + -0.65(0.07)= 20.2% ) = 1.65(0.15) + -0.65(0.07)= 20.2%
(r(rpp) ) = 1.65*0.22= 0.363 = 36.3%= 1.65*0.22= 0.363 = 36.3%
U = 0.202 – 0.5*1*(0.363U = 0.202 – 0.5*1*(0.36322) = ) = 0.13610.1361
Albert Lee Chun Portfolio Management 38
Prêteur ou Emprunteur?Prêteur ou Emprunteur?
A
E(r)
7%Ex1: Prêteur
Ex2: Emprunteur
p = 22%
Chaque investisseur se placera à un point différent sur la CAL. La proportion investie dans l’actif risqué va dépendre de l’aversion au risque.
w*> 1 nécessité d’emprunteur.
L’allocation optimale est le point de tangence entre CAL et la fonction d’utilité de l’investisseur.
Albert Lee Chun Portfolio Management 39
Différents taux d’empruntDifférents taux d’emprunt
Si le taux d’emprunt est plus élevé que le taux de Si le taux d’emprunt est plus élevé que le taux de placement, qu’est-ce qui se passe?placement, qu’est-ce qui se passe?
E(r)
9%
7%
A
p = 22%w* = (0.15-w* = (0.15-0.090.09)/[1*(0.22)2] = )/[1*(0.22)2] = 1,241,24
1.241.24 < 1.65 < 1.65
Albert Lee Chun Portfolio Management 40
Différents taux d’empruntDifférents taux d’emprunt
Supposons E(rSupposons E(rAA) = 15%; ) = 15%; (r(rAA) = 22% et le taux de placement est ) = 22% et le taux de placement est rrpp = 7%, mais le taux d`emprunt est r = 7%, mais le taux d`emprunt est ree = = 9%. 9%. Pour un investisseur Pour un investisseur avec A = 1: avec A = 1:
w* = (0.15-w* = (0.15-0.090.09)/[1*(0.22)2] = )/[1*(0.22)2] = 1.241.241.241.24 < 1.65 < 1.65
Cet investisseur voudra placer 124% de son capital dans le titre Cet investisseur voudra placer 124% de son capital dans le titre AA. . Il aura besoin d’emprunter 24% de son capital au taux Il aura besoin d’emprunter 24% de son capital au taux d’emprunt de d’emprunt de 99%. Le coût plus élevé de l’emprunt force %. Le coût plus élevé de l’emprunt force l’investisseur à diminuer la proportion qu'il alloue au titre risqué. l’investisseur à diminuer la proportion qu'il alloue au titre risqué. Par conséquent: Par conséquent:
E(RE(Rpp) = 1.24(0.15) + -0.24(0.09)= 16.44% ) = 1.24(0.15) + -0.24(0.09)= 16.44%
(r(rpp) ) = 1.24*0.22= 27.28%= 1.24*0.22= 27.28%
Plus le taux d’emprunt est élevé, plus son utilité diminue:Plus le taux d’emprunt est élevé, plus son utilité diminue: U = 0.1644 – 0.5*1*(0.27282) = .1272 < .1361
Albert Lee Chun Portfolio Management 41
Imaginez un univers avec deux titres risquésImaginez un univers avec deux titres risqués
Albert Lee Chun Portfolio Management 42
Rendement espéré et écart type avec Rendement espéré et écart type avec divers coefficients de corrélationdivers coefficients de corrélation
7-427-42
Albert Lee Chun Portfolio Management 43
Portefeuille de rendement espéré en fonction des proportions Portefeuille de rendement espéré en fonction des proportions d’investissementd’investissement
7-437-43
Albert Lee Chun Portfolio Management 44
Portefeuille d’écart type en fonction des proportions Portefeuille d’écart type en fonction des proportions d’investissementd’investissement
7-447-44
Albert Lee Chun Portfolio Management 45
En retournant En retournant à un portefeuille de deux titresà un portefeuille de deux titres
2211p rwrw)r(E
)r,r(Covww2ww 21212
22
22
12
12
p
et
, ou
)r,r(Covww2ww 21212
22
22
12
1p
Question: que se passe-t-il si nous utilisons plusieurs combinaisons, c.-à-d. si nous varions ?
7-457-45
Albert Lee Chun Portfolio Management 46
Portefeuille de rendement espéré en fonction des Portefeuille de rendement espéré en fonction des proportions d’écarts typesproportions d’écarts types
7-467-46
Albert Lee Chun Portfolio Management 47
Corrélation parfaite Corrélation parfaite
-
0.05
0.10
0.15
0.20
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12
E(R)
ρDE = +1.00
D
EAvec deux actifs parfaitement corrélés, c’est seulement possible de créer un portefeuille avec un rendement-risque selon la ligne entre les deux.
Avec vent à découvert.
Albert Lee Chun Portfolio Management 48
Parfaite CorrélationParfaite Corrélation
= +1= +1
)()()( EEDDP REwREwRE
) w + w ( =
w w 2 + w + w = 2
EEDD
EDED2E
2E
2D
2D
2p
1
w w= EEDDp
DEDE rrCov ),(
que Rappelez
Albert Lee Chun Portfolio Management 49
Corrélation zéroCorrélation zéro
f
-
0.05
0.10
0.15
0.20
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12
E(R)
ρDE = 0.00
ρDE = +1.00
f
gh
ij
kD
E
Avec des actifs non corrélés, c’est possible de créer un portefeuille moins risqué que des actifs orignaux..
w + w = 2E
2E
2D
2D
2p
Albert Lee Chun Portfolio Management 50
Corrélation zéroCorrélation zéro
= 0= 0
DEDE rrCov ),(
que vous-Rappelez
w + w =
w w 2 + w + w = 2E
2E
2D
2D
EDED2E
2E
2D
2D
2p
0
w + w= 2E
2E
2D
2Dp
Albert Lee Chun Portfolio Management 51
Corrélation positiveCorrélation positive
-
0.05
0.10
0.15
0.20
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12
E(R)
ρDE = 0.00
ρDE = +1.00
ρDE = + 0.50
f
gh
ij
kD
EAvec des actifs corrélats, c’est possible de créer un portefeuille de deux actifs entre les deux premières courbes
EDDEED2E
2E
2D
2D
2p ww2 + w + w =
Albert Lee Chun Portfolio Management 52
Corrélation négativeCorrélation négative
-
0.05
0.10
0.15
0.20
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12
E(R)
ρDE = 0.00
ρDE = +1.00
ρDE = -0.50
ρDE = +0.50
f
gh
ij
kD
E
Avec des actifs corrélés négativement, c’est possible de créer un portefeuille beaucoup moins risqué.
EDDEED2E
2E
2D
2D
2p ww2 + w + w =
Négatif
Albert Lee Chun Portfolio Management 53
Corrélation parfaitement négativeCorrélation parfaitement négative
-
0.05
0.10
0.15
0.20
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12
E(R)
ρDE = 0.00
ρDE = +1.00
ρDE = -1.00
ρDE = + 0.50
f
gh
ij
kD
E
Avec des actifs corrélés parfaitement négatifs, c’est possible de créer un portefeuille sans risque.
Albert Lee Chun Portfolio Management 54
Corrélation parfaitement négativeCorrélation parfaitement négative
) w - w ( =
ww 2 - w + w = 2
EEDD
EDED2E
2E
2D
2D
2p
| w - w=| EEDDp
0 =
+
= w et +
= w
P
ED
DE
ED
ED
alors
= -1= -1
Il existe des pondérations tel que
le risque total est nul.
DEDE rrCov 1),(
que Remarquez
Albert Lee Chun Portfolio Management 55
Portefeuille de variance minimalePortefeuille de variance minimale
Albert Lee Chun Portfolio Management 56
Le portefeuille à variance minimaleLe portefeuille à variance minimale
DEDD2E
2D
2D
2D
2p )w-(1w2 + )w-(1 + w = Min
0 = ) 2 - (2 - ) 4 - 2 + (2 w =
)w 4-(2 + )w-2(1 - w2 = w
DE2EDE
2E
2DD
DED2ED
2DD
D
2p
w - 1 = w
2 - +
- =
2 - +
- = w
DE
EDDE2E
2D
EDDE2E
DE2E
2D
DE2E
D
minmin
min
Albert Lee Chun Portfolio Management 57
Le portefeuille à variance minimale (PVM)Le portefeuille à variance minimale (PVM)
ED
E2
ED
DEE
ED2E
2D
ED2E
D +
= ) + (
) + ( =
2 + +
+ = wmin
+
0 - +
0 - = w 2
E2D
2E
2E
2D
2E
D
min
2 - +
- = w
DE2E
2D
DE2E
D
min1>1> > -1 > -1
= -1= -1
= 0= 0
= 1= 1S’il n’y pas de ventes à découvert,
alors le PVM est égal à l’actif avec le minimum de variance*. *Avec des ventes *Avec des ventes à découvert,
c’est possible d’avoir 0 variance.c’est possible d’avoir 0 variance.
Albert Lee Chun Portfolio Management 58
• La relation dépend du coefficient de corrélationLa relation dépend du coefficient de corrélation
-1.0 -1.0 << << +1.0 +1.0• Plus la corrélation est négative, plus la réduction Plus la corrélation est négative, plus la réduction
potentielle de risque est grande.potentielle de risque est grande.• SiSi= +1.0, aucune réduction de risque (sauf avec = +1.0, aucune réduction de risque (sauf avec
des ventes à découvert.) des ventes à découvert.)
L’effet de la corrélation L’effet de la corrélation
7-587-58
Albert Lee Chun Portfolio Management 59
Exemple 1: PVMExemple 1: PVM
Exemple:Exemple: Supposons qu’il y a seulement deux actifs A et B::
AA BB A,BA,B
E(r)E(r) 10%10% 14%14%
0.20.2 15%15% 20%20%
Trouvez le portefeuille de variance minimale?Trouvez le portefeuille de variance minimale?
w - 1 = w 2 - +
- = w AB
BA2B
2A
BA2B
Aminminmin
Albert Lee Chun Portfolio Management 60
Exemple 1: PVMExemple 1: PVM
Albert Lee Chun Portfolio Management 61
Exemple 2: Exemple 2: = .3 = .3
• Supposons que notre univers d’investissement comprend deux titres de la Table 7.1:
DD EE D,ED,E
E(r)E(r) 8%8% 13%13%0.30.3
12%12% 20%20%
• Quelles sont les pondérations de chaque titre dans un portefeuille de variance minimale?
7-617-61
Albert Lee Chun Portfolio Management 62
Exemple 2Exemple 2: : = .3 = .3
2
2 2
( , )
2 ( , )E D E
DD E D E
Cov r rw
Cov r r
• En minimisant le problème, nous obtenons:
• Numériquement:2
2 2
(20) 720.82
(20) (12) 272Dw
1 0.18E Dw w
7-627-62
Albert Lee Chun Portfolio Management 63
L’utilité de l’investisseurL’utilité de l’investisseur
E(r)E(r)
Investisseurs ayant une forte aversion au risque
Investisseurs ayant une forte aversion au risque
U’U’
U’’U’’
U’’’U’’’Investisseurs ayant moins d’aversion au risque
Investisseurs ayant moins d’aversion au risque
Albert Lee Chun Portfolio Management 64
Maximisez l’utilité de l’investisseurMaximisez l’utilité de l’investisseur
22
1)( ArEU
)()()( EEDDP rEwrEwrE
) 2 - + ( A
) - A( + )rE( - )rE( = w
DE2E
2D
DE2EED*
D
DEDD2E
2D
2D
2D
2p )w-(1w2 + )w-(1 + w =
Devoir: montrez que la solution est:
Albert Lee Chun Portfolio Management 65
ExempleExemple
Exemple:Exemple: Supposons qu’il n’y a que deux portefeuilles::
AA BB A,BA,B
E(r)E(r) 10%10% 14%14%
0.20.2 15%15% 20%20%
Trouvez le portefeuille optimal pour un investisseur ayant une Trouvez le portefeuille optimal pour un investisseur ayant une utilité quadratique de A = 3?utilité quadratique de A = 3?
w w
2 - +A
- A+rE - rE = w *
A*B
BA2B
2A
BA2BBA*
A 1 ,
Albert Lee Chun Portfolio Management 66
Exemple Exemple
59.01
,41.015.0*2.0*2.0*15.02.03
15.0*2.0*2.02.0314.010.022
2
ww
2 - +
- + - = w
*A
*B
*A
Albert Lee Chun Portfolio Management 67
Imaginez un univers avec Imaginez un univers avec 2 titres risqués et 1 titre sans risque2 titres risqués et 1 titre sans risque
Albert Lee Chun Portfolio Management 68
Deux CALsDeux CALs
7-687-68
Albert Lee Chun Portfolio Management 69
Avec un actif sans risqueAvec un actif sans risque
E(r)E(r)
CAL 1CAL 1
CAL 2CAL 2
CAL 3CAL 3
Le portefeuille optimaleest le portefeuille tangentLe portefeuille optimaleest le portefeuille tangent
Intuition : la solution est le CAL qui maximise la pente!
Intuition : la solution est le CAL qui maximise la pente!
EE
Albert Lee Chun Portfolio Management 70
Le CAL optimaleLe CAL optimale
7-707-70
Albert Lee Chun Portfolio Management 71
Le portefeuille optimalLe portefeuille optimal
7-717-71
Albert Lee Chun Portfolio Management 72
Exemple: Le portefeuille optimalExemple: Le portefeuille optimal
7-727-72
Albert Lee Chun Portfolio Management 73
Pondérations d’un portefeuille optimalPondérations d’un portefeuille optimal
p
fpp
r - )rE( = S
)()()( EEDDP rEwrEwrE
DEDD2E
2D
2D
2D
2p )w-(1w2 + )w-(1 + w =
*D
*E
DEfEfD2DfE
2EfD
DEfE2EfD
D
ww
rrEr rE rrE+ r rE
rrE-rrE = w
1
*
Devoir: Si vous êtes ambitieux, essayez de montrer que la solution optimale ait :
Albert Lee Chun Portfolio Management 74
Investisseurs A et BInvestisseurs A et B
P
E(r)
rf
i
jCAL
2P
fP*
A
r - )E(r = w
La proportion investie dans le portefeuille P va dépendre de l’aversion
au risque.
Albert Lee Chun Portfolio Management 75
Différents taux d’emprunt et de placementDifférents taux d’emprunt et de placement
E(r)E(r)
rfrf
P1P1
P2P2
Bfr
Albert Lee Chun Portfolio Management 76
Imaginez un univers avec une multitude de Imaginez un univers avec une multitude de titres risquéstitres risqués
Albert Lee Chun Portfolio Management 77
Le problème de MarkowitzLe problème de Markowitz
1i
iiw
p REwREMaxi
N
i
N
jpijjiww
1 1
*
N
iiw
1
1
Soumis à la contrainte
de:
Albert Lee Chun Portfolio Management 78
E(r)
Efficientfrontier
Frontière de variance minimale
7-787-78
Frontière de variance minimaleFrontière de variance minimale
Portefeuille de variance minimale
Albert Lee Chun Portfolio Management 79
E(r)
Efficientfrontier
Frontière efficiente
7-797-79
Frontière efficienteFrontière efficiente
Portefeuille de variance minimale
Albert Lee Chun Portfolio Management 80
Frontière efficienteFrontière efficiente
7-807-80
Albert Lee Chun Portfolio Management 81
• La combinaison optimale correspond au plus bas La combinaison optimale correspond au plus bas niveau de risque pour un rendement donnéniveau de risque pour un rendement donné
• Le <<trade-off>> optimal est décrit comme Le <<trade-off>> optimal est décrit comme l’efficiente frontière.l’efficiente frontière.
Prolongement du conceptProlongement du concept
7-817-81
Albert Lee Chun Portfolio Management 82
Pour la prochaine semaine, imaginez un Pour la prochaine semaine, imaginez un univers avec une multitude de titres risqués et univers avec une multitude de titres risqués et
1 titre sans risque1 titre sans risque
Albert Lee Chun Portfolio Management 83
LecturesLectures
Lectures pour d'aujourd'hui : Lectures pour d'aujourd'hui :
Chapitre 7Chapitre 7
Si vous n`avez pas suivi le cours Placement, Si vous n`avez pas suivi le cours Placement, vous devez lire le Chapitre 6.vous devez lire le Chapitre 6.
Lectures pour les 2 prochaines semaines :Lectures pour les 2 prochaines semaines :
Chapitre 7 (incluant l'appendice A)Chapitre 7 (incluant l'appendice A)
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