Download - PACESexcerpts.numilog.com/books/9782100727308.pdf · 2018-06-09 · TOUT L’UE3 EN FICHES Salah Belazreg Professeur agrégé et docteur en physique, il enseigne au lycée Camille

TOUT L’UE3 EN FICHES

SalahBelazregProfesseur agrégé et docteur en physique,

il enseigne au lycée Camille Guérin à Poitiers. Il a enseigné la biophysique et les biostatistiques

en classes préparatoires aux concours de Médecine.

Organisation des appareils et des systèmes : bases physiques des méthodes d’exploration

2e édition

PACES

9782100727308-belazreg-lim.indd 1 25/06/15 11:48

© Dunod, 20155 rue Laromiguière, 75005 Paris

www.dunod.com

ISBN 978-2-10-072730-8

© Dunod 2011 pour la 1re édition

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Table des matières

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Physique

[Mécanique]Fiche cours 1 Cinématique du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2Fiche cours 2 Dynamique du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . .6Fiche cours 3 Étude énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8Fiche cours 4 Chocs entre deux particules . . . . . . . . . . . . . . . . .12Fiche cours 5 Les oscillateurs mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . .15Fiche QCM 6 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

[Thermodynamique]Fiche cours 7 Théorie cinétique du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . .27Fiche cours 8 Statique des fluides ou hydrostatique . . . . . . . . .32Fiche cours 9 Premier principe de la thermodynamique . . . . . .35Fiche cours 10 Paramètres d’état. Transformations.

Travail échangé au cours d’une transformation réversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

Fiche cours 11 Second principe de la thermodynamique . . . . . . .42Fiche cours 12 Changements de phases d’un corps pur . . . . . . .45Fiche cours 13 Phénomènes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49Fiche cours 14 Thermodynamique chimique . . . . . . . . . . . . . . . .53Fiche QCM 15 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

[Mécanique des fluides]Fiche cours 16 Les phénomènes de surface . . . . . . . . . . . . . . . . .63Fiche cours 17 Mécanique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67Fiche QCM 18 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

[Électricité – Électromagnétisme]Fiche cours 19 Champ et potentiel électrostatiques . . . . . . . . . . .76Fiche cours 20 Le dipôle électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80Fiche cours 21 Flux du vecteur champ électrique.

Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

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[Table des matières]

IV

Fiche cours 22 Condensateurs. Capacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86Fiche cours 23 Électrocinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91Fiche cours 24 Milieux conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94Fiche cours 25 Champ d’induction magnétique . . . . . . . . . . . . . .98

Fiche cours 26 Action d’un champ magnétique −→B

sur un circuit fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102Fiche cours 27 Mouvement d’une particule chargée

dans un champ uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . .104Fiche QCM 28 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

[Ondes]Fiche cours 29 Généralités sur les ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . .115Fiche cours 30 Effet Doppler-Fizeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118Fiche cours 31 Notions sur les ondes électromagnétiques . . . . .121Fiche cours 32 Interférences. Diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125Fiche QCM 33 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

[Optique géométrie]Fiche cours 34 Fondements de l’optique géométrique . . . . . . . .134Fiche cours 35 Dioptres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138Fiche cours 36 Les lentilles minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142Fiche cours 37 L’œil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145Fiche cours 38 Les instruments d’optique . . . . . . . . . . . . . . . . . .147Fiche QCM 39 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

[Lumière et ondes]Fiche cours 40 Les origines de la physique quantique . . . . . . . .159Fiche cours 41 Niveaux d’énergie dans un atome . . . . . . . . . . .162Fiche cours 42 Le laser – Oscillateur à fréquence optique . . . . .166Fiche cours 43 Mécanique ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170Fiche QCM 44 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173

Biophysique

[Biophysique des solutions]Fiche cours 45 Généralités sur les solutions aqueuses . . . . . . . .182Fiche cours 46 Acides et bases en solution aqueuse . . . . . . . . .187Fiche cours 47 pH d’une solution aqueuse . . . . . . . . . . . . . . . . .189Fiche cours 48 Valeur de pH d’une solution aqueuse . . . . . . . . .192

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Fiche cours 49 Réactions acide-base. Courbes de titrage . . . . . .195Fiche cours 50 Diagramme de Davenport et troubles

acido-basiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199Fiche cours 51 Osmose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202Fiche cours 52 Mesure de la pression osmotique . . . . . . . . . . . .204Fiche cours 53 Travail osmotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206Fiche cours 54 Phénomènes électriques. Effet Donnan . . . . . . .208Fiche cours 55 Ultrafiltration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210Fiche QCM 56 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213

[Les radiations ionisantes]Fiche cours 57 Le noyau atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217Fiche cours 58 Stabilité des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221Fiche cours 59 La radioactivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224Fiche cours 60 Les différentes radioactivités . . . . . . . . . . . . . . . .226Fiche cours 61 Décroissance radioactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231Fiche cours 62 Une application de la radioactivité. La datation .234Fiche cours 63 Filiations radioactives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236Fiche cours 64 Les réactions nucléaires provoquées . . . . . . . . .239Fiche cours 65 Interactions des particules chargées

avec la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241Fiche cours 66 Spectre des rayons X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244Fiche QCM 67 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247

[Biophysique sensorielle]Fiche cours 68 Les amétropies sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . .255Fiche cours 69 L’astigmatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259Fiche cours 70 La presbytie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261Fiche cours 71 Ondes sonores et audition . . . . . . . . . . . . . . . . .264Fiche cours 72 Propagation des sons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266Fiche cours 73 Sons purs et sons complexes . . . . . . . . . . . . . . .269Fiche cours 74 L’audition subjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272Fiche QCM 75 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .275

[Imagerie médicale]Fiche cours 76 Formation des échos. Impédance acoustique . . .281Fiche cours 77 Atténuation du faisceau ultrasonore . . . . . . . . . .284Fiche cours 78 Imagerie médicale à l’aide des ondes U.S. . . . . .286Fiche cours 79 L’échographie Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .288


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Fiche cours 80 Les nombres quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291Fiche cours 81 Moments magnétiques de particules chargées .294Fiche cours 82 Les bases physiques de la RMN . . . . . . . . . . . . .296Fiche cours 83 Notions d’imagerie RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .300Fiche QCM 84 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304

Compléments mathématiques

Fiche méthode 85 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310Fiche méthode 86 Primitives. Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312Fiche méthode 87 Fonctions logarithme et exponentielle . . . . . . . .315Fiche méthode 88 Fonctions de plusieurs variables indépendantes 318Fiche méthode 89 Développement de fonctions en séries entières .320Fiche méthode 90 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323Fiche méthode 91 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .326Fiche méthode 92 Grandeurs fondamentales associées

à un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .330


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2

Repérage d’un point. Le paramètre position

a. En coordonnées cartésiennes

Soit (−→i ,

−→j ,

−→k ) une base orthonormale directe liée au référentiel (R).

Tout point M peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z) .Si O est l’origine du repère, le vecteur position s’écrit :

−−→O M = −→r = x

−→i + y

−→j + z

−→k

∣∣∣∣∣∣∣∣

x,y et z en mr = O M =

√x2 + y2 + z2

(−→i ,

−→j ,

−→k ) : base orthonormale

directe liée au référentiel

[Mécanique]

Cinématique du point

O

M

H

ik j

x

y

z

b. En coordonnées polaires (cas d’un mouvement plan)

On définit un axe Ox, axe polaire, et une origine ou pôle O.Un point mobile M peut être repéré par ses coordonnées polaires (r, θ)

où r = O M et θ = (−→Ox,

−−→O M).

Le vecteur position s’écrit donc :

−−→O M = −→r = r−→ur

∣∣∣∣−→r : rayon vecteurθ : angle polaire

[IMPORTANT]O

M

i

j

ur

x

y

r

(−→ur ,−→uθ) est une base locale mobile, orthonormée directe, liée au point M.

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[Cinématique du point]

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c. En coordonnées cylindriques

−−→O M = −→

O H + −−→H M = r−→ur + z−→uz

Avec r = O H et θ = (−→Ox,

−→O H) O

M

H

ur

x

y

z

r

uz

zM

Les grandeurs d’évolution

On définit la vitesse d’un point M dans le repère R par :

−→v =d

−−→O M

dt

R

L’accélération du mobile, à l’instant t , est la dérivée dans (R) du vecteurvitesse par rapport au temps, soit :

−→a =

−→dv

dt

R

=d2−−→O M

dt2

R

Expressions dans différents systèmes

de coordonnées

a. En coordonnées cartésiennes

−→v =d

−−→O M

dt

R

= x−→i + y

−→j + z

−→k ; x = dx

dt,y = dy

dt,z = dz

dt

−→a =

−→dv

dt

R

= x−→i + y

−→j + z

−→k ; x = d2x

dt2,y = d2y

dt2,z = d2z

dt2


[Cinématique du point]P

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b. En coordonnées cylindriques

−→v =d

−−→O M

dt

R

= r−→ur + r θ−→uθ + z−→uz

−→a =

−→dv

dt

R

= (r − r θ2)−→ur + (r θ + 2r θ )−→uθ + z−→uz

c. Dans le repère de Frenet

On introduit un repère mobile (−→τ , −→n ), lié au mobile M tel que :

: vecteur unitaire porté par la tangente à la courbe et orienté dansle sens du mouvement

: vecteur unitaire orthogonal à −→τ et dirigé vers la concavité dela trajectoire

−→v = v−→τ ; −→a = aτ−→τ + an

−→n avec

aτ = dv

dt

an = v2

R

Étude de quelques mouvements usuels

a. Mouvement rectiligne uniforme

Pour un mouvement rectiligne uniforme −→v = −→cste , par suite :

v = v0 = cste et x = v0t + x0

b. Mouvement rectiligne uniformément varié

Un point mobile M a un mouvement rectiligne uniformément varié si−→a = −→a0 = a0

−→i = −→cste , par suite :

(1) a = a0 = cste

(2) v = a0t + v0

(3) x = 12a0t2 + v0t + x0

, soit v2 − v20 = 2a0(x − x0)

−→τ−→n


c. Mouvement rectiligne sinusoïdal

Définition

Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdal si sa trajec-toire est une droite et sa loi horaire est une fonction sinusoïdale dutemps, soit :

x = xm sin(ωt + φ)

∣∣∣∣∣∣∣∣

xm : amplitude du mouvement

ω : pulsation (en rad · s−1)

φ : phase à l′origine (en rad)

(ωt + φ) : phase à la date t (en rad)

Vitesse et accélération du mobile

v = x = ωxm cos(ωt + φ)

a = x = −ω2 xm sin(ωt + φ)︸︷︷︸x(t)

= −ω2x, soit x + ω2x = 0

d. Mouvement circulaire uniforme

Définition

Un point mobile M a un mouvement circulaire uniforme lorsqu’il sedéplace sur un cercle fixe, de rayon R, par rapport au repère d’espace

choisi à la vitesse angulaire ω0 = θ = cste.

Vitesse et accélération du mobile

−→v = Rθ−→uθ = Rω−→uθ

−→a = −v2

R−→ur = −Rω2

0−→ur

L’accélération −→a est centripète et le mouvement est périodique de

période T0 = 2πω0

.

[Cinématique du point]©

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Dynamique

du point matériel

Les éléments cinématiques

a. Quantité de mouvement d’un point matériel

Soit un point matériel M, de masse m, se déplaçant à la vitesse −→v dansun repère (R).

Le vecteur quantité de mouvement du point matériel M, noté −→p , dans lerepère (R) s’écrit :

−→p = m−→v

∣∣∣∣∣∣∣

−→p : vecteur quantité de mouvementm : masse du point matériel−→v : vecteur vitesse du point matériel

b. Énergie cinétique

Un point matériel de masse m, se déplaçant à la vitesse v, dans un réfé-rentiel (R), possède une énergie cinétique telle que :

Ec = 1

2m v2

∣∣∣∣∣Ec en Jm en kgv en m · s−1

c. Relation entre énergie cinétique et quantité de mouvement

Comme −→p = m−→v , alors −→p 2 = m2−→v 2et par suite :

Ec = p2

2m; p : module du vecteur quantité de mouvement

Les différentes lois de Newton

a. Principe d’inertie (1re loi de Newton)

Le centre d’inertie d’un solide (pseudo) isolé est tel que :

[Mécanique]P

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[Dynamique du point matériel]

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• s’il est au repos, il reste au repos ;• s’il est en mouvement, son mouvement est rectiligne uniforme.

∑−→fext = −→

0 �⇒système isolé

oupseudo-isolé

�⇒−→vG = −→cste(−→p = −→cste

)

b. Relation fondamentale de la dynamique (2e loi de Newton)

Pour un point matériel de masse m, de quantité de mouvement −→p , sou-

mis à un ensemble de force ∑−→

fext , on a :

d−→pdt

=∑−→

fext

Pour un point matériel de masse m = cste, on a :

m−→aG =∑−→

fext

∣∣∣∣∣∣∣

m : masse du solide−→aG : vecteur accélération du centre d′inertie∑−→

fext : ensemble des forces s′exerçant sur le solide

c. Principe des actions réciproques (3e loi de Newton)

Si un système (A) exerce sur un système (B) une force −−→FA/B alors (B)

exerce sur (A) une force −−→FB/A telle que :

−−→FA/B = −−−→

FB/A

[ATTENTION]

Quel que soit l'état de mouvement de A par rapport à B, on a toujours

l'égalité vectorielle : −−−→F

A/B = −−−−→F

B/A .


Étude énergétique

Travail d’une force

a. Cas d’une force −→F constante

Lors d’un déplacement de son centre d’inertie d’un point A à un point B,

le travail d’une force constante −→F agissant sur un solide animé d’un

mouvement rectiligne par rapport à un référentiel (R) est donné par :

W (−→F )A �→B = −→

F · −→ABou

W (−→F )A �→B = F · AB · cos(

−→F,

−→AB)

∣∣∣∣∣F en NAB en mW (

−→F )A �→B en J

b. Cas d’une force variable pour un déplacement quelconque

Lors d’un déplacement élémentaire du point d’application d’une force−→F constante, le travail élémentaire δW vaut :

δW (−→F ) = −→

F · −→δlou

δW (−→F ) = F · δl · cos(

−→F,

−→δl )

∣∣∣∣∣∣F en Nδl en mδW (

−→F ) en J

Le travail total de la force −→F lorsque son point d’application se déplace

de A en B s’écrit :

W (−→F )A �→B =

∑B

AδW (

−→F ) =

∑B

A

−→F · −→δl

ou sous forme intégrale :

W (−→F )A �→B =

∫ B

A

−→F · −→dl avec

−→dl = −−→

M M ′ = −→v dt

[Mécanique]P

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[Étude énergétique]

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Théorème de l’énergie cinétique

a. Énergie cinétique

Un point matériel de masse m se déplaçant à la vitesse −→v , dans un réfé-rentiel (R), possède une énergie, appelée énergie cinétique, telle que :

Ec = 1

2mv2

∣∣∣∣∣Ec en Jm en kgv en m · s−1

b. Puissance d’une force

Par définition, la puissance est égale au travail fourni par unité de temps,soit :

P = δW

δt

∣∣∣∣∣W en Jt en sP en W

Pendant la durée δt , le point d’application de la force −→F s’est déplacé

de −→δl .

Le travail élémentaire s’écrit donc :

δW = −→F · −→δl = −→

F · −→v dt, où −→v =−→δl

δt

et par suite :

P = −→F · −→v

∣∣∣∣∣F en Nv en m · s−1

P en W

c. Relation entre la puissance et l’énergie cinétique

On a P = −→F · −→v . Comme

−→F = m

d−→vdt

alors P = md−→vdt

· −→v .


[Étude énergétique]P

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La masse m étant constante, on peut donc écrire :

P = d

dt(Ec)

∣∣∣P en WEc en J

d. Théorème de l’énergie cinétique

Pour un point M matériel, de masse m, se déplaçant à la vitesse −→v , dansun référentiel (R) galiléen, soumis à un ensemble de forces dont la résul-

tante est −→F :

dEc = δW (−→F ), soit �Ec = Ec2 − Ec1 =

∫ t2

t1

−→F · d

−→l = W

1−→2(−→F )

Énergie potentielle. Énergie mécanique

a. Force conservative

Une force −→F est dite conservative s’il existe une fonction Ep, dépendant

uniquement des coordonnées de position, telle que :

dEp = −−→F · −→dl

Ep est homogène à une énergie

∣∣∣∣∣∣Ep en JF en Nl en m

Ep est appelée énergie potentielle de la particule M associée à la force−→F .

Dans le cas d’une force −→F = F(x) · −→ux ne dépendant que d’une seule

coordonnée x , on a :

dEp = −F(x) · dx, soit F(x) = −dEp

dx

b. Relation entre travail et énergie potentielle

Le travail élémentaire d’une force −→F est δW = −→

F · −→dl.


[Étude énergétique]

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Si −→F est conservative alors

−→F dérive d’une énergie potentielle Ep telle

que dEp = −−→F · −→dl , soit :

δW = −dEp

Le travail total de la force −→F s’écrit donc :

W (−→F )1�→2 = −

∫ 2

1dEp = − [

Ep]Ep2

Ep1= Ep1 − Ep2

(Le travail de la force−→F est indépendant du chemin suivi)

c. Énergie mécanique d’un corps

Dans le cas d’un référentiel galiléen, on a vu que dEc = δW.

Si la force −→F est conservative, alors il existe une fonction Ep telle que

dW = −dEp.

En combinant les deux dernières relations, on obtient dEc = −dEp, soitd(Ec + Ep) = 0, c’est-à-dire :

Ec + Ep = Em = cste

La somme Em = Ec + Ep, qui se conserve au cours du temps, est appeléeénergie mécanique de la particule M.


Chocs entre

deux particules

Impulsion – Percusssion

Pour une particule de masse m et animée d’une vitesse −→v à l’instant t :

−→I = ∫ t2

t1

−→F dt

∣∣∣∣∣∣

−→F : résultante des forces agissant sur

la particule entre les instants t et t + ∆t−→I : impulsion de la force

−→F

[IMPORTANT]

[Mécanique]P

hysiq

ue

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❸➅➀➈

❼�

12

• Si −→F reste constante dans l’intervalle de temps ∆t = t2 − t1 et si ∆t

est très petit alors −→I est appelé percussion.

• Comme −→F = d−→p

dt, alors :

−→I = ∫ t2

t1d−→p = ∆−→p

L’impulsion reçue par un point matériel est égale à la variation de laquantité de mouvement de ce point matériel.

Chocs entre deux particules

Soient deux particules (1) et (2) de masses m1 et m2.

Si les deux particules viennent à se rencontrer, on dit qu’il y a collisionou choc entre les deux particules.Le système constitué par deux particules qui entrent en collision est unsystème isolé. Au cours d’un choc :

−→dp1

dt+

−→dp2

dt= −→

0

soit−→p1 + −→p2 = −→cste

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−→p1 = m1−→v1 : vecteur quantité

de mouvement de la particule(1) de masse m1−→p2 = m2

−→v2 : vecteur quantitéde mouvement de la particule(2) de masse m2

Le système constitué par deux particules qui entrent en collision est unsystème isolé.


[Chocs entre deux particules]

Ph

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ctio

n no

n au

tori

sée

est u

n dé

lit.

La conservation de la quantité de mouvement donne :

−→p1 + −→p2︸︷︷︸(avant le choc)

= −→p′

1 + −→p′

2︸︷︷︸(après le choc)

Chocs élastiques et chocs inélastiques

Soient deux particules de masse m1 et m2,−→v1 et −→v2 leurs vecteurs vites-

se avant le choc et −→v′

1 et −→v′

2 leurs vecteurs vitesse après le choc.

a. Choc élastique

Au cours d’un choc élastique, outre la conservation de la quantité demouvement, il y a conservation de l’énergie cinétique :

−→p = −→cste et Ec = cste

Ainsi :1

2m1v

21 + 1

2m2v

22︸︷︷︸

(avant le choc)

= 1

2m1v

′21 + 1

2m2v

′22︸︷︷︸

(après le choc)

Soit :p2

1

2m1+ p2

2

2m2= p′2

1

2m′1

+ p′22

2m′2

[IMPORTANT]

Au cours d'un choc inélastique, il n'y pas conservation de l'énergiecinétique.

c. Choc central élastique

Un choc entre deux particules est dit central ou « de plein fouet » si lesvecteurs vitesse avant et après le choc sont des vecteurs colinéaires.

• Lorsque les particules après le choc sont identiques aux particulesinitiales, on a un processus de « diffusion » et on parle alors de dif-fusion élastique.

• Dans le cas de particules chargées, il y a conservation de la chargeélectrique.

b. Choc inélastique

Au cours d’un choc inélastique, il y a dissipation de l’énergie.

[ATTENTION]


[Chocs entre deux particules]P

hysiq

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❼

14

Pour un choc central élastique, on peut écrire :

v′1x = 2m2v2x + (m1 − m2)v1x

m1 + m2et v′

2x = 2m1v1x − (m1 − m2)v2x

m1 + m2

∣∣∣∣∣∣∣

v1x : vitesse de la particule (1) avant le chocv2x : vitesse de la particule (2) avant le chocv′

1x : vitesse de la particule (1) après le chocv′

2x : vitesse de la particule (2) après le choc

Cas particuliers :

• Si avant le choc, la particule cible est immobile, soit v2x = 0, alors :

v′1x = m1 − m2

m1 + m2v1x ; v′

2x = 2m1

m1 + m2v1x

ϕ = (−→v1 ,−→v2 ) : angle de diffusion

v1

v'1

v'2

Avant le choc après le choc

x' x x' x

particule (2)immobile

• Si les deux particules se heurtent avec des vitesses opposées, soitv1x = −v2x.

Si, de plus, m1 = m2, alors :

v′1x = v2x = −v1x

et

v′2x = v1x


[Mécanique]

Les oscillateurs

mécaniques

Ph

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lit.

Définitions

a. Qu’est-ce qu’un oscillateur ?

On appelle oscillateur tout système qui effectue des mouvements de va-et-vient autour d’une position d’équilibre stable.Si Ep représente l’énergie potentielle du système, son évolution en fonc-tion de la position x peut être donnée par le graphe de la figure ci-dessous :

Un oscillateur est un système écartéde sa position d′équilibre stable.Le système se trouve donc dansune cuvette de potentiel.

[IMPORTANT]

p(x)

0

xx20

m

x0x1

Les oscillations sont libres quand, une fois écarté de sa position d'équilibre, l'oscillateur est abandonné à lui-même.

b. L’oscillateur harmonique

L’oscillateur est dit harmonique si sa cuvette de potentiel est parabo-lique.


[Les oscillateurs mécaniques]P

hysiq

ue✑➨❺❸➅➀➈

❼

16

La position d’équilibre stable cor-respond à x = x0. Ce mouvement n’a pas de bran-ches infinies, puisque x est limité àl’intervalle [x1,x2].Le mouvement de l’oscillateurdans la cuvette de potentiel estdonc un mouvement lié.

Dans le cas d’un oscillateur mécanique en translation selon un axe x ′Ox,par exemple, l’énergie potentielle s’écrit donc sous la forme :

Ep(x) = Ax2 + E0 avec A = cste > 0

c. Les oscillateurs mécaniques d’usage courant

Le pendule simple

La grandeur physique associée àl’oscillateur est l’angle θ(t) appe-lé élongation angulaire. θ(t) désigne l’écart angulaireentre la position du pendule àl’instant t et celle à l’équilibre. L’élongation θ(t) est une grandeuralgébrique.

xx20

m

x0x1

0

p(x)

O

gl

Verticale du lieu

+


Le pendule élastiqueLa grandeur physique associée àl’oscillateur est l’élongation x(t).x(t) désigne l’écart entre la posi-tion du pendule à l’instant t etcelle à l’équilibre.L’élongation x(t) est une grandeuralgébrique.

Étude du pendule élastique

a. Étude dynamique

Le système étudié est le solide de masse m et de centre d’inertie G .On écarte le solide de sa position d’équilibre de x = a puis on le lâchesans vitesse initiale.Dans le référentiel terrestre suposé galiléen, le système est soumis à trois

forces : son poids −→P , la réaction normale de l’axe

−→RN et la force de rap-

pel du ressort −→T .

[Les oscillateurs mécaniques]

Ph

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lit.

x

l0

l

Ox' x

ux

À l’équilibre

En mouvement

x = l - l0

l0

l

x ' 0 x

i

À l’équilibre

En mouvement

RN

P

RN

RNRNT

P

À l’équilibre :−→P + −→

RN = −→0 .

En mouvement :−→P + −→

RN + −→T = m−→a

Après projection sur l’axe x ′Ox, il vient :

−kx = mx, soit x + k

mx = 0

Les solutions sont de la forme : x(t) = A cos(ω0t + ϕ) avec ω0 =√

k

m


• Les oscillations d’un pendule élastique non amorti sont sinusoïdales(on dit aussi harmoniques).

• La période propre des oscillations est T0 = 2π

ω0= 2π

√m

k.

• T0 ne dépend que des paramètres mécaniques de l’oscillateur : soninertie (masse m) et la constante k du ressort.

b. Étude énergétique

L’énergie mécanique du système est égale à la somme de son énergiepotentielle et de son énergie cinétique, soit :

Em = Ep + Ec avec

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Ep = 1

2kx2

et

Ec = 1

2mv2 = 1

2mx2

Les transformations énergé-tiques Ep � Ec du pendule élas-tique peuvent être suivies sur lesdiagrammes ci-contre.

[Les oscillateurs mécaniques]P

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ue✑➨❺❸➅➀➈

❼

18

p(x) = k.x2

c

p

c

x0

m

nergieÉ

- xmax xmax

12


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lit.

[Mécanique]

QCM

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19

Énoncés

Un motard se rend d’une ville A à une ville B à la vitesse moyen-

ne v1 = 96 km.h−1

Il revient immédiatement de la ville B à la ville A, en passant par

la même route, à la vitesse moyenne v2 = 66 km.h−1

Calculer sa vitesse moyenne sur l’ensemble du parcours.

❑ a. 25 m.s−1 ❑ b. 76 km.h−1

❑ c. 78 km.h−1 ❑ d. 83 km.h−1

❑ e. 22 m.s−1

Un objet tombe en chute libre sans vitesse initiale d’une hauteurh. Cet objet parcourt 9,5 m lors de la dernière seconde de chute.Donnée :Intensité du champ de pesanteur supposée constante :

g = 9,8 m.s−2.

Sa vitesse lorsqu’il atteint le sol est :

❑ a. 9,8 m.s−1 ❑ b. 14,4 m.s−1

❑ c. 49 km.h−1 ❑ d. 52 km.h−1

❑ e. 54 m.s−1

Un point matériel M effectue un mouvement dans un plan

(O,−→Ox ,

−→Oy) . Les coordonnées x et y du point M varient en fonc-

tion du temps selon :{

(1)x = 0,3 cos (0,5πt + 4,25)

(2)y = 0,3 sin (0,5πt + 4,25)

Toutes les grandeurs sont exprimées dans le système S.I.

❑ a. Le point M effectue un mouvement sinusoïdal rectiligne.❑ b. Le point M effectue un mouvement circulaire uniforme.❑ c. La période du mouvement du point M est T0 = 0,5 s.

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[QCM]P

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20

❑ d. La période du mouvement du point M est T0 = 4 s.❑ e. La fréquence du mouvement du point M est f = 0,5 Hz.

Un bombardier chargé de détruire une cible, une usine pétrochi-mique, vole à l’altitude h = 2,5 km selon un mouvement rectili-gne uniforme à la vitesse v0.En passant à la verticale d’un point H du sol, situé à la distanced = 2,5 km du centre de l’usine, le bombardier largue une bombesans vitesse initiale.

Données :L’édifice de l’usine est un carré de 200 m de côté.Les forces de frottement avec l’air sont négligeables.

Vitesse du bombardier : v0 = 396 km · h−1.

Intensité du champ de pesanteur supposée constante : g = 9,8 m · s−2

❑ a. La cible (centre de l’usine) sera atteinte.❑ b. L’impact se produira à 200 m avant le centre de l’usine.❑ c. L’impact se produira à 2 km après le centre de l’usine.❑ d. L’impact se produira à 15 m avant le centre de l’usine.❑ e. La cible ne sera pas atteinte.

L’énoncé suivant est commun aux questions 5 et 6.

Un sportif de masse m = 75 kg effectue un saut à l’élastique en selançant sans vitesse initiale d’un point A d’un pont situé au dessusd’une vallée (figure ci-après).

pp = 0z = 0

z'

zA

B

C


L’élastique a une longueur à vide l0 = AB = 23 m et sa masse estnégligeable.On prendra le point A comme origine des altitudes et des énergiespotentielles de pesanteur. On négligera les frottements avec l’air.

Donnée : g = 9,8 m · s−2.

La vitesse du sauteur au point B est :

❑ a. 12,34 m · s−1 ❑ b. 21,23 m · s−1 ❑ c. 29,40 m · s−1

❑ d. 36,05 m · s−1 ❑ e. 4,61 m · s−1

L’énergie mécanique du système {Terre - sauteur - élastique} vaut :

❑ a. −16,9 · 103 J ❑ b. −12,5 · 103 J ❑ c. +16,9 · 103 J

❑ d. 0,0 J ❑ e. +22,6 · 103 J

L’énoncé suivant est commun aux questions 7 et 8.

Un point matériel M de masse m peut se déplacer sur un axe Ox .

En fonction de son abscisse x sur cet axe, l’énergie potentielle deM au voisinage de l’origine est donnée par :

Ep(x) = −V0(1 − 0,2x2)

Quelle est l’expression de la force à laquelle est soumis M au voi-sinage de l’origine ?

❑ a. 0,4V0x ❑ b. −0,4V0x ❑ c. −0,2V0x

❑ d. −V0(1

x− 0,2x) ❑ e. 0,2V0x2

Sous l’effet de cette force, le point M est animé d’un mouvement :

❑ a. Rectiligne uniforme

❑ b. Uniformément accéléré

❑ c. Sinusoïdale de période T0 = 2π√

m

0,4V0

❑ d. Sinusoïdale de période T0 = 2π√

0,4V0

m❑ e. Aucune des propositions précédentes n’est correcte.

[QCM]

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lit.
