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PORTIQUE : CALCUL DES FORCES AUX LIAISONSFiche n°5
EXEMPLE DE PORTIQUE > POUR LE CALCUL DES EFFETS DE LA NEIGE ET DU VENT
FERME EXPÉRIMENTALE DE L'INA : Architecte : Denis Compère (29) > 1998 > Thivernal-Grignon (78)
[Revue Séquences Bois / n°33 / Décembre 2000]
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A B
C
10 m[1 portique tous les 4 m]
5 m
Hauteurnégligeable
Objectif : trouver les forces et les moments qui s'exercent aux liaisons de la structure.
1/ la structure est-elle isostatique ?
3 x N = n ? 3 x 2 = 2 + 2 + 2 La structure est isostatique
Ou encore 3 x 4 = 2 + 3 + 2 + 3 + 2 idem mais en séparant les parties du portique
2/ Quelles sont les sollicitations pour la structure ?
La neige, le vent, le poids propre de la structure
Données de base : Poids d'un demi portique : 500 + 500 = 1 000 daN (Ppartie horizontale + Ppartie verticale)
Si le bâtiment est situé à Grenoble (altitude 220 m), on obtient les valeurs suivantes [fiche n°2] :
Pneige = 100 daN/m2 Pvent (surpression) = 110 daN/m2 P'vent (dépression) = 70 daN/m2
Le bâtiment étant symétrique on peut pour les charges de neige ne travailler que sur un demi portique. Chaque demiportique (en dehors des deux portiques aux extrémités) porte 5 m (long) x 4 m (large) = 20 m2 de toiture.
Soit Pneige par demi portique = 100 x 20 = 2 000 daN
Le bâtiment ne peut pas être traité symétriquement pour le vent (surpression sur une face, dépression sur l'autre).
Chaque demi portique offre au vent 5 m (haut) x 4 m (large) = 20 m2 de surface verticale.
Soit Psurpression par demi portique = 110 x 20 = 2 200 daN et Pdépression par demi portique = 70 x 20 = 1 400 daN
3/ Séparation des problèmes : 1/ Poids puis 2/ Vent
4/ Problème 1 : Poids
A/ Isolement d'un demi portique (symétrie de la structure et des forces liées aux charges verticales)
B/ Recensement des forces et de moments : on ne connaît ni la direction, ni le sens, ni la valeur de FA et de FC ?
Il n'y a que des liaisons doubles, donc pas de moment.
P neige par demi portique (0 ; -2000) P d'un demi portique (0 ; -1000) FA (FAX? ; FAY?) FC (FCX? ; FCY?)
En C la structure est symétrique, nous avons une liaison double : les forces FC (gauche) et FC (droite) sont forcément égaleset opposées : seule solution en dehors d'une force nulle en X et Y : FC (FCX? ; 0)
C/ Somme des forces est égale à zéro (∑F = 0) et somme des moments est égale à zéro (∑M = 0)
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r F x =
r 0 ∑ ⇒ F Ax + F Cx = 0 ⇔ F Ax = −F Cx
r F y =
r 0 ∑ ⇒ − 2000 − 1000 + F Ay = 0 ⇔ F Ay = 3000daN
Pour trouver les valeurs manquantes, il faut utiliser ∑M = 0 en choisissant par exemple le point A comme point fixe pour lecalcul des moments.
r M / A =
r 0 ∑ ⇒ Ppartie horizontale × 2,5m + Pneige sur un demi portique × 2,5m − F Cx × 5m = 0
F Cx = [(−500 × 2,5) + (−2000 × 2 , 5 ) ] / 5= −1250daN donc F Ax = 1250daN
5/ Problème 2 : Vent
A/ Isolement des deux demi-portiques (symétrie de la structure mais asymétrie des forces liées aux pressions)
B/ Recensement des forces et de moments : on ne connaît ni la direction, ni le sens, ni la valeur de FA, FB et de FC ?
Il n'y a que des liaisons doubles, donc pas de moment.
Demi portique gauche (surpression) Demi portique droit (dépression)
P surpression (0 ; 2200) FA (FAX? ; FAY?) FC (FCX? ; FCY?) P dépression (0 ; 1400) FA (FAX? ; FAY?) -FC (-FCX? ; -FCY?)
C/ Somme des forces est égale à zéro (∑F = 0) et somme des moments est égale à zéro (∑M = 0)
Demi portique gauche (surpression) Demi portique droit (dépression)
(1) r F x =
r 0 ∑ ⇒ P surpression + F Ax + F Cx = 0
( 2 ) r F y =
r 0 ∑ ⇒ F Ay + F Cy = 0
(3) r M / C =
r 0 ∑ ⇒ P surpression × 2,5 + F Ax × 5 − F Ay × 5 = 0
(1 ' ) r F x =
r 0 ∑ ⇒ P dépression + F Bx − F Cx = 0
( 2 ' ) r F y =
r 0 ∑ ⇒ F By − F Cy = 0
( 3 ' ) r
M / C =r 0 ∑ ⇒ P dépression × 2,5 + F Bx × 5 + F By × 5 = 0
On a 6 équations à 6 inconnues
( 2 et 2' ) F Cx = −F Ay et F Cy = F By donc F By = −F Ay
(1 et 1 ' ) puis après remplacement dans 3 et 3 ' (3+ 3' ) on obtient :
F Ax = − 14
(3P surpression + P dépression) = −0,25 × (3 × 2200 +1400) = −2000daN
F Ay = −F By = −(P surpression + P dépression) × 5 / 2 0= −0,25 × (2200 +1400) = −900daN
F Bx = −(P surpression + P dépression) − F Ax = −(2200 + 1400) − (−2000) = −1600daN
F Cy = − F Ay = 900daN
F Cx = − P surpression − F Ax = −2200 − (−2000) = −200daN
Forces aux liaisons (poids) Forces aux liaisons (vent)
A B
C C
FA (1250,3000) FB (-1250,3000)
FC (-1250,0) -F C (1250,0)
A B
C
C
FA (-2000,-900) FB (-1600,900)
FC (-200,900)
-F C (200,-900)
Le bâtiment doit résister à l'un (la neige seule > écartement des portiques), à l'autre (le vent seul > arrachement desportiques) et aux deux cumulés (le vent & la neige).
[Cf. pour plus de détails sur les principes de calcul : Pierre Lavigne, Approche scientifique des structures, polycopié EAG]