CX1614 Banque commune Ecole Polytechnique ENS de CachanPSISession 2011Epreuve de Sciences Industrielles pour l'IngnieurDure : 5 heuresAucun document n'est autorisL'usage de calculatrice lectronique de poche alimentation autonome, non imprimante et sansdocument d'accompagnement, est autoris selon la circulaire n99018 du 1er fvrier 1999. De plus,une seule calculatrice est admise sur la table et aucun change n'est autoris entre les candidats.Si aucoursdel'preuve, uncandidat reprecequi lui sembletreuneerreurd'nonc, il lesignale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'ilestamen prendre.Systme de dtection et de poursuite Sirius Figure 1 : frgate ( gauche) et son systme de dtection et de poursuite Sirius ( droite).Le sujet est compos : de ce livret dcrivant le systme tudi ainsi que le travail demand ; dun document rponse joindre la copie. Il est recommand au candidat : de rappeler le numro de la question avant den dvelopper la rponse ; de respecter lensemble des notations alphabtiques et numriques du sujet ; de prciser ses propres notations lorsque cela savre ncessaire ; de justifier ses hypothses et de rdiger clairement ses rponses. Les quatre parties de ce sujet sont relativement indpendantes. Nanmoins il est recommand deles traiter dans l'ordre propos pour tenir compte des diffrentes remarques et notations.1/22 TOURNEZ LA PAGE S.V.P.Partie 1 : Prsentation de SiriusLaprotectiondesbateauxmilitairesest essentiellepourlaMarine. Parmi lesmenacespotentielles, les missiles sol-mer constituent un rel danger car leur vitesse et leur petitetaille lesrendentdifficilementreprables.Les bateaux disposentde radars performantspermettant cereprage, maisdanscertainscasl'missionradar dubateaudoit trecoupepourrduiresavisibilitmagntique. Lesmilitairesdoivent doncdisposerd'unsystme permettant de reprer les cibles volantes sans utiliser de radar.Une des solutions utilises est le systme de dtection et de poursuite baptis Sirius (voirfigure1). Siriuspermet dereprerlesobjetsvolantssansmettred'ondemagntique,mais simplement en reprant leur signature thermique. Plac en haut du mt du bateau(voir figure2), il transmet directement les informations dedtectionausystmedecontrleanti-attaquequi endduit lesactionsraliser. Siriusestdvelopppar lasocit Thals et a fait l'objet d'un dpt de brevet (brevet n 5,573,218du 12/11/1998).SiriusAxe de roulisAxe de tangageFigure 2 : situation de Sirius sur un bateau.Q1 : Expliquer la raison pour laquelle Sirius doit tre situ en haut du mt du bateau.Q2 : Proposer un diagramme SADT de niveau A-0 du Sirius.L'environnement de Sirius, au cours de sa phase d'utilisation, est partiellement modlissur le diagramme des interacteurs de la figure 3.SiriusBateauConditionsambiantesObjet volantSystme de contrleanti-attaqueFS1FS2 FS3Figure 3 : diagramme partiel des interacteurs.2/22Unextrait ducahierdeschargesidentifiant lesfonctionsdeserviceest fourni dansletableau suivant :Fonctions Critres NiveauxFS1 : permettre au systmede contrle anti-attaque dedtecter l'objet volant Frquencederafrachissement desinformations1 HzAzimut horizontal dedtection360Prcision de dtectionangulaire +/- 2 FS2 : s'adapter au bateauCompensation de vitesseangulaire (tangage/roulis)+/- 0,5 rad/s maximumCompensation d'acclrationangulaire (tangage/roulis)+/- 5 rad/s2 maximum FS3 : rsister aux conditionsambiantesRsistance l'atmosphresalineTotaleRsistance l'eau TotaleE.M.E Critres NiveauxObjet volantLongueur d'onde dtecter [0,8 ; 5] mmVitesse des objets volants < 5000 km/hBateauAmplitude maxi d'angle deroulis+/- 15 Amplitude maxi d'angle detangage+/- 10,5 Sirius est constitu (figures 4 et 5) : d'un systme d'observation, not OBS, ralis par une tte principale et deux ttessensorielles ;d'unsystmedestabilisation, notSTAB, ralispar unensembledeplansinclins (coins). Le coin 1 tourne par rapport au socle 0 (encastr sur le bateau) ; le coin 2 tourne parrapport aucoin1; latteprincipale3tournepar rapport aucoin2; lesdeuxttessensorielles 4 et 5 (munies chacune d'une camra infrarouge) tournent par rapport latte principale 3. Chacun de ces mouvements de rotation possde ses propres units depilotage et de contrle. 3/22 TOURNEZ LA PAGE S.V.P.Camra infrarougeTtesensorielle 4Socle infrieur 0Coin 1 Coin 2Tte principale 3Tte sensorielle 5Figure 4 : les diffrentes pices constituant lesystme Sirius.Figure 5 : identification des systmes STAB et OBS, avec ttes sensorielles orientesdiffremment.Q3 : Raliser un schma cinmatique de Sirius.Le systme de stabilisation (STAB) de Sirius permet l'inclinaison partielle, dans toutes lesdirections, du systme d'observation (OBS) par rapport au socle 0 de manire compenser les mouvements de tangage et de roulis du bateau (voir figure 2). Ilassureainsi la verticalit de l'axe de rotation de 3 par rapport la surface de la mer, dans toutesles conditions de navigation.En phase de scrutation de l'espace, la tte principale 3 est en rotation vitesse constantepar rapport 2. Ds qu'un objet volant a t repr, les angles de rotation des pices 3, 4et 5 sont calculs de manire ce que les camras infrarouges suivent l'objet dans sonmouvement. Les rotations de 4 et 5 par rapport 3 peuvent ventuellement trediffrentes pour suivre plusieurs objets en mme temps (voir figure 5). ChaqueanglederotationdepicedansSiriusest mesurpar descodeursoptiquesabsolus. Ces codeurs sont situs sur la priphrie extrieure d'un engrenage extrieur de263 mm de diamtre, et doivent fournir des informations angulairesavec une prcisionquivalant moins d'un micromtre sur cette priphrie.Q4 : Expliquer le fonctionnement des capteurs utiliss, et dterminer le nombre de bitsqu'ils doivent avoir au minimum pour obtenir la prcision souhaite.4/22Systme OBSSystme STABPartie 2 : Validation des performances de compensation de roulis et de tangageL'objectif de cette partie est de prvoir la capacit de Sirius satisfaire lescritresdecompensation des perturbations de la fonction FS2, rappels dans le tableau ci-dessous.Fonctions Critres NiveauxFS2 : s'adapter au bateauAmplitude maxi d'angle deroulis+/- 15 Amplitude maxi d'angle detangage+/- 10,5ParamtrageLe paramtrage retenu pour cette tude est dcrit sur la figure 6.Figure 6 : paramtrage retenu pour tudier Sirius.Le rfrentiel attach la Terre, suppos galilen, est notRG=OG;xG, yG, zG=OG; bG .zG concide avec la verticale (normale la surface de la mer). Le systme STAB de Sirius est compos d'un socle et de deux coins, tousd'ouverture=15 : le socle 0 (encastr sur le bateau) est muni d'un repre R0=O0;x0,y0,z0=O0;b0. Cerepreest doncliaubateauet dfinit sonorientationpar rapport RG. Lafacesuprieure du socle 0 est incline de l'anglepar rapport au pont du bateau ;le coin 1 est muni d'un repre R1=O1; x1, y1, z1=O1; b1. Il tourne par rapport aucoin 0 d'un angle1 autour de l'axe z1 ;le coin 2 est muni d'un repre R2=O2; x2, y2, z2=O2; b2. Il tourne par rapport aucoin 1 d'un angle 2 autour de l'axe z2.5/22 TOURNEZ LA PAGE S.V.P.xGzGyGx0z0x1z1x2x3z2z3O0O1O2O3Socle 0Coin 1 Coin 2Tte principale 3La tte principale 3 est quant elle munie d'un repreR3=O3; x3, y3, z3=O3; b3 . Elletourne par rapport au coin 2 d'un angle3 autour de l'axe z3.Sirius peut avoir deux phases de comportement distinctes :unephasedescrutation:Siriusscrutel'horizonlarecherched'ventuelsobjetsvolants. Dans cette phase, z3=zG et `3= ( vitesse angulaire constante) ; une phase de suivi : Sirius suit un objet volant identifi. Dans cette phase, z3=zGet3 dpend de la position de l'objet volant suivre. Dans notre tude, on considre quela position de l'objet suivre est telle que b3=bG pendant la phase de suivi.Dans toute cette partie 2, on tudie Sirius dans la phase de suivi ; le systme STABdoit donc assurer tout instant la relation b3=bG.Calcul de la position neutre de SiriusDanscettesection(Q5-Q9), onsupposequelebateaunesubit aucuneperturbationextrieure; il est dit en position neutre, et les bases bG et b0 sont confondues.LapositionderfrencedeSirius,pourlaquelle1=2=3=0ety0=-y1=y2=y3, estreprsente sur la figure 6.Q5 : Expliquer pourquoi, en l'absence de perturbation sur le bateau, cette position derfrence n'est pas adapte au comportement attendu de Sirius.La position de la base b3par rapport la base b0peut tre dcompose partir derotations lmentaires ; on obtient la chane b3b30b2b20b1b10b0, o bi0 est labase associe au solide i lorsque i=0.Q6 : Dterminer les matrices de passage P330etP302permettant respectivementde passer de la base b3 la base b30, et de la base b30 la base b2. Exprimerces matrices en fonction des paramtres3 et .Les autres matrices de passage entre les diffrentes bases s'crivent :P220=cos2-sin20sin2cos200 0 1 ;P110=cos1-sin10sin1cos100 0 1P201=P100=-cos 0 sin0 -1 0sin 0 cos Q7 : Dterminer l'expressiondelamatricedepassageP30enfonctiondessixmatrices prcdentes. Dterminer la valeur de P30 pendant la phase de suivi.On obtient alors neuf relations, prsentes en Annexe 1, qui doivent tre vrifies par lesangles de rotation1, 2 et3. On peut montrer que ces relations se rsument aux cinqrelations indpendantes suivantes :6/22cos1=cos 1coscos2=cos1 ; sin2=sin1cos3=-cos1 ; sin3=-sin1Q8 : En dduire les familles de solutions possibles pour1, 2, 3, et fairel'application numrique. En pratique, on conserve la solution telle que10 . Cette solution, note1n, 2n, 3npar la suite, correspond la position neutre de Sirius (i.e. la position permettant d'assurerla phase de suivi lorsque le bateau est en position neutre).Q9 :Si Sirius tait dans une phase de scrutation ( la vitesse de rotation autour dez3)etlebateauenpositionneutre, quelleseraitl'expressiondesangles 1t ,2t et 3t ?Etude des performances de compensation de tangage et de roulisEnpratique, onagnralementbG=b0, carlebateauest soumisdesperturbationsoccasionnes par les mouvements de la mer. Le bateau subit en effet des mouvements derotation non souhaits autour de ses axes propres(voir figure 7) : mouvement de lacet, caractris par un angle l, autour de z0; mouvement de tangage, caractris par un angle t, autour de y0; mouvement de roulis, caractris par un angle r, autour de x0 .SiriusAxe de roulis (autour de)Axe de tangage (autour de)Axe de lacet (autour de)x0y0z0Figure 7 : dfinition des axes de lacet, tangage et roulis.Pour conserver la position de suivi tudie (b3=bG), il faut alors apporter une correction1, 2, 3 auxangles derotationdusystmeSTAB. Les nouveaux angles derotation sont1=1n1, 2=2n2, et3=3n3.Q10 : Dansle cas d'une perturbation de lacet seule, donner l'expression de1, 2, 3en fonction del.On se place prsent dans le cas d'une perturbation de tangage seule.7/22 TOURNEZ LA PAGE S.V.P.Q11 : Dessiner, dans le plan x0, z0, les deux positions extrmes de Sirius permettantdescartsangulairesmaximauxentreles vecteursz0et z3. Endduirelesamplitudes (positive et ngative) de tangage qu'il serait thoriquement possible decorriger avec le systme STAB.En pratique, les angles de rotation des moteurs ont des amplitudes limites : l'angle1peut varier entre -50 et +130, tandis que l'angle2 peut varier entre 20 et 170. Q12 : Pour uneperturbationdetangagependant laphasedesuivi, dterminer lanouvelle expression que doit avoir P30 en fonction de l'angle de tangage t. On obtient alors neuf nouvelles relations vrifies par 1, 2, 3 (voir Annexe 1). Elles sersument :cos1=cos-Qcost-Q avec Q=cos sinsintcos costcos2=cos2sin21-cos21cos2sin21cos21 ; sin2=2cossin1cos1cos2sin21cos21cos3=-cos 1 ; sin3=-sin1Q13 : Dterminer le nombre de solutions 1,2,3 possibles et celle qui est appliqueenpratiquedansSirius. Tracer alorsl'volutionapproximativede1et2enfonction det, pour t-[-10,5; 10,5].Une tude similaire peut tre mene pour une perturbation de roulis seule, et pour uneperturbation couplant la fois tangage et roulis. On obtient alors la correspondance entre1, 2 et t, r reprsente sur la figure 8.Q14 : Expliquer quoi correspond la position note N sur la figure 8. Vrifier qu'elle estcompatible avec les rsultats prcdemment obtenus.Q15 : Expliquer en quoi le point de fonctionnement Dpeut trecritique pour ledimensionnement des moteurs pilotant les rotations du systme STAB.Q16 : A partir de la figure 8, dterminer les amplitudes extrmes de tangage (resp. deroulis)quelesystmepeut corrigerencasderoulisnul (resp. detangagenul).Expliquer brivement pourquoi ces amplitudes detangage(resp. deroulis) nepeuvent pas tre corriges quel que soit le roulis (resp. le tangage).Q17 : Donnerl'amplitudedetangagequ'il reste cependantpossibledecorrigerquelque soit l'angle de roulis compris dans la plage r-[-15,15].Q18 : Conclure sur la capacit de Sirius satisfaire les critres de compensation deperturbations de la fonction FS2.8/22ABCD-40 -60 -20 0 20 40 60 80 100 120 140N20180160140120100806040BADC-40 -40-30-20-1001020-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40Angle de roulis ()Angle de tangage ()NPositions maximales atteintesDiffrentes positions atteintes12Figure 8 : correspondance entre les angles de pilotage et les angles du bateau.Pertinence de la solution retenue pour le systme STAB : influence du socle 0On se propose de valider l'emploi du socle 0, qui ne sert finalement que de support ausystme STAB. L'absence de ce socle revient considrer que z1=z0 (voir figure 6). Q19 : Donner, enl'absencedeperturbationextrieure, laplussimpleconfiguration1, 2,3permettant d'obtenir la position correcte de Sirius pendant la phase desuivi.Dans le cas d'une perturbation de tangage d'amplitudetpendant la phase de suivi etsanslesocle0, onmontrequelesanglesderotation1, 2, 3doivent vrifier lesrelations donnes en Annexe 1 afin de compenser la perturbation. Q20 : Montrer que lorsquet=0 , il y a une infinit de positions 1, 2, 3possiblespour le systme, et les expliciter. En dduire l'incidence sur la stabilit de Sirius lorsd'une compensation de tangage.Q21 : noncer la fonction technique ralise par le socle 0.9/22 TOURNEZ LA PAGE S.V.P.Partie 3 : Validation des performances de compensationde vitesse et d'acclration angulaireL'objectif de cette partie est de choisir une motorisation qui permette Sirius de satisfairelescritresdevitesseet d'acclrationangulairede lafonction FS2, rappels dans letableau ci-dessous. Fonctions Critres NiveauxFS2 : s'adapter au bateauCompensation de vitesseangulaire (tangage, roulis)+/- 0,5 rad/s maximumCompensation d'acclrationangulaire (tangage, roulis)+/- 5 rad/s2 maximumLecandidat est invitprendreconnaissanceduparamtragedelapartie2,ncessaire pour aborder cette partie.On se limite au cas o le systme STAB, tudi dans la partie 2, assure tout instant larelationz3=zG. OnsupposequetouteslesliaisonsentrelespicesdeSiriussontparfaites. On note Ci tle couple moteur dans la liaison associe la rotation d'angleit , et onintroduit levecteurCt =C1t C2 tC3t .Enintroduisant galement levecteur=123, on montre alors qu'il existe, pendant la phase de scrutation, un lien entre t etCt s'crivant sous la forme :M=Ct h,`, t CpertQ22 : Expliquer ladmarchegnrale, lesprincipesphysiqueset lesmodlesquipermettent d'obtenir unetellequation, et donner lasignificationphysiquedesdiffrents termes (leurs expressions ne sont pas demandes). Cettequationest fortement non-linaire, et onseproposedanslasuitedesimplifierl'tudeenlinarisantlemouvementautour delapositionneutre1n, 2ndeSiriuscalcule dans la partie 2. Cela revient considrer les bases de calculb1etb2fixesdans le repre terrestre RG.On peut alors dcoupler, par linarit, les diffrentesperturbations dynamiques subies parSirius pendant la phase de scrutation : action du vent ;dsquilibrepossibledeSiriusdl'actiondugivreet larotationdesttessensorielles; perturbations de tangage et de roulis ;et tudier sparment leur impact sur Sirius.10/22Modlisation de la perturbation due l'action du ventLa tte principale 3 et les ttes sensorielles 4 et 5 constituant le systme OBS de Sirius(voir figure4)sont assimilesenpremireapproximationdesvolumeslmentaireshomognes (figure 9) : paralllpipde rectangle de cts 2L2a2a pour la tte principale ; ce volume demasse M a pour centre de gravit G3 tel que O3G3=az3 ;cylindres de rayon r, de hauteurh, et d'axes respectifsz4 etz5 pour les ttessensorielles 4 et 5 ; ces volumes de masses identiques m ont pour centres de gravitrespectifs G4 et G5 tels que G3G4=Lr x3 et G3G5=-Lr x3.En l'absence de rotation des ttes sensorielles ( 4=5=0 ), celles-ci seront considresdans la position de la figure 9, avec z4=z5=y3 . On donne les valeurs : a = 113 mm ; L = 200 mm ; r = 113 mm ; h = 200 mm ; M = 31 kg ; m = 45 kg G3z4z5G5G4z33=tx3Figure 9 : modlisation retenue pour le systme OBS de Sirius.Les actions du vent sont modlises par une densit surfacique d'effort -pvy0 d'intensitet dedirectionconstantes(onrappellequey30=y0danslapositionneutredeSirius).Celles-ci s'appliquentuniformment sur la partie projete Sprojde la surface frontale S345dusystme OBS, avec S345= S3+S4+S5 (voir figure 10). L'influence de la surface latrale dusystme OBS est nglige. Q23 : Montrer que, en rgime permanent de scrutation (3=0 ,`3=et 4=5=0 ),les actions du vent sur le systme OBS se rsument un torseur au point G3 de laforme R=Ryy0M=Mzz0G3. Donner l'expression des composantes Ry et Mz de ce torseur, enfonction des donnes r, a, L, pv, et , et tracer leur volution temporelle. 11/22 TOURNEZ LA PAGE S.V.P.x3y3y03-3nSprojpvG3x3z3y3S3S3S4S5Figure 10 : modlisation des actions du vent, etdfinition des surfaces projetes.3210ax0y0Figure 11 : paramtrage de l'ancien systme destabilisation.Afin de rsister ces actions extrieures, des couples (fournis par les moteurs lectriques)sont appliqus sur les trois axes de rotation du systme STAB de Sirius. Ils sont notsrespectivement C1v,C2v et C3v.Le systme Sirius ancienne gnration est dcrit sur la figure 11.Q24 : Citer unmcanismesimplequi fonctionnesurlemmeprincipequel'anciensystme de stabilisation.Q25 : Calculer, pour lesystmedestabilisationancienne gnration et dans lesconditions prcdentes, les couples moteur ncessaires pour contrer les actions duvent et maintenir Sirius dans sa position de scrutation. Donner leurs valeursextrmes au cours du temps. Q26 : Calculer ces mmes couples pour le systme STAB de Sirius actuel. Comparerleurs valeurs extrmes celles obtenues la question prcdente. On considreraqueO1O2=O2O3=az2. Onsupposeradeplusquedanslapositionneutredubateau (et quels que soient les rsultats trouvs dans les questions prcdentes),on a les relations :z1=0,26x00,97z0 ; z2=0,13x00,23y00,97z0 ; z3=z012/22Q27 : Conclure sur l'intrt de la technologie utilise dans le Sirius actuel. Modlisation du dsquilibre du systme d'observationQ28 : Dterminer, en fonction des donnes, les matrices d'inertie des solides 3, 4 et 5constituant le systme OBS de Sirius. Ces matrices seront exprimes au centre degravitGiet dans la base propre bi de chacun des solides (i=3,4,5).Q29 : On suppose que 3=4=0. En dduire la matrice d'inertie globale du systmeOBS, au point G3 et dans la base b3 :A3450 00 B34500 0 C345 x3,y3,z3Faire l'application numrique des valeurs de A345, B345, et C345.Le dsquilibre du systme OBS est en pratique d deux phnomnes : PH1 : le dpt non-homogne de givre lors de conditions climatiques svres ; PH2 : la rotation (possiblement non synchronise) des ttes sensorielles.Cesphnomnessont tudisenl'absencedevent, danslaphasedescrutationdeSirius.Q30 : Indiquerquel(s) type(s) de dsquilibre (statique et/ou dynamique) sont induitspar chacun des deux phnomnes PH1 et PH2.Enseplaant dans lecas d'unerotationsynchronisedes ttes sensorielles, avec4=5=0 , la matrice d'inertie du systme OBS en G3 s'crit sous la forme :A3450 00B345-D3450 -D345C345x3,y3,z3Q31 : Donner alors l'expression du moment dynamique de l'ensemble {3+4+5} au pointO3. En dduire l'expression du couple fourni par le moteur 3 (couple sur l'axe z3)ainsi que celle des moments transmis dans la liaison pivot entre les pices 2 et 3(couples sur les axes x30 et y30). Ne pas oublier de prendre en compte le rgimetransitoire3= ` =0 .La figure 12 illustre l'volution temporelle de ces couples, dans une phase transitoire demise en rotation du systme OBS(jusqu' la vitesse permanente=1 tr/s en phase descrutation), et pour les trois cas de figure suivants : cas 1 : aucun dsquilibre du systme OBS ; cas 2 : dpt non-homogne de givre sans rotation des ttes sensorielles ; cas 3 : inclinaison des ttes sensorielles ( 4=5=45) sans dpt de givre.13/22 TOURNEZ LA PAGE S.V.P.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10012345670 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1,5-1-0,500,511,50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1,5-1-0,500,511,50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1002468101214Vitesse angulairedu radar () Couples sur l'axe (N.m)x30Couples sur l'axe (N.m)y30 Couples sur l'axe (N.m)z30Temps (s) Temps (s)Temps (s) Temps (s)Rponse aRponse bRponse cRponse aRponse bRponse cRponse aRponse bRponse cFigure 12 : volution des couples en fonction du temps, pour les rponses aux trois cas de figure tudis.Q32 : Identifier lesrponsesa, b, c(correspondanceaveclescas1, 2, ou3) enjustifiant vos rponses.Pour annuler les perturbations dues au dsquilibre du systme OBS, les 3 moteurs dusystme STAB exercent des couples nots respectivement C1d,C2d et C3d.Q33 : Donner les valeurs maximales de ces couples pour le cas 3, dans la phase descrutation et en rgime permanent.Modlisation de la perturbation due une compensation de tangageOn se place prsent dans le cas d'une perturbation due au tangage du bateau pendantla phase de scrutation, en l'absence de vent et sans dsquilibre du systme OBS. On suppose que la compensation du tangage, d'amplitude t=10,5, est ralise avecun pilotage en vitesse angulaire de compensation donn sur la figure 13.14/220 t0t1t2corrmaxCompensation de vitesse angulairetFigure 13 : loi de vitesse angulaire de compensation de tangage en fonction du temps.Q34 : Dterminer l'ensembledesparamtres t0,t1,t2,corrmax delaloi permettant decompenser l'amplitudedetangagesouhaite, tout enrespectant lecahier descharges (critres de la fonction FS2) et en minimisant le temps de compensation.Q35 : Donner une dmarche permettant d'obtenir l'expression des couples moteur fournir sur les trois axes du systme STAB, afin de compenser cette perturbation.Aucun calcul n'est demand. On reprsente sur la figure 14 l'volution de ces couples, nots C1t,C2t,C3t, ainsi quecelle des vitesses angulaires en fonction du temps, tout au long de la phase decompensation du tangage.Vitesse angulaire pour chaque moto rducteur (rad/s)012-10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Temps (s)123Couple pour chaque moto rducteur (N.m)0100-1000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Temps (s)C1C2C3Figure 14 : volution des vitesses de rotation et des couples pour chaque motorducteur dans la phase de compensation du tangage.Q36 : Choisir dans la documentation (Annexe 2) une motorisation permettant devrifier les performances de compensation de tangage requises. Prendre le mmemotorducteur pour les 3 axes. Justifier les critres de choix retenus. Q37 : Proposer une dmarche qui permettrait de vrifier que cette motorisation permetd'atteindreles performances decompensationdel'ensembledes perturbations(vent, rotationdesttessensorielles, dpt degivre, tangage, roulis) subiesparSirius.15/22 TOURNEZ LA PAGE S.V.P.Partie 4 : Validation de la performance de frquence de rafrachissement des informationsL'objectif de cette partie est la validation du critre de frquence de rafrachissement de lafonction FS1, rappel dans le tableau ci-dessous.On se place dans le cas o le bateau est stable sur l'eau (pas de tangage ni de roulis compenser), et olatteprincipale3deSiriusscrutel'horizonentournant vitesseconstante autour d'un axe vertical.Dans cette configuration, le cahier des charges retenu pour la rotation de la tte principalede Sirius est le suivant :Vitesse angulaire?? tr/min +/- 4%Stabilit de l'asservissementMarge de phase 45Marge de gain 10 dBQ38 : Dterminer la valeur de la vitesse angulaire note ?? du cahier des charges.Modlisation du systmeLemodleretenupour tudier l'asservissement envitessedelatteprincipaleest lesuivant : la tte principale tourneselon l'axez3vertical parrapport la mer ; les ttes sensorielles sontfixes par rapport 3 ; lemoto-rducteur qui pilotela rotation de la ttesensorielle possde sur sonaxedesortieunengrenagede5,3cmdediamtre, etengrnesur lapriphrieextrieure d'un engrenagede 26,3 cm de diamtre li 3 ; Tte sensorielle 4Tte principale 3Axe de rotation de la tte principalez3x3y3Moteur etrducteurEngrenage li 3Moteur12 dents26 dents26 dentsFigure 15 : dtail de la motorisation de la tte principale. l'ensemble{3+4+5} a une matrice d'inertieA3450 00 B34500 0 C345 x3,y3,z3avecA345=C345=5,2kg.m2 etB345=2,1kg.m2 ;16/22 lefonctionnement dumoteur lectriqueest pilotpar lesquationssuivantes:umt =emt Rm. imt Lm.dimt dt, em t =ke. m t , Jeqdmt dt=Cmt -Crt etCmt =kc. imt ; le systme est asservi en vitesse selon le schma bloc de la figure 16.H2p H3p H4p K5K6K1K1Convertisseur CorrecteurCapteurUmpEmpmp 3pcp -- -CrpCmpFigure 16 : schma bloc de l'asservissement en vitesse de la tte principale.Lercapitulatif desgrandeursphysiqueset deleurunitassocieest prsentdansle tableau suivant :Symbole Dsignation Unitumt Tension d'alimentation du moteur [V]em t Tension contre lectromotrice dans le moteur [V]imt Intensit dans le moteur [A]mt Vitesse angulaire de l'axe du moteur [rad/s]Cmt Couple en sortie du moteur [N.m]Crt Couple rsistant appliqu sur l'axe du moteur [N.m]RmRsistance de l'induit du moteur [ ]LmInductance de l'induit du moteur [H]keConstante de vitesse du moteur [V.s]kcConstante de couple du moteur [N.m/A]JeqInertie quivalente de l'ensemble ramene surl'axe moteur[kg.m2]ct Vitesse angulaire consigne [rad/s]3t Vitesse angulaire de la tte principale 3 [rad/s]Q39 : Dterminer, en le justifiant, le nombre de dents des satellites de chaque tage derduction, et indiquer s'il est possible d'en mettre 3 par tage, positionns tous les120.17/22 TOURNEZ LA PAGE S.V.P.Q40 : Enneconsidrant qu'unsatellitepartagederduction, et enmodlisant lecontact entre les dents des engrenages par des liaisons linaires rectilignes,calculer le degr d'hyperstaticit du modle du rducteur double train picyclodal.Proposer un autre modle qui soit isostatique.Q41 : Dterminer, en le justifiant, la valeur numrique de la constante K5.Q42 : L'inertiedumoto-rducteur, ramenesur l'axemoteur, est de8,3.10-4kg.m2.Dterminer la valeur numrique deJeq.Q43 : Dterminer l'expression analytique des fonctions H3p,H4p et K6.Le diagramme de Bode du correcteur a t mesur, et est reprsent sur la figure 17.0,1 1 10 100 1000 10000 100000 1000000-80-60-40-200204060800,1 1 10 100 1000 10000 100000 1000000-270-225-180-135-90-450argH2 j 20logH2 j rad/ srad/ sFigure 17 : diagramme de Bode du correcteur.Q44 : Proposer unmodledecomportement pour lafonctionH2p, enlimitant lemodleauxfrquencesinfrieures100Hz. Enonceret justifierleshypothsesretenues.18/22Vrification des performancesLa manipulation du schma bloc de la figure 16 permet de mettre en place le schma blocquivalent retour unitaire de la figure 18.Cp-HUpUmpcp-HCpKR3pCrpFigure 18 : schma bloc retour unitaire de l'asservissement en vitesse de la tte principale.Q45 : Dterminer les expressions littrales deCp ,HUpetHCpen fonction deK1,H2p,H3p,H4p,K5 et K6.L'valuation des valeurs analytiques fournit :Cp=4010,015p,HUp=KU1T1p1T2p,HCp=KC1T3p1T1p1T2p,T1=0,04s,T2=1,1ms, T3=1,0ms , KU=6,7rad.s-1. V-1, KC=44,4rad.s-1. N-1. m-1etKR=K5=0,02 .Q46 : Concluresurlacapacitdusystmesatisfaireounonlecritredevitesseangulaire du cahier des charges.Q47 : Reprsenter sur le documentrponse les tracs asymptotiques etl'allure destracs rels du diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverteentre3p etcp .Q48 : Conclure sur la capacit du systme satisfaire ou non les critres de stabilitdu cahier des charges.Amlioration des performances par compensation de consigneVuquelesmargesdestabilitsont trspetites, lesingnieursdeThalsont exclud'introduireuncorrecteur dphasagengatif supplmentairedanslachanedirecte.Pour amliorer les performanceset permettre Sirius de satisfaire tous les critres ducahier descharges, ilsont choisi derajouter unecompensationdeconsignedanslachane asservie. Le schma bloc de l'ensemble prend alors la forme dfinie sur la figure19, avec KS=7,5 V.s.19/22 TOURNEZ LA PAGE S.V.P.Cp-HUpUmpcp-HCpKR3pKSCrpFigure 19 : schma bloc du nouveau systme avec compensation de consigne.Q49 : Montrer quecettecompensationdeconsignenemodifiepa lastabilitdusystme.Q50 : En cas de perturbation nulle, conclure sur la capacit du systme satisfaire ounon le critre de vitesse angulaire.Une des perturbations les plus classiques est celle due au vent. En effet, en pleine mer, levent n'est pas frein par un quelconque obstacle, et agit donc directement et puissammentsur lesystmed'observation qui tourne. Lecouplersistant est alors modlisparCrp=3,240p2.Q51 : Dterminer la fonction Crt et justifier une origine physique expliquant l'allureretenue par ce modle.Q52 : Justifier la possibilit de ngliger, en premire approche, toutes les constantesdetemps dusystmepour dterminer l'influencedeCrt sur 3t lorsquel'entreest unchelondevitesse(d'amplitudecelleducahier descharges), etdterminer dans ce cas3t .Q53 : Conclure quant la capacit du systme satisfaire les critres du cahier deschargescitsaudbut decettepartie, aveclastructurepar compensationdeconsigne.fin de l'preuve20/22sAnnexe 1Relations vrifies par 1, 2, 3 dans les cas suivants ( C=cos , S=sin ) : position neutre du bateau + phase de suiviC2cos1cos2-Csin1sin2S2cos2=Ccos3Csin1cos 2cos 1sin2=-Csin3-CScos1cos2Ssin1sin2CScos 2=S-C2cos1sin2-Csin1cos2-S2sin2=sin3-Csin1sin2cos1cos2=cos 3CScos1sin2Ssin1cos 2-CSsin2=0-CScos1CS=-Scos3-Ssin1=Ssin3S2cos1C2=C tangage d'angle t+ phase de suiviC2cos1cos2-Csin1sin2S2cos2=Ccos3costSsintCsin1cos 2cos 1sin2=-Csin3-CScos1cos2Ssin1sin2CScos 2=-Ccos 3sintScost-C2cos1sin2-Csin1cos2-S2sin2=costsin3-Csin1sin2cos1cos2=cos 3CScos1sin2Ssin1cos 2-CSsin2=-sin3sint-CScos1CS=-Scos3costCsint-Ssin1=Ssin3S2cos1C2=Scos3sintCcos t tangage d'angle t+ phase de suivi + Sirius sans socle 0Ccos 1cos2-sin1sin2=Ccos3costSsintCsin1cos 2cos 1sin2=-Csin3Scos 2=-Ccos3sintScost-Ccos1sin2-sin1cos2=cos tsin3-Csin1sin2cos1cos2=cos 3-Ssin2=-sin3sint-Scos1=-Scos 3costCsint-Ssin1=Ssin3C=Scos3sintCcost21/22 TOURNEZ LA PAGE S.V.P.Annexe 222/22Donnes techniquesDegr IPPoids (kg)AmplificateurS r i e P 3P30B04005DXS00M5065 4500 tr/min300045000,160,49IP 430,35RS1A01P30B04010DXS1CM100125 4500 tr/min300045000,320,98IP 430,5RS1A01P30B06020DXS11M200235 4500 tr/min300045000,641,96IP 431,15RS1A01P30B06040DXS11M400520 4500 tr/min300045001,273,82IP 431,7RS1A03P30B08075DXS11M750940 4500 tr/min300045002,387,15IP 433,3RS1A03S r i e P 5P50B04010DXS00M100125 4500 tr/min300045000,320,98IP 430,59RS1A01P50B05020DXS00M200235 4500 tr/min300045000,641,96IP 551,07RS1A01P50B07040DXS00M400520 4500 tr/min300045001,273,92IP 552,1RS1A03P50B08100HXS00M10001000 3000 tr/min300045003,198,82IP 555,05RS1A03Q 2Q2AA10150BXS48M15001500 2000 tr/min200020007,520,5IP 677,2RS1A03P 2P20B10150DXS00M15001500 3000 tr/min300045004,7914,7IP 676,5RS1A05P 6P60B13150HXS00M15001850 3000 tr/min200030007,520IP 677,8RS1A05Q 1Q1AA13300DXS00M30003000 3000 tr/min300045009,5128,4IP 6711,4RS1A10* Puissance disponible : puissance qui peut tre fournie tout le temps lorsque le moteur tourne la vitesse indique.* Remarque : tous les moteurs tre quips, sur demande, d'un frein d'urgence 24VDC. Puissance nominale (W)Puissance disponible (W) *Vitesse nominale (tr/min)Vitesse maximale (tr/min)Couple nominal (N.m)Couple maximum (N.m)Inertie (kg.m2)0,031.10-40,051.10-40,144.10-40,255.10-40,635.10-40,079.10-40,179.10-40,740.10-42,651.10-47,99.10-42,04.10-48,28.10-44,92.10-4FIN DE LEPREUVE